2016年全国各地高考数学分类汇编-04 导数及其应用

2016年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全
（04导数及其应用）
一、选择题
1.（2016全国Ⅰ文）若函数1
()sin 2sin 3
f x x -x a x =+在(),-∞+∞单调递增,则a 的取值范围是（ ）
（A ）[]1,1- （B ）11,3
⎡⎤-⎢⎥⎣
⎦
（C ）11,33
⎡⎤-⎢⎥
⎣⎦ （D ）11,3⎡
⎤--⎢⎥
⎣
⎦ 【答案】C
考点：
三角变换及导数的应用
【名师点睛】本题把导数与三角函数结合在一起进行考查,有所创新,求解关键是把函数单调性转化为
不等式恒成立,再进一步转化为二次函数在闭区间上的最值问题,注意与三角函数值域或最值有关的问题,要注意弦函数的有界性.
2.（2016山东文、理）若函数()y f x =的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称()y f x =具有T 性质.下列函数中具有T 性质的是（ ） （A ）sin y x = （B ）ln y x = （C ）e x y =
（D ）3y x =
【答案】A 【解析】
试题分析：由函数的图象在两点处的切线互相垂直可知，存在两点处的切线斜率的积，即导函数值的乘积为负一.
当sin y x =时，cos y x '=，有c o s 0c o s 1
π⋅
=-，所以在函数sin y x =图象存在两点0,x x π==使条件成立，故A 正确；函数3
ln ,,x
y x y e y x ===的导数值均非负，不符合题意，故选A. 考点：1.导数的计算；2.导数的几何意义.
【名师点睛】本题主要考查导数的计算、导数的几何意义及两直线的位置关系，本题给出常见的三角函数、指数函数、对数函数、幂函数，突出了高考命题注重基础的原则.解答本题，关键在于将直线的位置关系与直线的斜率、切点处的导数值相联系，使问题加以转化，利用特殊化思想解题，降低难度.本题能较好的考查考生分析问题解决问题的能力、基本计算能力及转化与化归思想的应用等.
3. （2016四川文）已知a 函数3
()12f x x x =-的极小值点，则a =（ ） (A)-4 (B) -2 (C)4 (D)2 【答案】D
【解析】试题分析：()()()2
312322f x x x x '=-=+-，令()0f x '=得2x =-或2x =，易得()
f x 在()2,2-上单调递减，在()2,+∞上单调递增，故()f x 极小值为()2f ，由已知得2a =，故选D.
考点：函数导数与极值.
【名师点睛】本题考查函数的极值．在可导函数中函数的极值点0x 是方程'()0f x =的解，但0x 是极大值点还是极小值点，需要通过这点两边的导数的正负性来判断，在0x 附近，如果0x x <时，'()0f x <，0x x >时'()0f x >，则0x 是极小值点，如果0x x <时，'()0f x >，0x x >时，'()0f x <，则0x 是极大值点，
4.（2016四川文、理）设直线l 1，l 2分别是函数f (x )= ln ,01,
ln ,1,
x x x x -<<⎧⎨
>⎩图象上点P 1，P 2处的切线，
l 1与l 2垂直相交于点P ，且l 1，l 2分别与y 轴相交于点A ，B ，则△P AB 的面积的取值范围是（ ） （A ）(0,1) （B ）(0,2) （C ）(0,+∞) （D ）(1,+∞) 【答案】A
考点：1.导数的几何意义；2.两直线垂直关系；3.直线方程的应用；4.三角形面积取值范围. 【名师点睛】本题首先考查导数的几何意义，其次考查最值问题，解题时可设出切点坐标，利用切线垂直求出这两点的关系，同时得出切线方程，从而得点,A B 坐标，由两直线相交得出P 点坐标，从而求得面积，题中把面积用1x 表示后，可得它的取值范围．解决本题可以是根据题意按部就班一步一步解得结论．这也是我们解决问题的一种基本方法，朴实而基础，简单而实用．
二、填空
1.（2016全国Ⅱ理）若直线y kx b =+是曲线ln 2y x =+的切线，也是曲线ln(1)y x =+的切线，则b = ． 【答案】1ln2-
考点： 导数的几何意义.
【名师点睛】函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是在曲线y ＝f (x )上点P (x 0，y 0)处的切线的斜率．相应地，切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0)．
注意：求曲线切线时，要分清在点P 处的切线与过P 点的切线的不同．
2.（2016全国Ⅲ文）已知()f x 为偶函数，当0x ≤ 时，1
()x f x e
x --=-，则曲线()y f x =在点(1,2)
处的切线方程式_____________________________. 【答案】2y x =
考点：1、函数的奇偶性；2、解析式；3、导数的几何意义．
【知识拓展】本题题型可归纳为“已知当0x >时，函数()y f x =，则当0x <时，求函数的解析式”．有如下结论：若函数()f x 为偶函数，则当0x <时，函数的解析式为()y f x =-；若()f x 为奇函数，则函数的解析式为()y f x =--．
3.（2016全国Ⅲ理）已知
()
f x 为偶函数，当0x <错误！未找到引用源。

时，()ln()3f x x x =-+错
误！未找到引用源。

，则曲线()
y f x =在点(1,3)-处的切线方程是_______________．
【答案】21y x =--
【解析】试题分析：当0x >时，0x -<，则()ln 3f x x x -=-．又因为()f x 为偶函数，所以
()()ln 3f x f x x x =-=-，所以
1()3
f x x '=
-，则切线斜率为(1)2f '=-，所以切线方程为
32(1)y x +=--，即21y x =--．
考点：1、函数的奇偶性与解析式；2、导数的几何意义．
【知识拓展】本题题型可归纳为“已知当0x >时，函数()y f x =，则当0x <时，求函数的解析式”．有如下结论：若函数()f x 为偶函数，则当0x <时，函数的解析式为()y f x =-；若()f x 为奇函数，则函数的解析式为()y f x =--．
4.（2016天津文）已知函数()(2+1),()x f x x e f x '=为()f x 的导函数，则(0)f '的值为__________. 【答案】3 【解析】试题分析：
()(2+3),(0) 3.x f x x e f ''=∴=
考点：导数
【名师点睛】求函数的导数的方法
(1)连乘积的形式：先展开化为多项式的形式，再求导； (2)根式形式：先化为分数指数幂，再求导；
(3)复杂公式：通过分子上凑分母，化为简单分式的和、差，再求导； (4)复合函数：确定复合关系，由外向内逐层求导；
(5)不能直接求导的：适当恒等变形，转化为能求导的形式再求导．
5. （2016浙江理）如图，在△ABC 中，AB =BC =2，∠ABC =120°.若平面ABC 外的点P 和线段AC 上的点D ，满足PD =DA ，PB =BA ，则四面体PBCD 的体积的最大值是
.
【答案】
12
由余弦定理可得222cos 2PD PB BD BPD PD PB +-∠===⋅
所以30BPD ∠=.
E
D
C
B
A P
过P 作直线BD 的垂线，垂足为O .设PO d = 则11
sin 22
PBD S BD d PD PB BPD ∆=⨯=⋅∠，
1
2sin 302
d x =⋅
，解得d =而BCD ∆
的面积111
sin )2sin 30)222
S CD BC BCD x x =
⋅∠=⋅=
.
故x =.
此时，16V t
=
21414
()66t t t t
-=⋅=-. 由（1）可知，函数()V t 在(1,2]单调递减，故141
()(1)(1)612
V t V <=-=. 综上，四面体PBCD 的体积的最大值为
1
2
. 考点：1、空间几何体的体积；2、用导数研究函数的最值．
【思路点睛】先根据已知条件求出四面体的体积，再对x 的取值范围讨论，用导数研究函数的单调性，进而可得四面体的体积的最大值．
三、解答题
1. （2016北京文）设函数()3
2
.f x x ax bx c =+++
（I ）求曲线().y f x =在点()()
0,0f 处的切线方程；
（II ）设4a b ==，若函数()f x 有三个不同零点，求c 的取值范围； （III ）求证：230a b -＞是().f x 有三个不同零点的必要而不充分条件. 【答案】（Ⅰ）y bx c =+;（Ⅱ）320,
27c ⎛
⎫
∈ ⎪⎝⎭
;（III ）见解析.
（II ）当4a b ==时，()3
2
44f x x x x c =+++，
所以()2
384f x x x '=++．
令()0f x '=，得23840x x ++=，解得2x =-或23
x =-
． ()f x 与()f x '在区间(),-∞+∞上的情况如下：
所以，当0c >且027c -
<时，存在()14,2x ∈--，22,3x ⎛
⎫∈-- ⎪⎝
⎭，
32,03x ⎛⎫
∈- ⎪⎝⎭
，使得()()()1230f x f x f x ===．
考点：利用导数研究曲线的切线；函数的零点 【名师点睛】
1．证明不等式问题可通过作差或作商构造函数，然后用导数证明． 2．求参数范围问题的常用方法：(1)分离变量；(2)运用最值．
3．方程根的问题：可化为研究相应函数的图象，而图象又归结为极值点和单调区间的讨论． 4．高考中一些不等式的证明需要通过构造函数，转化为利用导数研究函数的单调性或求最值，从而证得不等式，而如何根据不等式的结构特征构造一个可导函数是用导数证明不等式
2. （2016北京理）设函数()a x
f x xe bx -=+，曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程为
(1)4y e x =-+， （1）求a ，b 的值； （2）求()f x 的单调区间.
【答案】（Ⅰ）2a =，b e =；（2）)(x f 的单调递增区间为(,)-∞+∞.
从而),(,0)(+∞-∞∈>x x g .
综上可知，0)(>'x f ，),(+∞-∞∈x ，故)(x f 的单调递增区间为),(+∞-∞. 考点：导数的应用.
【名师点睛】用导数判断函数的单调性时，首先应确定函数的定义域，然后在函数的定义域内，通过讨论导数的符号，来判断函数的单调区间．在对函数划分单调区间时，除了必须确定使导数等于0的点外，还要注意定义区间内的间断点．
3.（2016全国Ⅰ文）已知函数()()()2
2e 1x f x x a x =-+-． (I)讨论()f x 的单调性；
(II)若()f x 有两个零点,求a 的取值范围. 【答案】见解析(II) ()0,+∞
【解析】
试题分析：(I)先求得()()()
'12.x f x x e a =-+再根据1,0,2a 的大小进行分类确定()f x 的单调性；(II)借助第一问的结论,通过分类讨论函数单调性,确定零点个数,从而可得a 的取值范围为()0,+∞. 试题解析： (I)()()()()()
'12112.x x f x x e a x x e a =-+-=-+ (i)设0a ≥,则当(),1x ∈-∞时,()'0f x <；当()1,x ∈+∞时,()'0f x >. 所以在(),1-∞单调递减,在()1,+∞单调递增. (ii)设0a <,由()'0f x =得x =1或x =ln(-2a). ①若2
e
a =-,则()()()'1x f x x e e =--,所以()f x 在(),-∞+∞单调递增. ②若2
e
a >-
,则ln(-2a)<1,故当()()(),ln 21,x a ∈-∞-+∞时,()'0f x >；
当()()
ln 2,1x a ∈-时,()'0f x <,所以()f x 在()()(),ln 2,1,a -∞-+∞单调递增,在()()
ln 2,1a -单调递减.
③若2
e
a <-
,则()21ln a ->,故当()()(),1ln 2,x a ∈-∞-+∞时,()'0f x >,当()()1,ln 2x a ∈-时,()'0f x <,所以()f x 在()()(),1,ln 2,a -∞-+∞单调递增,在()()1,ln 2a -单调递减.
考点：函数单调性,导数应用
【名师点睛】本题第一问是用导数研究函数单调性,对含有参数的函数单调性的确定,通常要根据参数进行分类讨论,要注意分类讨论的原则：互斥、无漏、最简；第二问是求参数取值范围,由于这类问题常涉及到导数、函数、不等式等知识,越来越受到高考命题者的青睐,解决此类问题的思路是构造适当
的函数,利用导数研究函数的单调性或极值破解.
4. （2016江苏）已知函数()(0,0,1,1)x
x
f x a b a b a b =+>>≠≠.
设12,2
a b ==
. （1）求方程()2f x =的根;
（2）若对任意x R ∈,不等式(2)f()6f x m x ≥-恒成立，求实数m 的最大值；
（3）若01,1a b <<＞
，函数()()2g x f x =-有且只有1个零点，求ab 的值。

【答案】（1）①0 ②4（2）1 【解析】
考点：
指数函数、基本不等式、利用导数研究函数单调性及零点
【名师点睛】对于函数零点个数问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．但需注意探求与论证之间区别，论证是充要关系，要充分利用零点存在定理及函数单调性严格说明函数零点个数.
5.（2016全国Ⅰ文）已知函数()()()2
2e 1x f x x a x =-+-． (I)讨论()f x 的单调性；
(II)若()f x 有两个零点,求a 的取值范围. 【答案】见解析(II) ()0,+∞
【解析】
试题分析：(I)先求得()()()
'12.x f x x e a =-+再根据1,0,2a 的大小进行分类确定()f x 的单调性；(II)借助第一问的结论,通过分类讨论函数单调性,确定零点个数,从而可得a 的取值范围为()0,+∞.
试题解析： (I)()()()()()
'12112.x x f x x e a x x e a =-+-=-+ (i)设0a ≥,则当(),1x ∈-∞时,()'0f x <；当()1,x ∈+∞时,()'0f x >. 所以在(),1-∞单调递减,在()1,+∞单调递增. (ii)设0a <,由()'0f x =得x =1或x =ln(-2a). ①若2
e
a =-,则()()()'1x f x x e e =--,所以()f x 在(),-∞+∞单调递增. ②若2
e
a >-
,则ln(-2a)<1,故当()()(),ln 21,x a ∈-∞-+∞时,()'0f x >；
当()()
ln 2,1x a ∈-时,()'0f x <,所以()f x 在()()(),ln 2,1,a -∞-+∞单调递增,在()()
ln 2,1a -单调递减.
③若2
e
a <-
,则()21ln a ->,故当()()(),1ln 2,x a ∈-∞-+∞时,()'0f x >,当()()1,ln 2x a ∈-时,()'0f x <,所以()f x 在()()(),1,ln 2,a -∞-+∞单调递增,在()()1,ln 2a -单调递减.
考点：函数单调性,导数应用
【名师点睛】本题第一问是用导数研究函数单调性,对含有参数的函数单调性的确定,通常要根据参数进行分类讨论,要注意分类讨论的原则：互斥、无漏、最简；第二问是求参数取值范围,由于这类问题常涉及到导数、函数、不等式等知识,越来越受到高考命题者的青睐,解决此类问题的思路是构造适当的函数,利用导数研究函数的单调性或极值破解.
6.（2016全国Ⅰ理）已知函数错误！未找到引用源。

有两个零点. (I)求a 的取值范围；
(II)设x 1,x 2是()f x 错误！未找到引用源。

的两个零点,证明：122x x +<. 【答案】(0,)+∞
试题解析;
（Ⅰ）'()(1)2(1)(1)(2)x
x
f x x e a x x e a =-+-=-+． （i ）设0a =,则()(2)x
f x x e =-,()f x 只有一个零点．
（ii ）设0a >,则当(,1)x ∈-∞时,'()0f x <；当(
1,)x ∈+∞时,'()0f x >．所以()f x 在(,1)-∞上单调递减,在(1,)+∞上单调递增．
又(1)f e =-,(2)f a =,取b 满足0b <且ln
2
a b <,则 223
()(2)(1)()022
a f
b b a b a b b >
-+-=->, 故()f x 存在两个零点．
（iii ）设0a <,由'()0f x =得1x =或ln(2)x a =-．
若2
e
a ≥-
,则ln(2)1a -≤,故当(1,)x ∈+∞时,'()0f x >,因此()f x 在(1,)+∞上单调递增．又当1x ≤时,()0f x <,所以()f x 不存在两个零点．
若2
e
a <-,则ln(2)1a ->,故当(1,ln(2))x a ∈-时,'()0f x <；当(
l n (2),)x a ∈-+∞时,'()0f x >．因此()f x 在(1,ln(2))a -单调递减,在(ln(2),)a -+∞单调递增．又当1x ≤时,()0f x <,所以()f x 不存在
两个零点．
综上,a 的取值范围为(0,)+∞．
考点：导数及其应用
【名师点睛】,对于含有参数的函数单调性、极值、零点问题,通常要根据参数进行分类讨论,要注意分类讨论的原则：互斥、无漏、最简；,解决函数不等式的证明问题的思路是构造适当的函数,利用导数
研究函数的单调性或极值破解.
7.（2016全国Ⅱ文） 已知函数()(1)ln (1)f x x x a x =+--. （I ）当4a =时，求曲线()y f x =在()1,(1)f 处的切线方程； （Ⅱ）若当()1,x ∈+∞时，()0f x ＞，求a 的取值范围. 【答案】（Ⅰ）220x y +-=；（Ⅱ）(],2.-∞
【解析】试题分析：（Ⅰ）先求函数的定义域，再求()f x '，(1)f '，(1)f ，由直线方程得点斜式可求曲线()=y f x 在(1,(1))f 处的切线方程为220.x y +-=（Ⅱ）构造新函数(1)
()ln 1
-=-+a x g x x x ，对实数a 分类讨论，用导数法求解.
试题解析：（I ）()f x 的定义域为(0,)+∞.当4=a 时，
1
()(1)ln 4(1),()ln 3'=+--=+
-f x x x x f x x x
，(1)2,(1)0.'=-=f f 所以曲线()=y f x 在(1,(1))f 处的切线方程为220.x y +-=
考点： 导数的几何意义，函数的单调性. 【名师点睛】求函数的单调区间的方法： (1)确定函数y ＝f (x )的定义域； (2)求导数y ′＝f ′(x )；
(3)解不等式f ′(x )>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间； (4)解不等式f ′(x )<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间．
8.（2016全国Ⅱ理）(Ⅰ)讨论函数x
x 2f (x)x 2
-=
+e 的单调性，
并证明当0x >时，(2)20x x e x -++>；
(Ⅱ)证明：当[0,1)a ∈时，函数2
x =(0)x e ax a g x x
-->（）有最小值.设()g x 的最小值为()h a ，求函数()h a 的值域．
【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）2
1(,].24
e
.
（II ）2
2(2)(2)2
()(()),x x e a x x g x f x a x x
-+++==+ 由（I ）知，()f x a +单调递增，对任意[0,1),(0)10,(2)0,a f a a f a a ∈+=-<+=≥ 因此，存在唯一0(0,2],x ∈使得0()0,f x a +=即0'()0g x =， 当00x x <<时，()0,'()0,()f x a g x g x +<<单调递减； 当0x x >时，()0,'()0,()f x a g x g x +>>单调递增. 因此()g x 在0x x =处取得最小值，最小值为
000
000022000(1)+()(1)().2
x x x e a x e f x x e g x x x x -++===+
考点： 函数的单调性、极值与最值. 【名师点睛】求函数单调区间的步骤： (1)确定函数f (x )的定义域； (2)求导数f ′(x )；
(3)由f ′(x )＞0(f ′(x )＜0)解出相应的x 的范围．
当f ′(x )＞0时，f (x )在相应的区间上是增函数；当f ′(x )＜0时，f (x )在相应的区间上是减函数，还可以列表，写出函数的单调区间．
注意：求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过认真比较才能下结论；另外注意函数最值是个“整体”概念，而极值是个“局部”概念．
9.（2016全国Ⅲ文）设函数()ln 1f x x x =-+． （I ）讨论()f x 的单调性； （II ）证明当(1,)x ∈+∞时，1
1ln x x x
-<
<； （III ）设1c >，证明当(0,1)x ∈时，1(1)x
c x c +->.
【答案】（Ⅰ）当01x <<时，()f x 单调递增；当1x >时，()f x 单调递减；（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）见
试题解析：（Ⅰ）由题设，()f x 的定义域为(0,)+∞，'1
()1f x x
=
-，令'()0f x =，解得1x =.
当01x <<时，'()0f x >，()f x 单调递增；当1x >时，'
()0f x <，()f x 单调递减. ………4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，()f x 在1x =处取得最大值，最大值为(1)0f =， 所以当1x ≠时，ln 1x x <-， 故当(1,)x ∈+∞时，ln 1x x <-，11ln
1x x <-，即11ln x x x
-<<. ………………7分 （Ⅲ）由题设1c >，设()1(1)x
g x c x c =+--，则'
()1ln x
g x c c c =--．
令'()0g x =，解得01
ln
ln ln c c x c
-=
. 当0x x <时，'()0g x >，()g x 单调递增；当0x x >时，'
()0g x <，()g x 单调递减. (9)
分
由（Ⅱ）知，1
1ln c c c
-<
<，故001x <<．又(0)(1)0g g ==，故当01x <<时，()0g x >， 所以当(0,1)x ∈时，1(1)x
c x c +->. ………………12分 考点：1、利用导数研究函数的单调性；2、不等式的证明与解法．
【思路点拨】求解导数中的不等式证明问题可考虑：（1）首先通过利用研究函数的单调性，再利用单调性进行证明；（2）根据不等式结构构造新函数，通过求导研究新函数的单调性或最值来证明．
10.（2016全国Ⅲ理）设函数()cos 2(1)(cos 1)f x a x a x =+-+，其中0a >，记|()|f x 错误！未找到引用源。

的最大值为A ．
（Ⅰ）求()f x '；
（Ⅱ）求A ；
（Ⅲ）证明|()|2f x A '≤．
【答案】（Ⅰ）'
()2sin 2(1)sin f x a x a x =---；（Ⅱ）2
123,05611,1
8532,1a a a a A a a a a ⎧
-<≤⎪⎪++⎪=<<⎨⎪
-≥⎪⎪⎩；（Ⅲ）见解析．
试题解析：（Ⅰ）'
()2sin 2(1)sin f x a x a x =---．
（Ⅱ）当1a ≥时，
'|()||sin 2(1)(cos 1)|f x a x a x =+-+2(1)a a ≤+-32a =-(0)f =
因此，32A a =-． ………4分
当01a <<时，将()f x 变形为
2
()2cos (1)cos 1f x a x a x =+--． 令
2
()2(1)1g t at a t =+--，则A 是|()|g t 在[1,1]-上的最大值，(1)g a -=，(1)32g a =-，且当14a
t a -=
时，()g t 取得极小值，极小值为221(1)61()1488a a a a g a a a --++=--=-． 令
1114a a --<
<，解得13a <-（舍去），1
5a >． （ⅰ）当
1
05a <≤
时，()g t 在(1,1)-内无极值点，|(1)|g a -=，|(1)|23g a =-，|(1)||(1)|g g -<，
所以23A a =-．
（Ⅲ）由（Ⅰ）得
'|()||2sin 2(1)sin |2|1|f x a x a x a a =---≤+-. 当
1
05a <≤
时，'
|()|1242(23)2f x a a a A ≤+≤-<-=.
当115a <<时，131884a A a =++≥，所以
'
|()|12f x a A ≤+<. 当1a ≥时，'|()|31642f x a a A ≤-≤-=，所以
'
|()|2f x A ≤. 考点：1、三角恒等变换；2、导数的计算；3、三角函数的有界性．
【归纳总结】求三角函数的最值通常分为两步：（1）利用两角和与差的三角公式、二倍角公式、诱导公式将解析式化为形如sin()y A x B ωϕ=++的形式；（2）结合自变量x 的取值范围，结合正弦曲线
与余弦曲线进行求解．
请考生在[22]、[23]、[24]题中任选一题作答。

作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目题号后的方框涂黑。

如果多做，则按所做的第一题计分。

11.（2016山东文）设f (x )=x ln x –ax 2+(2a –1)x ，a ∈R .
(Ⅰ)令g (x )=f'(x )，求g (x )的单调区间；
(Ⅱ)已知f (x )在x =1处取得极大值.求实数a 的取值范围.
【答案】(Ⅰ)当0a ≤时，函数()g x 单调递增区间为()0,+∞； 当0a >时，函数()g x 单调递增区间为10,2a ⎛
⎫ ⎪⎝⎭，单调递减区间为1,2a ⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
. (Ⅱ) 1
2a >.
【解析】
试题分析：(Ⅰ)求导数()'ln 22,f x x ax a =-+ 可得()()ln 22,0,g x x ax a x =-+∈+∞， 从而()112'2ax
g x a x x
-=
-=
， 讨论当0a ≤时，当0a >时的两种情况下导函数正负号，确定得到函数的单调区间. (Ⅱ)分以下情况讨论：①当0a ≤时，②当102a <<时，③当12a =时，④当1
2
a >时，综合即得. 试题解析：(Ⅰ)由()'ln 22,f x x ax a =-+ 可得()()ln 22,0,g x x ax a x =-+∈+∞， 则()112'2ax
g x a x x
-=
-=
， 当0a ≤时，()0,x ∈+∞时，()'0g x >，函数()g x 单调递增； 当0a >时，10,2x a ⎛
⎫
∈ ⎪⎝⎭
时，()'0g x >，函数()g x 单调递增， 1,2x a ⎛⎫
∈+∞
⎪⎝⎭
时，()'0g x <，函数()g x 单调递减. 所以当0a ≤时，函数()g x 单调递增区间为()0,+∞； 当0a >时，函数()g x 单调递增区间为10,2a ⎛
⎫ ⎪⎝⎭，单调递减区间为1,2a ⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知，()'10f =.
①当0a ≤时，()'0f x <，()f x 单调递减. 所以当()0,1x ∈时，()'0f x <，()f x 单调递减. 当()1,x ∈+∞时，()'0f x >，()f x 单调递增.
③当12a =
时，即112a
=时，()'f x 在(0,1)内单调递增，在 ()1,+∞内单调递减， 所以当()0,x ∈+∞时，()'0f x ≤， ()f x 单调递减，不合题意. ④当12a >
时，即1012a << ，当1,12x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
时，()'0f x >，()f x 单调递增, 当()1,x ∈+∞时，()'0f x <，()f x 单调递减， 所以()f x 在1x =处取得极大值，合题意. 综上可知，实数a 的取值范围为1
2
a >
. 考点：1.应用导数研究函数的单调性、极值；2.分类讨论思想.
【名师点睛】本题主要考查导数的计算、应用导数研究函数的单调性与极值、分类讨论思想.本题覆盖面广，对考生计算能力要求较高，是一道难题.解答本题，准确求导数是基础，恰当分类讨论是关键，易错点是分类讨论不全面、不彻底、不恰当.本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、基本计算能力、分类讨论思想等.
12.（2016山东理）已知()2
21
()ln ,R x f x a x x a x -=-+∈. （I ）讨论()f x 的单调性；
（II ）当1a =时，证明()3
()'2
f x f x +＞对于任意的[]1,2x ∈成立. 【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析
【解析】试题分析：（Ⅰ）求()f x 的导函数，对a 进行分类讨论，求()f x 的单调性； （Ⅱ）要证()3()'2f x f x +＞对于任意的[]1,2x ∈成立，即证2
3)()(/
>-x f x f ，根据单调性求解. 试题解析：
（Ⅰ）)(x f 的定义域为),0(+∞；
3
232/
)
1)(2(22)(x x ax x x x a a x f --=+--=.
当0≤a ， )1,0(∈x 时，0)(/
>x f ，)(x f 单调递增；
/(1,),()0x f x ∈+∞<时，)(x f 单调递减.
当0>a 时，/3(1)()(a x f x x x x -=
+. （1）20<<a ，
12
>a
， 当)1,0(∈x 或x ∈),2
(
+∞a
时，0)(/>x f ，)(x f 单调递增； 当x ∈)2
,
1(a
时，0)(/<x f ， )(x f 单调递减； （2）2=a 时，
12
=a
，在x ∈),0(+∞内，0)(/≥x f ，)(x f 单调递增； （3）2>a 时，12
0<<
a
， 当)2
,
0(a
x ∈或x ∈),1(+∞时，0)(/>x f ，)(x f 单调递增； 当x ∈)1,2
(
a
时，0)(/<x f ，)(x f 单调递减. 综上所述，
当0≤a 时，函数)(x f 在)1,0(内单调递增，在),1(+∞内单调递减； 当20<<a 时，)(x f 在)1,0(内单调递增，在)2,1(a 内单调递减，在),2
(+∞a
内单调递增； 当2=a 时，)(x f 在),0(+∞内单调递增； 当2>a ，)(x f 在)2,
0(a 内单调递增，在)1,2
(a
内单调递减，在),1(+∞内单调递增. （Ⅱ）由（Ⅰ）知，1=a 时，
/22321122
()()ln (1)x f x f x x x x x x x --=-+
---+
23312
ln 1x x x x x
=-++--，]2,1[∈x ，
令12
13)(,ln )(32--+=
-=x
x x x h x x x g ，]2,1[∈x .
则)()()()(/
x h x g x f x f +=-， 由01
)(/
≥-=
x
x x g 可得1)1()(=≥g x g ，当且仅当1=x 时取得等号. 又24
326
'()x x h x x
--+=， 设623)(2
+--=x x x ϕ，则)(x ϕ在x ∈]2,1[单调递减，
考点：1.应用导数研究函数的单调性、极值；2.分类讨论思想.
【名师点睛】本题主要考查导数的计算、应用导数研究函数的单调性与极值、分类讨论思想.本题覆盖面广，对考生计算能力要求较高，是一道难题.解答本题，准确求导数是基础，恰当分类讨论是关键，易错点是分类讨论不全面、不彻底、不恰当，或因复杂式子变形能力差，而错漏百出.本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、基本计算能力、分类讨论思想等.
13．（2016上海文）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分. 已知a ∈R ，函数()f x =21log ()a x
+. （1）当 1a =时，解不等式()f x >1；
（2）若关于x 的方程()f x +2
2log ()x =0的解集中恰有一个元素，求a 的值；
（3）设a >0，若对任意t ∈1[,1]2
，函数()f x 在区间[,1]t t +上的最大值与最小值的差不超过1，
求a 的取值范围.
【答案】（1）{}|01x x <<．（2）0a =或14-
．（3）2,3⎡⎫
+∞⎪⎢⎣⎭
． 【解析】试题分析：（1）由21log 11x ⎛⎫
+>
⎪⎝⎭
，利用得112x +>求解．
（2）转化得到2221
log ()log ()0a x x
++=，讨论当0a =、0a ≠时的情况．
（3）讨论()f x 在()0,+∞上单调递减．
确定函数()f x 在区间[],1t t +上的最大值与最小值之差.得到()2
110at a t ++-≥，对任意
1,12t ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
成立．
试题解析： （1）由21log 11x ⎛⎫
+> ⎪⎝⎭
，得112x +>，解得{}|01x x <<．
（2）()2221log log 0a x x ⎛⎫
++=
⎪⎝⎭
有且仅有一解， 等价于211a x x ⎛⎫
+=
⎪⎝⎭
有且仅有一解，等价于210ax x +-=有且仅有一解． 当0a =时，1x =，符合题意； 当0a ≠时，140a ∆=+=，1
4
a =-． 综上，0a =或14
-
． （3）当120x x <<时，1211
a a x x +>
+，221211log log a a x x ⎛⎫⎛⎫+>+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
， 所以()f x 在()0,+∞上单调递减．
考点：1.对数函数的性质；2.函数与方程；3.二次函数的性质.
【名师点睛】本题对考生计算能力要求较高，是一道难题.解答本题关键是利用转化与化归思想、应
用函数的性质，将问题转化成二次函数问题，应用确定函数最值的方法---如二次函数的性质、基本不等式、导数等求解.本题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错漏百出..本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等.
14.（2016上海理）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.
已知a R ∈，函数21
()log (
)f x a x
=+.
（1）当5a =时，解不等式()0f x >；
（2）若关于x 的方程2()log [(4)25]0f x a x a --+-=的解集中恰好有一个元素，求a 的取值范围； （3）设0a >，若对任意1
[,1]2
t ∈，函数()f x 在区间[,1]t t +上的最大值与最小值的差不超过1，求
a 的取值范围.
【答案】（1）()1,0,4x ⎛
⎫∈-∞-+∞ ⎪⎝⎭
．
（2）(]{}1,23,4．（3）2,3⎡
⎫
+∞⎪⎢⎣⎭
． 【解析】
试题分析：（1）由21log 50x ⎛⎫
+>
⎪⎝⎭
，利用得151x +>求解．
（2）转化得到()()2
4510a x a x -+--=，讨论当4a =、3a =时，以及3a ≠且4a ≠时的情况． （3）讨论()f x 在()0,+∞上单调递减．
确定函数()f x 在区间[],1t t +上的最大值与最小值之差.得到()2
110at a t ++-≥，对任意
1,12t ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
成立．
试题解析：（1）由21log 50x ⎛⎫
+> ⎪⎝⎭
，得151x +>，
解得()1,0,4x ⎛
⎫∈-∞-+∞ ⎪⎝⎭
．
（2）
()1
425a a x a x
+=-+-，()()24510a x a x -+--=， 当4a =时，1x =-，经检验，满足题意． 当3a =时，121x x ==-，经检验，满足题意．
所以()f x 在()0,+∞上单调递减．
函数()f x 在区间[],1t t +上的最大值与最小值分别为()f t ，()1f t +．
()()22111log log 11f t f t a a t t ⎛⎫⎛⎫
-+=+-+≤ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭
即()2110at a t ++-≥，对任意
1,12t ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
成立．
因为0a >，所以函数()2
11y at a t =++-在区间1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上单调递增，1
2
t =
时，y 有最小值
3142a -，由31042a -≥，得23
a ≥． 故a 的取值范围为2
,3
⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
．
考点：1.对数函数的性质；2.函数与方程；3.二次函数的性质.
【名师点睛】本题对考生计算能力要求较高，是一道难题.解答本题关键是利用转化与化归思想、应用函数的性质，将问题转化成二次函数问题，应用确定函数最值的方法---如二次函数的性质、基本不等式、导数等求解.本题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错漏百出..本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等.
15.（2016四川文）设函数2
()ln f x ax a x =--，1()x
e
g x x e =-，其中q R ∈，e=2.718…为自然对数的底数.
（Ⅰ）讨论f(x)的单调性； （Ⅱ）证明：当x ＞1时，g(x)＞0；
（Ⅲ）确定a 的所有可能取值，使得()()f x g x >在区间（1，+∞）内恒成立.
【答案】（1）当x ∈
（时，'()f x <0，()f x 单调递减；当x ∈+)∞时，'()f x >0，()f x 单调递增；（2）证明详见解析；（3）a ∈1
+)2∞[，.
（Ⅰ）的结论，缩小a 的范围，设()g x =111e
x x --11
x x e x xe ---，并设()s x =1
e x x --，通过研究()s x 的
单调性得1x >时，()0g x >，从而()0f x >，这样得出0a ≤不合题意，又1
02
a <<时，()f x 的极小值点1
x =>，且(1)0f f <=，也不合题意，从而1
2a ≥，此时考虑1211()2e x h x ax x x -¢=-
+-得'()h x 2111
x x x x
>-+-0>，得此时()h x 单调递增，从而有()(1)0h x h >=，得出结论．
试题解析：（I ）2121
'()20).ax f x ax x x x
-=-=
>( 0a ≤当时， '()f x <0，()f x 在0+∞（，）
内单调递减.。

0a >当时，由'()f x =0，有
x =当x ∈
（时，'()f x <0，()f x 单调递减；当x ∈+)∞时，'()f x >0，()f x 单调递增.
因此()h x 在区间1+)∞（，单调递增.
又因为(1)h =0，所以当1x >时，()h x =()f x -()g x >0，即()f x >()g x 恒成立. 综上，a ∈1
+)2
∞[，.
考点：导数的计算、利用导数求函数的单调性，最值、解决恒成立问题．
【名师点睛】本题考查导数的计算、利用导数求函数的单调性，最值、解决恒成立问题，考查学生的
分析问题解决问题的能力和计算能力．求函数的单调性，基本方法是求'()f x ，解方程'()0f x =，再通过'()f x 的正负确定()f x 的单调性；要证明函数不等式()()f x g x >，一般证明()()f x g x -的最小值大于0，为此要研究函数()()()h x f x g x =-的单调性．本题中注意由于函数()h x 有极小值没法确定，因此要利用已经求得的结论缩小参数取值范围．比较新颖，学生不易想到．有一定的难度．
16.（2016四川理）设函数f (x )=ax 2-a -ln x ，其中a ∈R. （Ⅰ）讨论f (x )的单调性；
（Ⅱ）确定a 的所有可能取值，使得11()x
f x e x
->-在区间（1，+∞）内恒成立(e=2.718…为自然对数的底数).
【答案】（Ⅰ）当x ∈
0,
（时，'()f x <0，()f x 单调递减；当x ∈+)∞时，'()f x >0，()f x 单调递增；（Ⅱ）1
[,)2
a ??.
试题解析：（I ）2121
'()20).ax f x ax x x x -=-=
>( 0a ≤当时， '()f x <0，()f x 在0+∞（，）
内单调递减. 0a >当时，由'()f x =0，有
x =
此时，当x ∈
（时，'()f x <0，()f x 单调递减； 当x ∈
+)
∞时，'()f x >0，()f x 单调递增. （II ）令()g x =111
e
x x --，()s x =1e x x --. 则'()s x =1
e
1x --.
而当1x >时，'()s x >0，
所以()s x 在区间1+)∞（，内单调递增. 又由(1)s =0，有()s x >0，
从而当1x >时，()f x >0.
当0a ≤，1x >时，()f x =2
(1)ln 0a x x --<. 故当()f x >()g x 在区间1+)∞（，内恒成立时，必有0a >. 当1
2a <<
>1.
综上，1
[,)2
a ??．
考点：导数的计算、利用导数求函数的单调性，最值、解决恒成立问题.
【名师点睛】本题考查导数的计算、利用导数求函数的单调性，最值、解决恒成立问题，考查学生的分析问题解决问题的能力和计算能力．求函数的单调性，基本方法是求'()f x ，解方程'()0f x =，再通过'()f x 的正负确定()f x 的单调性；要证明函数不等式()()f x g x >，一般证明()()f x g x -的最小值大于0，为此要研究函数()()()h x f x g x =-的单调性．本题中注意由于函数()h x 有极小值没法确定，因此要利用已经求得的结论缩小参数取值范围．比较新颖，学生不易想到．有一定的难度．
17.（2016天津文）设函数b ax x x f --=3
)(，R x ∈，其中R b a ∈,
（Ⅰ）求)(x f 的单调区间；
（Ⅱ）若)(x f 存在极值点0x ，且)()(01x f x f =，其中01x x ≠，求证：0201=+x x ； （Ⅲ）设0>a ，函数|)(|)(x f x g =，求证：)(x g 在区间]1,1[-上的最大值不小于．．．4
1
.
【答案】（Ⅰ）递减区间为()33-，递增区间为(,3-∞-，()3
-+∞.（Ⅱ）详见解析（Ⅲ）详见解析 【解析】
试题分析：（Ⅰ）先求函数的导数：2
()3f x x a '=-，再根据导函数零点是否存在情况，分类讨论：
①当0a ≤时，有2
()30f x x a '=-≥恒成立，所以()f x 的单调增区间为(,)-∞∞.②当0a >时，存
在三个单调区间（Ⅱ）由题意得200()30f x x a '=-=即2
03a x =
，再由)()(01x f x f =化简可得结论（Ⅲ）实质研究函数)(x g 最大值：主要比较(1),(1)f f -
，||,|()|33f f -的大小即可，分三种情况
研究①当3a ≥
时，11≤-<≤
334a ≤<
时，11≤-<<<≤，③当304a <<
时，11-<<<.
试题解析：（1）解：由3()f x x ax b =--，可得2
()3f x x a '=-，下面分两种情况讨论：
①当0a ≤时，有2
()30f x x a '=-≥恒成立，所以()f x 的单调增区间为(,)-∞∞.
②当0a >时，令()0f x '=
，解得3
x =
或3x =-.
当x 变化时，()f x '、()f x 的变化情况如下表：
所以()f x 的单调递减区间为(,33-
，单调递增区间为(,)3-∞-，(,)3
-+∞. （2）证明：因为()f x 存在极值点，所以由（1）知0a >且00x ≠.
（3）证明：设()g x 在区间[1,1]-上的最大值为M ，max{,}x y 表示x ，y 两数的最大值，下面分
三种情况讨论： ①当3a ≥时，
1133
-
≤-<≤
，由（1） 知()f x 在区间[1,1]-上单调递减， 所以()f x 在区间[1,1]-上的取值范围为[(1),(1)]f f -，因此，
max{[(1),(1)]}max{|1|,|1|}M f f a b a b =-=---+-max{|1|,|1|}a b a b =-+--
1,0,
1,0,
a b b a b b --≥⎧=⎨
--<⎩ 所以1||2M a b =-+≥.
②当
3
34
a ≤<时，113333-≤-<-<<≤，
由（1）和（2） 知(1)(f f f -≥=，(1)(f f f ≤=，
所以()f x 在区间[1,1]-上的取值范围为[(f f ，
所以max{|(
|,|()|}max{||,||}33f f b b -=
考点：导数的运算，利用导数研究函数的性质、证明不等式 【名师点睛】
1.求可导函数单调区间的一般步骤
(1)确定函数f (x )的定义域(定义域优先)； (2)求导函数f ′(x )；
(3)在函数f (x )的定义域内求不等式f ′(x )＞0或f ′(x )＜0的解集．
(4)由f ′(x )＞0(f ′(x )＜0)的解集确定函数f (x )的单调增(减)区间．若遇不等式中带有参数
时，可分类讨论求得单调区间．
2．由函数f (x )在(a ，b )上的单调性，求参数范围问题，可转化为f ′(x )≥0(或f ′(x )≤0)恒成立问题，要注意“＝”是否可以取到．
18.（2016天津理）设函数3()(1)f x x ax b =---,R x ∈，其中R b a ∈,
(I)求)(x f 的单调区间；。