高中数学高一必修2空间立体几何试卷(有详细答案)

高中数学立体几何测试试卷
学校：___姓名：___班级：___考号：__
一．单选题
1．一个圆锥的侧面展开图的圆心角为90°，它的表面积为a，则它的底面积为（）A．B．C．D．
2．设α为平面，m，n为直线（）
A．若m，n与α所成角相等，则m∥n
B．若m∥α，n∥α，则m∥n
C．若m，n与α所成角互余，则m⊥n
D．若m∥α，n⊥α，则m⊥n
3．正四棱锥的侧棱长与底面边长都是1，则侧棱与底面所成的角为（）
A．75°B．60°C．45°D．30°
4．设α是空间中的一个平面，l，m，n是三条不同的直线，
①若m⊂α，n⊂α，l⊥m，l⊥n，则l⊥α；
②若l∥m，m∥n，l⊥α，则n⊥α；
③若l∥m，m⊥α，n⊥α，则l∥n；
④若m⊂α，n⊥α，l⊥n，则l∥m；
则上述命题中正确的是（）
A．①②B．②③C．②④D．③④
5．已知一个铜质的五棱柱的底面积为16cm2，高为4cm，现将它熔化后铸成一个正方体的铜块（不计损耗），那么铸成的铜块的棱长是（）
A．2cm B．C．4cm D．8cm
6、在正方体ABCD-A l B1C1D1中，P是正方体的底面A l B1C1D1（包括边界）内的一动点（不与A1重合），Q是底面ABCD内一动点，线段A1C与线段PQ相交且互相平分，则使得四边形A1QCP面积最大的点P有（）
A．1个B．2个C．3个D．无数个
7．如图所示几个空间图形中，虚线、实线使用不正确的有（）
A．②③B．①③C．③④D．④
二．填空题
8、如图，在四棱锥S-ABCD中，SB⊥底面ABCD．底面ABCD为梯形，AB⊥AD，AB∥CD，AB=1，AD=3，CD=2．若点E是线段AD上的动点，则满足∠SEC=90°的点E的个数是______．
9、一个正方体的六个面上分别标有字母A、B、C、D、E、F，如图是此正方体的两种不同放置，则与D面相对的面上的字母是______．
10．设α、β为互不重合的平面，m、n为互不重合的直线，下列四个命题中所有正确命题的序号是______．
①若m⊥α，n⊂α，则m⊥n；
②若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β．
③若m∥α，n∥α，则m∥n．
④若α⊥β，α∩β=m，n⊂α，n⊥m，则n⊥β．
三．简答题
11、在直角梯形ABCD中，∠A=∠D=90°，AB＜CD，SD⊥平面ABCD，AB=AD=a，S D=，在线段SA上取一点E（不含端点）使EC=AC，截面CDE与SB交于点F．
（1）求证：四边形EFCD为直角梯形；
（2）设SB的中点为M，当的值是多少时，能使△DMC为直角三角形？请给出证明．12、正三棱台的高为3，上、下底面边长分别为2和4，求这个棱台的侧棱长和斜高．
13、已知三棱椎D-ABC，AB=AC=1，AD=2，∠BAD=∠CAD=∠BAC=90°，点E，F分别是BC，DE的中点，如图所示，
（1）求证AF⊥BC
（2）求线段AF的长．
参考答案
一．单选题
1．一个圆锥的侧面展开图的圆心角为90°，它的表面积为a，则它的底面积为（）A．B．C．D．
答案：A
解析：
解：设圆锥的母线为l，所以圆锥的底面周长为：，
底面半径为：=，
底面面积为：．
圆锥的侧面积为：，
所以圆锥的表面积为：+=a，
底面面积为：=．
故选A．
2．设α为平面，m，n为直线（）
A．若m，n与α所成角相等，则m∥n
B．若m∥α，n∥α，则m∥n
C．若m，n与α所成角互余，则m⊥n
D．若m∥α，n⊥α，则m⊥n
答案：D
解析：
解：对于选项A，若m，n与α所成角相等，m，n也可能相交、平行、异面；故A错误；对于选项B，若m∥α，n∥α，直线m，n也可能平行，也可能相交，还有可能异面；故B 错误；
对于选项C，若m，n与α所成角互余，如与α所成角分别为30°和60°，直线m，n所成的角有可能为30°；故C错误；
对于选项D，根据线面垂直的性质，容易得到m⊥n；故D正确；
故选D．
3．正四棱锥的侧棱长与底面边长都是1，则侧棱与底面所成的角为（）
A．75°B．60°C．45°D．30°
答案：C
解析：
解析：如图，四棱锥P-ABCD中，过P作PO⊥平面ABCD于O，连接AO
则AO是AP在底面ABCD上的射影．∴∠PAO即为所求线面角，
∵AO=，PA=1，
∴cos∠PAO==．∴∠PAO=45°，即所求线面角为45°．
故选C．
4．设α是空间中的一个平面，l，m，n是三条不同的直线，
①若m⊂α，n⊂α，l⊥m，l⊥n，则l⊥α；
②若l∥m，m∥n，l⊥α，则n⊥α；
③若l∥m，m⊥α，n⊥α，则l∥n；
④若m⊂α，n⊥α，l⊥n，则l∥m；
则上述命题中正确的是（）
A．①②B．②③C．②④D．③④
答案：B
解析：
解：①根据线面垂直的判定，当m，n相交时，结论成立，故①不正确；
②根据平行线的传递性，可得l∥n，故l⊥α时，一定有n⊥α，故②正确；
③由垂直于同一平面的两直线平行得m∥n，再根据平行线的传递性，即可得l∥n，故③正确．
④m⊂α，n⊥α，则n⊥m，∵l⊥n，∴可以选用正方体模型，可得l，m平行、相交、异面都有可能，如图所示，故④不正确
故正确的命题是②③
故选B．
5．已知一个铜质的五棱柱的底面积为16cm2，高为4cm，现将它熔化后铸成一个正方体的铜块（不计损耗），那么铸成的铜块的棱长是（）
A．2cm B．C．4cm D．8cm
答案：C
解析：
解：∵铜质的五棱柱的底面积为16cm2，高为4cm，
∴铜质的五棱柱的体积V=16×4=64cm3，
设熔化后铸成一个正方体的铜块的棱长为acm，
则a3=64
解得a=4cm
故选C
6、在正方体ABCD-A l B1C1D1中，P是正方体的底面A l B1C1D1（包括边界）内的一动点（不与A1重合），Q是底面ABCD内一动点，线段A1C与线段PQ相交且互相平分，则使得四边形A1QCP面积最大的点P有（）
A．1个B．2个C．3个D．无数个
答案：C
解：∵线段A1C与线段PQ相交且互相平分，
∴四边形A1QCP是平行四边形，
因A l C的长为定值，为了使得四边形A1QCP面积最大，只须P到A l C的距离为最大即可，由正方体的特征可知，当点P位于B1、C1、D1时，平行四边形A1QCP面积相等，且最大．则使得四边形A1QCP面积最大的点P有3个．
故选C．
7．如图所示几个空间图形中，虚线、实线使用不正确的有（）
A．②③B．①③C．③④D．④
答案：D
解析：
解：根据棱柱的放置和“看见的棱用实线、看不见的棱用虚线”，
则①②③正确，④错误，
故选D．
二．填空题
8、如图，在四棱锥S-ABCD中，SB⊥底面ABCD．底面ABCD为梯形，AB⊥AD，AB∥CD，AB=1，AD=3，CD=2．若点E是线段AD上的动点，则满足∠SEC=90°的点E的个数是______．
答案：2
解：连接BE，则
∵SB⊥底面ABCD，∠SEC=90°，
∴BE⊥CE．
故问题转化为在梯形ABCD中，点E是线段AD上的动点，求满足BE⊥CE的点E的个数．设AE=x，则DE=3-x，
∵AB⊥AD，AB∥CD，AB=1，AD=3，CD=2，
∴10=1+x2+4+（3-x）2，
∴x2-3x+2=0，
∴x=1或2，
∴满足BE⊥CE的点E的个数为2，
∴满足∠SEC=90°的点E的个数是2．
故答案为：2．
9、一个正方体的六个面上分别标有字母A、B、C、D、E、F，如图是此正方体的两种不同放置，则与D面相对的面上的字母是______．
答案：B
解析：
解：由此正方体的两种不同放置可知：与C相对的是F，因此D与B相对．
故答案为：B．
10．设α、β为互不重合的平面，m、n为互不重合的直线，下列四个命题中所有正确命题的序号是______．
①若m⊥α，n⊂α，则m⊥n；
②若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β．
③若m∥α，n∥α，则m∥n．
④若α⊥β，α∩β=m，n⊂α，n⊥m，则n⊥β．
答案：①④
解析：
解：①若m⊥α，n⊂α，利用线面垂直的性质，可得m⊥n，正确；
②若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β；两条相交直线才行，不正确．
③m∥α，n∥α，则m与n可能平行、相交、异面，不正确．
④若α⊥β，α∩β=m，n⊂α，n⊥m，则由面面垂直的性质定理我们易得到n⊥β，正确．故答案为：①④．
三．简答题
11、在直角梯形ABCD中，∠A=∠D=90°，AB＜CD，SD⊥平面ABCD，AB=AD=a，S D=，在线段SA上取一点E（不含端点）使EC=AC，截面CDE与SB交于点F．
（1）求证：四边形EFCD为直角梯形；
（2）设SB的中点为M，当的值是多少时，能使△DMC为直角三角形？请给出证明．答案：
解：（1）∵CD∥AB，AB⊂平面SAB，
∴CD∥平面SAB
面EFCD∩面SAB=EF，
∴CD∥EF．
∵∠D=90°，
∴CD⊥AD，
又SD⊥面ABCD，
∴SD⊥CD，
∴CD⊥平面SAD，
∴CD⊥ED又EF＜AB＜CD，
∴EFCD为直角梯形．
（2）当=2时，能使DM⊥MC．
∵AB=a，
∴，
∴，
∴SD⊥平面ABCD，
∴SD⊥BC，
∴BC⊥平面SBD．
在△SBD中，SD=DB，M为SB中点，
∴MD⊥SB．
∴MD⊥平面SBC，MC⊂平面SBC，
∴MD⊥MC，
∴△DMC为直角三角形．
12、正三棱台的高为3，上、下底面边长分别为2和4，求这个棱台的侧棱长和斜高．
答案：
解：如图所示，
正三棱台ABC-A1B1C1中，高OO1=3，底面边长为A1B1=2，AB=4，
∴OA=×AB=，
O1A1=×A1B1=，
∴棱台的侧棱长为
AA1==；
又OE=×AB=，
O1E1=×A1B1=，
∴该棱台的斜高为
EE1==．
13、已知三棱椎D-ABC，AB=AC=1，AD=2，∠BAD=∠CAD=∠BAC=90°，点E，F分别是BC，DE的中点，如图所示，
（1）求证AF⊥BC
（2）求线段AF的长．
答案：
解：（1）分别以AB、AC和AD为x、y、z轴，建立空间直角坐标系O-xyz，
如图所示：
记A（0，0，0），B（1，0，0），C（0，1，0），D（0，0，2），∴E（，，0），F（，，1）；
∴（，，1），=（-1，1，0），
∴•=×（-1）+×1+1×0=0，
∴⊥，
即AF⊥BC；
（2）∵=（，，1），
∴||===，
即线段AB=．。