多元复合函数的微分法习题
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多元复合函数的微分法习题 多元复合函数的微分法习题 1. 书上习题 8 24（6）（ ） （ ）（8） ， ； 2. 设 z = y f (x − y )
2 2
为可微函数，证明： ，求 f 为可微函数，证明：
1 ∂z 1 ∂z z + = 2。 x ∂x y ∂y y y x 3. 设 f ( u, v ) 是二元可微函数， z = f ( , ) ，求 是二元可微函数， x y x ∂z ∂z +y 。 ∂x ∂y
y 1 ∂z ′ = f 1′ ⋅ ( − 2 ) + f 2 ⋅ ， y ∂x x 1 x ∂z ′ = f1′ ⋅ + f 2 ⋅ ( − 2 ) ， x ∂y y x ∂z ∂z + y = 0。 ∂x ∂y
x y ∂z 4. 设 z = f ( xy , ) + g( ) ， f , g 均为可微函数，求 。 均为可微函数， y x ∂x ∂z 1 y y ′ = f 1′ ⋅ y + f 2 ⋅ + g ′( )( − 2 ) 。 y x ∂x x
2 2
为可微函数，证明： ，求 f 为可微函数，证明：
1 ∂z 1 ∂z z + = 2。 x ∂x y ∂y y 令
u = x2 − y2 ， z = y ， f ( u)
y 2 xy ∂z ∂u f ′( u ) ， =− 2 ⋅ f ′( u ) = − 2 ∂x ∂x f ( u) f ( u)
x y ∂z 4. 设 z = f ( xy , ) + g( ) ， f , g 均为可微函数，求 。 均为可微函数， y x ∂x x 5. 设 z = sin( xy ) + ϕ ( x , ) ，其中ϕ 有二阶连续偏导数， 有二阶连续偏导数， y
∂ 2z 求 。 ∂x∂y
6. 设 f ( u, v ) 具 有 二 阶 连 续 偏 导 数 ， 且 满 足
+
∂2g ∂y
2
。
∂g ′ = f 1′ ⋅ y + f 2 ⋅ x ， ∂x
∂g ′ = f 1′ ⋅ x − f 2 ⋅ y ， ∂y ∂2g ∂x 2 ′′ ′′ ′ ′′ ′′ = f 11 ⋅ y 2 + xyf 12 + f 2 + x[ yf 12 + xf 22 ]
′′ ′′ ′′ ′ = y 2 f 11 + 2 xyf 12 + x 2 f 22 + f 2 ， ∂2g ∂y 2 ∂2g ∂x 2 ′′ ′′ ′ ′′ ′′ = f 11 ⋅ x 2 − xyf12 − f 2 − y[ xf12 − yf 22 ] ′′ ′′ ′′ ′ = x 2 f 11 − 2 xyf 12 + y 2 f 22 − f 2 ， + ∂2g ∂y 2 ′′ ′′ = ( x 2 + y 2 ) f 11 + ( x + y ) f 22
∂2 f ∂u 2 + ∂2 f
1 = 1 ，又 g ( x , y ) = f ( xy , ( x 2 − y 2 )) ，求 2 ∂v 2
∂2g ∂y
2
∂2g ∂x
2
+
。
解答 1. 24（6） （ ）
z = f ( x 2 − y 2 , e xy ) ，求
∂z ∂z ， 。 ∂x ∂ y
∂z ′ = f1′ ⋅ 2 x + f 2 ⋅ ye xy ， ∂x ∂z ′ = f1′ ⋅ ( −2 y ) + f 2 ⋅ xe xy 。 ∂x
1 y ∂z ∂u f ( u ) + 2 y 2 f ′( u ) = − ⋅ f ′( u ) = ， 2 ∂y f ( u ) f 2 ( u ) ∂y f ( u)
∴ 1 ∂z 1 ∂z z + = 2 x ∂x y ∂y y
y x 3. 设 f ( u, v ) 是二元可微函数， z = f ( , ) ，求 是二元可微函数， x y x ∂z ∂z +y 。 ∂x ∂y
x 5. 设 z = sin( xy ) + ϕ ( x , ) ，其中ϕ 有二阶连续偏导数， 有二阶连续偏导数， y
∂ 2z 求 。 ∂x∂y
1 ∂z ′ ′ = y cos( xy ) + ϕ 1 + ϕ 2 ⋅ ， y ∂x
∂ 2z x ′′ = cos( xy ) − xy sin( xy ) + ϕ 12 ( − 2 ) ∂x∂y y
− 1 y ′′ ϕ ′ + ϕ 22 ( − 2 2 x y
2
)。
6. 设 f ( u, v ) 具 有 二 阶 连 续 偏 导 数 ， 且 满 足
∂2 f ∂u 2 + ∂2 f
1 = 1 ，又 g ( x , y ) = f ( xy , ( x 2 − y 2 )) ，求 2 ∂v 2
2
∂2g ∂x
24（8） （ ）
∂ 2z z = f ( x − y , xy ) ，求 。 ∂x∂y ∂z ′ = f1′ + yf 2 ， ∂x ∂ 2z ′′ ′′ ′ ′′ ′′ = f11 + xf12 + f 2 + yf 21 + xyf 22 。 ∂x∂y
2. 设 z =
y f (x − y )
= x2 + y2。
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为可微函数，证明： ，求 f 为可微函数，证明：
1 ∂z 1 ∂z z + = 2。 x ∂x y ∂y y y x 3. 设 f ( u, v ) 是二元可微函数， z = f ( , ) ，求 是二元可微函数， x y x ∂z ∂z +y 。 ∂x ∂y
y 1 ∂z ′ = f 1′ ⋅ ( − 2 ) + f 2 ⋅ ， y ∂x x 1 x ∂z ′ = f1′ ⋅ + f 2 ⋅ ( − 2 ) ， x ∂y y x ∂z ∂z + y = 0。 ∂x ∂y
x y ∂z 4. 设 z = f ( xy , ) + g( ) ， f , g 均为可微函数，求 。 均为可微函数， y x ∂x ∂z 1 y y ′ = f 1′ ⋅ y + f 2 ⋅ + g ′( )( − 2 ) 。 y x ∂x x
2 2
为可微函数，证明： ，求 f 为可微函数，证明：
1 ∂z 1 ∂z z + = 2。 x ∂x y ∂y y 令
u = x2 − y2 ， z = y ， f ( u)
y 2 xy ∂z ∂u f ′( u ) ， =− 2 ⋅ f ′( u ) = − 2 ∂x ∂x f ( u) f ( u)
x y ∂z 4. 设 z = f ( xy , ) + g( ) ， f , g 均为可微函数，求 。 均为可微函数， y x ∂x x 5. 设 z = sin( xy ) + ϕ ( x , ) ，其中ϕ 有二阶连续偏导数， 有二阶连续偏导数， y
∂ 2z 求 。 ∂x∂y
6. 设 f ( u, v ) 具 有 二 阶 连 续 偏 导 数 ， 且 满 足
+
∂2g ∂y
2
。
∂g ′ = f 1′ ⋅ y + f 2 ⋅ x ， ∂x
∂g ′ = f 1′ ⋅ x − f 2 ⋅ y ， ∂y ∂2g ∂x 2 ′′ ′′ ′ ′′ ′′ = f 11 ⋅ y 2 + xyf 12 + f 2 + x[ yf 12 + xf 22 ]
′′ ′′ ′′ ′ = y 2 f 11 + 2 xyf 12 + x 2 f 22 + f 2 ， ∂2g ∂y 2 ∂2g ∂x 2 ′′ ′′ ′ ′′ ′′ = f 11 ⋅ x 2 − xyf12 − f 2 − y[ xf12 − yf 22 ] ′′ ′′ ′′ ′ = x 2 f 11 − 2 xyf 12 + y 2 f 22 − f 2 ， + ∂2g ∂y 2 ′′ ′′ = ( x 2 + y 2 ) f 11 + ( x + y ) f 22
∂2 f ∂u 2 + ∂2 f
1 = 1 ，又 g ( x , y ) = f ( xy , ( x 2 − y 2 )) ，求 2 ∂v 2
∂2g ∂y
2
∂2g ∂x
2
+
。
解答 1. 24（6） （ ）
z = f ( x 2 − y 2 , e xy ) ，求
∂z ∂z ， 。 ∂x ∂ y
∂z ′ = f1′ ⋅ 2 x + f 2 ⋅ ye xy ， ∂x ∂z ′ = f1′ ⋅ ( −2 y ) + f 2 ⋅ xe xy 。 ∂x
1 y ∂z ∂u f ( u ) + 2 y 2 f ′( u ) = − ⋅ f ′( u ) = ， 2 ∂y f ( u ) f 2 ( u ) ∂y f ( u)
∴ 1 ∂z 1 ∂z z + = 2 x ∂x y ∂y y
y x 3. 设 f ( u, v ) 是二元可微函数， z = f ( , ) ，求 是二元可微函数， x y x ∂z ∂z +y 。 ∂x ∂y
x 5. 设 z = sin( xy ) + ϕ ( x , ) ，其中ϕ 有二阶连续偏导数， 有二阶连续偏导数， y
∂ 2z 求 。 ∂x∂y
1 ∂z ′ ′ = y cos( xy ) + ϕ 1 + ϕ 2 ⋅ ， y ∂x
∂ 2z x ′′ = cos( xy ) − xy sin( xy ) + ϕ 12 ( − 2 ) ∂x∂y y
− 1 y ′′ ϕ ′ + ϕ 22 ( − 2 2 x y
2
)。
6. 设 f ( u, v ) 具 有 二 阶 连 续 偏 导 数 ， 且 满 足
∂2 f ∂u 2 + ∂2 f
1 = 1 ，又 g ( x , y ) = f ( xy , ( x 2 − y 2 )) ，求 2 ∂v 2
2
∂2g ∂x
24（8） （ ）
∂ 2z z = f ( x − y , xy ) ，求 。 ∂x∂y ∂z ′ = f1′ + yf 2 ， ∂x ∂ 2z ′′ ′′ ′ ′′ ′′ = f11 + xf12 + f 2 + yf 21 + xyf 22 。 ∂x∂y
2. 设 z =
y f (x − y )
= x2 + y2。
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