山东师范大学附属中学2019届高三第四次模拟理科数学试卷附答案解析

山东师范大学附属中学2019届高三第四次模拟
数学（理）试题
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）
1.已知集合，，则
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
由A与B，求出两集合的交集即可．
【详解】集合，，则，故选：A．
【点睛】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．
2.设复数是虚数单位，则
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
把代入，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．
【详解】，
．
故选：B．
【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题．
3.命题，的否定是
A. ，
B. ，
C. ，
D. ，
【答案】C
【解析】
【分析】
根据全称命题的否定为特称命题，即可得到答案
【详解】全称命题的否定为特称命题，命题，的否定是，，
故选：C．
【点睛】本题考查了命题的否定，属于基础题．
4.在等差数列中，，则数列的前11项和( )
A. 8
B. 16
C. 22
D. 44
【答案】C
【解析】
【分析】
本道题利用,得到,再利用,计算结果,即可得出答案.
【详解】利用等差数列满足,代入,得到
,解得
,故选C.
【点睛】本道题考查了等差数列的性质,利用好和,即可得出答案.
5.在中，，，，AD为BC边上的高，O为AD的中点，若，则
A. 1
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】
【分析】
通过解直角三角形得到，利用向量的三角形法则及向量共线的充要条件表示出利用向量共线的充要条件表示出，根据平面向量就不定理求出，值．
【详解】在中，
又
所以
为AD的中点
故选：D．
【点睛】本题考查解三角形、向量的三角形法则、向量共线的充要条件、平面向量的基本定理．6. 如图，一个四棱锥的底面为正方形，其三视图如图所示，则这个四棱锥的体积为（）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
【答案】B
【解析】
由三视图可知高为,应选B
7.设函数是定义在R上的奇函数，当时，，则
A. 2
B. 1
C.
D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意，由函数的解析式可得的值，结合函数的奇偶性可得的值，则有
，结合函数的解析式计算可得答案．
【详解】根据题意，当时，，则，
又由函数为奇函数，则，
，
故选：C．
【点睛】本题考查函数的奇偶性与函数值的计算，关键掌握函数奇偶性的定义，属于基础题．
8.定义运算：，将函数的图象向左平移个单位，所得图象对应的函数为偶函数，则的最小值是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
函数（），的图象向左平移个单位，所得图象对应的函数为；又函数为偶函数，∴，
，解得，；当时，取得最小值是，故选B.
9.已知三棱锥的底面是以为斜边的等腰直角三角形，且，则该三棱锥的外接球的表面积为
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
分析：说明S在底面上的射影是AB的中点，也是底面外接圆的圆心，求出球的半径，即可求出外接球的表面积．
详解：由题意，点S在底面上的射影D是AB的中点，是三角形ABC的外心，
令球心为O，如图在直角三角形ODC中，
由于AD=1，SD==，
则（﹣R）2+12=R2，
解得R=，则S球=4πR2=
故选：A．
点睛：设几何体底面外接圆半径为,常见的图形有正三角形,直角三角形,矩形,它们的外心可用其几何性质求;而其它不规则图形的外心,可利用正弦定理来求.若长方体长宽高分别为则其体对角线长为
;长方体的外接球球心是其体对角线中点.找几何体外接球球心的一般方法:过几何体各个面的外心分别做这个面的垂线,交点即为球心. 三棱锥三条侧棱两两垂直,且棱长分别为，则其外接球半径公式为: .
10.函数的图象大致是
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
先根据函数的奇偶性，可排除B，C，根据函数值的符号即可排除D．
【详解】，
函数为奇函数，
函数的图象关于原点对称，故排除B，C，
当时，，，
单调性是增减交替出现的，故排除，D，
故选：A．
【点睛】本题考查了函数图象的识别，根据根据函数值的符号即可判断，属于基础题．
11.已知抛物线上一点到焦点的距离与其到对称轴的距离之比为5：4，且，则点到原点的距离为（）
A. 3
B.
C. 4
D.
【答案】B
【解析】
试题分析：设，则，所以，到原点的距离为，选B．
考点：抛物线定义
【方法点睛】1．凡涉及抛物线上的点到焦点距离时，一般运用定义转化为到准线距离处理．本题中充分运用抛物线定义实施转化，其关键在于求点的坐标．
2．若P（x0，y0）为抛物线y2＝2px（p＞0）上一点，由定义易得|PF|＝x0＋；若过焦点的弦AB的端点坐标为A（x1，y1），B（x2，y2），则弦长为|AB|＝x1＋x2＋p，x1＋x2可由根与系数的关系整体求出；若遇到其他标准方程，则焦半径或焦点弦长公式可由数形结合的方法类似地得到．
12.已知直线与圆交于不同的两点A，B，O是坐标原点，且有，那么k的取值范围是
A. B. 2 C. D. 2
【答案】B
【解析】
根据题意，设圆心到直线的距离为d；由直线与圆相交的性质可得，则有
；设与的夹角即，由数量积的计算公式可得，变形可得
，则，结合直线与圆的位置关系分析可得，解可得，综合可得答案．
【详解】根据题意，圆的圆心为，半径，设圆心到直线的距离为d；
若直线与圆交于不同的两点A，B，则，则有；
设与的夹角即，
若，即，变形可得，则，
当时，，
若，则，解可得，
则k的取值范围为；
故选：B．
【点睛】本题考查直线与圆的方程的应用，涉及直线与圆的位置关系，属于综合题．
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13.设是等比数列的前n项和，若，则______．
【答案】
【解析】
【分析】
根据题意，设等比数列的公比为q，由等比数列前n项和的性质可得，解可得，进而可得，相比即可得答案．
【详解】根据题意，设等比数列的公比为q，
若，则，解可得，
则，
则；
故答案为：．
【点睛】本题考查等比数列的性质以及应用，涉及等比数列的前n项和公式，属于基础题．
14.设实数x、y满足约束条件，，则的最大值是______．
【答案】
【解析】
【分析】
先根据约束条件画出可行域，再转化目标函数，把求目标函数的最值问题转化成求截距的最值问题，找到最优解代入求值即可
【详解】由约束条件画出可行域如图：
目标函数可化为：
得到一簇斜率为，截距为z的平行线
要求z的最大值，须满足截距最大
当目标函数过点C时截距最大
又，
点C的坐标为
的最大值为：
故答案为：5
【点睛】本题考查线性规划，要求可行域要画准确，还需特别注意目标函数的斜率与边界直线的斜率的大小关系，即要注意目标函数与边界直线的倾斜程度属简单题
15.若正数x，y满足，则的最小值是______．
【答案】
【解析】
【分析】
利用乘“1”法，借助基本不等式即可求出．
【详解】正数x，y满足，则，
，
当且仅当时取等号，
故的最小值是12，
故答案为：12
【点睛】本题考查了基本不等式及其应用属基础题．
16.已知双曲线C：右支上非顶点的一点A关于原点O的对称点为B，F为其右焦点，若
，设，且，则双曲线C离心率的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】
设双曲线的左焦点为，连接，，，可得四边形为矩形，运用勾股定理和双曲线的定义，结合对勾函数的单调性，计算可得所求范围．
【详解】解：设双曲线的左焦点为，连接，，
，可得四边形为矩形，
设，，即有，
且，，
，
，
由，可得，
则，可得，
即有，
则，
即有．
故答案为：．
【点睛】本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查离心率的范围，注意运用勾股定理和对勾函数的单调性，考查运算能力，属于中档题．
三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）
17.已知，设.
（1）求的解析式及单调递增区间；
（2）在中，角所对的边分别为，且，求的面积.
【答案】(1)答案见解析；(2).
【解析】
试题分析：（1）利用数量积的坐标运算可以得到，再逆用二倍角公式和两角和的
正弦得到，最后令解出的范围即为的单调递增区间.（2）根据可以得到，再用余弦定理求出，故面积为.
解析：（1）因为，令
，解得，所以的单调递增区间为
.
（2）由可得，又，所以，，解
得.由余弦定理可知，所以，故，所以.
18.数列的前项和为，已知，成等比数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列满足，求数列的前项和.
【答案】(1) 2n−1；（2）Tn=6+(2n−3)×．
【解析】
试题分析：（1）因为，变形后为也即是，所以是一个等差数列且公差为2，再利用成等比数列可以得到，所以的通项为.（2）计算可得，它是等差数列和等比数列的乘积，用错位相减法求其前项和.
解析：（1）因为，所以，故数列是公差为的等差数列；又
成等比数列，所以，解得，故
.
（2）由（1）可得：，故
，
又，
由错位相减法得：
，
整理得：.
19.四边形是菱形,是矩形,,是的中点
（I）证明:（II）求二面角的余弦值.
【答案】（I）略；（II）
【解析】
试题分析：（I）利用中点的性质进行分析即可；（II）以为原点，所在直线为x轴，所在直线为Y轴，
所在直线为Z轴建立空间直角坐标系，通过向量有关知识进行计算即可.
试题解析：
（I）证法一: 设,的中点为，因为是的中点，
是平行四边形
证法二：因为是的中点，
；
（II）设的中点为，是矩形，，
，
四边形是菱形，]
以为原点，所在直线为x轴，所在直线为Y轴，所在直线为Z轴建立空间直角坐标系，
平面的法向量为，平面的法向量为
令，
设二面角的大小为
则
考点：空间向量在立体几何中的应用
【方法点睛】利用法向量求二面角时应注意
(1)对于某些平面的法向量要注意题中隐含着，不用单独求．
(2)注意判断二面角的平面角是锐角还是钝角，可结合图形进行，以防结论失误．
20.如图，设椭圆：，长轴的右端点与抛物线：的焦点重合，且椭圆
的离心率是．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）过作直线交抛物线于，两点，过且与直线垂直的直线交椭圆于另一点，求面积的最小值，以及取到最小值时直线的方程．
【答案】（Ⅰ）; （Ⅱ）面积的最小值为9，.
【解析】
试题分析：（Ⅰ）由已知求出抛物线的焦点坐标即得椭圆中的，再由离心率可求得，从而得值，得标准方
程；
（Ⅱ）本题考查圆锥曲线中的三角形面积问题，解题方法是设直线方程为，设，把直线方程代入抛物线方程，化为的一元二次方程，由韦达定理得，由弦长公式得，同样
过与直线垂直的直线方程为，同样代入椭圆方程，利用韦达定理得，其中，
是点的横坐标，于是可得，这样就可用表示出的面积，，接着可设
，用换元法把表示为的函数，利用导数的知识可求得最大值.
试题解析：
（Ⅰ）∵椭圆：，长轴的右端点与抛物线：的焦点重合，
∴，
又∵椭圆的离心率是，∴，，
∴椭圆的标准方程为．
（Ⅱ）过点的直线的方程设为，设，，
联立得，
∴，，
∴．
过且与直线垂直的直线设为，
联立得，
∴，故，
∴，
面积．
令，则，，
令，则，即时，面积最小，
即当时，面积的最小值为9，
此时直线的方程为．
21.已知函数（其中为自然对数的底数）.
（1）若,求函数在区间上的最大值；
（2）若,关于的方程有且仅有一个根, 求实数的取值范围；
（3）若对任意,不等式均成立, 求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）；（3）.
【解析】
试题分析：（Ⅰ）求出函数的导数，得到函数的单调区间，从而求出函数的最大值即可；（Ⅱ）若a=-1，关于x的方程f（x）=k•g（x）有且仅有一个根，即，有且只有一个根，令，可得h（x）极大=h（2）=，h（x）极小=h（1）=，进而可得当k＞或0＜k＜时，k=h（x）有且只有一个根；（Ⅲ）设，因为在[0，2]单调递增，故原不等式等价于|f（x1）-f（x2）|＜g（x2）-g（x1）在x1、x2∈[0，2]，且x1＜x2恒成立，当a≥-（e x+2x）恒成立时，a≥-1；当a≤e x-2x恒成立时，a≤2-2ln2，综合讨论结果，可得实数a的取值范围
试题解析：（1）当时,, 故在
上单调递减,上单调递增, 当时,, 当时,, 故在区间上．
（2）当时, 关于的方程为有且仅有一个实根, 则有且仅有一个实根, 设,则,
因此在和上单调递减, 在上单调递增,, 如图所示, 实数的取值范
围是．
（3）不妨设,则恒成立．
因此恒成立, 即恒成立,
且恒成立, 因此和均在上单调递增,
设,
则在上上恒成立, 因此在上恒成立因此,而
在上单调递减, 因此时,．由在上恒成立, 因此在上恒成立, 因此,设,则．当
时,, 因此在内单调递减, 在内单调递增,因此
．综上述,．
考点：利用导数求闭区间上函数的最值；根的存在性及根的个数判断；利用导数研究函数的单调性
22.已知曲线C的极坐标方程是ρ＝2,以极点为原点,极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系,直线l的参数方程为(t为参数).
(1)写出直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程;
(2)设曲线C经过伸缩变换得到曲线,设M(x,y)为上任意一点,求的最小值,并求相应的点M的坐标.
【答案】（1），；（2）当M为或时原式取得最小值1.
【解析】
试题分析：（1）由直线的参数方程为，消去参数即可求得直线的方程；由即可求得圆
的方程为；
（2）先跟据伸缩变换得到曲线的方程，然后设点为带入，再根据三角函数的性质即可求得结果.
试题解析：（1），故圆的方程为
直线的参数方程为，直线方程为
（2）由和得
设点为则
所以当或时，原式的最小值为.
考点：极坐标方程；参数方程的应用.
23. 选修4-5：不等式选讲
已知实数，，函数的最大值为3．
（1）求的值；
（2）设函数，若对于均有，求的取值范围．
【答案】(1)；(2)．
【解析】
试题分析：(1)由绝对值不等式可得；（2）对于
均有等价于，分别求的最大值与的最小值，解不等式即可．
试题解析：（1），……2分
所以的最大值为，∴，……4分
（2）当时，，……6分
对于，使得等价于成立，
∵的对称轴为，∴在为减函数，
∴的最大值为，……8分
∴，即，解得或，
又因为，所以．……10分
【考点】1．绝对值不等式的性质；2．函数与不等式．。