2016年浙江省湖州市菱湖中学高三上学期数学期中考试试卷

2016年浙江省湖州市菱湖中学高三上学期数学期中考试试卷
一、选择题（共8小题；共40分）
1. 从装有个红球和个白球的口袋内任取个球，那么互斥而不对立的事件是
A. 至少有一个红球与都是红球
B. 至少有一个红球与都是白球
C. 至少有一个红球与至少有一个白球
D. 恰有一个红球与恰有二个红球
2. 已知，其中，是实数，是虚数单位，则
A. B. C. D.
3. 已知实数，满足不等式组则的最小值为
A. B. C. D. 无最小值
4. “”是“，”的
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件
D. 既不充分也不必要条件
5. 一个体积为的正三棱柱的三视图如图所示，则这个三棱柱的侧视图的面积为
A. B. C. D.
6. 设向量，满足，在方向上的投影为，若存在实数，使得与垂直，则
A. B. C. D.
7. 如图，已知双曲线的左右焦点分别为，，，是双曲线
右支上的一点，与轴交于点，的内切圆在边上的切点为，若，则双曲线的离心率是
A. B. C. D.
8. 已知是定义在上的减函数，其导函数满足，则下列结论正确的是
A. 对于任意，
B. 对于任意，
C. 当且仅当，
D. 当且仅当，
二、填空题（共7小题；共35分）
9. 已知集合，，则 ______， ______．
10. 已知函数；则的最小正周期为______，若在区间
上的最大值与最小值的和为，则实数的值为______．
11. 已知一个袋中装有大小相同的个红球，个白球，个黄球．若任意取出个球，则取出的
个球颜色相同的概率是______；若有放回地任意取次，每次取出一个球，每取到一个红球得分，取到其它球不得分，则得分数的方差为______．
12. 已知，，，则的最小值为______；则的最小值为______．
13. 的展开式中常数项为______．
14. 若函数的最小值为，则实数 ______．
15. 正方体的棱长为，是它的内切球的一条弦（把球面上任意两点之间的
线段称为球的弦），为正方体表面上的动点，当弦最长时．的最大值为______．
三、解答题（共5小题；共65分）
16. 本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多．某自行车租车点的收费标准是每车
每次租车时间不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费元（不足小时的部分按小时计算）．有甲、乙两人相互独立来该租车点租车骑游（各租一车一次）．设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为、；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别是、；两人租车时间都不会超过四小时．
（1）求甲、乙两人所付的租车费用相同的概率；
（2）设甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量，求的分布列及数学期望．
17. 已知在递增等差数列中，，是和的等比中项．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，为数列的前项和，是否存在实数，使得对于任意的恒成立?若存在，请求实数的取值范围，若不存在，试说明理由．
18. 已知四棱锥的底面是等腰梯形，，且，与交于，
底面，，，，分别是，的中点．
（1）求证：；
（2）求二面角的余弦值．
19. 如图，在由圆和椭圆构成的“眼形”结构中，已知椭圆的离
心率为，直线与圆相切于点，与椭圆相交于两点，．
（1）求椭圆的方程；
（2）是否存在直线，使得，若存在，求此时直线的方程；若不存在，请说明理由．
20. 已知函数，其中为大于零的常数．
（1）若函数在区间内单调递增，求的取值范围；
（2）求函数在区间上的最小值；
（3）求证：对于任意的，且时，都有成立．
答案
第一部分
1. D
2. D
3. C
4. B
5. A
6. C
7. B
8. B
第二部分
9. ；
10. ；
11. ；
12. ；
13.
14. 或
15.
第三部分
16. （1）所付费用相同即为，，元．
则付元的概率为付元的概率为付元的概率为因此，所付费用相同的概率为
（2）设甲，乙两人所付的费用之和为，则可为，，，，，
的分布列为因此的数学期望
17. （1）由为等差数列，设公差为，则，
因为是和的等比中项，
所以，即，
解得（舍）或，
所以．
（2）存在．
，
所以数列的前项和
所以存在实数，使得对于任意的恒成立．
18. （1）由是等腰梯形，，且，与交于，可知：是等腰直角三角形，
因为，是的中点，
所以，可得．
因为底面，
所以，．
又．
所以可以建立如图所示的空间直角坐标系．
，，，，，．
所以，．
所以，
所以，即．
（2）由（）可知：，．
设平面的法向量为，则得令，则．
所以．
因为平面，所以可取作为平面的法向量．
所以．
由图可知：二面角的平面角是锐角．
因此，．
19. （1）因为椭圆的离心率为，
所以，
解得：，所以所求椭圆的方程为．
（2）假设存在直线，使得，
当直线垂直于轴时，不符合题意，故设直线方程为，
由直线与圆相切，可得．
直线代入椭圆的方程为，可得，设，，则，，
所以
由（）（）可得，，
故存在直线，方程为，使得．
20. （1）由题意，，
因为为大于零的常数，若使函数在区间上单调递增，则使在区间上恒成立，即，故．（2）当时，在上恒成立，
这时在上为增函数，所以．
当，因为在上恒成立，
这时在上为减函数，所以，
当时，令，得．
又因为对于有，对于有，
所以，
综上，在上的最小值为：
①当时，；
②当时，；
③当时，．
（3）由（）知函数在上为增函数，当时，因为，所以，
即，对于且恒成立．
所以对于，且时，恒成立．。