第二章平面向量2.3.4平面向量共线的坐标表示教案新人教A版必修4
新人教A版必修四3.4《平面向量共线的坐标表示》word教案
§2.3.4 平面向量共线的坐标表示主编：彭小武 审核：罗伍生 班级 姓名【学习目标】1、在理解向量共线的概念的基础上，学习用坐标表示向量共线的条件。
2、利用向量共线的坐标表示解决有关问题。
【学习过程】一、自主学习（一）知识链接：复习：⑴若点A 、B 的坐标分别为()11,x y ，()22,x y 那么向量AB 的坐标为 . ⑵若()()1122,,,a x y b x y ==，则a b += ，a b -= ，a λ=（二）自主探究：（预习教材P98—P101） 探究：平面向量共线的坐标表示问题1：两向量平行（共线）的条件是什么？若,a b （0b ≠）共线，当且仅当存在实数λ，使 。
问题2：假设()()1122,,,a x y b x y ==（0b ≠），用坐标该如何表示这两个向量共线呢？2、设1122(,),(,)a x y b x y ==，其中0b ≠，则//a b 等价于______________________。
二、合作探究1、已知()2,4-=a ，()6,b y =，且//a b ，求y .变式：判断下列向量a 与b 是否共线①(2,3) (3,4)a b ==②8(2,3) (,4)3a b ==2、向量(),12OA k =，()4,5OB =，()10,OC k =，当k 为何值时，,,A B C 三点共线.变式：证明下列各组点共线：（1）7(1,2) (3,4)(2,)2A B C --（2）1(9,1) Q(1,3)(8,)2P R -3、设点P 是线段12P P 上的一点，12,P P 的坐标分别是()11,x y ，()22,x y .⑴当点P 是线段12P P 的中点时，求点P 的坐标；⑵当点P 是线段12P P 的一个三等分点时，求点P 的坐标.*变式： 当12PP PP λ=，点P 的坐标是什么？三、交流展示1已知(2,3),(2,1),(1,4)(7,4)A B D ----判断AB 与CD 是否共线？2、已知()()()2,1,,2,3,a b x c y =-==-，且////a b c ，求,x y 的值.3、平面内给定三个向量a ＝(3,2)，b ＝(－1,2)，c ＝(4,1)，求：(1)求3a ＋b －2；(2)求满足a ＝m b ＋n c 的实数m ，n ；(3)若(a ＋k c )∥(2b －a )，求实数k .四、达标检测（A 组必做，B 组选做）A 组：1. 已知向量()2,4a =-，()1,2b =-，则a 与b 的关系是（ ）A.不共线B.相等C.方向相同D.共线2. 已知,,A B C 三点共线，且()()3,6,5,2A B --，若C 点横坐标为6，则C 点的纵坐标为（ ）A.13-B.9C.9-D.133. 点(),A m n 关于点(),B a b 对称点坐标为（ ）A.(),m n --B.(),a m b n --C.()2,2a m b n --D.()2,2a m b n --4. 已知()1,2a =，(),1b x =，若2a b +与2a b -平行，则x 的值为 .B 组：1、(2010·湖南长沙)已知O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三点，动点P 满足OP →＝OA →＋λ(AB →＋AC →)，λ∈[0，＋∞)，则点P 的轨迹一定通过△ABC 的( )A ．外心B ．垂心C ．内心D ．重心2、已知四点A (x,0)、B (2x,1)、C (2，x )、D (6,2x )．(1)求实数x ，使两向量AB →、CD →共线．(2)当两向量AB →与CD →共线时，A 、B 、C 、D 四点是否在同一条直线上？。
第二章平面向量教案新人教A版必修4
第二章平面向量教学目标三维目标1、知识与技能(1)了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和向量的几何表示；(2)掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念；并能弄清平行向量、相等向量、共线向量的关系(3)通过对向量的学习，使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别2、过程与方法引导发现法与讨论相结合。
这是向量的第一节课，概念与知识点较多，在对学生进行适引导之后，应当的让学生清清楚楚得明白其概念，这是学生进一步获取向量知识的前提；通过学生主动地参与到课堂教学中，提高学生学习的积极性。
体现了在老师的引导下，学生的的主体地位和作用。
3、情感目标与价值观通过对向量与数量的比较，培养学生认识客观事物的数学本质的能力，并且意识到数学与现实生活是密不可分的，是源于生活，用于生活的。
教学重点：理解向量、相等向量等相关的概念，向量的几何表示等是本节课的重点。
教学难点：难点是学生对向量的概念和共线向量的概念的理解。
学情和教材分析：向量是近代数学中重要和基本的概念之一，有深刻的几何背景及代数意义，因此向量具有数形结合的特征，是深入学习数学及解决各类数学问题的有效工具，在其他学科中也有广泛应用。
所以向量是历年高考的必考内容，本节课是向量的第一节课，是新知识的一个起点，所以这是十分关键、重要的一节课。
本节教学内容的特点是：概念多，有向量、平行向量、相等向量、单位向量等相关概念及向量的几何表示。
学生在学习过程中，诸多概念容易混淆，它们之间关系不易理清，这些是学习中的难点。
教法设计：引导启发式教学学法设计：指导学生自主学习课时计划：一课时教具学具：多媒体、彩笔、三角板教学过程一、创设情景、导入新课1. ................ 我们知道物理中的力、速度，位移等都是矢量，不同与路程、质量等量，他们具有什么样的共同特征？............ （学生讨论作答）2•你能举出几个具有以上特征的量吗？年龄、身高、体重、长度等具有这些特征吗？（学生思考作答）3.在数学上，我们把具有这种特征的量称为向量，（教师在黑板上书写课题，然后大屏幕展示课题，学生阅读课本P74）二、推进新课1.定义：既有大小又有方向的量叫向量。
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234平面向量共线的坐标表示
a //
b ( b = 0 )的充要条件是
xy-x 2y i =0 设 a =(x i , y i ) , b =(x 2, y 2)其中 b
=a
. 由 a
=入 b 得，(x 1, y 1)=入(x 2, y 2) X 1 =，丸2 r r 二丿 消去入，x i y 2-x 2y i =0 y = A y ? 探究：(1)消去入时不能两式相 除， ••• y i ，y 2有可能为 0, •/ b =0 ••• X 2, y 2中至少有一个不为 0 (2) 充要条件不能写成 yi = y2
x 1 x 2 •/ X 1, x 2有可能为0
(3) 从而向量共线的充要条件有 两
种形式：a
// b a =，b X°2 -X2% =0 、讲解范例：例 1已知a
=(4 , 2), b =(6, y)，且 a
// b ，求 y. 例 2 已知 A(-1 , -1) , B(1 ,3) , C(2 , 5)，试判断A , B , C 三点之间的位置关 系• 例3设点P 是线段P 1P 2上的一点，P 1、 P 2的坐标分别是(x 1, yj , (X 2, y 2). (1)当点P 是线段P 1P 2的中点时,
有密切关系，又有利于引 入新课，同时引导学生为 学生理解新知清除了障 碍，有意识地培养学生分 析理解问题的能力。
思考：两个向量共线的条 件是什么？如何用坐标表 示两个共线向量
消去入时能不能两式相
除？
通过问题的形式调动学生 积极思考、主动探索、归 纳总结；从而得到用坐标 表示两个共线向量的结 论；同时增加学生在学习 中的获取知识的快乐。
高中数学第2章平面向量2.3.4平面向量共线的坐标表示教案含解析新人教A版必修4
2.3.4 平面向量共线的坐标表示平面向量共线的坐标表示(1)设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b≠0，a ，b 共线，当且仅当存在实数λ，使a ＝λb ．(2)如果用坐标表示，可写为(x 1，y 1)＝λ(x 2，y 2)，当且仅当x 1y 2－x 2y 1＝0时，向量a ，b (b≠0)共线．思考：两向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)共线的坐标条件能表示成x 1x 2＝y 1y 2吗？[提示] 不一定，x 2，y 2有一者为零时，比例式没有意义，只有x 2y 2≠0时，才能使用．1．已知A (2，－1)，B (3，1)，则与AB →平行且方向相反的向量a 是( ) A ．(2，1) B ．(－6，－3) C ．(－1，2) D ．(－4，－8) D [AB →＝(1，2)，根据平行条件知选D.] 2．下列各对向量中，共线的是( ) A ．a ＝(2，3)，b ＝(3，－2) B ．a ＝(2，3)，b ＝(4，－6) C ．a ＝(2，－1)，b ＝(1，2) D ．a ＝(1，2)，b ＝(2，2)D [A ，B ，C 中各对向量都不共线，D 中b ＝2a ，两个向量共线．] 3．已知a ＝(－3，2)，b ＝(6，y )，且a ∥b ，则y ＝ ． －4 [∵a ∥b ，∴6－3＝y2，解得y ＝－4.] 4．若A (3，－6)，B (－5，2)，C (6，y )三点共线，则y ＝ ．－9 [AB →＝(－8，8)，AC →＝(3，y ＋6)，∵A ，B ，C 三点共线，即AB →∥AC →，∴－8(y ＋6)－8×3＝0，解得y ＝－9.]【例1】 (1)下列各组向量中，共线的是( ) A ．a ＝(－2，3)，b ＝(4，6) B ．a ＝(2，3)，b ＝(3，2) C ．a ＝(1，－2)，b ＝(7，14) D ．a ＝(－3，2)，b ＝(6，－4)(2)已知A (－1，－1)，B (1，3)，C (1，5)，D (2，7)，向量AB →与CD →平行吗？直线AB 平行于直线CD 吗？思路点拨：(1)利用“纵横交错积相减”判断． (2)判断向量AB →，CD →平行→无相关点→AB ∥CD(1)D [A 中，－2×6－3×4≠0，B 中3×3－2×2≠0，C 中1×14－(－2)×7≠0，D 中(－3)×(－4)－2×6＝0.故选D.](2)[解] ∵AB →＝(1－(－1)，3－(－1))＝(2，4)， CD →＝(2－1，7－5)＝(1，2)．又2×2－4×1＝0， ∴AB →∥CD →.又AC →＝(2，6)，AB →＝(2，4)， ∴2×4－2×6≠0， ∴A ，B ，C 不共线， ∴AB 与CD 不重合， ∴AB ∥CD .向量共线的判定方法提醒：向量共线的坐标表达式极易写错，如写成x 1y 1－x 2y 2＝0或x 1x 2－y 1y 2＝0都是不对的，因此要理解并记熟这一公式，可简记为：纵横交错积相减．1．已知A (1，－3)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫8，12，C (9，1)，求证：A ，B ，C 三点共线． [证明] AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫8－1，12＋3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫7，72，AC →＝(9－1，1＋3)＝(8，4)，∵7×4－72×8＝0，∴AB →∥AC →，且AB →，AC →有公共点A ， ∴A ，B ，C 三点共线.它们是同向还是反向？思路点拨：法一：可利用b 与非零向量a 共线等价于b ＝λa (λ>0，b 与a 同向；λ<0，b 与a 反向)求解；法二：可先利用坐标形式的等价条件求k ，再利用b ＝λa 判定同向还是反向． [解] 法一：(共线向量定理法)k a ＋b ＝k (1，2)＋(－3，2)＝(k －3，2k ＋2)，a －3b ＝(1，2)－3(－3，2)＝(10，－4)，当k a ＋b 与a －3b 平行时，存在唯一实数λ， 使k a ＋b ＝λ(a －3b )．由(k －3，2k ＋2)＝λ(10，－4)，所以⎩⎪⎨⎪⎧k －3＝10λ，2k ＋2＝－4λ，解得k ＝λ＝－13.当k ＝－13时，k a ＋b 与a －3b 平行，这时k a ＋b ＝－13a ＋b ＝－13(a －3b )，因为λ＝－13<0，所以k a ＋b 与a －3b 反向．法二：(坐标法)由题知k a ＋b ＝(k －3，2k ＋2)，a －3b ＝(10，－4)，因为k a ＋b 与a －3b 平行，所以(k －3)×(－4)－10×(2k ＋2)＝0， 解得k ＝－13.这时k a ＋b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－13－3，－23＋2＝－13(a －3b )，所以当k ＝－13时，k a ＋b 与a －3b 平行，并且反向．利用向量平行的条件处理求值问题的思路： (1)利用共线向量定理a ＝λb (b ≠0)列方程组求解． (2)利用向量平行的坐标表达式x 1y 2－x 2y 1＝0直接求解．2．已知向量a ＝(1，2)，b ＝(2，－2)，c ＝(1，λ)，若c ∥(2a ＋b )，则λ＝ ． 12[由题可得2a ＋b ＝(4，2)， ∵c ∥(2a ＋b )，c ＝(1，λ)， ∴4λ－2＝0，即λ＝12.故答案为12.]等于( )A ．3B ．－3C ．－45D ．45(2)如图所示，已知点A (4，0)，B (4，4)，C (2，6)，求AC 与OB 的交点P 的坐标．思路点拨：(1)先由a ∥b 推出sin α与cos α的关系，求tan α，再用“1”的代换求2sin αcos α.(2)要求点P 的坐标，只需求出向量OP →的坐标，由OP →与OB →共线得到OP →＝λOB →，利用AP →与AC →共线的坐标表示求出λ即可；也可设P (x ，y )，由OP →∥OB →及AP →∥AC →，列出关于x ，y 的方程组求解．(1)C [因为a ∥b ，所以cos α×1－(－2)sin α＝0，即cos α＝－2sin α，tan α＝－12，所以2sin αcos α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan αtan 2α＋1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＋1＝－45.] (2)[解] 法一：(定理法)由O ，P ，B 三点共线，可设OP →＝λOB →＝(4λ，4λ)，则AP →＝OP →－OA →＝(4λ－4，4λ)，AC →＝OC →－OA →＝(－2，6)．由AP →与AC →共线得(4λ－4)×6－4λ×(－2)＝0，解得λ＝34，所以OP →＝34OB →＝(3，3)，所以P 点的坐标为(3，3)．法二：(坐标法)设P (x ，y )，则OP →＝(x ，y )，因为OB →＝(4，4)，且OP →与OB →共线，所以x 4＝y4，即x ＝y .又AP →＝(x －4，y )，AC →＝(－2，6)，且AP →与AC →共线，则得(x －4)×6－y ×(－2)＝0，解得x ＝y ＝3，所以P 点的坐标为(3，3)．应用向量共线的坐标表示求解几何问题的步骤3.如图所示，已知△AOB 中，A (0，5)，O (0，0)，B (4，3)，OC →＝14OA →，OD →＝12OB →，AD 与BC相交于点M ，求点M 的坐标．[解] 因为OC →＝14OA →＝14(0，5)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，54，所以C ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，54.因为OD →＝12OB →＝12(4，3)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2，32，所以D ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，32. 设M (x ，y )，则AM →＝(x ，y －5)， AD →＝⎝⎛⎭⎪⎫2－0，32－5＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－72.因为AM →∥AD →，所以－72x －2(y －5)＝0，即7x ＋4y ＝20.①又CM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ，y －54，CB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4，74，因为CM →∥CB →，所以74x －4⎝ ⎛⎭⎪⎫y －54＝0，即7x －16y ＝－20.② 联立①②解得x ＝127，y ＝2，故点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫127，2.1．设P 1，P 2的坐标分别是(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，如何求线段P 1P 2的中点P 的坐标？ 提示：如图所示，∵P 为P 1P 2的中点，∴P 1P →＝PP 2→， ∴OP →－OP 1→＝OP 2→－OP →，∴OP →＝12(OP 1→＋OP 2→)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22， ∴线段P 1P 2的中点坐标是⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22.2．设P 1，P 2的坐标分别是(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，点P 是线段P 1P 2的一个三等分点，则P 点坐标是什么？提示：点P 是线段P 1P 2的一个三等分点，分两种情况：①当P 1P →＝13P 1P 2→时，OP →＝OP 1→＋P 1P →＝OP 1→＋13P 1P 2→＝OP 1→＋13(OP 2→－OP 1→)＝23OP 1→＋13OP 2→＝⎝⎛⎭⎪⎫2x 1＋x 23，2y 1＋y 23；②当P 1P →＝23P 1P 2→时，OP →＝OP 1→＋P 1P →＝OP 1→＋23P 1P 2→＝OP 1→＋23(OP 2→－OP 1→)＝13OP 1→＋23OP 2→ ＝⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋2x 23，y 1＋2y 23.3．当P 1P →＝λPP 2→时，点P 的坐标是什么？提示：∵OP →＝OP 1→＋P 1P →＝OP 1→＋λPP 2→＝OP 1→＋λ(OP 2→－OP →)＝OP 1→＋λOP 2→－λOP →， ∴OP →＝OP 1→＋λOP 2→1＋λ＝11＋λ(x 1，y 1)＋λ1＋λ(x 2，y 2) ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫11＋λx 1，11＋λy 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫λ1＋λx 2，λ1＋λy 2＝⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋λx 21＋λ，y 1＋λy 21＋λ， ∴P ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋λx 21＋λ，y 1＋λy 21＋λ. 【例4】 已知点A (3，－4)与点B (－1，2)，点P 在直线AB 上，且|AP →|＝2|PB →|，求点P 的坐标．思路点拨：点P 在直线AB 上，包括点P 在线段AB 内和在线段AB 的延长线上，因此应分类讨论．[解] 设P 点坐标为(x ，y )， |AP →|＝2|PB →|.当P 在线段AB 上时，AP →＝2PB →， ∴(x －3，y ＋4)＝2(－1－x ，2－y )，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －3＝－2－2x ，y ＋4＝4－2y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝13，y ＝0，∴P 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫13，0.当P 在线段AB 延长线上时，AP →＝－2PB →， ∴(x －3，y ＋4)＝－2(－1－x ，2－y )，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －3＝2＋2x ，y ＋4＝－4＋2y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－5，y ＝8， ∴P 点坐标为(－5，8)．综上所述，点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫13，0或(－5，8)．1．若将本例条件“|AP →|＝2|PB →|”改为“AP →＝3PB →”其他条件不变，求点P 的坐标． [解] 因为AP →＝3PB →，所以(x －3，y ＋4)＝3(－1－x ，2－y )，所以⎩⎪⎨⎪⎧x －3＝－3－3x ，y ＋4＝6－3y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝12，所以点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12.2．若将本例条件改为“经过点P (－2，3)的直线分别交x 轴、y 轴于点A ，B ，且|AB →|＝3|AP →|”，求点A ，B 的坐标．[解] 由题设知，A ，B ，P 三点共线，且|AB →|＝3|AP →|，设A (x ，0)，B (0，y )， ①点P 在A ，B 之间，则有AB →＝3AP →， ∴(－x ，y )＝3(－2－x ，3)， 解得x ＝－3，y ＝9，点A ，B 的坐标分别为(－3，0)，(0，9)． ②点P 不在A ，B 之间， 则有AB →＝－3AP →，同理，可求得点A ，B 的坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，0，(0，－9)． 综上，点A ，B 的坐标分别为(－3，0)，(0，9)或⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，0，(0，－9)．求点的坐标时注意的问题(1)设P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)．若点P 是P 1P 2的中点时，则P (x ，y )为⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22.(2)求线段P 1P 2上或延长线上的点的坐标时，不必过分强调公式的记忆，可以转化为向量问题后列出方程组求解，同时要注意分类讨论．(3)若P 1P →＝λP 1P 2→，(λ≠0) ①0＜λ＜1时，P 在线段P 1P 2上； ②λ＝1时，P 与P 2重合；③λ＞1时，点P 在线段P 1P 2延长线上；④λ＜0时，点P 在线段P 1P 2反向延长线上．1．两个向量共线条件的表示方法 已知a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2) (1)当b ≠0时，a ＝λb . (2)x 1y 2－x 2y 1＝0.(3)当x 2y 2≠0时，x 1x 2＝y 1y 2，即两向量的相应坐标成比例． 2．向量共线的坐标表示的应用两向量共线的坐标表示的应用，可分为两个方面．(1)已知两个向量的坐标判定两向量共线．联系平面几何平行、共线知识，可以证明三点共线、直线平行等几何问题．要注意区分向量的共线、平行与几何中的共线、平行的不同．(2)已知两个向量共线，求点或向量的坐标，求参数的值，求轨迹方程，要注意方程思想的应用，向量共线的条件，向量相等的条件等都可作为列方程的依据．1．下列说法不正确的是( )A ．若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，且a 与b 共线，则x 1x 2＝y 1y 2. B ．若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，且x 1y 2≠x 2y 1，则a 与b 不共线． C ．若A ，B ，C 三点共线，则向量AB →，BC →，CA →都是共线向量． D ．若A (3，－6)，B (－5，2)，C (6，y )三点共线，则y ＝－9.A [A 中，x 2或y 2为零时，比例式无意义，B 、C 很明显都正确；D 中AB →∥BC →，由AB →＝(－8，8)，BC →＝(11，y －2)，则－8(y －2)－8×11＝0，解得y ＝－9.∴D 正确．]2．已知两点A (2，－1)，B (3，1)，则与AB →平行且方向相反的向量a 可以是( ) A ．(1，－2) B ．(9，3) C ．(－2，4)D ．(－4，－8)D [由题意，得AB →＝(1，2)，所以a ＝λAB →＝(λ，2λ)(其中λ＜0)．符合条件的只有D 项，故选D.]3．已知平面向量a ＝(1，2)，b ＝(－2，m )，且a ∥b ，则2a ＋3b 等于 ． (－4，－8) [∵a ∥b ，∴1×m －(－2)×2＝0，∴m ＝－4，∴a ＝(1，2)，b ＝(－2，－4)， ∴2a ＋3b ＝2(1，2)＋3(－2，－4)＝(－4，－8)．]4．设O 是坐标原点，OA →＝(k ，12)，OB →＝(4，5)，OC →＝(10，k )，当k 为何值时，A ，B ，C 三点共线？[解] ∵AB →＝OB →－OA →＝(4－k ，－7)， AC →＝OC →－OA →＝(10－k ，k －12)， 又A ，B ，C 三点共线，∴由两向量平行，得(4－k )(k －12)＋7(10－k )＝0， 解得k ＝－2或k ＝11.即当k ＝－2或k ＝11时，A ，B ，C 三点共线．。
高中数学 2.3.4 平面向量共线的坐标表示教案 新人教A版必修4
精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。
读沙漠，读出了它坦荡豪放的胸怀；读太阳，读出了它普照万物的无私；读春雨，读出了它润物无声的柔情。
读大海，读出了它气势磅礴的豪情。
读石灰，读出了它粉身碎骨不变色的清白。
2、幸福幸福是“临行密密缝，意恐迟迟归”的牵挂；幸福是“春种一粒粟，秋收千颗子”的收获. 幸福是“采菊东篱下，悠然见南山”的闲适；幸福是“奇闻共欣赏，疑义相与析”的愉悦。
幸福是“随风潜入夜，润物细无声”的奉献；幸福是“夜来风雨声，花落知多少”的恬淡。
幸福是“零落成泥碾作尘，只有香如故”的圣洁。
幸福是“壮志饥餐胡虏肉，笑谈渴饮匈奴血”的豪壮。
幸福是“先天下之忧而忧，后天下之乐而乐”的胸怀。
幸福是“人生自古谁无死，留取丹心照汗青”的气节。
3、大自然的语言丰富多彩：从秋叶的飘零中，我们读出了季节的变换；从归雁的行列中，我读出了集体的力量；从冰雪的消融中，我们读出了春天的脚步；从穿石的滴水中，我们读出了坚持的可贵；从蜂蜜的浓香中，我们读出了勤劳的甜美。
4、成功与失败种子，如果害怕埋没，那它永远不能发芽。
鲜花，如果害怕凋谢，那它永远不能开放。
矿石，如果害怕焚烧（熔炉），那它永远不能成钢（炼成金子）。
蜡烛，如果害怕熄灭（燃烧），那它永远不能发光。
航船，如果害怕风浪，那它永远不能到达彼岸。
5、墙角的花，当你孤芳自赏时，天地便小了。
井底的蛙，当你自我欢唱时，视野便窄了。
笼中的鸟，当你安于供养时，自由便没了。
山中的石！当你背靠群峰时，意志就坚了。
水中的萍！当你随波逐流后，根基就没了。
空中的鸟！当你展翅蓝天中，宇宙就大了。
空中的雁！当你离开队伍时，危险就大了。
地下的煤！你燃烧自己后，贡献就大了6、朋友是什么？朋友是快乐日子里的一把吉它，尽情地为你弹奏生活的愉悦；朋友是忧伤日子里的一股春风，轻轻地为你拂去心中的愁云。
朋友是成功道路上的一位良师，热情的将你引向阳光的地带；朋友是失败苦闷中的一盏明灯，默默地为你驱赶心灵的阴霾。
高中数学 第二章 平面向量 2-3-4平面向量共线的坐标表示课件 新人教A版必修4
规律技巧 平面向量共线的两种形式可根据条件灵活选 用.
变式训练2
已知向量
→ OA
＝(k,12)，
→ OB
＝(4,5)，
→ OC
＝(－
k,10)，且A，B，C三点共线，求k.
解 解法1：∵O→A＝(k,12)，O→B＝(4,5)， O→C＝(－k,10)， ∴A(k,12)，B(4,5)，C(－k,10)． ∵A，B，C三点共线， ∴kAB＝kBC. ∴1k2－－45＝－10k－－54，k＝－23.
自 我 校 x1y2－x2y1＝0 对
思考探究 当两个非零向量共线时，通过坐标如何判断它 们是同向还是反向？
提示 当两个向量的对应坐标同号或同为零时，同向．当 两个向量的对应坐标异号或同为零时，反向．
例如：向量(1,2)与(－1，－2)反向；向量(1,0)与(3,0)同向.
名师点拨 1.对向量共线条件的理解 (1)已知 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，由 x1y2－x2y1＝0 成立， 可判断 a 与 b 共线；反之，若 a 与 b 共线，则它们的坐标满足 x1y2－x2y1＝0. (2)在讨论向量共线时，规定零向量与任一向量平行．故对 任意向量 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，有 a∥b⇔x1y2－x2y1＝0；当 x2y2≠0 时，a∥b⇔xx12＝yy12，即两向量共线的条件为相应坐标成 比例．
证明 A→B＝O→B－O→A＝(2，－2)， A→C＝O→C－O→A＝(6，－6)， ∵26＝－ －26，∴A→B∥A→C. 又∵A→B，A→C有公共点 A， ∴A，B，C 三点共线.
二 由向量共线求参数
【例 2】 已知 a＝(1,2)，b＝(－3,2)，当 k 为何值时，ka ＋b 与 a－3b 平行？平行时它们是同向还是反向？
高二数学(人教A版)必修4精品教案—2.3.4平面向量共线的坐标表示
2. 3.4 平面向量共线的坐标表示教学目标：1．复习巩固平面向量坐标的概念和平面向量的坐标运算；2．能说出平行（共线）向量充要条件的坐标表示，并会用它解决向量平行（共线）的有关问题；3．弄清向量平行和直线平行的区别．教学重点：向量平行的充要条件的坐标表示．教学难点：对平面向量共线的坐标表示的理解教学过程【提出问题】①如何用坐标表示两个共线向量?②已知a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中b≠0，且向量a、b共线，试证明：x1 y2—x2 y1= 0。
③已知a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中b≠0，且x1 y2—x2 y1= 0试证明：向量a、b共线。
【得出结论】当且仅当x1y2-x2y1=0时向量a、b(b≠0)共线.从而向量共线有两种表述形式:若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则有a∥b(b≠0)⇔a=λb⇔x1 y2—x2 y1= 0【应用示例】例1、已知a=(4,2), b=(6,y),且a∥b,求y.练习1：已知A(-1,-1),B(1,3),C(2,5),试判断A、B、C三点之间的位置关系.例2、设点P是线段P1P2上的一点,P1、P2的坐标分别是(x1,y1)、(x2,y2).(1)当点P是线段P1P2的中点时,求点P的坐标;(2)当点P是线段P1P2的一个三等分点时,求点P的坐标.练习2：①已知=(2,3),=(6,-3),点P是线段AB的三等分点，求P点坐标。
②已知A(2,3)，B（4，-3）点P在线段AB的延长线上，,求P点坐标。
例3、在△ABC中,已知点A(3,7)、B(-2,5).若线段AC、BC的中点都在坐标轴上,求点C的坐标.练习3、已知点A(1,2),B(4,5),O为坐标原点,OP=OA+t AB.若点P在第二象限,求实数t的取值范围.【课堂小结】1、复习平面向量的和、差、数乘的坐标运算。
2、学习两个向量共线的坐标表示.3、总结本节学习的数学方法和思想方法。
人教A版数学必修四第二章2.3.4《平面向量共线的坐标表示》说课课件(共18张PPT)
（2）当点P是线段P1P2的一个三等分点时， 求点P的坐标。
例8实际上给出了线段的终点坐标公式， 线段的三等分点坐标公式。在此基础上，教 科书通过“探究”，要求学生推导线段的定 比分点公式。
在解决本例的(2)时要注意三等分点有两
种可能的位置，教学时, -1) B(1,3) C(2,5)，试判 断A、B、C三点之间的位置关系。解： （略）。
例7的解答给出了判断三点共线的一种常 用方法，其实质是从同一点出发的两个向量 共线，则这两个向量的三个顶点共线，这是 从平面几何中判断三点共线的方法移植过来 的。
例8、设点P是线段P1P2上的点，P1、 P2的坐标分别是（x1，y1），（x2，y2）。
第二，谈一谈学生情况：
首先，学生已经掌握了平面几何的基本知识， 而且刚刚学习了向量的概念和简单运算，这为本节 课的学习奠定了必要的知识基础；
其次,学生对向量的物理背景有初步的了解，如
力的合成；同时学生已具备一定的数学建模能力，
能从物理背景或生活背景中抽象出数学模型，并能
进一步猜想、探讨和证明，为新课的教学提供了良
用坐标来表示呢？从而过渡到第三个环节—
—合作探究与指导应用：
3、合作探究：设a=(x1, y1),b=(x2, y2)（b 0） 其中ba由a=λb ， (x1, y1) =λ(x2, y2) 消去λ：x1y2－x2y1=0
结论：a∥b (b0)←→x1y2-x2y1=0
注意：1消去λ时不能两式相除，∵y1, y2有 可能为0， ∵b0，
考，出现不全面的解答后再引导他们讨论和
补充。
课堂练习：P100练习1，2，3，4。
4、第四个环节，归纳小结：教师引导学 生思考，通过本节课的学习，你收获了什么？ 我们已经学习了向量的坐标运算，如何用坐 标表示平面向量共线呢？
新人教A版必修4高中数学2.3.4平面向量共线的坐标表示学案
高中数学 2.3.4平面向量共线的坐标表示学案新人教A 版必修4【学习目标】1、理解平面向量的坐标的概念；2、掌握平面向量的坐标运算；3、会根据向量的坐标,判断向量是否共线.【重点难点】教学重点：平面向量的坐标运算 教学难点：向量共线的坐标表示及直线上点的坐标的求解。
【学习内容】平面向量的坐标运算一、预习导航：预习时完成下列题目,试试你的身手.(一)温故而知新：1、平面向量基本定理：如果1e ,2e 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量a ,有且只有一对实数λ1,λ2使a = .(1) 我们把 向量1e ,2e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底； (2) 基底不惟一,关键是不共线；(3) 由定理可将任一向量a 在给出基底1e ,2e 的条件下进行分解；(4) 基底给定时,分解形式 . λ1,λ2是被a ,1e ,2e 唯一确定的数量.(二)阅读课本,完成下列题目1)若11(,)a x y =22(,)b x y =,则a b += ,a b -= 语言叙述：(2)若),(y x a = 和实数λ,则=a λ(3) 若),(11y x A ,),(22y x B ,则()1212,y y x x AB --=语言描述：(三)试试你的自学能力1、已知向量a ,b 的坐标,求b a +,b a -的坐标：(1)、)4,2(-=a ,)2,5(=b(2)、)3,4(=a ,)8,3(-=b2、已知)2,3(=a ,)1,0(-=b,求b a 42+-,b a 34+的坐标3、已知A (1,2)、B (－1,3)两点的坐标,求AB ,BA 的坐标二、课堂听评：你能掌握要领,提高能力吗？例1： 已知a =(2,1),b =(－3,4),求a +b ,a －b ,3a +4b 的坐标.例2： 已知平面上三点的坐标分别为A(-2,1),B(-1,3),C (3,4),求点D 的坐标使这四点构成平行四边形四个顶点.例4：已知点A(2,3)、B(5,4)、C(7,10),若AC AB AP λ+=(λ∈R),试求λ为何值时,点P 在第三象限内?。
高中数学(2.3.4平面向量共线的坐标表示)教案新人教A版必修4
三维目标
1. 通过经历探究活动 , 使学生掌握平面向量的和、 差、实数与向量的积的坐标表示方法 . 理解
并掌握平面向量的坐标运算以及向量共线的坐标表示
.
2. 引入平面向量的坐标可使向量运算完全代数化
, 平面向在解决问题过程中要形成见数思形、 以形助数的思维习惯 , 以加深理解知识要点 , 增强应用
y2 是向量 a、 b 共线的什么条件 ? x2
活动 : 教师引导学生类比直线平行的特点来推导向量共线时的关系
. 此处教师要对探究
困难的学生给以必要的点拨 : 设 a=(x 1,y 1), b=(x 2,y 2), 其中 b≠0. 我们知道 , a、b 共线 , 当且仅
当存在实数 λ , 使 a=λ b. 如果用坐标表示 , 可写为 (x 1,y 1)= λ (x 2 ,y 2),
教师和学生一起总结 , 把上述结论用文字叙述分别为 : 两个向量和 ( 差 ) 的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和
( 差); 实数与向量的积的坐标
等于用这个实数乘原来向量的相应坐标 . 教师再引导学生找出点与向量的关系 : 将向量 AB
平移 , 使得点 A 与坐标原点 O重合 , 则平移后的 B 点位置就是 P 点 . 向量 AB 的坐标与以原点
的 P 点吗 ?标出点 P 后 , 你能总结出什么结论 ? 活动 : 教师让学生通过向量的坐标表示来进行两个向量的加、
黑板去板书步骤 . 可得 :
减运算 , 教师可以让学生到
图1 a+b=(x 1ｉ +y1j )+(x 2ｉ +y2j )=(x 1+x2) ｉ +(y 1+y2) j , 即 a+b=(x 1+x 2,y 1+y2). 同理 a- b=(x 1-x 2,y 1-y 2). 又 λ a=λ (x 1ｉ +y1j )= λ x 1ｉ +λ y1j . ∴ λa=( λ x 1, λ y1).
高中数学第二章平面向量2.3.4平面向量共线的坐标表示学案含解析新人教A版必修
学习资料2．3.4 平面向量共线的坐标表示内容标准学科素养1。
理解用坐标表示的平面向量共线的条件. 2。
能根据平面向量的坐标，判断向量是否共线.3。
掌握三点共线的判断方法. 应用直观想象提升数学运算发展逻辑推理授课提示：对应学生用书第60页[基础认识］知识点平面向量共线的坐标表示阅读教材P98～99,思考并完成以下问题根据向量的坐标运算,向量共线如何表示？已知下列几组向量：①a＝（0，3），b＝（0,6）；②a＝(2,3），b＝(4，6);③a＝(－1，4)，b＝(3,－12）;④a＝错误!，b＝错误!.（1)将每组向量画在坐标系中，发现a与b有什么关系？提示：①②中a与b同向，③④中a与b反向．(2)每组中的a与b共线吗？提示:共线．知识梳理(1）设a＝(x1，y1)，b＝（x2，y2），其中b≠0，a，b共线，当且仅当存在实数λ，使a＝λb。
(2)如果用坐标表示,可写为(x1，y1)＝λ（x2,y2），当且仅当x1y2－x2y1＝0时，向量a，b（b≠0）共线．注意:对于(2）的形式极易写错，如写成x1y1－x2y2＝0或x1x2－y1y2＝0都是不对的，因此要理解并熟记这一公式,可简记为：纵横交错积相减．思考若a＝（x1，y1)，b＝(x2，y2),a∥b时，一定有错误!＝错误!吗？提示:不一定，当y1＝0或y2＝0时，不成立．[自我检测］1．已知向量a＝(2，－1），b＝（x－1，2)，若a∥b，则实数x的值为(）A．2B．－2C．3D．－3答案:D2．与a＝（12，5)平行的单位向量为(）A.错误!B。
错误!C。
错误!或错误!D.错误!答案:C授课提示：对应学生用书第60页探究一向量共线的判定与证明［教材P101习题第6题]已知A(－2，－3），B(2，1)，C(1，4）,D(－7,－4)．试问错误!与错误!是否共线?解析:错误!＝(2,1)－（－2，－3)＝（4，4),错误!＝(－7，－4）－（1，4)＝（－8，－8)，∵44＝错误!.∴错误!与错误!共线．[例1］（1)下列各组向量中，共线的是(）A．a＝（－2，3），b＝(4，6)B．a＝（2，3)，b＝(3，2）C．a＝（1，－2)，b＝(7,14）D．a＝(－3，2）,b＝（6，－4）(2）在下列向量组中，可以把向量a＝(－3,7）表示出来的是（）A．e1＝（0，1)，e2＝(0，－2)B．e1＝（1，5),e2＝(－2,－10）C．e1＝(－5,3），e2＝(－2，1）D．e1＝（7，8）,e2＝（－7，－8)［解析](1）利用x1y2－x2y1＝0判定．（2)只有C不共线，可作为基底．[答案］(1）D（2）C方法技巧向量共线的判定方法跟踪探究1。
高中数学必修4人教A234平面向量共线的坐标表示(教学案)共5页
2. 3.4平面向量共线的坐标表示【教学目标】1．会推导并熟记两向量共线时坐标表示的充要条件； 2．能利用两向量共线的坐标表示解决有关综合问题。
3．通过学习向量共线的坐标表示，使学生认识事物之间的相互联系，培养学生辨证思维能力.【教学重难点】教学重点： 向量共线的坐标表示及直线上点的坐标的求解． 教学难点： 定比分点的理解和应用． 【教学过程】一、〖创设情境〗前面，我们学习了平面向量可以用坐标来表示，并且向量之间可以进行坐标运算。
这就为解决问题提供了方便。
我们又知道共线向量的条件是当且仅当有一个实数λ使得b =λa，那么这个条件是否也能用坐标来表示呢？因此，我们有必要探究一下这个问题：两向量共线的坐标表示。
二、〖新知探究〗思考：共线向量的条件是当且仅当有一个实数λ使得a=λb ，那么这个条件是否也能用坐标来表示呢？设a=(x 1, y 1) b =(x 2, y 2)（ b 0） 其中b a由a=λb ， (x 1, y 1) =λ(x 2, y 2) 2121y y x x 消去λ：x 1y 2－x 2y 1=0结论：a ∥b (b0) x 1y 2-x 2y 1=0注意：1 消去λ时不能两式相除，∵y 1, y 2有可能为0， ∵b0，∴x 2, y 2中至少有一个不为0. 2 充要条件不能写成2211x y x y ∵x 1, x 2有可能为0. 3 从而向量共线的充要条件有两种形式：a ∥b (b0)01221y x y x三、〖典型例题〗例1. 已知(4,2)a r ，(6,)b y r，且//a b r r ，求y ． 解：∵//a b r r，∴4260y ．∴3y ．点评：利用平面向量共线的充要条件直接求解. 变式训练1：已知平面向量)2,1( ，),2(m ，且//，则32 等于_________.例2: 已知(1,1)A ，(1,3)B ，(2,5)C ，求证:A 、B 、C 三点共线．证明：(1(1),3(1))(2,4)AB u u u r ，(2(1),5(1))(3,6)AC u u u r，又26340 ，∴//AB AC u u u r u u u r.∵直线AB 、直线AC 有公共点A ， ∴A ，B ，C 三点共线。
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三、讲解范例：例1已知 =(4，2)， =(6，y)，且 ∥ ，求y.
例2已知A(-1，-1)，B(1，3)，C(2，5)，试判断A，B，C 三点之间的位置关系.
例3设点P是线段P1P2上的一点，P1、P2的坐标分别是(x1，y1)，(x2，y2).
学生思考后回答
1.已知a=(4，2)，b=(6，y)，且a∥b，则y= .
2.已知a=(1，2)，b=(x，1)，若a+2b与2a-b平行，则x的值为.
3.已知□ABCD四个顶点的坐标为A(5，7)，B(3，x)，C(2，3)，D(4，x)，则x=
高考链接
若 =i+2j， =(3-x)i+(4-y)j(其中i、j的方向分别与x、y轴正方向相同且为单位向量). 与 共线，则x、y的值可能分别为（）
A.6B.5 C.7D.8
4、课堂小结1.教师引导学生思考
通过本节课的学习，你都学习了哪些数学知识:（1）平面向量共线的坐标表示；（2）会用平面向量平行的充要条件的坐标形式证明三点共线；（3）平面上两点间的中点坐标公式及定点坐标公式；
设计的提问既与本节内容有密切关系，又有利于引入新课，同时引导学生为学生理解新知清除了障碍，有意识地培养学生分析理解问题的能力。
高考链接
（高考考点）
教学重点
向量共线的坐标表示及 直线上点的坐标的求解；
教学重点
定比分点的理解和应用。
教学方法与
教学准备
多媒体、实物投影仪,三角板
教学设计
教 学内容
教学策略
学生活动和效果预测
（1）、复习回顾
1、向量共线充要条件:
2.平面向量的坐标运算：（1）.已知a=(x1,y1),b=(x2,y2) a+b=(x1+x2,y1+y2). a-b =(x1-x2,y1-y2).λa=λ(x1ｉ+y1 j)=λx1ｉ+λy1j.∴λa=(λx1,λy1).（2）.一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标.
(1)当点P是线段P1P2的中点时，求点P的坐标；
(2)当点P是线段P1P2的一个三等分点时，求点P的坐标.
例4若向量 =(-1，x)与 =(-x，2)共线且方向相同，求x
解：∵ =(-1，x)与 =(-x，2)共线∴(-1)×2-x•(-x)=0
∴x=± ∵ 与 方向相同∴x=
例5已知A(-1，-1)，B(1，3)，C(1，5)，D(2，7)，向量 与 平行吗？直线AB与平行于直线CD吗？
2.3.4平面向量共线的坐标表示
教
学
目
标
知识目标
（学习目标）
（1）理解平面向量的坐标的概念；
（2）掌握平面向量的坐标运算；
（3）会根据向量的坐标，判断向量是否共线.
能力目标
通过学习向量共线的坐标表示，使学生认识事物之间的相互联系，培养学生辨证思维能力；
情感态度价值观
在解决问题过程中要形成见数思形、以形助数的思维习惯,以加深理解知识要点,增强应用意识.
A.1，2B.2，2 C.3，2 D.2，4
板
书
设
计
标题
1、复习回顾
2、归纳探究投影区
3、实例分析
4、课堂小结
5、课后作业
教
学
反
思
本节课学生学的较轻松，公式需要强化。打算每节课都提问此公式，学生学习热情也很浓。
解：∵ =(1-(-1)，3-(-1))=(2，4)， =(2-1，7-5)=(1，2)
又∵2×2-4×1=0∴ ∥
又∵ =(1-( -1)，5-(-1))=(2，6)， =(2，4)，2×4-2×60∴ 与 不平行
∴A，B，C不共线∴AB与CD不重合∴AB∥CD
课堂练习：
1.若a=(2，3)，b=(4，-1+y)，且a∥b，则y=（）
以提问的方式完成对旧知识的复习巩固，从而起到引入新课的作用。
学生回答
教学内容
教学策略
学生活动和效果预测
二、讲解新课：
∥ ( )的充要条件是x1y2-x2y1=0
设 =(x1，y1)， =(x2，y2)其中 .
由 =λ 得，(x1，y1) =λ(x2，y2) 消去λ，x1y2-x2y1=0
探究：（1）消去λ时不能两式相 除，∵y1，y2有可能为0，∵ ∴x2，y2中至少有一个不为 0
思考:两个向量共线的条件是什么？如何用坐标表示两个共线向量
消去λ时能不能两式相除？
通过问题的形式调动学生积极思考、主动探索、归纳总结；从而得到用 坐标表示两个共线向量的结论；同时增加学生在学习中的获取知识的快乐。
通过问题的形式调动学生积极思考、主动探索、归纳总结；从而得到用坐标表示两个共线向量的结论；同时增加学生在学习中的获取知识的快乐。
充分让学生思考,实际上此题给出了线段的中点坐标公式和线段三等分点坐标公式.并提出这一结论可以推广吗?让学生共同讨论,一起探究,可按照求中点坐标的解题思路类比推广。
小节是一堂课内容的概括和 总结，是必不可少的一个环节，有利于使学生把握本节所学的重要内容，让学生总结，是检查学生的收获情况，是更进一步培养学生的归纳总结能力。