素数、合数、倍数、因数、公因数
总复习因数倍数质数合数
）。
10、9个连续偶数的和是90，这9个连续偶数分别是（
）。
11、7个连续自然数的和为35，这7个自然数分别是（
）。
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• 一个房间长40分米,宽32分米要在地面铺上边长最大的正方形瓷砖,共需要多少块这样的瓷砖?
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• 一块瓷砖长12厘米，宽10厘米，要铺成一个正方形地面，这个正方形地面的边长至少是多少 厘米？面积是多少？要多少块这样的瓷砖？
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3
因数和倍数
如果整数a能被整数b整除(b≠0)就叫做b的 倍数就叫做a的因数。
因数
一个数的因数的个数是有限的,其中最小的因数是1,最大的因数 是它本身。
因数和倍数是相 互依存的
一个数的倍数的个数是无限的,其中最小的倍数是它本身,没有
倍
最大的倍数。
数
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4
能被2、3、5整除的数的特征 能被2整除的数的特征: 能被5整除的数的特征: 能被3整除的数的特征:
4
)三，最小的合数是( ２
)，最小的奇数是
１
０
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10
分解质因数 每一个合数都可以写成几个质数相乘的形式,这几个质数叫做这个合数的质因数。
把一个合数用几个质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。
分解质因数的方法:短除法
把30分解质因数
2 30 3 15 5
把30分解质因数正确的做法是( )
80
17 10
17×10=170（个）
答：一共可裁出170。
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一堆糖果，如果平均分给4个小朋友，还剩3块；如果平均分给5个小朋友，还缺1块；如果平 均分给6个小朋友，还缺1块。这堆糖果最少有多少块？
因数,倍数,质数,合数
因数、倍数、质数、合数一、因数倍数的特征1、重点归纳（1）一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身：一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的因数是它本身，没有最大的因数：一个数，既是它本身的因数，也是它本身的倍数。
（2）2、3、5、9倍数的特征：2的倍数的特征：个位数字是0，2，4，6，8；5的倍数的特征：个位数字是0或5；同时是2、5倍数的特征：个位数字是0；3的倍数的特征：各个数位的数字之和是3的倍数；9的倍数的特征：各个数位的数字之和是9的倍数。
同时是2、3和5倍数的特征：个位数字是0，并且各个数位的数字之和是3的倍数（3）质数（素数）、合数最小的质数是2,2是唯一的偶质数，没有最大的质数。
最小的合数是4，没有最大的合数。
1既不是质数，也不是合数。
（4）分解质因数的方法用短除法，先用这个合数的质因数（通常从最小的开始）去除，一般先试2、3、5这几个数，除到得出的商是质数为止，把出书和商写成相乘的形式。
（5）奇数、偶数的运算性质：奇数±奇数=偶数偶数±偶数=偶数奇数±偶数=奇数奇数X奇数二奇数奇数X偶数=偶数偶数X偶数=偶数2、典型练习(1)判断：因为48:8=6，所以说48是倍数，8是因数。
()因数和倍数的关系式相互依存的，不能说某一个数是因数或倍数，可以说“谁是谁的倍数，谁是谁的因数”。
(2)用a表示一个大于1的自然数，则a2一定是()。
A、奇数B、偶数匚质数D、合数二、两数互质的几种特殊情况：(1)两个不相同的质数一定是互质数。
如：7和13、17和19是互质数。
(2)两个连续的自然数一定是互质数。
如：4和5、13和14是互质数。
(3)相邻的两个奇数一定是互质数。
如：5和7、75和77是互质数。
(4)1和其他所有的自然数一定是互质数。
如：1和4、1和13是互质数。
(5)2和任意一个奇数都是互质数。
如2和1、2和9都是互质数。
(6)一个奇数和质因数只有2的偶数都是互质数。
因数,倍数,质数,合数
因数、倍数、质数、合数一、因数倍数的特征1、重点归纳（1）一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身：一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的因数是它本身，没有最大的因数：一个数，既是它本身的因数，也是它本身的倍数。
（2）2、3、5、9倍数的特征：2的倍数的特征：个位数字是0，2，4，6，8；5的倍数的特征：个位数字是0或5；同时是2、5倍数的特征：个位数字是0；3的倍数的特征：各个数位的数字之和是3的倍数；9的倍数的特征：各个数位的数字之和是9的倍数。
同时是2、3和5倍数的特征：个位数字是0，并且各个数位的数字之和是3的倍数（3）质数（素数）、合数最小的质数是2,2是唯一的偶质数，没有最大的质数。
最小的合数是4，没有最大的合数。
1既不是质数，也不是合数。
（4）分解质因数的方法用短除法，先用这个合数的质因数（通常从最小的开始）去除，一般先试2、3、5这几个数，除到得出的商是质数为止，把出书和商写成相乘的形式。
（5）奇数、偶数的运算性质：奇数±奇数=偶数偶数±偶数=偶数奇数±偶数=奇数奇数×奇数=奇数奇数×偶数=偶数偶数×偶数=偶数2、典型练习（1）判断：因为48÷8=6，所以说48是倍数，8是因数。
（）因数和倍数的关系式相互依存的，不能说某一个数是因数或倍数，可以说“谁是谁的倍数，谁是谁的因数”。
（2）用a表示一个大于1的自然数，则a2 一定是（）。
A、奇数B、偶数C、质数D、合数二、两数互质的几种特殊情况：（1）两个不相同的质数一定是互质数。
如：7和13、17和19是互质数。
（2）两个连续的自然数一定是互质数。
如：4和5、13和14是互质数。
（3）相邻的两个奇数一定是互质数。
如：5和7、75和77是互质数。
（4）1和其他所有的自然数一定是互质数。
如：1和4、1和13是互质数。
（5）2和任意一个奇数都是互质数。
小学数学五年级下册因数倍数质数合数最大公因数最小公倍数同步练习
小学数学五年级下册因数倍数质数合数最大公因数最小公倍数同步练习第一部分知识梳理一、因数和倍数1、如果a×b＝c（a、b、c都是不为的整数），那么我们就说a和b是c的因数，c是a和b的倍数。
因数和倍数是相互依存的。
例如：3×8＝24，3和8是24的因数，24是3和8的倍数。
2、一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身。
3、一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。
4、一个非零的自然数，既是它本身的倍数，又是它本身的因数。
5、找因数的方法：（1）列乘法算式：例如：要写出18的所有因数，方法如下：1×18＝182×9＝183×6＝18所以，18的因数有：1、2、3、6、9、18共6个。
（2）列除法算式：例如：要写出24的所有因数，方法如下：24÷1＝2424÷2＝1224÷3＝824÷4＝624÷5＝4.8（因为4.8不是整数，所以5和4.8不是24的因数）所以，24的因数有：1、2、3、4、6、8、12、24共8个。
6、找倍数的方法：用这个数分别乘1、2、3、4、5…直到所乘的积接近所规定的限制范围为止，所乘得的积就是这个数的倍数。
例如：写出30以内4的倍数。
4×1＝44×2＝84×3＝124×4＝164×5＝204×6＝244×7＝28以是，30之内4的倍数有：4、8、12、16、20、24、28。
2、2、5、3的倍数的特征1、个位上是、2、4、6、8的数都是2的倍数。
2、个位上是或5的数都是5的倍数。
3、一个数各个数位上的数相加的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。
4、同时是2、5的倍数的数末尾必须是。
最小的两位数是10，最大的两位数是90。
同时是2、5、3的倍数的数末尾必需是，并且各个数位上的数相加的和是3的倍数。
六年级秋季班-第2讲：分解素因数
模块一：素数、合数与分解素因数分解素因数是六年级数学上学期第一章第二节内容，主要包含素数、合数的概念以及分解素因数，公因数与最大公因数，公倍数与最小公倍数这三大块内容，重点是素数与合数的概念以及分解素因数，难点是求2个整数或者是3个整数的最大公因数或最小公倍数，以及利用最大公因数和最小公倍数的知识解决实际问题，加强学生对数学学习的兴趣．1、素数与合数（1）素数：一个正整数，如果只有1和它本身两个因数，则叫做素数，也叫做质数；（2）合数：一个正整数，如果除了1和它本身以外还有别的因数，则叫做合数；（3）1既不是素数，也不是合数；正整数可分为：1、素数和合数．2、 分解素因数每个合数都可以写成几个素数相乘的形式，其中每个素数都是这个合数的因数，叫做这个合数的素因数．把一个合数用素因数相乘的形式表示出来，叫做分解素因数． 分解素因数 知识结构知识精讲 内容分析3、 口算法分解素因数例如：728922233=⨯=⨯⨯⨯⨯．4、 短除法分解素因数形如右图，这种在左侧写除数，下方写商的除法格式叫做“短除法”．用短除法分解素因数的步骤如下：（1）先用一个能整除这个合数的素数（通常从最小的开始）去除；（2）得出的商如果是合数，再按照上面的方法继续除下去，直到得出的商是素数为止；（3）然后把各个除数和最后的商按从小到大的顺序写成连乘的形式．【例1】 在1、2、9、17、27、49、57、87、97、187、247中，_________________________是素数，合数有______个．【例2】 将84分解素因数：_______________________，84的素因数为______________．【例3】 最小的自然数、最小的素数和最小的合数之和是______．【例4】 将100写成两个素数的和：100 = ______ + ______，共有______对．【例5】 下列说法中正确的个数有（ ）个（1）两个连续素数的乘积一定是奇数；（2）两个素数的和一定是偶数；（3）相邻的两个正整数的乘积一定是合数；（4）一个合数至少有三个因数；（5）任何一个正整数都可以写成几个素数的积的形式．A ．0B ．1C ．2D ．3【例6】 如果三个连续自然数的乘积是210，则这三个数分别是_____________．【例7】 两个素数的和为21，那么这两个素数的积是______．【例8】 已知41176a b =（a 、b 都为正整数），则a 的最小值为______． 例题解析35 5 7【例9】 面积是72平方厘米的长方形，它的长和宽的厘米数都是合数，这个长方形的周长可能是多少厘米？1、 公因数几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数．2、 最大公因数几个数的公因数中，最大的一个叫做这几个数的最大公因数．3、 两个数互素如果两个整数只有公因数1，那么称这两个数互素．4、 求最大公因数求几个数的最大公因数，只要把它们所有公有的素因数连乘，所得的积就是它们的最大公因数．【例10】36和54的公因数有_____________．【例11】126和630的最大公因数是________________．【例12】 在下列各组数中，互素的有（ ）组 （1）3和5；（2）6和9；（3）4和9；（4）14和17；（5）18和1．A ．1B ．2C ．3D ．4例题解析知识精讲 模块二：公因数和最大公因数【例13】下列说法正确的是（）A．如果两个数互素，那么这两个数不可能都是合数B．两个不同的素数一定互素C．如果1是两个整数的公因数，则这两个数一定互素D．若5能被a整除，又是b的最小倍数，则a和b的最大公因数是5【例14】三个数16、24和30的公因数有______．【例15】有a、b、c、d四个正整数，已知a、b的最大公因数是60，c、d的最大公因数是48，那么a、b、c、d这四个数的最大公因数是______．【例16】一块矩形地面，长90米，宽15米，要在它的四周和四角种树，每两棵树之间的距离相等，则最少要种______棵树．【例17】一个长方体，它的上面和正面面积之和是209平方分米，长、宽、高都是素数，则这个长方体的表面积是______．【例18】求42897与18644的最大公因数．（拓展：辗转相除法）1、公倍数与最小公倍数公倍数：几个整数公有的倍数叫做它们的公倍数； 最小公倍数：几个整数公有的倍数中，最小的一个叫做它们的最小公倍数． 2、求两个数的最小公倍数求两个整数的最小公倍数，只要取它们所有公有的素因数，再取它们各自剩余的素因数，将这些数连乘，所得的积就是这两个数的最小公倍数；如果两个整数中某一个数是另一个数的倍数，那么这个数就是它们的最小公倍数； 如果两个数互素，那么它们的乘积就是它们的最小公倍数．3、求三个数的最小公倍数求三个数的最小公倍数，应取三个数共有的素因数和每两个数共有的素因数，以及再取各自剩余的素因数，所有这些素因数的积．为了简便，可用短除法计算，除到每两个商都互素为止．【例19】已知23357A =⨯⨯⨯⨯，22557B =⨯⨯⨯⨯，则A 与B 的最小公倍数是______．【例20】已知两个合数互素，且它们的最小公倍数为72，则这两个数为______．【例21】 下列说法中正确的个数为（ ）个 （1）若三个正整数只有公因数1，则这三个数两两互素；（2）若3m n ÷=，则两个正整数m 、n 的最小公倍数是m ；（3）互素的两个数没有公因数；（4）能同时被6、8整除的数一定能被48整除；（5）若a b c ÷=（a 、b 、c 都是正整数），则a 与b 的最大公因数是c ．A ．0B ．1C ．2D ． 3模块三：公倍数与最小公倍数 例题解析知识精讲【例22】两个正整数的最大公因数是12，最小公倍数是144，其中一个数是48，则另一个数是______．【例23】求下列各组数的最大公因数和最小公倍数．（1）187和442；（2）36、84和39．【例24】某校外出活动，如果9人一组，则多5人；如果15人一组，则少4人，已知学生人数在130至140人，则该年级的学生有______人．【例25】能被5、6、9整除的最大三位数是______，最小四位数是______．A B是24的倍数，则A+B的最大值为多少？【例26】已知四位数20【例27】动物园的饲养员给三群猴子分花生，如果分给第一群猴子，则每只猴子可得12粒；如果只分给第二群猴子，则每只猴子可得15粒；如果只分给第三群猴子，则每只猴子可得18粒．已知第一群猴子猴四十几只，那么总共有多少粒花生？共有多少只猴子？【例28】一个正整数被4除余1，被6除余1，被9除余1，则这个数最小是多少？【例29】某校有皮球若干个，如果平均分给10个班，则余下9个；如果平均分给12个班，则余下11个；如果平均分给15个班，则余下14个，学校至少有几个皮球？【例30】甲每隔3天去少年宫一次，乙每隔5天去一次，丙每隔7天去一次，如果6月1号，甲乙丙同时去了少年宫，则下次同时去少年宫的日期是哪一天？随堂检测【习题1】在1~100这100个整数中，有25个素数，则合数有______个．【习题2】下列选项中分解素因数正确的是（）A．17117=⨯B．1802259=⨯⨯⨯C．3362233729=⨯⨯⨯=D．362233=⨯⨯⨯【习题3】已知a和b都是小于10的合数，两位数ab是一个素数，这样的两位数是______．【习题4】在小于10的正整数中，两个互素的合数有____________．【习题5】三个数38、66、94分别除以自然数n，所得的余数都是3，则n = ______．【习题6】已知甲数比乙数大6，比丙数小72，三数之和是120，求三数的最小公倍数及最大公因数．【习题7】如果16个梨和19个苹果平均分给若干个小朋友，则多2个梨，缺2个苹果，那么共有______个小朋友．【习题8】一个两位数，用它去除391和40，所得余数相同，用它去除283和23，所得余数也相同，求这个两位数．【习题9】共青森林公园有一条小路，在小路两旁每隔3米种一棵树（路的两端都有树），一共种了66棵，现在要改成每隔4米一棵，问几棵小树不要移动？新挖树坑多少个？【习题10】甲、乙、丙三个数，甲与乙的最大公因数是12，甲与丙的最大公因数是15，而三个数的最小公倍数是120，求甲、乙、丙三个数．课后作业【作业1】2431是三个素数的乘积，这三个素数是____________．【作业2】108的素因数有____________________．【作业3】两个素数的和是99，则这两个素数的乘积是______．【作业4】以下说法正确的有（）个（1）任何一个奇数都是素数；（2）除2以外的偶数都是合数；（3）两个素数的积一定是合数；（4）任何一个素数加上1都是偶数；（5）两个连续的偶数一定互素；（6）两个连续正整数一定互素．A．1 B．2 C．3 D．4【作业5】两个数的最小公倍数是180，最大公因数是3，这样的两个数为____________．【作业6】24的所有因数中，互素的数共有______对．【作业7】已知M a b c（a、b、c都是素数），那么M的因数中是合数的有_________．【作业8】把一块长7.2cm，宽6cm，厚0.36dm的木料锯成尽可能大，且大小、性质完全相同的正方体木块，锯后不能有剩余，至少能锯成多少块？【作业9】一次会餐提供三种饮料，餐后统计，三种饮料共用78瓶，平均每2人饮用1瓶A饮料，每3人饮用1瓶B饮料，每4人饮用1瓶C饮料，问参加会餐的人数是多少人？【作业10】已知两个正整数的差是16，它们的最大公因数和最小公倍数之和是88，求：这两个正整数．。
《初等数论》教学大纲2024
引言概述：初等数论是数学的一个重要分支，它研究整数的性质和关系，是一门基础性的课程。
本文旨在为《初等数论》课程的教学制定一份详细的大纲，以帮助教师合理安排教学内容，提高教学效果。
正文内容：一、素数与合数1.素数的定义与性质素数的定义：只能被1和自身整除的正整数。
2.合数的定义与性质合数的定义：不是素数的正整数。
二、因数与倍数1.因数的概念因数的定义：能整除一个数的整数。
因子的分类：负因数、正因数、真因数。
2.最大公因数与最小公倍数最大公因数的定义与性质：两个数公共因子中最大的一个。
最小公倍数的定义与性质：两个数公共倍数中最小的一个。
三、整数的整除性与除法算法1.整除的概念与性质整除的定义：一个数能够被另一个数整除。
整除的性质：整数除法原则、整数的对称性。
2.整数的除法算法除法算法的步骤与原理：用减法、用乘法、整数除法算法的应用。
四、余数与模运算1.余数的概念与性质余数的定义：做除法时除不尽的部分。
余数的性质：余数的范围、余数的基本性质。
2.模运算的概念与性质模运算的定义：对于整数a和正整数n，a与n的商所得的余数。
模运算的性质：模运算的加法、减法和乘法规则。
五、同余与模运算应用1.同余的定义与性质同余的定义：对于整数a、b和正整数n，当a与b对n取余相等时，称a与b模n同余。
同余的性质：同余的传递性、同余的运算性质。
2.模运算的应用模运算在代数方程中的应用：线性同余方程、模运算的性质在方程求解中的应用。
总结：本文从素数与合数、因数与倍数、整除性与除法算法、余数与模运算以及同余与模运算应用等五个大点进行阐述。
通过这些内容的学习，学生将能够了解整数的性质和关系，理解数论的基本原理，为后续数学学习打下坚实的基础。
教师在教学过程中，应注重拓展学生的数学思维、培养其解决问题的能力，并结合实际生活和其他数学知识进行应用。
通过系统的教学大纲指导，教师能够更好地组织教学内容，提高学生的学习效果。
第二讲 分解素因数与公因数、公倍数
第二讲分解素因数与公因数、公倍数★知识精要1、素数与合数（1）素数：一个正整数，如果只有1个和它本身两个因数，这样的数叫做素数。
（2）合数：一个正整数，如果除了1和它本身以外还有别的因数，这样的数叫做合数。
（3）正整数按照含因数的个数分类，可以分为1、素数与合数。
2、判断一个正整数是不是素数的方法判断一个正整数是不是素数，常用的方法有两种：一是查素数表；二是试除法；所谓试除法就是从小到大用每一个素数2,3,5,7，...，依次去试除所给的正整数，如果它能被比它小的某个素数整除，它就是合数；如果除得的商比除数小，但仍不能整除，它就是素数。
3、素因数和分解素因数（1）素因数：每个合数都可以写成几个素数相乘的形式，其中每个素数都是这个合数的因数，叫做这个合数的素因数。
（2）分解素因数：把一个合数用素因数相乘的形式表示出来，叫做分解素因数。
注：素因数相对于合数而言，不能单独存在；一个数分解素因数的形式是唯一的；书写时，一般写成“合数=素因数相乘”的形式。
4、分解素因数的方法分解素因数的方法通常有以下两种：（1）树枝分解法：利用树形图逐步把合数分解成素因数相乘的形式.（2）短除法：先用一个能整除这个合数的素数（通常从最小的开始）去除；得出的商如果是合数，再按照上面的方法继续下去，直到得出的商是素数为止；然后把各个除数和最后的商按从小到大的顺序写成连乘的形式。
公因数与公倍数1、公因数与最大公因数（1）公因数：几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数.（2）最大公因数：几个数的公因数中，最大的一个叫做这几个数的最大公因数.（3）两个数互素：如果两个整数只有公因数1那么称这两个数互素.注：两个不同的素数互素；1和任何数互素；两个相邻的正整数互素；一个素数和一个合数如果没有倍数关系，则它们互素；2、求最大公因数的方法求几个整数的最大公因数的方法通常有以下四种“（1）枚举法：分别枚举出每个数的所有因数，然后从公因数中找出最大的一个公因数，就是这几个数的最大公因数.（2）分解素因数法：分别将每个数分解素因数，然后将所有公素因数连乘，所得的积就是他们的最大公因数.（3）短除法：用所求两个数的公因数去除这两个数，除到所得的商互素，然后将所有除数连乘，所得的积就是他们的最大公因数.（4）运用规律法：如果两个数满足下面的规律，便可直接运用规律求出它们的最大公因数，规律：两个整数中，如果某个数是另一个数的因数，那么这个数就是这两个数的最大公因数；如果这两个数互素，那么它们的最大公因数就是1.3、公倍数与最小的公倍数（1）公倍数：几个整数的公有的倍数，叫做这几个数的公倍数.（2）最小公倍数：几个整数的公倍数中，最小的一个叫做这几个数的最小公倍数.4、求两个数的最小公倍数的方法（1）枚举法：分别枚举出每个数的所有倍数，然后从公倍数中找出最小的一个公倍数，就是这几个数的最小公倍数.（2）分解素因数法：分别将每个数分解素因数，然后取它们所有公素因数，再去它们各自剩余的素因数，将这些素因数连乘，所得的积就是他们的最小公倍数.（3）短除法：用两个数的公因数去除这两个数，除到所得的商互素，然后将所有除数和最后的商连乘，所得的积就是他们的最小公倍数.（4）运用规律法：如果两个数满足下面的规律，便可直接运用规律求出它们的最小公倍数，规律：两个整数中，如果某个数是另一个数的倍数，那么这个数就是这两个数的最小公倍数；如果这两个数互素，那么它们的乘积就是最小公倍数.（5）大数倍数法：将两个数中的较大数依次乘以2,3,4，…,所得的积最先是较小这个数的倍数时，这个积就是这两个数的最小公倍数.例1、判断下列说法是否正确，并给出原因。
青岛版六年级数学下册 总复习一 数与代数 1数的认识 第2课时 因数、倍数、质数、合数 课件
4.从 0 1 2 3 这四张数字卡片中任选两张，摆成不 同的两位数。 (1)能排出多少个不同的两位数?
能排出9个不同的两位数,分别是10、12、13、 20、21、23、30、31、32。
(2)其中哪些数是奇数?哪些数是偶数?
奇数:13、21、23、31。 偶数:10、12、20、30、32。
教材第86页“应用与反思”第9题
方法二：树枝法
60
6
10
23 2 5 60＝2× 2× 3× 5
几个数公有的因数叫作这几个数的公因数。其中最大 的一个公因数叫作这几个数的最大公因数。
怎样求两个数的最大公因数呢？
列举法 筛选法 分解质因数法 短除法 短 的分分列 筛质除解解举选法因质的法：数因质：是同数因先时分数法写 找解去：中出质除先找这 较因这将出两小两数这这个数个法两两数的的数个个的所简，数数所有除便公分有因到形有别因数所式的分数，，得解质，再的用因质再 从商两数因找 中只个，数出 圈数有，所这 出公公有再因有公从 数有两 较1的，大个质再数因将的数所公因相有因数乘的数，的除，并积数从就相公中是乘因找这。数到两中最个找大数出的的最一最大个大公。公因因数数。。
2
甲的因数 乙的因数 3、6、 1、2、 16、 12、24 4、8 32、
A.甲和乙公有的质因数是1 B.甲和乙的最大公因数是8 C.甲和乙都是偶数
甲和乙的公因数
D.甲和乙的最小公倍数是96
甲和乙公有的质因数应该是2，1不是质数； 甲和乙的最大公因数能从图中看出来，是8； 甲和乙都有公因数2，因此甲和乙都是偶数； 甲是24，乙是32，最小公倍数是96。
教材第86页“应用与反思”第9题
5.小林的爸爸每上班3天休息1天，妈妈每上班4天休息 1天。6月1日他们同时在家休息，下一次同时在家休 息是几月几日？
素数合数与分解素因数
素数、合数与分解素因数引言在数学中，素数和合数是基本的概念。
素数是只能被1和自身整除的正整数，而合数则是除了1和自身外还能被其他正整数整除的正整数。
分解素因数是将一个正整数表示为若干个素数的乘积的过程。
本文将详细介绍素数、合数以及分解素因数的相关概念、性质及应用。
素数定义素数（Prime Number），也称质数，是指大于1且只能被1和自身整除的正整数。
性质•2是最小的素数。
•素数只有两个因子：1和它本身。
•质因子只有两个：1和它本身。
判断方法判断一个数字是否为素数有多种方法，其中常见且简单的方法是试除法。
试除法即从2开始，依次用2、3、4…逐个去除待判断数字n，如果n能被其中任何一个小于n的数字整除，则n不是素数；如果n不能被任何一个小于n的数字整除，则n 为素数。
应用•加密算法：许多加密算法（如RSA）依赖于大质量随机素数的产生。
•素性检验：在计算机科学中，常用于判断一个数字是否为素数。
合数定义合数（Composite Number）是指除了1和自身外还能被其他正整数整除的正整数。
性质•0和1既不是素数也不是合数。
•合数可以分解为若干个素数的乘积。
判断方法判断一个数字是否为合数有多种方法，其中一种简单且常用的方法是试除法。
试除法即从2开始，依次用2、3、4…逐个去除待判断数字n，如果n能被其中任何一个小于n的数字整除，则n为合数；如果n不能被任何一个小于n的数字整除，则n为素数。
应用•数论研究：在许多数论问题中，需要对合数进行分析和研究。
•加密算法：一些加密算法（如RSA）要求选择两个大质量随机合数作为公钥和私钥。
分解素因数定义分解素因数是将一个正整数表示为若干个素数的乘积的过程。
例如，将12分解为2*2*3。
方法分解素因子有多种方法，其中最常用且简单的方法是试除法。
1.找到一个能整除待分解的数n的最小素数p。
2.将n除以p得到商q和余数r。
3.如果r为0，则p是n的一个素因数，将p记录下来，并继续将q分解为素因数。
因数、倍数、质数
典型练习
• 两个质数的和是39，这两个质数的积是（） • 120的因数有（ ）个
典型练习
• 2.一个长方体木块，长2.7m，宽1.8米，高 1.5米。要把它切成大小相等的正方体木块， 不许有剩余，正方体木块的棱长最长是多 少?
典型练习
• 3.学校六年级有若干名同学排队做操，3人 一行余2人，7人一行余2人，11人一行也余 2人。六年级最少有多少人？
• 公因数只有1的两个数叫互质数。 • 几个数公有的倍数叫公倍数。其中最小的
一个，叫做这几个数的最小公倍数。 • 短除法：
5. 2、3、5的倍数特征
• 2的倍数特征：
• 个位上的数字是0、2、4、6、8（能被2整除）
• 3的倍数特征： • 各个数位上的数字之和是3的倍数 • 5的倍数特征： • 个位上是0或5 • 同时是2、3的倍数特征： • 同时是2、5的倍数特征： • 同时是3和5的倍数特征： • 同时是义
• 若正整数a、b、c，且a÷b=c，那么a就是b、 c的倍数，b、c就是a的因数
• 如4x5=20,则20是4和5的倍数，4和5是20 的因数。
2.因数、倍数的特征
• 一个数的因数的个数是有限的，其中最小 的因数是1，最大的因数是它本身。
• 一个数的倍数是无限的，其中最小的倍数 是它本身，没有最大的倍数。
3.质数、合数的意义
• 质数：一个数，如果只有1和它本身两个因 数，这样的数叫做质数（素数）。最小的 质数是2，没有最大的质数。
• 合数：一个数，除了1和它本身还有别的因 数，这样的数叫合数。最小的合数是4，没 有最大的合数。
• 1既不是质数也不是合数
4.公因数、公倍数
• 几个数公有的因数叫公因数。其中，最大 的一个，叫做这几个数的最大公因数。
五年级上册奥数专题系列-整数与整除,因数倍数,素数合数,最大公因数与最小公倍数 沪教版(2015秋)
例如：三个连续自然数的乘积是不是素数，所以我们只要拿所有小于p的素数去除p就可以了；但是这样的计算量很大，对于不太大的p，我们可以先找一个大于且接近p的平方数2K，再列出所有不大于K的素数，用这些素数去除p，如没有能够除尽的那么p就为素数.例如：149很接近1441212=⨯，根据整除的性素149不能被2、3、5、7、11整除，所以149是素数.四、最大公约数1、公约数思考：六一儿童节这天，老师带着24名女生和32名男生做游戏，要求把这些学生分成人数相等的若干组，每小组中男生和女生人数都相同，最多可分成几组？上面中间数字1、2、4、8就是这两部分共有的因数，我们就叫做公因数，其中8是最大的因数，就叫做最大公因数。
2、最大公约数几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数其中最大的一个叫做这几个数的最大公因数。
3、求最大公因数的方法（1）短除法：先找出所有共有的约数，然后相乘．例如：2181239632，所以(12,18)236=⨯=；（2）辗转相除法：每一次都用除数和余数相除，能够整除的那个余数，就是所求的最大公约数．用辗转相除法求两个数的最大公约数的步骤如下：先用小的一个数除大的一个数，得第一个余数；再用第一个余数除小的一个数，得第二个余数；又用第二个余数除第一个余数，得第三个余数；这样逐次用后一个余数去除前一个余数，直到余数是0为止．那么，最后一个除数就是所求的最大公约数．(如果最后的除数是1，那么原来的两个数是互质的)．例如，求600和1515的最大公约数：151********÷=⋅⋅⋅⋅⋅⋅；6003151285÷=⋅⋅⋅⋅⋅⋅；315285130÷=⋅⋅⋅⋅⋅⋅；28530915÷=⋅⋅⋅⋅⋅⋅；301520÷=⋅⋅⋅⋅⋅⋅；所以1515和600的最大公约数是15．五、最小公倍数1、公倍数思考：在上海南站，地铁1号线每隔3分钟发车，轨道交通3号线每隔4分钟发车，早上6：00同时发车，那么至少再过多少时间它们又同时发车？像上面12、24等就是3和4的公倍数，其中12是最小的，就叫做最小公倍数。
因数、倍数、质数、合数(复习)(课件)五年级下册数学人教版
10的倍数有：10，20，30，40，50，60，70，80，90…… 6和10的公倍数是:30、60、90…… 6和10的最小公倍数是:30。
两个数的公倍数都是它们最小公倍数的倍数。
利用分解质因数的方法，用短除法可以比较简便 地求出两个数的最小公倍数。
公倍数：几个数公有的倍数 叫做这几个数的公倍数。
公因数：几个数公有的因 数叫做这几个数的公因数。 公因数一定是正整数。
公因数和最大公因数：
几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数；其 中最大的一个，叫做这几个数的最大公因数。几个数 的最小公因数都是1。
12的因数是：1、12、2、6、3、4； 18的因数是：1、18、2、9、3、6； 12和18的公因数是：1、2、3、6； 12和18的最大公因数是：6。
数。（m、n不相等）
A、a B、4a C、m + n D、mn
（2）李简六年级两班共68名同学排成4行，如果前三行的人数
都是奇数，那么第4行人数是（ B ）。
A、偶数 B、奇数 C、无法确定
（3）用几个长6cm、宽4cm的长方形可拼成一个边长为（D ）
cm的正方形。
A、10 B、15
C 、16 D、12
下面说法对吗？说说理由。 1、在13÷4=3……1中，13是4的倍数。（×）
2、因为3×6=18，所以18是倍数，3和6是 因数。（×）
3、 6既是6的因数，也是6的倍数。（√）
4、36÷9=4，所以36是倍数，9是因数。（ × ）
5、1.5÷3=0.5,1.5是3和0.5的倍数。（ × ）
6、12的倍数只有12，36，48。（ × ）
第一单元第1课《倍数、因数》大单元教案-五年级数学下册(西师大版)
单元目标：一单元教学目标1. 了解自然数、奇数和偶数、质数（素数）和合数。
2. 知道2，3，5的倍数特征，了解公倍数和最小公倍数；在1～100的自然数中，能找出10以内自然数的所有倍数，能找出10以内两个自然数的公倍数和最小公倍数。
3. 了解公因数和最大公因数；在1～100的自然数中，能找出一个自然数的所有因数，能找出两个自然数的公因数和最大公因数。
4. 学生在认识自然数、整数、奇数和偶数、质数（素数）和合数、倍数和因数的过程中，丰富学生对数的认识，初步形成数感，逐步培养学生的数学抽象能力，并能进行初步的抽象思考。
5. 在因数与倍数的学习中，知道有关知识之间的联系和区别，从而感受事物的联系，渗透辩证唯物主义启蒙教育。
第一单元倍数与因数1.倍数、因数第1课时倍数、因数学习目标：1．认识倍数、因数，了解倍数和因数的关系，掌握一个数倍数、因数的特点。
2．能根据因数、倍数的意义会找一个数的倍数和因数。
3．了解相关数学的趣味知识，提高对数学的学习兴趣。
学习重难点：认识倍数和因数，并会找一个数的倍数和因数。
教学准备：多媒体、数字卡片教学过程：一、故事引入，激发兴趣1.讲故事引入主题图，让学生根据主题图提出数学问题并解答。
孩子们听过韩信点兵的故事吗？韩信点兵的计算方法，是中国古代数学家的一项重大创造，在世界数学史上具有重要的地位。
（出示第1页主题图）这就是韩信点兵图，从这幅图上你能提出哪些数学问题？谁能列式解答？老师根据学生的回答板书9×4=36 36÷2=182.让学生根据所列算式说一说每个算式的3个数之间有什么关系？二、教学新课1.认识自然数，界定研究范围（1）认识自然数老师让学生说一说刚才列式时所用的数都是些什么数？你还知道哪些数是整数？待学生回答后老师指出像0、1、2、3、4、9、18、36……这些整数都是自然数。
（2）认识非零自然数你知道哪些数是非零自然数？引导学生说出除零以外的所有自然数。
(完整)因数和倍数, 质数和合数
因数和倍数质数和合数整理教师：刘新民一、基础知识（一）因数和倍数1. 因数和倍数的意义.已知a、b、c均为正整数,且a×b=c，那么c就是a和b的倍数，a和b就是c的因数，倍数和因数是相互依存的，不能独立存在。
2。
因数和倍数的特征。
一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身；一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身,没有最大的倍数；一个数既是它本身的因数，又是它本身的倍数.（二）能被2、3、5整除的数的特征1. 能被2整除的数的特征：个位上的数字是0,2,4，6,8。
2. 能被3整除的数的特征:各个数位上的数字的和是3的倍数。
3。
能被5整除的数的特征：个位上的数字是0或5.4。
能同时被2、5整除的数的特征：个位上的数字是0。
（三）奇数和偶数1。
奇数：在自然数中，不能被2整除的数叫做奇数。
2。
偶数:在自然数中，能被2整除的数叫做偶数。
3。
研究奇数和偶数时包括0,因此自然数不是奇数就是偶数。
最小的奇数是1，没有最大的奇数;最小的偶数是0，没有最大的偶数。
（四)质数和合数1。
质数的意义：一个数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数(或素数），最小的质数是2，2是唯一的偶质数,没有最大的质数.2。
合数的意义：一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数。
最小的合数是4，没有最大的合数。
注意：1既不是质数也不是合数.除2以外，所有的质数是奇数，所有的偶数是合数。
3. 判断一个数是质数还是合数的方法.(1）通过找因数的个数来判断：先找出这个数的因数，再数因数的个数，只有1和它本身两个因数的数就是质数，有三个或三个以上因数的数就是合数。
（2）查表法：看质数表里有没有所要查的数,如果有，它是质数，如果没有，它就不是质数. 4. 奇数和偶数的运算性质.（1)和差的奇偶性奇数±奇数=偶数(偶数个奇数相加) 奇数±奇数=奇数（奇数个奇数相加）奇数±偶数=奇数偶数±偶数=偶数（2）积的奇偶性奇数×奇数=奇数; 奇数×偶数=偶数; 偶数×偶数=偶数（五)分解质因数1。
六年级同步第2讲：分解素因数 - 教师版
分解素因数是六年级数学上学期第一章第二节内容，主要包含素数、合数的概念以及分解素因数，公因数与最大公因数，公倍数与最小公倍数这三大块内容，这节课主要讲解前面两大块内容，重点是素数与合数的概念以及分解素因数，难点是求2个整数或者是3个整数的最大公因数．通过这节课的学习一方面为我们后面学习公倍数和最小公倍数奠定基础，另一方面用所学知识解决实际问题，加强学生对数学学习的兴趣．1、素数与合数（1）素数：一个正整数，如果只有1和它本身两个因数，则叫做素数，也叫做质数；（2）合数：一个正整数，如果除了1和它本身以外还有别的因数，则叫做合数；（3）1既不是素数，也不是合数；正整数可分为：1、素数和合数三类．分解素因数知识结构模块一：素数与合数知识精讲内容分析1 / 1例题解析【例1】判断37，39，47和49是素数还是合数．【难度】★【答案】37和47是素数，39和40是合数．【例2】下列各数中，哪些是素数？哪些是合数？6，13，18，31，51，67，87，120．【难度】★【答案】13，31，67是素数；6，18，51，87，120是合数．【例3】根据要求填空：在1，2，9，21，43，51，59，64这八个数中：(1)是奇数又是素数的数是（）；(2)是奇数不是素数的数是（）；(3)是素数而不是奇数的数是（）；(4)是合数而不是偶数的数是（）．【难度】★【答案】（1）43，59 ；（2）1，9，21，51 ；（3）2；（4）9，21，51．【例4】已知字母p、q分别代表一个素数，并且p + q = 99，你能知道p、q这两个数相乘的积是多少吗？【难度】★★【答案】194【解析】99是一个奇数和一个偶数的和，且这两个数都是素数，所以这两个数是2和97，积是194．【总结】2是最小的素数，也是唯一的偶素数．【例5】判断题（若是正确的，请说明理由；若是错误的，请把它改正确）．(1)所有的偶数是合数，所有的奇数是素数；(2)某数是3的倍数，这个数一定是合数；(3)一个合数至少有3个因数；(4)在所有的素数中，只有2是偶数，其余的素数都是奇数；(5)一个自然数，如果不是素数，就一定是合数；(6)两个素数的和一定是合数；(7)大于2的合数都是偶数；3 / 3(8) 一个大于1的自然数，如果有小于本身的因数，那么这个数一定是合数．【难度】★★【答案】（1）×；（2）×；（3）√；（4）√；（5）×；（6）×；（7）×；（8）×．【例6】用10以内的质数组成一个三位数，使它能同时被3、5整除，这个数最小和最大分别是多少？ 【难度】★★ 【答案】375和735．【例7】一个两位质数，交换个位与十位上的数字，所得的两位数仍是质数，这个数是多少？ 【难度】★★【答案】11，13，17，31，37，71，73，79，97．【解析】两位质数中，十位数字是2、4、5、6、8的，不满足条件，剩余的有：11，13，17，19，31，37，53，59，71，73，79，97，其中满足条件的有：11，13，17，31，37，71，73，79，97．【总结】本题主要查对质数概念的理解和运用．【例8】已知一个长方形的长和宽都是质数厘米，并且周长是36厘米．问这个长方形的面积至多是多少个平方厘米？ 【难度】★★★ 【答案】77平方厘米【解析】由周长是36厘米可得：长+宽=18，由于长和宽都是质数， 所以18只能写成5+13或7+11．所以这个长方形的面积最大为：7×11=77平方厘米 答：这个长方形的面积至多是77平方厘米． 【总结】本题是利用质数解决实际问题．师生总结1、 最小的素数是几？最小的合数是几？2、 最小的偶素数是几？3、 如何判断一个正整数是不是素数？【例9】三个素数的和是100，这三个素数的积最大是多少？ 【难度】★★★ 【答案】4514【解析】由三个素数和为100且2是素数中唯一的偶数，所以2是其中一个素数， 即：另两个素数的和是98． 又：98=19+79=31+67=37+61所以这三个数的乘积最大是：2×37×61=4514． 答：这三个素数的积最大是4514．【总结】偶数与偶数的和是偶数，偶数与奇数的和是奇数，2是唯一的偶素数．【例10】若三个素数的乘积恰好等于它们的和的11倍，那么这三个素数各是几？ 【难度】★★★【答案】2、11、13或3、7、11．【解析】设这三个质数为a 、b 、c ，可得等式：11()abc a b c =++， 又11也是质数，所以a ，b ，c 中必有一个数是11， 设a =11，即11bc =11（11+b +c ），所以11bc b c =++． ①当b 、c 中含有质数2时，不妨令b =2 2c =11+2+c ，解得c =13，符合题意．②当b 、c 中不含有质数2，即b c 都是奇数时， 不妨令：b =2M +1，c =2N +1，有： （2M +1）（2N +1）=11+2M +1+2N +1． 即4MN =12，MN =3． 显然只能是M =3，N =1．此时b =2×3+1=7，c =1×2+1=3，符合题意． 综上，这三个质数可以是：2、11、13或3、7、11．【总结】本题是一道综合性非常强的题目，要求学生要充分理解其中的假设法．1、分解素因数每个合数都可以写成几个素数相乘的形式，其中每个素数都是这个合数的因数，叫做这个合数的素因数．知识精讲模块二：分解素因数5 / 5把一个合数用素因数相乘的形式表示出来，叫做分解素因数． 2、口算法分解素因数例如：728922233=⨯=⨯⨯⨯⨯． 3、短除法分解素因数形如右图，这种在左侧写除数，下方写商的除法格式叫做“短除法”． 用短除法分解素因数的步骤如下：（1）先用一个能整除这个合数的素数（通常从最小的开始）去除；（2）得出的商如果是合数，再按照上面的方法继续除下去，直到得出的商是素数为止； （3）然后把各个除数和最后的商按从小到大的顺序写成连乘的形式．【例11】把24分解素因数的正确算式是（ ）A ．24234=⨯⨯B ．242223=⨯⨯⨯C ．2412223=⨯⨯⨯⨯D ．24226=⨯⨯【难度】★ 【答案】B【解析】A 、D 选项中有合数，C 选项中有1，1既不是素数，也不是合数． 【总结】每个合数都可以写成几个素数相乘的形式，叫做分解素因数．【例12】在等式462223n ⨯==⨯⨯⨯中，4和6都是n 的（ ），2和3都是n 的（ ）A ．素因数B ．素数C ．因数D ．合数【难度】★ 【答案】C 、A 【解析】略【总结】本题主要考察素数和素因数的区别． 【例13】把以下各数分解素因数：35，72，105，108，238．【难度】★【答案】35=5×7； 72=2×2×2×3×3； 105=3×5×7； 108=2×2×3×3×3；238=2×7×17．【解析】略【总结】本题主要考查如何将一个合数分解素因数．例题解析355 7【例14】请把2、3、5、7、14、15这六个数分成两组，使每组数的乘积相等． 【难度】★★【答案】3、5、14和2、7、15．【解析】因为14=2×7，所以14和2、7分在两组；因为15=3×5，所以15和3、5分在两组；故：3、5、14一组，2、7、15一组． 【总结】本题主要是对分解素因数的综合运用．【例15】如果a <>表示全部素因数的和，如6235<>=+=，试求3510<>-<>的值． 【难度】★★ 【答案】7【解析】由已知得：<35>=5+7=14，<10>=2+5=7， 所以<35>－<10>=7． 【总结】本题类似于阅读理解题，要对a <>所表示的概念准确理解．【例16】下面的算式里，□里数字各不相同，求这四个数字的和．□□×□□=1995．【难度】★★ 【答案】20【解析】因为1995=3×5×7×19=35×57，所以这四个数分别是3、5、5、7， 和是：3+5+5+7=20．【总结】本题主要是对分解素因数的综合运用．【例17】有168颗糖，平均分成若干份，每份不得少于10颗，也不能多于50颗．共有多少种分法？ 【难度】★★ 【答案】5种【解析】由因为168=1×168=2×84=3×56=4×42=6×28=8×21=12×14；所以168的因数有：1，2，3，4，6，8，12，14，21，28，42，56，84，168．师生总结1、 分解素因数的方法有哪些？2、归纳总结短除法分解素因数的步骤．因为每份不得少于10颗，也不能多于50颗，所以满足条件的因数有：12、14、21、28、42．所以共有5种分法．【总结】本题主要是利用因数的概念解决实际问题．【例18】把一篮苹果分给4人，使四人的苹果数一个比一个多2，且他们的苹果个数之积是1920．这篮苹果共有多少个？【难度】★★【答案】28个【解析】因为1920=2×2×2×2×2×2×2×3×5=4×6×8×10，所以四个小朋友分别分到4、6、8、10个苹果，4+6+8+10=20(个) 答：这篮苹果共有20个．【总结】本题是一道应用题，主要是还是利用分解素因数的思想进行求解．【例19】有a个人都属鸡，而且生日都是3月20日．某年，他们的年龄数的乘积为207025，他们的年龄数之和是102．则a等于几？【难度】★★★【答案】6【解析】因为207025=5×5×7×7×13×13=1×13×13×25×49，又这几个人的生肖相同，所以他们的年龄是49，25，13，13，1，因为49+25+13+13=100，所以102-100=2．所以有2人年龄为1，有2人年龄为13，有1人年龄为25，有1人年龄为49，共6人，即a=6．【总结】本题是一道非常综合的题目，主要还是利用分解素因数的方法，找到原数的因数，从而求出适合题意的解来．模块三：公因数和最大公因数知识精讲1、公因数几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数．2、最大公因数7 / 7几个数的公因数中，最大的一个叫做这几个数的最大公因数．3、两个数互素如果两个整数只有公因数1，那么称这两个数互素．4、求最大公因数求几个数的最大公因数，只要把它们所有公有的素因数连乘，所得的积就是它们的最大公因数．例题解析【例20】求出下列各组数的最大公因数．（1）14和42；（2）121和44；（3）28和56；（4）17和9．【难度】★【答案】（1）14；（2）11；（3）28；（4）1．【例21】指出下列哪组中的两个数互素．（1）3和5；（2）6和9；（3）14和15；（4）18和1．【难度】★【答案】（1）（3）（4）．【解析】如果两个整数只有公因数1，那么称这两个数互素．【总结】互素两数的几种常见类型：（1）两个数都是素数；（2）一个素数，一个合数；（3）1和其它的任意正整数．【例22】找出下列各数的公因数与最大公因数．（1）84、28、60；（2）12、16、20．【难度】★【答案】（1）公因数：1、2、4，最大公因数：4；（2）公因数：1、2、4，最大公因数：4．【例23】下列说法中，正确的个数有（）个①2是4和16的一个公因数；②12是24和36的最大公因数；③如果两个数互素，那么这两个数一定都是素数；④1和任何正整数互素．A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D9 / 9【例24】已知m n p 、、都为自然数，且2n p ÷=，12m n ÷=，那么m n p 、、的最大公因数是多少？ 【难度】★★ 【答案】p【解析】m 是n 的倍数，n 是p 的倍数，因此m 是p 的倍数；所以最大公因数是p ． 【总结】若三个数都是倍数关系，则它们的最大公因数是最小的那个数．【例25】已知两个数的积是5766，它们的最大公因数是31，求这两个数． 【难度】★★【答案】31、168或62、93．【解析】设这两个数是31a ，31b (a 、b 互素)， 则：31a ×31b =5766 ∴ab =6① a =1，b =6时，两个数是31、168； ②a =2，b =3时，两个数是62、93．【总结】本题是一道综合题，综合运用了最大公因数和因数的概念．【例26】将长、宽、高分别是120厘米，90厘米，60厘米的长方体木料锯成同样大小的正方体木块，而没有剩余，锯成的木块棱长最长是多少？共可以锯成多少块？ 【难度】★★ 【答案】30厘米，9块【解析】120、90、60的最大公因数是30，所以棱长最长为30厘米． （120+90+60）÷30=9（块）答：锯成的木块棱长最长是30厘米，共可以锯成9块．【例27】学校买来40支圆珠笔和50本练习本，平均奖给四年级三好学生，结果圆珠笔多4支，练习本多2本，四年级有多少名三好学生，他们各得到什么奖品？ 【难度】★★【答案】（1）12名，3支圆珠笔，4本练习本；（2）6名，6支圆珠笔，8本练习本． 【解析】40-4=36（支），50-2=48（本），36与48的最大公因数是12． 12=1×12=2×6=3×4．（1）若12名，每人3支圆珠笔，4本练习本； （2）若6名，每人6支圆珠笔，8本练习本； （3）若4名或2名，圆珠笔可分完，与题意矛盾； 【总结】本题是利用最大公因数的思想解决实际问题．【例28】幼儿园一个班买书，如买35本，平均分给每个小朋友差一本，如买56本，平均分给每个小朋友后还剩2本，如买69本，平均分给每个小朋友则差3本．这个班的小朋友最多有几人？【难度】★★★【答案】18人【解析】35+1=36本，56-2=54本，69+3=72本，36、54、73的最大公因数是18．答：这个班的小朋友最多有18人．【总结】本题是利用最大公因数的思想解决实际问题．师生总结1、两个整数的最大公因数的方法有哪些？2、互素的两个整数具有什么样的特征？【习题1】下列说法中，正确的个数有（）个①一个自然数，不是质数就是合数；②任何一个自然数至少有2个因数；③90分解素因数是90=5⨯2⨯9；④两个素数的和一定是偶数；A．0 B．1 C．2 D．3【难度】★【答案】A【习题2】将20写成两个质数之和，这两个质数最大乘积是多少？【难度】★【答案】91【解析】因为20可以写成3+17或7+13的两个质数的和，所以积最大是：7×13=91．【习题3】下列各数中是否含有相同的公因数，若含有请指出，并求出最大公因数．（1）6和9；（2）27和51；（3）28、42和56．【难度】★【答案】（1）含有，最大公因数：3；（2）含有，最大公因数：3；（3）含有，最大公因数：14．【习题4】已知两个数的和是107，它们的乘积是1992，这两个数分别是多少？【难度】★★【答案】24和83【解析】1992=2×2×2×3×83=24×83，所以这两个数是24和83．【总结】本题主要是考查分解素因数在数字求和中的运用．【习题5】两个正整数的和是50，他们的最大公因数是5，这两个数的差的最大值是几？【难度】★★【答案】40【解析】设这两个数是5a，5b(a、b互素)，则：5a+5b=50．所以a+b=10 ．①a=1，b=9时，两个数是5、45；45-40=5；②a=3，b=7时，两个数是15、35．35-15=20；所以这两个数的差的最大值是40．【总结】本题主要考查素数在数字计算中的运用．【习题6】王老师带领一班同学去植树，学生恰好分成4组．如果王老师和学生每人植树一样多，那么他们一共植了539棵．这个班有多少个学生？每人植树多少棵？【难度】★★【答案】48个，11棵【解析】因为539=7×7×11=49×11，所以学生数是48人，每人植树11棵．【总结】本题是对分解素因数的综合运用．【习题7】某农副食品店销售三级别的大米，已知一级大米150斤，二级大米180斤，三级大米210斤的价格都是450元，现需将这三种大米分别按整斤数装袋，要求每袋的价格都相等，那么每袋的价格最低是多少元？【难度】★★【答案】15元【解析】因为150、180、210的最大公因数是30，所以每种大米最多分30小份，11 / 11即每份最低：450÷30=15元．答：每袋的价格最低是15元．【总结】本题是利用最大公因数的思想解决实际问题．【习题8】 “九九重阳节敬老节”将至，幸福小区组织一批老年人决定分乘若干辆至多可乘44人的大巴前去郊游．如果打算每辆车坐22个人，就会有1个人没有座位；如果少开一辆车，那么，这批老人刚好平均分乘余下的大巴．那么有多少个老人？原有多少辆大巴？【难度】★★★【答案】529个，24辆．【解析】22+1=23人，因23是质数，所以把这23人，只能平均分到23个车里． 所以原来的车数是：23+1=24（辆），24×22+1=529（个）．答：有529个老人，原有24辆大巴．【总结】本题的综合性比较强，解题是注意对本题中的“23”这个素数的准确理解．【习题9】 甲乙两人射箭，规定每射一箭得到的环数是0~10这10个数中的一个整数，他们各射5靶，每人得到的环数之积刚好都是1764，但是甲的总环数比乙少4环，求甲、乙各自的总环数．【难度】★★★【答案】24环，28环．【解析】因为1764=2×2×3×3×7×7，所以每人都有两个7环．剩余三个环数可能为：2、2、9； 3、3、4； 2、3、6； 1、4、9； 1、6、6． 和分别为：13，10，11，14，13．因为甲的总环数比乙少4环，所以甲另外三环的和应是10环，乙另外三环的和应是14环．所以甲的环数为：14+10=24环，乙的环数为：14+14=28环．【总结】本题依旧是考查分解素因数在实际问题中的应用．【习题10】 有a b c d 、、、四个数，已知a b 、的最大公因数是60，c d 、的最大公因数是96，这四个数的最大公因数是多少？【难度】★★★【答案】12【解析】由已知得：a 、b 是60的倍数，c 、d 是96的倍数，因此60和96的最大公因数即是a b c d 、、、四个数的最大公因数．而60和96的最大公因数是12．13 / 13 答：这四个数的最大公因数是12．【总结】本题主要是考查学生对最大公因数的概念的准确理解和运用．【作业1】 求出下列每组数的最大公因数．（1）48和72；（2）104和182； （3）13和52； （4）160和185． 【难度】★【答案】（1）24；（2）26；（3）13；（4）5．【解析】（1）短除法得： 48与72的最大公因数是24；（2）短除法得：104与182的最大公因数是26；（3）13和52是倍数关系，最大公因数是较小数，13与52的最大公因数是13；（4）短除法得：160与185的最大公因数是5．【总结】本题主要是考查求两个数的最大公因数．【作业2】 已知四个小于10的自然数，它们的积是360．已知这四个数中只有一个是合数，求这四个数．【难度】★【答案】3、3、5、8【解析】因为360=2×2×2×3×3×5，又四个数中只有一个合数，且小于10，所以只能是8．所以这四个数是3、3、5、8；【总结】本题还是考查分解素因数的运用．【作业3】 已知：235A =⨯⨯，335B =⨯⨯，则A 和B 的公因数有哪些，最大公因数是几？【难度】★【答案】公因数：3、5、15；最大公因数：15．【解析】略【总结】求最大公因数的方法：①枚举法；②短除法；③分解素因数法．【作业4】 将下列各数分解素因数．36，81，143，437，663【难度】★★ 课后作业【答案】36=2×2×3×3；81=3×3×3×3；143=11×13；663=3×13×17．【解析】略【总结】本题主要是考查如何将一个正整数分解素因数．【作业5】两个数的和为90，两个数的最大公因数是15，求这两个数．【难度】★★【答案】15，75【解析】设这两个数是15a，15b(a、b互素)，则：15a+15b=90，所以a + b = 6 ．因为这两个数的最大公因数是15，所以a=1，b=5．所以这两个数是15、75．【总结】本题已知两数和和两数的最大公因数，在求这两个数时注意方法的选用．【作业6】已知两个数的和被5除余1，它们的积是2924，那么它们的差等于多少？【难度】★★【答案】25【解析】2924=2×2×17×43=1×2924=2×1462=4×731=17×172=34×86=43×68因为和被5除余1，所以这两个数是：43、68，68-43=25，答：它们的差是25．【总结】本题是利用求一个数的因数的方法求出满足条件的两个数．【作业7】用一个数去除18、24、60都能整除，这个数最大是多少？【难度】★★【答案】6【解析】18、24、60的最大公因数是6，所以这个数最大是6．【总结】本题主要考查求三个数的最大公因数．【作业8】288人参加团体操，分成人数相等的若干队，每队人数在15至35之间．有哪些分法？【难度】★★【答案】3种分法：（1）每队16人，共18队；（2）每队18人，共16队；（3）每队24人，共12队．【解析】因为288=2×2×2×2×2×3×3 =2×144=3×76=4×72=6×48=8×36=12×24=16×18，而每队人数在15至35之间，故有3种分法：16人，18队；18人，16队；24人，12队；【总结】本题是利用求一个数的因数的方法求出满足条件的两个数．【作业9】有三根绳子，一根长36米，一根长16米，一根长24米．要把它们剪成同样长的小段做跳绳，每小段要尽量长，一共能剪成多少根跳绳？【难度】★★★【答案】19根【解析】因为36、16、24的最大公因数是4，所以一共能剪成：（36+16+24）÷4=19根．【总结】本题主要是考查利用三个数的最大公因数解决实际问题．【作业10】从一块正方形的木板上锯下宽为3分米的一个木条后，剩下木板的面积是108 平方分米，则锯下的木条面积是多少平方分米？【难度】★★★【答案】36平方分米【解析】108=2×2×3×3×3=12×9，则原来木板边长12分米．12×3=36平方分米．答：锯下的木条面积是36平方分米．【总结】本题综合性较强，解题时注意对题意的准确理解．15 / 15。
小学中的数与代数完整知识体系
小学数学中数与代数的内容第一章预备知识第一节集合第二节映射第三节关系第四节可数集第五节运算第二章自然数第二节自然数的概念第二节自然数的加减法第三节自然数的乘除法第四节自然数的四则混合运算第五节自然数四则应用题第三章整数性质初步第一节整数的整除性第二节质数和分解质因数第三节最大公约数和最小公倍数第四节简单不定方程第五节同余初步第四章分数第一节分数的概念和性质第二节分数的加减法第三节分数的乘除法第四节分数的四则混合运算和连分数第五节分数应用题第五章小数第一节小数的概念和性质第二节小数的四则运算第三节小数和分数第四节百分数：第五节近似计算第六章量的计量第一节量的概念与计量第二节名数附录附录1 5000以内的质数表附录2 有关质数的一些猜想附录3 祖冲之与圆周率数与代数数的认识【知识要点】1.整数、小数、分数和百分数的意义；2.分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘或除以相同的数（0除外），分数的大小不变；3.小数的性质：小数的末尾添上“0”或去掉“0”，小数的大小不变；4.分数与除法的关系：被除数÷除数=（除数不为0）；5.数位顺序表：6.人民币、时间、质量等常见计量单位的换算：低聚高：用低级单位数÷进率高化低：用高级单位数×进率7.数字信息表示：a、数量的多少；b、编码。
【教学目标】1.使学生通过复习加深对整数、小数、分数和百分数的理解，进一步明确有关分数的意义和基本性质，体会整数与小数、小数与分数、分数与百分数的内在联系，完善认知结构。
2.使学生通过复习体会到数在刻画现实世界中数量关系与空间形式方面的价值，进一步发展数感。
3.使学生通过复习进一步感受数学学习的乐趣，发展学生对数学的积极情感，提高学好数学的信心。
二、教学建议1.教学“整理与反思”时可以分两步组织学生活动。
第一步，回忆并整理第一、二两个学段所认识的数。
可以先让学生举例说说学过哪些不同的数；再让学生结合具体的例子说说小数、分数和百分数的意义，说说整数和小数的数位顺序及各个数位上的计数单位。
数论重要概念(因数、倍数、质数、合数……
数论重要概念（因数、倍数、合数、质数、互质数……）1、因数（约数）与倍数假如a÷b=c（a、b、c都是整数)，那么我们称b和c就是a的因数。
反过来说，我们称a为b、c的倍数。
在研究因数和倍数时，不考虑0。
因数以前也叫做约数。
例如：6÷3=2，2和3都是6的因数，6是2的倍数，也是3的倍数。
6的因数有：1、2、3、6.2、公因数（公约数）与公倍数，最大公因数和最小公倍数公因数：指定两个或两个以上的整数，如果有一个整数是它们共同的因数，那么这个数就叫做它们的公因数，也可以说成“公约数”。
最大公因数：公因数中最大一个的称为最大公因数，又称作最大公约数。
公倍数：两个或两个以上的自然数中，如果它们有相同的倍数，这些倍数就是它们的公倍数。
最小公倍数：公倍数中最小一个的称为最小公倍数。
例如：（1）12的因数有：1、2、3、4、6、1220的因数有：1、2、4、5、10、20所以12和20的公因数有：1、2、412和20的最大公因数是：4.（2）12的倍数有：12、24、36、48、60、72……20的倍数有：20、40、60、80……所以12和20的公倍数有60、120……12和20的最小公倍数是：603、质数与合数质数：除了1和它本身以外不再有其他的因数的自然数叫做质数，也叫做素数。
合数：除了1和它本身以外还有其他的因数的自然数叫做合数。
例如：3的因数只有1和3，所以3是质数；4的因数有1、2、4，所以4是合数。
注意：1既不是质数也不是合数，最小的质数是2.4、质因数，分解质因数把一个合数写成几个质数相乘的形式，叫做分解质因数，这几个质数就都叫做这个合数的质因数。
例如：12=2×2×3 所以12的质因数有：2、3.5、互质数。
公因数只有1的两个非零自然数，叫做互质数。
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素数、合数、倍数、因数、公因数
素数
质数又称素数。
指在一个大于0的自然数中，除了1和此整数自身外，不能被其他自然数整除的数。
因为合数是由若干个质数相乘而得来的，所以，没有质数就没有合数，由此可见素数在数论中有着很重要的地位。
比1大但不是素数的数称为合数。
1和0既非素数也非合数。
质数是与合数相对立的两个概念，二者构成了数论当中最基础的定义之一。
基于质数定义的基础之上而建立的问题有很多世界级的难题，如哥德巴赫猜想等。
算术基本定理每一个比1大的数（即每个比1大的正整数）要么本身是一个素数，要么可以写成一系列素数的乘积，如果不考虑这些素数的在乘积中的顺序，那么写出来的形式是唯一的。
这个定理的重要一点是，将1排斥在素数集合以外。
如果1被认为是素数，那么这些严格的阐述就不得不加上一些限制条件。
只有1和它本身两个正因数的自然数，叫质数(Prime Number)。
（如：由2÷1=2，2÷2=1，可知2的因数只有1和它本身2这两个约数，所以2就是质数。
与之相对立的是合数：“除了1和它本身两个因数外，还有其它因数的数，叫合数。
”如：4÷1=4，4÷2=2，4÷4=1，很显然，4的因数除了1和它本身4这两个因数以外，还有因数2，所以4是合数。
）
100以内的质数有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，41，43，47，53，59，61，67，71，73，79，83，89，97，在100内共有25个质数。
注：（1）2和3是所有素数中唯一两个连着的数。
（2）2是唯一一个为偶数（双数）的质数。
[1] 质数的平方数只有三个因数.
合数
合数(Composite number)又名合成数,是在大于1的正整数中，满足以下任一(等价)条件的正整数：
1、是两个大于1 的整数之乘积；
2、拥有至少三个正因数(因子)；
3、有至少一个素因子的非素数。
4、两个或两个以上素数的乘积，可以组成一个合数，并且只可以组成一个合数。
反之，一个合数可以拆分为一组素数的乘积，并且只可以拆分为一组素数的乘积。
5、除1以外不是质数的正整数就是合数。
6、除了1和它本身之外，还有其他正因数的数
注："0"“1”既不是质数也不是合数。
倍数
①一个整数能够被另一整数整除，这个整数就是另一整数的倍数。
如15能够被3或5整除，因此15是3的倍数，也是5的倍数。
②一个数除以另一数所得的商。
如a÷b=c，就是说a 是b的c倍，a是b的倍数。
一个数能整除它的积，那么，这个数就是因数，它的积就是倍数。
3 × 5 = 15 。
因数1 因数2 倍数例如：A÷B=C，就可以说A是B的C倍。
③一个数的倍数有无数个，也就是说一个数的倍数的集合为无限集。
注意：不能把一个数单独叫做倍数，只能说谁是谁的倍数。
对于整数m(0除外)，能被n整除（m/n），那么m就是n的倍数。
相对来说，称n为m的因数。
如15能够被3和5整除，因此15是3的倍数，也是5的倍数。
一个数的倍数有无数个，也就是说一个数的倍数的集合为无限集。
因数（约数）
因数定义：两个正整数相乘，其中这两个数都叫做积的因数。
因数又叫约数。
（即一整数被另一整数整除,后者即是前者的因数）
2x6=12，2和6的积是12，因此2和6是12的因数。
12是2的倍数，也是6的倍数。
公因数（公约数）
公约数，亦称“公因数”。
它是几个整数同时均能整除的整数。
如果一个整数同时是几个整数的约数，称这个整数为它们的“公约数”；公约数中最大的称为最大公约数(H.C.M. /
G.C.D.)
1.对任意的若干个正整数，1总是它们的公因数。
公约数与公倍数相反，就是既是A的约数同时也是B的约数的数，12和15的公约数有1，3，最大公约数就是3。
再举个例子，30和40，它们的公约数有1，2，5，10，最大公约数是10。
在老教材中，公约数就是公因数，一个数最大的约数是它本身，最小的公约数是1。
用约数的个数来分类：1、质数、2,合数。