高考文科数学一轮复习集合与常用逻辑用语练习题(1)讲课教案

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高考数学一轮复习集合与常用逻辑用语单元讲评教案文新人教版

单元讲评教案一集合与常用逻辑用语一、试卷分析:本试卷考查的主要内容包括集合的运算、四种命题之间的关系、“且”与“或”等逻辑联结词.为了突出能力还考查了分类讨论思想.二、教学目标:1.掌握用描述法表示集合的定义.会由信息给予题解决简单的集合运算.2.掌握四种命题之间的内在联系.3.会用数形结合思想解决集合的运算.三、教学重点和难点:1.重点:集合之间的运算,逻辑联结词的运用.2.难点:分类讨论思想的应用.四、教学过程:课题引入:复习回顾本章的重要结论1.集合的描述法的一般形式是什么?2.含有逻辑联结词的命题的真、假性怎样判断?3.分类讨论应注意什么问题?五、典题讲解:类型一集合之间的运算例题1(以本卷中第4题为例)由M={x|x2-3x+2≤0}={x|1≤x≤2},N={x|2x-3<0}=,∴M∩∁U N={x|1≤x≤2}∩,故选A.反思:在处理集合之间的运算关系时,关键是解对不等式,然后准确画出数轴来求交或并集即可.在本试卷中,能体现这一思路的题,还有第1,3,15题.类型二逻辑联结词的应用例题2(以本卷中第9题为例)由a·b<0,知|a||b|cos<a,b><0知cos<a,b><0,故a与b的夹角为钝角或平角,故命题p为假命题;举反例函数f(x)=可知不满足f(x)在R上为增函数,故q为假命题.故命题p或q为假命题,p且q为假命题, p为真命题, q为真命题.反思:考查函数的奇偶性要严格按照函数定义求解.“p∧q”的判断依据是同真时为真,其余情况均为假,“p∨q”的判断依据是同假时为假,其余情况均为真.要想做对此题,必须准确判断出p,q两个命题的真假.此类型的题目本试卷中还有第16题.类型三充分、必要、充要条件的判断例题3(以本卷中第6题为例)解答过程见本试卷中第6题反思:解决本题的关键是搞清楚如果p⇒q,那么p是q的充分条件,q是p的必要条件.即观察一下前⇒后,若能行,则前是后的充分条件;若不行,则不是充分条件.然后,再由后⇒前,看看行不行,若行,则前是后的必要条件;若不行,则不是必要条件.因此,判断关系时,前、后两个方向都要判断一下.本试卷中,还有第10,21题.类型四数形结合、分类讨论思想的应用例题4(以本卷中第22(3)题为例)解答过程见本试卷中第22题反思:系数带有字母时,应分等于0或不等于0两种情况进行分类讨论.在进行本题运算时,还用到不等式的解法,有移项通分,化为整式后再解不等式.但是学生在处理本问题时,往往大意,考虑不全面,易犯错误,因此,平时教师要加强这一方面的训练.小结:1.研究一个集合,首先要看集合中的代表元素,然后再看元素的限制条件,当集合用描述法表示时,尤其要弄清元素的表示意义是什么.2.判断四种命题的关系时,首先要弄清命题的条件与结论,再判断每个命题的条件与结论之间的关系.3.复合命题是由简单命题与逻辑联结词构成的,简单命题的真假决定复合命题的真假,“且”与“或”的命题应记扎实.。

高三数学一轮复习第1章集合与常用逻辑用语第1课时集合的概念与运算精品课件

• (3)五个关系式A⊆B、A∩B＝A，A∪B＝B，∁UB⊆∁UA以及A∩(∁UB) ＝∅是两两等价的．
• 集合是高中数学的基础内容，也是高考数学的必考内容，难度不大，一般是一道选择题或填空题．通过对近两年高考试题的统计分析可以看出，对集合内容的考查一般以两种方式出现：一是考查集合的概念、集合间的关系及集合的运算．
• (3){x|x2－ax－1＝0}和{a|方程x2－ax－1＝0有实根}的意义不同．{x|x2－ax－1＝0}表示由二次方程x2－ax－1＝0的解构成的集合，而集合{a|方程x2－ax－1＝0有实根}表示方程x2－ax－1＝0有实数解时参数a的范围构成的集合．
【变式训练】 1.现有三个实数的集合，既可以表示为a，ba，1，也可表示为{a2，a＋b,0}，则 a2 011＋b2 011＝________.
命题与量词、基本逻辑联结词
1.了解命题的概念． 2.了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义． 3.理解全称量词与存在量词的含义． 4.能正确地对含有一个量词的命题进行否定．
充分条件、
必要
条件 1.了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四
与命
种命题的相互关系．
题的 2.理解必要条件、充分条件与充要条件的意义.
①集合 S＝{a＋b 3|a，b 为整数}为封闭集； ②若 S 为封闭集，则一定有 0∈S； ③封闭集一定是无限集； ④若 S 为封闭集，则满足 S⊆T⊆R 的任意集合 T 也是封闭集．其中的真命题是________．(写出所有真命题的序号)
序号结论
理由
• 【全解全析】对于任意整数 a1，b1，a2，b2，有 a1＋b1 3＋a2＋b2 3
B．{a|a≤2或a≥4}

高考数学一轮复习第一章集合与常用逻辑用语 1 第1讲集合及其运算教学案-高三全册数学教学案

第一章集合与常用逻辑用语知识点最新考纲集合了解集合、元素的含义及其关系．理解集合的表示法．了解集合之间的包含、相等关系．理解全集、空集、子集的含义．会求简单集合间的并集、交集．理解补集的含义并会求补集.命题及其关系、充分条件与必要条件了解原命题和原命题的逆命题、否命题、逆否命题的含义，及其相互之间的关系．理解命题的必要条件、充分条件、充要条件的意义，能判断并证明命题成立的充分条件、必要条件、充要条件.1．集合与元素(1)集合元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．(2)元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号∈或∉表示．(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法．(4)常见数集的记法集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号N N*(或N＋)Z Q R表示关系文字语言符号语言记法基本关系子集集合A的所有元素都是集合B的元素x∈A⇒x∈BA⊆B或B⊇A 真子集集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不属于AA⊆B，且存在x0∈B，x0∉AA B或B A 相等集合A，B的元素完全A⊆B，A＝B相同B⊆A空集不含任何元素的集合．空集是任何集合A的子集任意x，x∉∅，∅⊆A ∅3.集合的基本运算集合的并集集合的交集集合的补集图形语言符号语言A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}∁U A＝{x|x∈U，且x∉A}(1)并集的性质：A∪∅＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A⇔B⊆A.(2)交集的性质：A∩∅＝∅；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A⇔A⊆B.(3)补集的性质：A∪(∁U A)＝U；A∩(∁U A)＝∅．(4)∁U(∁U A)＝A；∁U(A∪B)＝(∁U A)∩(∁U B)；∁U(A∩B)＝(∁U A)∪(∁U B)．[疑误辨析]判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1){x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{(x，y)|y＝x2＋1}．( )(2)若{x2，1}＝{0，1}，则x＝0，1.( )(3){x|x≤1}＝{t|t≤1}．( )(4)对于任意两个集合A，B，(A∩B)⊆(A∪B)恒成立．( )(5)若A∩B＝A∩C，则B＝C.( )答案：(1)×(2)×(3)√(4)√(5)×[教材衍化]1．(必修1P12A 组T3改编)若集合P ＝{x ∈N |x ≤ 2 021}，a ＝22，则( )A ．a ∈PB ．{a }∈PC ．{a }⊆PD ．a ∉P解析：选D.因为a ＝22不是自然数，而集合P 是不大于 2 021的自然数构成的集合，所以a ∉P .故选D.2．(必修1P11例9改编)已知U ＝{α|0°<α<180°}，A ＝{x |x 是锐角}，B ＝{x |x 是钝角}，则∁U (A ∪B )＝________．答案：{x |x 是直角}3．(必修1P44A 组T5改编)已知集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2＝1}，B ＝{(x ，y )|y ＝x }，则A ∩B 中元素的个数为________．解析：集合A 表示以(0，0)为圆心，1为半径的单位圆，集合B 表示直线y ＝x ，圆x 2＋y 2＝1与直线y ＝x 相交于两点⎝⎛⎭⎪⎪⎫22，22，⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－22，－22，则A ∩B 中有两个元素．答案：2 [易错纠偏](1)忽视集合中元素的互异性致误； (2)忽视空集的情况致误； (3)忽视区间端点值致误．1．已知集合A ＝{1，3，m }，B ＝{1，m }，若B ⊆A ，则m ＝________．解析：因为B ⊆A ，所以m ＝3或m ＝m ，即m ＝3或m ＝0或m ＝1，根据集合元素的互异性可知，m ≠1，所以m ＝0或3.答案：0或32．已知集合M ＝{x |x －2＝0}，N ＝{x |ax －1＝0}，若M ∩N ＝N ，则实数a 的值是________．解析：易得M ＝{2}．因为M ∩N ＝N ，所以N ⊆M ，所以N ＝∅或N ＝M ，所以a ＝0或a ＝12.答案：0或123．已知集合A ＝{x |x 2－4x ＋3＜0}，B ＝{x |2＜x ＜4}，则A ∩B ＝________，A ∪B ＝________，(∁R A )∪B ＝________．解析：由已知得A ＝{x |1＜x ＜3}，B ＝{x |2＜x ＜4}，所以A ∩B ＝{x |2＜x ＜3}，A ∪B ＝{x |1＜x ＜4}，(∁R A )∪B ＝{x |x ≤1或x ＞2}．答案：(2，3) (1，4) (－∞，1]∪(2，＋∞) 集合的含义(1)已知集合A ＝{0，1，2}，则集合B ＝{(x ，y )|x ≥y ，x ∈A ，y ∈A }中元素的个数是( )A ．1B ．3C ．6D ．9(2)若集合A ＝{x ∈R |ax 2－3x ＋2＝0}中只有一个元素，则a ＝( )A ．92B ．98C ．0D ．0或98(3)设a ，b ∈R ，集合{1，a ＋b ，a }＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，b a ，b ，则b －a ＝________．【解析】 (1)当x ＝0时，y ＝0；当x ＝1时，y ＝0或y ＝1；当x ＝2时，y ＝0，1，2.故集合B ＝{(0，0)，(1，0)，(1，1)，(2，0)，(2，1)，(2，2)}，即集合B 中有6个元素． (2)当a ＝0时，显然成立；当a ≠0时，Δ＝(－3)2－8a ＝0，即a ＝98.(3)因为{1，a ＋b ，a }＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，b a ，b ，a ≠0，所以a ＋b ＝0，则ba＝－1，所以a ＝－1，b ＝1. 所以b －a ＝2.【答案】 (1)C (2)D (3)2与集合中的元素有关问题的求解步骤1．(2020·温州八校联考)已知集合M ＝{1，m ＋2，m 2＋4}，且5∈M ，则m 的值为( )A ．1或－1B ．1或3C ．－1或3D ．1，－1或3解析：选B.因为5∈{1，m ＋2，m 2＋4}，所以m ＋2＝5或m 2＋4＝5，即m ＝3或m ＝±1.当m ＝3时，M ＝{1，5，13}；当m ＝1时，M ＝{1，3，5}；当m ＝－1时，不满足互异性．所以m 的值为3或1.2．已知集合A ＝{x |x ∈Z ，且32－x ∈Z }，则集合A 中的元素个数为________．解析：因为32－x ∈Z ，所以2－x 的取值有－3，－1，1，3，又因为x ∈Z ，所以x 的值分别为5，3，1，－1，故集合A 中的元素个数为4.答案：4集合的基本关系(1)(2020·浙江省绿色联盟联考)已知A ⊆B ，A ⊆C ，B ＝{2，0，1，8}，C ＝{1，9，3，8}，则集合A 可以为( )A ．{1，8}B ．{2，3}C ．{0}D ．{9}(2)已知集合A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}，若B ⊆A ，则实数m 的取值范围为________．【解析】 (1)因为A ⊆B ，A ⊆C ，所以A ⊆{B ∩C }＝{1，8}，故选A.(2)因为B ⊆A ，所以①若B ＝∅，则2m －1<m ＋1，此时m <2. ②若B ≠∅，则⎩⎪⎨⎪⎧2m －1≥m ＋1，m ＋1≥－2，2m －1≤5.解得2≤m ≤3.由①②可得，符合题意的实数m 的取值范围为m ≤3.【答案】 (1)A (2)(－∞，3]1．(变条件)在本例(2)中，若A ⊆B ，如何求解？解：若A ⊆B ，则⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≤－2，2m －1≥5，即⎩⎪⎨⎪⎧m ≤－3，m ≥3. 所以m 的取值范围为∅.2．(变条件)若将本例(2)中的集合A 改为A ＝{x |x <－2或x >5}，如何求解？解：因为B ⊆A ，所以①当B ＝∅时，即2m －1<m ＋1时，m <2，符合题意． ②当B ≠∅时，⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≤2m －1，m ＋1>5或⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≤2m －1，2m －1<－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ≥2，m >4或⎩⎪⎨⎪⎧m ≥2，m <－12.即m >4.综上可知，实数m 的取值范围为(－∞，2)∪(4，＋∞)．1．设P ＝{y |y ＝－x 2＋1，x ∈R }，Q ＝{y |y ＝2x，x ∈R }，则( ) A ．P ⊆Q B ．Q ⊆P C ．∁R P ⊆QD ．Q ⊆∁R P解析：选C.因为P ＝{y |y ＝－x 2＋1，x ∈R }＝{y |y ≤1}，Q ＝{y |y ＝2x，x ∈R }＝{y |y >0}，所以∁R P ＝{y |y >1}，所以∁R P ⊆Q ，选C.2．(2020·绍兴调研)设A＝{1，4，2x}，B＝{1，x2}，若B⊆A，则x＝________．解析：由B⊆A，则x2＝4，或x2＝2x.当x2＝4时，x＝±2；当x2＝2x时，x＝0或x＝2.但当x＝2时，2x＝4，这与集合中元素的互异性相矛盾．故x＝－2或x＝0.答案：－2或03．已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0<x<5，x ∈N}，则满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数为________．解析：由x2－3x＋2＝0，得x＝1或x＝2，所以A＝{1，2}．由题意知B＝{1，2，3，4}，所以满足条件的C可为{1，2}，{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，3，4}．答案：4集合的基本运算(高频考点)集合的基本运算是历年高考的热点，每年必考，常和不等式的解集、函数的定义域、值域等相结合命题，主要以选择题的形式出现．试题多为低档题．主要命题角度有：(1)求集合间的交、并、补运算；(2)已知集合的运算结果求参数．角度一求集合间的交、并、补运算(1)(2018·高考浙江卷)已知全集U＝{1，2，3，4，5}，A ＝{1，3}，则∁U A＝( )A．∅B．{1，3}C．{2，4，5} D．{1，2，3，4，5}(2)(2019·高考浙江卷)已知全集U＝{－1，0，1，2，3}，集∁U A∩B＝( )合A＝{0，1，2}，B＝{－1，0，1}，则()A．{－1} B．{0，1}C．{－1，2，3} D．{－1，0，1，3}(3)(2020·浙江高考模拟)设全集U＝R，集合A＝{x|x2－x－2<0}，B＝{x|1<x<3}，则A∪B＝________，∁U(A∩B)＝________．【解析】(1)因为U＝{1，2，3，4，5}，A＝{1，3}，所以∁U A＝{2，4，5}．故选C.(2)由题意可得∁U A＝{－1，3}，则(∁U A)∩B＝{－1}．故选A.(3)因为A＝{x|x2－x－2<0}＝{x|－1<x<2}，B＝{x|1<x<3}，所以A∪B＝{x|－1<x<3}．又因为A∩B＝{x|1<x<2}，所以∁U(A∩B)＝{x|x≤1或x≥2}．【答案】(1)C (2)A (3)(－1，3) (－∞，1]∪[2，＋∞)角度二已知集合的运算结果求参数(1)设集合A＝{1，2，4}，B＝{x|x2－4x＋m＝0}．若A∩B ＝{1}，则B＝( )A．{1，－3} B．{1，0}C．{1，3} D．{1，5}(2)(2020·浙江新高考优化卷)已知A＝{x|x>1}，B＝{x|x<m}．若A∪B＝R，则m的值可以是( )A．－1 B．0C．1 D．2【解析】(1)因为A∩B＝{1}，所以1∈B，所以1－4＋m＝0，所以m＝3.由x2－4x＋3＝0，解得x＝1或x＝3.所以B＝{1，3}．经检验符合题意．故选C.(2)因为A∪B＝R，所以m>1.故m的值可以是2，故选D.【答案】(1)C (2)D(1)集合运算的常用方法①若集合中的元素是离散的，常用Venn图求解．②若集合中的元素是连续的实数，则用数轴表示，此时要注意端点的情况．(2)利用集合的运算求参数的值或取值范围的方法①与不等式有关的集合，一般利用数轴解决，要注意端点值能否取到．②若集合能一一列举，则一般先用观察法得到不同集合中元素之间的关系，再列方程(组)求解．[提醒] 在求出参数后，注意结果的验证(满足互异性)．1．已知集合P＝{x∈R|1≤x≤3}，Q＝{x∈R|x2≥4}，则P∪(∁R Q)＝( )A．[2，3] B．(－2，3]C．[1，2) D．(－∞，－2]∪[1，＋∞)解析：选B.由于Q＝{x|x≤－2或x≥2}，∁R Q＝{x|－2＜x＜2}，故得P∪(∁R Q)＝{x|－2＜x≤3}．故选B.2．设全集S＝{1，2，3，4}，且A＝{x∈S|x2－5x＋m＝0}，若∁S A＝{2，3}，则m＝________．解析：因为S＝{1，2，3，4}，∁S A＝{2，3}，所以A＝{1，4}，即1，4是方程x2－5x＋m＝0的两根，由根与系数的关系可得m＝1×4＝4.答案：4核心素养系列1 数学抽象——集合的新定义问题以集合为背景的新定义问题常以“问题”为核心，以“探究”为途径，以“发现”为目的，这类试题只是以集合为依托，考查考生对新概念的理解，充分体现了核心素养中的数学抽象．对于E＝{a1，a2，...，a100}的子集X＝{ai1，ai2，...，ai k}，定义X的“特征数列”为x1，x2，...，x100，其中xi1＝xi2＝...＝xi k ＝1，其余项均为0.例如：子集{a2，a3}的“特征数列”为0，1，1，0，0， 0(1)子集{a1，a3，a5}的“特征数列”的前3项和等于________；(2)若E的子集P的“特征数列”p1，p2，…，p100满足p1＝1，p i＋p i＋1＝1，1≤i≤99，E的子集Q的“特征数列”q1，q2，…，q100满足q1＝1，q j＋q j＋1＋q j＋2＝1，1≤j≤98，则P∩Q的元素个数为________．【解析】(1)由已知可得子集{a1，a3，a5}的“特征数列”为1，0，1，0，1，0，…，0，故其前3项和为2.(2)由已知可得子集P 为{a 1，a 3，…，a 99}，子集Q 为{a 1，a 4，a 7，…，a 100}，则两个子集的公共元素为a 1到a 100以内项数被6除余1的数对应的项，即a 1，a 7，…，a 97，共17项．【答案】 (1)2 (2)17解决集合新定义问题的方法(1)紧扣新定义．首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是破解新定义型集合问题难点的关键所在．(2)用好集合的性质．集合的性质(概念、元素的性质、运算性质等)是破解新定义型集合问题的基础，也是突破口，在解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用好集合的性质．设数集M ＝{x |m ≤x ≤m ＋34}，N ＝{x |n －13≤x ≤n }，且M ，N 都是集合U ＝{x |0≤x ≤1}的子集，定义b －a 为集合{x |a ≤x ≤b }的“长度”，则集合M ∩N 的长度的最小值为________．解析：在数轴上表示出集合M 与N (图略)，可知当m ＝0且n ＝1或n －13＝0且m ＋34＝1时，M ∩N 的“长度”最小．当m ＝0且n ＝1时，M ∩N ＝{x |23≤x ≤34}，长度为34－23＝112；当n ＝13且m ＝14时，M ∩N ＝{x |14≤x ≤13}，长度为13－14＝112. 综上，M ∩N 的长度的最小值为112. 答案：112[基础题组练]1．已知集合A ＝{1，2，3，4}，B ＝{2，4，6，8}，则A ∩B 中元素的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B.因为集合A 和集合B 有共同元素2，4，所以A ∩B ＝{2，4}，所以A ∩B 中元素的个数为2.2．(2020·温州十五校联合体联考)已知集合A ＝{}x |e x≤1，B ＝{}x |ln x ≤0，则A ∪B ＝( )A ．(－∞，1]B ．(0，1]C ．[1，e]D ．(0，e]解析：选A.因为A ＝{}x |e x ≤1＝{}x |x ≤0， B ＝{}x |ln x ≤0＝{}x |0＜x ≤1，所以A ∪B ＝(－∞，1]，故选A.3．(2020·宁波高考模拟)已知全集U ＝A ∪B ＝{x ∈Z |0≤x ≤6}，A ∩(∁U B )＝{1，3，5}，则B ＝( )A ．{2，4，6}B ．{1，3，5}C．{0，2，4，6} D．{x∈Z|0≤x≤6}解析：选C.因为全集U＝A∪B＝{x∈Z|0≤x≤6}＝{0，1，2，3，4，5，6}，A∩(∁U B)＝{1，3，5}，所以B＝{0，2，4，6}，故选C.4．设集合A＝{1，2，6}，B＝{2，4}，C＝{x∈R|－1≤x≤5}，则(A∪B)∩C＝( )A．{2} B．{1，2，4}C．{1，2，4，6} D．{x∈R|－1≤x≤5}解析：选B.因为A＝{1，2，6}，B＝{2，4}，所以A∪B＝{1，2，4，6}，又C＝{x∈R|－1≤x≤5}，所以(A∪B)∩C＝{1，2，4}．故选B.5．(2020·宜春中学、新余一中联考)已知全集为R，集合A＝{x|x2－5x－6<0}，B＝{x|2x<1}，则图中阴影部分表示的集合是( )A．{x|2<x<3} B．{x|－1<x≤0}C．{x|0≤x<6} D．{x|x<－1}解析：选C.由x2－5x－6<0，解得－1<x<6，所以A＝{x|－1<x<6}．由2x<1，解得x<0，所以B＝{x|x<0}．又图中阴影部分表示的集合为(∁R B)∩A，因为∁R B＝{x|x≥0}，所以(∁R B)∩A＝{x|0≤x<6}，故选C.6．已知集合A＝{x|x2－3x<0}，B＝{1，a}，且A∩B有4个子集，则实数a的取值范围是( )A．(0，3) B．(0，1)∪(1，3)C ．(0，1)D ．(－∞，1)∪(3，＋∞)解析：选B.因为A ∩B 有4个子集，所以A ∩B 中有2个不同的元素，所以a ∈A ，所以a 2－3a <0，解得0<a <3且a ≠1，即实数a 的取值范围是(0，1)∪(1，3)，故选B.7．设U ＝{x ∈N *|x ＜9}，A ＝{1，2，3}，B ＝{3，4，5，6}，则(∁U A )∩B ＝( )A ．{1，2，3}B ．{4，5，6}C ．{6，7，8}D ．{4，5，6，7，8} 解析：选B.因为U ＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，所以∁U A ＝{4，5，6，7，8}，所以(∁U A )∩B ＝{4，5，6，7，8}∩{3，4，5，6}＝{4，5，6}．故选B.8．设集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫5，b a ，a －b ，B ＝{b ，a ＋b ，－1}，若A ∩B ＝{2，－1}，则A ∪B ＝( )A ．{－1，2，3，5}B ．{－1，2，3}C ．{5，－1，2}D ．{2，3，5}解析：选A.由A ∩B ＝{2，－1}，可得⎩⎪⎨⎪⎧b a ＝2，a －b ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧b a ＝－1，a －b ＝2.当⎩⎪⎨⎪⎧b a ＝2，a －b ＝－1时，⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2.此时B ＝{2，3，－1}，所以A ∪B ＝{－1，2，3，5}；当⎩⎪⎨⎪⎧b a ＝－1，a －b ＝2时，⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1，此时不符合题意，舍去． 9．已知集合P ＝{n |n ＝2k －1，k ∈N *，k ≤50}，Q ＝{2，3，5}，则集合T ＝{xy |x ∈P ，y ∈Q }中元素的个数为( )A ．147B ．140C ．130D ．117 解析：选B.由题意得，y 的取值一共有3种情况，当y ＝2时，xy 是偶数，不与y ＝3，y ＝5有相同的元素，当y ＝3，x ＝5，15，25，…，95时，与y ＝5，x ＝3，9，15，…，57时有相同的元素，共10个，故所求元素个数为3×50－10＝140，故选B.10．(2020·温州质检)已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |x 2－3x ＋2>0}，B ＝{x |x －a ≤0}，若∁U B ⊆A ，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，1)B ．(－∞，2]C ．[1，＋∞)D ．[2，＋∞) 解析：选D.因为x 2－3x ＋2>0，所以x >2或x <1.所以A ＝{x |x >2或x <1}，因为B ＝{x |x ≤a }，所以∁U B ＝{x |x >a }．因为∁U B ⊆A ，借助数轴可知a ≥2，故选D.11．集合A ＝{0，2，a }，B ＝{1，a 2}，若A ∪B ＝{0，1，2，4，16}，则a 的值为________．解析：根据并集的概念，可知{a ，a 2}＝{4，16}，故只能是a ＝4.答案：412．(2020·宁波效实中学模拟)已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |－1≤x≤3}，集合B＝{x|log2(x－2)<1}，则A∪B＝________；A∩(∁U B)＝________．解析：log2(x－2)<1⇒0<x－2<2⇒2<x<4⇒B＝(2，4)，所以A∪B ＝[－1，4)，A∩(∁U B)＝[－1，2]．答案：[－1，4) [－1，2]13．设集合A＝{n|n＝3k－1，k∈Z}，B＝{x||x－1|>3}，则B ＝________，A∩(∁R B)＝________．解析：当k＝－1时，n＝－4；当k＝0时，n＝－1；当k＝1时，n＝2；当k＝2时，n＝5.由|x－1|>3，得x－1>3或x－1<－3，即x>4或x<－2，所以B＝{x|x<－2或x>4}，∁R B＝{x|－2≤x≤4}，A∩(∁R B)＝{－1，2}．答案：{x|x<－2或x>4} {－1，2}14．(2020·浙江省杭州二中高三年级模拟)设全集为R，集合M＝{x∈R|x2－4x＋3>0}，集合N＝{x∈R|2x>4}，则M∩N＝________；∁R(M∩N)＝________．解析：M＝{x∈R|x2－4x＋3>0}＝{x|x<1或x>3}，N＝{x∈R|2x>4}＝{x|x>2}，所以M∩N＝(3，＋∞)，所以∁R(M∩N)＝(－∞，3]．答案：(3，＋∞)(－∞，3]15．已知集合M＝{x|x2－4x<0}，N＝{x|m＜x＜5}，若M∩N＝{x|3<x<n}，则m＝________，n＝________．解析：由x2－4x<0得0<x<4，所以M＝{x|0<x<4}．又因为N ＝{x|m<x<5}，M∩N＝{x|3<x<n}，所以m＝3，n＝4.答案：3 416．设全集U＝{x∈N*|x≤9}，∁U(A∪B)＝{1，3}，A∩(∁U B)＝{2，4}，则B ＝________．解析：因为全集U ＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9}，由∁U (A ∪B )＝{1，3}，得A ∪B ＝{2，4，5，6，7，8，9}，由A ∩(∁U B )＝{2，4}知，{2，4}⊆A ，{2，4}⊆∁U B .所以B ＝{5，6，7，8，9}．答案：{5，6，7，8，9}17．已知集合A ＝{x |1≤x <5}，C ＝{x |－a <x ≤a ＋3}，若C ∩A ＝C ，则a 的取值范围是________．解析：因为C ∩A ＝C ，所以C ⊆A .①当C ＝∅时，满足C ⊆A ，此时－a ≥a ＋3，得a ≤－32； ②当C ≠∅时，要使C ⊆A ，则⎩⎪⎨⎪⎧－a <a ＋3，－a ≥1，a ＋3<5，解得－32<a ≤－1. 综上，可得a 的取值范围是(－∞，－1]．答案：(－∞，－1][综合题组练]1．(2020·金华东阳二中高三调研)已知全集U 为R ，集合A ＝{x |x 2<16}，B ＝{x |y ＝log 3(x －4)}，则下列关系正确的是( )A ．A ∪B ＝RB ．A ∪(∁U B )＝RC ．(∁U A )∪B ＝RD ．A ∩(∁U B )＝A 解析：选D.因为A ＝{x |－4<x <4}，B ＝{x |x >4}，所以∁U B ＝{x |x ≤4}，所以A ∩(∁U B )＝A ，故选D.2．集合A ＝{x |y ＝ln(1－x )}，B ＝{x |x 2－2x －3≤0}，全集U ＝A ∪B ，则∁U (A ∩B )＝( )A ．{x |x ＜－1或x ≥1}B ．{x |1≤x ≤3或x ＜－1}C ．{x |x ≤－1或x ＞1}D ．{x |1＜x ≤3或x ≤－1}解析：选 B.集合A ＝{x |y ＝ln(1－x )}＝{x |1－x ＞0}＝{x |x ＜1}，B ＝{x |x 2－2x －3≤0}＝{x |(x ＋1)(x －3)≤0}＝{x |－1≤x ≤3}，所以U ＝A ∪B ＝{x |x ≤3}，所以A ∩B ＝{x |－1≤x ＜1}；所以∁U (A ∩B )＝{x |1≤x ≤3或x ＜－1}．故选B.3．(2020·浙江新高考联盟联考)已知集合A ＝{1，2，m }，B ＝{1，m }，若B ⊆A ，则m ＝________，∁A B ＝________．解析：由题意，当m ＝2时，A ＝{1，2，2}，B ＝{1，2}，满足B ⊆A ；当m ＝m ，即m ＝0或1时，若m ＝0，则A ＝{1，2，0}，B ＝{1，0}，满足B ⊆A .若m ＝1，则A ＝{1，3，1}，B ＝{1，1}，不满足集合中元素的互异性，所以m ＝1舍去．当m ＝2时，∁A B ＝{2}；当m ＝0时，∁A B ＝{2}．答案：0或2 {2}或{2}4．函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ∈P ，－x ，x ∈M ，其中P ，M 为实数集R 的两个非空子集，规定f (P )＝{y |y ＝g (x )，x ∈P }，f (M )＝{y |y ＝g (x )，x ∈M }．给出下列四个命题：①若P ∩M ＝∅，则f (P )∩f (M )＝∅；②若P ∩M ≠∅，则f (P )∩f (M )≠∅；③若P ∪M ＝R ，则f (P )∪f (M )＝R ；④若P ∪M ≠R ，则f (P )∪f (M )≠R .其中命题不正确的有________．解析：①若P ＝{1}，M ＝{－1}，则f (P )＝{1}，f (M )＝{1}，则f (P )∩f (M )≠∅，故①错．②若P ＝{1，2}，M ＝{1}，则f (P )＝{1，2}，f (M )＝{－1}，则f (P )∩f (M )＝∅.故②错．③若P ＝{非负实数}，M ＝{负实数}，则f (P )＝{非负实数}，f (M )＝{正实数}，则f (P )∪f (M )≠R ，故③错．④若P ＝{非负实数}，M ＝{正实数}，则f (P )＝{非负实数}，f (M )＝{负实数}，则f (P )∪f (M )＝R ，故④错．答案：①②③④5．设[x ]表示不大于x 的最大整数，集合A ＝{x |x 2－2[x ]＝3}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |18<2x <8，求A ∩B .解：不等式18<2x <8的解为－3<x <3，所以B ＝(－3，3)．若x ∈A ∩B ，则⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2[x ]＝3－3<x <3，所以[x ]只可能取值－3，－2，－1，0，1，2.若[x ]≤－2，则x 2＝3＋2[x ]<0，没有实数解；若[x ]＝－1，则x 2＝1，得x ＝－1；若[x ]＝0，则x 2＝3，没有符合条件的解；若[x ]＝1，则x 2＝5，没有符合条件的解；若[x ]＝2，则x 2＝7，有一个符合条件的解，x ＝7. 因此，A ∩B ＝{}－1，7.6．已知集合A ＝{x |1<x <3}，集合B ＝{x |2m <x <1－m }．(1)当m ＝－1时，求A ∪B ；(2)若A ⊆B ，求实数m 的取值范围；(3)若A ∩B ＝∅，求实数m 的取值范围．解：(1)当m ＝－1时，B ＝{x |－2<x <2}，则A ∪B ＝{x |－2<x <3}．(2)由A ⊆B 知⎩⎪⎨⎪⎧1－m >2m ，2m ≤1，1－m ≥3，得m ≤－2，即实数m 的取值范围为(－∞，－2]．(3)由A ∩B ＝∅，得①若2m ≥1－m ，即m ≥13时，B ＝∅，符合题意； ②若2m <1－m ，即m <13时，需⎩⎪⎨⎪⎧m <13，1－m ≤1或⎩⎪⎨⎪⎧m <13，2m ≥3，得0≤m <13或∅，即0≤m <13. 综上知m ≥0，即实数m 的取值范围为[0，＋∞)．。

高考数学一轮复习专题一集合与常用逻辑用语1集合综合集训含解析新人教A版

专题一集合与常用逻辑用语备考篇【考情探究】课标解读考情分析备考指导主题内容一、集合的概念与运算1.理解集合的含义,能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)表示集合.2.理解集合之间的包含关系,能识别给定集合的子集,在具体问题中了解全集与空集的含义.3.理解两个集合的并集与交集的含义,并会求它们的交集与并集;理解给定一个集合的子集的补集含义,会求给定子集的补集;会用韦恩(Venn)图表示集合间的基本关系及运算.1.考查内容:从近五年高考看,本专题重点考查集合的交、并、补运算,所给的数集既有连续型(如2020新高考Ⅰ卷第1题直接给出了两个连续型集合,求它们的并集,而2020课标Ⅰ卷理数第1题则是先求出一元一次、一元二次不等式的解集,后给定了集合交集来求参数的值)、又有离散型的数集(如2020课标Ⅱ卷文数第1题与2020天津卷第1题);对充分条件、必要条件的考查常与其他知识结合(如2020北京卷的第9题以三角函数中的诱导公式为背景考查了充分、必要条件的推理判断);全(特)称命题的考查相对较少.2.本专题是历年必考的内容,在选择题、填空题中出现较多,多以给定的集合或不等式的解集为载体,以集合1.对于给定的集合,首先应明确集合的表示方法,对于描述法表述的集合,要明确集合的元素是什么(是数集、点集等),明确集合是不等式的解集,是函数的定义域还是值域,把握集合中元素的属性是重点.2.了解命题及其逆命题、否命题与逆否命题;通过对概念的理解,会分析四种命题的关系,会写出一个命题的其他三个命题,并判断其真假.能用逻辑联结词正确地表达相关的数学命题.3.对于充分、必要条件的判断问题,必须明确题目中的条件与结论分别是什么,它们之间的互推关系是怎样的,要加强这方面的训练.4.关于全称命题与特称二、常用逻辑用语1.理解必要条件、充分条件与充要条件的意义.2.理解全称量词与存在量词的意义.3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定.语言和符号语言为表现形式,考查集合的交、并、补运算;也会与解不等式、函数的定义域、值域相结合进行考查.3.对于充分、必要条件的判断,含有一个量词的命题的否定可以与每一专题内容相关联,全称命题及特称命题是重要的数学语言,高考考题充分体现了逻辑推理的核心素养.命题,一般考查命题的否定.对含有一个量词的命题进行真假判断,要学会用特值检验.【真题探秘】命题立意已知给定的两个连续型的数集,求它们的并集.解题指导1.进行集合运算时,首先看集合是否最简,能化简先化简,再运算.2.注意数形结合思想的应用(1)离散型数集或抽象集合间的运算,常借助Venn图求解. (2)连续型数集的运算,常借助数轴求解,运用数轴时要特别注意端点是实心还是空心.拓展延伸1.集合中的元素的三个特征,特别是无序性和互异性在解题时经常用到,解题后要进行检验,要重视符号语言与文字语言之间的相互转化.2.对连续数集间的运算,借助数轴的直观性,进行合理转化;对已知连续数集间的关系,求其中参数的取值范围时,要注意等号能否取到.3.空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集,关注对空集的讨论,防止漏解.4.解题时注意区分两大关系:一是元素与集合的从属关系:二是集合与集合的包含关系.5.Venn图图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补运算的常用方法.[教师专用题组]1.真题多维细目表考题涉分题型难度考点考向解题方法核心素养2020新高考Ⅰ,1 5单项选择题易集合的运算集合的并集运算数轴法数学运算2020新高考Ⅱ,1 5单项选择题易集合的运算集合的并集运算定义法数学运算2020课标Ⅰ理,2 5选择题易集合的运算解不等式、集合的交集运算定义法数学运算2020课标Ⅰ文,1 5选择题易集合的运算解不等式、集合的交集运算定义法数学运算2020北京,1 4选择题易集合的运算集合的交集运算定义法数学运算2020天津,1 5选择题易集合的运算集合的交、补集运算定义法数学运算2020天津,2 5选择题易充分、必要条件解不等式、充分、必要条件的判断定义法逻辑推理2020北京,9 4选择题难充分、必要条件诱导公式、角的终边位置与角大小关系、充分、必要条件的判断定义法逻辑推理风格.2.2020年新高考考查内容主要体现在以下方面:①新高考Ⅰ卷第1题,新高考Ⅱ卷第1题直接给出了两个集合求它们的并集或交集,课标Ⅰ卷理数则是需要求出一元一次、一元二次不等式的解集,同时通过它们的交集确定参数的值,北京卷与新高考Ⅰ卷相近,直接求两个给定集合的交集;②2020年新高考Ⅰ卷第5题以学生参加体育锻炼为背景考查了利用韦恩(Venn)图求两个集合交集中元素所占总体的比例问题,体现了集合的应用价值;③2020年北京卷第9题以三角函数中的诱导公式为背景考查了充分、必要条件的判断.3.在备考时还要适当关注求集合的补集运算,对含有一个量词的命题的真假判断,集合与充分、必要条件相结合的命题方式,在不同背景下抽象出数学本质的方法等.应强化在知识的形成过程、知识的迁移中渗透学科素养.§1.1 集合基础篇【基础集训】考点一集合及其关系1.若用列举法表示集合A ={(x ,x )|{2x +x =6x -x =3},则下列表示正确的是 ( )A.A ={x =3,y =0}B.A ={(3,0)}C.A ={3,0}D.A ={(0,3)} 答案 B2.若集合M ={x ||x |≤1},N ={y |y =x 2,|x |≤1},则 ( ) A.M =N B.M ⊆N C.M ∩N =⌀ D.N ⫋M 答案 D3.已知集合A ={x ∈R|x 2+x -6=0},B ={x ∈R|ax -1=0},若B ⊆A ,则实数a 的值为 ( ) A.13或-12B.-13或12C.13或-12或0 D.-13或12或0答案 D4.已知含有三个实数的集合既可表示成{x ,x x,1},又可表示成{a 2,a +b ,0},则a 2021+b 2021等于 . 答案 -1考点二集合的基本运算5.已知集合M ={x |-1<x <3},N ={x |-2<x <1},则M ∩N = ( )A .(-2,1)B .(-1,1)C .(1,3)D .(-2,3) 答案 B6.已知全集U =R,A ={x |x ≤0},B ={x |x ≥1},则集合∁U (A ∪B )=( ) A.{x |x ≥0} B.{x |x ≤1}C.{x|0≤x≤1}D.{x|0<x<1}答案 D7.已知集合A={x|x2-2x-3>0},B={x|lg(x+1)≤1},则(∁R A)∩B= ()A.{x|-1≤x<3}B.{x|-1≤x≤9}C.{x|-1<x≤3}D.{x|-1<x<9}答案 C8.全集U={x|x<10,x∈N*},A⊆U,B⊆U,(∁U B)∩A={1,9},A∩B={3},(∁U A)∩(∁U B)={4,6,7},则A∪B=.答案{1,2,3,5,8,9}[教师专用题组]【基础集训】考点一集合及其关系1.(2018广东茂名化州二模,1)设集合A={-1,0,1},B={x|x>0,x∈A},则B= ()A.{-1,0}B.{-1}C.{0,1}D.{1}答案D由题意可知,集合B由集合A中为正数的元素组成,因为集合A={-1,0,1},所以B={1}.2.设集合A={y|y=x2+2x+5,x∈R},有下列说法:①1∉A;②4∈A;③(0,5)∈A.其中正确的说法个数是()A.0B.1C.2D.3答案C易知A={y|y≥4},所以①②都是正确的;(0,5)是点,而集合A中元素是数,所以③是错误的.故选C.3.(2020陕西西安中学第一次月考,1)已知集合A={x|x≥-1},则正确的是 ()A.0⊆AB.{0}∈AC.⌀∈AD.{0}⊆A答案D对于A,0∈A,故A错误;对于B,{0}⊆A,故B错误;对于C,空集⌀是任何集合的子集,即⌀⊆A,故C错误;对于D,由于集合{0}是集合A的子集,故D正确.故选D.4.(2019辽宁沈阳质量检测三,2)已知集合A={(x,y)|x+y≤2,x,y∈N},则A中元素的个数为()A.1B.5C.6D.无数个答案C由题意得A={(0,0),(0,1),(0,2),(1,0),(1,1),(2,0)},所以A中元素的个数为6.故选C.5.(2020广西桂林十八中8月月考,1)已知集合A={1,a},B={1,2,3},那么 ()A.若a=3,则B⊆AB.若a=3,则A⫋BC.若A⊆B,则a=2D.若A⊆B,则a=3答案B当a=3时,A={1,3},又因为B={1,2,3},所以A⫋B.若A⊆B,则a=2或3.故选B. 6.(2019辽宁师大附中月考,2)已知集合A={0,1},B={x|x⊆A},则下列集合A与B的关系中正确的是()A.A⊆BB.A⫋BC.B⫋AD.A∈B答案D因为x⊆A,所以B={⌀,{0},{1},{0,1}},则集合A={0,1}是集合B中的一个元素,所以A∈B,故选D.,x≠0},集合B={x|x2-4 7.(2020安徽江淮十校第一次联考,1)已知集合A={x|x=x+1x≤0},若A∩B=P,则集合P的子集个数为()A.2B.4C.8D.16答案B A={y|y≤-2或y≥2},B={-2≤x≤2},则P=A∩B={-2,2},所以P的子集个数为4,故选B.8.(2019广东六校9月联考,2)已知集合A={-1,1},B={x|ax+1=0},若B⊆A,则实数a的所有可能取值的集合为()A.{-1}B.{1}C.{-1,1}D.{-1,0,1}答案D因为B⊆A,所以当B=⌀,即a=0时满足条件;},又知B⊆A,当B≠⌀时,a≠0,∴B={x|x=-1x∈A,∴a=±1.∴-1x综上可得实数a的所有可能取值集合为{-1,0,1},故选D.易错警示由于空集是任何集合的子集,又是任何非空集合的真子集,所以遇到“A⊆B或A⫋B且B≠⌀”时,一定要注意讨论A=⌀和A≠⌀两种情况,A=⌀的情况易被忽略,从而导致失分.9.(2019河南豫南九校第一次联考,13)已知集合A={1,2,3},B={1,m},若3-m∈A,则非零实数m的值是.答案 2解析若3-m=1,则m=2,符合题意;若3-m=2,则m=1,此时集合B中的元素不满足互异性,故m≠1;若3-m=3,则m=0,不符合题意.故答案为2.考点二集合的基本运算1.(2019金丽衢十二校高三第一次联考,1)若集合A=(-∞,5),B=[3,+∞),则(∁R A)∪(∁R B)=()A.RB.⌀C.[3,5)D.(-∞,3)∪[5,+∞)答案D∁R A=[5,+∞),∁R B=(-∞,3),所以(∁R A)∪(∁R B)=(-∞,3)∪[5,+∞).2.(2019河南中原联盟9月联考,1)已知集合A={x|(x-1)·(x-2)>0},B={x|y=√2x-1},则A ∩B= ()A.[12,1)∪(2,+∞) B.[12,1)C.(12,1)∪(2,+∞) D.R答案A因为集合A={x|(x-1)(x-2)>0}={x|x<1或x>2},B={x|y=√2x-1}={x|x≥12},所以A∩B=[12,1)∪(2,+∞),故选A.3.(2018河北石家庄3月质检,1)设集合A={x|-1<x≤2},B={x|x<0},则下列结论正确的是()A.(∁R A)∩B={x|x<-1}B.A∩B={x|-1<x<0}C.A∪(∁R B)={x|x≥0}D.A∪B={x|x<0}答案B∵A={x|-1<x≤2},B={x|x<0},∴∁R A={x|x≤-1或x>2},∁R B={x|x≥0}.对于选项A,(∁R A)∩B={x|x≤-1},故A错误;对于选项B,A∩B={x|-1<x<0},故B正确;对于选项C,A∪(∁R B)={x|x>-1},故C错误;对于选项D,A∪B={x|x≤2},故D错误.故选B.名师点拨对于集合的交、并、补运算,利用数轴求解能减少失误.4.(2020山东夏季高考模拟,1)设集合A ={(x ,y )|x +y =2},B ={(x ,y )|y =x 2},则A ∩B = ( ) A.{(1,1)} B.{(-2,4)} C.{(1,1),(-2,4)} D.⌀ 答案 C 本题主要考查集合的含义及集合的运算. 联立{x +x =2,x =x 2,消y 可得x 2+x -2=0,∴x =1或-2, ∴方程组的解为{x =1,x =1或{x =-2,x =4,从而A ∩B ={(1,1),(-2,4)},故选C .5.(2019山东济南外国语学校10月月考,1)已知R 为实数集,集合A ={x |(x +1)2(x -1)x>0},B ={x |(x +1)(x -12)>0},则图中阴影部分表示的集合为 ( )A.{-1}∪[0,1]B.[0,12]C.[-1,12]D.{-1}∪[0,12] 答案 D ∵(x +1)2(x -1)x>0,∴x ≠-1且x (x -1)>0,∴x <-1或-1<x <0或x >1,∴A ={x |x <-1或-1<x <0或x >1}. ∵(x +1)(x -12)>0,∴x >12或x <-1,∴B ={x |x >12或x <-1}.∴A ∪B ={x |x <-1或-1<x <0或x >12}.故图中阴影部分表示的集合为∁R (A ∪B )={-1}∪{x |0≤x ≤12},即{-1}∪[0,12].故选D .综合篇【综合集训】考法一集合间基本关系的求解方法1.(2021届江苏扬州二中期初检测,2)已知集合A ={x |x 2+x =0,x ∈R},则满足A ∪B ={0,-1,1}的集合B 的个数是( )A.4B.3C.2D.1 答案 A2.(2020山东滨州6月三模)已知集合M ={x |x =4n +1,n ∈Z},N ={x |x =2n +1,n ∈Z},则 ( ) A.M ⫋N B.N ⫋M C.M ∈N D.N ∈M 答案 A3.(2019辽宁沈阳二中9月月考,14)设集合A={x|2a+1≤x≤3a-5},B={x|3≤x≤22}.若A⊆(A∩B),则实数a的取值范围为.答案(-∞,9]考法二集合运算问题的求解方法}, 4.(2021届河南郑州一中开学测试,1)已知全集U=R,集合A={x|y=lg(1-x)},B={x|x=√x 则(∁U A)∩B= ()A.(1,+∞)B.(0,1)C.(0,+∞)D.[1,+∞)答案 D5.(2020浙江超级全能生第一次联考,1)记全集U=R,集合A={x|x2-4≥0},集合B={x|2x≥2},则(∁U A)∩B= ()A.[2,+∞)B.⌀C.[1,2)D.(1,2)答案 C6.(2021届湖湘名校教育联合体入学考,1)设全集U=A∪B={x|-1≤x<3},A∩(∁U B)={x|2<x<3},则集合B= ()A.{x|-1≤x<2}B.{x|-1≤x≤2}C.{x|2<x<3}D.{x|2≤x<3}答案 B7.(2020山东德州6月二模,1)若全集U={1,2,3,4,5,6},M={1,3,4},N={2,3,4},则集合(∁U M)∪(∁U N)等于()A.{5,6}B.{1,5,6}C.{2,5,6}D.{1,2,5,6}答案 D8.(2021届重庆育才中学入学考试,1)已知集合A={x|0<x<4,x∈Z},集合B={y|y=m2,m∈A},则A∩B= ()A.{1}B.{1,2,3}C.{1,4,9}D.⌀答案 A[教师专用题组]【综合集训】考法一集合间基本关系的解题方法1.已知集合M={1,m},N={n,log2n},若M=N,则(m-n)2015=.答案-1或0解析因为M =N ,所以{1,m }={n ,log 2n }. 当n =1时,log 2n =0,则m =0,所以(m -n )2015=-1; 当log 2n =1时,n =2,则m =2,所以(m -n )2015=0.故(m -n )2015=-1或0.2.已知集合A ={x |x =2x +13,x ∈Z },B =,则集合A 、B 的关系为 . 答案 A =B 解析 A =,B ={x |x =13(2x +3),x ∈Z }.∵{x |x =2n +1,n ∈Z}={x |x =2n +3,n ∈Z},∴A =B.故答案为A =B.3.设集合A ={-2},B ={x |ax +1=0,a ∈R},若A ∩B =B ,则a 的值为 . 答案 0或12解析 ∵A ∩B =B ,∴B ⊆A. ∵A ={-2}≠⌀,∴B =⌀或B ≠⌀.当B =⌀时,方程ax +1=0无解,此时a =0,满足B ⊆A. 当B ≠⌀时,a ≠0,则B ={-1x }, ∴-1x∈A ,即-1x=-2,解得a =12.综上,a =0或a =12.4.已知集合A ={x |x <-1或x >4},B ={x |2a ≤x ≤a +3}.若B ⊆A ,则实数a 的取值范围为 .答案 (-∞,-4)∪(2,+∞)解析 ①当B =⌀时,只需2a >a +3,即a >3; ②当B ≠⌀时,根据题意作出如图所示的数轴.可得{x +3≥2x ,x +3<-1或{x +3≥2x ,2x >4, 解得a <-4或2<a ≤3.综上可得,实数a的取值范围为(-∞,-4)∪(2,+∞).考法二集合运算问题的求解方法1.(2017北京东城二模,1)已知全集U是实数集R.如图所示的韦恩图表示集合M={x|x>2}与N={x|1<x<3}的关系,那么阴影部分所表示的集合为()A.{x|x<2}B.{x|1<x<2}C.{x|x>3}D.{x|x≤1}答案D由题中韦恩图知阴影部分表示的集合是∁U(M∪N).∵M∪N={x|x>1},∴∁U(M∪N)={x|x≤1}.2.(2017安徽淮北第二次模拟,2)已知全集U=R,集合M={x|x+2a≥0},N={x|log2(x-1)<1},若集合M∩(∁U N)={x|x=1或x≥3},则()A.a=12B.a≤12C.a=-12D.a≥12答案C∵log2(x-1)<1,∴x-1>0且x-1<2,即1<x<3,则N={x|1<x<3},∵U=R,∴∁U N={x|x≤1或x≥3},又∵M={x|x+2a≥0}={x|x≥-2a},M∩(∁U N)={x|x=1或x≥3},∴-2a=1,解得a=-12.故选C.3.设U=R,集合A={x|x2+3x+2=0},B={x|x2+(m+1)x+m=0},若(∁U A)∩B=⌀,则m=.答案1或2解析A={-2,-1},由(∁U A)∩B=⌀,得B⊆A,∵方程x2+(m+1)x+m=0的判别式Δ=(m+1)2-4m=(m-1)2≥0,∴B≠⌀.∴B={-1}或B={-2}或B={-1,-2}.①若B={-1},则m=1;②若B={-2},则-(m+1)=(-2)+(-2)=-4,且m=(-2)×(-2)=4,这两式不能同时成立,∴B≠{-2};③若B={-1,-2},则-(m+1)=(-1)+(-2)=-3,且m=(-1)×(-2)=2,由这两式得m=2.经检验,m=1和m=2符合条件.∴m=1或2.11。

2020版高考数学一轮总复习第一单元集合与常用逻辑用语教案全集含解析

集合的概念与运算1．了解集合的含义、体会元素与集合的属于关系，了解空集、全集的意义．2．理解集合之间的包含与相等关系，能识别给定集合的子集．3．理解交集、并集、补集的概念，会求两个简单集合的交集与并集，会求给定子集的补集．知识梳理1．集合的含义与表示(1)一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)．集合中的元素具有确定性、互异性和无序性三个特征．(2)如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A，如果a不是集合A 的元素，就说a不属于集合A，记作a∉A.(3)常见数集的记法(4)常用的集合表示法有：列举法、描述法和图示法.2．集合间的基本关系(1)如果集合A中任何一个元素都是集合B的元素，则称集合A是集合B的子集，记作：A⊆B(或B⊇A) .(2)如果集合A⊆B，但存在x∈B，且x∉A，则称集合A是集合B的真子集，记作：A B(或B A) .(3)若A⊆B且B⊆A，则集合A与集合B中的元素是一样的，则称集合A与集合B相等．3．集合的基本运算(1)交集：由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合，叫做A与B的交集，记作A∩B，即A∩B＝{x|x∈A，且x∈B} .(2)并集：由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，叫做A与B的并集，记作A∪B，即A∪B＝{x|x∈A，或x∈B} .(3)补集：集合A是集合U的子集，由U中所有不属于A的元素组成的集合，叫做U 中子集A的补集，记作∁U A，即∁U A＝{x|x∈U，且x∉A} .1．空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集.2．若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，非空子集有2n－1 个，真子集有2n－1 个．3．A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B.热身练习1．已知集合A＝{x|x<2}，a＝3，则下列关系正确的是(D)A．a⊆A B．a∉AC．{a}∈A D．{a}⊆A由于3<2，所以a∈A，即{a}⊆A.2．(2018·达州模拟)已知集合A＝{1,2,3}，B＝{2,3}，则(D)A．A∩B＝∅ B．∁A B＝BC．A B D．B AA＝{1,2,3}，B＝{2,3}，所以B⊆A，1∈A但1∉B，所以B A.3．(2017·天津卷)设集合A＝{1,2,6}，B＝{2,4}，C＝{1,2,3,4}，则(A∪B)∩C＝(B) A．{2} B．{1,2,4}C．{1,2,4,6} D．{1,2,3,4,6}因为A∪B＝{1,2,6}∪{2,4}＝{1,2,4,6}，所以(A∪B)∩C＝{1,2,4,6}∩{1,2,3,4}＝{1,2,4}．4．(2018·石家庄二模)设集合A＝{x|－1<x≤2}，B＝{x|x<0}，则下列结论正确的是(C) A．A∪B＝{x|x<0} B．(∁R A)∩B＝{x|x<－1}C．A∩B＝{x|－1<x<0} D．A∪(∁R B)＝{x|x≥0}因为A＝{x|－1<x≤2}＝(－1,2]，B＝{x|x<0}＝(－∞，0)，所以A∪B＝(－∞，2]，A错误；(∁R A)∩B＝(－∞，－1]，B错误；A∩B＝(－1,0)，C正确；A∪(∁R B)＝(－1，＋∞)，D错误．5．(2018·湖南长郡中学联考)集合{y∈N|y＝－x2＋6，x∈N}的真子集的个数是(C) A．3 B．4C．7 D．8由{y∈N|y＝－x2＋6，x∈N}知，y≥0，所以－x2＋6≥0，又x∈N，所以x＝0,1,2.所以集合为{2,5,6}，其真子集的个数为23－1＝7.集合的基本概念(1)(经典真题)已知集合A ＝{x |x ＝3n ＋2，n ∈N }，B ＝{6,8,10,12,14}，则集合A ∩B中元素的个数为A ．5B ．4C ．3D ．2(2)设a ，b ∈R ，集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ，b a，1＝{a 2，a ＋b,0}，则a 2019＋b 2019＝__________.(1)求解本题，关键是理解集合A 的意义，将集合A 进行化简，可以采用特殊化的方法．A ＝{x |x ＝3n ＋2，n ∈N }＝{2,5,8,11,14，…}，所以A 与B 的共同元素只有8,14两个，故选D.(2)考虑集合{a ，b a，1}中哪一个元素为0入手，利用集合中的元素的确定性和互异性进行分析．若a ＝0，则b a无意义，所以a ≠0，所以b a ＝0，从而b ＝0，所以{a ，b a，1}＝{a,0,1}．由{a,0,1}＝{a 2，a,0}，得a 2＝1，即a ＝1或a ＝－1. 又根据集合中元素的互异性a ＝1应舍去，所以a ＝－1.故a2019＋b2019＝(－1)2019＝－1.(1)D (2)－1(1)用描述法表示集合，首先要搞清集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，分清是数集、点集还是其他类型的集合．(2)解决含有参数的集合问题时，要注意集合中元素的特征，并注意用互异性进行检验． (3)分类讨论的思想方法常用于解决集合问题．1．(1)若集合A ＝{x ∈R |ax 2＋ax ＋1＝0}中只有一个元素，则a 等于(A) A ．4 B ．2C ．0D ．0或2(2)已知集合A ＝{m ＋2,2m 2＋m }，若3∈A ，则m 的值为－32.(1)当a ＝0时，方程化为1＝0，无解，集合A 为空集，不符合题意；当a ≠0时，由Δ＝a 2－4a ＝0，解得a ＝4. (2)因为3∈A ，所以m ＋2＝3或2m 2＋m ＝3，若m ＋2＝3，解得m ＝1，此时A ＝{3,3}与集合中元素的互异性矛盾，所以m ＝1，不符合题意；若2m 2＋m ＝3，解得m ＝1(舍去)或m ＝－32.检验知m ＝－32满足题意．故所求m 的值为－32.集合间的基本关系已知集合A ＝{x |x 2－3x －10≤0}，若集合B ＝{x |p ＋1≤x ≤2p －1}，且B ⊆A ，则实数p 的取值范围为________．欲求实数p 的取值范围，只需找出关于p 的不等式，可由已知条件，结合数轴找到．由x 2－3x －10≤0，解得－2≤x ≤5，所以A ＝{x |－2≤x ≤5}．B ⊆A ，则有①当B ≠∅时，利用数轴可知：⎩⎪⎨⎪⎧p ＋1≤2p －1，－2≤p ＋1，2p －1≤5，解得2≤p ≤3.②当B ＝∅时，有p ＋1>2p －1，即p <2. 综合①②得实数p 的取值范围是(－∞，3]．(－∞，3]解决有关集合的包含关系的问题时，要注意： (1)所给集合若能化简，则先化简； (2)充分利用数轴、韦恩图等辅助解题；(3)注意空集的特殊性，一般地，若B ⊆A ，则应分B ＝∅与B ≠∅两种情况进行讨论．2．已知集合A ＝{x |x 2－3x －10≤0}，若集合B ＝{x |p －6≤x ≤2p －1}，且A ∩B ＝A ，则实数p 的取值范围为 [3,4] .由例2知，A ＝{x |－2≤x ≤5}．A ∩B ＝A ，所以A ⊆B ，画出示意图(如下图)，所以⎩⎪⎨⎪⎧2p －1>p －6，p －6≤－2，2p －1≥5，解得⎩⎪⎨⎪⎧p >－5，p ≤4，p ≥3.所以3≤p ≤4.故p 的取值范围为[3,4]．集合的基本运算(1)(2017·全国卷Ⅰ)已知集合A ＝{x |x <2}，B ＝{x |3－2x >0}，则( )A ．A ∩B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <32 B ．A ∩B ＝∅C ．A ∪B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <32 D ．A ∪B ＝R(2)(2018·宝鸡二模)已知全集U ＝{1,2,3,4,5,6}，集合M ＝{2,3,5}，N ＝{4,5}，则集合{1,6}可以表示为( )A ．M ∩NB ．M ∪N C. ∁U (M ∪N ) D ．∁U (M ∩N )(1)首先化简集合A ，B ，再利用数轴得到A ∩B 和A ∪B .因为B ＝{x |3－2x >0}＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <32，A ＝{x |x <2}，所以A ∩B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <32，A ∪B ＝{x |x <2}．(2)画出韦恩图，如图，所以∁U (M ∪N )＝{1,6}，故选C.(1)A (2)C进行集合的运算时，要注意：①明确集合中元素的意义；②注意将所给集合化简，使之明确化；③注意数形结合，利用韦恩图、数轴等辅助解题．3．(1)(2018·天津卷)设集合A ＝{1,2,3,4}，B ＝{－1,0,2,3}，C ＝{x ∈R |－1≤x <2}，则(A ∪B )∩C ＝(C) A ．{－1,1} B ．{0,1} C ．{－1,0,1} D ．{2,3,4} (2)(2018·广州一模)设集合A ＝{x |x ＋3x －1<0}，B ＝{x |x ≤－3}，则集合{x |x ≥1}＝(D) A ．A ∩B B ．A ∪BC ．(∁R A )∪(∁R B )D ．(∁R A )∩(∁R B )(1)因为A ＝{1,2,3,4}，B ＝{－1,0,2,3}，所以A ∪B ＝{－1,0,1,2,3,4}．又C ＝{x ∈R |－1≤x <2}，所以(A ∪B )∩C ＝{－1,0,1}，故选C. (2)因为A ＝{x |x ＋3x －1<0}＝{x |－3<x <1}，B ＝{x |x ≤－3}，所以∁R A ＝{x |x ≥1，或x ≤－3}，∁R B ＝{x |x >－3}．易知(∁R A )∩(∁R B )＝{x |x ≥1}，故选D.1．研究集合的有关问题，首先要理解集合的概念，其次要注意集合中元素的三个特征：确定性、无序性和互异性，尤其要注意集合中元素的互异性，当集合中的元素含有参数时，要根据互异性进行检验．2．处理集合问题时，首先要理解用描述法表示的集合的意义，关键是抓住集合的代表元素．首先看“{ | }”的左边元素的代表形式，然后看右边元素满足的性质，这是认清集合元素的关键．例如，{y |y ＝f (x )}是数集，表示函数y ＝f (x )的值域；{x |y ＝f (x )}是数集，表示函数y ＝f (x )的定义域；{(x ，y )|y ＝f (x )}是点集，表示函数y ＝f (x )图象上的点构成的集合．3．注意空集∅的特殊性，在解题时，若未能指明集合非空时，要考虑空集的可能性，如A B ，则有A ＝∅或A ≠∅两种可能，解题时常常遗漏对空集的讨论，这一点应引起重视．4．研究集合的关系，处理集合的交、并、补的运算问题，常用韦恩图、数轴等几何工具辅助解题．一般地，对离散的数集、抽象的集合间的关系及运算，可借助韦恩图，而对连续的集合间的运算及关系，可借助数轴的直观性，进行合理转化．解题时，首先要把集合进行化简，使之明确化，尽可能地借助数轴、韦恩图等工具，将抽象的代数问题具体化、形象化、直观化，这实质是数形结合思想在集合中的具体应用．5．处理含参数的集合的包含关系及集合的运算时，端点值的取舍也是一个难点和重点，其解决办法是对端点值进行单独考虑．命题及其关系、充分条件与必要条件1．了解命题的概念．2．了解四种命题，会分析四种命题的相互关系．3．理解必要条件、充分条件与充要条件的含义，能初步判断给定的两个命题的关系．知识梳理1．命题及其真假(1)命题：在数学上，用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．(2)真命题：判断为真的语句叫做真命题.(3)假命题：判断为假的语句叫做假命题.2．四种命题的形式(1)原命题：“若p，则q”，其中p为命题的条件，q为命题的结论．(2)逆命题：“若q，则p”，即交换原命题的条件和结论．(3)否命题：“若﹁p，则﹁q”，即同时否定原命题的条件和结论．(4)逆否命题：“若﹁q，则﹁p”，即交换原命题的条件和结论后，再同时加以否定．3．四种命题的关系4．四种命题的真假关系(1)互为逆否的两个命题的真假性相同.(2)互逆或互否的两个命题的真假性没有关系.(3)四种命题的真假成对出现，即原命题与逆否命题的真假性相同，逆命题与否命题的真假性相同.5．充分条件与必要条件(1)如果p ⇒q ，则p 是q 的充分条件，同时q 是p 的必要条件． (2)如果p ⇒q ，但q ≠> p ，则p 是q 的充分必要条件． (3)如果p ⇒q ，且q ⇒p ，则称p 是q 的充要条件． (4)如果q ⇒p ，且p ≠> q ，则p 是q 的必要不充分条件． (5)如果p ≠> q ，但q ≠> p ，则p 是q 的既不充分也不必要条件．1．若p 是q 的充分不必要条件，则﹁p 是﹁q 的必要不充分条件．2．若p ，q 以集合的形式出现，记条件p 、q 对应的集合分别为P ，Q ，一般地有，若P ⊆Q ，则p 是q 的充分条件；若Q ⊆P ，则p 是q 的必要条件；若P Q ，则p 是q 的充分不必要条件；若P Q ，则p 是q 的必要不充分条件；若P ＝Q ，则p 是q 的充要条件．热身练习1．下列语句中，不能构成命题的是(C) A ．5>12 B ．若1x ＝1y，则x ＝yC ．x >0D ．若x <y ，则x 2<y 2一个语句是不是命题，关键是看能否判断真假，因为x >0无法判断真假，因此不能构成命题．2．设m ∈R ，命题“若m >0，则方程x 2＋x －m ＝0有实根”的逆否命题是(D) A ．若方程x 2＋x －m ＝0有实根，则m >0 B ．若方程x 2＋x －m ＝0有实根，则m ≤0 C ．若方程x 2＋x －m ＝0没有实根，则m >0 D ．若方程x 2＋x －m ＝0没有实根，则m ≤0根据逆否命题的定义，命题“若m >0，则方程x 2＋x －m ＝0有实根”的逆否命题是“若方程x 2＋x －m ＝0没有实根，则m ≤0”．故选D.3．已知命题p ：若x ＝－1，则向量a ＝(1，x )与b ＝(x ＋2，x )共线，则在命题p 的原命题，逆命题，否命题，逆否命题中，真命题的个数为(B)A ．0B ．2C ．3D ．4原命题：若x ＝－1，向量a ＝(1，－1)，b ＝(1，－1)，a 与b 共线，所以原命题为真，故逆否命题也为真．逆命题为：若向量a ＝(1，x )与b ＝(x ＋2，x )共线，则x ＝－1.当a 与b 共线时，x (x ＋2)＝x ，解得x ＝0或－1.所以逆命题为假命题，从而否命题也为假命题．故真命题的个数为2.4．(2016·四川卷)设p ：实数x ，y 满足x ＞1且y ＞1，q ：实数x ，y 满足x ＋y ＞2，则p 是q 的(A)A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件因为⎩⎪⎨⎪⎧x ＞1，y ＞1，所以x ＋y ＞2，即p ⇒q .而当x ＝0，y ＝3时，有x ＋y ＝3＞2，但不满足x ＞1且y ＞1，即q ≠>p .故p 是q 的充分不必要条件．5．设p ：x ＜3，q ：－1＜x ＜3，则p 是q 成立的(C) A ．充分必要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件根据充分、必要条件的定义直接利用数轴求解即可．将p ，q 对应的集合在数轴上表示出来如图所示，易知，当p 成立时，q 不一定成立；当q 成立时，p 一定成立，故p 是q 成立的必要不充分条件．四种命题及其真假判断原命题为“若z 1，z 2互为共轭复数，则|z 1|＝|z 2|”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是A ．真，假，真B ．假，假，真C ．真，真，假D ．假，假，假“若z 1，z 2互为共轭复数，则|z 1|＝|z 2|”，由共轭复数的定义可知为真命题，所以逆否命题也为真命题，逆命题为：“复数|z1|＝|z2|，则z1，z2互为共轭复数”，由1和i的模相等，但它不是共轭复数，可知逆命题为假命题，所以否命题也为假命题．故选B.B(1)判断一个命题为真命题，要给出推理证明；判断一个命题是假命题，只需举出反例即可；(2)四种命题的真假成对出现．即原命题与逆否命题的真假性相同，逆命题与否命题的真假性相同．当一个命题直接判断不易进行时，可转化判断其等价命题的真假．1．在下列4个结论中：①命题“若x2－3x－4＝0，则x＝4”的逆否命题为“若x≠4，则x2－3x－4≠0”；②命题“若m2＋n2＝0，则m，n全为0”的否命题是“若m2＋n2≠0，则m，n全不为0”；③命题“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题为真命题；④“若x>1，则x2>1”的否命题为真命题．其中正确结论的序号是①③.①正确．②不正确，否命题为“若m2＋n2≠0，则m，n不全为0”．③m>0时，Δ＝1＋4m>0，所以原命题为真命题，所以逆否命题为真命题．④逆命题“若x2>1，则x>1”为假命题，所以否命题为假命题．故正确结论的序号为①③.充要条件的判断(1)(2017·天津卷)设x∈R，则“2－x≥0”是“|x－1|≤1”的( )A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件(2)如果x，y是实数，那么“x≠y”是“cos x≠cos y”的A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件(1)(方法一)因为2－x≥0⇔x≤2.因为|x－1|≤1⇔－1≤x－1≤1⇔0≤x≤2.因为x≤2≠>0≤x≤2，而0≤x≤2⇒x≤2，所以“2－x≥0”是“|x－1|≤1”的必要而不充分条件．(方法二)记“2－x≥0”与“|x－1|≤1”表示的集合分别为A，B.则A＝{x|x≤2}，B＝{x|0≤x≤2}．因为B A，所以“2－x≥0”是“|x－1|≤1”的必要而不充分条件．(2)x＝y⇒cos x＝cos y，而cos x＝cos y≠>x＝y，利用四种命题的等价关系得：cos x≠cos y⇒x≠y，x≠y≠> cos x≠cos y.所以“x≠y”是“cos x≠cos y”必要而不充分条件．(1)B (2)B(1)判断充要条件的方法：①定义法(这是基本方法)；②集合法(根据p，q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断)；③转换法．(2)判断充要条件时，要注意如下技巧：①等价化简：先将条件和结论等价化简，然后根据定义进行判断；②等价转化：根据“四种命题”中互为逆否的两个命题是等价的，把判断命题的正确性，转化为判断其逆否命题的正确性．这种方法特别适合以否定形式给出的命题．2．(1)“x<0”是“ln(x＋1)<0”的(B)A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件(2)如果a，b是实数，那么“a≠0”是“ab≠0”的(B)A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件(1)ln(x＋1)<0⇔0<x＋1<1⇔－1<x<0，x<0≠>－1<x<0，－1<x<0⇒x<0，所以“x<0”是“ln(x＋1)<0”的必要而不充分条件．(2)a＝0⇒ab＝0，但ab＝0≠>a＝0，其逆否命题为ab≠0⇒a≠0，a≠0≠>ab≠0，故“a ≠0”是“ab ≠0”的必要而不充分条件．根据充要条件求解参数的取值范围已知p ：－2≤x ≤10，q ：1－m ≤x ≤1＋m (m >0)，若﹁p 是﹁q 的必要不充分条件，则实数m 的取值范围为____________．p 对应的集合为A ＝{x |－2≤x ≤10}，q 对应的集合为B ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m }，因为﹁p 是﹁q 的必要不充分条件，所以﹁q ⇒﹁p 但﹁p ≠>﹁q由互为逆否的两个命题的等价关系可知，p ⇒q ，但q ≠>p ，所以A B .所以⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≤－2，1＋m ≥10，解得m ≥9.检验m ＝9时，满足A B .因此，实数m 的取值范围是[9，＋∞)．[9，＋∞)(1)充分条件、必要条件或充要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上，求解一般步骤为：①首先要将p ，q 等价化简；②将充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的包含关系； ③列出关于参数的等式或不等式组，求出参数的值或取值范围． (2)解此类问题要注意：①注意命题等价转化，如将﹁p 与﹁q 的关系转化为p 与q 的关系； ②注意区间端点值的检验．3．已知p ：2x ＋m <0，q ：x 2－x －2>0，若p 是q 的一个充分不必要条件，则实数m 的取值范围为 [2，＋∞) .因为q ：x 2－x －2>0，所以x <－1或x >2，记A ＝{x |x <－1或x >2}．又因为p ：2x ＋m <0，所以x <－m2，记B ＝{x |x <－m2}，因为p 是q 的充分不必要条件，所以B A . 所以－m2≤－1，解得m ≥2.所以实数m 的取值范围是[2，＋∞)．1．判断一个语句是否为命题，关键是看能否判断真假．数学中的定义、公理、定理都是命题，但命题与定理是有区别的：命题有真假之分，而定理都是真命题．2．一个命题和它的逆否命题同真假，而与它的其他两个命题的真假无此规律，判断一个命题为真必须经过证明，而判定一个命题为假只需举一个反例就行．3．判断充分条件和必要条件时，常用以下几种方法：(1)定义法：判断A 是B 的什么条件，实际上就是判断A B 或B A 是否成立，只要把题目中所给条件按逻辑关系画出箭头示意图，再利用定义即可判断．(2)转换法：当所给命题的充要条件不易判断时，可对命题进行等价转换，如利用其逆否命题进行判断．(3)集合法：当条件和结论以集合形式出现时，可利用集合间的包含关系进行判断．简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词1．了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义．2．理解全称量词与存在量词的意义．3．能正确地对含有一个量词的命题进行否定．知识梳理1．简单的逻辑联结词(1) “或”“且”“非”叫做逻辑联结词．(2)用逻辑联结词“且”联结命题p和命题q，记作p∧q，读作“p且q”．(3)用逻辑联结词“或”联结命题p和命题q，记作p∨q，读作“p或q”．(4)真值表：表示命题真假的表叫做真值表．由命题p，q及逻辑联结词形成的新命题的真假可以通过下面的真值表来加以判断.2.量词(1)短语“对所有的、对任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词；常见的全称量词还有“对一切、对每个、任给、所有的”等．(2)含有全称量词的命题叫做全称命题．(3)短语“存在一个、至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词；常见的存在量词还有“有些、有一个、对某个、有的”等．(4)含有存在量词的命题叫做特称命题．(5)全称命题p：∀x∈M，P(x)的否定﹁p：∃x0∈M，﹁P(x0) ；全称命题的否定是特称命题．(6)特称命题p：∃x∈M，P(x)的否定﹁p：∀x∈M，﹁P(x) ；特称命题的否定是全称命题．1．含有逻辑联结词的命题的真假的判断规律(1)p∨q：p，q中一个为真，则p∨q为真，即有真即真；(2)p∧q：p，q中一个为假，则p∧q为假，即有假即假；(3) ﹁p：与p的真假相反，即一真一假，真假相反．2．含有一个量词的命题的否定规律是“改量词，否结论”．热身练习1．命题“平行四边形的对角线相等且互相平分”是(C)A．简单命题 B．“p∨q”形式的复合命题C．“p∧q”形式的复合命题 D．“﹁p”形式的复合命题考查逻辑联结词的意义，选C.2．已知命题p：对任意x∈R，总有|x|≥0；q：x＝1是方程x＋2＝0的根．则下列命题为真命题的是(A)A． p∧(﹁q )B．(﹁p )∧qC．(﹁p )∧(﹁q)D．p∧q命题p为真命题,命题q为假命题,故﹁q为真命题, p∧(﹁q )为真命题.3．(2017·中牟县校级月考)下列命题中的假命题是(B)A．∀x∈R,2x－1>0 B．∀x∈N*，(x－1)2>0C．∃x0∈R，lg x0<1 D．∃x0∈R，tan x0＝2对于A，∀x∈R，都有2x－1>0，为真命题；对于B，当x＝1时，(x－1)2＝0，为假命题；对于C，如x0＝110，lg x0＝－1<1，为真命题；对于D，因为tan x的值域为R，故x 0∈R，使tan x0＝2，为真命题．4．设命题p：∃n∈N，n2>2n，则﹁p为(C)A．∀n∈N，n2>2n B．∃n∈N，n2≤2nC．∀n∈N，n2≤2n D．∃n∈N，n2＝2n特称命题的否定是全称命题．修改原命题中的两个地方即可得其否定，∃改为∀，否定结论，即∀n∈N，n2≤2n，故选C.5．(2018·长春二模)设命题p：x∈(0，＋∞)，ln x≤x－1，则﹁p是(C)A．∀x∈(0，＋∞)，ln x>x－1B．∀x∈(－∞，0]，ln x>x－1C．∃x0∈(0，＋∞)，ln x0>x0－1D．∃x0∈(0，＋∞)，ln x0≤x0－1含量词的命题的否定方法为先换量词，再否定结论．含有逻辑联结词命题的真假判断设a，b，c是非零向量．已知命题p：若a·b＝0，b·c＝0，则a·c＝0；命题q：若a∥b，b∥c，则a∥c.则下列命题中真命题是A．p∨q B．p∧qC．(﹁p)∧(﹁q) D．p∨(﹁q)命题p：若a·b＝0，b·c＝0，则a∥c，所以p为假命题；命题q：若a∥b，b∥c，则a∥c，所以q为真命题．所以p∨q为真命题．A(1)判断含有逻辑联结词“或”“且”“非”的命题的真假，①弄清构成它的命题p，q的真假；②弄清结构形式；③据真值表来判断新命题的真假．(2)判断复合命题的真假，关键是准确判断p，q的真假，本单元内容可和其他章节内容建立广泛的联系，因此，要注意相关知识的熟练掌握．1．(2017·山东卷)已知命题p：∃x∈R，x2－x＋1≥0；命题q：若a2<b2，则a<b.下列命题为真命题的是(B)A．p∧q B．p∧﹁qC．﹁p∧q D．﹁p∧﹁q因为一元二次方程x2－x＋1＝0的判别式Δ＝(－1)2－4×1×1<0，所以x2－x＋1>0恒成立，所以p为真命题，﹁p为假命题．因为当a＝－1，b＝－2时，(－1)2<(－2)2，但－1>－2，所以q为假命题，﹁q为真命题．根据真值表可知p∧﹁q为真命题，p∧q，﹁p∧q，﹁p∧﹁q为假命题．含一个量词的命题的真假判定与否定(1)(经典真题) 已知命题p：∀x∈R,2x<3x；命题q：∃x∈R，x3＝1－x2，则下列命题中为真命题的是A．p∧q B．(﹁p)∧qC．p∧(﹁q) D．(﹁p)∧(﹁q)(2)已知命题p：“∃x∈R，e x－x－1≤0”，则﹁p为A．∃x∈R，e x－x－1≥0 B．∃x∈R，e x－x－1>0C．∀x∈R，e x－x－1>0 D．∀x∈R，e x－x－1≥0(1)当x＝0时，有2x＝3x，不满足2x<3x，所以p是假命题．画图可知函数y＝x3与y＝1－x2的图象有交点，即方程x3＝1－x2有解，所以q是真命题．故p∧q是假命题，排除A.因为﹁p为真命题，所以(﹁p)∧q是真命题．(2)命题的否定是先改变量词，再否定结论．“∃x∈R，e x－x－1≤0”的否定为“∀x∈R，e x－x－1>0”．(1)B (2)C(1)要判定一个全称命题是真命题，必须对限定集合M中的每个元素x验证p(x)成立；但要判定全称命题是假命题，只要能举出集合M中一个x＝x0，使得p(x0)不成立即可．要判定一个特称命题成立，只要在限定集合M中，至少能找到一个x＝x0，使p(x0)成立即可，否则，这一特称命题就是假命题．(2)全(特)称命题的否定，是将其全称量词改为存在量词(存在量词改为全称量词)，并把结论否定．从命题的形式看，全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题．2．(1)(2018·赤峰一模)已知命题p：∀x∈(0，＋∞)，2x>1，命题q：∃x0∈R, sin x0＝cos x0，则下列命题中为真命题的是(A)A ．p ∧qB ．(﹁p )∧qC ．p ∧(﹁q )D ．(﹁p )∧(﹁q )(2)(2018·邯郸期末) 命题“∀n ∈N *，f (n )∈N *且f (n )≤n ”的否定形式是(D) A ．∀n ∈N *，f (n )∉N *且f (n )>n B ．∀n ∈N *，f (n )∉N *或f (n )>n C ．∃n 0∈N *，f (n 0)∉N *且f (n 0)>n 0 D ．∃n 0∈N *，f (n 0)∉N *或f (n 0)>n 0(1)对于命题p ：当x ∈(0，＋∞)时，2x>1成立，故命题p 是真命题；对于命题q ：当x 0＝π4时，sin x 0＝cos x 0，所以命题q 是真命题，所以p ∧q 为真．(2) 写全称命题的否定时，要把量词∀改为∃，并且否定结论，注意把“且”改为“或”．逻辑联结词命题真假的应用(2018·长沙月考)已知命题p ：存在实数m ，使方程x 2＋mx ＋1＝0有两个不等的负根；命题q ：存在实数m ，使方程4x 2＋4(m －2)x ＋1＝0无实根．若“p ∧q ”为假命题，“p ∨q ”为真命题，则m 的取值范围为A ．[3，＋∞) B．(1,2]C ．(1,2]∪[3，＋∞) D．[1,2)∪(3，＋∞)p ：方程x 2＋mx ＋1＝0有两个不相等的负根⇔⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝m 2－4>0，－m <0⇔m >2，q ：方程4x 2＋4(m －2)x ＋1＝0无实根⇔Δ<0⇔1<m <3.因为“p ∧q ”为假命题，“p ∨q ”为真命题，所以p 与q 一真一假．所以⎩⎪⎨⎪⎧m >2，m ≤1或m ≥3，或⎩⎪⎨⎪⎧m ≤2，1<m <3.所以m 的取值范围{m |m ≥3或1<m ≤2}．C以命题真假为依据求参数的取值范围时，可按如下步骤实施： (1)运用相关知识等价化简所给命题p ，q ； (2)由复合命题的真假分析p ，q 的真假关系；(3)列相应方程(组)或不等式(组)； (4)解方程(组)或不等式(组)得出结论．3．(2018·汕头模拟)已知命题p ：关于x 的方程x 2＋ax ＋1＝0没有实根；命题q ：∀x ＞0,2x－a ＞0.若“﹁p ”和“p ∧q ”都是假命题，则实数a 的取值范围是(C)A ．(－∞，－2)B ．(－2,1]C ．(1,2)D ．(1，＋∞)若方程x 2＋ax ＋1＝0没有实根，则判别式Δ＝a 2－4＜0，即－2＜a ＜2，即p ：－2＜a ＜2； ∀x ＞0,2x－a ＞0，则a ＜2x，当x ＞0时，2x＞1，则a ≤1，即q ：a ≤1，因为﹁p 是假命题，则p 是真命题，因为p ∧q 是假命题，则q 是假命题，即⎩⎪⎨⎪⎧－2<a <2，a >1，得1＜a ＜2.1．逻辑联结词——或、且、非与集合中的并集、交集、补集有着密切的关系，要注意类比．p ∨q 为真命题，只需p ，q 有一个为真即可； p ∧q 为真命题，必须p ，q 同时为真．写出“﹁p ”形式的命题时常用到以下表格中的否定词语：2.注意一个命题的否定与否命题的区别，否命题与命题的否定不是同一个概念，否命题是对原命题“若p ，则q ”既否定其条件，又否定其结论；而命题p 的否定即非p ，只需否定命题的结论．命题的否定与原命题的真假总是相对立的，即一真一假，而否命题与原命题的真假无必然联系．3．要写一个命题的否定，需先分清是全称命题还是特称命题，再对照否定结构去写．否定的规律是“改量词，否结论”．全称命题的否定是一个特称命题；特称命题的否定是一个全称命题．21。

高考数学第一轮复习精品教案：第一章集合与常用逻辑用语

精品教案――集合与简易逻辑一、本章知识结构：二、考点回顾1、集合的含义及其表示法，子集，全集与补集，子集与并集的定义；2、集合与其它知识的联系，如一元二次不等式、函数的定义域、值域等；3、逻辑联结词的含义，四种命题之间的转化，了解反证法；4、含全称量词与存在量词的命题的转化，并会判断真假，能写出一个命题的否定；5、充分条件，必要条件及充要条件的意义，能判断两个命题的充要关系；6、学会用定义解题，理解数形结合，分类讨论及等价变换等思想方法。

三、经典例题剖析考点1、集合的概念1、集合的概念：（1）集合中元素特征，确定性，互异性，无序性；（2）集合的分类：①按元素个数分：有限集，无限集；②按元素特征分；数集，点集。

如数集{y|y=x 2}，表示非负实数集，点集{(x ，y)|y=x 2}表示开口向上，以y 轴为对称轴的抛物线；（3）集合的表示法：①列举法：用来表示有限集或具有显著规律的无限集，如N +={0，1，2，3，…}；②描述法。

2、两类关系：（1）元素与集合的关系，用∈或∉表示；（2）集合与集合的关系，用⊆，≠⊂，=表示，当A ⊆B 时，称A 是B 的子集；当A ≠⊂B 时，称A 是B 的真子集。

3、解答集合问题，首先要正确理解集合有关概念，特别是集合中元素的三要素；对于用描述法给出的集合{x |x ∈P },要紧紧抓住竖线前面的代表元素x 以及它所具有的性质P ；要重视发挥图示法的作用，通过数形结合直观地解决问题4、注意空集∅的特殊性，在解题中，若未能指明集合非空时，要考虑到空集的可能性，如A ⊆B ,则有A =∅或A ≠∅两种可能，此时应分类讨论例1、下面四个命题正确的是（A ）10以内的质数集合是{1，3，5，7} （B ）方程x 2－4x ＋4＝0的解集是{2，2}（C ）0与{0}表示同一个集合（D ）由1，2，3组成的集合可表示为{1，2，3}或{3，2，1}解：选（D ），最小的质数是2，不是1，故（A ）错；由集合的定义可知（B ）（C ）都错。

2020版高考数学大一轮复习第一章集合与常用逻辑用语教案(含解析)

2020版高考数学大一轮复习第一章集合与常用逻辑用语§1.1集合的概念及运算最新考纲1.通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系.2.能选择自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用.3.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集.4.在具体情境中，了解全集与空集的含义.5.理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集.6.理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集.7.能使用Venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用．1．集合与元素(1)集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．(2)元素与集合的关系是属于或不属于，用符号∈或∉表示．(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法．(4)常见数集的记法2.集合间的基本关系A B(或B A)3.集合的基本运算概念方法微思考1．若一个集合A有n个元素，则集合A有几个子集，几个真子集．提示2n,2n－1.2．从A∩B＝A，A∪B＝A可以得到集合A，B有什么关系？提示A∩B＝A⇔A⊆B，A∪B＝A⇔B⊆A.题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)任何一个集合都至少有两个子集．( ×)(2){x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{(x，y)|y＝x2＋1}．( ×)(3)若{x2,1}＝{0,1}，则x＝0,1.( ×)(4){x|x≤1}＝{t|t≤1}．( √)(5)若A∩B＝A∩C，则B＝C.( ×)题组二教材改编2．若集合A＝{x∈N|x≤2020}，a＝22，则下列结论正确的是( )A．{a}⊆A B．a⊆AC．{a}∈A D．a∉A答案 D3．已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|y＝x}，则A∩B中元素的个数为________．答案 2解析集合A 表示以(0,0)为圆心，1为半径的单位圆上的点，集合B 表示直线y ＝x 上的点，圆x 2＋y 2＝1与直线y ＝x 相交于两点⎝ ⎛⎭⎪⎫22，22，⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，－22，则A ∩B 中有两个元素．题组三易错自纠4．已知集合A ＝{1,3，m }，B ＝{1，m }，A ∪B ＝A ，则m 等于( ) A ．0或 3 B ．0或3 C ．1或 3 D ．1或3或0答案 B解析 A ＝{1,3，m }，B ＝{1，m }，A ∪B ＝A ，故B ⊆A ，所以m ＝3或m ＝m ，即m ＝3或m ＝0或m ＝1，其中m ＝1不符合题意，所以m ＝0或m ＝3，故选B.5．已知集合A ＝{x |x 2－4x ＋3<0}，B ＝{x |2<x <4}，则(∁R A )∪B ＝______________. 答案 {x |x ≤1或x >2}解析由已知可得集合A ＝{x |1<x <3}，又因为B ＝{x |2<x <4}，∁R A ＝{x |x ≤1或x ≥3}，所以(∁R A )∪B ＝{x |x ≤1或x >2}．6．若集合A ＝{x ∈R |ax 2－4x ＋2＝0}中只有一个元素，则a ＝________. 答案 0或2解析若a ＝0，则A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，符合题意；若a ≠0，则由题意得Δ＝16－8a ＝0，解得a ＝2. 综上，a 的值为0或2.题型一集合的含义1．已知集合A ＝{0,1,2}，则集合B ＝{(x ，y )|x ≥y ，x ∈A ，y ∈A }中元素的个数是( ) A ．1B ．3C ．6D ．9 答案 C解析当x ＝0时，y ＝0；当x ＝1时，y ＝0或y ＝1；当x ＝2时，y ＝0,1,2.故集合B ＝{(0,0)，(1,0)，(1,1)，(2,0)，(2,1)，(2,2)}，即集合B 中有6个元素．2．已知集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ∈Z ，且32－x ∈Z ，则集合A 中的元素个数为( ) A ．2B ．3C ．4D ．5答案 C 解析因为32－x∈Z ，所以2－x 的取值有－3，－1,1,3，又因为x ∈Z ，所以x 的值分别为5,3,1，－1，故集合A 中的元素个数为4.3．已知集合A ＝{m ＋2,2m 2＋m }，若3∈A ，则m 的值为________．答案－32解析由题意得m ＋2＝3或2m 2＋m ＝3，则m ＝1或m ＝－32，当m ＝1时，m ＋2＝3且2m 2＋m ＝3，根据集合中元素的互异性可知不满足题意；当m ＝－32时，m ＋2＝12，而2m 2＋m ＝3，故m ＝－32.思维升华 (1)用描述法表示集合，首先要搞清楚集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明白集合的类型，是数集、点集还是其他类型的集合．(2)如果是根据已知列方程求参数值，一定要将参数值代入集合中检验是否满足元素的互异性．题型二集合间的基本关系例1 (1)集合M ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝n2＋1，n ∈Z， N ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫y ⎪⎪⎪y ＝m ＋12，m ∈Z，则两集合M ，N 的关系为( ) A ．M ∩N ＝∅ B ．M ＝N C ．M ⊆N D ．N ⊆M答案 D解析由题意，对于集合M ，当n 为偶数时，设n ＝2k (k ∈Z )，则x ＝k ＋1(k ∈Z )，当n 为奇数时，设n ＝2k ＋1(k ∈Z )，则x ＝k ＋1＋12(k ∈Z )，∴N ⊆M ，故选D.(2)已知集合A ＝{x |x 2－2019x ＋2019<0}，B ＝{x |x <a }，若A ⊆B ，则实数a 的取值范围是________________________________________________________________________．答案 [2019，＋∞)解析由x 2－2019x ＋2019<0，解得1<x <2019，故A ＝{x |1<x <2019}．又B ＝{x |x <a }，A ⊆B ，如图所示，可得a ≥2019. 引申探究本例(2)中，若将集合B 改为{x |x ≥a }，其他条件不变，则实数a 的取值范围是____________．答案 (－∞，1]解析 A ＝{x |1<x <2019}，B ＝{x |x ≥a }，A ⊆B ，如图所示，可得a ≤1.思维升华 (1)空集是任何集合的子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑空集的情况，否则会造成漏解．(2)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn 图等来直观解决这类问题．跟踪训练1 (1)已知集合A ＝{y |0≤y <a ，y ∈N }，B ＝{x |x 2－2x －3≤0，x ∈N }，若A B ，则满足条件的正整数a 所构成集合的子集的个数为________．答案 8解析 B ＝{x |x 2－2x －3≤0，x ∈N }＝{x |－1≤x ≤3，x ∈N }＝{0,1,2,3}，当a 分别取1,2,3时，所得集合A 分别为{0}，{0,1}，{0,1,2}，均满足A B ，当a ＝4时，A ＝{0,1,2,3}，不满足AB ，同理，当a ≥5时均不满足A B .所以满足条件的正整数a 所构成的集合为{1,2,3}，其子集有8个．(2)已知集合A ＝{x |－1<x <3}，B ＝{x |－m <x <m }．若B ⊆A ，则m 的取值范围为__________．答案 (－∞，1]解析当m ≤0时，B ＝∅，显然B ⊆A . 当m >0时，因为A ＝{x |－1<x <3}，B ⊆A ，所以在数轴上标出两集合，如图，所以⎩⎪⎨⎪⎧m >0，－m ≥－1，所以0<m ≤1.综上所述，m 的取值范围为(－∞，1]．题型三集合的基本运算命题点1 集合的运算例2 (1)(2019·全国Ⅰ)已知集合A ＝{}x |x 2－x －2>0，则∁R A 等于( )A ．{x |－1<x <2}B ．{x |－1≤x ≤2}C ．{x |x <－1}∪{x |x >2}D ．{x |x ≤－1}∪{x |x ≥2} 答案 B解析 ∵x 2－x －2>0，∴(x －2)(x ＋1)>0，∴x >2或x <－1，即A ＝{x |x >2或x <－1}．在数轴上表示出集合A ，如图所示．由图可得∁R A ＝{x |－1≤x ≤2}．故选B.(2)(2019·海南联考)已知集合A ＝{x |3x 2＋x －2≤0}，B ＝{x |log 2(2x －1)≤0}，则A ∩B 等于( )A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－1≤x ≤23 B.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ 23≤x ≤1 C.{}x | －1≤x ≤1 D.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪12<x ≤23 答案 D解析由题意得A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，23，B ＝⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1，∴A ∩B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪12<x ≤23，故选D. 命题点2 利用集合的运算求参数例3 (1)(2019·惠州模拟)已知集合A ＝{x |x <a }，B ＝{x |x 2－3x ＋2<0}，若A ∩B ＝B ，则实数a 的取值范围是( ) A ．a <1 B ．a ≤1 C ．a >2 D ．a ≥2答案 D解析集合B ＝{x |x 2－3x ＋2<0}＝{x |1<x <2}，由A ∩B ＝B 可得B ⊆A ，作出数轴如图．可知a ≥2.(2)设集合A ＝{－1,0,1}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫a －1，a ＋1a ，A ∩B ＝{0}，则实数a 的值为________．答案 1解析 0∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫a －1，a ＋1a ，由a ＋1a≠0，则a －1＝0，则实数a 的值为1.经检验，当a ＝1时满足题意．(3)设集合A ＝{0，－4}，B ＝{x |x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0，x ∈R }．若A ∩B ＝B ，则实数a 的取值范围是______．答案 (－∞，－1]∪{1} 解析因为A ∩B ＝B ，所以B ⊆A ，因为A ＝{0，－4}，所以B ⊆A 分以下三种情况：①当B ＝A 时，B ＝{0，－4}，由此可知，0和－4是方程x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0的两个根，由根与系数的关系，得 ⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－1)>0，－2(a ＋1)＝－4，a 2－1＝0，解得a ＝1；②当B ≠∅且B A 时，B ＝{0}或B ＝{－4}，并且Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－1)＝0，解得a ＝－1，此时B ＝{0}满足题意； ③当B ＝∅时，Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－1)<0，解得a <－1.综上所述，所求实数a 的取值范围是(－∞，－1]∪{1}．思维升华 (1)一般来讲，集合中的元素若是离散的，则用Venn 图表示；集合中的元素若是连续的，则用数轴表示，此时要注意端点的情况．(2)运算过程中要注意集合间的特殊关系的使用，灵活使用这些关系，会使运算简化．跟踪训练2 (1)(2019·烟台模拟)已知集合A ＝{x |x 2＋x －2≤0}，B ＝{x |y ＝log 2x ，x ∈R }，则A ∩B 等于( ) A ．∅ B ．[1，＋∞) C ．(0,2] D ．(0,1]答案 D解析由集合A ＝{x |x 2＋x －2≤0}＝{x |－2≤x ≤1}，B ＝{x |y ＝log 2x ，x ∈R }＝{x |x >0}，所以A ∩B ＝{x |0<x ≤1}＝(0,1]，故选D.(2)已知集合A ＝{x |x 2－x －12≤0}，B ＝{x |2m －1<x <m ＋1}，且A ∩B ＝B ，则实数m 的取值范围为( ) A ．[－1,2) B ．[－1,3] C ．[2，＋∞) D ．[－1，＋∞)答案 D解析由x 2－x －12≤0，得(x ＋3)(x －4)≤0，即－3≤x ≤4，所以A ＝{x |－3≤x ≤4}．又A ∩B ＝B ，所以B ⊆A .①当B ＝∅时，有m ＋1≤2m －1，解得m ≥2； ②当B ≠∅时，有⎩⎪⎨⎪⎧－3≤2m －1，m ＋1≤4，2m －1<m ＋1，解得－1≤m <2.综上，m 的取值范围为[－1，＋∞)．题型四集合的新定义问题例4(1)(2019·沈阳模拟)已知集合A ＝{x ∈N |x 2－2x －3≤0}，B ＝{1,3}，定义集合A ，B 之间的运算“*”：A *B ＝{x |x ＝x 1＋x 2，x 1∈A ，x 2∈B }，则A *B 中的所有元素数字之和为( ) A ．15B ．16C ．20D ．21 答案 D解析由x 2－2x －3≤0，得(x ＋1)(x －3)≤0，得A ＝{0,1，2,3}．因为A *B ＝{x |x ＝x 1＋x 2，x 1∈A ，x 2∈B }，所以A *B 中的元素有：0＋1＝1,0＋3＝3,1＋1＝2,1＋3＝4,2＋1＝3(舍去)，2＋3＝5,3＋1＝4(舍去)，3＋3＝6，所以A *B ＝{1,2,3,4,5,6}，所以A *B 中的所有元素数字之和为21.(2)设数集M ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪m ≤x ≤m ＋34，N ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪n －13≤x ≤n，且M ，N 都是集合U ＝{x |0≤x ≤1}的子集，定义b －a 为集合{x |a ≤x ≤b }的“长度”，则集合M ∩N 的长度的最小值为________．答案112解析在数轴上表示出集合M 与N (图略)，可知当m ＝0且n ＝1或n －13＝0且m ＋34＝1时，M ∩N 的“长度”最小．当m ＝0且n ＝1时，M ∩N ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪23≤x ≤34，长度为34－23＝112；当n ＝13且m ＝14时，M ∩N ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪14≤x ≤13，长度为13－14＝112.综上，M ∩N 的长度的最小值为112.思维升华解决以集合为背景的新定义问题，要抓住两点：(1)紧扣新定义．首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，应用到具体的解题过程之中．(2)用好集合的性质．解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素．跟踪训练3 用C (A )表示非空集合A 中元素的个数，定义A *B ＝⎩⎪⎨⎪⎧C (A )－C (B )，C (A )≥C (B )，C (B )－C (A )，C (A )<C (B ).若A ＝{1,2}，B ＝{x |(x 2＋ax )(x 2＋ax ＋2)＝0}，且A *B ＝1，设实数a 的所有可能取值组成的集合是S ，则C (S )＝________. 答案 3解析因为C (A )＝2，A *B ＝1，所以C (B )＝1或C (B )＝3.由x 2＋ax ＝0，得x 1＝0，x 2＝－a .关于x 的方程x 2＋ax ＋2＝0，当Δ＝0，即a ＝±22时，易知C (B )＝3，符合题意；当Δ>0，即a <－22或a >22时，易知0，－a 均不是方程x 2＋ax ＋2＝0的根，故C (B )＝4，不符合题意；当Δ<0，即－22<a <22时，方程x 2＋ax ＋2＝0无实数解，当a ＝0时，B ＝{0}，C (B )＝1，符合题意，当－22<a <0或0<a <22时，C (B )＝2，不符合题意．综上，S ＝{0，－22，22}，故C (S )＝3.1．已知集合A ＝{y |y ＝|x |－1，x ∈R }，B ＝{x |x ≥2}，则下列结论正确的是( ) A ．－3∈A B ．3∉B C ．A ∩B ＝B D ．A ∪B ＝B答案 C解析由题意知A ＝{y |y ≥－1}，因此A ∩B ＝{x |x ≥2}＝B ，故选C.2．设集合M ＝{－1,1}，N ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1x <2，则下列结论中正确的是( ) A ．N M B ．M N C ．N ∩M ＝∅ D ．M ∪N ＝R答案 B解析由题意得，集合N ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1x <2＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <0或x >12，所以M N .故选B.3．设集合A ＝{x ∈Z |x 2－3x －4<0}，B ＝{x |2x≥4}，则A ∩B 等于( ) A ．[2,4)B ．{2,4}C ．{3}D ．{2,3}答案 D解析由x 2－3x －4<0，得－1<x <4，因为x ∈Z ，所以A ＝{0,1,2,3}，由2x≥4，得x ≥2，即B ＝{x |x ≥2}，所以A ∩B ＝{2,3}．4．(2019·全国Ⅱ)已知集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2≤3，x ∈Z ，y ∈Z }，则A 中元素的个数为( ) A ．9B ．8C ．5D ．4 答案 A解析将满足x 2＋y 2≤3的整数x ，y 全部列举出来，即(－1，－1)，(－1,0)，(－1,1)，(0，－1)，(0,0)，(0,1)，(1，－1)，(1,0)，(1,1)，共有9个．故选A.5.(2019·济南模拟)设全集U ＝R ，集合A ＝{x |x －1≤0}，集合B ＝{x |x 2－x －6<0}，则右图中阴影部分表示的集合为( )A ．{x |x <3}B ．{x |－3<x ≤1}C ．{x |x <2}D ．{x |－2<x ≤1}答案 D解析由题意可得A ＝{x |x ≤1}，B ＝{x |－2<x <3}， ∴A ∩B ＝{x |－2<x ≤1}，故选D.6．(2019·潍坊模拟)设集合A ＝N ，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪xx －3≤0，则A ∩B 等于( ) A ．[0,3) B ．{1,2} C ．{0,1,2} D ．{0,1,2,3}答案 C解析由集合A ＝N 和B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪xx －3≤0＝{x |0≤x <3}，所以A ∩B ＝{0,1,2}，故选C. 7．(2017·全国Ⅱ)设集合A ＝{1,2,4}，B ＝{x |x 2－4x ＋m ＝0}．若A ∩B ＝{1}，则B 等于( ) A ．{1，－3}B ．{1,0}C ．{1,3}D ．{1,5} 答案 C解析 ∵A ∩B ＝{1}，∴1∈B .∴1－4＋m ＝0，即m ＝3. ∴B ＝{x |x 2－4x ＋3＝0}＝{1,3}．故选C.8．已知集合A ＝{x |－1<x <0}，B ＝{x |x ≤a }，若A ⊆B ，则a 的取值范围为( ) A ．(－∞，0]B ．[0，＋∞)C ．(－∞，0)D ．(0，＋∞)答案 B解析用数轴表示集合A ，B (如图)，由A ⊆B ，得a ≥0.9．(2019·郑州模拟)已知集合P ＝{x |y ＝－x 2＋x ＋2，x ∈N }，Q ＝{x |ln x <1}，则P ∩Q ＝________. 答案 {1,2}解析由－x 2＋x ＋2≥0，得－1≤x ≤2，因为x ∈N ，所以P ＝{0,1,2}．因为ln x <1，所以0<x <e ，所以Q ＝(0，e)，则P ∩Q ＝{1,2}．10．若全集U ＝R ，集合A ＝{x |x 2－x －2≥0}，B ＝{x |log 3(2－x )≤1}，则A ∩(∁U B )＝________________. 答案 {x |x <－1或x ≥2}解析集合A ＝{x |x 2－x －2≥0}＝{x |x ≤－1或x ≥2}， ∵log 3(2－x )≤1＝log 33，∴0<2－x ≤3， ∴－1≤x <2，∴B ＝{x |－1≤x <2}， ∴∁U B ＝{x |x <－1或x ≥2}， ∴A ∩(∁U B )＝{x |x <－1或x ≥2}．11．设集合A ＝{－1,1,2}，B ＝{a ＋1，a 2－2}，若A ∩B ＝{－1,2}，则a 的值为________．答案－2或1解析 ∵集合A ＝{－1,1,2}，B ＝{a ＋1，a 2－2}，A ∩B ＝{－1,2}，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1＝－1，a 2－2＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1＝2，a 2－2＝－1，解得a ＝－2或a ＝1.经检验，a ＝－2和a ＝1均满足题意．12．已知集合A ＝{x |y ＝lg(x －x 2)}，B ＝{x |x 2－cx <0，c >0}，若A ⊆B ，则实数c 的取值范围是________．答案 [1，＋∞)解析由题意知，A ＝{x |y ＝lg(x －x 2)}＝{x |x －x 2>0}＝(0,1)，B ＝{x |x 2－cx <0，c >0}＝(0，c )．由A ⊆B ，画出数轴，如图所示，得c ≥1.13．已知集合A ＝{x ∈R ||x ＋2|<3}，集合B ＝{x ∈R |(x －m )(x －2)<0}，且A ∩B ＝(－1，n )，则m ＝______，n ＝________. 答案－1 1解析 A ＝{x ∈R ||x ＋2|<3}＝{x ∈R |－5<x <1}，由A ∩B ＝(－1，n )，可知m <1，则B ＝{x |m <x <2}，画出数轴，可得m ＝－1，n ＝1.14．设A 是整数集的一个非空子集，对于k ∈A ，如果k －1∉A ，且k ＋1∉A ，那么称k 是A 的一个“孤立元”．给定S ＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，由S 的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有________个．答案 6解析依题意可知，由S 的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”时，这三个元素一定是连续的三个自然数．故这样的集合共有6个．15．已知集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫(x ，y )⎪⎪⎪x 24＋y 22＝1，B ＝{(x ，y )|y ＝kx ＋m ，k ∈R ，m ∈R }，若对任意实数k ，A ∩B ≠∅，则实数m 的取值范围是____________．答案 [－2，2]解析由已知，无论k 取何值，椭圆x 24＋y 22＝1和直线y ＝kx ＋m 均有交点，故点(0，m )在椭圆x 24＋y 22＝1上或在其内部，∴m 2≤2，∴－2≤m ≤ 2. 16．已知A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪y ＝log 36－xx －2，B ＝{x |x 2－2x ＋1－a 2≤0}(a >0)，若A ∪B ＝B ，则实数a的取值范围是______．答案 [5，＋∞)解析由6－xx －2>0可得(x －2)(x －6)<0，∴2<x <6，∴A ＝(2,6)．又x 2－2x ＋1－a 2≤0可化为[x －(1－a )][x －(1＋a )]≤0. 又a >0，∴B ＝[1－a,1＋a ]．由A ∪B ＝B ，得A ⊆B ，∴⎩⎪⎨⎪⎧2≥1－a ，6≤1＋a ，∴a ≥5.∴实数a的取值范围是[5，＋∞)．2020版高考数学大一轮复习第一章集合与常用逻辑用语§1.2充要条件、全称量词与存在量词最新考纲1.理解必要条件、充分条件与充要条件的意义.2.通过生活和数学中的丰富实例，理解全称量词和存在量词的意义，能正确地对含有一个量词的命题进行否定．1．充分条件、必要条件与充要条件的概念2.全称量词和存在量词(1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”等在逻辑中通常叫做全称量词，用符号“∀”表示．(2)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”等在逻辑中通常叫做存在量词，用符号“∃”表示．3．全称命题、特称命题及含一个量词的命题的否定概念方法微思考若条件p ，q 以集合的形式出现，即A ＝{x |p (x )}，B ＝{x |q (x )}，则由A ⊆B 可得，p 是q 的充分条件，请写出集合A ，B 的其他关系对应的条件p ，q 的关系．提示若A B ，则p 是q 的充分不必要条件；若A ⊇B ，则p 是q 的必要条件；若A B ，则p 是q 的必要不充分条件；若A ＝B ，则p 是q 的充要条件；若A ⊈B 且A ⊉B ，则p 是q 的既不充分也不必要条件．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)q 是p 的必要条件时，p 是q 的充分条件．( √ )(2)若p 是q 的充要条件，则命题p 和q 是两个等价命题．( √ ) (3)全称命题一定含有全称量词．( × )(4)∃x 0∈M ，p (x 0)与∀x ∈M ，綈p (x )的真假性相反．( √ ) 题组二教材改编2．命题“正方形都是矩形”的否定是___________________________．答案存在一个正方形，这个正方形不是矩形3．“x －3＝0”是“(x －3)(x －4)＝0”的______条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”) 答案充分不必要题组三易错自纠4．(2019·郑州质检)命题“∃x 0∈R ，x 20－x 0－1>0”的否定是( ) A ．∀x ∈R ，x 2－x －1≤0 B ．∀x ∈R ，x 2－x －1>0 C ．∃x 0∈R ，x 20－x 0－1≤0 D ．∃x 0∈R ，x 20－x 0－1≥0答案 A5．已知p ：x >a 是q ：2<x <3的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是________．答案 (－∞，2]解析由已知，可得{x |2<x <3}{x |x >a }， ∴a ≤2.6．若“∀x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，tan x ≤m ”是真命题，则实数m 的最小值为________．答案 1解析 ∵函数y ＝tan x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上是增函数，∴y max ＝tan π4＝1.依题意知，m ≥y max ，即m ≥1.∴m 的最小值为1.题型一充分、必要条件的判定例1 (1)已知α，β均为第一象限角，那么“α>β”是“sin α>sin β”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 D解析取α＝7π3，β＝π3，α>β成立，而sin α＝sin β，sin α>sin β不成立．∴充分性不成立；取α＝π3，β＝13π6，sin α>sin β，但α<β，必要性不成立．故“α>β”是“sin α>sin β”的既不充分也不必要条件．(2)已知条件p ：x >1或x <－3，条件q ：5x －6>x 2，则q 是p 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 A解析由5x －6>x 2，得2<x <3，即q ：2<x <3. 所以q ⇒p ，p ⇏q ，所以q 是p 的充分不必要条件，故选A. 思维升华充分条件、必要条件的三种判定方法(1)定义法：根据p ⇒q ，q ⇒p 进行判断，适用于定义、定理判断性问题．(2)集合法：根据p ，q 成立的对象的集合之间的包含关系进行判断，多适用于命题中涉及字母范围的推断问题．跟踪训练1 (1)(2019·福建省莆田一中月考)王安石在《游褒禅山记》中写道“世之奇伟、瑰怪，非常之观，常在于险远，而人之所罕至焉，故非有志者不能至也”，请问“有志”是到达“奇伟、瑰怪，非常之观”的( ) A ．充要条件 B ．既不充分也不必要条件 C ．充分不必要条件 D ．必要不充分条件答案 D解析非有志者不能至，是必要条件；但“有志”也不一定“能至”，不是充分条件．(2)(2019·济南模拟)若集合A ＝{x |1<x <2}，B ＝{x |x >b ，b ∈R }，则A ⊆B 的一个充分不必要条件是( ) A ．b ≥2 B ．1<b ≤2 C ．b ≤1 D ．b <1答案 D解析 ∵A ＝{x |1<x <2}，B ＝{x |x >b ，b ∈R }，∴A ⊆B 的充要条件是b ≤1，∴b <1是A ⊆B 的充分不必要条件，故选D.题型二含有一个量词的命题命题点1 全称命题、特称命题的真假例2 (1)(2019·沈阳模拟)下列四个命题中真命题是( ) A ．∀n ∈R ，n 2≥nB ．∃n 0∈R ，∀m ∈R ，m ·n 0＝mC ．∀n ∈R ，∃m 0∈R ，m 20<n D ．∀n ∈R ，n 2<n 答案 B解析对于选项A ，令n ＝12，即可验证其不正确；对于选项C ，D ，可令n ＝－1加以验证，均不正确，故选B.(2)下列命题中的假命题是( ) A ．∀x ∈R,2x －1>0 B ．∀x ∈N *，(x －1)2>0 C ．∃x 0∈R ，lg x 0<1 D ．∃x 0∈R ，tan x 0＝2答案 B解析当x ∈N *时，x －1∈N ，可得(x －1)2≥0，当且仅当x ＝1时取等号，故B 不正确；易知A ，C ，D 正确，故选B.命题点2 含一个量词的命题的否定例3 (1)已知命题p ：“∃x 0∈R ，0e x－x 0－1≤0”，则綈p 为( ) A ．∃x 0∈R ，0e x－x 0－1≥0 B ．∃x 0∈R ，0e x －x 0－1>0 C ．∀x ∈R ，e x－x －1>0 D ．∀x ∈R ，e x －x －1≥0 答案 C解析根据全称命题与特称命题的否定关系，可得綈p 为“∀x ∈R ，e x－x －1>0”，故选C.(2)(2019·福州质检)已知命题p：∀x1，x2∈R，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)≥0，则綈p是( ) A．∃x1，x2∈R，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)≤0B．∀x1，x2∈R，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)≤0C．∃x1，x2∈R，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)<0D．∀x1，x2∈R，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)<0答案 C解析已知全称命题p：∀x1，x2∈R，[f(x2)－f(x1)]·(x2－x1)≥0，则綈p：∃x1，x2∈R，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)<0，故选C.思维升华(1)判定全称命题“∀x∈M，p(x)”是真命题，需要对集合M中的每一个元素x，证明p(x)成立；要判断特称命题是真命题，只要在限定集合内找到一个x＝x0，使p(x0)成立．(2)对全(特)称命题进行否定的方法①找到命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义先加上量词，再改变量词；②对原命题的结论进行否定．跟踪训练2 (1)(2019·东北三校联考)下列命题中是假命题的是( )A．∃x0∈R，log2x0＝0 B．∃x0∈R，cos x0＝1C．∀x∈R，x2>0 D．∀x∈R,2x>0答案 C解析因为log21＝0，cos0＝1，所以选项A，B均为真命题，02＝0，选项C为假命题，2x>0，选项D为真命题，故选C.3x＋1)≤0，则( )(2)已知命题p：∃x0∈R，log2(0A．p是假命题；綈p：∀x∈R，log2(3x＋1)≤0B．p是假命题；綈p：∀x∈R，log2(3x＋1)>0C．p是真命题；綈p：∀x∈R，log2(3x＋1)≤0D．p是真命题；綈p：∀x∈R，log2(3x＋1)>0答案 B解析因为3x>0，所以3x＋1>1，则log2(3x＋1)>0，所以p是假命题；綈p：∀x∈R，log2(3x ＋1)>0.故选B.题型三充分、必要条件的应用例4已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．若x∈P是x∈S的必要条件，求m的取值范围．解由x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10，∴P＝{x|－2≤x≤10}．由x∈P是x∈S的必要条件，知S⊆P.则⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≤1＋m ，1－m ≥－2， ∴0≤m ≤3.1＋m ≤10，∴当0≤m ≤3时，x ∈P 是x ∈S 的必要条件，即所求m 的取值范围是[0,3]．引申探究若本例条件不变，问是否存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的充要条件．解若x ∈P 是x ∈S 的充要条件，则P ＝S ，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－m ＝－2，1＋m ＝10，方程组无解，即不存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的充要条件．思维升华充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上．解题时需注意： (1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解． (2)要注意区间端点值的检验．跟踪训练3 (1)若“x >2m 2－3”是“－1<x <4”的必要不充分条件，则实数m 的取值范围是__________．答案 [－1,1]解析依题意，可得(－1,4)(2m 2－3，＋∞)，所以2m 2－3≤－1，解得－1≤m ≤1.(2)设n ∈N *，则一元二次方程x 2－4x ＋n ＝0有整数根的充要条件是n ＝________. 答案 3或4解析由Δ＝16－4n ≥0，得n ≤4，又n ∈N *，则n ＝1,2,3,4. 当n ＝1,2时，方程没有整数根；当n ＝3时，方程有整数根1,3，当n ＝4时，方程有整数根2.综上可知，n ＝3或4. 题型四命题中参数的取值范围例5已知f (x )＝ln(x 2＋1)，g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －m ，若对∀x 1∈[0,3]，∃x 2∈[1,2]，使得f (x 1)≥g (x 2)，则实数m 的取值范围是________________．答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，＋∞ 解析当x ∈[0,3]时，f (x )min ＝f (0)＝0，当x ∈[1,2]时，g (x )min ＝g (2)＝14－m ，由f (x )min ≥g (x )min ，得0≥14－m ，所以m ≥14.引申探究本例中，若将“∃x 2∈[1,2]”改为“∀x 2∈[1,2]”，其他条件不变，则实数m 的取值范围是________________．答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞ 解析当x ∈[1,2]时，g (x )max ＝g (1)＝12－m ，由f (x )min ≥g (x )max ，得0≥12－m ，∴m ≥12.思维升华对于含量词的命题中求参数的取值范围的问题，可根据命题的含义，利用函数值域(或最值)解决．跟踪训练4(1)已知命题“∀x ∈R ，x 2－5x ＋152a >0”的否定为假命题，则实数a 的取值范围是______________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫56，＋∞ 解析由“∀x ∈R ，x 2－5x ＋152a >0”的否定为假命题，可知原命题必为真命题，即不等式x 2－5x ＋152a >0对任意实数x 恒成立．设f (x )＝x 2－5x ＋152a ，则其图象恒在x 轴的上方．故Δ＝25－4×152a <0，解得a >56，即实数a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫56，＋∞.(2)已知c >0，且c ≠1，设命题p ：函数y ＝c x为减函数．命题q ：当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2时，函数f (x )＝x ＋1x >1c恒成立．如果p 和q 有且只有一个是真命题，则c 的取值范围为________________．答案 ⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12∪(1，＋∞)解析由命题p 为真知，0<c <1，由命题q 为真知，2≤x ＋1x ≤52，要使x ＋1x >1c 恒成立，需1c <2，即c >12，当p 真q 假时，c 的取值范围是0<c ≤12；当p 假q 真时，c 的取值范围是c >1.综上可知，c 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12∪(1，＋∞)．利用充要条件求参数范围逻辑推理是从事实和命题出发，依据规则推出其他命题的素养．逻辑推理的主要形式是演绎推理，它是得到数学结论、证明数学命题的主要方式，也是数学交流、表达的基本思维品质．例已知p ：⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－x －13≤2，q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0(m >0)，q 是p 的必要不充分条件，则实数m 的取值范围为__________．答案 [9，＋∞)解析 ∵q 是p 的必要不充分条件．即p 是q 的充分不必要条件，由x 2－2x ＋1－m 2≤0(m >0)，得1－m ≤x ≤1＋m (m >0)．∴q 对应的集合为{x |1－m ≤x ≤1＋m ，m >0}．设M ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m ，m >0}．又由⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－x －13≤2，得－2≤x ≤10，∴p 对应的集合为{x |－2≤x ≤10}．设N ＝{x |－2≤x ≤10}．由p 是q 的充分不必要条件知，NM ，∴⎩⎪⎨⎪⎧m >0，1－m <－2，1＋m ≥10或⎩⎪⎨⎪⎧m >0，1－m ≤－2，1＋m >10，解得m ≥9.∴实数m 的取值范围为[9，＋∞)．素养提升例题中得到实数m 的范围的过程就是利用已知条件进行推理论证的过程，数学表达严谨清晰．1．命题“∀x ∈R ，∃n 0∈N *，使得n 0≤x 2”的否定形式是( ) A ．∀x ∈R ，∃n 0∈N *，使得n 0>x 2B ．∀x ∈R ，∀n ∈N *，使得n >x 2C ．∃x 0∈R ，∃n 0∈N *，使得n 0>x 20 D ．∃x 0∈R ，∀n ∈N *，使得n >x 20 答案 D解析 ∀改写为∃，∃改写为∀，n ≤x 2的否定是n >x 2，则该命题的否定形式为“∃x 0∈R ，∀n ∈N *，使得n >x 20”．故选D.2．以下四个命题中既是特称命题又是真命题的是( ) A ．锐角三角形有一个内角是钝角 B ．至少有一个实数x ，使x 2≤0 C ．两个无理数的和必是无理数 D ．存在一个负数x ，1x>2答案 B解析 A 中锐角三角形的内角都是锐角，所以A 是假命题；B 中当x ＝0时，x 2＝0，满足x 2≤0，所以B 既是特称命题又是真命题；C 中因为2＋(－2)＝0不是无理数，所以C 是假命题；D 中对于任意一个负数x ，都有1x <0，不满足1x>2，所以D 是假命题．3．(2019·西安模拟)设a ，b ∈R ，则“(a －b )a 2<0”是“a <b ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．充要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析由(a －b )a 2<0可知a 2≠0，则一定有a －b <0，即a <b ；但a <b 即a －b <0时，有可能a ＝0，所以(a －b )a 2<0不一定成立，故“(a －b )a 2<0”是“a <b ”的充分不必要条件，故选A. 4．(2019·石家庄模拟)“log 2(2x －3)<1”是“4x>8”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 A解析由log 2(2x －3)<1⇒0<2x －3<2⇒32<x <52，4x >8⇒2x >3⇒x >32，所以“log 2(2x －3)<1”是“4x>8”的充分不必要条件，故选A.5．(2019·天津河西区模拟)设a ∈R ，则“a ＝3”是“直线ax ＋2y ＋3a ＝0和直线3x ＋(a －1)y ＝a －7平行”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 C解析若直线ax ＋2y ＋3a ＝0和直线3x ＋(a －1)y ＝a －7平行，则⎩⎪⎨⎪⎧a (a －1)－6＝0，a (7－a )－9a ≠0，即a ＝3，即“a ＝3”是“直线ax ＋2y ＋3a ＝0和直线3x ＋(a －1)y ＝a －7平行”的充要条件．6．下列命题中，真命题是( ) A ．∃x 0∈R ，0e x ≤0 B ．∀x ∈R,2x >x 2C ．a ＋b ＝0的充要条件是ab＝－1 D ．“a >1，b >1”是“ab >1”的充分条件答案 D解析因为y ＝e x>0，x ∈R 恒成立，所以A 不正确；因为当x ＝－5时，2－5<(－5)2，所以B 不正确；“a b＝－1”是“a ＋b ＝0”的充分不必要条件，C 不正确；当a >1，b >1时，显然ab >1，D 正确．7．已知p ：x ≥k ，q ：(x ＋1)(2－x )<0，如果p 是q 的充分不必要条件，则实数k 的取值范围是( ) A ．[2，＋∞) B ．(2，＋∞) C ．[1，＋∞) D ．(－∞，－1]答案 B解析由q ：(x ＋1)(2－x )<0，得x <－1或x >2，又p 是q 的充分不必要条件，所以k >2，即实数k 的取值范围是(2，＋∞)，故选B.8．若∃x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，使得2x 20－λx 0＋1<0成立是假命题，则实数λ的取值范围是( )A ．(－∞，22]B ．(22，3] C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，92 D ．{3}答案 A解析因为∃x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，使得2x 20－λx 0＋1<0成立是假命题，所以∀x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，2x 2－λx＋1≥0恒成立是真命题，即∀x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，λ≤2x ＋1x 恒成立是真命题，令f (x )＝2x ＋1x ，则f ′(x )＝2－1x 2，当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，22时，f ′(x )<0，当x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤22，2时，f ′(x )>0，所以f (x )≥f ⎝ ⎛⎭⎪⎫22＝22，则λ≤2 2.9．已知f (x )是R 上的奇函数，则“x 1＋x 2＝0”是“f (x 1)＋f (x 2)＝0”的__________条件．(选填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”) 答案充分不必要解析 ∵函数f (x )是奇函数，∴若x 1＋x 2＝0，则x 1＝－x 2，则f (x 1)＝f (－x 2)＝－f (x 2)，即f (x 1)＋f (x 2)＝0成立，即充分性成立；若f (x )＝0，满足f (x )是奇函数，当x 1＝x 2＝2时，满足f (x 1)＝f (x 2)＝0，此时满足f (x 1)＋f (x 2)＝0，但x 1＋x 2＝4≠0，即必要性不成立．故“x 1＋x 2＝0”是“f (x 1)＋f (x 2)＝0”的充分不必要条件．10．若命题“对∀x ∈R ，kx 2－kx －1<0”是真命题，则k 的取值范围是________________．答案 (－4,0]解析 “对∀x ∈R ，kx 2－kx －1<0”是真命题，当k ＝0时，则有－1<0；当k ≠0时，则有k <0且Δ＝(－k )2－4×k ×(－1)＝k 2＋4k <0，解得－4<k <0，综上所述，实数k 的取值范围是(－4,0]．11．已知命题“∃x 0∈R ，使2x 20＋(a －1)x 0＋12≤0”是假命题，则实数a 的取值范围是________．答案 (－1,3)解析原命题的否定为∀x ∈R,2x 2＋(a －1)x ＋12>0，由题意知，其为真命题，即Δ＝(a －1)2－4×2×12<0，则－2<a －1<2，即－1<a <3.12．已知集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪12<2x<8，x ∈R，B ＝{x |－1<x <m ＋1，m ∈R }，若x ∈B 成立的一个充分不必要条件是x ∈A ，则实数m 的取值范围是____________．答案 (2，＋∞)解析因为A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪12<2x<8，x ∈R＝{x |－1<x <3}，x ∈B 成立的一个充分不必要条件是x ∈A ，所以A B ，所以m ＋1>3，即m >2.13．已知α，β∈(0，π)，则“sin α＋sin β<13”是“sin(α＋β)<13”的______________条件．(选填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”) 答案充分不必要解析因为sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β<sin α＋sin β，所以若sin α＋sin β<13，则有sin(α＋β)<13，故充分性成立；当α＝β＝π2时，有sin(α＋β)＝sin π＝0<13，而sin α＋sin β＝1＋1＝2，不满足sin α＋sin β<13，故必要性不成立．所以“sin α＋sin β<13”是“sin(α＋β)<13”的充分不必要条件．14．(2019·山东济南一中月考)已知不等式|x －m |<1成立的充分不必要条件是13<x <12，则m的取值范围是____________．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，43 解析解不等式|x －m |<1，得m －1<x <m ＋1.由题意可得⎝ ⎛⎭⎪⎫13，12(m －1，m ＋1)，故⎩⎪⎨⎪⎧m －1≤13，m ＋1≥12且等号不同时成立，解得－12≤m ≤43.15．已知函数f (x )＝x ＋4x ，g (x )＝2x＋a ，若∀x 1∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1，∀x 2∈[2,3]，f (x 1)≥g (x 2)恒成立，则实数a 的取值范围是______________．答案 (－∞，－3]解析由题意知f (x )min ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1≥g (x )max (x ∈[2,3])，因为f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1上为减函数，g (x )在[2,3]上为增函数，所以f (x )min ＝f (1)＝5，g (x )max ＝g (3)＝8＋a ，所以5≥8＋a ，即a ≤－3.16．已知集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫y ⎪⎪⎪y ＝x 2－32x ＋1，0≤x ≤2，B ＝{x |x ＋m 2≥2}，p ：x ∈A ，q ：x ∈B ，p 是q 的充分条件，则实数m 的取值范围是________________．答案 ⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－54∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫54，＋∞ 解析由y ＝x 2－32x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －342＋716，0≤x ≤2，得716≤y ≤2，∴A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤716，2.又由题意知A ⊆B ， ∴2－m 2≤716，∴m 2≥2516.∴m ≥54或m ≤－54.。

高考数学一轮复习第一章集合与常用逻辑用语第1节集合教学案(含解析)新人教A版-新人教A版高三

五年高考考点统计精准分析高效备考证明直线过定点证明直线过定点线问题线与椭圆的位置关系位置关系轨迹方程义、直线与抛物线质，直线与椭圆位置关系21导数与不等式，证明函数极值点的存在性导数与函数的单调性及函数的零点导数与不等式的综合运用导数与函数的单调性、零点、证不等式导数与函数的单调性、不等式、最值函数与导数的最值、不等式导数的几何意义与函数的零点问题导数与函数的单调性与求最值22极坐标方程与直角坐标参数方程的应用参数方程、极坐标的应用参数方程与极坐标方程互化极坐标方程与参数方程互化参数方程，极坐标方程极坐标方程的应用极坐标方程与求距离23不等式证明解含绝对值的不等式，不等式的综合运用含绝对值不等式的解法及不等式的综合运用解含绝对值的不等式解与证明含绝对值的不等式解含绝对值的不等式，求参数解绝对值不等式及函数的图象不等式的证明与充要条件的判断第1节集合考试要求 1.了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系；能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题；2.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；在具体情境中了解全集与空集的含义；3.理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集；4.理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；5.能使用韦恩(Venn)图表达集合间的基本关系及集合的基本运算.知识梳理1.元素与集合(1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性.(2)元素与集合的关系是属于或不属于，表示符号分别为∈和∉.(3)集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法.2.集合间的基本关系(1)子集：假设对任意x∈A，都有x∈B，那么A⊆B或B⊇A.(2)真子集：假设A⊆B，且集合B中至少有一个元素不属于集合A，那么A B或B A.(3)相等：假设A⊆B，且B⊆A，那么A＝B.(4)空集的性质：是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.3.集合的基本运算集合的并集集合的交集集合的补集符号表示A∪B A∩B假设全集为U，那么集合A的补集为∁U A图形表示集合表示{x|x∈A，或x∈B}{x|x∈A，且x∈B}{x|x∈U，且x∉A}4.集合的运算性质(1)A∩A＝A，A∩＝，A∩B＝B∩A.(2)A∪A＝A，A∪＝A，A∪B＝B∪A.(3)A∩(∁U A)＝，A∪(∁U A)＝U，∁U(∁U A)＝A.[常用结论与微点提醒]1.假设有限集A中有n个元素，那么A的子集有2n个，真子集有2n－1个，非空子集有2n－1个，非空真子集有2n－2个.2.子集的传递性：A ⊆B ，B ⊆C ⇒A ⊆C .3.注意空集：空集是任何集合的子集，是非空集合的真子集，应时刻关注对于空集的讨论.4.A ⊆B ⇔A ∩B ＝A ⇔A ∪B ＝B ⇔∁U A ⊇∁U B .5.∁U (A ∩B )＝(∁U A )∪(∁U B )，∁U (A ∪B )＝(∁U A )∩(∁U B ).诊断自测1.判断以下结论正误(在括号内打“√〞或“×〞) (1)任何一个集合都至少有两个子集.( )(2){x |y ＝x 2＋1}＝{y |y ＝x 2＋1}＝{(x ，y )|y ＝x 2＋1}.( ) (3)假设{x 2，1}＝{0，1}，那么x ＝0，1.( )(4)对于任意两个集合A ，B ，关系(A ∩B )⊆(A ∪B )恒成立.( ) 解析 (1)错误.空集只有一个子集.(2)错误.{x |y ＝x 2＋1}＝R ，{y |y ＝x 2＋1}＝[1，＋∞)，{(x ，y )|y ＝x 2＋1}是抛物线y ＝x 2＋1上的点集.(3)错误.当x ＝1时，不满足集合中元素的互异性. 答案 (1)× (2)× (3)× (4)√2.(新教材必修第一册P9T1(1)改编)假设集合P ＝{x ∈N |x ≤ 2 021}，a ＝22，那么( ) A.a ∈P B.{a }∈P C.{a }⊆P D.a ∉P解析因为a ＝22不是自然数，而集合P 是不大于 2 021的自然数构成的集合，所以a ∉P ，只有D 正确. 答案 D3.(老教材必修1P44A 组T5改编)集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2＝1}，B ＝{(x ，y )|x ，y ∈R 且y ＝x }，那么A ∩B 中元素的个数为________.解析集合A 表示以(0，0)为圆心，1为半径的单位圆上的点，集合B 表示直线y ＝x 上的点，圆x 2＋y 2＝1与直线y ＝x 相交于两点⎝ ⎛⎭⎪⎫22，22，⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，－22，那么A ∩B 中有两个元素. 答案 24.(2019·全国Ⅲ卷)集合A ＝{－1，0，1，2}，B ＝{x |x 2≤1}，那么A ∩B ＝( )A.{－1，0，1}B.{0，1}C.{－1，1}D.{0，1，2}解析因为B ＝{x |x 2≤1|}＝{x |－1≤x ≤1}，又A ＝{－1，0，1，2}，所以A ∩B ＝{－1，0，1}. 答案 A5.(2019·全国Ⅱ卷改编)集合A ＝{x |x 2－5x ＋6>0}，B ＝{x |x －1≥0}，全集U ＝R ，那么A ∩(∁UB )＝( )A.(－∞，1)B.(－2，1)C.(－3，－1)D.(3，＋∞)解析由题意A ＝{x |x <2或x >3}.又B ＝{x |x ≥1}，知∁U B ＝{x |x <1}，∴A ∩(∁U B )＝{x |x <1}. 答案 A6.(2020·某某模拟)设P 和Q 是两个集合，定义集合P －Q ＝{x |x ∈P ，且x ∉Q }，如果P ＝{x |1<2x<4}，Q ＝{y |y ＝2＋sin x ，x ∈R }，那么P －Q ＝( ) A.{x |0<x ≤1} B.{x |0≤x <2} C.{x |1≤x <2} D.{x |0<x <1}解析由题意得P ＝{x |0<x <2}，Q ＝{y |1≤y ≤3}， ∴P －Q ＝{x |0<x <1}. 答案 D考点一集合的基本概念[例1] (1)定义P ⊙Q ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫z |z ＝y x＋xy，x ∈P ，y ∈Q ，P ＝{0，－2}，Q ＝{1，2}，那么P ⊙Q ＝( )A.{1，－1}B.{1，－1，0}C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫1，－1，－34D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，－34(2)设集合A ＝{x |(x －a )2<1}，且2∈A ，3∉A ，那么实数a 的取值X 围为________. 解析 (1)由定义，当x ＝0时，z ＝1，当x ＝－2时，z ＝1－2＋－21＝－1或z ＝2－2－1＝－34.因此P ⊙Q ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫1，－1，－34.(2)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧〔2－a 〕2<1，〔3－a 〕2≥1，解得⎩⎪⎨⎪⎧1<a <3，a ≤2或a ≥4. 所以1<a ≤2.答案 (1)C (2)(1，2]规律方法1.研究集合问题时，首先要明确构成集合的元素是什么，即弄清该集合是数集、点集，还是其他集合；然后再看集合的构成元素满足的限制条件是什么，从而准确把握集合的含义.2.利用集合元素的限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数时，要注意检验集合中的元素是否满足互异性.[训练1] (1)(2018·全国Ⅱ卷)集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2≤3，x ∈Z ，y ∈Z }，那么A 中元素的个数为( ) A.9 B.8 C.5 D.4(2)设A 是整数集的一个非空子集，对于k ∈A ，如果k －1∉A ，且k ＋1∉A ，那么称k 是A 的一个“孤立元〞.给定S ＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，由S 的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元〞的集合共有________个.解析 (1)由题意知A ＝{(－1，0)，(0，0)，(1，0)，(0，－1)，(0，1)，(－1，－1)，(－1，1)，(1，－1)，(1，1)}，故集合A 中共有9个元素.(2)依题意可知，由S 的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元〞时，这三个元素一定是连续的三个整数.∴所求的集合为{1，2，3}，{2，3，4}，{3，4，5}，{4，5，6}，{5，6，7}，{6，7，8}，共6个. 答案 (1)A (2)6 考点二集合间的基本关系[例2] (1)(2019·某某六校联考)集合A ＝{－1，1}，B ＝{x |ax ＋1＝0}.假设B ⊆A ，那么实数a 的所有可能取值的集合为( )A.{－1}B.{1}C.{－1，1}D.{－1，0，1}(2)(2020·某某长郡中学模拟)集合A ＝{x |y ＝log 2(x 2－3x －4)}，B ＝{x |x 2－3mx ＋2m 2<0(m >0)}，假设B ⊆A ，那么实数m 的取值X 围为( ) A.(4，＋∞) B.[4，＋∞) C.(2，＋∞) D.[2，＋∞)解析 (1)当B ＝时，a ＝0，此时，B ⊆A .当B ≠时，那么a ≠0，∴B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝－1a .又B ⊆A ，∴－1a∈A ，∴a ＝±1.综上可知，实数a 所有取值的集合为{－1，0，1}. (2)由x 2－3x －4>0得x <－1或x >4，所以集合A ＝{x |x <－1或x >4}. 由x 2－3mx ＋2m 2<0(m >0)得m <x <2m . 又B ⊆A ，所以2m ≤－1(舍去)或m ≥4. 答案 (1)D (2)B规律方法 1.假设B ⊆A ，应分B ＝∅和B ≠∅两种情况讨论.2.两个集合间的关系求参数时，关键是将两个集合间的关系转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数满足的关系.解决这类问题常常要合理利用数轴、Venn 图，化抽象为直观进行求解.确定参数所满足的条件时，一定要把端点值代入进行验证，否那么易增解或漏解. [训练2] (1)假设集合M ＝{x ||x |≤1}，N ＝{y |y ＝x 2，|x |≤1}，那么( ) A.M ＝N B.M ⊆N C.M ∩N ＝D.N ⊆M(2)(2020·武昌调研)集合A ＝{x |log 2(x －1)<1}，B ＝{x ||x －a |<2}，假设A ⊆B ，那么实数a 的取值X 围为( ) A.(1，3) B.[1，3] C.[1，＋∞) D.(－∞，3]解析 (1)易知M ＝{x |－1≤x ≤1}，N ＝{y |y ＝x 2，|x |≤1}＝{y |0≤y ≤1}，∴N ⊆M . (2)由log 2(x －1)<1，得0<x －1<2，所以A ＝(1，3). 由|x －a |<2得a －2<x <a ＋2，即B ＝(a －2，a ＋2).因为A ⊆B ，所以⎩⎪⎨⎪⎧a －2≤1，a ＋2≥3，解得1≤a ≤3.所以实数a 的取值X 围为[1，3]. 答案 (1)D (2)B 考点三集合的运算多维探究角度1 集合的基本运算[例3－1] (1)(2019·全国Ⅰ卷)集合U ＝{1，2，3，4，5，6，7}，A ＝{2，3，4，5}，B ＝{2，3，6，7}，那么B ∩(∁U A )＝( )A.{1，6}B.{1，7}C.{6，7}D.{1，6，7}(2)(2020·某某模拟)全集U＝R，集合A＝{x|x－4≤0}，B＝{x|ln x<2}，那么∁U(A∩B)＝( )A.{x|x>4}B.{x|x≤0或x>4}C.{x|0<x≤4}D.{x|x<4或x≥e2}解析(1)由题意知∁U A＝{1，6，7}.又B＝{2，3，6，7}，∴B∩(∁U A)＝{6，7}.(2)易知A＝{x|x≤4}，B＝{x|0<x<e2}，那么A∩B＝{x|0<x≤4}，故∁U(A∩B)＝{x|x≤0或x>4}. 答案(1)C (2)B角度2 抽象集合的运算[例3－2] 设U为全集，A，B是其两个子集，那么“存在集合C，使得A⊆C，B⊆∁U C〞是“A∩B ＝〞的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析由图可知，假设“存在集合C，使得A⊆C，B⊆∁U C〞，那么一定有“A∩B＝〞；反过来，假设“A∩B＝〞，那么一定能找到集合C，使A⊆C且B⊆∁U C.答案 C规律方法 1.进行集合运算时，首先看集合能否化简，能化简的先化简，再研究其关系并进行运算.2.数形结合思想的应用：(1)离散型数集或抽象集合间的运算，常借助Venn图求解；(2)连续型数集的运算，常借助数轴求解，运用数轴时要特别注意端点是实心还是空心.[训练3] (1)(角度1)(2018·某某卷)设全集为R，集合A＝{x|0<x<2}，B＝{x|x≥1}，那么A∩(∁R B)＝( )A.{x|0<x≤1}B.{x|0<x<1}C.{x|1≤x<2}D.{x|0<x<2}(2)(角度1)集合A＝{x|x2－x≤0}，B＝{x|a－1≤x<a}，假设A∩B只有一个元素，那么a＝( )A.0B.1C.2D.1或2(3)(角度2)假设全集U＝{－2，－1，0，1，2}，A＝{－2，2}，B＝{x|x2－1＝0}，那么图中阴影部分所表示的集合为( )A.{－1，0，1}B.{－1，0}C.{－1，1}D.{0}解析(1)因为B＝{x|x≥1}，所以∁R B＝{x|x<1}，又A＝{x|0<x<2}，所以A∩(∁R B)＝{x|0<x<1}.(2)易知A＝[0，1]，且A∩B只有一个元素，因此a－1＝1，解得a＝2.(3)B＝{x|x2－1＝0}＝{－1，1}，阴影部分所表示的集合为∁U(A∪B).又A∪B＝{－2，－1，1，2}，全集U＝{－2，－1，0，1，2}，所以∁U(A∪B)＝{0}.答案(1)B (2)C (3)DA级基础巩固一、选择题1.(2019·全国Ⅰ卷)集合M＝{x|－4<x<2}，N＝{x|x2－x－6<0}，那么M∩N＝( )A.{x|－4<x<3}B.{x|－4<x<－2}C.{x|－2<x<2}D.{x|2<x<3}解析M＝{x|－4<x<2}，N＝{x|－2<x<3}，∴M∩N＝{x|－2<x<2}.答案 C2.(2019·某某卷)全集U＝{－1，0，1，2，3}，集合A＝{0，1，2}，B＝{－1，0，1}，那么(∁U A)∩B＝( )A.{－1}B.{0，1}C.{－1，2，3}D.{－1，0，1，3}解析由题意，得∁U A＝{－1，3}，∴(∁U A)∩B＝{－1}.答案 A3.(2020·某某测试)集合A＝{1，2，3，4}，B＝{y|y＝2x－3，x∈A}，那么集合A∩B的子集个数为( ) A.1 B.2 C.4 D.8解析由题意，得B ＝{－1，1，3，5}，∴A ∩B ＝{1，3}. 故集合A ∩B 的子集个数为22＝4. 答案 C4.设集合M ＝{x |x 2－x >0}，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪1x<1，那么( )A.M NB.N MC.M ＝ND.M ∪N ＝R解析集合M ＝{x |x 2－x >0}＝{x |x >1或x <0}，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪1x<1＝{x |x >1或x <0}，所以M ＝N .答案 C5.设集合A ＝{x |－1<x ≤2}，B ＝{x |x <0}，那么以下结论正确的选项是( ) A.(∁R A )∩B ＝{x |x <－1} B.A ∩B ＝{x |－1<x <0} C.A ∪(∁R B )＝{x |x ≥0} D.A ∪B ＝{x |x <0}解析易求∁R A ＝{x |x ≤－1或x >2}，∁R B ＝{x |x ≥0}， ∴(∁R A )∩B ＝{x |x ≤－1}，A 项不正确.A ∩B ＝{x |－1<x <0}，B 项正确，检验C 、D 错误.答案 B6.集合M ＝{x |y ＝x －1}，N ＝{x |y ＝log 2(2－x )}，那么∁R (M ∩N )＝( ) A.[1，2) B.(－∞，1)∪[2，＋∞) C.[0，1] D.(－∞，0)∪[2，＋∞)解析由题意可得M ＝{x |x ≥1}，N ＝{x |x <2}，∴M ∩N ＝{x |1≤x <2}，∴∁R (M ∩N )＝{x |x <1或x ≥2}.答案 B7.(2020·日照一中月考)A ＝[1，＋∞)，B ＝[0，3a －1]，假设A ∩B ≠∅，那么实数a 的取值X 围是( )A.[1，＋∞)B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞D.(1，＋∞) 解析由题意可得3a －1≥1，解得a ≥23，∴实数a 的取值X 围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞.答案 C8.设集合A ＝{(x ，y )|x ＋y ＝1}，B ＝{(x ，y )|x －y ＝3}，那么满足M ⊆(A ∩B )的集合M 的个数是( )A.0B.1C.2D.3 解析由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1，x －y ＝3，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－1，∴A ∩B ＝{(2，－1)}.由M ⊆(A ∩B )，知M ＝∅或M ＝{(2，－1)}. 答案 C 二、填空题9.(2019·某某卷)集合A ＝{－1，0，1，6}，B ＝{x |x >0，x ∈R }，那么A ∩B ＝________. 解析由交集定义可得A ∩B ＝{1，6}. 答案 {1，6}10.集合A ＝{1，3，4，7}，B ＝{x |x ＝2k ＋1，k ∈A }，那么集合A ∪B 中元素的个数为________. 解析由得B ＝{3，7，9，15}，所以A ∪B ＝{1，3，4，7，9，15}，故集合A ∪B 中元素的个数为6. 答案 611.集合A ＝{x |x 2－5x －14≤0}，集合B ＝{x |m ＋1<x <2m －1}，假设B ⊆A ，那么实数m 的取值X 围为________.解析 A ＝{x |x 2－5x －14≤0}＝{x |－2≤x ≤7}. 当B ＝∅时，有m ＋1≥2m －1，那么m ≤2. 当B ≠∅时，假设B ⊆A ，如图.那么⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≥－2，2m －1≤7，m ＋1<2m －1，解得2<m ≤4.综上，m 的取值X 围为(－∞，4]. 答案 (－∞，4]12.假设全集U ＝R ，集合A ＝{x |x 2－x －2≥0}，B ＝{x |log 3(2－x )≤1}，那么A ∩(∁U B )＝________.解析由题意，得集合A ＝{x |x 2－x －2≥0}＝{x |x ≤－1或x ≥2}，因为log 3(2－x )≤1＝log 33，所以0<2－x ≤3，解得－1≤x <2，所以B ＝{x |－1≤x <2}，从而∁U B ＝{x |x <－1或x ≥2}，故A ∩(∁U B )＝{x |x <－1或x ≥2}. 答案 {x |x <－1或x ≥2}B 级能力提升13.(2020·某某检测)集合A ＝{x |x 2－16<0}，B ＝{x |3x 2＋6x ＝1}，那么( ) A.A ∪B ＝B.B ⊆AC.A ∩B ＝{0}D.A ⊆B解析由题意，得A ＝{x |x 2－16<0}＝{x |－4<x <4}，B ＝{x |3x 2＋6x ＝1}＝{0，－6}，A ∪B ＝{x |x ＝－6或－4<x <4}，A ∩B ＝{0}，故A 错误，显然B 、D 错误，故C 正确. 答案 C14.集合A ＝{x |y ＝4－x 2}，B ＝{x |a ≤x ≤a ＋1}，假设A ∪B ＝A ，那么实数a 的取值X 围为( )A.(－∞，－3]∪[2，＋∞)B.[－1，2]C.[－2，1]D.[2，＋∞)解析集合A ＝{x |y ＝4－x 2}＝{x |－2≤x ≤2}，因A ∪B ＝A ，那么B ⊆A . 又B ≠，所以有⎩⎪⎨⎪⎧a ≥－2，a ＋1≤2，所以－2≤a ≤1.答案C15.(多填题)集合A ＝{x ∈R ||x ＋2|<3}，集合B ＝{x ∈R |(x －m )(x －2)<0}，且A ∩B ＝(－1，n )，那么m ＝________，n ＝________.解析 A ＝{x ∈R ||x ＋2|<3}＝{x ∈R |－5<x <1}，由A ∩B ＝(－1，n )，可知m <1，那么B＝{x|m<x<2}，画出数轴，可得m＝－1，n＝1.答案－1 116.集合U＝R，A＝{x|x2－x－2<0}，B＝{x|y＝ln(1－x)}，那么图中阴影部分所表示的集合是________.解析易知A＝(－1，2)，B＝(－∞，1)，∴∁U B＝[1，＋∞)，A∩(∁U B)＝[1，2).因此阴影部分表示的集合为A∩(∁U B)＝{x|1≤x<2}.答案[1，2)C级创新猜想17.(多填题)对于任意两集合A，B，定义A－B＝{x|x∈A且x∉B}，A*B＝(A－B)∪(B－A)，记A＝{y|y≥0}，B＝{x|y＝lg(9－x2)}，那么B－A＝________，A*B＝________.解析由题意，得A＝{y|y≥0}，B＝{x|－3<x<3}，∴A－B＝{x|x≥3}，B－A＝{x|－3<x<0}.因此A*B＝{x|x≥3}∪{x|－3<x<0}＝{x|－3<x<0或x≥3}.答案{x|－3<x<0} {x|－3<x<0或x≥3}。

书稿：高考数学一轮复习教案word文档(文),第一章集合与常用逻辑用语

§1.1集合的概念与运算【高考会这样考】 1.考查集合中元素的互异性，以集合中含参数的元素为背景，探求参数的值；2.求几个集合的交、并、补集；3.通过集合中的新定义问题考查创新能力．【复习备考要这样做】 1.注意分类讨论，重视空集的特殊性；2.会利用Venn图、数轴等工具对集合进行运算；3.重视对集合中新定义问题的理解．1．集合与元素(1)集合元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．(2)元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号∈或∉表示．(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法．(4)常见数集的记法2.(1)子集：对任意的x∈A，都有x∈B，则A⊆B(或B⊇A)．(2)真子集：若A⊆B，且A≠B，则A B(或B A)．(3)空集：空集是任意一个集合的子集，是任何非空集合的真子集．即∅⊆A，∅B(B≠∅)．(4)若A含有n个元素，则A的子集有2n个，A的非空子集有2n－1个．(5)集合相等：若A⊆B，且B⊆A，则A＝B.3．集合的运算A∪B＝{x|x∈A或A∩B＝{x|x∈A且∁A＝{x|x∈U，且x∉4.并集的性质：A∪∅＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A⇔B⊆A.交集的性质：A∩∅＝∅；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A⇔A⊆B.补集的性质：A∪(∁U A)＝U；A∩(∁U A)＝∅；∁U(∁U A)＝A.[难点正本疑点清源]1．正确理解集合的概念正确理解集合的有关概念，特别是集合中元素的三个特征，尤其是“确定性和互异性”在解题中要注意运用．在解决含参数问题时，要注意检验，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致结论错误．2．注意空集的特殊性空集是不含任何元素的集合，空集是任何集合的子集．在解题时，若未明确说明集合非空时，要考虑到集合为空集的可能性．例如：A⊆B，则需考虑A＝∅和A≠∅两种可能的情况．3．正确区分∅，{0}，{∅}∅是不含任何元素的集合，即空集．{0}是含有一个元素0的集合，它不是空集，因为它有一个元素，这个元素是0.{∅}是含有一个元素∅的集合．∅⊆{0}，∅⊆{∅}，∅∈{∅}，{0}∩{∅}＝∅.1．(·江苏)已知集合A＝{1,2,4}，B＝{2,4,6}，则A∪B＝________.答案{1,2,4,6}解析A∪B是由A，B的所有元素组成的．A∪B＝{1,2,4,6}．2．已知集合A＝{x|a－1≤x≤1＋a}，B＝{x|x2－5x＋4≥0}，若A∩B＝∅，则实数a的取值范围是________．答案 (2,3)解析集合B 中，x 2－5x ＋4≥0，∴x ≥4或x ≤1. 又∵集合A 中a －1≤x ≤1＋a .∵A ∩B ＝∅，∴a ＋1<4且a －1>1，∴2<a <3.3．已知集合A ＝{－1,2}，B ＝{x |mx ＋1＝0}，若A ∪B ＝A ，则m 的可能取值组成的集合为________．答案 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，1，－12解析 ∵A ∪B ＝A ，∴B ⊆A ， ∴当B ＝∅时，m ＝0；当－1∈B 时，m ＝1；当2∈B 时，m ＝－12.∴m 的值为0,1，－12.4． (·江西)若集合A ＝{－1,1}，B ＝{0,2}，则集合{z |z ＝x ＋y ，x ∈A ，y ∈B }中的元素的个数为( )A ．5B ．4C ．3D ．2答案 C解析当x ＝－1，y ＝0时，z ＝x ＋y ＝－1；当x ＝1，y ＝0时，z ＝x ＋y ＝1；当x ＝－1，y ＝2时，z ＝x ＋y ＝1；当x ＝1，y ＝2时，z ＝x ＋y ＝3，由集合中元素的互异性可知集合{z |z ＝x ＋y ，x ∈A ，y ∈B }＝{－1,1,3}，即元素的个数为3.5． (·北京)已知集合P ＝{x |x 2≤1}，M ＝{a }．若P ∪M ＝P ，则a 的取值范围为( )A ．(－∞，－1]B ．[1，＋∞)C ．[－1,1]D ．(－∞，－1]∪[1，＋∞)答案 C解析由P ＝{x |x 2≤1}得P ＝{x |－1≤x ≤1}．由P ∪M ＝P 得M ⊆P .又M ＝{a }，∴－1≤a ≤1.题型一集合的基本概念例1 (1)下列集合中表示同一集合的是( )A ．M ＝{(3,2)}，N ＝{(2,3)}B ．M ＝{2,3}，N ＝{3,2}C ．M ＝{(x ，y )|x ＋y ＝1}，N ＝{y |x ＋y ＝1}D ．M ＝{2,3}，N ＝{(2,3)}(2)设a ，b ∈R ，集合{1，a ＋b ，a }＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，b a ，b ，则b －a ＝________.思维启迪：解决集合问题首先要考虑集合的“三性”：确定性、互异性、无序性，理解集合中元素的特征．答案 (1)B (2)2解析 (1)选项A 中的集合M 表示由点(3,2)所组成的单点集，集合N 表示由点(2,3)所组成的单点集，故集合M 与N 不是同一个集合．选项C 中的集合M 表示由直线x ＋y ＝1上的所有的点组成的集合，集合N 表示由直线x ＋y ＝1上的所有的点的纵坐标组成的集合，即N ＝{y |x ＋y ＝1}＝R ，故集合M 与N 不是同一个集合．选项D 中的集合M 有两个元素，而集合N 只含有一个元素，故集合M 与N 不是同一个集合．对选项B ，由集合元素的无序性，可知M ，N 表示同一个集合． (2)因为{1，a ＋b ，a }＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，b a ，b ，a ≠0，所以a ＋b ＝0，得ba ＝－1，所以a ＝－1，b ＝1.所以b －a ＝2.探究提高 (1)用描述法表示集合时要把握元素的特征，分清点集、数集；(2)要特别注意集合中元素的互异性，在解题过程中最容易被忽视，因此要对计算结果进行检验，防止所得结果违背集合中元素的互异性．若集合A ＝{x |ax 2－3x ＋2＝0}的子集只有两个，则实数a ＝________.答案 0或98解析 ∵集合A 的子集只有两个，∴A 中只有一个元素．当a ＝0时，x ＝23符合要求．当a ≠0时，Δ＝(－3)2－4a ×2＝0，∴a ＝98.故a ＝0或98.题型二集合间的基本关系例2 已知集合A ＝{x |－2≤x ≤7}，B ＝{x |m ＋1<x <2m －1}，若B ⊆A ，求实数m 的取值范围．思维启迪：若B ⊆A ，则B ＝∅或B ≠∅，要分两种情况讨论．解当B ＝∅时，有m ＋1≥2m －1，则m ≤2. 当B ≠∅时，若B ⊆A ，如图．则⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≥－22m －1≤7m ＋1<2m －1，解得2<m ≤4.综上，m 的取值范围为m ≤4.探究提高 (1)集合中元素的互异性，可以作为解题的依据和突破口；(2)对于数集关系问题，往往利用数轴进行分析；(3)对含参数的方程或不等式求解，要对参数进行分类讨论．已知集合A ＝{x |log 2x ≤2}，B ＝(－∞，a )，若A ⊆B ，则实数a 的取值范围是(c ，＋∞)，其中c ＝________. 答案 4解析由log 2x ≤2，得0<x ≤4，即A ＝{x |0<x ≤4}，而B ＝(－∞，a )，由于A ⊆B ，如图所示，则a >4，即c ＝4.题型三集合的基本运算例3 设U ＝R ，集合A ＝{x |x 2＋3x ＋2＝0}，B ＝{x |x 2＋(m ＋1)x ＋m ＝0}．若(∁U A )∩B ＝∅，则m 的值是________．思维启迪：本题中的集合A ，B 均是一元二次方程的解集，其中集合B 中的一元二次方程含有不确定的参数m ，需要对这个参数进行分类讨论，同时需要根据(∁U A )∩B ＝∅对集合A ，B 的关系进行转化．答案 1或2解析 A ＝{－2，－1}，由(∁U A )∩B ＝∅，得B ⊆A ，∵方程x 2＋(m ＋1)x ＋m ＝0的判别式Δ＝(m ＋1)2－4m ＝(m －1)2≥0，∴B ≠∅. ∴B ＝{－1}或B ＝{－2}或B ＝{－1，－2}． ①若B ＝{－1}，则m ＝1；②若B ＝{－2}，则应有－(m ＋1)＝(－2)＋(－2)＝－4，且m ＝(－2)·(－2)＝4，这两式不能同时成立，∴B ≠{－2}；③若B ＝{－1，－2}，则应有－(m ＋1)＝(－1)＋(－2)＝－3，且m ＝(－1)·(－2)＝2，由这两式得m ＝2.经检验知m ＝1和m ＝2符合条件． ∴m ＝1或2.探究提高本题的主要难点有两个：一是集合A ，B 之间关系的确定；二是对集合B 中方程的分类求解．集合的交、并、补运算和集合的包含关系存在着一些必然的联系，这些联系通过V enn 图进行直观的分析不难找出来，如A ∪B ＝A ⇔B ⊆A ，(∁U A )∩B ＝∅⇔B ⊆A 等，在解题中碰到这种情况时要善于转化，这是破解这类难点的一种极为有效的方法．设全集是实数集R ，A ＝{x |2x 2－7x ＋3≤0}，B ＝{x |x 2＋a <0}．(1)当a ＝－4时，求A ∩B 和A ∪B ； (2)若(∁R A )∩B ＝B ，求实数a 的取值范围．解 (1)∵A ＝{x |12≤x ≤3}，当a ＝－4时，B ＝{x |－2<x <2}，∴A ∩B ＝{x |12≤x <2}，A ∪B ＝{x |－2<x ≤3}．(2)∁R A ＝{x |x <12或x >3}，当(∁R A )∩B ＝B 时，B ⊆∁R A ，即A ∩B ＝∅. ①当B ＝∅，即a ≥0时，满足B ⊆∁R A ； ②当B ≠∅，即a <0时，B ＝{x |－－a <x <－a }，要使B ⊆∁R A ，需－a ≤12，解得－14≤a <0.综上可得，实数a 的取值范围是a ≥－14.题型四集合中的新定义问题例4 (·广东)设S 是整数集Z 的非空子集，如果∀a ，b ∈S ，有ab ∈S ，则称S 关于数的乘法是封闭的．若T ，V 是Z 的两个不相交的非空子集，T ∪V ＝Z ，且∀a ，b ，c ∈T ，有abc ∈T ；∀x ，y ，z ∈V ，有xyz ∈V ，则下列结论恒成立的是( )A ．T ，V 中至少有一个关于乘法是封闭的B ．T ，V 中至多有一个关于乘法是封闭的C ．T ，V 中有且只有一个关于乘法是封闭的D ．T ，V 中每一个关于乘法都是封闭的思维启迪：本题是一道新定义问题试题，较为抽象，题意难以理解，但若“以退为进”，取一些特殊的数集代入检验，即可解决．答案 A解析不妨设1∈T ，则对于∀a ，b ∈T ，∵∀a ，b ，c ∈T ，都有abc ∈T ，不妨令c ＝1，则ab ∈T ，故T 关于乘法是封闭的，故T 、V 中至少有一个关于乘法是封闭的；若T 为偶数集，V 为奇数集，则它们符合题意，且均是关于乘法是封闭的，从而B 、C 错误；若T 为非负整数集，V 为负整数集，显然T 、V 是Z 的两个不相交的非空子集，T ∪V ＝Z ，且∀a ，b ，c ∈T ，有abc ∈T ，∀x ，y ，z ∈V ，有xyz ∈V ，但是对于∀x ，y ∈V ，有xy >0，xy ∉V ，D 错误．故选A.探究提高本题旨在考查我们接受和处理新信息的能力，解题时要充分理解题目的含义，进行全面分析，灵活处理．已知集合S ＝{0,1,2,3,4,5}，A 是S 的一个子集，当x ∈A 时，若有x －1∉A ，且x ＋1∉A ，则称x 为A 的一个“孤立元素”，那么S 中无“孤立元素”的4个元素的子集共有________个．答案 6解析由成对的相邻元素组成的四元子集都没有“孤立元素”，如{0,1,2,3}，{0,1,3,4}，{0,1,4,5}，{1,2,3,4}，{1,2,4,5}，{2,3,4,5}，这样的集合共有6个．集合中元素特征认识不明致误典例：(5分)(·课标全国)已知集合A＝{1,2,3,4,5}，B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x－y∈A}，则B 中所含元素的个数为()A．3B．6C．8D．10易错分析本题属于创新型的概念理解题，准确地理解集合B是解决本题的关键，该题解题过程易出错的原因有两个，一是误以为集合B中的元素(x，y)不是有序数对，而是无序的两个数值；二是对于集合B的元素的性质中的“x∈A，y∈A，x－y∈A”，只关注“x∈A，y∈A”，而忽视“x－y∈A”的限制条件导致错解．解析∵B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x－y∈A}，A＝{1,2,3,4,5}，∴x＝2，y＝1；x＝3，y＝1,2；x＝4，y＝1,2,3；x＝5，y＝1,2,3,4.∴B＝{(2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)}，∴B中所含元素的个数为10.答案 D温馨提醒判断集合中元素的性质时要注意两个方面：一是要注意集合中代表元素的字母符号，区分x、y、(x，y)；二是准确把握元素所具有的性质特征，如集合{x|y＝f(x)}表示函数y＝f(x)的定义域，{y|y＝f(x)}表示函数y＝f(x)的值域，{(x，y)|y＝f(x)}表示函数y＝f(x)图象上的点．遗忘空集致误典例：(4分)若集合P＝{x|x2＋x－6＝0}，S＝{x|ax＋1＝0}，且S⊆P，则由a的可取值组成的集合为__________．易错分析从集合的关系看，S⊆P，则S＝∅或S≠∅，易遗忘S＝∅的情况．解析(1)P＝{－3,2}．当a＝0时，S＝∅，满足S⊆P；当a ≠0时，方程ax ＋1＝0的解集为x ＝－1a ，为满足S ⊆P 可使－1a ＝－3或－1a ＝2，即a ＝13或a ＝－12.故所求集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，13，－12.答案 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，13，－12温馨提醒 (1)根据集合间的关系求参数是高考的一个重点内容．解答此类问题的关键是抓住集合间的关系以及集合元素的特征．(2)在解答本题时，存在两个典型错误．一是忽略对空集的讨论，如S ＝∅时，a ＝0；二是易忽略对字母的讨论．如－1a 可以为－3或2.因此，在解答此类问题时，一定要注意分类讨论，避免漏解.方法与技巧1．集合中的元素的三个特征，特别是无序性和互异性在解题时经常用到．解题后要进行检验，要重视符号语言与文字语言之间的相互转化．2．对连续数集间的运算，借助数轴的直观性，进行合理转化；对已知连续数集间的关系，求其中参数的取值范围时，要注意单独考察等号．3．对离散的数集间的运算，或抽象集合间的运算，可借助Venn 图．这是数形结合思想的又一体现．失误与防范1．空集在解题时有特殊地位，它是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，时刻关注对空集的讨论，防止漏解．2．解题时注意区分两大关系：一是元素与集合的从属关系；二是集合与集合的包含关系． 3．解答集合题目，认清集合元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解的两个先决条件．4． V enn 图图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补运算的常用方法，其中运用数轴图示法要特别注意端点是实心还是空心．5．要注意A ⊆B 、A ∩B ＝A 、A ∪B ＝B 、∁U A ⊇∁U B 、A ∩(∁U B )＝∅这五个关系式的等价性．A 组专项基础训练(时间：35分钟，满分：57分)一、选择题(每小题5分，共20分)1． (·广东)设集合U ＝{1,2,3,4,5,6}，M ＝{1,2,4}，则∁U M 等于( )A ．UB ．{1,3,5}C ．{3,5,6}D ．{2,4,6} 答案 C解析 ∵U ＝{1,2,3,4,5,6}，M ＝{1,2,4}，∴∁U M ＝{3,5,6}．2． (·课标全国)已知集合M ＝{0,1,2,3,4}，N ＝{1,3,5}，P ＝M ∩N ，则P 的子集共有( )A ．2个B ．4个C ．6个D ．8个答案 B解析 ∵M ＝{0,1,2,3,4}，N ＝{1,3,5}，∴M ∩N ＝{1,3}． ∴M ∩N 的子集共有22＝4个．3． (·山东)已知全集U ＝{0,1,2,3,4}，集合A ＝{1,2,3}，B ＝{2,4}，则(∁U A )∪B 为 ( )A ．{1,2,4}B ．{2,3,4}C ．{0,2,4}D ．{0,2,3,4}答案 C解析 ∵∁U A ＝{0,4}，B ＝{2,4}，∴(∁U A )∪B ＝{0,2,4}． 4．已知集合M ＝{x |xx －1≥0，x ∈R }，N ＝{y |y ＝3x 2＋1，x ∈R }，则M ∩N 等于 ( ) A ．∅B ．{x |x ≥1}C ．{x |x >1}D ．{x |x ≥1或x <0}答案 C解析由xx －1≥0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ≠1，x (x －1)≥0，∴x >1或x ≤0，∴M ＝{x |x >1或x ≤0}，N ＝{y |y ≥1}， M ∩N ＝{x |x >1}．二、填空题(每小题5分，共15分)5．已知集合A ＝{1,3，a }，B ＝{1，a 2－a ＋1}，且B ⊆A ，则a ＝__________.答案－1或2解析由a 2－a ＋1＝3，得a ＝－1或a ＝2，经检验符合．由a 2－a ＋1＝a ，得a ＝1，由于集合中不能有相同元素，所以舍去．故a ＝－1或2.6．已知集合A ＝{(0,1)，(1,1)，(－1，2)}，B ＝{(x ，y )|x ＋y －1＝0，x ，y ∈Z }，则A ∩B ＝_________.答案 {(0,1)，(－1,2)}解析 A 、B 都表示点集，A ∩B 即是由A 中在直线x ＋y －1＝0上的所有点组成的集合，代入验证即可．7． (·天津)已知集合A ＝{x ∈R ||x ＋2|<3}，集合B ＝{x ∈R |(x －m )(x －2)<0}，且A ∩B ＝(－1，n )，则m ＝________，n ＝________. 答案－1 1解析 A ＝{x |－5<x <1}，因为A ∩B ＝{x |－1<x <n }， B ＝{x |(x －m )(x －2)<0}，所以m ＝－1，n ＝1. 三、解答题(共22分)8． (10分)已知集合A ＝{x |x 2－2x －3≤0}，B ＝{x |x 2－2mx ＋m 2－4≤0，x ∈R ，m ∈R }．(1)若A ∩B ＝[0,3]，求实数m 的值； (2)若A ⊆∁R B ，求实数m 的取值范围．解由已知得A ＝{x |－1≤x ≤3}， B ＝{x |m －2≤x ≤m ＋2}．(1)∵A ∩B ＝[0,3]，∴⎩⎪⎨⎪⎧m －2＝0，m ＋2≥3.∴m ＝2.(2)∁R B ＝{x |x <m －2或x >m ＋2}，∵A ⊆∁R B ， ∴m －2>3或m ＋2<－1，即m >5或m <－3.9． (12分)设符号@是数集A 中的一种运算：如果对于任意的x ，y ∈A ，都有x @y ＝xy ∈A ，则称运算@对集合A 是封闭的．设A ＝{x |x ＝m ＋2n ，m 、n ∈Z }，判断A 对通常的实数的乘法运算是否封闭？解设x ＝m 1＋2n 1，y ＝m 2＋2n 2，那么xy ＝(m 1＋2n 1)×(m 2＋2n 2)＝(m 1n 2＋m 2n 1)2＋m 1m 2＋2n 1n 2.令m ＝m 1m 2＋2n 1n 2，n ＝m 1n 2＋m 2n 1，则xy ＝m ＋2n ，由于m 1，n 1，m 2，n 2∈R ，所以m ，n ∈R . 故A 对通常的实数的乘法运算是封闭的．B 组专项能力提升(时间：25分钟，满分：43分)一、选择题(每小题5分，共15分)1． (·湖北)已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0，x ∈R }，B ＝{x |0<x <5，x ∈N }，则满足条件A ⊆C⊆B 的集合C 的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 答案 D解析用列举法表示集合A ，B ，根据集合关系求出集合C 的个数．由x 2－3x ＋2＝0得x ＝1或x ＝2，∴A ＝{1,2}．由题意知B ＝{1,2,3,4}，∴满足条件的C 可为{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}． 2． (·安徽)设集合A ＝{1,2,3,4,5,6}，B ＝{4,5,6,7,8}，则满足S ⊆A 且S ∩B ≠∅的集合S 的个数是( )A ．57B ．56C ．49D ．8 答案 B解析由S ⊆A 知S 是A 的子集，又∵A ＝{1,2,3,4,5,6}，∴满足条件S ⊆A 的S 共有26＝64(种)可能．又∵S ∩B ≠∅，B ＝{4,5,6,7,8}，∴S 中必含4,5,6中至少一个元素，而在满足S ⊆A 的所有子集S 中，不含4,5,6的子集共有23＝8(种)，∴满足题意的集合S 的可能个数为64－8＝56.3． (·湖北)已知U ＝{y |y ＝log 2x ，x >1}，P ＝{y |y ＝1x，x >2}，则∁U P 等于( )A.⎣⎡⎭⎫12，＋∞B.⎝⎛⎭⎫0，12 C ．(0，＋∞)D ．(－∞，0]∪⎣⎡⎭⎫12，＋∞答案 A解析 ∵U ＝{y |y ＝log 2x ，x >1}＝{y |y >0}，P＝{y|y＝1x，x>2}＝{y|0<y<12}，∴∁U P＝{y|y≥12}＝⎣⎡⎭⎫12，＋∞.二、填空题(每小题5分，共15分)4．(·陕西改编)集合M＝{x|lg x>0}，N＝{x|x2≤4}，则M∩N＝____________.答案(1,2]解析M＝{x|lg x>0}＝{x|x>1}，N＝{x|x2≤4}＝{x|－2≤x≤2}，∴M∩N＝{x|x>1}∩{x|－2≤x≤2}＝{x|1<x≤2}．5．已知M ＝{(x ，y )|y －3x －2＝a ＋1}，N ＝{(x ，y )|(a 2－1)x ＋(a －1)y ＝15}，若M ∩N ＝∅，则a的值为____________．答案 1，－1，52，－4解析集合M 表示挖去点(2,3)的直线，集合N 表示一条直线，因此由M ∩N ＝∅知，点(2,3)在集合N 所表示的直线上或两直线平行，由此求得a 的值为1，－1，52，－4.6．设A ＝{x ||x |≤3}，B ＝{y |y ＝－x 2＋t }，若A ∩B ＝∅，则实数t 的取值范围是__________．答案 (－∞，－3)解析 A ＝{x |－3≤x ≤3}，B ＝{y |y ≤t }，由A ∩B ＝∅知，t <－3. 三、解答题7． (13分)已知集合A ＝{y |y 2－(a 2＋a ＋1)y ＋a (a 2＋1)>0}，B ＝{y |y ＝12x 2－x ＋52，0≤x ≤3}．(1)若A ∩B ＝∅，求a 的取值范围；(2)当a 取使不等式x 2＋1≥ax 恒成立的a 的最小值时，求(∁R A )∩B . 解 A ＝{y |y <a 或y >a 2＋1}，B ＝{y |2≤y ≤4}．(1)当A ∩B ＝∅时，⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋1≥4，a ≤2，∴3≤a ≤2或a ≤－ 3.(2)由x 2＋1≥ax ，得x 2－ax ＋1≥0，依题意Δ＝a 2－4≤0，∴－2≤a ≤2. ∴a 的最小值为－2.当a ＝－2时，A ＝{y |y <－2或y >5}．∴∁R A ＝{y |－2≤y ≤5}，∴(∁R A )∩B ＝{y |2≤y ≤4}．§1.2 命题及其关系、充分条件与必要条件高考会这样考 1.考查四种命题的意义及相互关系；2.考查对充分条件、必要条件、充要条件等概念的理解，主要以客观题的形式出现；3.在解答题中考查命题或充分条件与必要条件．复习备考要这样做 1.在解与命题有关的问题时，要理解命题的含义，准确地分清命题的条件与结论；2.注意条件之间关系的方向性、充分条件与必要条件方向正好相反；3.注意等价命题的应用．1．命题的概念在数学中把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题．2．四种命题及相互关系3．四种命题的真假关系(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；(2)两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系．4．充分条件与必要条件(1)如果p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；(2)如果p⇒q，q⇒p，则p是q的充要条件．[难点正本疑点清源]1．等价命题和等价转化(1)逆命题与否命题互为逆否命题；(2)互为逆否命题的两个命题同真假；(3)当判断原命题的真假比较困难时，可以转化为判断它的逆否命题的真假．2．集合与充要条件设集合A＝{x|x满足条件p}，B＝{x|x满足条件q}，则有(1)若A⊆B，则p是q的充分条件，若A B，则p是q的充分不必要条件；(2)若B⊆A，则p是q的必要条件，若B A，则p是q的必要不充分条件；(3)若A＝B，则p是q的充要条件；(4)若A B ，且B A ，则p 是q 的既不充分也不必要条件．1．下列命题：①“全等三角形的面积相等”的逆命题； ②“若ab ＝0，则a ＝0”的否命题；③“正三角形的三个角均为60°”的逆否命题．其中真命题的序号是________(把所有真命题的序号填在横线上)．答案 ②③解析 ①“全等三角形的面积相等”的逆命题为“面积相等的三角形全等”，显然该命题为假命题；②“若ab ＝0，则a ＝0”的否命题为“若ab ≠0，则a ≠0”，而由ab ≠0，可得a ，b 都不为零，故a ≠0，所以该命题是真命题；③因为原命题“正三角形的三个角均为60°”是一个真命题，故其逆否命题也是一个真命题． 2． “x >2”是“1x <12”的________条件．答案充分不必要解析 ①x >2⇒2x >0⇒x 2x >22x ⇒1x <12，∴“x >2”是“1x <12”的充分条件．②1x <12⇒x <0或x >2D ⇒/x >2. ∴“x >2”是“1x <12”的不必要条件．3．已知a ，b ∈R ，则“a ＝b ”是“a ＋b2＝ab ”的____________条件．答案必要不充分解析因为若a ＝b <0，则a ＋b 2≠ab ，所以充分性不成立；反之，因为a ＋b2＝ab ⇔a＝b ⇔a ＝b ≥0，所以必要性成立，故“a ＝b ”是“a ＋b2＝ab ”的必要不充分条件．4． (·天津)设集合A ＝{x ∈R |x －2>0}，B ＝{x ∈R |x <0}，C ＝{x ∈R |x (x －2)>0}，则“x ∈A ∪B ”是“x ∈C ”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案 C解析因为A＝{x|x－2>0}＝{x|x>2}＝(2，＋∞)，B＝{x|x<0}＝(－∞，0)，所以A∪B＝(－∞，0)∪(2，＋∞)，C＝{x|x(x－2)>0}＝{x|x<0或x>2}＝(－∞，0)∪(2，＋∞)．即A∪B＝C.故“x∈A∪B”是“x∈C”的充要条件.5．(·天津)设φ∈R，则“φ＝0”是“f(x)＝cos(x＋φ)(x∈R)为偶函数”的() A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案 A解析由条件推结论和结论推条件后再判断．若φ＝0，则f(x)＝cos x是偶函数，但是若f(x)＝cos(x＋φ) (x∈R)是偶函数，则φ＝π也成立．故“φ＝0”是“f(x)＝cos(x＋φ)(x∈R)为偶函数”的充分而不必要条件.题型一四种命题的关系及真假例1已知命题“若函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上是增函数，则m≤1”，则下列结论正确的是() A．否命题“若函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上是减函数，则m>1”是真命题B．逆命题“若m≤1，则函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上是增函数”是假命题C．逆否命题“若m>1，则函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上是减函数”是真命题D．逆否命题“若m>1，则函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上不是增函数”是真命题思维启迪：根据四种命题的定义判断一个原命题的逆命题、否命题、逆否命题的表达格式．当命题较简单时，可直接判断其真假，若命题本身复杂或不易直接判断时，可利用其等价命题——逆否命题进行真假判断．答案 D解析命题“若函数f (x )＝e x －mx 在(0，＋∞)上是增函数，则m ≤1”是真命题，所以其逆否命题“若m >1，则函数f (x )＝e x －mx 在(0，＋∞)上不是增函数”是真命题．探究提高 (1)熟悉四种命题的概念是正确书写或判断四种命题真假的关键；(2)根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假；(3)认真仔细读题，必要时举特例．命题“若x ，y 都是偶数，则x ＋y 也是偶数”的逆否命题是( )A ．若x ＋y 是偶数，则x 与y 不都是偶数B ．若x ＋y 是偶数，则x 与y 都不是偶数C ．若x ＋y 不是偶数，则x 与y 不都是偶数D ．若x ＋y 不是偶数，则x 与y 都不是偶数答案 C解析由于“x ，y 都是偶数”的否定表达是“x ，y 不都是偶数”，“x ＋y 是偶数”的否定表达是“x ＋y 不是偶数”，故原命题的逆否命题为“若x ＋y 不是偶数，则x ，y 不都是偶数”，故选C. 题型二充要条件的判断例2 已知下列各组命题，其中p 是q 的充分必要条件的是( ) A ．p ：m ≤－2或m ≥6；q ：y ＝x 2＋mx ＋m ＋3有两个不同的零点 B ．p ：f (－x )f (x )＝1；q ：y ＝f (x )是偶函数C ．p ：cos α＝cos β；q ：tan α＝tan βD ．p ：A ∩B ＝A ；q ：A ⊆U ，B ⊆U ，∁U B ⊆∁U A思维启迪：首先要分清条件和结论，然后可以从逻辑推理、等价命题或集合的角度思考问题，做出判断．答案 D解析对于A ，由y ＝x 2＋mx ＋m ＋3有两个不同的零点，可得Δ＝m 2－4(m ＋3)>0，从而可得m <－2或m >6.所以p 是q 的必要不充分条件；对于B ，由f (－x )f (x )＝1⇒f (－x )＝f (x )⇒y ＝f (x )是偶函数，但由y ＝f (x )是偶函数不能推出f (－x )f (x )＝1，例如函数f (x )＝0，所以p 是q 的充分不必要条件；对于C ，当cos α＝cos β＝0时，不存在tan α＝tan β，反之也不成立，所以p 是q 的既不充分也不必要条件；对于D ，由A ∩B ＝A ，知A ⊆B ，所以∁U B ⊆∁U A ；反之，由∁U B ⊆∁U A ，知A ⊆B ，即A ∩B ＝A . 所以p ⇔q .综上所述，p 是q 的充分必要条件的是D.探究提高判断p 是q 的什么条件，需要从两方面分析：一是由条件p 能否推得条件q ；二是由条件q 能否推得条件p .对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想把抽象、复杂问题形象化、直观化外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题．给出下列命题：①“数列{a n }为等比数列”是“数列{a n a n ＋1}为等比数列”的充分不必要条件； ②“a ＝2”是“函数f (x )＝|x －a |在区间[2，＋∞)上为增函数”的充要条件；③“m ＝3”是“直线(m ＋3)x ＋my －2＝0与直线mx －6y ＋5＝0互相垂直”的充要条件； ④设a ，b ，c 分别是△ABC 三个内角A ，B ，C 所对的边，若a ＝1，b ＝3，则“A ＝30°”是“B ＝60°”的必要不充分条件．其中真．命题的序号是________．答案 ①④解析对于①，当数列{a n }为等比数列时，易知数列{a n a n ＋1}是等比数列，但当数列 {a n a n ＋1}为等比数列时，数列{a n }未必是等比数列，如数列1,3,2,6,4,12,8显然不是等比数列，而相应的数列3,6,12,24,48,96是等比数列，因此①正确；对于②，当a ≤2时，函数f (x )＝|x －a |在区间[2，＋∞)上是增函数，因此②不正确；对于③，当m ＝3时，相应的两条直线互相垂直，反之，这两条直线垂直时，不一定有m ＝3，也可能m ＝0.因此③不正确；对于④，由题意得b a ＝sin B sin A ＝3，若B ＝60°，则sin A ＝12，注意到b >a ，故A ＝30°，反之，当A ＝30°时，有sin B ＝32，由于b >a ，所以B ＝60°或B ＝120°，因此④正确．综上所述，真命题的序号是①④. 题型三利用充要条件求参数例3 已知集合M ＝{x |x <－3或x >5}，P ＝{x |(x －a )·(x －8)≤0}．(1)求实数a 的取值范围，使它成为M ∩P ＝{x |5<x ≤8}的充要条件；(2)求实数a 的一个值，使它成为M ∩P ＝{x |5<x ≤8}的一个充分但不必要条件．思维启迪：解决此类问题一般是先把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，再根据集合之间的关系列出关于参数的不等式求解．解 (1)由M ∩P ＝{x |5<x ≤8}，得－3≤a ≤5，因此M ∩P ＝{x |5<x ≤8}的充要条件是{a |－3≤a ≤5}．(2)求实数a 的一个值，使它成为M ∩P ＝{x |5<x ≤8}的一个充分但不必要条件，就是在集合{a |－3≤a ≤5}中取一个值，如取a ＝0，此时必有M ∩P ＝{x |5<x ≤8}；反之，M ∩P ＝{x |5<x ≤8}未必有a ＝0，故“a ＝0”是“M ∩P ＝{x |5<x ≤8}”的一个充分但不必要条件．探究提高利用充要条件求参数的值或范围，关键是合理转化条件，准确地将每个条件对应的参数的范围求出来，然后转化为集合的运算，一定要注意区间端点值的检验．已知p ：x 2－4x －5≤0，q ：|x －3|<a (a >0)．若p 是q 的充分不必要条件，求a 的取值范围．解设A ＝{x |x 2－4x －5≤0}＝{x |－1≤x ≤5}，B ＝{x |－a ＋3<x <a ＋3}，因为p 是q 的充分不必要条件，从而有A B .故⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋3<－1，a ＋3>5，解得a >4.等价转化思想在充要条件关系中的应用典例：(14分)已知p ：⎪⎪⎪⎪1－x －13≤2，q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0 (m >0)，且綈p 是綈q 的必要而不充分条件，求实数m 的取值范围．审题视角 (1)先求出两命题的解集，即将命题化为最简．(2)再利用命题间的关系列出关于m 的不等式或不等式组，得出结论．规范解答解方法一由q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0，得1－m ≤x ≤1＋m ，[2分] ∴綈q ：A ＝{x |x >1＋m 或x <1－m ，m >0}，[4分] 由p ：⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－x －13≤2，解得－2≤x ≤10，[6分] ∴綈p ：B ＝{x |x >10或x <－2}．[8分]∵綈p 是綈q 的必要而不充分条件．∴AB ，∴⎩⎪⎨⎪⎧m >0，1－m <－2，1＋m ≥10，或⎩⎪⎨⎪⎧m >0，1－m ≤－2，1＋m >10，即m ≥9或m >9.∴m ≥9.[14分]方法二 ∵綈p 是綈q 的必要而不充分条件， ∴p 是q 的充分而不必要条件，[2分]由q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0，得1－m ≤x ≤1＋m ， ∴q ：Q ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m }，[3分]由p ：⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－x －13≤2，解得－2≤x ≤10，∴p ：P ＝{x |－2≤x ≤10}．[8分]∵p 是q 的充分而不必要条件，∴PQ ，∴⎩⎪⎨⎪⎧m >0，1－m <－2，1＋m ≥10，或⎩⎪⎨⎪⎧m >0，1－m ≤－2，1＋m >10，即m ≥9或m >9.∴m ≥9.[12分]温馨提醒本例涉及参数问题，直接解决较为困难，先用等价转化思想，将复杂、生疏的问题转化为简单、熟悉的问题来解决．一般地，在涉及字母参数的取值范围的充要关系问题中，常常要利用集合的包含、相等关系来考虑，这是破解此类问题的关键.方法与技巧1．当一个命题有大前提而要写出其它三种命题时，必须保留大前提，也就是大前提不动；对于由多个并列条件组成的命题，在写其它三种命题时，应把其中一个(或几个)作为大前提．2．数学中的定义、公理、公式、定理都是命题，但命题与定理是有区别的；命题有真假之分，而定理都是真的． 3．命题的充要关系的判断方法(1)定义法：直接判断若p 则q 、若q 则p 的真假．(2)等价法：利用A ⇒B 与綈B ⇒綈A ，B ⇒A 与綈A ⇒綈B ，A ⇔B 与綈B ⇔綈A 的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．(3)利用集合间的包含关系判断：若A ⊆B ，则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件；若A ＝B ，则A 是B 的充要条件．失误与防范1．判断命题的真假及写四种命题时，一定要明确命题的结构，可以先把命题改写成“若p则q ”的形式．2．判断条件之间的关系要注意条件之间关系的方向，正确理解“p 的一个充分而不必要条件是q ”等语言．A 组专项基础训练(时间：35分钟，满分：57分)一、选择题(每小题5分，共20分)1． (·湖南)命题“若α＝π4，则tan α＝1”的逆否命题是( )A ．若α≠π4，则tan α≠1B ．若α＝π4，则tan α ≠1C ．若tan α≠1，则α≠π4D ．若tan α≠1，则α＝π4答案 C解析由原命题与其逆否命题之间的关系可知，原命题的逆否命题：若tan α≠1，则α≠π4.2． (·福建)已知向量a ＝(x －1,2)，b ＝(2,1)，则a ⊥b 的充要条件是( )A ．x ＝－12B ．x ＝－1C ．x ＝5D ．x ＝0答案 D解析 ∵a ＝(x －1,2)，b ＝(2,1)， ∴a ·b ＝2(x －1)＋2×1＝2x .又a ⊥b ⇔a ·b ＝0，∴2x ＝0，∴x ＝0.3．已知集合M ＝{x |0<x <1}，集合N ＝{x |－2<x <1}，那么“a ∈N ”是“a ∈M ”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 B解析因为M N ，所以a ∈M ⇒a ∈N ，反之，则不成立，故“a ∈N ”是“a ∈M ”的必要而不充分条件．故选B. 4．下列命题中为真命题的是( )A ．命题“若x >y ，则x >|y |”的逆命题B ．命题“若x >1，则x 2>1”的否命题C ．命题“若x ＝1，则x 2＋x －2＝0”的否命题D ．命题“若x 2>0，则x >1”的逆否命题答案 A解析对于A ，其逆命题：若x >|y |，则x >y ，是真命题，这是因为x >|y |＝⎩⎨⎧y (y ≥0)－y (y <0)，必有x >y ；对于B ，否命题：若x ≤1，则x 2≤1，是假命题．如x ＝－5，x 2＝25>1；对于C ，其否命题：若x ≠1，则x 2＋x －2≠0，因为x ＝－2时，x 2＋x －2＝0，所以是假命题；对于D ，若x 2>0，则x >0或x <0，不一定有x >1，因此原命题的逆否命题是假命题，故选A.二、填空题(每小题5分，共15分) 5．下列命题：①若ac 2>bc 2，则a >b ； ②若sin α＝sin β，则α＝β；③“实数a ＝0”是“直线x －2ay ＝1和直线2x －2ay ＝1平行”的充要条件； ④若f (x )＝log 2x ，则f (|x |)是偶函数．其中正确命题的序号是________．答案 ①③④解析对于①，ac 2>bc 2，c 2>0，∴a >b 正确；对于②，sin 30°＝sin 150°D ⇒/30°＝150°，所以②错误；对于③，l 1∥l 2⇔A 1B 2＝A 2B 1，即－2a ＝－4a ⇒a ＝0且A 1C 2≠A 2C 1，所以③对；对于④显然对．6．已知p (x )：x 2＋2x －m >0，如果p (1)是假命题，p (2)是真命题，则实数m 的取值范围为________．答案 [3,8)解析因为p (1)是假命题，所以1＋2－m ≤0，解得m ≥3；又因为p (2)是真命题，所以4＋4－m >0，解得m <8.故实数m 的取值范围是3≤m <8.7． (·陕西)设n ∈N ＋，一元二次方程x 2－4x ＋n ＝0有整数．．根的充要条件是n ＝________. 答案 3或4解析 ∵x 2－4x ＋n ＝0有整数根， ∴x ＝4±16－4n 2＝2±4－n ，∴4－n 为某个整数的平方且4－n ≥0，∴n ＝3或n ＝4. 当n ＝3时，x 2－4x ＋3＝0，得x ＝1或x ＝3；当n ＝4时，x 2－4x ＋4＝0，得x ＝2. ∴n ＝3或n ＝4. 三、解答题(共22分)8． (10分)判断命题“若a ≥0，则x 2＋x －a ＝0有实根”的逆否命题的真假．解原命题：若a ≥0，则x 2＋x －a ＝0有实根．逆否命题：若x 2＋x －a ＝0无实根，则a <0. 判断如下：∵x 2＋x －a ＝0无实根，∴Δ＝1＋4a <0，∴a <－14<0，∴“若x 2＋x －a ＝0无实根，则a <0”为真命题．9． (12分)已知p ：|x －3|≤2，q ：(x －m ＋1)(x －m －1)≤0，若綈p 是綈q 的充分而不必要条件，求实数m 的取值范围．解由题意得p ：－2≤x －3≤2，∴1≤x ≤5. ∴綈p ：x <1或x >5.q ：m －1≤x ≤m ＋1，∴綈q ：x <m －1或x >m ＋1. 又∵綈p 是綈q 的充分而不必要条件，∴⎩⎪⎨⎪⎧m －1≥1，m ＋1≤5，且等号不能同时取到，∴2≤m ≤4.B 组专项能力提升 (时间：25分钟，满分：43分)一、选择题(每小题5分，共15分)1． (·上海)对于常数m 、n ，“mn >0”是“方程mx 2＋ny 2＝1的曲线是椭圆”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件答案 B解析 ∵mn >0，∴⎩⎨⎧m >0，n >0或⎩⎪⎨⎪⎧m <0，n <0，当m >0，n >0且m ≠n 时，方程mx 2＋ny 2＝1的曲线是椭圆，当m <0，n <0时，方程mx 2＋ny 2＝1不表示任何图形，所以条件不充分；反之，当方程mx 2＋ny 2＝1表示的曲线是椭圆时有mn >0，所以“mn >0”是“方程mx 2＋ny 2＝1的曲线是椭圆”的必要不充分条件．2．已知p ：1x －2≥1，q ：|x －a |<1，若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，3]B ．[2,3]C ．(2,3]D ．(2,3)答案 C解析由1x －2≥1，得2<x ≤3；由|x －a |<1，得a －1<x <a ＋1.若p 是q 的充分不必要条件，则⎩⎪⎨⎪⎧a －1≤2a ＋1>3，即2<a ≤3.所以实数a 的取值范围是(2,3]，故选C.3．集合A ＝{x ||x |≤4，x ∈R }，B ＝{x |x <a }，则“A ⊆B ”是“a >5”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 B解析 A ＝{x |－4≤x ≤4}，若A ⊆B ，则a >4.a >4D /⇒a >5，但a >5⇒a >4.故“A ⊆B ”是“a >5”的必要不充分条件．二、填空题(每小题5分，共15分)4．设有两个命题p 、q .其中p ：对于任意的x ∈R ，不等式ax 2＋2x ＋1>0恒成立；命题q ：f (x )＝(4a －3)x 在R 上为减函数．如果两个命题中有且只有一个是真命题，那么实数a 的取值范围是____________．答案 ⎝⎛⎭⎫34，1∪(1，＋∞)解析当a ＝0时，不等式为2x ＋1>0，显然不能恒成立，故a ＝0不适合；当a ≠0时，不等式ax 2＋2x ＋1>0恒成立的条件是⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝22－4a <0，解得a >1.若命题q 为真，则0<4a －3<1，解得34<a <1.由题意，可知p ，q 一真一假．当p 真q 假时，a 的取值范围是。

高考数学(文科,通用)复习课件：专题1第1讲集合与常用逻辑用语

热点二四种命题与充要条件
例 2 (1)(2014·天津 ) 设 a ， b∈R ，则 “a>b” 是
“a|a|>b|b|”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
思维启迪要明确四种命题
的真假关系；
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件
解析当b<0时，显然有a>b⇔a|a|>b|b|；当b＝0时，显然有a>b⇔a|a|>b|b|；当b>0时，a>b有|a|>|b|，所以a>b⇔a|a|>b|b|. 综上可知a>b⇔a|a|>b|b|，故选C. 答案 C
专题一集合与常用逻辑用语、不等式
第 1 讲集合与常用逻辑用语
主干知识梳理热点分类突破真题与押题
1.集合是高考必考知识点，经常以不等式解集、
函数的定义域、值域为背景考查集合的运算，
考近几年有时也会出现一些集合的新定义问题.
情
解 2.高考中考查命题的真假判断或命题的否定，考读查充要条件的判断.
要注意集合中元素的三个特征的应用，要注意检验
结果．
思维
(2)对集合的新定义问题，要紧扣新定义集合的性
升质探究集合中元素的特征，将问题转化为熟悉的知
华
识进行求解，也可利用特殊值法进行验证．
变式训练 1
(1)已知集合M＝{1,2,3}，N＝{x∈Z|1<x<4}，则C( )
A．M⊆N
B．N＝M
C．M∩N＝{2,3}
(2)(2013·四川)设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是
偶数集.若命题p：∀x∈A,2x∈B，则( D )
A.綈p：∀x∈A,2x∈B

大一轮数学(文)高考复习(人教)课件：《第一章集合与常用逻辑用语》1-3

基础知识导航考点典例领航智能提升返航课时规范训练
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第3课时简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
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1．命题 p∧q，p∨q，綈 p 的真假判断
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p q p∧q p∨q 綈 p
真真真真假假假真假
假假假
真假真假真真假真
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x，有 p(x)成立
存在 M 中的一个
特称命题 x0，使 p(x0)成立
∃x0∈M，p(x0)
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4.含有一个量词的命题的否定命题
命题的否定
∀x∈M，p(x) ∃x0∈M，綈 p(x0)
∃x0∈M，p(x0) ∀x∈M，綈 p(x)
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5.判断下列结论的正误(正确的打“√”错误的打“×”) (1)命题 p∧q 为假命题，则命题 p、q 都是假命题．(×)
命特称命题的真假
题 2.应用命题真假求
点参数
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[例 3] (1)下列命题中的假命题是( ) A．∀x∈R,2x－1＞0 B．∀x∈N*，(x－1)2＞0 C．∃x0∈R，ln x0＜1 D．∃x0∈R，tan x0＝2
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解析：因为 2x－1＞0，对∀x∈R 恒成立，所以 A 是真命题；当 x ＝1 时，(x－1)2＝0，所以 B 是假命题；存在 0＜x0＜e，使得 ln x0 ＜1，所以 C 是真命题；因为正切函数 y＝tan x 的值域是 R，所以 D 是真命题．答案：B
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高考数学一本策略复习专题一集合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数第一讲集合、常用逻辑用语教案文

第一讲集合、常用逻辑用语年份卷别考查角度及命题位置命题分析2018Ⅰ卷集合交集运算·T1本部分作为高考必考内容，多年来命题较稳定，多以选择题形式在第1、2题的位置进行考查，难度较低．命题的热点依然会集中在集合的运算上．对常用逻辑用语考查的频率不高，且命题点分散，多为几个知识点综合考查，难度中等，其中充分必要条件的判断近几年全国卷虽未考查，但为防高考“爆冷”考查，在二轮复习时不可偏颇．该考点多结合函数、向量、三角、不等式、数列等内容命题.Ⅱ卷集合交集运算·T2Ⅲ卷集合交集运算·T12017Ⅰ卷集合的交、并运算·T1Ⅱ卷集合的并集运算·T1Ⅲ卷求集合交集中元素个数·T12016Ⅰ卷集合的交集运算·T1Ⅱ卷集合的交集运算、一元二次不等式的解法·T1Ⅲ卷集合的补集运算·T1集合的概念及运算授课提示：对应学生用书第3页[悟通——方法结论]1．集合的运算性质及重要结论(1)A∪A＝A，A∪∅＝A，A∪B＝B∪A.(2)A∩A＝A，A∩∅＝∅，A∩B＝B∩A.(3)A∩(∁U A)＝∅，A∪(∁U A)＝U.(4)A∩B＝A⇔A⊆B，A∪B＝A⇔B⊆A.2．集合运算中的常用方法(1)若已知的集合是不等式的解集，用数轴求解．(2)若已知的集合是点集，用数形结合法求解．(3)若已知的集合是抽象集合，用Venn图求解．(1)(2018·南宁模拟)设集合M＝{x|x<4}，集合N＝{x|x2－2x<0}，则下列关系中正确的是( )A ．M ∪N ＝MB ．M ∪∁R N ＝MC ．N ∪∁R M ＝RD ．M ∩N ＝M解析：∵M ＝{x |x <4}，N ＝{x |0<x <2}，∴M ∪N ＝{x |x <4}＝M ，故选项A 正确；M ∪∁R N ＝R ≠M ，故选项B 错误；N ∪∁R M ＝{x |0<x <2}∪{x |x ≥4}≠R ，故选项C 错误；M ∩N ＝{x |0<x <2}＝N ，故选项D 错误．故选A.答案：A(2)(2018·宜昌模拟)已知两个集合A ＝{x ∈R |y ＝1－x 2}，B ＝{x |x ＋11－x≥0}，则A ∩B＝( )A ．{x |－1≤x ≤1}B ．{x |－1≤x <1}C ．{－1,1}D ．∅解析：∵A ＝{x |－1≤x ≤1}，B ＝{x |－1≤x <1}，∴A ∩B ＝{x |－1≤x ＜1}．答案：B 【类题通法】破解集合运算需掌握2招第1招，化简各个集合，即明确集合中元素的性质，化简集合；第2招，借形解题，即与不等式有关的无限集之间的运算常借助数轴，有限集之间的运算常用Venn 图(或直接计算)，与函数的图象有关的点集之间的运算常借助坐标轴等，再根据集合的交集、并集、补集的定义进行基本运算.[练通——即学即用]1．(2018·高考全国卷Ⅱ)已知集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2≤3，x ∈Z ，y ∈Z }，则A 中元素的个数为( )A ．9B ．8C ．5D ．4解析：将满足x 2＋y 2≤3的整数x ，y 全部列举出来，即(－1，－1)，(－1,0)，(－1,1)，(0，－1)，(0,0)，(0,1)，(1，－1)，(1,0)，(1,1)，共有9个．故选A. 答案：A2．(2018·德州模拟)设全集U ＝R ，集合A ＝{x ∈Z |y ＝4x －x 2}，B ＝{y |y ＝2x，x >1}，则A ∩(∁U B )＝( )A ．{2}B ．{1,2}C ．{－1,0,1,2}D ．{0,1,2}解析：由题意知，A ＝{x ∈Z |4x －x 2≥0}＝{x ∈Z |0≤x ≤4}＝{0,1,2,3,4}，B ＝{y |y >2}，则∁U B＝{y|y≤2}，则A∩(∁U B)＝{0,1,2}，故选D.答案：D3．(2018·枣庄模拟)已知集合A＝{|m|,0}，B＝{－2,0,2}，若A⊆B，则∁B A＝( ) A．{－2,0,2} B．{－2,0}C．{－2} D．{－2,2}解析：由A⊆B得|m|＝2，所以A＝{0,2}．故∁B A＝{－2}．答案：C命题及真假判断授课提示：对应学生用书第4页[悟通——方法结论]1．全称命题和特称命题的否定归纳∀x∈M，p(x) ∃x0∈M，綈p(x0)．简记：改量词，否结论．2．“或”“且”联结词的否定形式“p或q”的否定形式是“非p且非q”，“p且q”的否定形式是“非p或非q”．3．命题的“否定”与“否命题”是两个不同的概念，命题p的否定是否定命题所作的判断，而“否命题”是对“若p，则q”形式的命题而言，既要否定条件也要否定结论．[全练——快速解答]1．(2018·西安质检)已知命题p：∃x0∈R，log2(3x0＋1)≤0，则( )A．p是假命题；綈p：∀x∈R，log2(3x＋1)≤0B．p是假命题；綈p：∀x∈R，log2(3x＋1)>0C．p是真命题；綈p：∀x∈R，log2(3x＋1)≤0D．p是真命题；綈p：∀x∈R，log2(3x＋1)>0解析：∵3x>0，∴3x＋1>1，则log2(3x＋1)>0，∴p是假命题；綈p：∀x∈R，log2(3x ＋1)>0.答案：B2．给出下列3个命题：p1：函数y＝a x＋x(a>0，且a≠1)在R上为增函数；p2：∃a0，b0∈R，a20－a0b0＋b20<0；p3：cos α＝cos β成立的一个充分不必要条件是α＝2kπ＋β(k ∈Z)．则下列命题中的真命题为( ) A ．p 1∨p 2 B ．p 2∨(綈p 3) C ．p 1∨(綈p 3)D ．(綈p 2)∧p 3解析：对于p 1，令f (x )＝a x＋x (a >0，且a ≠1)，当a ＝12时，f (0)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫120＋0＝1，f (－1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1－1＝1，所以p 1为假命题；对于p 2，因为a 2－ab ＋b 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －12b 2＋34b 2≥0，所以p 2为假命题；对于p 3，因为cos α＝cos β⇔α＝2k π±β(k ∈Z )，所以p 3为真命题，所以(綈p 2)∧p 3为真命题，故选D.答案：D3．命题“若xy ＝1，则x ，y 互为倒数”的否命题为________；命题的否定为________．答案：若xy ≠1，则x ，y 不互为倒数若xy ＝1，则x ，y 不互为倒数【类题通法】判断含有逻辑联结词命题真假的方法方法一(直接法)：(1)确定这个命题的结构及组成这个命题的每个简单命题；(2)判断每个简单命题的真假；(3)根据真值表判断原命题的真假．方法二(间接法)：根据原命题与逆否命题的等价性，判断原命题的逆否命题的真假性．此法适用于原命题的真假性不易判断的情况．充分、必要条件的判断授课提示：对应学生用书第4页[悟通——方法结论]充分、必要条件的判断：考查形式多与其他知识交汇命题．常见的交汇知识点有：函数性质、不等式、三角函数、向量、数列、解析几何等，有一定的综合性．(1)“a ＝－2”是“直线l 1：ax －y ＋3＝0与l 2：2x －(a ＋1)y ＋4＝0互相平行”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：当a ＝－2时，直线l 1：2x ＋y －3＝0，l 2：2x ＋y ＋4＝0，所以直线l 1∥l 2；若l 1∥l 2，则－a (a ＋1)＋2＝0，解得a ＝－2或a ＝1.所以“a ＝－2”是“直线l 1：ax －y ＋3＝0与l 2：2x －(a ＋1)y ＋4＝0互相平行”的充分不必要条件．答案：A(2)(2018·南昌模拟)已知m ，n 为两个非零向量，则“m 与n 共线”是“m·n ＝|m·n |”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：当m 与n 反向时，m·n<0，而|m·n|>0，故充分性不成立．若m·n ＝|m·n|，则m·n ＝|m|·|n|·cos〈m ，n 〉＝|m |·|n |·|cos 〈m ，n 〉|，则cos 〈m ，n 〉＝|cos 〈m ，n 〉|，故cos 〈m ，n 〉≥0，即0°≤〈m ，n 〉≤90°，此时m 与n 不一定共线，即必要性不成立．故“m 与n 共线”是“m·n ＝|m·n|”的既不充分也不必要条件，故选D.答案：D 【类题通法】1．(2018·胶州模拟)设x ，y 是两个实数，命题“x ，y 中至少有一个数大于1”成立的充分不必要条件是( )A ．x ＋y ＝2B ．x ＋y >2C ．x 2＋y 2>2D ．xy >1解析：当⎩⎪⎨⎪⎧x ≤1y ≤1时，有x ＋y ≤2，但反之不成立，例如当x ＝3，y ＝－10时，满足x＋y ≤2，但不满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≤1y ≤1，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ≤1y ≤1是x ＋y ≤2的充分不必要条件．所以“x ＋y >2”是“x ，y 中至少有一个数大于1”的充分不必要条件．答案：B2．(2018·合肥模拟)祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”，它是中国古代一个涉及几何体体积的问题，意思是两个同高的几何体，如果在等高处的截面积恒相等，那么体积相等．设A ，B 为两个同高的几何体，p ：A ，B 的体积不相等，q ：A ，B 在等高处的截面积不恒相等，根据祖暅原理可知，p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：根据祖暅原理，“A ，B 在等高处的截面积恒相等”是“A ，B 的体积相等”的充分不必要条件，即綈q 是綈p 的充分不必要条件，即命题“若綈q, 则綈p ”为真，逆命题为假，故逆否命题“若p ，则q ”为真，否命题“若q ，则p ”为假，即p 是q 的充分不必要条件，选A.答案：A授课提示：对应学生用书第107页一、选择题1．(2018·高考全国卷Ⅰ)已知集合A ＝{0,2}，B ＝{－2，－1,0，1,2}，则A ∩B ＝( ) A ．{0,2} B ．{1,2}C ．{0}D ．{－2，－1,0,1,2}解析：A ∩B ＝{0,2}∩{－2，－1,0,1,2}＝{0,2}．故选A. 答案：A2．(2017·高考山东卷)设函数y ＝4－x 2的定义域为A ，函数 y ＝ln(1－x )的定义域为B ，则A ∩B ＝( )A ．(1,2)B ．(1,2]C ．(－2,1)D ．[－2,1)解析：由题意可知A ＝{x |－2≤x ≤2}，B ＝{x |x <1}，故A ∩B ＝{x |－2≤x <1}．答案：D3．设A ＝{x |x 2－4x ＋3≤0}，B ＝{x |ln(3－2x )<0}，则图中阴影部分表示的集合为( )A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <32B.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1<x <32C.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1≤x <32 D.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪32<x ≤3 解析：A ＝{x |x 2－4x ＋3≤0}＝{x |1≤x ≤3}，B ＝{x |ln(3－2x )<0}＝{x |0<3－2x <1}＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1<x <32，结合Venn 图知，图中阴影部分表示的集合为A ∩B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1<x <32. 答案：B4．(2018·高考全国卷Ⅲ)已知集合A ＝{x |x －1≥0}，B ＝{0,1,2}，则A ∩B ＝( ) A ．{0} B ．{1} C ．{1,2}D ．{0,1,2}解析：∵A ＝{x |x －1≥0}＝{x |x ≥1}，∴A ∩B ＝{1,2}．故选C. 答案：C5．(2018·合肥模拟)已知命题q ：∀x ∈R ，x 2>0，则( ) A ．命题綈q ：∀x ∈R ，x 2≤0为假命题 B ．命题綈q ：∀x ∈R ，x 2≤0为真命题 C ．命题綈q ：∃x 0∈R ，x 20≤0为假命题 D ．命题綈q ：∃x 0∈R ，x 20≤0为真命题解析：全称命题的否定是将“∀”改为“∃”，然后再否定结论．又当x ＝0时，x 2≤0成立，所以綈q 为真命题．答案：D6．(2018·郑州四校联考)命题“若a >b ，则a ＋c >b ＋c ”的否命题是( ) A ．若a ≤b ，则a ＋c ≤b ＋c B ．若a ＋c ≤b ＋c ，则a ≤b C ．若a ＋c >b ＋c ，则a >b D ．若a >b ，则a ＋c ≤b ＋c解析：命题的否命题是将原命题的条件和结论均否定，所以题中命题的否命题为“若a ≤b ，则a ＋c ≤b ＋c ”，故选A.答案：A7．(2018·石家庄模拟)“x >1”是“x 2＋2x >0”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：由x 2＋2x >0，得x >0或x <－2，所以“x >1”是“x 2＋2x >0”的充分不必要条件．答案：A8．已知集合A＝{x|x2≥4}，B＝{m}．若A∪B＝A，则m的取值范围是( )A．(－∞，－2) B．[2，＋∞)C．[－2,2] D．(－∞，－2]∪[2，＋∞)解析：因为A∪B＝A，所以B⊆A，即m∈A，得m2≥4，所以m≥2或m≤－2.答案：D9．(2018·石家庄模拟)已知a，b∈R，下列四个条件中，使“a>b”成立的必要不充分条件是( )A．a>b－1 B．a>b＋1C．|a|>|b| D．2a>2b解析：由a>b－1不一定能推出a>b，反之由a>b可以推出a>b－1，所以“a>b－1”是“a>b”的必要不充分条件．故选A.答案：A10．已知命题p：“x＝0”是“x2＝0”的充要条件，命题q：“x＝1”是“x2＝1”的充要条件，则下列命题为真命题的是( )A．p∧q B．(綈p)∨qC．p∧(綈q) D．(綈p)∧q解析：易知命题p为真命题，q为假命题，根据复合命题的真值表可知p∧(綈q)为真命题．答案：C11．(2018·济宁模拟)已知命题p：“x<0”是“x＋1<0”的充分不必要条件，命题q：若随机变量X～N(1，σ2)(σ>0)，且P(0<X<1)＝0.4，则P(0<X<2)＝0.8，则下列命题是真命题的是( )A．p∨(綈q) B．p∧qC．p∨q D．(綈p)∧(綈q)解析：因为“x<0”是“x＋1<0”的必要不充分条件，所以p为假命题，因为P(0<X<1)＝P(1<X<2)＝0.4，所以P(0<X<2)＝0.8，q为真命题，所以p∨q为真命题．答案：C12．下列命题是假命题的是( )A．命题“若x2＋x－6＝0，则x＝2”的逆否命题为“若x≠2，则x2＋x－6≠0”B．若命题p：∃x0∈R，x20＋x0＋1＝0，则綈p：∀x∈R，x2＋x＋1≠0C．若p∨q为真命题，则p、q均为真命题D．“x>2”是“x2－3x＋2>0”的充分不必要条件解析：由复合命题的真假性知，p、q中至少有一个为真命题，则p∨q为真，故选项C 错误．答案：C 二、填空题13．设命题p ：∀a >0，a ≠1，函数f (x )＝a x－x －a 有零点，则綈p ：________. 解析：全称命题的否定为特称(存在性)命题，綈p ：∃a 0>0，a 0≠1，函数f (x )＝a x0－x －a 0没有零点．答案：∃a 0>0，a 0≠1，函数f (x )＝a x0－x －a 0没有零点14．设全集U ＝{(x ，y )|x ∈R ，y ∈R }，集合M ＝⎩⎨⎧x ，y ⎪⎪⎪⎭⎬⎫y －3x －2＝1，P ＝{(x ，y )|y ≠x＋1}，则∁U (M ∪P )＝________.解析：集合M ＝{(x ，y )|y ＝x ＋1，且x ≠2，y ≠3}，所以M ∪P ＝{(x ，y )|x ∈R ，y ∈R ，且x ≠2，y ≠3}，则∁U (M ∪P )＝{(2,3)}．答案：{(2,3)}15．已知A ＝{x |x 2－3x ＋2<0}，B ＝{x |1<x <a }，若A ⊆B ，则实数a 的取值范围是________．解析：因为A ＝{x |x 2－3x ＋2<0}＝{x |1<x <2}⊆B ，所以a ≥2. 答案：[2，＋∞)16．若关于x 的不等式|x －m |<2成立的充分不必要条件是2≤x ≤3，则实数m 的取值范围是________．解析：由|x －m |<2得－2<x －m <2，即m －2<x <m ＋2.依题意有集合{x |2≤x ≤3}是{x |m－2<x <m ＋2}的真子集，于是有⎩⎪⎨⎪⎧m －2<2m ＋2>3，由此解得1<m <4，即实数m 的取值范围是(1,4)．答案：(1,4)。

高考数学一轮复习第1章集合与常用逻辑用语第1节集合教学案(含解析)理-人教版高三全册数学教学

第一节集合[考纲传真] 1.了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系；能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题.2.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；在具体情境中，了解全集与空集的含义.3.(1)理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集．(2)理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．(3)能使用Venn图表达集合间的基本关系及集合的基本运算．1．元素与集合(1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性．(2)元素与集合的关系：属于或不属于，分别记为∈和∉.(3)集合的三种表示方法：列举法、描述法、Venn图法．(4)常见数集的记法集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号N N*(或N＋)Z Q R2.集合间的基本关系表示关系文字语言符号语言记法基本关系子集集合A的元素都是集合B的元素x∈A⇒x∈B A⊆B或B⊇A 真子集集合A是集合B的子集，但集合B中至少有一个元素不属于AA⊆B，∃x0∈B，x0∉A A B或B A 相等集合A，B的元素完全相同A⊆B，B⊆A⇒A＝B A＝B空集不含任何元素的集合．空集是任何集合A的子集∀x，x∉∅，∅⊆A ∅表示文字语言符号语言图形语言记法运算属于A且属于B的元{x|x∈A且x∈B} A∩B 交集素组成的集合属于A或属于B的元并集{x|x∈A或x∈B} A∪B 素组成的集合全集U中不属于A的补集{x|x∈U，x∉A} ∁U A 元素组成的集合[常用结论]1．若有限集A中有n个元素，则集合A的子集个数为2n，真子集的个数为2n－1.2．A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B.3．A∩∁U A＝∅；A∪∁U A＝U；∁U(∁U A)＝A.[基础自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)任何集合都至少有两个子集．( )(2)已知集合A＝{x|y＝x2}，B＝{y|y＝x2}，C＝{(x，y)|y＝x2}，则A＝B＝C.( )(3)若{x2，x}＝{－1,1}，则x＝－1. ( )(4)若A∩B＝A∩C，则B＝C. ( )[解析](1)错误．空集只有一个子集，就是它本身，故该说法是错误的．(2)错误．集合A是函数y＝x2的定义域，即A＝(－∞，＋∞)；集合B是函数y＝x2的值域，即B＝[0，＋∞)；集合C是抛物线y＝x2上的点集．因此A，B，C不相等．(3)正确．(4)错误．当A＝∅时，B，C可为任意集合．[答案](1)×(2)×(3)√(4)×2．(教材改编)若集合A＝{x∈N|x≤10}，a＝22，则下列结论正确的是( )A．{a}⊆A B．a⊆AC．{a}∈A D．a∉AD[由题意知A＝{0,1,2,3}，由a＝22知，a∉A.]3．设集合A＝{1,2,3}，B＝{2,3,4}，则A∪B＝( )A ．{1,2,3,4}B ．{1,2,3}C ．{2,3,4}D ．{1,3,4}A [A ∪B ＝{1,2,3,4}．]4．(2018·某某高考)已知全集U ＝{1,2,3,4,5}，A ＝{1,3}，则∁U A ＝( ) A ．∅B ．{1,3} C ．{2,4,5}D ．{1,2,3,4,5} C [∵U ＝{1,2,3,4,5}，A ＝{1,3}， ∴∁U A ＝{2,4,5}．故选C.]5．若集合A ＝{x |－2＜x ＜1}，B ＝{x |x ＜－1或x ＞3}，则A ∩B ＝( ) A ．{x |－2＜x ＜－1} B ．{x |－2＜x ＜3} C ．{x |－1＜x ＜1}D ．{x |1＜x ＜3} A [∵A ＝{x |－2＜x ＜1}，B ＝{x |x ＜－1或x ＞3}， ∴A ∩B ＝{x |－2＜x ＜－1}．]集合的含义与表示1A B M x x a b a A b B M 为( )A ．3B ．4C ．5D ．6B [因为集合M 中的元素x ＝a ＋b ，a ∈A ，b ∈B ，所以当b ＝4，a ＝1,2,3时，x ＝5,6,7. 当b ＝5，a ＝1,2,3时，x ＝6,7,8. 由集合元素的互异性，可知x ＝5,6,7,8. 即M ＝{5,6,7,8}，共有4个元素．]2．若集合A ＝{x ∈R |ax 2－3x ＋2＝0}中只有一个元素，则a ＝( ) A.92 B.98C ．0D ．0或98D [若集合A 中只有一个元素，则方程ax 2－3x ＋2＝0只有一个实根或有两个相等实根．当a ＝0时，x ＝23，符合题意；当a ≠0时，由Δ＝(－3)2－8a ＝0得a ＝98，所以a 的取值为0或98.]3．已知a ，b ∈R ，若⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ，b a，1＝{a 2，a ＋b,0}，则a 2 019＋b 2 019为()A ．1B ．0C ．－1D ．±1C [由已知得a ≠0，则ba＝0，所以b ＝0，于是a 2＝1，即a ＝1或a ＝－1，又根据集合中元素的互异性可知a ＝1应舍去，因此a ＝－1，故a2 019＋b2 019＝(－1)2 019＋02 019＝－1.]4．设集合A ＝{－1,1,3}，B ＝{a ＋2，a 2＋4}，A ∩B ＝{3}，则实数a ＝________. 1 [由A ∩B ＝{3}知a ＋2＝3或a 2＋4＝3. 解得a ＝1.][规律方法] 与集合中的元素有关的问题的求解策略 1确定集合中的元素是什么，即集合是数集还是点集. 2看这些元素满足什么限制条件.3根据限制条件列式求参数的值或确定集合中元素的个数，要注意检验集合是否满足元素的互异性.集合间的基本关系【例1】 (1)已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0，x ∈R }，B ＝{x |0＜x ＜5，x ∈N }，则( ) A ．B ⊆A B ．A ＝B C ．AB D ．B A(2)(2019·某某模拟)集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ∈Z ⎪⎪⎪x ＋1x －3≤0，B ＝{y |y ＝x 2＋1，x ∈A }，则集合B的子集个数为( )A ．5B ．8C ．3D ．2(3)已知集合A ＝{x ∈R |x 2＋x －6＝0}，B ＝{x ∈R |ax －1＝0}，若B ⊆A ，则实数a 的取值集合为________．(1)C (2)B (3)⎩⎨⎧⎭⎬⎫－13，12，0 [(1)A ＝{1,2}，B ＝{1,2,3,4}，则AB ，故选C.(2)由x ＋1x －3≤0得－1≤x ＜3，则A ＝{－1,0,1,2}，B ＝{y |y ＝x 2＋1，x ∈A }＝{1,2,5}，其子集的个数为23＝8个．(3)A ＝{－3,2}，若a ＝0，则B ＝∅，满足B ⊆A ，若a ≠0，则B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a ，由B ⊆A 知，1a ＝－3或1a ＝2，故a ＝－13或a ＝12，因此a 的取值集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫－13，12，0.] [规律方法] 1.集合间基本关系的两种判定方法 1化简集合，从表达式中寻找两集合的关系. 2用列举法或图示法等表示各个集合，从元素或图形中寻找关系.2.根据集合间的关系求参数的方法,已知两集合间的关系求参数时，关键是将两集合间的关系转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数满足的关系，解决这类问题常常要合理利用数轴、Venn 图化抽象为直观进行求解.易错警示：B ⊆A A ≠∅，应分B ＝∅和B ≠∅两种情况讨论.(1)(2018·某某模拟)已知集合A ＝{0}，B ＝{－1,0,1}，若A ⊆C ⊆B ，则符合条件的集合C 的个数为()A ．1B ．2C ．4D ．8(2)已知集合A ＝{x |x 2－2x ≤0}，B ＝{x |x ≤a }，若A ⊆B ，则实数a 的取值X 围是________． (1)C (2)[2，＋∞) [(1)由A ⊆C ⊆B 得C ＝{0}或{0，－1}或{0,1}或{0，－1,1}，故选C.(2)A ＝{x |0≤x ≤2}，要使A ⊆B ，则a ≥2.]集合的基本运算►考法1 【例2】 (1)(2018·全国卷Ⅲ)已知集合A ＝{x |x －1≥0}，B ＝{0,1,2}，则A ∩B ＝( ) A ．{0} B ．{1} C ．{1,2}D ．{0,1,2}(2)(2018·全国卷Ⅰ)已知集合A ＝{x |x 2－x －2＞0}，则∁R A ＝( ) A ．{x |－1＜x ＜2} B ．{x |－1≤x ≤2} C ．{x |x ＜－1}∪{x |x ＞2}D ．{x |x ≤－1}∪{x |x ≥2}(3)(2019·某某模拟)已知集合M ＝{x |－1＜x ＜3}，N ＝{－1,1}，则下列关系正确的是( )A．M∪N＝{－1,1,3} B．M∪N＝{x|－1≤x＜3}C．M∩N＝{－1} D．M∩N＝{x|－1＜x＜1}(1)C(2)B(3)B[(1)由题意知，A＝{x|x≥1}，则A∩B＝{1,2}．(2)法一：A＝{x|(x－2)(x＋1)＞0}＝{x|x＜－1或x＞2}，所以∁R A＝{x|－1≤x≤2}，故选B.法二：因为A＝{x|x2－x－2＞0}，所以∁R A＝{x|x2－x－2≤0}＝{x|－1≤x≤2}，故选B.(3)M∪N＝{x|－1≤x＜3}，M∩N＝{1}，故选B.]►考法2 利用集合的运算求参数【例3】(1)设集合A＝{x|－1≤x＜2}，B＝{x|x＜a}，若A∩B≠∅，则a的取值X围是( )A．－1＜a≤2 B．a＞2C．a≥－1 D．a＞－1(2)集合A＝{0,2，a}，B＝{1，a2}，若A∪B＝{0,1,2,4,16}，则a的值为( )A．0 B．1 C．2 D．4(3)(2019·某某模拟)已知集合A＝{x|x＜a}，B＝{x|x2－3x＋2＜0}，若A∩B＝B，则实数a的取值X围是( )A．a≤1 B．a＜1C．a≥2 D．a＞2(1)D(2)D(3)C[(1)由A∩B≠∅知，集合A，B有公共元素，作出数轴，如图所示：易知a＞－1，故选D.(2)由题意可知{a，a2}＝{4,16}，所以a＝4，故选D.(3)B＝{x|1＜x＜2}，由A∩B＝B知B⊆A，则a≥2，故选C.][规律方法]解决集合运算问题需注意以下三点：1看元素组成，集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提.2看集合能否化简，集合能化简的先化简，再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于求解.3要借助Venn图和数轴使抽象问题直观化.一般地，集合元素离散时用Venn图表示；集合元素连续时用数轴表示，并注意端点值的取舍.(1)(2019·东北三省四市联考)设集合A＝{x||x|＜1}，B＝{x|x(x－3)＜0}，则A∪B＝( )A．(－1,0) B．(0,1)C．(－1,3) D．(1,3)(2)(2019·某某模拟)设集合A＝{x|x2－3x＋2≥0}，B＝{x|x≤2，x∈Z}，则(∁R A)∩B＝( )A．{1} B．{2} C．{1,2} D．∅(3)(2017·全国卷Ⅱ)设集合A＝{1,2,4}，B＝{x|x2－4x＋m＝0}．若A∩B＝{1}，则B ＝( )A．{1，－3} B．{1,0}C．{1,3} D．{1,5}(4)(2019·某某模拟)已知集合A＝{1,3,9,27}，B＝{y|y＝log3x，x∈A}，则A∩B＝( )A．{1,3} B．{1,3,9}C．{3,9,27} D．{1,3,9,27)(1)C(2)D(3)C(4)A[(1)A＝{x|－1＜x＜1}，B＝{x|0＜x＜3}，所以A∪B＝{x|－1＜x＜3}，故选C.(2)A＝{x|x≤1或x≥2}，则∁R A＝{x|1＜x＜2}．又集合B＝{x|x≤2，x∈Z}，所以(∁R A)∩B＝∅，故选D.(3)∵A∩B＝{1}，∴1∈B.∴1－4＋m＝0，即m＝3.∴B＝{x|x2－4x＋3＝0}＝{1,3}．故选C.(4)因为A＝{1,3,9,27}，B＝{y|y＝log3x，x∈A}＝{0,1,2,3}，所以A∩B＝{1,3}．]1．(2018·全国卷Ⅰ)已知集合A＝{0,2}，B＝{－2，－1,0,1,2}，则A∩B＝( ) A．{0,2} B．{1,2}C．{0} D．{－2，－1,0,1,2}A[由题意知A∩B＝{0,2}．]2．(2018·全国卷Ⅱ)已知集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2≤3，x ∈Z ，y ∈Z }，则A 中元素的个数为( )A ．9B ．8C ．5D ．4A [由x 2＋y 2≤3知，－3≤x ≤3，－3≤y ≤ 3.又x ∈Z ，y ∈Z ，所以x ∈{－1,0,1}，y ∈{－1，0,1}，所以A 中元素的个数为9，故选A.]3．(2017·全国卷Ⅰ)已知集合A ＝{x |x <2}，B ＝{x |3－2x >0}，则( )A ．A ∩B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x ＜32 B ．A ∩B ＝∅ C ．A ∪B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＜32 D ．A ∪B ＝RA [因为B ＝{x |3－2x ＞0}＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＜32，A ＝{x |x ＜2}，所以A ∩B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＜32，A ∪B ＝{x |x ＜2}．故选A.]4．(2015·全国卷Ⅰ)已知集合A ＝{x |x ＝3n ＋2，n ∈N }，B ＝{6,8,10,12,14}，则集合A ∩B 中元素的个数为( )A ．5B ．4C ．3D ．2D [分析集合A 中元素的特点，然后找出集合B 中满足集合A 中条件的元素个数即可．集合A 中元素满足x ＝3n ＋2，n ∈N ，即被3除余2，而集合B 中满足这一要求的元素只有8和14.故选D.]自我感悟：______________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________。

2025年高考数学一轮复习-第一章-集合与常用逻辑用语【课件】

谢谢观赏！！
要条件、数学定义与充要条件的关系.
统计逻辑用语
Ⅰ卷·T7
2.理解全称量词和存在量词的意义,能正确对
两种命题进行否定.
1.题型设置:主要以选择题、填空题为主. 命题 2.内容考查:集合的基本关系、集合的基本运算、充分必要条件的判断趋势和含有一个量词命题的否定.
3.能力考查:运算求解能力及逻辑推理能力.
第一章集合与常用逻辑用语
【高考研究·备考导航】
三年考情
角度考查内容
课程标准
高考真题
1.了解集合的含义,了解全集、空集的
含义.
2023年:新高考Ⅰ卷·T1
2.理解元素与集合的属于关系,理解集 2023年:新高考Ⅱ卷·T2
考题
合间的包含和相等关系.
2022年:新高考Ⅰ卷·T1
集合
统计
3.会求两个集合的并集、交集与补集. 2022年:新高考Ⅱ卷·T1
备考策略根据近三年新高考卷命题特点和规律,复习本章时,要注意以下几个方面: 1.全面系统复习,深刻理解知识本质 (1)理解集合、空集、子集等概念;会根据具体条件求集合的子集的个数;理
解并集、交集、补集的含义,注意符号语言的正确应用. (2)理解充分条件、必要条件、充要条件的含义. (3)理解全称量词、存在量词、全称量词命题、存在量词命题的概念.
2.熟练掌握解决以下问题的方法规律 (1)能准确判断所给集合中元素的特征,会根据问题情境选择恰当的方法表示集合. (2)掌握集合并集、交集、补集运算,注意与解不等式、解方程和函数基本概念的交汇问题. (3)能准确判断命题的真假,并能根据具体问题情境判断充分条件、必要条件和充要条件. (4)能准确地对全称量词命题(或存在量词命题)进行否定.

高考数学一轮复习第一章集合与常用逻辑用语第1讲集合课件文高三全册数学课件

12/11/2021
(2)已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若B ⊆A，则实数m的取值范围为________．
[解析] 因为B⊆A，所以①若B＝∅，则2m－1<m＋1，此时m<2.
2m－1≥m＋1， ②若B≠∅，则m＋1≥－2，
2m－1≤5.
解得2≤m≤3.
由①、②可得，符合题意的实数m的取值范围为m≤3. [答案] m≤3
y2)|(x1，y1)∈A，(x2，y2)∈B}，则A ＋B中元素的个数为( )
12/11/2021
5．已知集合A＝{x|log2x≤2}，B＝(－∞，a)，若A⊆B，实数a 的取值范围是(c，＋∞)，则c＝________.
[解析] 由log2x≤2，得0<
x≤4.
即A＝{x|0<x≤4}，而B＝(－∞，a)，由于A⊆B，
如图所示，则a>4，即c＝4.
[答案] 4
12/11/2021
∈N}，则满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数为( )
A．1
B．2
C．3
D．4
12/11/2021
[解析] (1)由x2－3x＋2＝0，得x＝1或x＝2，所以A＝{1,2}．由题意知B＝{1,2,3,4}．
所以满足条件的C可为{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}， {1,2,3,4}． [答案] D
12/11/2021
3．已知P＝{x|2<x<k，x∈N}，若集合P中恰有3个元素，则k的取值范围为________．
[解析] 因为P中恰有3个元素，所以P＝{3,4,5}，故k的取值范围为5<k≤6. [答案] 5<k≤6
12/11/2021

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高考文科数学一轮复习
单元一集合与常用逻辑用语练习题
班级：＿＿＿＿＿＿姓名：＿＿＿＿＿＿
1.设集合︒=≤=40sin },4|{m x x A ，则下列关系中正确的是（ D ） A ．A m ⊂
B ．A m ⊄
C ．A m ∈}{
D ．A m ⊆
}{
2.设集合{
}4,3,2,1=A ，{}5,4,3=B ，全集B A U ⋃=，则集合()B A C U ⋂中的元素个数为（ C ）
A ． 1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
3.若集合P={0，1，2}，Q=10
(,)|,,20x y x y x y P x y ⎧-+>⎫⎧∈⎨⎨⎬--<⎩⎩⎭
,则Q 中元素的个数是（ B ）
A ． 3
B ． 5
C ． 7
D ． 9
4.已知集合{}1,0,1,2,A =-，集合{}0,2,4,6B =，则集合A B I =（ C ） A ．{}1,2,4 B ．{}2,4 C ．{}0,2 D ． {}-1,0,1,2,4,6
5.设全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，集合=A {2，3，4，5}，=B {2，4，6，8}，则
集合A I C U B 等于（ A ） A{3，5} B{1，2，3，4，5，7}
C{6，8}
D{1，2，4，6，7，8}
6.已知全集}6,5,4,3,2,1{=U ，集合}5,3,1{=A ，}6,5,4{=B ，则结合)(C U B A Y =（ B ） A ．}6,4,2{
B ．}2{
C ．}5{
D ．}6,5,4,3,1{
7.已知全集{1,2,3,4,5,6}U =，集合{2,3,5}M =，{4,5}N =，则[
)(N M u ⋃等于
（ D ） A ．{1,3,5}
B ．{2,4,6}
C ．{1,5}
D ．{1,6}
8.已知全集U =R ，集合{}
|12A x x =->，{
}
2
|680B x x x =-+<，则集合
[=⋂B A u )(( C )
A .{}|14x x -≤≤ B.{}|23x x ≤< C.{}|23x x <≤ D.{}|14x x -<<
9.设集合01234{,,,,}S A A A A A =，在S 上定义运算⊙为：i A ⊙j k A A =，其中||k i j =-，
0,1,2,3,4,i j ==0,1,2,3,4.那么满足条件(i A ⊙)j A ⊙21A A =（i A S ∈,j A S ∈）的有
序数对(,)i j 共有（ A ）
（A ）12个（B ）8个（C ）6个（D ） 4个
10.将正偶数集合,6,4,2{…}从小到大按第n 组有n 2个偶数进行分组如下：
第一组第二组第三组 …………
}4,2{ }12,10,8,6{ }28,26,24,22,20,18,16,14{ …………
则2010位于（ C ）
A ．第7组 B.第8组 C.第9组 D. 第10组
（10年延庆抽样测试9）已知集合)01|{>+=x x A ，)2|||{≤=x x B .则=B A I .
}21|{≤<-x x
(10年1月海淀区上学期期末练习15)已知集合S ={x |
2
05
+<-x x }， P ={ x | 1a +<x 215a <+ }，
（Ⅰ）求集合S ；
（Ⅱ）若S P ⊆，求实数a 的取值范围. 解：（I ）因为
05
2
<-+x x ，所以0)2)(5(<+-x x . ……………………………2分解得25x -<<, ……………………………4分则集合{|25}S x x =-<<. ……………………………6分
（II ）因为P S ⊆, 所以⎩⎨
⎧+≤-≤+15
252
1a a , ……………………………8分
解得⎩
⎨
⎧-≥-≤53
a a , ……………………………10分
所以]3,5[--∈a . ……………………………12分（10年密云抽样测试5）下列命题：①2
x x x ∀∈,≥R ；②2
x x x ∃∈,≥R ； ③43≥；
④“2
1x ≠”的充要条件是“1x ≠,或1x ≠-”. 中,其中正确命题的个数是（ D ） A ．0
B ．1
C ．2
D ．31.已知命题p ：x ∀∈R ，||0x ≥，那么命题p ⌝为（ C ）（A ）x ∃∈R ，||0x ≤ （B ）x ∀∈R ，||0x ≤ （C ）x ∃∈R ，||0x < （D ）x ∀∈R ，||0x <
2.已知命题 :p x ∀∈R ，2x ≥，那么命题p ⌝为（ B ） A ．2x x ∀∈≤R ， B ．2x x ∃∈<R ， C ．2x x ∀∈≤-R ， D ．2x x ∃∈<-R ， 4.下列命题中的真命题是（ D ）
A.R x ∈∃使得5.1cos sin =+x x
B. x x x cos sin ),,0(>∈∀π
C.R x ∈∃使得12
-=+x x D. 1),,0(+>+∞∈∀x e x x
5.已知命题p ：0x ∃∈R ，2
00220x x ++≤，那么下列结论正确的是( B )
（A ）0:p x ⌝
∃∈R ，2
00220x x ++> （B ）:p x ⌝∀∈R ，2
220x x ++> （C ）0:p x ⌝
∃∈R ，2
00220x x ++≥ （D ）:p x ⌝∀∈R ，2
220x x ++≥
6. “2a =”是“直线20ax y +=与1x y +=平行”的（ C ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
(东城区普通校09-10下学期联考试卷4) 命题p ：∃实数∈x 集合A ，满足032x x 2
<--，命题q ：∀实数∈x 集合A ，满足032x x 2
<--，则命题p 是命题q 为真的（ B ） A 、充分不必要条件 B 、必要不充分条件
C 、充要条件
D 、非充分非必要条件
（10年崇文区一模8）如果对于任意实数x ，[]x 表示不超过x 的最大整数. 例如[]3.273=，
[]0.60=.那么“[][]x y =”是“1x y -<”的( A )
（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件
（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件
(10年西城区高三年级抽样测试4)“b a <<0”是“b
a
)4
1()4
1(>”的（ A ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件
D ．既不是充分条件也不是必要条件
(10年1月宣武区上学期期末检测2)“2=a ”是“直线03:2
1=+-y x a l 与直线
14:2-=x y l 互相垂直”的（ A ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
（10年崇文区上学期期末统一练习4）“2m =-”是“直线(1)20m x y ++-=与直线
(22)10mx m y +++=相互垂直”的（ A ）
（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件
（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件
（10年丰台区一模8）在ABC ∆中，AB AC BA BC ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r “” 是 AC BC =u u u r u u u r
“”的（ C ）
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
（10年门头沟区抽样测试2）已知向量)6,(,)3,2(x b a =-=，则“=x 9”是“b a //”
的（ D ）
（A ）充分但不必要条件
（B ）必要但不充分条件（C ）充要条件
（D）既不充分也不必要条件
(10年宣武区高三下学期第一次质量检测10)命题“任意常数列都是等比数列”的否定形式是 . 存在一个常数列不是等比数列。

高考文科数学一轮复习集合与常用逻辑用语练习题(1)讲课教案

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