高考数学考前回扣教材概率与统计

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2017 届高考数学考前回扣教材 - 概率与
回扣 9 概率与 1. 牢看法与公式 (1) 概率的算公式①古典概型的概率
算公式 P(A) ＝事件 A 包括的基本领件数 m基本领件
数 n；②互斥事件的概率算公式 P(A∪B)＝ P(A) ＋P(B) ；③ 立
事件的概率算公式 P(A) ＝1－P(A)；④几何概型的概率算公式
P(A) ＝构成事件 A 的地域度面或体的所有果所构成的地域度面
或体抽方法随机抽、分抽
、系抽 . ①沉着量 N的体中抽取容量 n 的本，每个个体被抽到的概
率都 nN；②分抽上就是按比率抽，即
按各个体数占体的比确立各抽取的本容量. (3) 中四个数据特色①众数：在本数据中，出次数最多的那个数据. ②中位数：在本数据中，将数据按大小摆列，位于最中的数据. 如果数据的个数偶数，就取中两个数据的均匀数作中位数. ③平均数：本数据的算均匀数，即 x＝1n(x1 ＋x2＋⋯ xn).④方差与准差方差：s2＝1n[(x1－x)2＋(x2－x)2＋⋯＋(xn－x)2].
准差： s ＝－＋－＋⋯＋－八公式①失散型随机量的分布列的两个性Ⅰ.pi≥0(i＝1，
2，⋯， n) ；Ⅱ .p1 ＋p2＋⋯＋ pn＝1. ②均公式 E(X) ＝x1p1＋x2p2
＋⋯＋ xnpn. ③均的性Ⅰ.E(aX＋b)＝aE(X)＋b；Ⅱ.若X～B(n，p)， E(X) ＝np；Ⅲ. 若 X 依照两点分布， E(X) ＝p. ④方差公式
D(X)＝[x1 －E(X)]2?p1 ＋ [x2 －E(X)]2?p2 ＋⋯＋ [xn －E(X)]2?pn ，
准差方差的性Ⅰ.D(aX＋b)＝a2D(X)；Ⅱ.若X～B(n，p) ， D(X)＝np(1 －p) ；Ⅲ. 若 X 依照两点分布，D(X)＝p(1 －p).
⑥独立事件同生的概率算公式 P(AB) ＝P(A)P(B). ⑦独立重复的概
率算公式 Pn(k) ＝Cknpk(1－p)n －k. ⑧条件概率公式＝活用定理与
(1) 直方的三个 P(B|A)
①小方形的面＝距× 率距＝率.②各小方形的面
之和等于 1. ③小方形的高＝率距，所有小方形高的和1距 . (2) 性回方程 y^ ＝b^x ＋a^必定本点的中心 (x ，y). (3)
利用随机量 K2＝－＋＋＋＋
来判断“两个分量相关系”的方法称独立性.假如K2
的察看值 k 越大，说明“两个分类变量相关系”的可能性越大 . (4) 假如
随机变量 X 依照正态分布，则记为 X～N(μ，σ2). 满足正态分布的三个
基本概率的值是：① P( μ－σ<X≤μ＋σ) ＝0.682 6 ；②P(μ－
2σ<X≤μ＋2σ2) ＝0.954 4 ；③ P(μ－3σ<X≤ μ＋3σ)
＝0.997 4. 1. 应用互斥事件的概率加法公式，必定要注意第一确立各事
件能否互相互斥，此后求出各事件分别发生的概率，再乞降 . 2.
正确差异互斥事件与对峙事件的关系：对峙事件是互斥事件，是互斥中的特别状况，但互斥事件不用然是对峙事件，“互斥”是“对峙”
的必需不充分条件 . 3. 混淆频率分布条形图和频率分布直方图，误把
频率分布直方图纵轴的几何意义看作频率，以致样本数据的频率求错.
4.要注意概率 P(A|B) 与 P(AB)的差异 (1) 在 P(A|B) 中，事件 A，B 发
生有时间上的差异， B先 A 后；在 P(AB)中，事件 A，B同时发生 . (2) 样本空间不同样，在P(A|B) 中，事件 B成为样本空间；在P(AB)中，样本空间仍为Ω，因此有 P(A|B) ≥P(AB). 5. 易忘判断随机变量能否服从二项分布，盲目使用二项分布的均值和方差公式计算致误. 1.某学校有男学生 400 名，女学生 600 名. 为认识男女学生在学习兴趣与业
余喜好方面能否存在明显差异，拟从全体学生中抽取男学生40 名，女学生 60 名进行检查，则这类抽样方法是()A. 抽签法 B.随机数法 C. 系统抽样法 D. 分层抽样法答案 D 解析整体由男生和女
生构成，比率为400∶600＝2∶3，所抽取的比率也是2∶3，故拟从全体学生中抽取100 名学生进行检查，采纳的抽样方法是分层抽样法，应选 D. 2.扔掷两颗骰子，获得其向上的点数分别为m和 n，则复数(m＋ni)(n－mi) 为实数的概率是答案
C 解析扔掷两颗骰子，获得其向上的点数分别为m和 n，记作(m，
n)，共有 6×6＝ 36( 种) 结果 .(m ＋ni)(n －mi) ＝ 2mn＋(n2 －m2)i 为实数，应满足 m＝n，有 6 种状况，因此所求概率为 636＝16，应选 C. 3.
一个袋子中有 5 个大小同样的球，此中 3 个白球 2 个黑球，现从袋中
任意拿出一个球，拿出后不放回，此后再从袋中任意拿出一个球，则
第一次为白球、第二次为黑球的概率为 ( ) A.35 B.310 C.12 D.625 答案 B 解析设 3 个白球分别为 a1，a2，a3，2 个黑球分别为 b1，b2，则先后从中拿出 2 个球的所有可能结果为 (a1 ， a2) ， (a1 ，a3) ，
(a1 ，b1) ，(a1 ，b2) ，(a2 ，a3) ，(a2 ，b1) ，(a2 ，b2) ，(a3 ，b1) ，(a3 ，b2) ，(b1 ，b2) ，(a2 ，a1) ，(a3 ，a1) ，(b1 ，a1) ，(b2 ，a1) ，(a3 ，a2) ，(b1 ，a2) ，(b2 ，a2) ，(b1 ，a3) ，(b2 ，a3) ，(b2 ，b1) ，共 20 种. 此中满足第一次为白球、第二次为黑球的有 (a1 ，b1) ，(a1 ，b2) ，(a2 ，b1) ，(a2 ，b2) ，(a3 ，b1) ，(a3 ，b2) ，共 6 种，故所求概率为 620＝310. 4. 为认识某社区居民的家庭年收入与年支出的关
系，随机检查了该社区 5 户家庭，获得以下统计数据表：收入x(万元支出y(万元
依据上表可得线性回归方程y^ ＝b^x＋a^，此中 b^＝0.76 ，a^＝y－
b^x. 据此预计，该社区一户年收入为15 万元家庭的年支出为万元万元万元万元答案 B 解析由题意知， x＝8.2 ＋8.6 ＋10.0 ＋11.3 ＋11.95 ＝10， y ＝6.2 ＋
＋8.0 ＋8.5 ＋9.85 ＝8，∴a^ ＝ 8－0.76 ×10＝ 0.4 ，∴当 x＝15 时，y^ ＝0.76 ×15＋ 0.4 ＝11.8( 万元 ). 5. 设 X～N(1，σ2) ，其正态分布密度曲线以以下列图，且 P(X≥3) ＝0.022 8 ，那么向正方形 OABC中
随机扔掷 10 000 个点，则落入暗影部分的点的个数的预计值为 ( ) 附：( 随机变量ξ依照正态分布 N(1，σ2) ，则 P(μ－σ<ξ≤μ＋
σ) ＝68.26%，P(μ－2σ<ξ≤μ＋2σ) ＝95.44%)() A.6 038
B.6 587
C.7 028
D.7 539答案 B 解析由题意知，P(0<X≤1)＝1－12×0.682 6 ＝ 0.658 7 ，则落入暗影部分的点的个数的预计值为10000×0.658 7＝6 587. 应选 B. 6. 从 1，3，5，7，9 这五个数中，每次拿出两个不同样的数分别记为 a，b，共可获得 lg a －lg b 的不同样
值的个数是 (答案 C 解析因为lg a
－l g b ＝lgab(a>0 ，b>0) ，从 1，3，5，7，9 中任取两个作为 ab 有
A25＝20 种，又 13 与 39 同样， 31 与 93 同样，∴ lg a －lg b 的不同
样值的个数有 A25－2＝20－2＝18，选 C. 7. 甲、乙两同学用茎叶图记
录高三前 5 次数学测试的成绩，以以下列图，他们在解析比较成绩变化
时，发现乙同学成绩的一个数字看不清楚了，若已知乙的均匀成绩低于甲的均匀成绩，则看不清楚的数字为 ( ) A.0 B.3 C.6 D.9 答
案 A 解析设看不清的数字为 x，甲的均匀成绩为 99＋100＋101
＋102＋1035＝101，因此 93＋94＋97＋110＋＋，x<1，
因此 x＝0. 故 A. 8. 在一本数据 (x1 ，y1) ，(x2 ，y2) ，⋯，(xn ， yn)(n ≥2，x1，x2，⋯，xn 不全相等 ) 的散点中，若所有本点 (xi ， yi)(i ＝1，2，⋯， n) 都在直 y＝－ 13x＋2 上，本数据的
本的相关系数 () A. －1 B.0 C. －13 D.1 答案 A 解析数据(x1 ，y1) ，(x2 ，y2) ，⋯， (xn ，yn)(n ≥2， x1，x2，⋯， xn 不全相等 ) 的
散点中，本点 (xi ，yi)(i ＝1，2，⋯， n) 都在直 y＝
－13x＋2 上，明数据点完满相关，其相关系数－1，故
A.9. 在区 [1 ，5] 和[2 ，4] 内分取一个数，a，b，方程 x2a2
＋y2b2＝1 表示焦点在 x 上且离心率小于32 的的概率
________. 答案1532 解析当方程x2a2＋y2b2＝1表示焦点在x
上且离心率小于32 的，有 a2>b2，e＝ca＝a2－b2a<32，即
a2>b2，a2<4b2，化得a>b，a<2b.又a∈[1，5]，b∈[2，4]，
画出足不等式的平面地域，如暗影部分所示，求得暗影部分的
面 154，故 P＝S暗影 2×4＝1532. 10. 将某班参加社会践号 1，2，3，⋯， 48 的 48 名学生，采纳系抽的方法抽取一个容量 6 的本，已知 5 号，21 号，29 号，37 号，45 号学生在本
中，本中有一名学生的号是 ________. 答案 13 解析系抽法拿出的
本号成等差数列，因此有一个号 5＋8＝21－8＝13. 11. 某班有学生 60 人，将所有学生按 1，2， 3，⋯， 60 随机号，若采纳系抽的方法抽取一个容量 5 的本 ( 等距
抽 ) ，已知号 4，a，28，b，52 号学生在本中， a＋b＝________.
答案 56 解析∵ 本容量 5，∴ 本隔 60÷5＝ 12，∵ 号 4，a，28，b，52 号学生在本中，∴a＝ 16，b＝40，∴a＋b
＝56. 12. 出以下四事件：①某人射 1 次，“射中 7 ”与“射
中 8 ”；②甲、乙两人各射 1 次，“最稀有 1 人射中目”与
“甲射中，但乙未射中目”；③从装有 2 个球和 2 个黑球的口袋内任取 2 个球，“最少一个黑球”与“都是球”；④从装有 2 个球和 2 个黑球的口袋内任取 2 个球，“没有黑球”与“恰有一个
球” .此中属于互斥事件的是________.( 把你正确的事件的
序号都填上 ). 答案①③④解析①某人射 1 次，“射中 7 ”与“射中 8 ”两个事件不会同生，故互斥事件；②甲、乙两
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人各射击 1 次，“最稀有 1 人射中目标”与“甲射中，但乙未射中目
标”，前者包括后者，故②不是互斥事件；③“最稀有一个黑球”与“都
是红球”不可以同时发生，但必定会有一个发生，因此这两个事件是对
峙事件，故是互斥事件；④“没有黑球”与“恰有一个红球”，
不可以能同时发生，故他们属于互斥事件 . 13. 国内某闻名大学有男生
14 000 人，女生 10 000 人. 该校体育学院想认识本校学生的运动状况，
依据性别采纳分层抽样的方法从全校学生中抽取 120 人，统计他们均匀
每日运动的时间，以下表：( 均匀每日运动的时间单位：小时，
该校学生均匀每日运动的时间范围是[0 ，3])男生均匀每日运动的时
间分布状况：均匀每日运动的时间 [0 ，0.5)[0.5 ，1) [1 ，1.5)[1.5 ，2) [2 ，2.5) [2.5 ，3] 人数 2 12 23 18 10 x
女生均匀每日运动的时间分布状况：均匀每日运动的时间 [0，0.5) [0.5 ，1) [1 ，1.5) [1.5 ，2) [2 ，，3] 人数 5 1218 10
3 y
(1)请依仍旧本预计该校男生均匀每日运动的时间 ( 结果精确到 0.1) ；
(2)若规定均匀每日运动的时间好多于 2 小时的学生为“运动达人”，低
于 2 小时的学生为“非运动达人” . ①依仍旧本预计该校“运动达人”的
数目；②请依据上述表格中的统计数据填写下边 2×2列联表，并经过计
算判断能否在犯错误的概率不超出 0.05 的前提下以为“能否为‘运动达人’与性别相关？” 运动达人非运动达人总计男生女生总计
参照公式： K2＝－＋＋＋＋，
此中 n＝a＋b＋c＋d 参照数据：
解 (1) 由分层抽样得：男生抽取的人数为120×14 00014 000 ＋ 10 000＝70，女生抽取的人数为120－70＝50，故 x＝5，y＝2，则该校
男生均匀每日运动的时间为0.25 ×2＋0.75 ×12＋1.25 ×23＋
1.75 ×18＋
2.25 ×10＋2.75 ×570≈1.5.故该校男生均匀每日运动
的时间约为小时 . (2) ①样本中“运动达人”所占比率是20120
＝16，故预计该校“运动达人”有 16×(14 000＋10 000) ＝4 000( 人).
②由表格可知：运动达人非运动达人总计男生15 55 70女生5
适用精选文件资料分享45 50 总计 20 100 120
故 K2 的察看值 k＝－
9635≈2.743<3.841 ，故在犯错误的概率不超出
＝0.05 的前提下不可以
以为“能否为‘运动达人’与性别相关”. 14. 某公司经过初试和复
试两轮考试确立最后合格人选，当第一轮初试合格后方可进入第二轮
复试，两次核查过程互相独立 . 依据甲、乙、丙三人现有的水平，第
一轮核查甲、乙、丙三人合格的概率分别为 0.4 、0.6 、0.5. 第二轮核查，甲、乙、丙三人合格的概率分别为0.5 、0.5 、0.4. (1) 求第一轮核查后甲、乙两人中只有乙合格的概率；(2) 设甲、乙、丙三人经过前后两轮核查后合格当选的人数为 X，求 X 的分布列和均值 . 解
(1)设甲、乙经第一次核查后合格为事件 A1、 B1，设事件 E 表示第一
轮核查后甲不合格、乙合格，则 P(E) ＝P(A1?B1)＝0.6 ×0.6 ＝ 0.36.
即第一轮核查后甲、乙两人中只有乙合格的概率为 0.36. (2) 分别设甲、乙、丙三人经过前后两次核查后合格当选为事件 A、B、C，则
P(A) ＝0.4 ×0.5 ＝ 0.2 ， P(B) ＝0.6 ×0.5 ＝ 0.3 ， P(C) ＝0.4 ×0.5 ＝0.2 ，经过前后两轮核查后合格当选的人数为 X，则 X 可能取 0，1，2，3. P(X＝0)
＝0.8 ×0.7 ×0.8 ＝ 0.448 ， P(X ＝1) ＝0.2 ×0.7 ×
＋0.8 ×0.3 ×0.8 ＋0.8 ×0.7 ×0.2 ＝ 0.416 ， P(X ＝3) ＝
0.2 ×0.3 ×0.2 ＝ 0.012 ， P(X ＝2) ＝1－0.448 －0.416 －0.012 ＝
0.124. X的分布列为
均值为 E(X) ＝0×0.448 ＋1×0.416 ＋2×0.124 ＋3×0.012 ＝ 0.7.。