1079高等代数专题研究精编版

一、单项选择题（每小题4分，共20分）
1．下列法则是整数集Z上的代数运算的是()．A．α。

b=α+b
2．若向量组α1，α2…，αt与β，…，β1以均线性无关，则向量组α1+β1，…，αt+βt。

()C．可能线性相关，也可能线性无关
3．设咒阶方阵A可对角化，则下列结论正确的是()．C．A有n个线性无关的特征向量
4．设σ是n维欧氏空间V上的线性变换，σ在基α1，α2，…，αn。

下的矩阵为对称矩阵A，则()B．当α1，α2，…，αn为标准正交基时，σ为对称变换
5．线性空间V上的双线性函数f(α，β)在不同基下的度量矩阵()．D．相合
1．设，f(x)在有理数域Q内不可约，则()．D．以上说法都不正确
2．若向量组α1…，αr，与β1，…，βs均线性无关，则向量组α1，…，αr，β1，…，βs()．C．不一定线性无关3．矩阵A与B相似的充分必要条件是()．D.存在可逆矩阵丁，使T-1AT=B
4．实对称矩阵的特征值都是()．A．实数
5．线性空间V上的双线性函数f(α，β)在不同基下的度量矩阵()．B．相合
1.设多项式f(x)，g(x)∈P[x]互素，即有(f(z)，g(z))=1，则下列结论错误的是().D.(f(x)g(x),f(x))=1
2.全体正实数的集合R+对于下面定义的加法与标量乘法：a⊕b=ab，k·a=a k构成R上的线性空间，则R+的零向量为().B.1
3.设A是线性空间V的线性变换，a，β是A的分别属于特征值λ与μ的特征向量，则().D.若λ≠μ，则a与β线性无关
4.设σ是n维欧氏空间V上的线性变换，盯在基a1，a2，…，a n下的矩阵为对称矩阵A，则().A.当a1，a2，…，a n 为标准正交基时，σ为对称变换
5.设A是正定矩阵，则下列结论错诶的是().C.A的元素全为正
1．下列法则是有理数域Q上的代数运算的是()．B．a°b=b
2．设V l，V2都是线性空间V的真子空间，则下列集合中不是V的子空间的是()．A．V1U V2
3．设n阶方阵A可对角化，则下列结论正确的是()．C．A有n个线性无关的特征向量
4．设A是n阶实矩阵，则A为正交矩阵的充要条件是()．A．矩阵A的列向量组是R n的标准正交基
5．设A∈M n(R)是n元二次型q的矩阵，A的秩为r1，二次型q的秩为r2，则r1与r2
的关系为()．B．r1=r2
1．下列法则是有理数域Q上的代数运算的是( )．B．a°b=b
2．把复数域C看成实数域R上的线性空间，它的维数是( )．C．2
3．设A是线性空间V的线性变换，α，β是A的分别属于特征值λ与μ的特征向量，则( )D．若λ≠μ，则α与β线性无关
4.实对称矩阵的特征值都是( )．A.实数
5．线性空间V上的双线性函数f(α，β)在不同基下的度量矩阵( )．B．相合
二、填空题（本题共20分，每小题4分）
6．当a= ，b= 时，x2+1|x3+ax+b. α=1，b=0
7．向量组α1=(l，2，3)，α2=(1，0，0)，α3=(1，1，0)线性无关
8．设矩阵A与B相似，则A与B的行列式值相等
9．第一类正交矩阵的行列式的值等于1
10.设A是n实矩阵，当A是矩阵时，A t A是正定短阵．可逆
6．复数域上的不可约多项式的次数是_____________次的．1
7．向量组α=(a，0，0)，β=(2，a，0)，γ=(1，3，2)线性相关，则a=______________.0
8．线性交换A的属于不同特征值的特征向量一定是________________的．线性无关
9．设e1，e2是2维欧氏空间V中的一组标准正交基，α∈V，且(α，e1)=3，(α，e2)=-1，则α=_________________.3e1－e2
10．双线性函数f是对称的充分必要条件是它的度量矩阵是__________________矩阵.对称
6.多项式f(x)=x4-2x3+2x2-1的有理根为________.1
7.向量组a1=(1，2，3)，a2=(1，0，0)，a3=(10，19，30)线性_______.无关
8.如果存在可逆矩阵T，使得T-1AT为______，则n阶方阵A称为可对角化.对角阵
9.若欧几里得空间V上的线性变换A保持向量长度不变，则A是一变换.正交
10.双线性函数，非退化的充分必要条件是它的度量矩阵M__________.非退化
6．当a=，b=____时，x2+1l x3+ax+b.α=1，b=0
7．全体正实数的集合R+对于下面定义的加法与标量乘法：a⊕b=ab，k∘a=a k构成R
上的线性空间，则R+的零向量力____．1
8．线性变换A的属于不同特征值的特征向量一定是____的．线性无关
9．第二类正交矩阵的行列式的值等于____．-1
10．若A为正定实对称矩阵，则A的主对角线上的元素全为____．正
6．有理数域上的不可约多项式的次数是____________次的．任意
7．在有限维线性空间中，任意两个基所含向量酌个数是____________的．相等
8．设A，B都是n阶方阵，如果存在n阶可逆矩阵T，使T−1AT=B，则称A与B__________．相似
9．若欧几里得空间V上的线性变换A保持向量长度不变，则A是___________变换．正交
10．设A是n阶实矩阵，当A是__________矩阵时，A T A是正定矩阵.可逆
三、计算题（每小题15分，共45分）
11．已知α1，α2，α3是3维线性空间V的一组基，向量组β1，β2，β3满足β1+β3=α1+α2+α3，β1+β2=α2+α3，β2+β3=α1+α3求由基β1，β2，β3到基α1，α2，α3的过渡矩阵．
解：(β1，β2，β3)=(α1，α2，α3)[001
100
1
2
1
2
1
2
]，|T|=|
001
100
1
2
1
2
1
2
|≠0
所以β1，β2，β3是一组基.……(5分)
因为(β1，β2，β3)=(α1，α2，α3)[001
100
1
2
1
2
1
2
]，……(10分)
故(α1，α2，α3)=(β1，β2，β3)[
010
−1−12
100
]，即基β1，β2，β3到基α1，α2，α3的过渡矩阵为
[010
−1−12
100
]……(15分)
12．设R3的线性变换σ定义如下：σ(x1，x2，x3)=（2x1−x2，x2−x3，x2+x3），求σ在基ε1=(1，0，0)，ε2= (0，1，0)，ε3=（0，0，1）下的矩阵．
解：σε1=(2,0,0)=2ε1,
σε2=(−1,1,1)=−ε1+ε2+ε3,
σε3=(0,−1,1)=−ε2+ε3,……（10分）
因此σ在基ε1=(1，0，0)，ε2=(0，l ，0)，ε3=(0，0，1)下的矩阵为 A =[2−10
01−1011
]……（15分）
13．用正交线性替换化实二次型x 12+2x 22+3x 32
−4x 1x 2−4x 2x 3为标准形.
.解：二次型的系数矩阵A =[1−20
−22−20−23
]……（1分）
A 的特征多项式|λE −Al |=(λ+1)(λ−2)（λ−5），由此得，A 的特征值为−1，2，5 ……（3分）
解相应的齐次线性方程组，得单位正交的基础解系为 η1=[ 2
32313] ，η2=[ −2
31323] ，η3=[ 1
3−2323]
……(8分)
令T =[ 232
3
13
−23
132
313
−2323]
为正交矩阵，则正交线性替换为 [x 1x 2x 3
]=[ 232313−23132
313−2
323]
[y 1y 2y 3]
所得标准形为一y 12+2y 22+5y 32
，……（15分） 11．求多项式，f (x )=x 4-5x 3+11x 2-16x+12的有理根．
解：因为a 4=1，a 0=12，所以方程可能的有理根是±1，±2，±3，±4，±6，±12.（3分）
因为f(±1)≠0,f(-2)≠0，(±3)≠0，f(±4)≠0，f(±6)≠0，f(±12)≠0，故±1，-2，±3，±4，±6，±12都不是根．(8分)
而f(2)=0，故2是f(x )的根．（12分） 用综合除法验证，2是f(x )的二重根．（15分） 12．求A =[122
212221]的特征值和特征向量．
解：A 的特征多项式
χA (λ)=|λE −A |=|λ−1−2−2−2λ−1−2−2
−2λ−1
|=(λ+1)2(λ−5)
所以A 的特征值是-1，-1和5．（7分）
当λ=-1时，解齐次线性方程组(-E -A)X=0，得基础解系 ξ1[10−1]，ξ2[01−1
]． 因此，属于-1的全部特征向量为k 1ξ1+k 2ξ2，k 1，k 2是不全为零的全部数对．（11分） 当λ=5时，解齐次线性方程组(5E -A)X=0，得基础解系南ξ3[111
]．
因此，属于5的全部特征向量为kξ3，k ≠0.（15分）
13.已知α1=(1，1，0)，α2=(1，0，1)，α3=(l1，0，0)是欧氏空间R 3的一组基，请用施密特正交化方法求R 3的一组标准正交基.
解：用施密特正交化方法可得 β1=a 1=（1，1，0）(3分)
β1=a 1−
a 2，β1
(β1，β1)
β1=(1，0，1)−12(1，1，0)=（12，−1
2，1）（6分）β3
=a 3−
(a 3，β1)(β1，β1)
β1−
（a 3，β2）（β2，β2）
β2
=(1，0，0)−12(1，1，0)−13（12，−1
2
，1）
=(1
3，−1
3，−1
3)（9分） 单位化可得一组标准正交基为 γ1=（√22，√2
2，0）(11分)
γ2=（√66，−√66，√6
3）(13分) γ3=（
√33，−
√33
，−
√3
3
）(15分)
11.已知β1=(1，1，1)，β2=(1，0，1，-1)，β3=(1，-2，1，-5)，求W =L (β1，β2，β3)的基与维数.
解：把β1,β2,β3写成列向量组成矩阵A ，对A 进行初等行变换，化简成行阶梯形矩阵：A [11110−2111−21−5]→[111
0−1−3000−20−6
]
→A [111
013000000
]……………………………………（10分）
由此可知β1,β2是W 的一组基，dimW =2．…………………………（15分） 12.设A =101
010101
，求一个正交矩阵T ，使T -1AT =T T AT 为对角矩阵
解：A 的特征多项式|λE −A |=λ(λ−1)(λ−2)，故A 的特征值为0，1，2．…………（5分） A 是实对称矩阵，可对角化，分别求得A 的属于每个特征值的特征向量：
当λ1=0时，(−A )X =0的基础解系为α1T
=(1，0，−1)；………（7分）
当λ2=1时，(E 3−A)X =0的基础解系为α2T
=(1，1，0)；………（9分）
当λ3=2时，(2E 3−A )X =0的基础解系为α3T
=(1，0，1)…………（11分） α1，α2，α3已正交，单位化得
η1
T =(
√2
0，−
√2
),η2T =
(0，1，0),η3
T
=(
√2
0√2
)令T =[√2
√201
0√
20
√2
]……
则T 是正交阵，且T T AT =T −1AT =diag (0,1,2).…………（15分） 13.将三元二次型f =2x 1x 2+2x 1x 3-2x 2x 3化为标准形.
解：作非退化线性替换{x 1=y 1+y 2
x 2=y 1−y 2x 3=y 3
造平方项得…………（5分）
f =2y 12−2y 22+4y 2y 3=2y 12−(y 2−y 3)2+2y 32
……．（10分）
{z 1=y 1
z 2=y 2−y 3z 3=y 3
………（12分） 则有f =2z 12−2z 22+2z 32
……（15分）
11．设f (x )=x 4+2x 3-x 2-4x -2，g(x )=x 4+x 3-x 2-2x -2,求f (x )，g(x).
x 1(x)＝x 3-2x ……………（6分） r 2(x)＝x 2-2………………(10分)
所以(f(x)，g(x))＝x2-2……………………………………（15分）
12．在线性空间R 3中有两组基：
α1=(1，0，0)，α2=(1，1，0)，α3=(1，1，1) β1=(1，2，3)，β2=(2，3，5)，β3=(3，5，9) 求基α1，α2，α3到基β1，β2，β3的过渡矩阵T ．
12．解：β1＝-α1-α2+3α3…………………………………………………………（4分）β2＝-α1-2α2+5α…………………………………………………………（8分） β3＝-2α1-4α2+9α3………………………………………………………12（分）
因此，(β1，β2，β3)＝(α1,α2,α3)[−１ −１ −２−１ −２ −４３ ５ ９
]，即过度矩阵Ｔ＝[−１ −１ −２−１ −２ −４３ ５ ９
]
13.求λ取何值时，下面的实二次型是正定的
f (x 1,x 2,x 3)=x 12+4x 22+4x 32
+2λx 1x 2-2x 1x 3+4x 2x 3
13．解：二次型的系数阵A ＝[１ λ ２
λ ４ ２−１ ２ ４
] …………………………５（分）
利用A 是正定实对称矩阵的充分必要条件是它的各阶顺序主子式都大于零，可得 [1λλ4
]＝4－λ２>０，[１ λ ２
λ ４ ２−１ ２ ４]＝－4λ２
+－４λ＋8>0. …………………（10分） 解得－2<λ<1．……………………………………………………………………………（15分）
11.求多项式f (x )=4x 4−7x 2−5x −1的有理根，
12.设A =(101
010101
)，求一个正交矩阵T ，使T −1AT =T T AT 为对角矩阵．
13．求λ取何值时，下面的实二次型是正定的
f(x 1，x 2，x 3)=x 12+4x 22+4x 32
+2λx 1x 2−2x 1x 3+4x 2x 3
四、证明题（本题15分）
14.设A∈M n(P)满足A2=E，W1={X∈P n|AX=X}，W2={X∈P n|AX=−X}.证明：p n=W1⨁W2
14．证明：若n阶方阵A与B相似，则它们的行列式相等．
证明：因为A与B相似，故存在可逆矩阵T，使得B＝T−1AT.…………………（5分）|B|＝|T−1AT|＝|T−1||T||A|＝|A|．…………………………………………………（15分）
14.证明：若A为可逆矩阵，则它的特征值均非零.
证明：反证法，设λ为A的一个特征值，且λ=0，则存在非零向量X，使得
AX=λX=0…………（5分）
又A是可逆矩阵，在上式两边左乘A−1可得
A−1AX=A−1·0
即X=0………（10分）
这与X是非零向量相矛盾．故假设不成立，λ≠0.由此可得，A的特征值均非零．（15分）
14．设A，B都是n阶正定对称矩阵，证明：A+B也是正定对称矩阵
证明：(A+B)T=A T+B T=A+B，故A+B是对称矩阵．（5分）
对任一n维列向量X≠0，都有X T(A+B)X=X T AX+X T BX>0，因此，A+B是正定
对称矩阵．（15分）
14．设f(x)，g(x)是数域P上的一元多项式，且(f(x)，g(x))=1．
证明：(f(x)，f(x)+g(x))=1．
14.设f(x)，g(x)是数域P上的一元多项式，且(f(x)，g(x))=1.
证明：(f(x)，f(x)+g(x))=1.
证明：由(f(x)，g(x))=1可知，存在u(x)，υ(x)∈P[x]使得
u(x)f(x)+υ(x)g(x)=1由此可得u(x)f(x)+υ(x)(f(x)+g(x))−υ(x)f(x)=1
即(u(x)−υ(x))f(x)+υ(x)(f(x)+g(x))=1……（10分）
故(f(x)，f(x)+g(x))=1……（15分）。