宁德市2014届高三5月质检文科数学试卷 Word版含答案

福建省宁德市2014届普通高中毕业班5月质检数学（文科）试卷（2014年5月）本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．本卷满分150分，考试时间120分钟．注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．考生作答时，将答案答在答题卡上．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效．在草稿纸、试题卷上答题无效．3．选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0．5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚．4．保持答题卡卡面清楚,不折叠、不破损．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第I卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．命题“若0x>,则20x>”的否命题是A．若20x>,则0x>B．若0x>,则20x≤C．若20x≤,则0x≤D．若0x≤,则20x≤2.已知集合{}|11M x x=-<<，{|N x y=，则M N=A. {}|01x x<< B. {}|01x x≤<C. {}|0x x≥ D. {}|10x x-<≤3．设向量(,1)x=a，(4,)x=b, 若,a b方向相反,则x的值是A．0B．2±C．2D．2-，，(nx x++-4．函数()sin f x x x =-是A ．奇函数且单调递增B ．奇函数且单调递减C ．偶函数且单调递增D ．偶函数且单调递减5．设n m ,是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则下列命题正确的是A ．若α⊂⊥n n m ,，则α⊥mB ．若//m α，//αβ，则//m βC ．若m n m //,α⊥，则α⊥nD ．若//m α，//n α，则n m //6．阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序后输出kA. 3B. 4C. 5D. 67．已知一个几何体的三视图如图所示，根据图中尺寸 可得该几何体的表面积为 A ．12+B ．16 C ．14+D ．208．已知,M N 是不等式组0,0,1,3x y x y x y ≥⎧⎪≥⎪⎨-≥-⎪⎪+≤⎩所表示的平面区域内的两个不同的点,则||MN 的最大值是 A ． BC ．D9．过双曲线12222=-by a x (0a >，0)b >的左焦点F 作圆O : 222x y b +=的一条切线，切点为A ，双曲线右顶点为B ，若AF ，OF ，BF 成等差数列,则双曲线的离心 率为 ABC ．2D ．3正视图侧视图俯视图10. 任取)3,1(-∈m ，则直线01)4()1(=--++y m x m 与x 轴、y 轴围成的三角形的面积小于81的概率是 A.53B.43 C.21 D.41 11．已知函数21(),0,()()221,0xx f x a x ax x ⎧-≤⎪=∈⎨⎪-->⎩R ，则下列结论正确的是 A ．a ∃∈R ，()f x 在R 上单调递减 B ．a ∃∈R ，()f x 的最小值为()f a C ．a ∀∈R ，()f x 有极大值和极小值 D ．a ∀∈R ，()f x 有唯一零点12．在锐角．．三角形ABC 中，,,a b c 分别为内角,,A B C 的对边，若2A B =，给出下列命题： ①ππ64B <<；②ab ∈；③22a b bc =+. 其中正确的个数是 A ．0B ．1C ．2D ．3第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填写在答题卡的相应位置． 13．已知复数i(1i)z =-（其中i 为虚数单位），则z = .14．设一个总体由编号为01,02,…,29,30的30个个体组成．利用下面的随机数表选取4个个体，选取方法是从随机数表第2行的第3列数字0开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第4个个体的编号为 .15．已知实数,x y 满足等式21cos πx y y+=+，则22x y +的最小值为 .16．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，满足：①(2)()f x f x+=；②当[0,1]x ∈时，()f x ．若1210,,,P P P ⋅⋅⋅是()f x 在[3,4]x ∈图象上不同的10个点，设(2,0)A -， B ，i i m AB AP =⋅（1,2,10i =），则1210m m m +++=________．三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）在等差数列{}n a 中，35a =，25221a a +=． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设123n n S a a a a =++++，若312,,k S S S 成等比数列，求k 的值．（背面还有试题）18．（本小题满分12分）如图，正方形ABCD 与正方形BDEF 所在的平面互相垂直，1AB =． （Ⅰ）求证：AC BDEF ⊥平面； （Ⅱ）求多面体ABCDEF 的体积．19．（本小题满分12分）已知函数2()(2cos 1)cos sin 2sin (0π)f x x x ϕϕϕ=-+<<的图象过点π(,1)12．（Ⅰ）求函数()f x 的解析式；（Ⅱ）将函数()f x 的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，得到函数()g x 的图象，求函数()g x 的单调递减区间．20．（本小题满分12分）某市为了了解市民对卫生管理的满意程度，通过问卷调查了学生、在职人员、退休人员共250人，结果如下表：若在所调查人员中随机抽取1人，恰好抽到学生的概率为0.32. （Ⅰ）求x 的值；（Ⅱ）现用分层抽样的方法在所调查的人员中抽取25人，则在职人员应抽取多少人？ （Ⅲ）若70,2y z ≥≥，求市民对市政管理满意度不小于0.9的概率.(注：=满意人数满意度总人数)ABCDEF21．（本小题满分12分）已知点(1,)P m 在抛物线2:2(0)C y px p =>上，F 为焦点，且3PF =． （Ⅰ）求抛物线C 的方程；（Ⅱ）过点(4,0)T 的直线l 交抛物线C 于,A B 两点，O 为坐标原点．（ⅰ）求OA OB ⋅的值；（ⅱ）若以A 为圆心，AT 为半径的圆与y 轴交于,M N 两点,求MNF ∆的面积.22．（本小题满分14分）已知函数2()ln f x ax b x =-在点(1,(1))f 处的切线为1y =． （Ⅰ）求实数,a b 的值；（Ⅱ）是否存在实数m ，当(0,1]x ∈时，函数2()()(1)g x f x x m x =-+-的最小值为0，若存在，求出m 的取值范围；若不存在，说明理由； （Ⅲ）若120x x <<，求证：212212ln ln x x x x x -<-．福建省宁德市2014届普通高中毕业班5月质检（2014年5月）数学（文科）试题参考答案及评分标准说明：一、本解答指出了每题要考察的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解法不同，可根据试题的主要考察内容比照评分标准指定相应的评分细则。

二、对计算题，当考生的解答在某一部分解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分。

三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。

四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分。

一、选择题：本题考查基础知识和基本运算．本大题共12小题，每小题5分，共60分．1．D 2．B 3．D 4．A 5．C 6．B 7．A 8．B 9．C 10．B 11．D 12．C 二、填空题：本题考查基础知识和基本运算．本大题共4小题，每小题4分，共16分．13 14．28； 15．1； 16．180． 三、解答题：本大题共6小题，共74分．17.本题主要考查等差数列、等比数列、数列求和等基础知识；考查推理论证与运算求解能力，满分12分． 解：（I ）设等差数列{}n a 的公差为d ，则3125125,23921a a d a a a d =+=⎧⎨+=+=⎩， ····················································································· 2分解得11,2a d ==， ······································································································· 4分∴12(1)21n a n n =+-=-. ·························································································· 6分 （II ）21213(21)n n S a a a n n =++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+-=………………………………9分 ∵312,,k S S S 成等比数列，∴2312k S S S =⋅，即2222()312k =⨯，…………………………………………………10分 又*k ∈N ，6k ∴=.…………………………………………………………………………………12分 18．本题主要考查空间线与线、线与面的位置关系、体积的计算等基础知识；考查空间想象能力、运算求解能力及推理论证能力，满分12分． （I ）证明：四边形ABCD 为正方形，AC BD ∴⊥.…………………………………………………………………………2分 平面ABCD ⊥平面BDEF ,平面ABCD 平面BDEF BD =,AC ⊂平面ABCD∴AC BDEF ⊥平面.…………………………………………………………………5分 （II ）设AC ,BD 交于O ,1AB =,四边形ABCD 为正方形,2BDEF BD AO S ∴===.…………………………7分 AC BDEF ⊥平面,∴OA 为四棱锥A BDEF -的高 =+ABCDEF A BDEF C BDEF V V V --∴2A BDEFV -=………………………………9分 BDEF 1=2S OA 3⨯⨯⨯1=223⨯⨯.………………………………………………………………12分 即多面体ABCDEF.19．本题主要考查三角恒等变换，三角函数的图象与性质等基础知识；考查运算求解能力，考查函数方程思想、数形结合思想．满分12分． 解：（I ）2()(2cos 1)cos sin 2sin f x x x ϕϕ=-+cos 2cos sin 2sin x x ϕϕ=+………………………………………………1分cos(2)x ϕ=-. ……………………………………………………………3分 ()f x 过点(,1)12π()cos()1126f ππϕ∴=-=. ………………………………………………………4分A BCD EFO0,ϕπ<< 5666πππϕ∴-<-<，0,6πϕ∴-=即6πϕ=.()cos(2)6f x x π∴=-.…………………………………………………………6分（II ）依题意可得()cos(4)6g x x π=-，…………………………………………8分由242,6k x k ππππ≤-≤+k ∈Z ………………………………………………………9分得7,224224k k x ππππ+≤≤+ ∴()g x 的单调递减区间为7[,],224224k k k ππππ++∈Z .…………………………12分 20．本题主要考查概率、统计等基础知识，考查数据处理能力、抽象概括能力、运算求解 能力以及应用意识，考查或然与必然思想、化归与转化思想．满分12分．解：（Ⅰ）依题意可得50.32,250x +=…………………………………………………2分解得75x =.……………………………………………………………………3分 （II ）∵学生人数为80，退休人员人数90，∴在职人员人数为：250809080--=，……………………………………5分可得在职人员应抽取80258250⨯=人.………………………………………7分 （III ）由70,2y z ≥≥，且80y z +=， 则基本事件(,)y z 为(70,10),(71,9),(72,8),(73,7),(74,6),(75,5),(76,4),(77,3),(78,2). 共有9组. ……………………………………………………………………9分由75780.9,250y ++≥得72y ≥,所以满足条件的基本事件共有7组，………………………………………11分 故所求的概率79P =.…………………………………………………………12分 21．本题主要考查直线、圆、抛物线等基础知识及直线与圆锥曲线的位置关系；考查运算求解能力、推理论证能力；考查特殊与一般的思想、化归与转化思想．满分12分．解法一：（I ）抛物线2:2(0)C y px p =>，∴焦点(,0)2pF .……………………………………………………………1分由抛物线定义得：||13,2pPF =+= 解得4p =，∴抛物线C 的方程为28y x =．……………………………………………3分（II ）（i ）依题意可设过点(4,0)T 的直线l 的方程为4x ty =+，……………4分由284y x x ty ⎧=⎨=+⎩，可得28320y ty --=，…………………………………5分 设1122(,),(,)A x y B x y ，则12128,32,y y t y y +==-…………………………………………………6分∴221212111688x x y y ⋅=⋅=，………………………………………………7分11221212(,)(,)163216OA OB x y x y x x y y ∴⋅=⋅=+=-=-.…………………8分 （ii ）设11(,),(0,),(0,)M N A x y M y N y ，则2118y x =⋅⋅⋅①以A 为圆心，||AT 为半径的圆的方程为22221111()()(4)x x y y x y -+-=-+ …………………………………………………………………………………9分 令0x =，则22221111()(4)x y y x y +-=-+⋅⋅⋅② 把①代入②可得21()16,y y -= 14y y ∴=+或14y -，||8M N MN y y ∴=-=,……………………………………………………………11分11||||82822MNF S MN OF ∆∴=⋅⋅=⋅⋅=.…………………………………………12分解法二：（Ⅰ）同解法一（II ）（i ）①当l 的斜率不存在时，:4,(4,l x A B =-则16OA OB ∴⋅=- ………………………………………………………………………………………4分 ②当l 的斜率存在时，设:(4),(0)l y k x k =-≠由28(4),y x y k x ⎧=⎨=-⎩，可得2222(88)160k x k x k -++=，…………………………5分 设1122(,),(,)A x y B x y ，则21212288,16,k x x x x k ++==…………………………………………………6分∴2212121212(4)(4)[4()16]y y k x x k x x x x ⋅=--=-++2224(88)[1616]16,k k k +=-+=……………………………………………………………………………………7分1212163216OA OB x x y y ∴⋅=+=-=-.…………………8分（ii ）设圆A 的半径为r ，则||r AT =………………………………………9分 又点A 到MN 的距离为1d x =，8MN ∴==……………………………………11分11||||82822MNF S MN OF ∆∴=⋅⋅=⋅⋅=.…………………………………………12分22．本题主要考查函数、导数、不等式等基本知识；考查运算求解能力、推理论证能力；考查化归转化思想、函数方程的思想、分类整合思想、数形结合思想．满分14分．解：（Ⅰ） ()2,(0)bf x ax x x'=->……………………………………………………1分依题意可得(1)1,(1)20f a f a b ==⎧⎨'=-=⎩,……………………………………………………3分解得1,2a b ==.……………………………………………………………………4分 （II ）2()()(1)(1)2ln ,(0,1]g x f x x m x m x x x =-+-=--∈22()mx g x m x x-'∴=-=,…………………………………………………………5分 ①当0m ≤时，()0,g x '<∴()g x 在(0,1]上单调递减， min ()(1)0g x g ∴==.………………………………………………………………6分②当02m <≤时，2()()0,()m x m g x g x x-'=≤∴在(0,1]上单调递减,min ()(1)0g x g ∴==………………………………………………………………7分③当2m >时，()0g x '<在2(0,)m 恒成立，()0g x '>在2(,1]m恒成立, ()g x ∴在2(0,)m 上单调递减，在2(,1]m上单调递增 2()(1)0g g m∴<=min ()0.g x ∴≠…………………………………………………8分综上所述，存在m 满足题意，其范围为(,2]-∞.………………………………9分 （III ）解法一：由（II ）知，1m =时，()12ln g x x x =--在(0,1)上单调递减, (0,1)x ∴∈时，()(1)0g x g >=,即12ln x x ->.………………………………………………………11分 120x x <<,1201x x ∴<<,112212ln x x x x ∴->, 121222(ln ln )x x x x x -∴>-, 21ln ln x x >, 212212ln ln x x x x x -∴<-.…………………………………………………………………14分（III ）解法二：设2222()2(ln ln ),(0)x x x x x x x x ϕ=--+<<2222()1x x x x x xϕ-'=-+=. 当2(0,)x x ∈，()0x ϕ'< ()x ϕ∴在2(0,)x 上单调递减2()()0x x ϕϕ∴<=,……………………………………………………………11分 2(0,)x x ∴∈时，2222(ln ln ),x x x x x -<- 120x x <<,221212(ln ln ),x x x x x ∴-<- 21ln ln x x >, 212212ln ln x x x x x -∴<-.………………………………………………………………14分。