光的衍射现象、惠更斯-菲涅耳原理

S
*
光 源
衍 射
观 察
夫琅和费衍射
屏
屏
5
3. 惠更斯—菲涅耳原理
波传到的任何一点都是子波的波 源，各子波在空间某点的相干叠加， 就决定了该点波的强度。
惠更斯
菲涅耳
dE CK( ) d S cos(t - 2r )
r

K( ) ：倾斜因子
0，K Kmax 1,
沿原波传播方向 的子波振幅最大
-1
0
1
2 sin(a / )
25
2光栅衍射光强曲线 (振幅矢量法)
明纹条件： d sin k
（k = 0, 1, 2, 3…） -- 光栅方程
设每个缝发的光在对应衍射角
方向P点的光振动的振幅为Ep
P 点为主极大时
EP
NEP
暗纹条件：
2k
IP

N
2
E
有限的情况下才能积分出来。
积分计算相当复杂（超出了本课范围），下节将介绍 菲涅耳提出的一种简便的分析方法——半波带法.
它在处理一些有对称性的问题时，既方便， 物理图象又清晰。
7
§2 夫琅和费单缝衍射 夫琅和费衍射：障碍物距光源、屏均为无限远。
缝平面 透镜L
透镜L
B
S
*
a

Aδ f
f
观察屏
·p
2
λ 2
λ 2
所以任何两个相邻波带所发出 的光线在P点相互抵消.
当BC是/2的偶数倍，所有波带成对抵消，P点暗，
当BC是/2的奇数倍，所有波带成对抵消后留下一个波带，P点明。
13
第二级明纹
P
第二级暗纹
第一级明纹
第一级暗纹
中央明纹
结论：
f
1. 0 ( 衍射角),各平行光束 δ 0,
(1)条纹位置：中央明纹： 0，
其余各级条纹：x f tg.

0
(2)条纹宽度：中央明纹 ,
角宽度：0

21

2

a
由第一级暗纹公式：
a sin
1

a1

，1



a
线宽度 ：x0
21 f

2
a
f
x0 2f
tg1
1, x0

2 f1
f
单缝衍射 k级暗纹公式： a sin k，k 1，2...
得：k a b k（k 1，2，3，...；k只能取整数） a
计算缺级的基本公式。
24
讨论题: 光栅衍射光强曲线
单缝衍射的基础 上，各透光缝之 间相互干涉作用 的总效果。
I N2I0单
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
光的干涉和衍射现象都说明光具有波动性。波在 传播过程中遇到障碍物时,能够绕过障碍物的边缘前 进,这种偏离直线传播的现象称为波的衍射现象。
例如,水波可以绕过闸门,声波可以绕过门窗,无线电 波可以绕过高山等,都是波的衍射现象。当光遇到障 碍物,且障碍物的大小与光波波长相比拟时,也将发生 衍射现象。
惠更斯—菲涅耳原理是研究衍射的理论基础，用菲涅 耳半波带法讨论单缝夫琅和费衍射是本章的主要内容， 其次还要讨论光栅衍射，光栅缺级等内容。
解 (1)单缝衍射明纹的角位置由下式确定，
a sin (2k 1)
2
得：s in2

5 ，
2a
x2

f
tan2

f
sin 2

5
2a
f
5.0mm
（2）由a sin （2k 1） 知:
2 相应于第二级、三级衍 射明纹,k分别为2、3，
单缝相应地分成 5个和7个半波带。
a ,中央明纹占据单缝后整 个空间，衍射条纹消失 。
一级暗纹，
a
sin
1

2k

2
k 1


如：a

，1


2
；a

， sin 1


a
1 ，1无解。
a 时, 角很小,各级条纹集中在中央明纹附近,分辨不清,
单一明条纹几何光学。 几何光学是波动光学在 ( 0 )时的极限。
光能绕过障碍物进入几 何阴影区，并出现光强 的不均匀分布。
A
B
A
a'
a b
B
b'
4
菲涅耳衍射
光源
衍 射 屏
·
菲涅耳衍射是指当光源 和观察屏，或两者之一
观 察 屏
离障碍物（衍射屏）的 距离为有限远时，所发
生的衍射现象。
夫琅和费衍射指光源和观察屏离障碍物的距离均为无限远时，所 发生的衍射现象。
·p
1.0 10 3
m
中央明纹的宽度与缝宽 a成反比，单缝越窄， 中央明纹越宽。
19
例：在夫琅和费单缝实验中，垂直入射的平行单色光波长为
=605.8nm，缝宽a=0.3mm，透镜焦距f=1m。求：
(1) 第二级明纹中心至中央明纹中心的距离； (2) 相应于第二级和第三级明纹，可将单缝分出多少个半波带， 每个半波带占据的宽度是多少？
a
a在1000以上时，衍射现象不明显，可作几何光学处理；
a在10 —100范围内，衍射现象显著 ；
a与相当时，衍射过渡到散 射。
18
例：水银灯发出的波长为546nm的绿色平行光，垂直入射于 宽0.437mm的单缝，缝后放置一焦距D为40cm的透镜，试 求在透镜焦面上出现的衍射条纹中央明纹的宽度。
12
2.衍射公式
A,B两条平行光线之间的光程差BC=asin.
A
A1
a

A2
作平行于AC的平面,使相邻
平面之间的距离等于入射光
的半波长.（位相差）
2
如图把AB波阵面分成AA1， A1A2，A2B波带.
两相邻波带对应点AA1中A1和 A1A2中A2，到达P点位相差为，
光程差为/2。
Bλ
图7.9 光栅衍射光强曲线
sin (d / )
按光栅明纹公式：d sin k 按单缝衍射暗纹公式： a sin k
光栅衍射光强曲线
I
单缝衍射明纹 强度随衍射级 次的增加而逐 渐减少。
单缝衍射光强曲线
I
I0单
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 sin(d / )
-2
针和细线的衍射条纹
线
点
光
光
源
源
单
单
缝
缝
衍
衍
射
射
2
单缝衍射
圆形孔衍射
三角孔衍射
矩形孔衍射
方形孔衍射
正多边形孔衍射
网格衍射
3
衍射—即光线偏离直线路径的现象
障碍物
几
光源
何
阴
影
区
2. 菲涅耳衍射和夫琅禾费衍射
菲涅耳衍射是指当光源和观察屏， 或两者之一离障碍物（衍射屏）的 距离为有限远时，所发生的衍射现 象。
K( ) ，K 0
2
子波不能向后传播
惠更斯-菲涅耳原理的数学表示：
E(
P)

S
CK(
r
)
co
s
(t

2r
)
d
S
6
E(
P)

S
CK(
r
)
cos
(t

2r
)
d
S
这个积分式原则上能解决一切衍射问题甚至一切传播 问题。但由于波面形状的任意性使得积分难积，只有
衍射级次越高,对应的角 越大,BC=asin 也越大,单缝
2 a sin 2k λ (k 1,2,3...), 暗纹,
2
被截出的半波带数目越多,
每个半波带的面积越小,其 明纹是由一个半波带产生的,所
单独存在时在光屏上产生 以明纹强度随衍射级次的增加
的光阵动越弱.
而逐渐减少，
17
5. 狭缝宽度对衍射图象的影响
观测屏
透镜
衍射屏
x2
λ

x1
1
0
0
x x0
f
1
f
I
x0
0
2
15
观测屏
透镜
衍射屏
x2
λ

x1 x
1 0 x0
I
0
f
其余各级明纹的宽度, 通常看作是相邻两条暗纹中心之间的距离.
由相邻两暗纹公式，(a sin 2k )
2
a sin k ak k, a sin k1 ak1 (k 1)
-2(/d) -(/d-)(/4d) 0/4d /d
sin
2/d
27
光强曲线
I I0
N=4
-2(/d)
-(/d)
0
/d
-(/4d) /4d
sin
2/d
教材（7.3.4）讨论
一般情况： 暗纹间距= 主极大间距
N
本例：
4d
相邻主极大间有N－1个暗纹和N－2个次极大。
特别注意：k级主极大左是kN-1，右kN+1级极小！
a (k 1
k )

,


a
角宽度： , 线宽度：L f
a
a
16
4. 强度分布
A
I
a

5 3
3 5
2a 2a
2a 2a
3λ 2
2 3λ sin
Bλ
2
λ 2
λ 2
a aa
aaa
a sin (2k 1) λ (k 1,2,3...), 明纹。
N
例：N = 4,有三个极小：
d sin m
N
sin 1 , 2 , 3
4d 4d 4d
m 1, m 2, m 3
d sin 2
, , 3
2
2
相位差在0与2之间
(1) (m 1,2,… Nk)
0
透镜不附加新的 光程差
Hale Waihona Puke 显然：入射光、衍射光平行光束。（透镜）
8
缝宽因素
9
入射波长变化，衍射效应如何变化 ?
越长，1 越大，衍射效应越明显.
10
波长因素
11
1.衍射图样主要规律如下：
(1) 中央亮纹最亮，其宽度是其他亮纹的两倍；其他亮纹 的宽度相同，亮度逐渐下降。 (2) 缝 a 越小，条纹越宽（即衍射越厉害）。 (3) 波长 越长，条纹越宽（即有色散现象).
d

相邻两束光的光程差
(a b)sin
p 干涉加强
(a b)sin k
0 (1) (k = 0,1,…)
=(a+b)sin
透光缝越多,条纹 越明显.
缝宽a，刻痕宽度b，光栅常数：d=a+b
23
(a b)sin k (1) ( k 0,1,2...)
2 p
由同频率、同方向振动合成的矢量 多边形法则
a6
a5
a4
N
A
a3

a1
a
2

得： N 2m (m 1,2,… Nk)
o
X
P点合振幅为零,各分振幅矢量组成闭合多边形。
26
暗纹条件： N 2m
又
2

由 (1),(2) 得 d sin m
干涉和衍射的区别主要体现在参与叠加的光束不同 ，干涉是有限光束的相干叠加，衍射是无穷多子波的 相干叠加。
21
§3 光栅衍射 由大量等宽，等间距的 平行狭缝所组成的光学元件。 光栅常数 d=a+b
P
a
b
o
22
1.光栅公式
屏上出现衍射图象，实质：每个透光缝衍射（单缝衍射） 的基础上，各透光缝之间相互干涉作用的总效果。
位相相同, 相互加强,中央明纹。
2. a sin 2k λ (k 1,2,3...), 暗纹,
2
3. a sin (2k 1) λ (k 1,2,3...), 明纹。
2 4. a sin λ 的整数倍，条纹亮度介 于上述明暗之间。
2
14
x 3. 图象特点
P
如果同一个 满足(1)式时,又满足: a sin 2k λ (2) (k 1,2,...)
2
每个狭缝各自的光（按单缝衍射）相消，谈不上缝与缝之间 的干涉，按(1)式应出现的明条纹，实际不出现缺级现象。
按光栅明纹公式：(a b)sin k, k＝0，1，2...
1
§1 光的衍射现象、惠更斯-菲涅耳原理
1.光的衍射现象
1803年，杨氏在太阳光线的途中放置一根1/30寸硬纸条，观 察纸条投射到墙上的影子，发现除了在影子两侧出现了彩色的带 外，影子本身也被分成若干条这样的带子，带的数目与硬纸条到 影子的距离有关，且影子中央总是呈白色的。
障碍物是针和细线的衍射
小孔是单缝的衍射
解：两个第一级暗纹中心间的距离即为中央明纹宽度，对第 一级暗条纹（k = 1)求出其衍射角
a sin1 式中1很小
1

s in 1


a
中央明纹的角宽度
21

2
a
透镜焦面上出现中央明纹的宽度
x

2Dtg1

2D1

2D
a

2 546 10 9 0.4 0.437 10 3
5 3 2a 2a
对应半波带的宽度分别为 3 mm，3 mm 。 50 70
3λ a
2 a
a
I
3 5 2a 2a
2 3λ aaa
sin
20
干涉和衍射的区别和联系
根据惠更斯-菲涅耳原理，衍射就是衍射物所发光的 波阵面上各子波在空间场点的相干叠加，所以衍射的 本质就是干涉，其结果是引起光场强度的重新分布， 形成稳定的图样。
d sin 2 (2)
(m Nk, k 0) 光栅暗纹公式
3
4
2
1
/2
4 1

1
2
4
3
3 /2
sin 1 , 2 , 3
4d 4d 4d
m 1, m 2, m 3
光强曲线
I I0
N= 4