导数计算公式

导数公式

一、基本初等函数的导数公式

已知函数：(1)y ＝f (x )＝c ；(2)y ＝f (x )＝x ；(3)y ＝f (x )＝x 2；(4)y ＝f (x )＝1

x ；(5)y ＝f (x )＝x .

问题：上述函数的导数是什么？

提示：（1）∵Δy Δx ＝f (x ＋Δx )－f (x )Δx ＝c －c Δx ＝0，∴y ′＝lim Δx →0 Δy

Δx ＝0.

2)(x )′＝1，(3)(x 2)′＝2x ，(4)⎝ ⎛⎭⎪⎫

1x ′＝－1x 2，(5)(x )′＝12x

. 函数(2)(3)(5)均可表示为y ＝x α(α∈Q *)的形式，其导数有何规律？

提示：∵(2)(x )′＝1·x 1－1，(3)(x 2)′＝2·x 2－1，(5)(x )′＝(x 1

2

)′＝12x

112

－＝

12x

，∴(x α)′＝αx α－1.

基本初等函数的导数公式

二、导数运算法则

已知f (x )＝x ，g (x )＝1

x .

问题1：f (x )，g (x )的导数分别是什么？

问题2：试求Q (x )＝x ＋1x ，H (x )＝x －1

x 的导数． 提示：∵Δy ＝(x ＋Δx )＋1

x ＋Δx －⎝ ⎛

⎭⎪⎫x ＋1x ＝Δx ＋－Δx x (x ＋Δx )

， ∴Δy Δx ＝1－1x (x ＋Δx )，∴Q ′(x )＝lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0 ⎣⎢

⎡⎦⎥⎤1－1x (x ＋Δx )＝1－1x 2.同理H ′(x )＝1＋1

x 2.

问题3：Q (x )，H (x )的导数与f (x )，g (x )的导数有何关系？ 提示：Q (x )的导数等于f (x )，g (x )导数的和，H (x )的导数等于f (x )，g (x )导数的差． 导数运算法则

1．[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )

2．[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )

3.⎣⎢⎡⎦⎥⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2(g (x )≠0)

题型一 利用导数公式直接求导

[例1] 求下列函数的导数：(1)y ＝10x ；(2)y ＝lg x ；(3)x y 2

1log =；

(4)y ＝4

x 3；(5)12cos 2sin 2

-⎪⎭⎫ ⎝⎛

+=x x y .

[解]

(1)y ′＝(10x )′＝10x ln 10；(2)y ′＝(lg x )′＝

1

x ln 10；

(3)y ′＝

1

x ln 12＝－1x ln 2；(4)y ′＝(4x 3)′＝344x ；(5)∵y ＝⎝ ⎛

⎭⎪⎫sin x 2＋cos x 22－1＝sin 2x 2＋2sin x 2cos x 2＋cos 2

x 2－1＝sin x ，∴y ′＝(sin x )′＝cos x .

练习 求下列函数的导数：

(1)y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1e x ；(2)y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫110x ；(3)y ＝lg 5；(4)y ＝3lg 3x ；(5)y ＝2cos 2x 2－1. 解：(1)y ′＝⎣⎢

⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1e x ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1e x ln 1e ＝－1e x ＝－e －x ；(2)y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫110x ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫110x ln 1

10＝－ln 10

10

x ＝－10－x ln 10；(3)∵y ＝lg 5是常数函数，∴y ′＝(lg 5)′＝0； (4)∵y ＝3lg 3

x ＝lg x ，∴y ′＝(lg x )′＝1x ln 10；(5)∵y ＝2cos 2x 2－1＝cos x ， ∴y ′＝(cos x )′＝－sin x .

题型二 利用导数的运算法则求函数的导数 [例2] 求下列函数的导数： (1)y ＝x 3·e x ；(2)y ＝x －sin

x 2cos x 2；(3)y ＝x 2

＋log 3x ；(4)y ＝e x ＋1e x －1.

[解] (1)y ′＝(x 3)′e x ＋x 3(e x )′＝3x 2e x ＋x 3e x ＝x 2(3＋x )e x . (2)∵y ＝x －12sin x ，∴y ′＝x ′－12(sin x )′＝1－1

2cos x . (3)y ′＝(x 2＋log 3x )′＝(x 2)′＋(log 3x )′＝2x ＋1

x ln 3. (4)y ′＝(e x ＋1)′(e x －1)－(e x ＋1)(e x －1)′

(e x －1)2

＝

e x (e x －1)－(e x ＋1)e x

(e x －1)2

＝

－2e x

(e x －1)2

.

练习 求下列函数的导数：

(1)y ＝cos x x ；(2)y ＝x sin x ＋x ；(3)y ＝1＋x 1－x ＋1－x 1＋x ；(4)y ＝lg x －1

x 2.

解：(1)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x x ′＝(cos x )′·x －cos x ·(x )′x 2＝－x ·sin x －cos x x 2＝－x sin x ＋cos x x 2

.

(2)y ′＝(x sin x )′＋(x )′＝sin x ＋x cos x ＋

12x .

(3)∵y ＝(1＋x )21－x

＋

(1－x )21－x

＝2＋2x

1－x ＝41－x －2，∴y ′＝⎝ ⎛⎭

⎪⎫

41－x －2′＝－4(1－x )′(1－x )2

＝

4

(1－x )2

.

(4)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫lg x －1x 2′＝(lg x )′－⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2′＝1x ln 10＋2x 3.

题型三 导数几何意义的应用

[例3] (1)曲线y ＝－5e x ＋3在点(0，－2)处的切线方程为________． (2)在平面直角坐标系xOy 中，点P 在曲线C ：y ＝x 3－10x ＋13上，且在第一象限内，已知曲线C 在点P 处的切线的斜率为2，则点P 的坐标为________．

[解析] (1)y ′＝－5e x ，∴所求曲线的切线斜率k ＝y ′|x ＝0＝－5e 0＝－5，

∴切线方程为y －(－2)＝－5(x －0)，即5x ＋y ＋2＝0.

(2)设点P 的坐标为(x 0，y 0)，因为y ′＝3x 2－10，所以3x 20－10＝2，解得x 0＝±2.又点P 在第一象限内，所以x 0＝2，又点P 在曲线C 上，所以y 0＝23－10×2＋13＝1，所以点P 的坐标为(2,1)．(1)5x ＋y ＋2＝0 (2)(2,1)

练习 若曲线f (x )＝a cos x 与曲线g (x )＝x 2＋bx ＋1在交点(0，m )处有公切线，则a ＋b ＝________.

解析：f ′(x )＝－a sin x ，g ′(x )＝2x ＋b ，