因数,倍数,质数,合数
小学奥数 质数 合数 倍数 因数 完整版带答案
因、倍、质、合【知识点总结】1．质数、合数⑴除了2其余的质数都是奇数；⑵除了2和5，其余的质数个位数字只能是1，3，7或9；⑶如何判断一个数是否是质数？⑷常用的100以内的质数：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97，共计25个。
2．数字拆分—分解质因式相关名词：质因数、互质数、分解质因数例如：三个连续自然数的乘积是210，求这三个数。
210=2⨯3⨯5⨯7可知这三个数是5、6和7。
分解质因数往往是解数论题目的突破口，因为这样可以帮助我们分析数字的特征。
3、约数个数定理唯一分解定理：任何一个大于1的自然数n都可以写成质数的连乘积例如：12=2⨯2⨯3=22⨯3约数个数定理：约数个数：(2+1)⨯(1+1)=6所有约数的和：(20+21+22)⨯(30+31)例题讲解板块一:质数的快速判断1、两个质数之和为39，求这两个质数的乘积是多少？【巩固】（1）如果a、b均为质数，且3a＋7b＝41，则a＋b＝______。
（2）三个不同的质数的和是18，这三个质数的乘积的最大值是（）板块二：分解质因数1、牛小顿去看电影，他买的票的排数与座位数的积是391，而且排数比座位数大6，牛小顿买的电影票是几排几座？【巩固】（1）、三个连续的自然数相乘的结果是 1716，那么这三个自然数的和是多少？（2）、把462名学生分成人数相等的若干组参加课外活动小组，每组人数在12到20人之间，求每组人数及分成的组数。
2、【外冲】有n个自然数相加：1＋2＋…＋n＝aaa，那么a＝______。
【巩固】将一个三位数的个位与百位数字对调位置，得到一个新的三位数，已知这两个三位数乘积为55872，则这两个三位数和为______。
板块三、因数三大定律因数个数定律：（指数+1）再连乘因数和定律：每个质因子所有可能相加再连乘因数积定律：自身的n次方（n=因数个数÷2）1、数160的约数个数是多少？巩固：（1）分别求出72和150的因数个数。
因数,倍数,质数,合数
因数、倍数、质数、合数一、因数倍数的特征1、重点归纳（1）一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身：一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的因数是它本身，没有最大的因数：一个数，既是它本身的因数，也是它本身的倍数。
（2）2、3、5、9倍数的特征：2的倍数的特征：个位数字是0，2，4，6，8；5的倍数的特征：个位数字是0或5；同时是2、5倍数的特征：个位数字是0；3的倍数的特征：各个数位的数字之和是3的倍数；9的倍数的特征：各个数位的数字之和是9的倍数。
同时是2、3和5倍数的特征：个位数字是0，并且各个数位的数字之和是3的倍数（3）质数（素数）、合数最小的质数是2,2是唯一的偶质数，没有最大的质数。
最小的合数是4，没有最大的合数。
1既不是质数，也不是合数。
（4）分解质因数的方法用短除法，先用这个合数的质因数（通常从最小的开始）去除，一般先试2、3、5这几个数，除到得出的商是质数为止，把出书和商写成相乘的形式。
（5）奇数、偶数的运算性质：奇数±奇数=偶数偶数±偶数=偶数奇数±偶数=奇数奇数×奇数=奇数奇数×偶数=偶数偶数×偶数=偶数2、典型练习（1）判断：因为48÷8=6，所以说48是倍数，8是因数。
（）因数和倍数的关系式相互依存的，不能说某一个数是因数或倍数，可以说“谁是谁的倍数，谁是谁的因数”。
（2）用a表示一个大于1的自然数，则a2 一定是（）。
A、奇数B、偶数C、质数D、合数二、两数互质的几种特殊情况：（1）两个不相同的质数一定是互质数。
如：7和13、17和19是互质数。
（2）两个连续的自然数一定是互质数。
如：4和5、13和14是互质数。
（3）相邻的两个奇数一定是互质数。
如：5和7、75和77是互质数。
（4）1和其他所有的自然数一定是互质数。
如：1和4、1和13是互质数。
（5）2和任意一个奇数都是互质数。
因数倍数、奇数偶数、质数合数概念
倍数和因数1、因数、倍数：大数能被小数整除时，大数是小数的倍数，小数是大数的因数。
例：12是6的倍数，6是12的因数。
（1）数a能被b整除，那么a就是b的倍数，b就是a的因数。
因数和倍数是相互依存的，不能单独存在。
（2）一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身。
一个数的因数的求法：一前一后写，成对地按顺序找。
（3）一个数的倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身。
一个数的倍数的求法：依次乘自然数（一般不考虑0）。
（4）2、3、5的倍数特征2的倍数：个位上是0，2，4，6，8的数都是2的倍数。
3的倍数：一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。
5的倍数：个位上是0或5的数，是5的倍数。
2和5的倍数：个位上是0的数，既是2的倍数又是5的倍数能同时被2、3、5整除（也就是2、3、5的倍数）的最小的两位数是30，最大的两位数是90，最小的三位数是120。
奇数和偶数2、自然数按能不能被2整除来分：奇数、偶数。
奇数：不能被2整除的数。
叫奇数。
也就是个位上是1、3、5、7、9的数。
偶数：能被2整除的数叫偶数（0也是偶数），也就是个位上是0、2、4、6、8的数。
自然数中最小的偶数是0，最小的奇数是1。
关系：奇数±偶数=奇数奇数±奇数=偶数偶数±偶数=偶数无论多少个偶数相加，结果都是偶数奇数个奇数相加，结果是奇数偶数个奇数相加，结果是偶数合数和质数（素数）3、质数（或素数）：只有1和它本身两个因数。
合数：除了1和它本身还有别的因数（至少有三个因数：1、它本身、别的因数）。
1：只有1个因数。
“1”既不是质数，也不是合数。
最小的质数是2，最小的合数是4，连续的两个质数是2、3。
每个合数都可以由几个质数相乘得到，质数相乘一定得合数。
20以内的质数：有8个（2、3、5、7、11、13、17、19）100以内的质数有25个：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、974、100以内的质数口诀2、3、5、7和11，13后面是17，19、23、29，（十九、二三、二十九）31、37、41，（三一、三七、四十一）43、47、53，（四三、四七、五十三）59、61、67，（五九、六一、六十七）71、73、79，（七一、七三、七十九）83、89、97。
五年级下册数学《因数和倍数》质数和合数 知识点整理
五年级下册数学《因数和倍数》质数和合数知识点整理本节研究指导本节的研究重点是理解质数和合数的概念。
虽然在平时考试中所占分值不大，但是我们应该抱着完善知识体系的态度来研究它。
此外，我们还要掌握树状图的优势，因为在数据分析中，利用树状图法是一种重要的手段。
知识要点1.自然数按因数的个数来分为四类：质数、合数、1和其他数。
质数（或素数）：只有1和它本身两个因数。
合数：除了1和它本身还有别的因数（至少有三个因数：1、它本身、别的因数）。
1：只有1个因数。
既不是质数，也不是合数。
注意：最小的质数是2，最小的合数是4，连续的两个质数是2和3.每个合数都可以由几个质数相乘得到，质数相乘一定得到合数。
20以内的质数有8个：2、3、5、7、11、13、17、19.100以内的质数有25个：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97.2.100以内找质数、合数的技巧：看是否是2、3、5、7、11、13…的倍数，是的就是合数，不是的就是质数。
关系：奇数×奇数=奇数，质数×质数=合数。
3.常见最大、最小A的最小因数是1，最小的奇数是1.A的最大因数是本身，最小的偶数是2.A的最小倍数是本身，最小的质数是2.最小的自然数是1，最小的合数是4.4.分解质因数把一个合数分解成多个质数相乘的形式。
例如，把36分解质因数是：36=2×2×3×3.可以用树状图法进行分解。
5.用短除法分解质因数可以用短除法把一个合数写成几个质数相乘的形式。
例如，对18和30分解质因数的步骤如下：6.互质数公因数只有1的两个数叫做互质数。
例如，5和7是两个质数的互质数，8和9是两个合数的互质数。
因数,质数,合数
介绍1
1.因数：现在有两个整数 a 与 b ，将 a 除以 b ，如果结果是一个整数并且没有余数的话，我们称 b 为 a 的一个因数。
比如10的因数有1、2、5、10。
2
2.倍数：倍数与因数恰好相反，还是上面的例子， b 是 a 的因数，那么 a 就是 b 的倍数。
比如12是3、4的倍数。
3
3.质数：质数有时也叫素数，现在有一个大于1的整数，这个整数的因数只有1与它本身，除了这两个数之外，再也没有第三个整数可以整除 c ；那么，我们称 c 是一个质数。
关于质数，有很多著名的历史难题，其中最著名莫过于哥德巴赫猜想。
小学期间只要掌握住100之内的质数就可以了，100之内共有2 5个质数，它们分别是2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97。
4
4.合数：合数与质数相对，如果一个整数至少有三个因数（除0外），即除了1与这个数本身之外，至少还有另外一个因数的话，这个数叫做合数。
比如6是一个合数，因为6有1、2、3、6四个因数。
END。
2018总复习《因数、倍数、质数、合数》
2 24 36
2 12 18
36 9 23
商互质
24和36的最大公因数是:2×2×3=12 除数相乘 24和36的最小公倍数是: 2×2×3×2×3=72
所有的除数和商相乘
求最大公因数的方法：短除法
求18和30的最大公因数
2 18 30 3 9 15
35
2×3=6 18和30的最大公因数是6。
做短除时每次选定的除数一般是两个数公有 的质因数，并从最小的开始，除到两个商互质为 止，除数连乘的积就是最大公因数。除数和商连 乘的积就是最小公倍数。
个位上是0,2,4,6,8
能被5整除的数的特征: 能被3整除的数的特征:
个位上是0或5
各个位上的数字的 和能被3整除
能同时被2,5整除的数的特征: 个位是0 能同时被2,3,5整除的数的特征:
个位是0,而且各个位上的数字的和能被3整除。
注意:有一些数能被7,9,11,13整除,但是不容易 看出来, 这是大家在约分中容易忽略的。
（136，80）=8
（136÷8）×（80÷8）=170（个）
二、用公倍数知识解决生活问题。
1、暑假期间，小明和小兰都去参加游泳训练，8月1日 两人同时参加游泳训练后，小明每6天去一次，小兰每8 天去一次，那么几月几日两人再次相遇？
由题意可知，两个人要再次相遇，相隔的天数应分别是6的倍 数，也是8的倍数，那么相隔的天数应是6和8的最小公倍数。
公倍数,最小公倍数：
几个数公有的倍数,叫做这几个数的公倍数， 其中最小的一个叫做这几个数的最小公倍数。
例:( 12,24,)3都6,是…4和6的公倍数, ( 12)是4和6的最小公倍数。
求最大公因数和最小公倍数 4和28 最大公因数是( )4; 最小公倍数是( )。28
五下数学因数与倍数&质数与合数
因数与倍数整除：被除数、除数和商都是自然数，并且没有余数。
大数能被小数整除时，大数是小数的倍数，小数是大数的因数。
如：45÷15＝3，我们说45能被15整除,45是15的倍数，15是45的因数。
因数和倍数：在整数乘法里（即a，b，c三个数都是不为0的整数），如果a×b＝c，那么a和b是c的因数，c是a和b的倍数。
如：6和4都能被8（），16和24都能被8（）。
（填“除尽”或“整除”）如果a÷b=30，那么（）A a一定是b的倍数 B a可能是b的倍数2.5×8=20，那么（）A 20是2.5的8倍 B 20是2.5的倍数注意：谁是谁的因数，或谁是谁的倍数，不能单独拿出来说谁是因数，谁是倍数。
如：因为5×12=60，所以5和12是因数，60是倍数。
（×）这种说法是错误的，应该说5和12是60的因数，60是5和12的倍数。
一般一个不为0的数的因数≤倍数。
注意：为了方便，在研究因数和倍数的时候，我们所说的数指的是整数（一般不包括0）。
但是0也是整数。
奇数和偶数：自然数按能不能被2整除（即是否是2的倍数）来分：奇数和偶数。
自然数中，是2的倍数的数叫做偶数（0也是偶数），不是2的倍数的数叫做奇数。
奇数：不能被2整除的数，即不能两个两个数完的数。
偶数：能被2整除的数，即能两个两个数完的数。
四则运算中的奇偶规律：奇数＋奇数＝偶数奇数－奇数＝偶数奇数×奇数＝奇数偶数＋偶数＝偶数偶数－偶数＝偶数偶数×偶数＝偶数奇数＋偶数＝奇数奇数－偶数＝奇数奇数×偶数＝偶数偶数－奇数＝奇数质数和合数：自然数按因数的个数来分：质数、合数、1.一个数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数（或素数）；如果除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数。
1既不是质数，也不是合数。
质数：有且只有两个因数，1和它本身（因数个数＝2）。
合数：至少有三个因数，1、它本身、别的因数（因数个数＞2）1：只有1个因数。
因数、倍数、质数
典型练习
• 两个质数的和是39，这两个质数的积是（） • 120的因数有（ ）个
典型练习
• 2.一个长方体木块，长2.7m，宽1.8米，高 1.5米。要把它切成大小相等的正方体木块， 不许有剩余，正方体木块的棱长最长是多 少?
典型练习
• 3.学校六年级有若干名同学排队做操，3人 一行余2人，7人一行余2人，11人一行也余 2人。六年级最少有多少人？
• 公因数只有1的两个数叫互质数。 • 几个数公有的倍数叫公倍数。其中最小的
一个，叫做这几个数的最小公倍数。 • 短除法：
5. 2、3、5的倍数特征
• 2的倍数特征：
• 个位上的数字是0、2、4、6、8（能被2整除）
• 3的倍数特征： • 各个数位上的数字之和是3的倍数 • 5的倍数特征： • 个位上是0或5 • 同时是2、3的倍数特征： • 同时是2、5的倍数特征： • 同时是3和5的倍数特征： • 同时是义
• 若正整数a、b、c，且a÷b=c，那么a就是b、 c的倍数，b、c就是a的因数
• 如4x5=20,则20是4和5的倍数，4和5是20 的因数。
2.因数、倍数的特征
• 一个数的因数的个数是有限的，其中最小 的因数是1，最大的因数是它本身。
• 一个数的倍数是无限的，其中最小的倍数 是它本身，没有最大的倍数。
3.质数、合数的意义
• 质数：一个数，如果只有1和它本身两个因 数，这样的数叫做质数（素数）。最小的 质数是2，没有最大的质数。
• 合数：一个数，除了1和它本身还有别的因 数，这样的数叫合数。最小的合数是4，没 有最大的合数。
• 1既不是质数也不是合数
4.公因数、公倍数
• 几个数公有的因数叫公因数。其中，最大 的一个，叫做这几个数的最大公因数。
因数、倍数、质数、合数教案资料
因数、倍数、质数、合数一、因数倍数的特征1、重点归纳（1）一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身：一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的因数是它本身，没有最大的因数：一个数，既是它本身的因数，也是它本身的倍数。
（2）2、3、5、9倍数的特征：2的倍数的特征：个位数字是0，2，4，6，8；5的倍数的特征：个位数字是0或5；同时是2、5倍数的特征：个位数字是0；3的倍数的特征：各个数位的数字之和是3的倍数；9的倍数的特征：各个数位的数字之和是9的倍数。
同时是2、3和5倍数的特征：个位数字是0，并且各个数位的数字之和是3的倍数（3）质数（素数）、合数最小的质数是2,2是唯一的偶质数，没有最大的质数。
最小的合数是4，没有最大的合数。
1既不是质数，也不是合数。
（4）分解质因数的方法用短除法，先用这个合数的质因数（通常从最小的开始）去除，一般先试2、3、5这几个数，除到得出的商是质数为止，把出书和商写成相乘的形式。
（5）奇数、偶数的运算性质：奇数±奇数=偶数偶数±偶数=偶数奇数±偶数=奇数奇数×奇数=奇数奇数×偶数=偶数偶数×偶数=偶数2、典型练习（1）判断：因为48÷8=6，所以说48是倍数，8是因数。
（）因数和倍数的关系式相互依存的，不能说某一个数是因数或倍数，可以说“谁是谁的倍数，谁是谁的因数”。
（2）用a表示一个大于1的自然数，则a2 一定是（）。
A、奇数B、偶数C、质数D、合数二、两数互质的几种特殊情况：（1）两个不相同的质数一定是互质数。
如：7和13、17和19是互质数。
（2）两个连续的自然数一定是互质数。
如：4和5、13和14是互质数。
（3）相邻的两个奇数一定是互质数。
如：5和7、75和77是互质数。
（4）1和其他所有的自然数一定是互质数。
如：1和4、1和13是互质数。
（5）2和任意一个奇数都是互质数。
数的认识----因数、倍数、质数、合数
学生：成绩：【知识点一】因数、倍数1.填一填。
(20分)(1)一个数的最大因数和最小倍数都是30，这个数是()。
(2)在24和26，13和39，22和25，15和21这四组数中，()是()的因数，()是()的倍数。
(3)一个数的最小倍数是18，这个数有()个因数，这个数的最大因数是()。
(4)50以内8的倍数有：____________________________________________________________；12的因数有：____ ___________________________________________________________。
(5)一个整数(0除外)，最少有()个因数。
【知识点二】质数、合数和分解质因数2.想一想，填一填。
(16分)(1)在20以内，既是质数又是偶数的数是()，既是奇数又是合数的数是()，20以内所有质数的和是()。
自然数中()既不是质数也不是合数。
(2)105的质因数有()，把它分解质因数是()。
(3)把15写成两个质数的和是()＋()＝15。
3.选择。
(8分)(1)一个质数()因数。
A.没有B．只有一个 C.只有两个 D.有三个以上(2)把42分解质因数是()。
A.1×2×3×7＝42B.42＝6×7C.42＝1×2×3×7D.42＝2×3×7(3)两个质数的积一定是()。
A.质数B.合数C.不能确定D.奇数(4)下面各组数，一定不能成为互质数的一组是()。
A.奇数与偶数B.质数与质数C.质数与合数D.偶数与偶数【知识点三】2，5，3的倍数的特征4.填空。
(8分)(1)有因数2，又是5的倍数的最小两位数是()；既是3的倍数，又是5的倍数的最小三位数是()；同时是2，3，5的倍数的最小两位数是()，最小三位数是()，最大的四位数是()。
(2)自然数中，最小的偶数是()，最小的奇数是()，最小的偶数与最小的奇数的和是()。
2015总复习总结《因数、倍数、质数、合数》
公倍数,最小公倍数：
几个数公有的倍数,叫做这几个数的公倍数， 其中最小的一个叫做这几个数的最小公倍数。
例:( 12,24,36,… )都是4和6的公倍数, ( 12 )是4和6的最小公倍数。
求最大公因数和最小公倍数 4和28 最大公因数是( 4 ); 最小公倍数是( 28 )。
如果较小数是较大数的因数,那么 较小数就是这两个数的最大公因数; 较大数就是这两个数的最小公倍数。
剪同样大小的正方形且没有剩余，则正方形的边长是长和宽的 公因数，为使面积最大，正方形的边长应是长和宽的最大公因数。
（75，60）=15
（75÷15）×（60÷15）=20（个）
变一变：将一张长1.36米，宽0.8米的长方形纸片，裁成一样 大小的正方形纸片，并使它们的面积尽可能的大表没有剩余，则一 共可裁出多少张？
96和60的最大公因数是12 96÷12=8 60÷12=5 8×5=40（张）
答：至少可以裁40张。
有一张长方形纸，长1.36米，宽 0.8米，裁成同样大小的正方形， 并使它们的面积尽可能的大且裁完 后没有剩余，则一共可裁出多少个？
1.36米=136厘米 0.8米=80厘米
8 136 80 17 10
7的最小公倍数。 [ 3，5，7 ]=105
105－1=104（个）
变一变：有一盒巧克力，7粒7粒地数还余4粒，5粒5粒地数又 少3粒，3粒3粒地数正好数完。这盒巧克力至少有多少粒？
由题意可知，如果巧克力再多3粒，就正好是7、5、3的倍数， 所以这盒巧克力至少的粒数就是求7、5、3的最少公倍数再减3。
个位上是0,2,4,6,8
能被5整除的数的特征:
个位上是0或5
能被3整除的数的特征:
各个位上的数字的 和能被3整除
数论..因数倍数--质数和合数 及答案
第二讲 约数倍数知识点拨板块一 因数倍数1、 因数的概念与最大公因数0被排除在因数与倍数之外1． 求最大公因数的方法①分解质因数法：先分解质因数，然后把相同的因数连乘起来．例如：，，所以；②短除法：先找出所有共有的因数，然后相乘．例如：，所以；③辗转相除法：每一次都用除数和余数相除，能够整除的那个余数，就是所求的最大公因数．用辗转相除法求两个数的最大公因数的步骤如下：先用小的一个数除大的一个数，得第一个余数；再用第一个余数除小的一个数，得第二个余数；又用第二个余数除第一个余数，得第三个余数；这样逐次用后一个余数去除前一个余数，直到余数是0为止．那么，最后一个除数就是所求的最大公因数．(如果最后的除数是1，那么原来的两个数是互质的)．例如，求600和1515的最大公因数：；；；；；所以1515和600的最大公因数是15．2． 最大公因数的性质①几个数都除以它们的最大公因数，所得的几个商是互质数；②几个数的公因数，都是这几个数的最大公因数的因数；③几个数都乘以一个自然数，所得的积的最大公因数等于这几个数的最大公因数乘以．3． 求一组分数的最大公因数先把带分数化成假分数，其他分数不变；求出各个分数的分母的最小公倍数a；求出各个分数的分子的最大公因数b；即为所求．二、倍数的概念与最小公倍数1. 求最小公倍数的方法①分解质因数的方法；例如：，，所以；②短除法求最小公倍数；例如： ，所以；③．2. 最小公倍数的性质①两个数的任意公倍数都是它们最小公倍数的倍数．②两个互质的数的最小公倍数是这两个数的乘积．③两个数具有倍数关系，则它们的最大公因数是其中较小的数，最小公倍数是较大的数．3. 求一组分数的最小公倍数方法步骤先将各个分数化为假分数；求出各个分数分子的最小公倍数；求出各个分数分母的最大公因数；即为所求．例如：注意：两个最简分数的最大公因数不能是整数，最小公倍数可以是整数.例如：三、最大公因数与最小公倍数的常用性质1． 两个自然数分别除以它们的最大公因数，所得的商互质。
因数倍数质数合数综合
第11讲 质数与合数进阶1 分解质因数基础我们可以一次用625的质因数去除，这样的方法被称为短除法。
（如右图所示）于是我们可以写成455555625=⨯⨯⨯=，这种形式被称为分解质因数。
知识剖析1. 质因数如果一个质数是某个数的因数，那么就说这个质数是这个数的质因数。
2. 分解质因数把一个合数用自质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。
例如，70＝2×5×7，其中2，5，7叫作70的质因数，又如32322122⨯=⨯⨯=，2，3都叫做12的质因数，其中后一个式子叫做分解质因数的标准式，在求一个数因数的个数和因数的和的时候都要用到这个标准式，分解质因数往往是解数论题目的突破口，因为这样可以帮助我们分析数的特征。
3. 部分特殊数的质因数分解 3739993⨯= 131171001⨯⨯= 59171003⨯= 2714111111⨯=37137310101⨯⨯⨯=4.5. 因数个数定理:指数加1再相乘例1将下列各数分解质因数。
18 20 56 100 111例2根据示例回答问题，例:24222532523210121200⨯⨯=⨯⨯⨯=⨯=（1）将360分解质因数。
（2）将4800分解质因数。
（3）将1920分解质因数。
将下列各数分解质因数。
244545001001770772 分解质因数的应用例3（1）一个长方形的长和宽都是整数，并且都大于5，已知这个长方形面积是80，求这个长方形的长和宽。
（2）一个长方形的长和宽都是偶数，已知这个长方形面积是140，这个长方形的周长可能是多少？有三个连续的偶数乘积480，求这三个数的和是多少？练习2两个大于1的自然数的乘积是104，已知它们的和是奇数，那么它们的和是多少？例5（1）分别枚举出32，25的所以因数，并数一下因书个数，观察因数个数与指数的关系。
（2）将200分解质因数得2352200⨯=，枚举出200的所有因数，并数出有几个因数，思考200的因数个数与32，25的因数个数有什么关系？（3）求下列个数的因数个数。
五年级数学因数、约数、质数、合数、奇数、偶数以及倍数的概念
Байду номын сангаас
倍数
一个整数能够被另一个整数整除，这个整数就是另一整数的倍数。如15能够被3或5整除 ，因此15是3的倍数，也是5的倍数。
一个数除以另一数所得的商。如a÷b=c，就是说，a是b的倍数。例如：A÷B=C，就可 以说A是B的C倍。
一个数的倍数有无数个，也就是说一个数的倍数的集合为无限集。 注意：不能把一个 数单独叫做倍数，只能说谁是谁的倍数。
偶数是能够被2所整除的整数。正偶数也称双数。若某数是2的倍数，它就是偶数，可
表示为2n；若非，它就是奇数，可表示为2n+1（n为整数），即奇数除以二的余数是一 。
偶数的特征
两个连续整数中必是一个奇数一个偶数； 奇数与奇数的和或差是偶数；偶数与奇数的和或差是奇数；任意多个偶数的和都是偶数 ；单数个奇数的和是奇数；双数个奇数的和是偶数； 两个奇（偶）数的和或差是偶数；一个偶数与一个奇数的和或差一定是奇数； 除2外所有的正偶数均为合数； 相邻偶数最大公约数为2，最小公倍数为它们乘积的一半； 奇数与奇数的积是奇数；偶数与偶数的积是偶数；奇数与偶数的积是偶数； 偶数的个位一定是0、2、4、6或8，奇数的个位一定是1、3、5、7或9； 任何一个奇数都不等于任何一个偶数，若干个整数的连乘积，如果其中有一个偶数，乘 积必然是偶数； 偶数的平方被4整除，奇数的平方被8除余1。
合数的特征
所有大于2的偶数都是合数。 所有大于5的奇数中，个位为5的都是合数。 除0以外，所有个位为0的自然数都是合数。 所有个位为4，6，8的自然数都是合数。 最小的（偶）合数为4，最小的奇合数为9。 每一个合数都可以以唯一形式被写成质数的乘积，即分解质因数。
奇数 & 偶数
奇数（odd）指不能被2整除的数 ，数学表达形式为：2k+1， 奇数可以分为正奇数和负奇数。
《质数和合数》因数与倍数
要点二
最小因数
一个整数的最小因数是1。例如，12的最小因数是1。
03
倍数
倍数的定义
01 02
倍数的定义
一个数A能被另一个数B整除，则称A为B的倍数，B为A的因数。例如 ，对于两个整数10和5，10可以被5整除，所以10是5的倍数，5是10 的因数。
理解倍数的概念
倍数是一个数与另一个数的乘积，表示一个数是另一个数的几倍。例 如，如果A是B的2倍，那么A = B × 2。
03
倍数的性质
一个数的倍数是无限的，没有最大的倍数或最小的倍数。例如，对于
整数2，它的倍数有2、4、6、8、10...等等，无限多个。
找倍数的方法
找倍数的方法
一个数的倍数是满足该数乘以 一个正整数的结果。例如，要 找出10的倍数，只需将10乘以1
、2、3、4...等等正整数。
如何找最小倍数
最小倍数是满足一个数的所有 因数的倍数中最小的一个。例 如，对于整数12，它的因数有1 、2、3、4、6、12，所以它的
合数在现实生活中也有着广泛的应用，例如在计算机科学中，合数可以用来进行数据加密 和解密。此外，合数在密码学中也可以用来生成密钥，保证通信的安全性。
因数与倍数的总结
因数是能够整除给定整数的整数，而倍数是能够整除 给定整数并得到整数的整数。
因数和倍数在数学中有着广泛的应用，例如在计算机 科学中，因数和倍数可以用来进行数据加密和解密。 此外，因数和倍数在密码学中也可以用来生成密钥， 保证通信的安全性。
图像处理
在图像处理中，质数和合数可以用来压缩图 像并提高图像的质量。这种方法可以减少图 像占用的存储空间，同时保持图像的清晰度
和细节。
在数学竞赛中的应用
因数和倍数--质数和合数
因数和倍数质数和合数整理教师：X新民一、基础知识〔一〕因数和倍数1. 因数和倍数的意义。
已知a、b、c均为正整数，且a×b=c，那么c就是a和b的倍数，a和b 就是c的因数，倍数和因数是相互依存的，不能独立存在。
2. 因数和倍数的特征。
一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身；一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身，没有最大的倍数；一个数既是它本身的因数，又是它本身的倍数。
〔二〕能被2、3、5整除的数的特征1. 能被2整除的数的特征：个位上的数字是0，2,4,6,8。
2. 能被3整除的数的特征：各个数位上的数字的和是3的倍数。
3. 能被5整除的数的特征：个位上的数字是0或5。
4. 能同时被2、5整除的数的特征：个位上的数字是0。
〔三〕奇数和偶数1. 奇数：在自然数中，不能被2整除的数叫做奇数。
2. 偶数：在自然数中，能被2整除的数叫做偶数。
3. 研究奇数和偶数时包括0，因此自然数不是奇数就是偶数。
最小的奇数是1，没有最大的奇数；最小的偶数是0，没有最大的偶数。
〔四〕质数和合数1. 质数的意义：一个数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数〔或素数〕，最小的质数是2，2是唯一的偶质数，没有最大的质数。
2. 合数的意义：一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数。
最小的合数是4，没有最大的合数。
注意：1既不是质数也不是合数。
除2以外，所有的质数是奇数，所有的偶数是合数。
3. 判断一个数是质数还是合数的方法。
〔1〕通过找因数的个数来判断：先找出这个数的因数，再数因数的个数，只有1和它本身两个因数的数就是质数，有三个或三个以上因数的数就是合数。
〔2〕查表法：看质数表里有没有所要查的数，如果有，它是质数，如果没有，它就不是质数。
4. 奇数和偶数的运算性质。
〔1〕和差的奇偶性奇数±奇数=偶数〔偶数个奇数相加〕奇数±奇数=奇数〔奇数个奇数相加〕奇数±偶数=奇数偶数±偶数=偶数〔2〕积的奇偶性奇数×奇数=奇数；奇数×偶数=偶数；偶数×偶数=偶数〔五〕分解质因数1. 质因数：每个合数都可以写成几个质数相乘的形式。
质数,因数,倍数
质数,因数,倍数质数，因数，合数，倍数1.因数与倍数：如果一个自然数a能被自然数b整除，那么a为b 的倍数，b为a的因数。
2.最大公因数与最小公倍数：（1)几个数共有的因数叫做这几个数的公因数，其中最大的一个叫做最大公因数。
(2)几个数共有的倍数叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个叫做最小公倍数。
3.最大公因数与最小公倍数的性质(1)最大公因数的性质a：几个数除以它们的最大公因数，所得的几个商是互质数；b：几个数的公因数都是最大公因数的因数；C：几个数都乘以一个自然数，所得到的结果是这几个数的最大公因数乘以这个自然数（2）最小公倍数的性质a：两个数的任意公倍数都是他们最小公倍数的倍数。
b:两个互质数的最小公倍数是这两个数的乘积。
C：两个数具有倍数关系，则它们的最大公因数是较小的那一个，最小公倍数是较大的那一个。
1.将37拆成若干个不同质数的和，使得这些质数的和尽可能大，那么这个最大的乘积等于？分析：本题应用枚举法，关键要把握好不重不漏，为此要选择一种顺序。
我们首先将小于37的质数，由小到大排列出来：（共11个）2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31 由于2+3+5+7+11＜37，而2+3+5+7+11+13＞37。
因此最多拆成5个不同质数之和。
但由于37是奇数，拆除的5个不同质数中不能有偶质数2，否则其余4个奇数之和为偶数，这5个质数和为偶数，不可能等于奇数37，而3+5+7+11+13=39＞37。
因此最多拆成4个不同质数之和，为此，我们依照被拆出的最大质数从大到小依次研究：（1）37=31+6（6不能用2，3，5相加得到）；（2）37=29+8=29+5+3，只有一种拆法；（3）37=23+14 共有两种拆法；37=23+11+3 37=23+7+5+2，（4）37=19+18，而1 8=13+5=13+3+2=11+7=11+5+2 所以共有四种拆法37=19+13+5 37=19+13+3+2 37= 19+11+7 37=19+11+5+2 （5）37=17+20，而20=13+7=13+5+2=11+7+2，所以有三种拆法：37=17+13+7 37=17+13+5+2 37=17+11+7+2 综合以上可以得到10种不同的拆法，其中最大乘积的是：11×17×7×2=26182.四个连续自然数的乘积是11880，求这四个数。
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因数、倍数、质数、合数一、因数倍数的特征1、重点归纳（1）一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身：一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的因数是它本身，没有最大的因数：一个数，既是它本身的因数，也是它本身的倍数。
（2）2、3、5、9倍数的特征：2的倍数的特征：个位数字是0，2，4，6，8；5的倍数的特征：个位数字是0或5；同时是2、5倍数的特征：个位数字是0；3的倍数的特征：各个数位的数字之和是3的倍数；9的倍数的特征：各个数位的数字之和是9的倍数。
同时是2、3和5倍数的特征：个位数字是0，并且各个数位的数字之和是3的倍数（3）质数（素数）、合数最小的质数是2,2是唯一的偶质数，没有最大的质数。
最小的合数是4，没有最大的合数。
1既不是质数，也不是合数。
（4）分解质因数的方法用短除法，先用这个合数的质因数（通常从最小的开始）去除，一般先试2、3、5这几个数，除到得出的商是质数为止，把出书和商写成相乘的形式。
（5）奇数、偶数的运算性质：奇数±奇数=偶数偶数±偶数=偶数奇数±偶数=奇数奇数X奇数二奇数奇数X偶数=偶数偶数X偶数=偶数2、典型练习(1)判断：因为48:8=6，所以说48是倍数，8是因数。
()因数和倍数的关系式相互依存的，不能说某一个数是因数或倍数，可以说“谁是谁的倍数，谁是谁的因数”。
(2)用a表示一个大于1的自然数，则a2一定是()。
A、奇数B、偶数匚质数D、合数二、两数互质的几种特殊情况：(1)两个不相同的质数一定是互质数。
如：7和13、17和19是互质数。
(2)两个连续的自然数一定是互质数。
如：4和5、13和14是互质数。
(3)相邻的两个奇数一定是互质数。
如：5和7、75和77是互质数。
(4)1和其他所有的自然数一定是互质数。
如：1和4、1和13是互质数。
(5)2和任意一个奇数都是互质数。
如2和1、2和9都是互质数。
(6)一个奇数和质因数只有2的偶数都是互质数。
如9和4、3和8都是互质数。
因数只有2的偶数，指的是如8=2X2X2,16=2x2x2x2;32=2x2x2x2x2……三、最大公因数和最小公倍数1、重点归纳(1)在求最小公因数和最大公倍数的时候，我们要区分两者的区别与联系。
两者都可以用短除法来求，但是前者是所有的除数相乘，而后者是把除数和商连乘起来而得到。
(2)求两个数的最大公因数和最小公倍数的特殊情况：①1与任意非零自然数的公因数只有1个，就是1。
②倍数关系的两个数，最大公因数是较小的数，最小公倍数是较大的数。
举例:15和5，[15，5]=15，（15，5）=5③互质的两个数，最大公因数是1,最小公倍数是它们的乘积。
举例：[3,7]=21,（3，7）=1（3）在解决最大公因数和最小公倍数的实际问题中，一般问题中有“最大”、“最多”是求最大公因数的问题；一般问题中有“最少”、“至少”是求最小公倍数的问题。
（4）两个自然数的最大公因数与它们的最小公倍数的一个重要性质是：最大公因数X最小公倍数二两个数的乘积（5）求两个数的最小公倍数的方法：这两个数的公有质因数与独有质因数的连乘积就是这两个数的最小公倍数。
2、典型练习例1、两个数的最大公因数是4，最小公倍数是252，其中一个是28，另一个是数（）。
例2、两个自然数的积是360，最小公倍数是120，这两个数各是多少？例3、甲数=2X2X3X5，乙数=3X3X5X2，这两个数的最小公倍数是（）。
分析：根据求两个数的最小公倍数的方法：即这两个数的公有质因数与独有质因数的连乘积，进行解答即可。
解答：因为甲数=2*2*3乂5,乙数=3x3x5x2,所以这两个数的最小公倍数是2X3X5X2X3=180.例4、学校举行春季运动会，六1班人数的3参加田赛，3参加径赛，六1班87人数是（）人。
分析：由六1班人数的3参加田赛，3参加径赛参加径赛”，求出要求六1 87班人数，也就是求7和8的最小公倍数。
7和8的最小公倍数是7x8=56,例5、能同时被2、3、5除余数为1的最小数是（）分析：可先求出能同时被2、3、5整除的最小的数，也就是它们的最小公倍数为30（2、3、5互质，最小公倍数等于这三个数的乘积），由此解决问题。
解答：能被2、3、5整除的最小的数是30，30+1=31例6、一筐苹果（在100以内），按每份3个分多1个；每份5个分多3个，每份7个分多2个，这筐苹果原有（）个。
分析：按每份3个分多1个；每份5个分多3个，每份7个分多2个，这筐苹果加上2个，就是3个分和5个分没有剩余，7个分剩4个，即是15的公倍数，求出100以内15的公倍数，然后再满足7个分多4个的数，最后减去2即可。
解：100以内15的公倍数有：30、45、60、75、90，7个分多4个是：60，所以这筐苹果原有：60-2=58个例7、从学校到文化中心的这段公路一侧，一共有37盏路灯（两端均安装），原来每两盏灯之间相距50米，选择要改成每两盏之间相距60米，除去两端不移动外，中间有多少盏路灯不需要重新安装？分析：即求出50和60的最小公倍数，是300，也就是说每300米就有一盏灯不需要重新安装；再求出这段路的总长里有多少个300米即可。
6段，共有7个点，除去两头，还有5根不动，可以看图.___.___.___.___.___.___.解答：[50,60]=300(37-1)x50=1800(米)1800-300=66+1-2+5例8：用96朵红花和72朵黄花做花束,如果每个花束里的红花朵数同样多,每个花束里的黄花也同样多，且两种花都没有剩余。
每个花束里最少有多少朵花？分析：看到最少，不能错认为是求最小公倍数，花束例的花朵数要最少，说明花束要最多，也就是96和72最大公因数，再把每束花例的红花朵数和黄花朵数加起来即可。
解答：96和72的最大公因数是24，96-24+72-24=7(朵)练习一、填空题1、两个数的最大公因数是42，最小公倍数是2940，且两个数的和是714，这两个数各是()和()。
2、一个数与48的最大公约数是12，最小公倍数是144，这个数是()。
3、既有因数3，又是5的倍数的最小三位数是()【分析】根据3的倍数的特征，各个数位上的数字之和是3的倍数，这个数就是3的倍数．5的倍数特征是：个位上是0或5的数是5的倍数．所以既有因数3又是5的倍数最小三位数是105．4、甲数=2*3*5乂人，乙数=2x3x7xA，当A=()时，甲、乙两数的最小公倍数是630。
解答：因为甲数=2x3x5xA，乙数=2x3x7xA,所以这两个数的最小公倍数是2*3*5*7*人=630,210*人=630,A=3二、选择题1、a・b=9（a、b都是整数），那么a与b的最小公倍数是（）A、aB、bC、abD、9注：成倍数关系的两个数，大的数是小的数的最小公倍数。
2、甲数x3二乙数，（甲乙都是非0自然数），则乙数是甲数的（）4倍数B、因数匚自然数口、质数3、下面的数，因数个数最少的是（）A、16B、36C、40【考点】找一个数的因数的方法．【分析】根据找一个数因数的方法分别找出16、36、40的因数，然后数出个数，比较即可．【解答】解：16的因数有：1、2、4、8、16，共5个；36的因数有：1、2、3、4、6、9、12、18、36，共9个；40的因数有：1、2、4、5、8、10、20、40，共8个；故选：A.4、1、3、7都是21的（）A、质因数B、公因数C、奇数D、因数解：因为1x3x7=21,所以1、3、7是21的因数；因3、7都是质数，3、7是21的质因数，但1既不是质数，也不是合数，．故选D.5、28口同时是2、3的倍数，□中可能是（）A、0或2或4或6或8B、2或5或8C、2或8D、以上说法都不正确考点：找一个数的倍数的方法；数的整除特征．分析：根据能被2和3整除的数的特征：个位是偶数，并且该数各个数位上数的和能被3整除；进行解答即可．解答：因为2+8+2=12,2+8+8=18,12和18都能被3整除，所以口中可能是2或8；三、解决问题1、已知两数的积是3072，最大公约数是16，求这两个数。
2、小明家房间的地面正好是正方形，要铺地砖，不论选择边长是50厘米的方砖，还是选择边长是60厘米的方砖都正好铺满，小明房间的地面至少是多少平方米？分析：房间的面积要最小，也就是房间的面积要同时是两种方砖面积的最小整数倍，也就是房间的边长要是两种方砖边张的最小公倍数。
3、一张长24厘米，宽18厘米的长方形纸，要分成大小相等的小正方形，且没有剩余．最少可以分成几个这样的小正方形？分析：看到最少，不能错认为是求最小公倍数，截的块数要最少，说明每块在正方形截得的面积要最大，也就是边长要最大。
即求长、宽的最大公因数，再用长方形纸的面积♦截得的每块小正方形的面积。
4、某校五年级（共3个班）的学生排队，每排3人、5人或7人，最后一排都只有2人。
这个学校五年级至少有（）名学生。
分析：由每排3人、5人或7人，最后一排都只有2人可知：这个学校五年级减去2人就是3、5、7的公倍数，求至少就是、5、7的最小公倍数加2，据此解答。
解答：3、5、7两两互质，它们最小公倍数等于它们的乘积；3、5、7的最小公倍数：3x5x7=105;105+2=107（名）；因数、倍数、质数、合数一、因数倍数的特征1、重点归纳（1）一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身：一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的因数是它本身，没有最大的因数：一个数，既是它本身的因数，也是它本身的倍数。
（2）2、3、5、9倍数的特征：2的倍数的特征：个位数字是0，2，4，6，8；5的倍数的特征：个位数字是0或5；同时是2、5倍数的特征：个位数字是0；3的倍数的特征：各个数位的数字之和是3的倍数；9的倍数的特征：各个数位的数字之和是9的倍数。
同时是2、3和5倍数的特征：个位数字是0，并且各个数位的数字之和是3的倍数（3）质数（素数）、合数最小的质数是2,2是唯一的偶质数，没有最大的质数。
最小的合数是4，没有最大的合数。
1既不是质数，也不是合数。
(4)分解质因数的方法用短除法，先用这个合数的质因数(通常从最小的开始)去除，一般先试2、3、5这几个数，除到得出的商是质数为止，把出书和商写成相乘的形式。
(5)奇数、偶数的运算性质：奇数±奇数=偶数偶数±偶数=偶数奇数±偶数=奇数奇数X奇数二奇数奇数X偶数=偶数偶数X偶数=偶数2、典型练习(1)判断：因为48:8=6，所以说48是倍数，8是因数。
()(2)用a表示一个大于1的自然数，则a2一定是()。
A、奇数B、偶数匚质数D、合数二、两数互质的几种特殊情况：(1)两个不相同的质数一定是互质数。