平抛运动中常用的时间求解方法
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当 时，杆对小球的作用力的方向竖直向上，大小随速度的增大而减小，其取值范围是： 。
当 时， 。
当 时，杆对小球有指向圆心的拉力，其大小随速度的增大而增大。
<3>如图所示的小球过最高点时，光滑硬管对小球的弹力情况，同上面图（1）的分析。
③圆锥摆的情况：
如图所示，圆锥摆的情况是水平面内的圆周运动情况，将绳的拉力竖直分解与重力平衡，水平分解提供向心力，即：
水平方向： ，可得
竖直方向： ，解得 。
图1
二、利用水平位移、竖直位移及倾角求解时间
例1：如图2，AB为斜面，倾角为 ，小球从A点以初速度 水平抛出，恰好落到B点，求物体在空中飞行的时间。
图2
分析及解答：由本题所给的条件，显然直接利用水平位移或竖直位移无法解答，但两个位移可以通过斜面的倾角发生联系。
①如图所示，没有物体支撑的小球，在竖直平面内做圆周运动过最高点的情况：
<1>临界条件：小球达到最高点时绳子的拉力；（或轨道的弹力）刚好等于零，小球的重力提供其做圆周运动的向心力，即 ，上式中的 是小球通过最高点的最小速度，通常叫临界速度 。
<2>能过最高点的条件： （此时绳、轨道对球分别产生拉力、压力）。
[例题]如图所示，两根长度均为 的细线，将质量为m的小球系在竖直转轴上，当两细线拉直时，与竖直方向的夹角均为 ，求在下列条件下，两线受到的拉力
（1）转轴转动角速度为 。
（2）转轴转动角速度为 。
分析与解：当两细线拉直时，两线与竖直方向的夹角均为 ，上段线一定受拉力的作用，而下段线由于旋转角速度不同，可能受到拉力的作用，也可能恰好不受力。因此，我们可先判定下段线刚拉直而恰好不受力的临界角速度 。
由受力分析知，小球受上段线拉力 和重力 的作用，其合力提供小球做匀速圆周运动的向心力，即：
，得 。
（1）当 时，恰好等于临界角速度 ，所以 ；
（2）当 时， 两线均拉紧，即对小球都有拉力，由受力分析知：
联立解得：
由此题可以看出：
（1）临界值是圆周运动中一个经常考查的重点内容，它是物体在做周圆运动过程中，发生质变的数值或使物体受力情况发生变化的关键数值。如本题再追加一问即 ，若小球仍能在水平面上做匀速运动，则下段细线将松驰，上段细线与竖直转轴的夹角小于 。
，∴ ，
，∴
由 可以看出 ，反之
④火车转弯的情况：
∴
∵ 很小∴
∴
∴
若ห้องสมุดไป่ตู้，则内外轨均无挤压， ；
若 ， 不足以提供所需的向心力，此时火车向外甩，外侧轮缘挤压外轨，外轨给轮缘一指向圆心方向的弹力，补充向心力 ；
若 ， 大于所需要的向心力，此时火车被向里拉，内侧轮缘挤压内轨，内轨给轮缘一远离圆心方向的弹力， 。
对于水平方向： ①
对于竖直方向： ②
又由 ③
由以上三式联立可得
三、利用速度求解时间
由于竖直方向为自由落体运动，则有 ，可得 。
例2：如图3，以 的初速度水平抛出的物体，飞行一段时间后，垂直地撞在倾角 为 的斜面上，可知物体完成这段飞行的时间为（）
A. B. C. D.
图3
分析及解答：根据本题所给的信息，显然无法利用位移求解，但我们可以从速度入手，将物体撞击在斜面上的速度分解，如图4所示，由几何关系可得：
竖直方向做自由落体运动，由 可得
图4
四、利用匀变速直线运动的推论 求解时间
例3：如图5，是某次实验记录的小球平抛运动轨迹中的三点，测得A、B间的水平距离和B、C间的水平距离都是 ，AB间的竖直距离是 ，BC间的竖直距离是25cm。若取 ，则小球平抛的初速度 等于多少？
图5
分析与解答：在实验《研究匀变速直线运动》中，设初速度为 ，加速度为 ，在两个连续相等的时间间隔 内的位移分别为 和 ，可以推出 。本题中，由于物体水平方向做匀速直线运动，而且AB、BC两段水平位移相等，由此可知，这两段距离所用的时间相等均为 ，根据上述结论可得：
图6
分析与解答：由上面的结论可知，Q为OM的中点，则从O点运动到P点的过程中，小球发生的水平位移 由于水平方向做匀速直线运动，则小球在这段过程中运动的时间为 。
圆周运动中的临界问题综述
山东省昌邑9－285信箱 姜建伟（261300）
临界问题总是出现在变速圆周运动中，竖直平面内的圆周运动是典型的变速圆周运动，一般情况下，只讨论最高点和最低点的情况：
平抛运动中常用的时间求解方法
平抛运动是高中物理运动学中一个基本模型，具有典型的物理规律。考查中常常涉及到“速度、位移、时间”等问题，下面针对平抛运动中的时间问题常用的几种方法进行归纳总结，供大家参考。
一、利用水平位移或竖直位移求解时间
平抛运动可以分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动。由合运动和分运动的等时性，平抛运动的时间等于各分运动的时间。
（2）长为 的轻杆一端连一个小球，在竖直平面内做圆周运动与长为 的细线拴一小球，以竖直平面内做圆周运动。在最高点其线速度的最小值，即临界值是不相同的。同学们通过对类似问题的比较，要达到触类旁通、举一反三的效果，那我们就一定能学好物理。
在竖直方向上： ，解得
由水平方向： ，可得
五、利用平抛运动的推论求解时间
推论：平抛运动中以抛出点为坐标原点的坐标系中任一点P（ ， ）的速度的反向延长线交于 轴的 处。
例4：如图6，将一小球从坐标原点沿着水平轴 以 的速度抛出，经过一段时间到达P点，M为P点在 轴上投影，做小球轨迹在P点的切线并反向延长，与 轴相交于Q点，已知 ，则小球运动的时间为多少？
<3>不能过最高点的条件： （实际上球还没有到最高点就脱离了轨道）。
②如图所示，有物体支撑的小球在竖直平面内做圆周运动过最高点的情况：
<1>临界条件：由于硬杆和管壁的支撑作用，小球恰能达最高点的临界速度 。
<2>如图所示的小球过最高点时，轻杆对小球的弹性情况：
当 时，轻杆对小球有竖直向上的支持力 ，其大小等于小球的重力，即 。
当 时， 。
当 时，杆对小球有指向圆心的拉力，其大小随速度的增大而增大。
<3>如图所示的小球过最高点时，光滑硬管对小球的弹力情况，同上面图（1）的分析。
③圆锥摆的情况：
如图所示，圆锥摆的情况是水平面内的圆周运动情况，将绳的拉力竖直分解与重力平衡，水平分解提供向心力，即：
水平方向： ，可得
竖直方向： ，解得 。
图1
二、利用水平位移、竖直位移及倾角求解时间
例1：如图2，AB为斜面，倾角为 ，小球从A点以初速度 水平抛出，恰好落到B点，求物体在空中飞行的时间。
图2
分析及解答：由本题所给的条件，显然直接利用水平位移或竖直位移无法解答，但两个位移可以通过斜面的倾角发生联系。
①如图所示，没有物体支撑的小球，在竖直平面内做圆周运动过最高点的情况：
<1>临界条件：小球达到最高点时绳子的拉力；（或轨道的弹力）刚好等于零，小球的重力提供其做圆周运动的向心力，即 ，上式中的 是小球通过最高点的最小速度，通常叫临界速度 。
<2>能过最高点的条件： （此时绳、轨道对球分别产生拉力、压力）。
[例题]如图所示，两根长度均为 的细线，将质量为m的小球系在竖直转轴上，当两细线拉直时，与竖直方向的夹角均为 ，求在下列条件下，两线受到的拉力
（1）转轴转动角速度为 。
（2）转轴转动角速度为 。
分析与解：当两细线拉直时，两线与竖直方向的夹角均为 ，上段线一定受拉力的作用，而下段线由于旋转角速度不同，可能受到拉力的作用，也可能恰好不受力。因此，我们可先判定下段线刚拉直而恰好不受力的临界角速度 。
由受力分析知，小球受上段线拉力 和重力 的作用，其合力提供小球做匀速圆周运动的向心力，即：
，得 。
（1）当 时，恰好等于临界角速度 ，所以 ；
（2）当 时， 两线均拉紧，即对小球都有拉力，由受力分析知：
联立解得：
由此题可以看出：
（1）临界值是圆周运动中一个经常考查的重点内容，它是物体在做周圆运动过程中，发生质变的数值或使物体受力情况发生变化的关键数值。如本题再追加一问即 ，若小球仍能在水平面上做匀速运动，则下段细线将松驰，上段细线与竖直转轴的夹角小于 。
，∴ ，
，∴
由 可以看出 ，反之
④火车转弯的情况：
∴
∵ 很小∴
∴
∴
若ห้องสมุดไป่ตู้，则内外轨均无挤压， ；
若 ， 不足以提供所需的向心力，此时火车向外甩，外侧轮缘挤压外轨，外轨给轮缘一指向圆心方向的弹力，补充向心力 ；
若 ， 大于所需要的向心力，此时火车被向里拉，内侧轮缘挤压内轨，内轨给轮缘一远离圆心方向的弹力， 。
对于水平方向： ①
对于竖直方向： ②
又由 ③
由以上三式联立可得
三、利用速度求解时间
由于竖直方向为自由落体运动，则有 ，可得 。
例2：如图3，以 的初速度水平抛出的物体，飞行一段时间后，垂直地撞在倾角 为 的斜面上，可知物体完成这段飞行的时间为（）
A. B. C. D.
图3
分析及解答：根据本题所给的信息，显然无法利用位移求解，但我们可以从速度入手，将物体撞击在斜面上的速度分解，如图4所示，由几何关系可得：
竖直方向做自由落体运动，由 可得
图4
四、利用匀变速直线运动的推论 求解时间
例3：如图5，是某次实验记录的小球平抛运动轨迹中的三点，测得A、B间的水平距离和B、C间的水平距离都是 ，AB间的竖直距离是 ，BC间的竖直距离是25cm。若取 ，则小球平抛的初速度 等于多少？
图5
分析与解答：在实验《研究匀变速直线运动》中，设初速度为 ，加速度为 ，在两个连续相等的时间间隔 内的位移分别为 和 ，可以推出 。本题中，由于物体水平方向做匀速直线运动，而且AB、BC两段水平位移相等，由此可知，这两段距离所用的时间相等均为 ，根据上述结论可得：
图6
分析与解答：由上面的结论可知，Q为OM的中点，则从O点运动到P点的过程中，小球发生的水平位移 由于水平方向做匀速直线运动，则小球在这段过程中运动的时间为 。
圆周运动中的临界问题综述
山东省昌邑9－285信箱 姜建伟（261300）
临界问题总是出现在变速圆周运动中，竖直平面内的圆周运动是典型的变速圆周运动，一般情况下，只讨论最高点和最低点的情况：
平抛运动中常用的时间求解方法
平抛运动是高中物理运动学中一个基本模型，具有典型的物理规律。考查中常常涉及到“速度、位移、时间”等问题，下面针对平抛运动中的时间问题常用的几种方法进行归纳总结，供大家参考。
一、利用水平位移或竖直位移求解时间
平抛运动可以分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动。由合运动和分运动的等时性，平抛运动的时间等于各分运动的时间。
（2）长为 的轻杆一端连一个小球，在竖直平面内做圆周运动与长为 的细线拴一小球，以竖直平面内做圆周运动。在最高点其线速度的最小值，即临界值是不相同的。同学们通过对类似问题的比较，要达到触类旁通、举一反三的效果，那我们就一定能学好物理。
在竖直方向上： ，解得
由水平方向： ，可得
五、利用平抛运动的推论求解时间
推论：平抛运动中以抛出点为坐标原点的坐标系中任一点P（ ， ）的速度的反向延长线交于 轴的 处。
例4：如图6，将一小球从坐标原点沿着水平轴 以 的速度抛出，经过一段时间到达P点，M为P点在 轴上投影，做小球轨迹在P点的切线并反向延长，与 轴相交于Q点，已知 ，则小球运动的时间为多少？
<3>不能过最高点的条件： （实际上球还没有到最高点就脱离了轨道）。
②如图所示，有物体支撑的小球在竖直平面内做圆周运动过最高点的情况：
<1>临界条件：由于硬杆和管壁的支撑作用，小球恰能达最高点的临界速度 。
<2>如图所示的小球过最高点时，轻杆对小球的弹性情况：
当 时，轻杆对小球有竖直向上的支持力 ，其大小等于小球的重力，即 。