新教材2020-2021学年北师大版高中数学第二册课件-7-正切函数

[解]
∵y＝tan |x|＝t－antaxn，xx，≠xk≠π＋kππ2＋，π2，x≥x0<，0，k∈k∈ZZ，.
∴当 x≥0 时，函数 y＝tan|x|在 y 轴右侧的图象即为 y＝tan x 在 y
轴右侧的图象．
当 x<0 时，y＝tan |x|在 y 轴左侧的图象为 y＝tan x 在 y 轴右侧的
第一章 三角函数
§7 正切函数
学习目标 1.理解任意角的正切函数的定义．
核心素养
2．能画出 y＝tan x，x≠π2＋kπ，k∈Z 的图象．(重 1. 通过正切函数概念的学 习，培养数学抽象素养．
点) 2．通过正切函数的图象与性
3．理解正切函数的定义域、值域、周期性、奇 质的应用，培养数学运算与
偶性，及其在区间－π2，π2内的单调性．(重点) 逻辑推理素养.
4．正切函数诱导公式的推导及应用．(难点)
自主 预习 探新 知
1．正切函数的定义 在直角坐标系中，如果角
α
满足：α∈R，α≠
π2＋kπ(k∈Z)
，
且角 α 的终边与单位圆交于点 P(a，b)，那么比值ba叫作角 α 的正切 函数，记作 y＝tan α ，其中 α∈R， α≠π2＋kπ(k∈Z) ．
1．若将例 3 中的函数变为“f(x)＝2|tan(－x)|”，则它的最小正 周期是多少？
[解] f(x)的最小正周期不变还是 π.
2．例 3 中的条件不变，求 f(x)的单调区间．
[解] ∵y＝tan x 在kπ－π2，kπ＋π2，k∈Z 上是递增的，∴f(x)在 kπ－π2，kπ＋π2，k∈Z 上是递减的．
D．2kπ，0，k∈Z
C [y＝tan x 的图象及其渐近线与 x 轴的交点都是对称中心．]
2．函数 f(x)＝tanx＋π4的单调递增区间为(
)
A．kπ－π2，kπ＋π2，k∈Z B．(kπ，(k＋1)π)，k∈Z
C．kπ－34π，kπ＋π4，k∈Z D．kπ－π4，kπ＋34π，k∈Z
C [由 kπ－π2<x＋π4<kπ＋π2，k∈Z.解得 kπ－34π<x<kπ＋π4，k∈Z 故选 C．]
(2)正弦、余弦函数的图象是连续的，定义域为 R，正切函数的
图象是不连续的，定义域为xx∈R，x≠π2＋kπ，k∈Z
.
(3)正弦、余弦函数均是既有递增区间又有递减区间，而正切函
数在每一个区间kπ－π2，kπ＋π2，k∈Z 上都是递增的．
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)正切函数为定义域上的增函数．
3．正切函数的图象与性质 图象
性质 定义域
xx∈R，x≠π2＋kπ，k∈Z
性质
值域 奇偶性 周期性
单调性
R 奇函数 周期为__kπ_(_k_∈__Z_，__k_≠__0_)__，最小正周期为π 在 kπ－π2，kπ＋π2，k∈Z 上是增加的
对称性
该图象的对称中心为__k_2π_，__0__，__k_∈__Z_____
[跟进训练]
1．用三角函数的定义证明：tan
α＝csoins
α α.
[证明] 设点 P(u，v)是角 α 终边上的与单位圆的交点， 由三角函数的定义得，tan α＝vu＝csoins αα.
正切函数的图象
【例 2】 作出函数 y＝tan|x|的图象，判断函数的奇偶性及周期 性.
[思路点拨] 去掉绝对值号，先作出 x≥0 时的图象，再利用图 象变换作出 x<0 时的图象．
3．若角 θ 的终边经过点 A－45，m，且 tan θ＝34，则 m＝________ . －35 [由 tan θ＝yx＝－m45＝34. ∴m＝－35.]
4．函数 y＝tan(2x＋θ)θ<π2图象的一个对称中心为π3，0，求 θ 的值．
[解] 因为函数 y＝tan(2x＋θ)的一个对称中心为π3，0， ∴2·π3＋θ＝k2π，k∈Z.∴θ＝k2π－23π，k∈Z. 又∵－π2<θ<π2， ∴当 k＝2 时，θ＝π3；当 k＝1 时，θ＝－π6. ∴满足题意的 θ 为π3或－π6.
思考：1.设角 α 的终边与单位圆交于点 P(a，b)，那么ba何时有意 义？正切函数与正弦、余弦函数有怎样的关系？
提示：当 a≠0 时，ba有意义．tan α＝csoins αα，α∈R，α≠ π2＋kπ(k∈Z)．
2．正切函数的诱导公式 tan(kπ＋α)＝tan α(k∈Z) tan(－α)＝－tan α tan(π＋α)＝tan α tan(π－α)＝－tan α tanπ2＋α＝－tan1 α tanπ2－α＝tan1 α
3．例 3 中的条件不变，求 f(x)在π4，π2上的值域.
[解] f(x)在π4，π2上单调递减， 故 x＝π4时，f(x)取最大值，f(x)max＝－2， 所以，f(x)在π4，π2上的值域是－∞，－2.
对于形如 y＝Atan(ωx＋φ)A，ω，φ 为非零常数的函数性质和图 象的研究，应以正切函数的性质与图象为基础，运用整体思想和换元 法求解.如果 ω<0，一般先利用诱导公式将 x 的系数化为正数，再进 行求解.
课时 分层 作业
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()
(2)存在区间(a，b)，使正切函数 y＝tan x 单调递减． ( )
(3)若 x 是第一象限的角，则 y＝tan x 是增函数．
()
(4)正切函数 y＝tan x 的对称中心为(kπ，0)，k∈Z． ( )
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)×
2．若角 α 的终边上有一点 P(2x－1,3)，且 tan α＝15，则 x 的值为( )
课堂 小结 提素 养
1．作正切曲线简图时，只需先作出一个周期中的两条渐近线 x ＝－π2，x＝π2，然后描出三个点(0,0)，π4，1，－π4，－1，用光滑的 曲线连接得到一条曲线，再平移至各个单调区间内即可．
2．正切函数与正弦、余弦函数都是三角函数，但应用它们的性 质时应注意它们的区别．
(1)正弦、余弦函数是有界函数，值域为[－1,1]，正切函数是无 界函数，值域为 R.
思考：2.能否说正切函数在整个定义域内是增函数？
提示：不能．正切函数 y＝tan x 在每段区间kπ－π2，kπ＋π2，k∈Z 上是增函数，但不能说正切函数在其整个定义域内是增函数．
1．函数 y＝tan x 的对称中心坐标为( )
A．kπ，0，k∈Z
B．k2π＋π2，0，k∈Z
C．k2π，0，k∈Z
图象关于 y 轴对称的图象，如图所示．
由图象知，函数 y＝tan|x|是偶函数，但不是周期函数．
作正切函数的图象时，先画一个周期的图象，再把这一图象向左、 右平移.从而得到正切函数的图象，通过图象的特点，可用“三点两 线法”，这三点是－π4，－1，0，0，π4，1，两线是直线 x＝±π2为 渐近线.
[跟进训练] 2．作出函数 y＝tan x的图象，并根据图象判断其单调区间、奇 偶性．
[解]
由
y＝tan
x 得
，
y＝t－antaxn，xk，π≤－xπ2<＋kπk＋π<π2x，<kkπ∈，Zk∈，Z.
其图象如图．
由图象可知， 函数 y＝|tan x|是偶函数，单调递增区间为kπ，π2＋kπ，k∈Z， 单调递减区间为－π2＋kπ，kπ，k∈Z.
A．7
B．8
wk.baidu.com
C．15
D．54
B [由正切函数的定义知 tan α＝2x－3 1＝51，解得 x＝8.]
3．函数 y＝tan 2x 的定义域为________.
xx≠k2π＋π4，k∈Z
[由正切函数的定义知，若使 y＝tan 2x
有意义，则 2x≠kπ＋π2(k∈Z)．解得 x≠k2π＋π4(k∈Z)．]
4．函数 y＝tan x，x∈0，π4的值域是________．
[0,1] [函数 y＝tan x 在0，π4上是递增的，所以 ymax＝tanπ4＝1， ymin＝tan 0＝0.]
5．角 α 的终边经过点 P(a，4)且 cos α＝－35，求 tan α 的值． [解] 由已知可知点 P 在第二象限，∴a<0. ∵cos α＝－35，∴ a2a＋16＝－35，解得 a＝－3， ∴tan α＝－43.
合作 探究 释疑 难
正切函数的概念
【例 1】 (1)已知点 P－2a，3a是角 θ 终边上的异于原点的一 点，求 tan θ；
(2)已知
Px，－
23是角
α
终边上的一点，且
tan
α＝－
3，求 x
的值．
[思路点拨] (1)直接利用正切函数的定义求解；(2)根据正切函数
的定义列出关于 x 的方程，求解即可．
[解] (1)由题意知 a≠0，∴tan θ＝－3a2a＝－32. (2)由正切函数的定义得，tan α＝－x23＝－ 2x3，又 tan α＝－ 3， 则－ 2x3＝－ 3，解得 x＝12.
1．解决本题的关键是熟记正切函数的定义，即 tan α＝ba. 2．已知角 α 终边上的一点 Ma，ba≠0，求该角的正切函数值， 或者已知角 α 的正切值，求角 α 终边上一点的坐标，都应紧扣正切函 数的定义求解．
正切函数的性质
【例 3】 已知 f(x)＝2tan(－x). (1)判断 f(x)在 x∈－π3，π3上的奇偶性； (2)求 f(x)的最小正周期． [思路点拨] (1)通过 f(－x)与 f(x)的关系判断奇偶性；(2)由正切 函数图象的特点可判断函数的最小正周期．
[解] (1)∵f(x)＝2tan(－x)＝－2tan x，x∈－π3，π3， ∴f(－x)＝－2tan(－x)＝2tan x＝－f(x)．又定义域－π3，π3关于原 点对称， ∴f(x)为奇函数． (2)f(x)的最小正周期为 π.