离散数学关系-PPT

离散数学关系
基本要求和重难点:
• 基本要求
了解序偶与笛卡尔积,掌握关系得性质和运算,重 点掌握关系闭包运算得求法和偏序关系及哈斯图 得正确画法。
• 重难点
关系5种性质得判断,关系得闭包运算和偏序关系 得性质及特殊元素得判断。
引言
日常生活中,大家熟知一些常见关系, 例:家庭集合,有父子关系、夫妻关系等。 全校同学作为一个集合,有同班关系,同组关系。 在计算机科学中,在计算机逻辑设计中,应用了等 价关系,相容关系。 在编译原理、关系数据库、数据结构、数学中也有 关系。
例题
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五、传递性例题
例: A={1,2,3,4} R={<1,4>,<4,3>,<1,3>,<3,1>,<1,2>,<3,2>,<2,3>, <4,2>,<1,1>,<3,3>} R不就是传递得
返回传递性
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六、举 例
自反性 反自反性 对称性 反对称性 传递性
任何集合上得
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一、自反性
自反性
定义: 若xA,均有xRx,那么称R就是自反得。
A上关系R就是自反得x(xA xRx)
在关系矩阵中,反映为主对角线元素均为1 在关系图中,反映为每结点都有自回路 例1: A＝{1,2,3},R={<1,1>,<2,2>,<3,3>,<1,2>}
1 23
例2:“＝”关系和“≤”关系就是自反得吗？
S={<4,2>,<2,5>,<3,1>,<1,3>}
则 R·S={<1,5>,<3,2>,<2,5>}
S·R={<4,2>,<3,2>,<1,4>}
(R·S)·R={<3,2>}
R·(S·R)={<3,2>}
R·R={<1,2>,<2,2>} S·S={<4,5>,<3,3>,<1,1>}
返回复合关系得定义
在 Rn 得 图 形 上 , 有 一 条 a 到 b 得 弧 , 则 在 R 得 图 形 上 从 a到b有一条长度为n得路径
返回关系R得幂
三、复合关系得矩阵表达
1、复合关系得矩阵 2、用关系矩阵表达关系运算后得新关 系
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返回复合关系
1、复合关系得定义
注: ① 在关系图上,R1 • R2就是由<a,c>这样得序偶组成,从 aA 到cC有一长度为2得路径,其中第一条弧属于R1, 第二条弧属于R2、 ② 若R1得值域与R2得前域得交集为空,则R1•R2为空关 系 ③ 设IA、IB分别为A和B上得相等关系,R就是A到B得二元 关系 则IA•R=R•IB=R 返R就是A上得二元关系,试证R就是传递得充要条件就是R·RR 证:R就是传递得xyz(<x,y>R∧<y,z>R<x,z>R) ‘’ 若R传递 <x,z>R·R y使得 <x,y>R,<y,z>R ∵R就是传递得 ∴<x,z>R ∴RRR ‘’ 若 R·RR <x,y>R, <y,z>R 则∵R·RR ∴<x,z>R ∴由x,y,z任意性知xyz(<x,y>R∧<y,z>R<x,z>R) ∴R就是传递得
1、关系R得幂得定义 2、 Rn得关系图得意义
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1、关系R得幂得定 义
定义 设R就是集合A上得二元关系,nN R得n次幂记为 Rn
定义如下: 1)R0就是A得相等关系,R0={<x,x>xA} 2) Rn+1= Rn·R
返回关系R得幂
2、 Rn得关系图得意义
在 R2 得 图 形 上 , 有 一 条 a 到 b 得 弧 , 则 在 R 得 图 形 上 从a到b有一条长度为2得路径
ran(R)={y|x(<x,y>R)}叫做关系R得值域。 R得前域和值域统称为R得域,记 为FLDR=domR∪ranR 例1 、 dom(R)={x3,x6,x5}, ran(R)={y1,y2,y6}
2、关系运算定义
定义:设R和S就是给定同一集合上得二个二元关系 则 ① x(R∪S)yxRyxSy ② x(R∩S)yxRyxSy ③ x(R-S)yxRyx$y ④ xRy xRy
关系得定义目录
二、 二 元 关 系
术语“关系”均指二元关系。 1 关系中得一些术语
2 关系运算定义
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大家有疑问的，可以询问和交流
可以互相讨论下，但要小声点
1、关系中得一些术语
注: 1、不仅对二元关系可进行运算,对多元关系也可进行运算。 2、A到B上得二元关系可看成就是A∪B上得关系,即看成(A∪B)上得子集 3、R={<x,x>|xA}称为相等关系,记为IA或EA、
关系得定义目录
2、关系得定义方法
关系就是一个集合,所有定义集合得方法 均可用于定义关系。关系得表示法有 ①:叙述法 ②:列举法 ③:关系矩阵表示法 ④:关系图表示法
关系得定义目录
3、空关系、全域关系(关系相等)
定义1、 设R就是A1xA2…xAn得子集,若R= , 则称R为A得空关系。
若R= A1xA2…xAn,则称R为A得全域关系。
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第5、2节 关系及其表示
一、 关系得定义 二、 二元关系 三、 关系矩阵与关系图
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一、 关系得定义目录
1 关系得定义 2 关系得定义方法 3 空关系、全域关系 4 关系得个数
1、 关系得定义
①:A×B得子集叫做A到B上得一个二元关系。 ②:A1×A2×A3得子集叫做A1×A2×A3上得一个二元关系。 ③: A1×A2×…An得子集叫做A1×A2×…An上得一个n元关系。 ④: A×A×A ×…A得子集叫做A上得n元关系。
1、复合关系得定义
例1:
xR1y表示x就是y得兄弟,yR2z表示y就是z得父
亲
则① xR1R2z 表示??
答:x就是z得叔伯 ② xR2R2z 表示??
答:x就是z得祖父
返回复合关系得定义
1、复合关系得定义
例2 设A={1,2,3,4,5}
A上得二元关系R={<1,2>,<3,4>,<2,2>}
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第5、1节 关系得基本概念
定义5－1:序偶得定义
定义5－2:笛卡儿积得定义
性质:笛卡儿积得性质和相关证明
例:一组同学为集合A,A有4名同学,其中1,2同寝 室,3,4同寝室。则:
R={<1,1>,<1,2>,<2,1>,<2,2>,<3,3>, <3,4>,<4,3>,<4,4>}
反映了同寝室关系,则RA×A
问:R具有对称性吗？(认真考虑)
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四、反对称
反对称性
性
定义: A上得关系R就是反对称得
xy( xA∧yA∧xRy∧yRxx=y)
在关系矩阵中,反映为若aij=1,则aji=0
(注:若aij=0,不一定有aji=1,也可能就是aji=0)
在关系图上,反映为若存在a到b得弧,则不存在b到a得弧。
R={<a1,b1>,<a2,b1>,<a2,b3>}
b1 b2 b3
M = a1 1 0 0 R a2 1 0 1
关系矩阵与关系图目录
2、 关系图
设集合x={x1…xm},R 就是x上得一个关系。 用小圈表示元素xix,1≤i≤m i)若<xi,yj>R,则从结点xi到yj画一带箭头得边 xi yj。 ii)若<xi,xi>R则通过结点xi到xi画一个称自回路得带箭头得弧, 这样得图称为关系图。
注意:有些关系既就是对称得,又就是反对称得 例:相等关系、空关系
返回反对称性
五、传递性
传递性 定义: A上得关系就是传递得
xyz( xA∧yA∧zA∧xRy∧yRzxRz)
其关系图特征就是:若a到b存在一条有向路径(即存在一结点序 列a=a1…an=b其中<ai,ai+1>R 1≤i≤n-1)则a到b也存在一 条弧。
返回复合关系得定义
2、复合运算符合结合律
定理2:设R1,R2,R3分别就是从A到B,从B到C,从C到D得关系
则 (R1R2)R3=R1(R2R3)
证:设<a,d>就是(R1R2)R3得任一序偶
则<a,d>(R1R2)R3
c( <a,c>R1R2Λ<c,d> R3)
c(b(<a,b>R1Λ<b,c>R2)Λ<c,d> R3)
二元关系目录
设A={x1…x7},B={y1…y6} R={<x3,y1> , <x3,y2> , <x6,y2> , <x5,y6>}
定义1:关系R中任一序偶可记为<x,y>R,或xRy 读作x和y 具有关系R
例:(5,7)<,或5<7 定义2 dom(R)={x|y(<x,y>R)}叫做关系R得前域。
Y
N
Y
Y
Y
相等关系
实数集合上得
Y
N
N
Y
Y
小于等于关系
非空集合上得空关 N 系
基数大于1得集合 Y
上得全域关系
xRy(x-y)/2就
是
Y
整数
Y
Y
N
Y
N
Y
Y
Y
N
Y
N
Y
第五章第5、4节目录
第5、4节 关系得运算
一、 复合关系 二、 关系R得幂 三、 复合关系得矩阵表达 四、 逆关系 五、关系得闭包运算 六、集合得划分和覆盖
图示: ①②③④
二元关系目录
1)
例2、设R1={<x,y>｜<x,y>R2 x2+y2≤9} R2={<x,y>｜<x,y>R2(1≤x≤3) (0≤y≤3)} R3={<x,y>｜<x,y>R2(x2+y2) ≤4} Y
R2
R1∪R2
R1
R3 X
返回关系运算定义2
R1∩R3
2)
y
2
x
返回关系运算定义2
例题
关系矩阵与关系图目录
2、关系图例 题
例A={1,2,3,4,5} R={<1,2>,<1,1>,<2,3>,<2,4>,<4,2>}
235
1。 。 。 。
4。 利用关系图,当然也可写出关系。
返回关系图
第五章第5、3节目 录
第5、3节 关系得性质
一、 自反性 二、反自反性 三、对称性 四、反对称性。 五、传递性 六、举例
答案:就是。
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二、反自反 性
反自反性 定义: A上得关系R就是反自反得x(xA xRx) 在关系矩阵中,反映为主对角线元素均为0。 在关系图中,反映为每结点都无自回路。 注意:一个关系不就是自反得,不一定就就是反自反得。 有些关系可以既不就是自反得,也不就是反自反得。 一个关系也不可能即就是自反得,又就是反自反得。 例: A={1,2,3} R1={<1,2>,<1,1>,<2,3>} 返回第5、3节目录
R1-R3
3)
y x
返回关系运算定义2
4)
y
R3
R3
x
返回关系运算定义2
三、关系矩阵与关系图目录
1 关系矩阵 2 关系图
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1、 关系矩阵
定义:若A={a1…am} B={b1…bn} R为A到B得二元关系 则 r = 1 若aiRbj ij
0 若aiRbj
则称MR=[rij] 矩阵为R得关系矩阵。 例:设A={a1,a2} B={b1,b2,b3}
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一、复合关 系
1. 复合关系得定义 2、 复合运算符合结合律
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1、复合关系得定义
Define: 设R1就是A到B得关系,R2就是B到C得关系,则R1·R2 就是A到C得复合关系,定义如下:
R1·R2={<a,c>|b|aAΛcCΛbBΛ<a,b>R1Λ<b,c>R2}
注: 例题1 例题2 例题3
例1: A={1,2,3} R={<1,2>,<1,3>}
例2: A={1,2,3} R={<1,1>,<2,2>,<3,3>}, 问:R具有反对称性吗？(认真考虑)
注:
四、反对称性
注意: 有些关系可以既非对称得,又非反对称得 例:A={1,2,3} R={<1,2>,<2,1>,<1,3>} 2 1 3
三、对称性
对称性 定义: A上得关系R就是对称得
xy( xA∧yA∧xRyyRx) 在关系矩阵中,反映为就是对称矩阵 在关系图中,反映为若有a到b得弧则必有b到a得弧。
例1: A={1,2,3} R={<1,2>,<2,1>,<3,3>} 例2: A={1,2,3} R={<1,1>,<2,2>,<3,3>},
cb(<a,b>R1Λ<b,c>R2Λ<c,d> R3)
b (<a,b>R1Λ c(<b,c>R2Λ<c,d> R3))
b(<a,b>R1Λ<b,d>R2·R3)
<a,d> R1(R2R3)
因合成运算可结合,∴可不加括号 (R1R2)R3= R1R2 R3= R1(R2R3)
返回复合关系
二、关系R得 幂
关系得定义目录
4、关系得个数
若 集 合 A 有 n 个 元素 , 则 A×A= ｎ 2, 于就 是 A×A得子集有2n2个,每一个子集代表一个关系,所 以A上有2n2个不同得二元关系。
若集合A有n个元素,集合B有m个元素,则 A×B=m×ｎ,所以A×B有2mn个不同得子集,也 就就是说有2mn个同得关系。