因数,倍数,质数,合数

因数、倍数、质数、合数

一、因数倍数的特征

1、重点归纳

（1）一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本

身：一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的因数是它本身，没有最大的因数：一个数，既是它本身的因数，也是它本身的倍数。

（2）2、3、5、9倍数的特征：

2的倍数的特征：个位数字是0，2，4，6，8；

5的倍数的特征：个位数字是0或5；

同时是2、5倍数的特征：个位数字是0；

3的倍数的特征：各个数位的数字之和是3的倍数；

9的倍数的特征：各个数位的数字之和是9的倍数。

同时是2、3和5倍数的特征：个位数字是0，并且各个数位的数字之和是

3的倍数

（3）质数（素数）、合数

最小的质数是2,2是唯一的偶质数，没有最大的质数。

最小的合数是4，没有最大的合数。

1既不是质数，也不是合数。

（4）分解质因数的方法

用短除法，先用这个合数的质因数（通常从最小的开始）去除，一般先试2、3、5这几个数，除到得出的商是质数为止，把出书和商写成相乘的形式。

（5）奇数、偶数的运算性质：

奇数±奇数=偶数偶数±偶数=偶数奇数±偶数=奇数奇

数X奇数二奇数奇数X偶数=偶数偶数X偶数=偶数

2、典型练习

(1)判断：因为48:8=6，所以说48是倍数，8是因数。()

因数和倍数的关系式相互依存的，不能说某一个数是因数或倍数，可以说“谁是谁的倍数，谁是谁的因数”。

(2)用a表示一个大于1的自然数，则a2一定是()。

A、奇数

B、偶数匚质数D、合数

二、两数互质的几种特殊情况：

(1)两个不相同的质数一定是互质数。如：7和13、17和19是互质数。(2)两个连续的自然数一定是互质数。如：4和5、13和14是互质数。

(3)相邻的两个奇数一定是互质数。如：5和7、75和77是互质数。

(4)1和其他所有的自然数一定是互质数。如：1和4、1和13是互质数。

(5)2和任意一个奇数都是互质数。如2和1、2和9都是互质数。

(6)一个奇数和质因数只有2的偶数都是互质数。如9和4、3和8都是互质数。因数只有2的偶数，指的是如8=2X2X2,16=2x2x2x2;32=2x2x2x2x2……

三、最大公因数和最小公倍数

1、重点归纳

(1)在求最小公因数和最大公倍数的时候，我们要区分两者的区别与联系。两者都可以用短除法来求，但是前者是所有的除数相乘，而后者是把除数和商连乘起来而得到。

(2)求两个数的最大公因数和最小公倍数的特殊情况：

①1与任意非零自然数的公因数只有1个，就是1。

②倍数关系的两个数，最大公因数是较小的数，最小公倍数是较大的数。举例:

15和5，[15，5]=15，（15，5）=5

③互质的两个数，最大公因数是1,最小公倍数是它们的乘积。举例：[3,7]=21,（3，7）=1

（3）在解决最大公因数和最小公倍数的实际问题中，一般问题中有“最大”、“最多”是求最大公因数的问题；一般问题中有“最少”、“至少”是求最小公倍数的问题。

（4）两个自然数的最大公因数与它们的最小公倍数的一个重要性质是：

最大公因数X最小公倍数二两个数的乘积

（5）求两个数的最小公倍数的方法：这两个数的公有质因数与独有质因数的连乘积就是这两个数的最小公倍数。

2、典型练习

例1、两个数的最大公因数是4，最小公倍数是252，其中一个是28，另一个是数（）。

例2、两个自然数的积是360，最小公倍数是120，这两个数各是多少？

例3、甲数=2X2X3X5，乙数=3X3X5X2，这两个数的最小公倍数是（）。

分析：根据求两个数的最小公倍数的方法：即这两个数的公有质因数与独有质因

数的连乘积，进行解答即可。

解答：因为甲数=2*2*3乂5,乙数=3x3x5x2,所以这两个数的最小公倍数是2X3X5X2X3=180.

例4、学校举行春季运动会，六1班人数的3参加田赛，3参加径赛，六1班87

人数是（）人。

分析：由六1班人数的3

参加田赛，3参加径赛参加径赛”，求出要求六1 87

班人数，也就是求7和8的最小公倍数。

7和8的最小公倍数是7x8=56,

例5、能同时被2、3、5除余数为1的最小数是（）

分析：可先求出能同时被2、3、5整除的最小的数，也就是它们的最小公倍数为30（2、3、5互质，最小公倍数等于这三个数的乘积），由此解决问题。

解答：能被2、3、5整除的最小的数是30，30+1=31

例6、一筐苹果（在100以内），按每份3个分多1个；每份5个分多3个，每份7个分多2个，这筐苹果原有（）个。

分析：按每份3个分多1个；每份5个分多3个，每份7个分多2个，这筐苹果加上2个，就是3个分和5个分没有剩余，7个分剩4个，即是15的公倍数，求出100以内15的公倍数，然后再满足7个分多4个的数，最后减去2即可。解：100以内15的公倍数有：30、45、60、75、90，

7个分多4个是：60，所以这筐苹果原有：60-2=58个

例7、从学校到文化中心的这段公路一侧，一共有37盏路灯（两端均安装），原来每两盏灯之间相距50米，选择要改成每两盏之间相距60米，除去两端不移动外，中间有多少盏路灯不需要重新安装？

分析：即求出50和60的最小公倍数，是300，也就是说每300米就有一盏灯

不需要重新安装；再求出这段路的总长里有多少个300米即可。6段，共有7

个点，除去两头，还有5根不动，可以看图.___.___.___.___.___.___.