2018年天津市高三第一次校模拟考试数学(理)试题word版含答案

2018年天津市高三第一次校模拟考试
数学（理）试题
第Ⅰ卷（共40分）
一、选择题：本大题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.若复数
312a i
i
++（a R ∈，i 为虚数单位）是纯虚数，则实数a 的值为（ ） A ．-6 B ．13 C ．3
2
D
2.设变量x ，y 满足约束条件4,4,2,y x y x y ≤⎧⎪
+≥⎨⎪-≤-⎩
则目标函数2z x y =-的最小值为（ ）
A ．4
B ．-5
C ．-6
D ．-8
3.命题p ：||1x <，命题q ：260x x +-<，则p ⌝是q ⌝成立的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件
D ． 既不充分也不必要条件
4.
在100展开式所得的x 的多项式中，系数为有理数的项有（ ） A ．16项 B ．17项 C.24项 D ．50项
5.若1ln 2a =，0.8
13b ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
，1
32c =，则（ ）
A ．a b c <<
B ．a c b << C.c a b << D ．b a c <<
6.将标号为1、2，…，10的10个球放入标号为1,2，…，10的10个盒子内，每一个盒内放一个球，恰好有3个球的标号与其所在盒子的标号不一致的放入方法种数为（ ） A ．120 B ．240 C.360 D ．720
7.过双曲线22
221x y a b
-=（0a >，0b >）的右顶点A 作斜率为-1的直线，该直线与双曲线的两条渐近线
的交点分别为B ，C ，若1
2
AB BC =
，则双曲线的离心率是（ ） A
B
D
8.如图，梯形ABCD 中，AB CD ，2AB =，4CD =
，BC AD ==,E 和F 分别为AD 与BC 的中点，对于常数λ，在梯形ABCD 的四条边上恰好有8个不同的点P ，使得PE PF λ⋅=成立，则实数λ
的取值范围是（ ）
A ．59(,)420-
- B ．511
(,)44-- C.111(,)44- D ．91(,)204
--
第Ⅱ卷（共110分）
二、填空题（本大题共6小题，每题5分，满分30分，将答案填在答题纸上）
9.已知集合U R =，集合{||3||3|3}A x R x x =∈+-->241{|,(0,)}t t B x R x t t
-+=∈=∈+∞，则集
合()U B
C A = ．
10.执行如图所示的程序框图，则输出b 的结果是 ．
11.由曲线y =
，直线2y x =-及y 轴所围成的图形的面积为 ．
12.已知某几何体的三视图如下图所示，根据图中标出的尺寸（单位：cm ），可得这个几何体的体积是
3cm ．
13.设a 与b 均为正数，且
33122
x y +=++，则2x y +的最小值为 ． 14.设函数()f x 的定义域为D ，如果存在正实数k ，使得对任意x D ∈，都有x k D +∈，且
()()f x k f x +>恒成立，则称函数()f x 为D 上的“k 的型增函数”
，已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且在0x >时，()||2f x x a a =--，若()f x 为R 上的“2017的型增函数”，则实数a 的取值范围是 ．
三、解答题 （本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15. 已知函数()sin cos()6
f x x x π
=+-，x R ∈.
（Ⅰ）求()f x 的最大值；
（Ⅱ）设ABC ∆中，角A 、B 的对边分别为a 、b ，若2B A =且2()6
b af A π
=-，求角C 的大小.
16.一个口袋中装有大小相同的2个白球和3个黑球.
（Ⅰ）采取放回抽样方式，从中摸出两个球，求两球恰好颜色不同的概率； （Ⅱ）采取不放回抽样方式，从中摸出两个球，求摸得白球的个数分分布列与期望.
17. 如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，AD BC ，22PA AB AD BC ====，
BAD θ∠=，E 是棱PD 的中点.
（Ⅰ）若60θ=︒，求证：AE ⊥平面PCD ； （Ⅱ）求θ的值，使二面角P CD A --的平面角最小.
18. 已知单调递增的等比数列{}n a 满足23428a a a ++=，且32a +是2a ，4a 的等差中项. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）若数列{}n b 满足
1
312231
(1)212121
21
n n
n n b b b b a +=-----++++，求数列{}n b 的通项公式； （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，设2n n n c b λ=+，问是否存在实数λ使得数列{}n c （*n N ∈）是单调递增数列？若存在，求出λ的取值范围；若不存在，请说明理由.
19. 已知抛物线1C ：2
4x y =的焦点F 也是椭圆2C ：22
221y x a b
+=（0a b >>）的一个焦点，1C 与2C 的
公共弦长为. （Ⅰ）求2C 的方程
（Ⅱ）过点F 的直线l 与1C 相交于A ，B 两点，与2C 相交于C ，D 两点，且AC ，BD 同向. （1）若||||AC BD =求直线l 的斜率；
（2）设1C 在点A 处的切线与x 轴的交点为M ，证明：直线l 绕点F 旋转时，MFD ∆总是钝角三角形.
20. 已知函数2()2
x
x f x e x -=
+，()2ln g x x ax =-（a R ∈） （Ⅰ）讨论()f x 的单调性；
（Ⅱ）证明：当[0,1)b ∈时，函数2
()x e bx b
h x x
--=（0x >）有最小值.记()h x 的最小值为()b ϕ，求()b ϕ的值域；
（Ⅲ）若()g x 存在两个不同的零点1x ，2x （12x x <），求a 的取值范围，并比较12
2'(
)3
x x g +与0的大小.
2018年天津市高三第一次校模拟考试
数学（理）试题答案
一、选择题
1-5:ADBBA 6-8:BCD
二、填空题
9.
3
[2,]
2
-10.2 11.
16
3
12.12
13.3+
14.
2017 (,
6
-∞）
三、解答题
15.
解：
1 ()sin cos sin sin
62
f x x x x x x
π
⎛⎫
=+-=+
⎪
⎝⎭
1
cos
26
x x x
π
⎫⎛⎫
=+=+
⎪ ⎪
⎪⎝⎭
⎭
.
3
x
π
⎛⎫
-
⎪
⎝⎭
）
所以()
f x
（Ⅱ）解：因为2
6
b af A
π
⎛⎫
=-
⎪
⎝⎭
，由（Ⅰ）和正弦定理，
得2
sin B A
=.
又2
B A
=
，所以2
sin2A A
=
，即2
2sin cos
A A A
=，
而A是三角形的内角，所以sin0
A≠
，故cos A A
=
，tan A=，
所以
6
A
π
=，2
3
B A
π
==，
2
C A B
π
π
=--=
16.（Ⅰ）解：采取放回抽样方式，从中摸出两个球，两球恰好颜色不同，也就是说从5个球中摸出一球，若第一次摸到白球，则第二次摸到黑球；若第一次摸到黑球，则第二次摸到白球.
因此它的概率P是：
11
11
33
22
1111
5555
12
25
C C
C C
P
C C C C
=⋅+⋅=.
（Ⅱ）解：设摸得白球的个数为ξ，则ξ=0,1,2.
23253(0)10C P C ξ===；1123253(1)5C C P C ξ⋅===；2
2251
(2)10
C P C ξ===
. ξ的分布列为：
012105105
E ξ=⨯+⨯+⨯=
17.解：当60θ=︒时，
∵AD BC ，22AB
AD BC ===. ∴CD AD ⊥.
又PA ⊥平面ABCD ，∴PA CD ⊥. ∴CD ⊥平面PAD . 又AE ⊂平面PAD ， ∴CD AE ⊥.
又PA AD =，E 是棱PD 的中点， ∴PD AE ⊥. ∴AE ⊥平面PCD .
（Ⅱ）如图，建立空间直角坐标系A xyz -，则(0,0,2)P ，(2sin ,2cos ,0)B θθ，(2sin ,2cos 1,0)C θθ+，
(0,2,0)D .
∴(0,2,2)DP =-、(2sin ,2cos 1,0)DC θθ=-.
设平面PCD 的法向量为(,,)n x y z =，
则220
(2sin )(2cos 1)0
n DP
y z x y n DC θθ⎧⊥-+=⎧⎪⇒⎨
⎨
+-=⊥⎩⎪⎩ 取1y =，得2cos 1
(
,1,1)2sin n θθ
-=.
又易知平面ABCD 的法向量为(0,0,1)m =. 设二面角P CD A --的平面角为α， 则cos 2cos m n m n
α⋅=
=
⋅要使α最小，则cos α最大，即2cos 1
02sin θθ
-=，
∴1cos 2θ=，得3
π
θ=
18.解：（Ⅰ）设此等比数列为1a ，1a q ，21a q ，31a q ，…，其中10a ≠，0q ≠. 由题意知：2311128a q a q a q ++=，①
321112(2)a q a q a q +=+.②
②7⨯-①得3211161560a q a q a q -+=， 即2
2520q q -+=，解得2q =或1
2
q =
. ∵等比数列{}n a 单调递增，∴12a =，2q =，∴2n n a =； （Ⅱ）由（Ⅰ）可知
11
2
n n a =（*n N ∈）
， 由
1
312231(1)221212121
n n n n
b b b b +=-+-+-++++（*n N ∈）， 得311212311
(1)221212121
n n n n b b b b ---=-+-+-++++（2n ≥）， 故1111(1)2221n n n n n b +--=-+，即1
(1)(1)2
n n n b =-+（2n ≥）， 当1n =时，1121b a =+，132b =，∴3,21(1)(1).2n n n
b ⎧⎪⎪=⎨⎪-+⎪⎩*1,2,.
n n n N =≥∈；
（Ⅲ）∵2n n n c b λ=+，
∴当3n ≥时，12(1)(
1)2n n n n c λ=+-+，11
1
1
12(1)(1)2n n n n c λ----=+-+， 依据题意，有113
2(1)(2)02
n n n n n c c λ---=+-+>，
即1
2(1)322
n n
n λ-->-+，
①当n 为大于或等于4的偶数时，有1
2322n n λ->-+恒成立，
又1212213312222
n n n n ---=-++随n 增大而增大， 则当且仅当4n =时，1min
212833522n n -⎛⎫
⎪= ⎪ ⎪
+⎝⎭，故λ的取值范围为128
35λ>-； ②当n 为大于或等于3的奇数时，有1
2
32
2n n
λ-<+恒成立，且仅当3n =时，1min 23231922n n -⎛⎫
⎪= ⎪ ⎪+⎝⎭，故λ的取值范围为32
19
λ<；
又当2n =时，由212153
(2)(2)042
n n c c c c λλ--=-=+-+>，得8λ<，
综上可得，所求λ的取值范围是12832|3519λλ⎧
⎫
-
<<⎨⎬⎩⎭
. 19.解：（1）由抛物线1C ：2
4x y =的焦点(0,1)F ，所以221a b -=，又由1C 与2C
的公共弦长为，
得公共点坐标3()2，所以229614a b
+=，解得29a =，2
8b =得2C ：22198x y +=
（2）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)C x y ，44(,)D x y
由AC BD =，得1234x x x x -=-，所以2212123434()4()4x x x x x x x x +-=+-① 设直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为1y kx =+
由2
1,
4,
y kx x y =+⎧⎨
=⎩得2440x kx --=，124x x k +=，124x x =-②
由221,
1,9
8y kx x y =+⎧⎪
⎨+
=⎪⎩得2(98)16640k x kx ++-=，3421698k x x k -+=+，342
6498x x k -=+③
将②③代入①，解得k =由2
4x y =，'2
x
y =，所以1C 在点A 处的切线方程为21124x x y x =-
所以1(
,0)2x M ，1(,1)2
x
FM =-，11(,1)FA x y =- 22
11111024
x x FM FA y ⋅=-+=+>，显然FM ，FA 不会同向共线，
因此AFM ∠是锐角，从而FMD ∠是钝角，所以直线l 绕点F 旋转时，MFD ∆总是钝角三角线 20.解：（Ⅰ）()f x 的定义域为(,2)(2,)-∞-⋃-+∞.
222
(1)(2)(2)'()0(2)(2)
x x x
x x e x e x e f x x x -+--==≥++， 当且仅当0x =时，'()0f x =，所以()f x 在(,2)-∞-，(2,)-+∞单调递增，
（Ⅱ）2243
(2)(2)(2)(2)'()x x x x e x x b x e x b
h x x x -++-++==
32(2)()2x
x x e b x x
-+++=
由（Ⅰ）知，2()2
x
x f x b e b x -+=
++单调递增， 对任意[0,1)b ∈，(0)10f b b +=-+<，(2)0f b b +=≥ 因此，存在唯一(0,2]t ∈，使得'()()0h t f t b =+=.
当(0,)x t ∈时，'()0h x <，()h x 递减，当(,)x t ∈+∞时，'()0h x >，()h x 递增.
所以()h x 有最小值2()()2
t t
e bt b e b h t t t ϕ--===+. 而2(1)()'02(2)t t e e t t t +=>++，所以()2t
e h t t =+在(0,2]上递增.
所以(0)()(2)h h t h <≤，即()h a 的值域为2
1(]24
e ，
（Ⅲ）定义域为(0,)+∞，22'()ax g x a x x
-=-= 当0a ≤时，()g x 在(0,)+∞上递增，舍.
当0a >时，()g x 在2
(0,)a 上递增，在2(,)a
+∞上递减， 0x +→，()g x →-∞，x →+∞，()g x →-∞， 所以min 2
()()0g x g a =>，20a e
<<. 设4()()()F x g x g x a =--，8
22'()22044()a F x a a x x x x a a
=+-=-≥-- 所以()F x 在(0,)4a 上递增，2()()0F x F a <=，即4()()g x g x a
<- 所以2114()()()g x g x g x a
=<-， 又122x x a <<，所以2x ，142x a a ->且在2(,)a
+∞上递减 所以214x x a <-，即124x x a +>，12223x x a
+>. 所以122'()03
x x g +<。