三角形的外角 沪科版数学八年级上册

2M
F
D
E
课堂小结
定义
角一边必须是三角形的一边，另一边必 须是三角形另一边的延长线
三角形 的外角
性质
推论1：三角形的外角等于与它不相邻 的两个内角的和
推论2：三角形的外角大于与它不相邻 的任何一个内角
三角形的 外角和
三角形的外角和等于360 °
解：延长BP交AC于点E， 则∠BPC，∠PEC分别为△PCE，△ABE的外角， ∴∠BPC＝∠PEC＋∠PCE， ∠PEC＝∠ABE＋∠A， ∴∠PEC＝∠BPC－∠PCE
＝150°－30°＝120°. ∴∠A＝∠PEC－∠ABE＝120°－20°＝100°.
【变式题】 (一题多解)如图，∠A=51°，∠B=20°， ∠C=30°，求∠BDC的度数.
你还有其他 解法吗？
E A
1
又知∠1+ ∠2+ ∠3=180 °，
B2
所以∠BAE+ ∠CBF+ ∠ACD
=2(∠1+ ∠2+ ∠3)=360 °.
F
3
C
D
解法二：如图，∠BAE+∠1=180 ° ① ， E
∠CBF +∠2=180 ° ②，
A
∠ACD +∠3=180 ° ③，
1
又知∠1+ ∠2+ ∠3=180 °， B 2 ①+ ②+ ③得
这节课让我们一起来探讨吧.
讲授新课
一 三角形的外角的概念 定义 如图，把△ABC的一边BC延长，得到∠ACD，像这 样，三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫 做三角形的外角. A
B
CD
∠ACD是△ABC的一个外角
问题1 如图，延长AC到E,∠BCE是不是△ABC的一个
外角？∠DCE是不是△ABC的一个外角？
有6个外角．
每一个顶点相对
应的外角都有2个，
B
C
且这2个角为对顶角.
总结归纳
三角形的外角应具备的条件： ①角的顶点是三角形的顶点；
②角的一边是三角形的一边；
③另一边是三角形中一边的延长线. A
B
CD
∠ACD是△ABC的一个外角
每一个三角形都有6个外角．
练一练
如图,∠ BEC是哪个三角形的外角？∠AEC是哪个三 角形的外角？∠EFD是哪个三角形的外角？
F ∠BAE+ ∠CBF+ ∠ACD
3 CD
+(∠1+ ∠2+ ∠3)=540 °，
所以∠BAE+ ∠CBF+ ∠ACD=540 °-180°=360°.
E A4 1
M
解法三：过A作AM平行于BC，
3
∠3＝ ∠4
B 2
F
C D ∠2＝ ∠BAM， ∠2＋ ∠ 3＝ ∠ 4＋∠BAM，
所以 ∠1＋ ∠2＋ ∠3＝ ∠1＋ ∠4＋ ∠BAM=360°
思考 你能总结出三角形的外角和的数量关系吗？ 结论：三角形的外角和等于360°.
当堂练习
1.判断下列命题的对错.
（1）三角形的外角和是指三角形的所有外角的和. （ ）
（2）三角形的外角和等于它的内角和的2倍.
（）
（3）三角形的一个外角等于两个内角的和.
（）
（4）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.（ ）
A ∠BCE是△ABC的一
个外角，∠DCE不是
B
C D △ABC的一个外角.
E 问题2 如图，∠ACD与∠BCE有什么关系？在三角形的
每个顶点处有多少个外角？
∠ACD 与∠BCE为对顶角，∠ACD =∠BCE；
在三角形每个顶点处都有两个外角.
画一画 画出△ABC的所有外角，共有几个呢?
A
每一个三角形都
A 解：∵∠1是△FBE的外角,
B G 2 1 F
C
E ∴∠1=∠B+ ∠E, 同理∠2=∠A+∠D. 在△CFG中, ∠C+∠1+∠2=180º,
∴∠A+ ∠ B+∠C+ ∠ D+∠E D = 180º.
6.如图，试求出∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F
=___3_60__°__.
B
A
C
1 P
N3
C
解法三:连接延长CD交AB于点F（解题过程同解法二）.
总结 解题的关键是正确的构造三角形，利用三角形外角的性 质及转化的思想，把未知角与已知角联系起来求解.
三 三角形的外角和
例3 如图， ∠BAE, ∠CBF, ∠ACD是△ABC的三个外角，它们
的和是多少？ 解：由三角形的一个外角等于与它不 相邻的两个内角的和，得 ∠BAE= ∠2+ ∠3， ∠CBF= ∠1+ ∠3, ∠ACD= ∠1+ ∠2.
A
B CD
3.什么是三角形的内角？其内角和等于多少？ 三角形相邻两边组成的角叫作三角形的内角， 它们的和是180 °.
问题：发现懒洋洋独自在O处游玩后，灰太狼打算用迂
回的方式，先从A前进到C处，然后再折回到B处截住懒
洋洋返回羊村的去路，红太狼则直接在A处拦截懒洋洋，
已知∠BAC=40° ， ∠ABC=70°.灰太狼从C处要转多
（5）三角形的一个外角大于任何一个内角.
（）
（6）三角形的一个内角小于任何一个与它不相邻的外角.（ ）
2.如图，AB//CD，∠A＝37°, ∠C＝63°，那么
∠F
A
等于 A.26°
F（ ）
B.63° C.37°
A
EB
D.60°
C
D
3.（1）如图，∠BDC是_△__A_D__C__
A
的外角,也是 △ADE 的外角；
50 ° A
2
1 32 °(
B
C
(2)
∠1=18 °, ∠2=130 °
典例精析
例1 如图,∠A=42°,∠ABD=28°,∠ACE=18°,求∠BFC
的度数. A
E F
解：∵ ∠BEC是△AEC的一个外角，
∴ ∠BEC= ∠A+ ∠ACE， ∵∠A=42° ，∠ACE=18°， D ∴ ∠BEC=60°. ∵ ∠BFC是△BEF的一个外角，
21
∠2= ∠A ，
C D （两直线平行，内错角相等）
∴∠ACD= ∠1+ ∠2= ∠A+ ∠B.
拓展探究
如图，试比较∠2 、∠1的大小； 如图，试比较∠3 、∠2、 ∠1的大小.
图 解：∵∠2=∠1+∠B,
∴∠2＞∠1.
图 解：∵∠2=∠1+∠B,
∠3=∠2+∠D,
∴∠3＞∠2＞∠1.
归纳总结
少度角才能直达BBiblioteka ？D ？●C●70 B°
● O
40 °
● A
利用“三角形的内角和为180°”来求∠BCD，你会吗？
D ？
●C
●70 B°
● O
40 °
● A
由三角形内角和易得∠BCA=180°－∠A－∠CBA=70°，
所以∠BCD=180°－∠BCA=110°.
思考：像∠BCD这样的角有什么特征吗？猜想它的性质.
13.2 命题与证明
第4课时 三角形的外角
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
学习目标 1.理解并掌握三角形的外角的概念．
情境引入
2.能够在能够复杂图形中找出外角.（难点）
3.掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角
的和及三角形的内角和．（重点）
4.会利用三角形的外角性质解决问题.
导入新课
复习引入 1.在△ABC中，∠A=80°, ∠B=52°,则∠C= 48 °. 2.如图，在△ABC中， ∠A=70°, ∠B=60°, 则∠ACB= 50 °，∠ACD= 130°.
A
∠BEC是△AEC的外角;
E
D ∠AEC是△BEC的外角;
F
∠EFD是△BEF和△DCF
的外角.
B
C
二 三角形的外角的性质 问题1 如图，△ABC的外角∠BCD与其相邻的内角 ∠ACB有什么关系？
不相邻的内角
B
三角形的外角
A
C
D
相邻的内角
∠BCD与∠ACB互补.
问题2 如图，△ABC的外角∠BCD与其不相邻的两 内角(∠A，∠B)有什么关系？
不相邻的内角
B
A C
相邻的内角
三角形的外角
D
你能用作平行线的方 法证明此结论吗？
∵∠A+∠B+∠ACB=180°，∠BCD+∠ACB=180°， ∴∠A+∠B=∠BCD.
验证结论
已知：如图，△ABC，求证：∠ACD=∠A+∠B.
A B
E 证明：过C作CE平行于AB， ∴∠1= ∠B，
（两直线平行，同位角相等）
D
E
(2)若∠B=45 °， ∠BAE=36 °, B
C
∠BCE=20 °,试求∠AEC的度数.
解：根据三角形外角的性质有 ∠ADC= ∠B+ ∠BCE, ∠AEC= ∠ADC+ ∠BAE. 所以∠AEC= ∠B+∠BCE+ ∠BAE=45 °+20 °+36 ° =101 °.
4 .如图，D是△ABC的BC边上一点,∠B=∠BAD,
三角形内角和定理的推论
推论3：三角形的外角等于与它不相 邻的两个内角的和.
∠B+∠C=∠CAD 推论4：三角形的外角大于与它不相 B 邻任何一个内角.
∠CAD > ∠B， ∠CAD > ∠C
D A
C
练一练：说出下列图形中∠1和∠2的度数：
A
80 °
60 °
12
B
CD
(1)
∠1=40 °, ∠2=140 °
∴ ∠BFC= ∠ABD+ ∠BEF，
B
C∵ ∠ABD=28° ，∠BEC=60°，
∴ ∠BFC=88°.
例2 如图，P为△ABC内一点，∠BPC＝150°， ∠ABP＝20°，∠ACP＝30°，求∠A的度数．
E
解析：延长BP交AC于E或连接AP并延长，构造三角 形的外角，再利用外角的性质即可求出∠A的度数．
∠ADC=80°，∠BAC=70°，求：
（1）∠B 的度数；（2）∠C的度数.
A
解：因为∠ADC是△ABD的外角.
所以∠ADC=∠B+∠BAD=80°.
又因为∠B=∠BAD，
所以B 80 1 40,
B
2
在△ABC中，
∠B+∠BAC+∠C=180
∠°C，=180º-40º-70º=70°.
D
C
能力提升： 5.如图，求∠A+ ∠B+ ∠C+ ∠D+ ∠E的度数.
=51° +20°+30°=101°.
你发现了什 么结论？
解法二：延长BD交AC于点E. 在△ABE中，∠1=∠ABE+∠BAE， 在△ECD中，∠BDC=∠1+∠ECD.
A
(
51 °
F
E
所以∠BDC =∠BAC+∠ABD+∠ACD =51° +20°+30°=101°.
20 ° D 30 ° B
A
51 °
20 ° D
B
C
思路点拨：添加适当的辅助线将四边形问题转化为
三角形问题.
A 解法一：连接AD并延长于点E.
在△ABD中，∠1+∠ABD=∠3，
在△ACD中，∠2+∠ACD=∠4. 因为∠BDC=∠3+∠4，
D 20 °
∠BAC=∠1+∠2，
B
E
所以∠BDC=∠BAC+∠ABD+∠ACD
30 ° C