【数学】山西省太原市第五中学2016—2017学年度高二下学期期中考试(理)

山西省太原市第五中学2016—2017学年度
高二下学期期中考试（理）
一、选择题（每小题4分,共40分,每小题只有一个正确答案）
1.用反证法证明某命题时，对结论：“自然数,,a b c 中恰有一个偶数”正确的反设为（ ） A ．,,a b c 都是奇数 B ．,,a b c 都是偶数 C ．,,a b c 中至少有两个偶数 D ．,,a b c 至少有两个偶数或都是奇数
2.在复平面内，复数z 满足()113z i i +=+，则z 的共轭复数对应的点位于（ ） A . 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3.设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量X 去描述1次试验的成功次数，则
(0)P X ==（ ）
A.0
B.
12 C.13 D. 23
4.用数学归纳法证明：111
1,(,1)2321
n n n N n *++++<∈>-L 时，在第二步证明从n k
=到1n k =+成立时，左边增加的项数是（ ） A. k
2 B. 12-k
C. 1
2
-k
D.12+k
5.设,,(0)a b m m >为整数，若a 和b 被m 除得的余数相同，则称a 和b 对模m 同余，记为
()mod a b m =.若0122202020
202020222a C C C C =+⋅+⋅++⋅L ，()mod10a b =，则b 的值可以是（ ）
A.2011
B.2012
C.2013
D. 2014
6. 5名学生进行知识竞赛.笔试结束后，甲、乙两名参赛者去询问成绩，回答者对甲说：“你们5人的成绩互不相同，很遗憾，你的成绩不是最好的”；对乙说：“你不是最后一名”.根据以上信息，这5人的笔试名次的所有可能的种数是（ ） A ．54 B ．72 C ．78 D ．96
7.若6
1n
x x x ⎛⎫+ ⎪⎝
⎭的展开式中含有常数项，则n 的最小值等于（ ）
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
8.在二项式4
12n
x x ⎛
⎫+ ⎪⋅⎝
⎭的展开式，前三项的系数成等差数列，把展开式中所有的项重新排成一列，有理项都互不相邻的概率为（ ） A.
16 B. 14 C. 13 D. 5
12
9.小赵、小钱、小孙、小李到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件A =“4个人去的景点互不相同”，事件B =“小赵独自去一个景点”，则()
P A B =（ ） A.
29 B. 13 C. 49 D. 59
10.现定义θθθsin cos i e i +=，其中i 为虚数单位，e 为自然对数的底数，R ∈θ，且实数
指数幂的运算性质对θi e 都适用，若θθθθθ4
452325505sin cos sin cos cos C C C a +-=，143235
5555cos sin cos sin sin b C C C θθθθθ=-+，那么复数bi a +等于（ ）
A ．cos5sin5i θθ+
B ．cos5sin5i θθ-
C ．sin5cos5i θθ+
D ．sin5cos5i θθ- 二、填空题（每小题4分，共20分）
11.随机变量X 等可能取值为1,2,3,,n L ，如果1
(4)2
P X <=，那么n = ． 12.如图：三个元件正常工作的概率分别为
，将它们中某两个元件并联后再和第三个元件串联接入电路，在如图的电路中，电路不发生故障的概率是 ． 13.数学老师从一张测试卷的12道选择题、4道填空题、6道解答题中任取3道题作分析，则在取到选择题时解答题也取到的不同取法有种. 14.已知下列等式：
222222222222222211135171357949
135********
=-+=-+-+=-+-+-+=
观察上式的规律,写出第7个等式____________________. 15. 已知表中的对数值有且只有两个是错误的：
123T ,T ,T 133
,,244
x
1.5 3 5 6
8 9 12
lg x 3a b c -+ 2a b - a c + 1a b c
+--
3(1)a c -- 2(2)a b - 12a b -+
请你指出这两个错误 ．（答案写成如lg 20a b c ≠+-的形式） 三、解答题（每小题10分，共40分）
16.（10分）已知点x P (,)y 是圆
y y x 22
2=+上的动点， （1）求y x +2的取值范围；
（2）若0≥++a y x 有解，求实数a 的取值范围．
17.已知3()n x x -的二项展开式中所有奇数项的系数之和为512. (1)求展开式的所有有理项（指数为整数）；
(2)求3
4
(1)(1)(1)n
x x x -+-++-L 展开式中项的系数．
18.某企业有甲、乙两个研发小组，他们研究新产品成功的概率分别为34和3
5
，现安排甲组研发新产品A ，乙组研发新产品B ，设甲、乙两组的研发相互独立. （1）求恰好有一种新产品研发成功的概率；
（2）若新产品A 研发成功，预计企业可获得利润120万元，不成功则会亏损50万元；若新产品B 研发成功，企业可获得利润100万元，不成功则会亏损40万元，求该企业获利ξ万元的分布列.
2
x
19.在数列 {},{}n n a b 中，112,4a b ==，且1,,n n n a b a +成等差数列，11,,n n n b a b ++成等比数列*
()n N ∈.
(1)求234,,a a a 及234,,b b b ，由此猜测{},{}n n a b 的通项公式，并证明你的结论； (2)证明：
11221115
12
n n a b a b a b +++<+++L .
参考答案
一．选择题：
二．填空
题：
11. 6 12. 13.864 14. 2222
2
2
135********-+-+-+=L 【解析】2
11=
()222135123517-+=++=
()()2222213579123527949-+-+=++++=
()()()222222213579111312352792111397-+-+-+=++++++=
L
()()22222213572325123522325-+-+-+=+++++L L
15. lg1.53,lg1212a b c a b ≠-+≠-+ 三．解答题：
16．(本小题满分10分）
解：（1）设圆的参数方程为cos 1sin x y θθ=⎧⎨
=+⎩
，
22cos sin 15sin()1x y θθθϕ+=++=++ 51251x y ∴-+≤+≤+
（2）cos sin 10x y a a θθ++=+++≥
(cos sin )12sin()1
4
21
a a π
θθθ∴≥-+-=-+-∴≥--
32
15
4141121=
⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-=
p 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D A
C
A
A
c
C
D
A
A
17.解:（1） ∴， （ r =0, 1, …，10 ）
∵Z ，∴，6
有理项为， （2）∵，∴
项的系数为
18.
19.(1)解 由条件得2b n ＝a n ＋a n ＋1，a 2n ＋1＝b n b n ＋1.由此可得a 2＝6，b 2＝9，a 3＝12，b 3＝16，a 4＝20，b 4＝25. 猜测a n ＝n (n ＋1)，b n ＝(n ＋1)2. 用数学归纳法证明：
①当n ＝1时，由上可得结论成立．
②假设当n ＝k (k ≥1且k ∈N *)时，结论成立，即a k ＝k (k ＋1)，b k ＝(k ＋1)2，
912025122===++-n n n
C C Λ91=-n 10=n 6
510321*********)
1()
1()()
(
r
r
r
r
r r r
r r
r
r x
C x
C x x C T -
+
--+-=-=-=
∈-6
5r
0=r 55010
1x x C T ==446107210x x C T ==r n r n r n C C C 11+-=+r
n r n r n C C C -=+-112x )()()(3
10311343533342102423C C C C C C C C C -++-+-=+++ΛΛ16433311=-=C
C
那么当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝2b k －a k ＝2(k ＋1)2
－k (k ＋1)＝(k ＋1)(k ＋2)，b k ＋1＝a 2k ＋1
b k
＝(k ＋2)2，
所以当n ＝k ＋1时，结论也成立．
由①②，可知a n ＝n (n ＋1)，b n ＝(n ＋1)2对一切正整数都成立． (2)证明
1a 1＋b 1＝16＜5
12
. n ≥2时，由(1)知a n ＋b n ＝(n ＋1)(2n ＋1)＞2(n ＋1)n . 故1a 1＋b 1＋1a 2＋b 2＋…＋1a n ＋b n ＜16＋12⎣⎡⎦⎤12×3＋13×4＋…＋1n n ＋1 ＝16＋12⎝⎛⎭⎫12－13＋13－14＋…＋1n －1n ＋1＝16＋12⎝⎛⎭⎫12－1n ＋1＜16＋14＝5
12. 综上，原不等式成立．。