层次分析法例题

某物流企业需要采购一台设备，在采购设备时需要从功能、价格与可维护性三个角度进行评价，考虑应用层次分析法对 3个不同品牌的设备进行综合分析评价和排序，从中选出能实现物流规划总目标的最优设备，其层次结构如下图所示。

以A表示系统的总目标，判断层中B i表示功能，B2表示价格，B3表示可维护性。

C1，C2，C3表示备选的3种品牌的设备。

目标层购买设备A
判断层功能B i 价格B2 维护性B3
方案层| 产品C i | 产品C2 | _产品C3
图设备采购层次结构图
解题步骤：
1、标度及描述
人们定性区分事物的能力习惯用5个属性来表示，即同样重要、稍微重要、较强重要、强烈重要、绝对重要，当需要较高精度时，可以取两个相邻属性之间的值，这样就得到9个数值，即9个标度。

为了便于将比较判断定量化，引入1〜9比率标度方法，规定用1、3、5、7、9分别表示根据经验判断，要素i与要素j相比：同样重要、稍微重要、较强重要、强烈重要、绝对重要，而 2、4、6、8表示上述两判断级之间的折衷值。

注：a m表示要素i与要素j相对重要度之比，且有下述关系:
a ij=1/a ji ；a ii=1 ; i, j=1 , 2,…，n
显然，比值越大，则要素i的重要度就越高。

2、构建判断矩阵A
判断矩阵是层次分析法的基本信息，也是进行权重计算的重要依据。

根据结构模型，将图中各因素两两进行判断与比较，构造判断矩阵：
•判断矩阵A-B（即相对于物流系统总目标，判断层各因素相对重要性比较）如表1所示；
•判断矩阵B. —C（相对功能，各方案的相对重要性比较）如表2所示；•判
断矩阵B2 -C（相对价格，各方案的相对重要性比较）如表3所示；•判断矩阵B3 -C（相对可维护性，各方案的相对重要性比较）如表4所示。

表1判断矩阵A—B
表2判断矩阵B -C
表3判断矩阵B2-C
表4判断矩阵B3 -C
3、计算各判断矩阵的特征值、特征向量及一致性检验指标
一般来讲，在AHP法中计算判断矩阵的最大特征值与特征向量，必不需要较高的精度，用求和法或求根法可以计算特征值的近似值。

•求和法
/砂;
1）将判断矩阵A按列归一化（即列元素之和为1）: b j= a
ij
2）将归一化的矩阵按行求和：C i=3D j （i=1 , 2, 3….n）;
3）将G归一化：得到特征向量 W= （w., W2 ,…w n）T, w i=C i /艺c
W即为A的特征向量的近似值；
4）求特征向量W对应的最大特征值：
•求根法
1）计算判断矩阵A每行元素乘积的n次方根；亦二叮【a j （i =1, 2,…,） _
W i 丁2）将W i归一化，得到W i - n ；W= （W[ , W2，…w n）即为A的特
Z W i
i W
征向量的近似值；
3）求特征向量W对应的最大特征值：
(1)判断矩阵A — B的特征根、特征向量与一致性检验
①计算矩阵A — B的特征向量。

计算判断矩阵A 一B各行元素的乘积M i ,并求其n次方根，如
1 2 ——
M! =1 3 2 ，W i M! =0.874，类似地有，W2 =3M2 = 2.466，
3 3
W3=3M3=0.464。

对向量W二阿，W2,…，WJ T规范化，有类似地有W2 = 0.684，W3 =0.122。

所求得的特征向量即为：
②计算矩阵A — B的特征根
类似地可以得到AW2 =1.948，AW^ 0.3666。

按照公式计算判断矩阵最大特征根：
③一致性检验。

实际评价中评价者只能对A进行粗略判断，这样有时会犯不一致的错误。

如，已判断^比^重要，c
2比C
3
较重要，那么，C
1
应该比C
3
更重要。

如果又判断^
比。

3较重要或同等重要，这就犯了逻辑错误。

这就需要进行一致性检验。

根据层次法原理，利用A的理论最大特征值乙諏与n之差检验一致性。

一致性指标：
计算ci =£ _n = 3.004_3 =0.002<0.1 CR =2 = 0.003 £ 0.1，查同阶平均n-1 3-1 RI 随机一致性指标(表5所示)知RI -0.58 ,(一般认为CK0.1、CRV0.1时, 判断矩阵的一致性可以接受，否则重新两两进行比较)。

表5平均随机一致性指标
(2)判断矩阵B1 -C的特征根、特征向量与一致性检验
类似于第(1)步的计算过程，可以得到矩阵B1 -C的特征根、特征向量与
一致性检验如下：
W =[0.105, 0.258, 0.637]T，入max =3.039 , CR = 0.033 v 0.1
(3)判断矩阵B2』C的特征根、特征向量与一致性检验
类似于第(1)步的计算过程，可以得到矩阵刀：一C的特征根、特征向量
与一致性检验如下：
W 二[0.592, 0.333, 0.075]T, max =3.014 , CR =0.012 ：：0.1
(4)判断矩阵B3-c的特征根、特征向量与一致性检验
类似于第(1)步的计算过程，可以得到矩阵B3 -C的特征根、特征向量与一致性检验如下：
W -[0.149, 0.066, 0.785]T, ' max = 3.08 , CR =0.069 ：：0.1
4、层次总排序
获得同一层次各要素之间的相对重要度后，就可以自上而下地计算各级要
素对总体的综合重要度。

设二级共有 m个要素c
1, c
2
,…,
m
，它们对总值的重要
度为w
1, w
2
，…,w ；她的下一层次三级有p
1
, p
2
，…卫共n个要素，令要素 P i
对C j的重要度(权重)为V jj，则三级要素P j的综合重要度为：
方案 C i 的重要度（权重）=0.230 >0.105+0.648 区529+0.122 &149=0.426 方案 C2的重要度（权重）=0.230 >0.258+0.648 0.333+0.122 0.066=0.283 方案 C3的重要度（权重）=0.230 >0.637+0.648 0. 075+0.122 0785=0.291 依据各方案综合重要度的大小，可对方案进行排序、决策。

层次总排
序如表6所示。

表6层次总排序
5、结论
由表5可以看出，3种品牌设备的优劣顺序为：C1，C3，C2，且品牌1 明显优于其他两种品牌的设备。