2020年高中数学选修2-3《2.2二项分布及其应用》测试卷及答案解析
人教版高中数学选修2-3练习：第二章2.2-2.2.3独立重复试验与二项分布Word版含解析
两种大树移栽的成活率分别为 56和45，且各棵大树是否成活互不影响，
求移栽的 4 棵大树中．
(1)至少有 1 棵成活的概率；
(2)两种大树各成活 1 棵的概率．
解：设 Ak 表示第 k 棵甲种大树成活， k＝1，2，Bl 表示第 l 棵乙种
大树成活， l＝1，2，
5 则 A1， A2， B1， B2 相互独立，且 P(A1)＝P(A2)＝ 6， P(B1)＝ P(B2) ＝45.
A． 1－ pk
B． (1－ p)kpn－k
C． 1－ (1－ p) k
D
．
C
k n
(1－
p)
kpn
－k
—
—
解析：A 出现 1 次的概率为 1－p，由二项分布概率公式可得 A 出
现 k 次的概率为
C
k n
(1－
p)
kpn－
k
.
答案： D
4．若 X～ B(10，0.8)，则 P(X＝8)等于 ( )
A． C810×0.88× 0.22
160
20
4
1
P 729 243 243 729 243 243 729
B 级 能力提升
1．在 4 次独立重复试验中， 随机事件 A 恰好发生 1 次的概率不大
于其恰好发生 2 次的概率，则事件 A 在一次试验中发生的概率 p 的取
值范围是 ( )
A． 0.4， 1)
B．(0， 0.4]
C． 0.6， 1)
解： 依据已知条件，可将遇到每个交通岗看作一次试验，遇到红
灯的概率都是 13，且每次试验结果都是相互独立的，所以
1 X～B 6，3 .
故
P(X＝ k)＝ Ck6
2020年高中数学人教A版选修2-3 随机变量及其分布 2.2-2.2.2练习 Word版含答案
学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．有以下三个问题：①掷一枚骰子一次，事件M ：“出现的点数为奇数”，事件N ：“出现的点数为偶数”；②袋中有3白、2黑，5个大小相同的小球，依次不放回地摸两球，事件M ：“第1次摸到白球”，事件N ：“第2次摸到白球”；③分别抛掷2枚相同的硬币，事件M ：“第1枚为正面”，事件N ：“两枚结果相同”．这三个问题中，M ，N 是相互独立事件的有( ) A ．3个 B ．2个 C ．1个 D ．0个 【解析】 ①中，M ，N 是互斥事件；②中，P (M )＝35，P (N )＝12.即事件M 的结果对事件N 的结果有影响，所以M ，N 不是相互独立事件；③中，P (M )＝12，P (N )＝12，P (MN )＝14，P (MN )＝P (M )P (N )，因此M ，N 是相互独立事件． 【答案】 C2．(2016·东莞调研)从甲袋中摸出一个红球的概率是13，从乙袋中摸出一个红球的概率是12，从两袋各摸出一个球，则23表示( )A ．2个球不都是红球的概率B ．2个球都是红球的概率C ．至少有1个红球的概率D ．2个球中恰有1个红球的概率【解析】 分别记从甲、乙袋中摸出一个红球为事件A ，B ，则P (A )＝13，P (B )＝12，由于A ，B 相互独立，所以1－P (A )P (B )＝1－23×12＝23.根据互斥事件可知C 正确．【答案】 C3．甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军．若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为( )A.34B.23C.35D.12【解析】 问题等价为两类：第一类，第一局甲赢，其概率P 1＝12；第二类，需比赛2局，第一局甲负，第二局甲赢，其概率P 2＝12×12＝14.故甲队获得冠军的概率为P 1＋P 2＝34.【答案】 A4.在荷花池中，有一只青蛙在成品字形的三片荷叶上跳来跳去(每次跳跃时，均从一叶跳到另一叶)，而且逆时针方向跳的概率是顺时针方向跳的概率的两倍，如图2-2-2所示．假设现在青蛙在A 叶上，则跳三次之后停在A 叶上的概率是( )图2-2-2A.13B.29C.49D.827【解析】 青蛙跳三次要回到A 只有两条途径： 第一条：按A →B →C →A ， P 1＝23×23×23＝827； 第二条，按A →C →B →A ，P 2＝13×13×13＝127.所以跳三次之后停在A 叶上的概率为 P ＝P 1＋P 2＝827＋127＝13. 【答案】 A5．如图2-2-3所示，在两个圆盘中，指针落在圆盘每个数所在区域的机会均等，那么两个指针同时落在奇数所在区域的概率是( )图2-2-3A.49B.29C.23D.13【解析】 “左边圆盘指针落在奇数区域”记为事件A ，则P (A )＝46＝23，“右边圆盘指针落在奇数区域”记为事件B ，则P (B )＝23，事件A ，B 相互独立，所以两个指针同时落在奇数区域的概率为23×23＝49，故选A.【答案】 A 二、填空题6．(2016·铜陵质检)在甲盒内的200个螺杆中有160个是A 型，在乙盒内的240个螺母中有180个是A 型．若从甲、乙两盒内各取一个，则能配成A 型螺栓的概率为________．【解析】 “从200个螺杆中，任取一个是A 型”记为事件B.“从240个螺母中任取一个是A 型”记为事件C ，则P (B )＝C 1160C 1200，P (C )＝C 1180C 1240.∴P (A )＝P (BC )＝P (B )·P (C )＝C 1160C 1200·C 1180C 1240＝35. 【答案】 357．三人独立地破译一份密码，他们能单独译出的概率分别为15，13，14，假设他们破译密码是彼此独立的，则此密码被破译的概率为________. 【导学号：97270041】【解析】用A，B，C分别表示“甲、乙、丙三人能破译出密码”，则P(A)＝15，P(B)＝13，P(C)＝14，且P(A B C)＝P(A)P(B)P(C)＝45×23×34＝25.所以此密码被破译的概率为1－25＝35.【答案】358．台风在危害人类的同时，也在保护人类．台风给人类送来了淡水资源，大大缓解了全球水荒，另外还使世界各地冷热保持相对均衡．甲、乙、丙三颗卫星同时监测台风，在同一时刻，甲、乙、丙三颗卫星准确预报台风的概率分别为0.8,0.7,0.9，各卫星间相互独立，则在同一时刻至少有两颗预报准确的是________．【解析】设甲、乙、丙预报准确依次记为事件A，B，C，不准确记为A，B，C，则P(A)＝0.8，P(B)＝0.7，P(C)＝0.9，P(A)＝0.2，P(B)＝0.3，P(C)＝0.1，至少两颗预报准确的事件有AB C，A B C，A BC，ABC，这四个事件两两互斥且独立．所以至少两颗预报准确的概率为P＝P(AB C)＋P(A B C)＋P(A BC)＋P(ABC)＝0.8×0.7×0.1＋0.8×0.3×0.9＋0.2×0.7×0.9＋0.8×0.7×0.9＝0.056＋0.216＋0.126＋0.504＝0.902.【答案】0.902三、解答题9．根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险的概率为0.3.设各车主购买保险相互独立．(1)求该地的1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率；(2)求该地的3位车主中恰有1位车主甲、乙两种保险都不购买的概率．【解】记A表示事件：该地的1位车主购买甲种保险；B表示事件：该地的1位车主购买乙种保险；C表示事件：该地的1位车主至少购买甲、乙两种保险中的一种；D表示事件：该地的1位车主甲、乙两种保险都不购买；E表示事件：该地的3位车主中恰有1位车主甲、乙两种保险都不购买．(1)P(A)＝0.5，P(B)＝0.3，C＝A＋B，P(C)＝P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝0.8.(2)D＝C，P(D)＝1－P(C)＝1－0.8＝0.2，P(E)＝0.8×0.2×0.8＋0.8×0.8×0.2＋0.2×0.8×0.8＝0.384.10．某城市有甲、乙、丙3个旅游景点，一位游客游览这3个景点的概率分别是0.4,0.5,0.6，且游客是否游览哪个景点互不影响，用ξ表示该游客离开该城市时游览的景点数与没有游览的景点数之差的绝对值，求ξ的分布列．【解】设游客游览甲、乙、丙景点分别记为事件A1，A2，A3，已知A1，A2，A3相互独立，且P(A1)＝0.4，P(A2)＝0.5，P(A3)＝0.6，游客游览的景点数可能取值为0,1,2,3，相应的游客没有游览的景点数可能取值为3,2,1,0，所以ξ的可能取值为1,3.则P(ξ＝3)＝P(A1·A2·A3)＋P(A1·A2·A3)＝P(A1)·P(A2)·P(A3)＋P(A1)·P(A2)·P(A3)＝2×0.4×0.5×0.6＝0.24.P(ξ＝1)＝1－0.24＝0.76.所以分布列为：1．设两个独立事件A和B都不发生的概率为19，A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相同，则事件A发生的概率P(A)是()A.29B.118C.13D.23【解析】 由P (A B )＝P (B A )，得P (A )P (B )＝P (B )·P (A )，即P (A )[1－P (B )]＝P (B )[1－P (A )]，∴P (A )＝P (B )．又P (A B )＝19， ∴P (A )＝P (B )＝13，∴P (A )＝23. 【答案】 D2.三个元件T 1，T 2，T 3正常工作的概率分别为12，34，34，且是互相独立的．将它们中某两个元件并联后再和第三个元件串联接入电路，在如图2-2-4的电路中，电路不发生故障的概率是( )图2-2-4A.1532B.932C.732D.1732【解析】 记“三个元件T 1，T 2，T 3正常工作”分别为事件A 1，A 2，A 3，则P (A 1)＝12，P (A 2)＝34，P (A 3)＝34.不发生故障的事件为(A 2∪A 3)A 1， ∴不发生故障的概率为 P ＝P [(A 2∪A 3)A 1]＝[1－P (A 2)·P (A 3)]·P (A 1) ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14×14×12＝1532.故选A. 【答案】 A3．本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多，某自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费2元(不足1小时的部分按1小时计算)，有甲、乙两人相互独立来该租车点租车骑游(各租一车一次)．设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为14，12，两小时以上且不超过三小时还车的概率分别是12，14，两人租车时间都不会超过四小时．求甲、乙两人所付的租车费用相同的概率为________. 【导学号：97270042】【解析】 由题意可知，甲、乙在三小时以上且不超过四个小时还车的概率分别为14，14，设甲、乙两人所付的租车费用相同为事件A ，则P (A )＝14×12＋12×14＋14×14＝516.所以甲、乙两人所付的租车费用相同的概率为516. 【答案】 5164．在一段线路中并联着3个自动控制的开关，只要其中1个开关能够闭合，线路就能正常工作．假定在某段时间内每个开关能够闭合的概率都是0.7，计算在这段时间内线路正常工作的概率．【解】 如图所示，分别记这段时间内开关J A ，J B ，J C 能够闭合为事件A ，B ，C .由题意，这段时间内3个开关是否能够闭合相互之间没有影响，根据相互独立事件的概率乘法公式，这段时间内3个开关都不能闭合的概率是P (A －B －C －)＝P (A )P (B )P (C ) ＝[1－P (A )][1－P (B )][1－P (C )] ＝(1－0.7)×(1－0.7)×(1－0.7) ＝0.027.于是这段时间内至少有1个开关能够闭合，从而使线路能正常工作的概率是1－P (A －B －C －)＝1－0.027＝0.973.即在这段时间内线路正常工作的概率是0.973......................................使用本文档删除后面的即可致力于打造全网一站式文档服务需求，为大家节约时间文档来源网络仅供参考欢迎您下载可以编辑的word文档谢谢你的下载本文档目的为企业和个人提供下载方便节省工作时间，提高工作效率，打造全网一站式精品需求!欢迎您的下载，资料仅供参考!（本文档收集于网络改编，由于文档太多，审核难免疏忽，如有侵权或雷同，告知本店马上删除）。
高中数学 第二章 随机变量及其分布 2.2 二项分布及其应用同步检测(含解析)新人教A版选修2-3(
高中数学第二章随机变量及其分布2.2 二项分布及其应用同步检测（含解析）新人教A版选修2-3编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学第二章随机变量及其分布2.2 二项分布及其应用同步检测（含解析）新人教A版选修2-3）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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2。
2二项分布及其应用一、选择题1. 已知随机变量X ，则)2(=X P =( ）A 答案：D解析：解答分析：本题主要考查了二项分布与n 次独立重复试验的模型，解决问题的关键是根据二项分布性质进行计算即可。
2. 导弹发射的事故率为0.01，若发射10次，其出事故的次数为ξ,则下列结论正确的是 A. P(ξ=k ）=0。
01k·0.9910-kB. P （ξ=k ）=10k C ·0.99k ·0。
0110-kC 。
E ξ=0。
1D 。
D ξ=0.1 答案：C解析：解答：由于每次发射导弹是相互独立的，且重复了10次，所以可以认为是10次独立重复试验，故服从二项分布kk k C k P 01.099.0)(1010-==ξ,1.001.010)(=⨯==np E ξ，099.0)1()(=-=p np D ξ，故C 。
分析：本题主要考查了二项分布与n 次独立重复试验的模型，解决问题的关键是根据二项分布与n 次独立重复试验的模有关的知识点进行计算即可.3。
在四次独立重复试验中,事件A 在每次试验中出现的概率相同，若事件A 至少发生一次的A 恰好发生一次的概率为（ ）A 答案：C解析：解答：设事件A 在每次试验中发生的概率为p ，则事件A 在4次独立重复试验中，恰好发生k 次的概率为 p k ＝4k C p k (1－p ）4－k(k ＝0，1，2,3，4），∴p 0＝04C p 0（1－p ）4＝（1－p ）4,由条件知1－p 0∴（1－p ）4∴1－p ∴p∴p 1＝14C p·（1－p ）33故选C 。
高中数学选修2-3《2.2二项分布及其应用》测试卷解析版
高中数学选修2-3《2.2二项分布及其应用》测试卷解析版一．选择题（共6小题）1．三个元件T1，T2，T3正常工作的概率分别为且是互相独立的，按图种方式接入电路，电路正常工作的概率是（）A．B．C．D．【分析】电路正常工作的条件是T1必须正常工作，T2，T3至少有一个正常工作，由此利用相互独立事件乘法公式和对立事件概率公式能求出电路正常工作的概率．【解答】解：∵三个元件T1，T2，T3正常工作的概率分别为且是互相独立的，图种方式接入电路，∴电路正常工作的条件是T1必须正常工作，T2，T3至少有一个正常工作，∴电路正常工作的概率：P＝（1﹣）＝．故选：C．【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意相互独立事件乘法公式和对立事件概率计算公式的合理运用．2．抛掷3枚质地均匀的硬币，A＝{既有正面向上又有反面向上}，B＝{至多有一个反面向上}，则A与B关系是（）A．互斥事件B．对立事件C．相互独立事件D．不相互独立事件【分析】由于A中的事件发生与否对于B中的事件是否发生不产生影响，故A与B是相互独立的，从而得出结论．【解答】解：由于A中的事件发生与否对于B中的事件是否发生不产生影响，故A与B 是相互独立的，故选：C．【点评】本题主要考查相互独立事件的定义，属于基础题．3．某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（）A．0.8B．0.75C．0.6D．0.45【分析】设随后一天的空气质量为优良的概率为p，则由题意可得0.75×p＝0.6，由此解得p的值．【解答】解：设随后一天的空气质量为优良的概率为p，则由题意可得0.75×p＝0.6，解得p＝0.8，故选：A．【点评】本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式的应用，属于基础题．4．投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试．已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为（）A．0.648B．0.432C．0.36D．0.312【分析】判断该同学投篮投中是独立重复试验，然后求解概率即可．【解答】解：由题意可知：同学3次测试满足X∽B（3，0.6），该同学通过测试的概率为＝0.648．故选：A．【点评】本题考查独立重复试验概率的求法，基本知识的考查．5．设某批产品合格率为，不合格率为，现对该产品进行测试，设第ε次首次取到正品，则P（ε＝3）等于（）A．C32（）2×（）B．C32（）2×（）C．（）2×（）D．（）2×（）【分析】根据题意，P（ε＝3）即第3次首次取到正品的概率，若第3次首次取到正品，即前两次取到的都是次品，第3次取到正品，由相互独立事件的概率计算可得答案．【解答】解：根据题意，P（ε＝3）即第3次首次取到正品的概率；若第3次首次取到正品，即前两次取到的都是次品，第3次取到正品，则P（ε＝3）＝（）2×（）；故选：C．【点评】本题考查相互独立事件的概率计算，解题的关键在于正确理解P（ε＝3）的意义．6．已知P（B|A）＝，P（A）＝，则P（AB）＝（）A．B．C．D．【分析】根据条件概率的公式，整理出求事件AB同时发生的概率的表示式，代入所给的条件概率和事件A的概率求出结果．【解答】解：∵P（B/A）＝，P（A）＝，∴P（AB）＝P（B/A）•P（A）＝＝，故选：D．【点评】本题考查条件概率与独立事件，本题解题的关键是记住并且会利用条件概率的公式，要正确运算数据，本题是一个基础题．二．填空题（共1小题）7．为了考察某校各班参加课外小组的人数，从全校随机抽取5个班级，把每个班级参加该小组的人数作为样本数据，已知样本平均数为7，样本方差为4，且样本数据互不相同，则样本数据中的最大值为10．【分析】本题可运用平均数公式求出平均数，再运用方差的公式列出方差表达式，再讨论样本数据中的最大值的情况，即可解决问题．【解答】解：设样本数据为：x1，x2，x3，x4，x5，平均数＝（x1+x2+x3+x4+x5）÷5＝7；方差s2＝[（x1﹣7）2+（x2﹣7）2+（x3﹣7）2+（x4﹣7）2+（x5﹣7）2]÷5＝4．从而有x1+x2+x3+x4+x5＝35，①（x1﹣7）2+（x2﹣7）2+（x3﹣7）2+（x4﹣7）2+（x5﹣7）2＝20．②若样本数据中的最大值为11，不妨设x5＝11，则②式变为：（x1﹣7）2+（x2﹣7）2+（x3﹣7）2+（x4﹣7）2＝4，由于样本数据互不相同，这是不可能成立的；若样本数据为4，6，7，8，10，代入验证知①②式均成立，此时样本数据中的最大值为10．故答案为：10．【点评】本题考查的是平均数和方差的求法．计算方差的步骤是：①计算数据的平均数；②计算偏差，即每个数据与平均数的差；③计算偏差的平方和；④偏差的平方和除以数据个数．三．解答题（共9小题）8．某商场一号电梯从1层出发后可以在2、3、4层停靠．已知该电梯在1层载有4位乘客，假设每位乘客在2、3、4层下电梯是等可能的．（Ⅰ）求这4位乘客中至少有一名乘客在第2层下电梯的概率；（Ⅱ）用X表示4名乘客在第4层下电梯的人数，求X的分布列和数学期望．【分析】（I）根据题意知每位乘客在第2层下电梯的概率都是，至少有一名乘客在第2层下电梯的对立事件是没有人在第二层下电梯，根据对立事件和相互独立事件的概率公式得到结果．（II）由题意知X的可能取值为0，1，2，3，4，由题意可得每个人在第4层下电梯的概率均为，且每个人下电梯互不影响，得到变量符合二项分布，根据二项分布的公式写出分布列和期望．【解答】解：（Ⅰ）设4位乘客中至少有一名乘客在第2层下电梯的事件为A，…（1分）由题意可得每位乘客在第2层下电梯的概率都是，…（3分）则．…（6分）（Ⅱ）X的可能取值为0，1，2，3，4，…（7分）由题意可得每个人在第4层下电梯的概率均为，且每个人下电梯互不影响，所以，．…（9分）X01234P…（11分）．…（13分）【点评】本题看出离散型随机变量的分布列和期望，本题解题的关键是看出变量符合二项分布的特点，后面用公式就使得运算更加简单9．为了了解某年段1000名学生的百米成绩情况，随机抽取了若干学生的百米成绩，成绩全部介于13秒与18秒之间，将成绩按如下方式分成五组：第一组[13，14）；第二组[14，15）；…；第五组[17，18]．按上述分组方法得到的频率分布直方图如图所示，已知图中从左到右的前3个组的频率之比为3：8：19，且第二组的频数为8．（Ⅰ）将频率当作概率，请估计该年段学生中百米成绩在[16，17）内的人数；（Ⅱ）求调查中随机抽取了多少个学生的百米成绩；（Ⅲ）若从第一、五组中随机取出两个成绩，求这两个成绩的差的绝对值大于1秒的概率．【分析】（1）根据频率分步直方图中小正方形的面积是这组数据的频率，用长乘以宽得到面积，即为频率．（II）根据所有的频率之和是1，列出关于x的方程，解出x的值做出样本容量的值，即调查中随机抽取了50个学生的百米成绩．（III）本题是一个古典概型，试验发生所包含的事件是从第一、五组中随机取出两个成绩，满足条件的事件是成绩的差的绝对值大于1秒，列举出事件数，根据古典概型概率公式得到结果．【解答】解：（Ⅰ）百米成绩在[16，17）内的频率为0.32×1＝0.32，则共有1000×0.32＝320人；（Ⅱ）设图中从左到右前3个组的频率分别为3x，8x，19x依题意，得3x+8x+19x+0.32+0.08＝1，∴x＝0.02设调查中随机抽取了n个学生的百米成绩，∴n＝50∴调查中随机抽取了50个学生的百米成绩．（Ⅲ）百米成绩在第一组的学生数有3×0.02×1×50＝3，记他们的成绩为a，b，c 百米成绩在第五组的学生数有0.08×1×50＝4，记他们的成绩为m，n，p，q．则从第一、五组中随机取出两个成绩包含的基本事件有{a，b}，{a，c}，{a，m}，{a，n}，{a，p}，{a，q}，{b，c}，{b，m}，{b，n}，{b，p}，{b，q}，{c，m}，{c，n}，{c，p}，{c，q}，{m，n}，{m，p}，{m，q}，{n，p}，{n，q}，{p，q}，共21个其中满足成绩的差的绝对值大于1秒所包含的基本事件有{a，m}，{a，n}，{a，p}，{a，q}，{b，m}，{b，n}，{b，p}，{b，q}，{c，m}，{c，n}，{c，p}，{c，q}，共12个，∴P＝【点评】本题考查样本估计总体，考查古典概型的概率公式，考查频率分布直方图等知识，考查数据处理能力和分析问题、解决问题的能力．10．某校高二年级某班的数学课外活动小组有6名男生，4名女生，从中选出4人参加数学竞赛考试，用X表示其中男生的人数，（1）请列出X的分布列；（2）根据你所列的分布列求选出的4人中至少有3名男生的概率．【分析】（1）本题是一个超几何分步，用X表示其中男生的人数，X可能取的值为0，1，2，3，4．结合变量对应的事件和超几何分布的概率公式，写出变量的分布列和数学期望．（2）选出的4人中至少有3名男生，表示男生有3个人，或者男生有4人，根据第一问做出的概率值，根据互斥事件的概率公式得到结果．【解答】解：（1）依题意得，随机变量X服从超几何分布，随机变量X表示其中男生的人数，X可能取的值为0，1，2，3，4．．∴所以X的分布列为：X01234P（2）由分布列可知至少选3名男生，即P（X≥3）＝P（X＝3）+P（X＝4）＝+＝．【点评】本小题考查离散型随机变量分布列和数学期望，考查超几何分步，考查互斥事件的概率，考查运用概率知识解决实际问题的能力．11．某批产品共10件，已知从该批产品中任取1件，则取到的是次品的概率为P＝0.2．若从该批产品中任意抽取3件，（1）求取出的3件产品中恰好有一件次品的概率；（2）求取出的3件产品中次品的件数X的概率分布列与期望．【分析】设该批产品中次品有x件，由已知，可求次品的件数（1）设取出的3件产品中次品的件数为X，3件产品中恰好有一件次品的概率为；（2）取出的3件产品中次品的件数X可能为0，1，2，求出相应的概率，从而可得概率分布列与期望．【解答】解：设该批产品中次品有x件，由已知，∴x＝2…（2分）（1）设取出的3件产品中次品的件数为X，3件产品中恰好有一件次品的概率为…（4分）（2）∵X可能为0，1，2∴…（10分）∴X的分布为：X012P则…（13分）【点评】本题以实际问题为载体，考查等可能事件的概率，考查随机变量的期望与分布列，难度不大．12．某班组织知识竞赛，已知题目共有10道，随机抽取3道让某人回答，规定至少要答对其中2道才能通过初试，他只能答对其中6道，试求：（1）抽到他能答对题目数的分布列；（2）他能通过初试的概率．【分析】（1）设随机抽出的三道题目某人能答对的道数为X，且X＝0、1、2、3，X服从超几何分布，根据超几何分步的概率公式写出概率和分布列．（2）要答对其中2道才能通过初试，则可以通过初试包括两种情况，即答对两道和答对三道，这两种情况是互斥的，根据上一问的计算可以得到．【解答】解：（1）设随机抽出的三道题目某人能答对的道数为X，且X＝0、1、2、3，X 服从超几何分布，分布列如下：X0123P即X0123P（2）要答对其中2道才能通过初试，则可以通过初试包括两种情况，这两种情况是互斥的，根据上一问的计算可以得到【点评】本题考查超几何分布，本题解题的关键是看出变量符合超几何分布，这样可以利用公式直接写出结果．13．甲有一个箱子，里面放有x个红球，y个白球（x，y≥0，且x+y＝4）；乙有一个箱子，里面放有2个红球，1个白球，1个黄球．现在甲从箱子任取2个球，乙从箱子里再取1个球，若取出的3个球颜色全不相同，则甲获胜．（1）试问甲如何安排箱子里两种颜色的个数，才能使自己获胜的概率最大？（2）在（1）的条件下，求取出的3个球中红球个数的数学期望．【分析】（1）根据甲从箱子任取2个球，乙从箱子里在取1个球，若取出的3个球颜色全不相同，则甲获胜，可得甲获胜的概率，再利用基本不等式，可得x，y的值；（2）由题意知取出的3个球中红球个数ξ的取值为1，2，3，4，分别求出其发生的概率，进而求出次数ξ的数学期望【解答】解：（1）由题意，；∴，当且仅当x＝y＝2时“＝”成立所以当红球与白球各2个时甲获胜的概率最大（2）取出的3个球中红球个数ξ＝0，1，2，3，所以【点评】本题以摸球为素材，考查等可能事件的概率，考查离散型随机变量的期望，考查基本不等式的运用，解题的关键是理解题意，搞清变量的所有取值．14．甲乙两班进行消防安全知识竞赛，每班出3人组成甲乙两支代表队，首轮比赛每人一道必答题，答对则为本队得1分，答错不答都得0分，已知甲队3人每人答对的概率分别为，，，乙队每人答对的概率都是．设每人回答正确与否相互之间没有影响，用ξ表示甲队总得分．（Ⅰ）求随机变量ξ的分布列及其数学期望E（ξ）；（Ⅱ）求在甲队和乙队得分之和为4的条件下，甲队比乙队得分高的概率．【分析】（Ⅰ）由题设知ξ的可能取值为0，1，2，3，分别求出P（ξ＝0），P（ξ＝1），P （ξ＝2），P（ξ＝3），由此能求出随机变量ξ的分布列和数学期望E（ξ）．（Ⅱ）设“甲队和乙队得分之和为4”为事件A，“甲队比乙队得分高”为事件B，分别求出P（A），P（AB），再由P（B/A）＝，能求出结果．【解答】解：（Ⅰ）由题设知ξ的可能取值为0，1，2，3，P（ξ＝0）＝（1﹣）（1﹣）（1﹣）＝，P（ξ＝1）＝（1﹣）（1﹣）+（1﹣）××（1﹣）+（1﹣）（1﹣）×＝，P（ξ＝2）＝++＝，P（ξ＝3）＝＝，∴随机变量ξ的分布列为：ξ01 2 3P数学期望E（ξ）＝0×+1×+2×+3×＝．（Ⅱ）设“甲队和乙队得分之和为4”为事件A，“甲队比乙队得分高”为事件B，则P（A）＝++＝，P（AB）＝＝，P（B|A）＝＝＝．【点评】本题考查离散型随机变量的期分布列和数学期望，考查条件概率的求法，是历年高考的必考题型之一，解题时要注意排列组合知识的合理运用．15．如图，李先生家住H小区，他工作在C科技园区，从家开车到公司上班路上有L1、L2两条路线，L1路线上有A1、A2、A3三个路口，各路口遇到红灯的概率均为；L2路线上有B1、B2两个路口，各路口遇到红灯的概率依次为，．（1）若走L1路线，求最多遇到1次红灯的概率；（2）若走L2路线，求遇到红灯次数X的数学期望；（3）按照“平均遇到红灯次数最少”的要求，请你帮助李先生从上述两条路线中选择一条最好的上班路线，并说明理由．【分析】（1）利用二项分布即可得出；（2）利用相互独立事件的概率计算公式及离散型随机变量的期望计算公式即可得出；（3）由于走路线L1时服从二项分布即可得出期望，比较走两条路的数学期望的大小即可得出要选择的路线．【解答】解：（1）设“走L1路线最多遇到1次红灯”为事件A，包括没有遇到红灯和只遇到红灯一次两种情况．则，所以走L1路线，最多遇到1次红灯的概率为．（2）依题意，X的可能取值为0，1，2．，，．随机变量X的分布列为：X012P所以．（3）设选择L1路线遇到红灯次数为Y，随机变量Y服从二项分布Y～，所以．因为EX＜EY，所以选择L2路线上班最好．【点评】熟练掌握二项分布列、相互独立事件的概率计算公式及离散型随机变量的期望计算公式及其意义是解题的关键．16．某篮球队与其他6支篮球队依次进行6场比赛，每场均决出胜负，设这支篮球队与其他篮球队比赛中获胜的事件是独立的，并且获胜的概率均为．（1）求这支篮球队首次获胜前已经负了两场的概率；（2）求这支篮球队在6场比赛中恰好获胜3场的概率；（3）求这支篮球队在6场比赛中获胜场数的期望．【分析】（1）首次获胜前已经负了两场说明已经比赛三场，前两场输，第三场嬴，用乘法公式即可求得概率；（2）6场比赛中恰好获胜3场的情况有C63，比赛六场胜三场，故用乘法公式即可．（3）由于X服从二项分布，即X～B（6，），由公式即可得出篮球队在6场比赛中获胜场数的期望．【解答】解：（1）这支篮球队首次获胜前已经负了两场的概率为P＝＝（2）6场比赛中恰好获胜3场的情况有C63，故概率为C63×＝20××＝（3）由于X服从二项分布，即X～B（6，），∴EX＝6×＝2【点评】本题考查二项分布与n次独立重复试验的模型，考查根据所给的事件类型选择概率模型的方法，以及用概率模型求概率与期望的能力。
2019-2020学年高中数学人教A版选修2-3同步训练：2.2 二项分布及其应用
2.2 二项分布及其应用1、根据历年气象统计资料，某地四月份吹东风的概率为930，下雨的概率为1130，既吹东风又下雨的概率为830，则在吹东风的条件下下雨的概率为（ ） A.911 B.811C.89D.252、从1,2,3,4,5,6,7,8,9中不放回地依次取2个数，事件A = “第一次取到的是奇数”, 事件B = “第二次取到的是奇数”，则()P B A =( ) A.12B.25C.310D.153、位于直角坐标系原点的质点P 按以下规则移动:①每次移动一个单位,②向左移动的概率为14，向右移动的概率为34.移动5次后落点在(1,0)-的概率为( ) A.32351344C ⎛⎫⎛⎫⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B.23351344C ⎛⎫⎛⎫⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C.32241344C ⎛⎫⎛⎫⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D.23241344C ⎛⎫⎛⎫⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭4、甲、乙两人参加“社会主义价值观”知识竞赛，甲、乙两人能荣获一等奖的概率分別为23和34,甲、乙两人是否获得一等奖相互独立，则这两个人中恰有一人获得一等奖的概率为( ) A.34B.23C.57D.5125、某同学做了10道选择题，每道题四个选项中有且只有一项是正确的，他每道题都随意地从中选了一个答案，记该同学至少答对9道题的概率为P ，则下列数据中与P 最接近的是( ) A ．4310-⨯B ．5310-⨯C ．6310-⨯D ．7310-⨯6、口袋中放有大小相等的2个红球和1个白球,有放回地每次摸取一个球,定义数列{}1,:n n n a a n -⎧=⎨⎩第次摸取红球1，第次摸取白球,如果n S 为数列{}n a 前项和,则73S =的概率等于( )A.525712()()33CB.225721()()33CC.525711()()33CD.334711()()33C7、某人射击一发子弹的命中率为0.8，现在他射击19发子弹，理论和实践都表明，在这19发子弹中命中目标的子弹数X 的概率满足()()91910.80.2()(0,1,21)9K kkP X k k C -==⋯=⋅⋅，，，则他射完19发子弹后，击中目标的子弹最可能是( ) A ． 14发B ． 15发C ． 16发D ． 15发或16发8、甲、乙二人进行围棋比赛，采取“三局两胜制”，已知甲每局取胜的概率为23，则甲获胜的概率为( ) A.22313221()C ()()333+B.222322()C ()33+C.21212221()C ()()333+ D.21112221()C ()()333+9、一袋中有5个白球、3个红球,现从袋中往外取球,每次任取一个记下颜色后放回,直到红球出现10次时停止,设停止时共取了X 次球,则()12P X =等于( )A.101021235()()88C ⨯⨯B.1010212353()()888C ⨯⨯⨯C.9921153()()88C ⨯⨯D.91021135()()88C ⨯⨯10、设随机变量ξ服从16,2B ⎛⎫⎪⎝⎭,则()3P ξ=的值是( ) A.516 B. 316C. 58D. 3811、把一枚硬币任意抛掷三次，事件A =“至少一次出现反面”，事件B =“恰有一次出现正面”求()P B A = . 12、如图,已知电路中4个开关闭合的概率都是12,且是相互独立的,则灯亮的概率为__________.13、某射手射击1次，击中目标的概率是0.9，他连续射击4次，且他各次射击是否击中目标相互之间没有影响．有下列结论：①他第3次击中目标的概率是0.9；②他恰好击中目标3次的概率是30.90.1⨯；③他至少击中目标1次的概率是410.1－；④他恰好有连续2次击中目标的概率为330.90.1⨯⨯ 其中正确结论的序号是______14、某个游戏中，一个珠子按如图所示的通道，由上至下的滑下，从最下面的六个出口出来，规定猜中者为胜，如果你在该游戏中，猜得珠子从出口3出来，那么你取胜的概率为___________．15、学校游园活动有这样一个游戏项目:甲箱子里装有3个白球、2个黑球,乙箱子里装有1个白球、2个黑球,这些球除颜色外完全相同.每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球,若摸出的白球不少于2个,则获奖.(每次游戏结束后将球放回原箱) 1.求在1次游戏中, ①摸出3个白球的概率; ②获奖的概率;2.求在2次游戏中获奖次数X 的分布列.答案以及解析1答案及解析： 答案：C 解析：2答案及解析： 答案：A 解析：3答案及解析： 答案：A解析：根据题意，质点P 移动5次后位于点(1,0)-，其中向左移动了3次，向右移动了2次，其中向左平移的3次有35C 种情况，剩下的2次向右平移，则其概率为32351344C ⎛⎫⎛⎫⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选A4答案及解析： 答案：D解析：根据题意，恰有一人获得一等奖就是甲获得乙没获得或甲没获得乙获得，则所求概率是2332511344312⎛⎫⎛⎫⨯-+⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选D5答案及解析： 答案：B 解析：6答案及解析： 答案：B解析：由题意73S =说明摸球七次,只有两次摸到红球,因为每次摸球的结果数之间没有影响,摸到红球的概率是23,摸到白球的概率是 13,所以只有两次摸到红球的概率是225721()()33C ,故答案为:B.7答案及解析： 答案：D 解析：8答案及解析： 答案：C 解析：9答案及解析： 答案：D 解析：10答案及解析： 答案：A 解析：11答案及解析： 答案：37解析：12答案及解析： 答案：1316解析：甲乙同时闭合的概率为111224⨯=,根据电路图可知, 灯不亮的概率为111311142216⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯-⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,故灯亮的概率为31311616P =-=.13答案及解析： 答案：①③ 解析：14答案及解析： 答案：516解析：15答案及解析： 答案：1.①设“在1次游戏中摸出i 个白球”为事件() 0,1,2,3i A i =,则()21323225315C C P A C C =⋅=.②设“在1次游戏中获奖”为事件B ,则23B A A =⋃,又()211213322222222535312C C C C C P A C C C C =⋅+⋅=,且23,A A 互斥,所以()()()231172510P B P A P A =+=+=. 2.由题意可知X 的所有可能取值为0,1,2.()0202779011010100P X C ⎛⎫⎛⎫==-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭, ()12772111101050P X C ⎛⎫==⋅⋅-= ⎪⎝⎭, ()2227749*********P X C ⎛⎫⎛⎫==-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 所以X 的分布列是解析：。
2019-2020学年数学人教A版选修2-3检测：2.2.3独立重复试验与二项分布 Word版含解析
2.2.3 独立重复试验与二项分布填一填1.n 次独立重复试验一般地，在相同条件下重复做的n 次试验称为n 次独立重复试验． 2．二项分布一般地，在n 次独立重复试验中，用X 表示事件A 发生的次数，设每次试验中事件A 发生的概率为p ，则P (X ＝k )＝C k n p k (1－p )n －k，k ＝0,1,2，…，n .此时称随机变量X 服从二项分布，记作X ～B (n ，p )，并称为成功概率.判一判判断(1．独立重复试验每次试验之间是相互独立的．(√)2．独立重复试验每次试验只有发生与不发生两种结果．(√) 3．独立重复试验各次试验发生的事件是互斥的．(×) 4．n 次独立重复试验的每次试验结果可以有多种．(×) 5．n 次独立重复试验的每次试验的条件可以略有不同．(×) 6．二项分布与超几何分布是同一种分布．(×) 7．两点分布是二项分布的特殊情形．(√)8．已知随机变量X 服从二项分布，X ～B ⎛⎭⎫6，13，则P (X ＝2)等于80243.(√)想一想1.提示：(1)独立重复试验满足的条件： 第一：每次试验是在同样条件下进行的； 第二：各次试验中的事件是相互独立的；第三：每次试验都只有两种结果，即事件要么发生，要么不发生．(2)独立重复试验的实际原型是有放回地抽样检验问题，但在实际应用中，从大批产品中抽取少量样品的不放回检验，可以近似地看作此类型，因此独立重复试验在实际问题中应用广泛．2．二项分布与两点分布有什么关系？提示：(1)两点分布的试验次数只有一次，试验结果只有两种：事件A 发生(X ＝1)或不发生(X ＝0)；二项分布是指在n 次独立重复试验中事件A 发生的次数X 的分布列，试验次数为n 次(每次试验的结果也只有两种：事件A 发生或不发生)，试验结果有n ＋1种：事件A 恰好发生0次，1次，2次，…，n 次．(2)二项分布是两点分布的一般形式，两点分布是一种特殊的二项分布，即n ＝1的二项分布．3．在n 次独立重复试验中，设事件A 发生的次数为X ，在每次试验中事件A 发生的概率为p ，那么在n 次独立重复试验中，事件A 恰好发生k 次的概率为何值？提示：P (X ＝k )＝C k n p k (1－p )n －k，k ＝0,1,2，…，n . 4．王明做5道单选题，每道题都随机选一个答案，那么他做对的道数服从二项分布吗？为什么？提示：服从二项分布．因为每道题都是随机选一个答案，结果只有两个：对与错，并且每道题做对的概率均相等，故做5道题可以看成“一道题”重复做了5次，做对的道数就是5次试验中“做对”这一事件发生的次数，故他做对的“道数”服从二项分布．5．解决二项分布问题的关注点有哪些？提示：(1)判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有两点：一是对立性，即一次试验中，事件发生与否两者必有其一；二是重复性，即试验是独立重复地进行了n 次．(2)二项分布，当X 服从二项分布时，应弄清X ～B (n ，p )中的试验次数n 与成功概率p .(3)对于公式P (X ＝k )＝C k n p k (1－p )n －k(k ＝0,1,2，…，n )必须在满足“独立重复试验”时才能运用，否则不能应用该公式． 思考感悟：练一练1.一次测量中出现正误差和负误差的概率都是12，在5次测量中恰好2次出现正误差的概率是( )A.516B.25C.58D.132解析：P (ξ＝2)＝C 25⎝⎛⎭⎫123⎝⎛⎭⎫122＝10×132＝516.故选A 项． 答案：A2．设随机变量X ～B (2，p )，Y ～B (3，p )，若P (X ≥1)＝34，则P (Y ≥1)＝________.解析：P (X ≥1)＝1－P (x ＝0)＝1－(1－P )2＝34，∴P ＝12，∴P (Y ≥1)＝1－P (Y ＝0)＝1－⎝⎛⎭⎫123＝78. 3．一个病人服用某种新药后被治愈的概率为0.9，则服用这种新药的4个病人中至少3人被治愈的概率为______(用数字作答)．解析：至少3人被治愈的概率为C 34×(0.9)3×0.1＋(0.9)4＝0.947 7. 答案：0.947 7知识点一独立重复试验的概念1.下列事件：①运动员甲射击一次，“射中9环”与“射中8环”；②甲、乙两运动员各射击一次，“甲射中10环”与“乙射中9环”；③甲、乙两运动员各射击一次，“甲、乙都射中目标”与“甲、乙都没射中目标”；④在相同的条件下，甲射击10次5次击中目标，是独立重复试验的是( )A ．①B ．②C ．③D ．④解析：①、③符合互斥事件的概念，是互斥事件；②是相互独立事件；④是独立重复试验．答案：2.A.34 B.38 C.13 D.14解析：抛一枚硬币，正面朝上的概率为12，则抛三枚硬币，恰有2枚朝上的概率为P ＝C 23⎝⎛⎭⎫122×12＝38. 答案：B3．某电子管正品率为34，次品率为14，现对该批电子管进行测试，设第X 次首次测到正品，则P (X ＝3)等于( )A ．C 23⎝⎛⎭⎫142×34B ．C 23⎝⎛⎭⎫342×14 C.⎝⎛⎭⎫142×34 D.⎝⎛⎭⎫342×14解析：{X ＝3}表示“第3次首次测到正品，而前两次都没有测到正品”，故其概率为⎝⎛⎭⎫142×34. 答案：C4．已知两名射击运动员的射击水平：甲击中目标靶的概率是0.7，乙击中目标靶的概率是0.6.若让甲、乙两人各自向目标靶射击3次，则(1)甲恰好击中目标2次的概率是________；(2)两名运动员都恰好击中目标2次的概率是________．(结果保留两位有效数字)解析：由题意，甲向目标靶射击1次，击中目标靶的概率为0.7，乙向目标靶射击1次，击中目标靶的概率为0.6，两人射击均服从二项分布．(1)甲向目标靶射击3次，恰好击中2次的概率是C 23×0.72×(1－0.7)≈0.44.(2)甲、乙两人各向目标靶射击3次，恰好都击中2次的概率是[C 23×0.72×(1－0.7)]×[C 23×0.62×(1－0.6)]≈0.19. 答案：5.A ．投掷一枚均匀的骰子5次，X 表示点数为6出现的次数B ．某射手射中目标的概率为p ，设每次射击是相互独立的，X 为从开始射击到击中目标所需要的射击次数C ．实力相等的甲、乙两选手进行了5局乒乓球比赛，X 表示甲获胜的次数D ．某星期内，每次下载某网站数据被病毒感染的概率为0.3，X 表示下载n 次数据电脑被病毒感染的次数解析：选项A ：实验出现的结果只有两个，点数为6和点数不为6，且点数为6的概率在每一次试验中都为16，每一次试验都是独立的，故随机变量X 服从二项分布；选项B ：虽然每一次试验的结果只有两个，且每一次试验都是相互独立的，且概率不发生变化，但随机变量X 的取值不确定，故随机变量X 不服从二项分布；选项C ：甲、乙获胜的概率一定，且和为1，举行5次比赛，相当于进行了5次独立重复试验，故X 服从二项分布；选项D ：由二项分布的定义可知，X ～B (n,0,3)．答案：B6．设X ～B (3，p )，且P (X ＝2)＝54125，则概率p 等于( )A.35B.25C.15D.110解析：由P (X ＝2)＝C 23p 2(1－p )＝54125，解得p ＝35. 答案：A7．某单位6个员工借助互联网开展工作，每天每个员工上网的概率都是0.5(相互独立)，求一天上网人数X 的分布列．解析：随机变量X 的取值为0,1,2,3,4,5,6，由于上网是相互独立的，故X ～B (6,0.5)．故P (X ＝0)＝C 060.50×(1－0.5)6＝164， P (X ＝1)＝C 160.51×(1－0.5)5＝332， P (X ＝2)＝C 260.52×(1－0.5)4＝1564， P (X ＝3)＝C 360.53×(1－0.5)3＝516， P (X ＝4)＝C 460.54×(1－0.5)2＝1564， P (X ＝5)＝C 560.55×(1－0.5)1＝332， P (X ＝6)＝C 660.56×(1－0.5)0＝164. ∴X 的分布列为红灯的事件是相互独立的，并且概率都是13.(1)求这名学生在途中遇到红灯的次数X 的分布列； (2)求这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率．解析：(1)X ～B ⎝⎛⎭⎫5，13，X 的分布列为 P (X ＝k )＝C k 5⎝⎛⎭⎫13k ⎝⎛⎭⎫235－k ，k ＝0,1,2,3,4,5.(2)至少遇到一次红灯的概率为P (X ≥1)＝1－P (X ＝0)＝1－⎝⎛⎭⎫235＝211243.基础达标一、选择题1．小王通过英语听力测试的概率是13，他连续测试3次，那么其中恰有1次通过的概率是( )A.49B.29C.427D.227解析：3次中恰有1次通过的概率为C 13×13×⎝⎛⎭⎫232＝49. 答案：A2．若X ～B (10,0.8)，则P (X ＝8)＝( )A ．C 810×0.88×0.22B ．C 810×0.82×0.28C ．0.88×0.22D ．0.82×0.28解析：P (X ＝8)＝C 8100.88×0.22. 答案：A3．假设流星穿过大气层落在地面上的概率为14，现有流星数量为5的流星群穿过大气层有2个落在地面上的概率为( )A.116B.135512C.45512D.271 024解析：此问题相当于一个试验独立重复5次，有2次发生的概率，所以P ＝C 25·⎝⎛⎭⎫142·⎝⎛⎭⎫343＝135512. 答案：B4．已知某班有6个值日小组，每个值日小组中有6位同学，并且每个小组中男生的人数相等，现从每个小组中各抽一名同学参加托球跑比赛，若抽出的6人中至少有1名男生的概率为728729，则该班的男生人数为( )A ．24B ．18C ．12D ．6解析：设每个小组抽一名同学为男同学的概率为p ，则由已知1－(1－p )6＝728729，即(1－p )6＝1729，解得p ＝23，所以每个小组有6×23＝4名男生，全班共有4×6＝24名男生． 答案：A5．若在一次测量中出现正误差和负误差的概率都是12，则在5次测量中恰好出现2次正误差的概率是( )A.516B.25C.58D.132解析：P ＝C 25·⎝⎛⎭⎫123×⎝⎛⎭⎫122＝516. 答案：A6．若随机变量ξ～B ⎝⎛⎭⎫5，13，则P (ξ＝k )最大时，k 的值为( ) A ．1或2 B ．2或3 C ．3或4 D ．5解析：依题意P (ξ＝k )＝C k 5×⎝⎛⎭⎫13k ×⎝⎛⎭⎫235－k ，k ＝0,1,2,3,4,5.可以求得P (ξ＝0)＝32243，P (ξ＝1)＝80243，P (ξ＝2)＝80243，P (ξ＝3)＝40243，P (ξ＝4)＝10243，P (ξ＝5)＝1243.故当k ＝2或1时，P (ξ＝k )最大． 答案：A7．位于坐标原点的一个质点P 按下述规则移动：质点每次移动一个单位，移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是12.则质点P 移动5次后位于点(2,3)的概率为( )A.⎝⎛⎭⎫125 B ．C 25×⎝⎛⎭⎫125 C ．C 35×⎝⎛⎭⎫123 D ．C 25×C 35×⎝⎛⎭⎫125 解析：质点每次只能向上或向右移动，且概率均为12，所以移动5次可看成做了5次独立重复试验．质点P 移动5次后位于点(2,3)(即质点在移动过程中向右移动2次，向上移动3次)的概率为C 25×⎝⎛⎭⎫122×⎝⎛⎭⎫123＝C 25×⎝⎛⎭⎫125. 答案：B 二、填空题8．下列说法正确的是________．(填序号)①某同学投篮的命中率为0.6，他10次投篮中命中的次数X 是一个随机变量，且X ～B (10,0.6)；②某福彩的中奖概率为p ，某人一次买了8张，中奖张数X 是一个随机变量，且X ～B (8，p )；③从装有5个红球、5个白球的袋中，有放回地摸球，直到摸出白球为止，则摸球次数X是随机变量，且X ～B ⎝⎛⎭⎫n ，12. 解析：①②显然满足独立重复试验的条件，而③虽然是有放回地摸球，但随机变量X 的定义是直到摸出白球为止，也就是说前面摸出的一定是红球，最后一次是白球，不符合二项分布的定义．答案：①②9．设随机变量X ～B (2，p )，Y ～B (3，p )，若P (X ≥1)＝716，则P (Y ＝2)＝________. 解析：由P (X ≥1)＝716得P (X <1)＝P (X ＝0)＝916，即C 02p 0(1－p )2＝916，所以p ＝14，所以P (Y ＝2)＝C 23·⎝⎛⎭⎫142·⎝⎛⎭⎫1－14＝3×116×34＝964. 答案：96410．如果X ～B ⎝⎛⎭⎫20，13，Y ～B ⎝⎛⎭⎫20，23，那么当X ，Y 变化时，下面关于P (X ＝x k )＝P (Y ＝y k )成立的(x k ，y k )的个数为________．解析：根据二项分布的特点可知，(x k ，y k )分别为(0,20)，(1,19)，(2,18)，…，(20,0)，共21个．答案：2111．一只蚂蚁位于数轴x ＝0处，这只蚂蚁每隔一秒钟向左或向右移动一个单位长度，设它向右移动的概率为23，向左移动的概率为13，则3秒后，这只蚂蚁在x ＝1处的概率为________．解析：由题意知，3秒内蚂蚁向左移动一个单位长度，向右移动两个单位长度，所以蚂蚁在x ＝1处的概率为C 23×⎝⎛⎭⎫232×⎝⎛⎭⎫131＝49. 答案：4912．在等差数列{a n }中，a 4＝2，a 7＝－4，现从{a n }的前10项中随机取数，每次取出一个数，取后放回，连续抽取3次，假定每次取数互不影响，那么在这三次取数中，取出的数恰好为两个正数和一个负数的概率为________．(用数字作答)解析：由已知可求通项公式为a n ＝10－2n (n ＝1,2,3，…)，其中a 1，a 2，a 3，a 4为正数，a 5＝0，a 6，a 7，a 8，a 9，a 10为负数，∴从中取一个数为正数的概率为410＝25，取得负数的概率为12. ∴取出的数恰为两个正数和一个负数的概率为C 23×⎝⎛⎭⎫252×⎝⎛⎭⎫121＝625. 答案：625三、解答题13．某气象站天气预报的准确率为80%，计算：(结果保留到小数点后第2位) (1)“5次预报中恰有2次准确”的概率； (2)“5次预报中至少有2次准确”的概率．解析：(1)记“预报一次准确”为事件A ，则P (A )＝0.8. 5次预报相当于5次独立重复试验． “恰有2次准确”的概率为P ＝C 25×0.82×0.23＝0.051 2≈0.05，因此5次预报中恰有2次准确的概率约为0.05.(2)“5次预报中至少有2次准确”的对立事件为“5次预报全部不准确或只有1次准确”，其概率为P ＝C 05×0.25＋C 15×0.8×0.24＝0.006 72.所以所求概率为1－P ＝1－0.006 72≈0.99.所以“5次预报中至少有2次准确”的概率约为0.99.14．抛掷两枚骰子，取其中一枚的点数点为P 的横坐标，另一枚的点数为点P 的纵坐标，求连续抛掷这两枚骰子三次，点P 在圆x 2＋y 2＝16内的次数X 的分布列．解析：由题意可知，点P 的坐标共有6×6＝36(种)情况，其中在圆x 2＋y 2＝16内的有点(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)共8种，则点P 在圆x 2＋y 2＝16内的概率为836＝29.由题意可知X ～B ⎝⎛⎭⎫3，29， 所以P (X ＝0)＝C 03⎝⎛⎭⎫290×⎝⎛⎭⎫793＝343729， P (X ＝1)＝C 13⎝⎛⎭⎫291×⎝⎛⎭⎫792＝98243， P (X ＝2)＝C 23⎝⎛⎭⎫292×⎝⎛⎭⎫791＝28243， P (X ＝3)＝C 33⎝⎛⎭⎫293×⎝⎛⎭⎫790＝8729. 故X 的分布列为X0 1 2 3 P343729 98243 28243 8729能力提升15.的手势分别表示石头、剪刀、布；两个玩家同时出示各自手势1次记为1次游戏，“石头”胜“剪刀”，“剪刀”胜“布”，“布”胜“石头”；双方出示的手势相同时，不分胜负．现假设玩家甲、乙双方在游戏时出示三种手势是等可能的．(1)求在1次游戏中玩家甲胜玩家乙的概率；(2)若玩家甲、乙双方共进行了3次游戏，其中玩家甲胜玩家乙的次数记作随机变量X ，求X 的分布列．解析：(石头，石头)，(石头，剪刀)，(石头，布)，(剪刀，石头)，(剪刀，剪刀)，(剪刀，布)，(布，石头)，(布，剪刀)，(布，布)，共有9个基本事件．玩家甲胜玩家乙的基本事件分别是(石头，剪刀)，(剪刀，布)，(布，石头)，共有3个．所以在1次游戏中玩家甲胜玩家乙的概率P ＝13.(2)X 的可能取值分别为0,1,2,3，X ～B ⎝⎛⎭⎫3，13， 则P (X ＝0)＝C 03·⎝⎛⎭⎫233＝827， P (X ＝1)＝C 13·⎝⎛⎭⎫131·⎝⎛⎭⎫232＝49， P (X ＝2)＝C 23·⎝⎛⎭⎫132·⎝⎛⎭⎫231＝29， P (X ＝3)＝C 33·⎝⎛⎭⎫133＝127. X 的分布列如下：X0 1 2 3 P827 49 29 12716．如图，一个圆形游戏转盘被分成6个均匀的扇形区域，用力旋转转盘，转盘停止转动时，箭头A 所指区域的数字就是每次游戏所得的分数(箭头指向两个区域的边界时重新转动)，且箭头A 指向每个区域的可能性都是相等的．在一次家庭抽奖的活动中，要求每位家庭派一位儿童和一位成年人先后分别转动一次游戏转盘，得分情况记为(a ，b )(假设儿童和成年人的得分互不影响，且每个家庭只能参加一次活动)．若规定：一个家庭的得分为参与游戏的两人得分之和，且得分大于等于8的家庭可以获得一份奖品．(1)求某个家庭获奖的概率；(2)若共有5个家庭参加家庭抽奖活动，记获奖的家庭数为X ，求X 的分布列．解析：(1)某个家庭在游戏中获奖记为事件A ，则符合获奖条件的得分包括(5,3)，(5,5)，(3,5)共3种情况，∴P (A )＝13×13＋13×13＋13×13＝13.∴某个家庭获奖的概率为13.(2)由(1)知每个家庭获奖的概率都是13，5个家庭参加游戏相当于5次独立重复试验．∴X ～B ⎝⎛⎭⎫5，13.∴P (X ＝0)＝C 05×⎝⎛⎭⎫130×⎝⎛⎭⎫235＝32243， P (X ＝1)＝C 15×⎝⎛⎭⎫131×⎝⎛⎭⎫234＝80243， P (X ＝2)＝C 25×⎝⎛⎭⎫132×⎝⎛⎭⎫233＝80243， P (X ＝3)＝C 35×⎝⎛⎭⎫133×⎝⎛⎭⎫232＝40243， P (X ＝4)＝C 45×⎝⎛⎭⎫134×⎝⎛⎭⎫231＝10243， P (X ＝5)＝C 55×⎝⎛⎭⎫135×⎝⎛⎭⎫230＝1243. ∴X 的分布列为X 01 2 3 4 5 P 3224380243 80243 40243 10243 1243。
2019-2020学年高中数学人教A版选修2-3课时训练：2.2 二项分布及其应用1 Word版含答案
2．2二项分布及其应用2．2.1条件概率[学习目标]1．理解条件概率的定义．2．掌握条件概率的计算方法．3．利用条件概率公式解决一些简单的实际问题．[知识链接]1．3张奖券中只有1张能中奖，现分别由3名同学无放回地抽取，问最后一名同学抽到中奖奖券的概率是否比其他同学小？答最后一名同学抽到中奖奖券的概率为13，不比其他同学小．2．若事件A，B互斥，则P(B|A)是多少？答A与B互斥，即A，B不同时发生．∴P(AB)＝0，∴P(B|A)＝0.[预习导引]1．条件概率的概念设A，B为两个事件，且P(A)>0，称P(B|A)＝P（AB）P（A）为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率．P(B|A)读作A发生的条件下B发生的概率．2．条件概率的性质(1)P(B|A)∈[0，1]．(2)如果B与C是两个互斥事件，则P((B∪C)|A)＝P(B|A)＋P(C|A).要点一条件概率例 1 一个盒子中有6个白球、4个黑球，每次从中不放回地任取1个，连取两次，求第一次取到白球的条件下，第二次取到黑球的概率．解法一记“第一次取到白球”为事件A，“第二次取到黑球”为事件B.显然，事件“第一次取到白球，第二次取到黑球”的概率为P(AB)＝6×410×9＝415.由条件概率的计算公式，得P(B|A)＝P（AB）P（A）＝415610＝49.法二这个问题还可以这样理解：第一次取到白球，则只剩9个球，其中5个白球，4个黑球，在这个前提下，第二次取到黑球的概率是4 9.规律方法(1)对于古典概型的概率求法要搞清楚基本事件总数．(2)条件概率的定义揭示了P(A)，P(AB)及P(B|A)三者之间的关系，反映了“知二求一”的互化关系．跟踪演练 1 设100件产品中有70件一等品，25件二等品，其余为三等品，规定一、二等品为合格品．从中任取1件，求：(1)取得一等品的概率；(2)已知取得的是合格品，求它是一等品的概率．解设B表示取得一等品，A表示取得合格品，则(1)因为100件产品中有70件一等品，P(B)＝70100＝710.(2)法一因为95件合格品中有70件一等品，又由于一等品也是合格品，∴AB＝B，∴P(B|A)＝7095＝1419.法二P(B|A)＝P（AB）P（A）＝7010095100＝1419.要点二条件概率的综合应用例 2 在某次考试中，从20道题中随机抽取6道题，若考生至少能答对其中的4道即可通过；若至少能答对其中5道就获得优秀．已知某考生能答对其中10道题，并且知道他在这次考试中已经通过，求他获得优秀成绩的概率．解设事件A为“该考生6道题全答对”，事件B为“该考生答对了其中5道题，另一道答错”，事件C为“该考生答对了其中4道题，另两道答错”，事件D为“该考生在这次考试中通过”，事件E为“该考生在这次考试中获得优秀”，则A，B，C两两互斥，且D＝A∪B∪C，由古典概型的概率公式及加法公式可知P(D)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)C610 C620＋C510·C110C620＋C410·C210C620＝12 180C620.∵P(AD)＝P(A∩D)＝P(A)，P(BD)＝P(B∩D)＝P(B)，∴P(E|D)＝P((A∪B)|D)＝P(A|D)＋P(B|D)＝P（A）P（D）＋P（B）P（D）＝C610 C62012 180 C620＋C510·C110C62012 180C620＝1358.所以他获得优秀成绩的概率是13 58.规律方法当所求事件的概率相对较复杂时，往往把该事件分成两个(或多个)互不相容的较简单的事件之和，求出这些简单事件的概率，再利用P((B∪C)|A)＝P(B|A)＋P(C|A)便可求得较复杂事件的概率．跟踪演练2高二·一班和高二·二班两班共有学生120名，其中女同学50名，若一班有70名同学，而女生30名，问在碰到一班同学时，正好碰到一名女同学的概率．解设事件A为“碰到一班的一名同学”，事件B为“正好碰到一班的一名女同学”，易知n(A)＝70，n(AB)＝n(B)＝30，由条件概率公式求得P(B|A)＝n（AB）n（A）＝37.1．下列说法正确的是( )A ．P (B |A )＜P (AB ) B ．P (B |A )＝P （B ）P （A ）是可能的 C ．0＜P (B |A )＜1 D ．P (A |A )＝0 答案 B解析 ∵P (B |A )＝P （AB ）P （A ），而P (A )≤1，∴P (B |A )≥P (AB )，∴A 错， 当P (A )＝1时，P (AB )＝P (B )， ∴P (B |A )＝P （AB ）P （A ）＝P （B ）P （A ），∴B 正确．而0≤P (B |A )≤1，P (A |A )＝1，∴C ，D 错，故选B.2．甲、乙、丙三人到三个景点旅游，每人只去一个景点，设事件A 为“三个人去的景点不相同”，B 为“甲独自去一个景点”，则概率P (A |B )等于( ) A.49 B.29 C.12 D.13 答案 C解析 由题意可知．n (B )＝C1322＝12，n (AB )＝A33＝6. ∴P (A |B )＝n （AB ）n （B ）＝612＝12.3．设某种动物能活到20岁的概率为0.8，能活到25岁的概率为0.4，现有一只20岁的这种动物，它能活到25岁的概率是________． 答案 0.5解析 设事件A 为“能活到20岁”，事件B 为“能活到25岁”， 则P (A )＝0.8，P (B )＝0.4，而所求概率为P (B |A )，由于B ⊆A ，故AB ＝B ， 于是P (B |A )＝P （AB ）P （A ）＝P （B ）P （A ）＝0.40.8＝0.5，所以一只20岁的这种动物能活到25岁的概率是0.5.4．考虑恰有两个小孩的家庭．若已知某家有男孩，求这家有两个男孩的概率；若已知某家第一个是男孩，求这家有两个男孩(相当于第二个也是男孩)的概率(假定生男生女为等可能)． 解 Ω＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)}． 设B ＝“有男孩”，则B ＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)}． A ＝“有两个男孩”，则A ＝{(男，男)}，B 1＝“第一个是男孩”，则B 1＝{(男，男)，(男，女)} 于是得P (B )＝34，P (BA )＝P (A )＝14， ∴P (A |B )＝P （BA ）P （B ）＝13；P (B 1)＝12，P (B 1A )＝P (A )＝14， ∴P (A |B 1)＝P （B1A ）P （B1）＝12.1．条件概率：P (B |A )＝P （AB ）P （A ）＝n （AB ）n （A ）.2．概率P (B |A )与P (AB )的区别与联系：P (AB )表示在样本空间Ω中，计算AB 发生的概率，而P (B |A )表示在缩小的样本空间ΩA 中，计算B 发生的概率．用古典概型公式，则P (B |A )＝AB 中样本点数ΩA 中样本点数，P (AB )＝AB 中样本点数Ω中样本点数.一、基础达标1．若P (A )＝34，P (B |A )＝12，则P (AB )等于( )A.23B.38C.13D.58答案 B解析 利用条件概率的乘法公式求解． P (AB )＝P (A )·P (B |A )＝34×12＝38.2．某人忘记了一个电话号码的最后一个数字，只好任意去试拨，他第一次失败、第二次成功的概率是( )A.110 B.210 C.810 D.910答案 A解析某人第一次失败，第二次成功的概率为P＝9×110×9＝110，所以选A.3．某地区气象台统计，该地区下雨的概率是415，刮风的概率为215，既刮风又下雨的概率为110，则在下雨天里，刮风的概率为( )A.8225 B.12 C.38 D.34答案 C解析A＝“下雨”，B＝“刮风”，AB＝“刮风又下雨”，∴P(B|A)＝P（AB）P（A）＝110415＝38.4．某班学生考试成绩中，数学不及格的占15%，语文不及格的占5%，两门都不及格的占3%.已知一学生数学不及格，则他语文也不及格的概率是( )A．0.2 B．0.33 C．0.5 D．0.6答案 A解析A＝“数学不及格”，B＝“语文不及格”，P(B|A)＝P（AB）P（A）＝0.030.15＝0.2.所以数学不及格时，该生语文也不及格的概率为0.2.5．盒中装有10只乒乓球，其中6只新球，4只旧球，不放回地依次取出2只球使用，在第一次摸出新球的条件下，第二次也取到新球的概率为________．答案5 9解析A＝{第一次取到新球}，B＝{第二次取到新球}，则n(A)＝C16C19，n(AB)＝C16C15，∴P(B|A)＝n（AB）n（A）＝C16C15C16C19＝59.6．把一枚硬币任意掷两次，事件A＝{第一次出现正面}，事件B＝{第二次出现反面}，则P(B|A )＝________.答案 12解析 P (A )＝24＝12，P (AB )＝14， 故P (B |A )＝P （AB ）P （A ）＝12.7．一张储蓄卡的密码共有6位数字，每位数字都可从0～9中任选一个．某人在银行自动提款机上取钱时，忘记了密码的最后一位数字，求： (1)任意按最后一位数字，不超过2次就按对的概率；(2)如果他记得密码的最后一位是偶数，不超过2次就按对的概率．解 设“第i 次按对密码”为事件A i (i ＝1，2)，则A ＝A 1∪(A －1A 2)表示“不超过2次就按对密码”． (1)因为事件A 1与事件A －1A 2互斥，由概率的加法公式得 P (A )＝P (A 1)＋P (A －1A 2)＝110＋9×110×9＝15.(2)设“最后一位按偶数”为事件B ，则P (A |B )＝P (A 1|B )＋P (A －1A 2|B )＝15＋4×15×4＝25. 二、能力提升8．从混有5张假钞的20张百元钞票中任意抽出2张，将其中1张放到验钞机上检验发现是假钞，则第2张也是假钞的概率为( ) A.119B.1738C.419D.217答案 D解析 设事件A 表示“抽到2张都是假钞”， 事件B 为“2张中至少有一张假钞”，所以为P (A |B )． 而P (AB )＝C25C220，P (B )＝C25＋C15C115C220.∴P (A |B )＝P （AB ）P （B ）＝217.9．有一批种子的发芽率为0.9，出芽后的幼苗成活率为0.8，在这批种子中，随机抽取一粒，则这粒种子能成长为幼苗的概率为________． 答案 0.72解析 设“种子发芽”为事件A ，“种子成长为幼苗”为事件AB (发芽，又成活为幼苗)，出芽后的幼苗成活率为P (B |A )＝0.8，P (A )＝0.9.根据条件概率公式P (AB )＝P (B |A )·P (A )＝0.8×0.9＝0.72，即这粒种子能成长为幼苗的概率为0.72.10．如图，四边形EFGH 是以O 为圆心、半径为1的圆的内接正方形．将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A 表示事件“豆子落在正方形EFGH 内”，B 表示事件“豆子落在扇形OHE (阴影部分)内”，则 (1)P (A )＝________； (2)P (B |A )＝________. 答案 (1)2π (2)14解析 正方形的面积为2，圆的面积为π. (1)∵A 表示事件“豆子落在正方形EFGH 内”， ∴P (A )＝2π.(2)∵B 表示事件“豆子落在扇形OHE (阴影部分)内”， ∴P (AB )＝12π，∴P (B |A )＝P （AB ）P （A ）＝14.11．抛掷红、蓝两枚骰子，设事件A 为“蓝色骰子的点数为3或6”，事件B 为“两枚骰子的点数之和大于8”． (1)求P (A )，P (B )，P (AB )；(2)当已知蓝色骰子点数为3或6时，问两枚骰子的点数之和大于8的概率为多少？ 解 (1)设x 为掷红骰子得到的点数，y 为掷蓝骰子得到的点数，则所有可能的事件与(x ，y )一一对应，由题意作图(如图)． 显然：P (A )＝1236＝13， P (B )＝1036＝518，P (AB )＝536. (2)法一 P (B |A )＝n （AB ）n （A ）＝512.法二 P (B |A )＝P （AB ）P （A ）＝53613＝512.12．某生在一次口试中，共有10题供选择，已知该生会答其中6题，随机从中抽5题供考生回答，答对3题及格，求该生在第一题不会答的情况下及格的概率．解 设事件A 为从10题中依次抽5题，第一题不会答；设事件B 为从10题中依次抽5题，第一题不会答，其余4题中有3题或4题会答． n (A )＝C14C49，n (B )＝C14(C36C13＋C46C03)． 则P ＝C14（C36C13＋C46C03）C14C49＝2542.所以该生在第一题不会答的情况下及格的概率为2542. 三、探究与创新13．现有6个节目准备参加比赛，其中4个舞蹈节目，2个语言类节目，如果不放回的依次抽取2个节目，求(1)第1次抽到舞蹈节目的概率；(2)第1次和第2次都抽到舞蹈节目的概率；(3)在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率．解 设第1次抽到舞蹈节目为事件A ，第2次抽到舞蹈节目为事件B ，则第1次和第2次都抽到舞蹈节目为事件AB .(1)从6个节目中不放回的依次抽取2个的事件数为n (Ω)＝A26＝30， 根据分步乘法计数原理n (A )＝A14A15＝20， 于是P (A )＝n （A ）n （Ω）＝2030＝23.(2)因为n (AB )＝A24＝12， 于是P (AB )＝n （AB ）n （Ω）＝1230＝25.(3)由(1)(2)可得，在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率为 P (B |A )＝P （AB ）P （A ）＝2523＝35.故P (B |A )＝n （AB ）n （A ）＝1220＝35.2016-2017学年湖南省衡阳市衡阳县四中高二（下）第一次模拟数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合M={0，1，2}，N={x}，若M∪N={0，1，2，3}，则x的值为（）A．3 B．2 C．1 D．02．如图是一个几何体的三视图，则该几何体为（）A．球B．圆柱C．圆台D．圆锥3．在区间[0，5]内任取一个实数，则此数大于3的概率为（）A．B．C．D．4．某程序框图如图所示，若输入x的值为1，则输出y的值是（）A．2 B．3 C．4 D．55．已知向量=（1，2），=（x，4），若∥，则实数x的值为（）A．8 B．2 C．﹣2 D．﹣86．某学校高一、高二、高三年级的学生人数分别为600，400，800．为了了解教师的教学情况，该校采用分层抽样的方法从这三个年级中抽取45名学生进行座谈，则高一、高二、高三年级抽取的人数分别为（）A．15，5，25 B．15，15，15 C．10，5，30 D．15，10，207．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，直线BD与A1C1的位置关系是（）A．平行B．相交C．异面但不垂直D．异面且垂直8．不等式（x+1）（x﹣2）≤0的解集为（）A．{x|﹣1≤x≤2}B．{x|﹣1＜x＜2}C．{x|x≥2或x≤﹣1}D．{x|x＞2或x＜﹣1}9．已知两点P（4，0），Q（0，2），则以线段PQ为直径的圆的方程是（）A．（x+2）2+（y+1）2=5 B．（x﹣2）2+（y﹣1）2=10 C．（x﹣2）2+（y﹣1）2=5 D．（x+2）2+（y+1）2=1010．如图，在高速公路建设中需要确定隧道的长度，工程技术人员已测得隧道两端的两点A、B 到点C的距离AC=BC=1km，且∠ACB=120°，则A、B两点间的距离为（）A．km B．km C．1.5km D．2km二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，满分20分．11．计算：log21+log24=．12．已知1，x，9成等比数列，则实数x=．13．已知点（x，y）在如图所示的平面区域（阴影部分）内运动，则z=x+y的最大值是．14．已知a是函数f（x）=2﹣log2x的零点，则a的值为•15．如图1，在矩形ABCD中，AB=2BC，E、F分别是AB、CD的中点，现在沿EF把这个矩形折成一个直二面角A﹣EF﹣C（如图2），则在图2中直线AF与平面EBCF所成的角的大小为．三、解答题：本大题共5小题，满分40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．已知，＜θ＜π．（1）求tanθ；（2）求的值．17．某公司为了了解本公司职员的早餐费用情况，抽样调査了100位职员的早餐日平均费用（单位：元），得到如图所示的频率分布直方图，图中标注a的数字模糊不清．（1）试根据频率分布直方图求a的值，并估计该公司职员早餐日平均费用的众数；（2）已知该公司有1000名职员，试估计该公司有多少职员早餐日平均费用不少于8元？18．已知等比数列{a n}的公比q=2，且a2，a3+1，a4成等差数列．（1）求a1及a n；（2）设b n=a n+n，求数列{b n}的前5项和S5．19．已知二次函数f（x）=x2+ax+b满足f（0）=6，f（1）=5（1）求函数f（x）解析式（2）求函数f（x）在x∈[﹣2，2]的最大值和最小值．20．已知圆C：x2+y2+2x﹣3=0．（1）求圆的圆心C的坐标和半径长；（2）直线l经过坐标原点且不与y轴重合，l与圆C相交于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，求证：为定值；（3）斜率为1的直线m与圆C相交于D、E两点，求直线m的方程，使△CDE的面积最大．2016-2017学年湖南省衡阳市衡阳县四中高二（下）第一次模拟数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合M={0，1，2}，N={x}，若M∪N={0，1，2，3}，则x的值为（）A．3 B．2 C．1 D．0【考点】并集及其运算．【分析】根据M及M与N的并集，求出x的值，确定出N即可．【解答】解：∵集合M={0，1，2}，N={x}，且M∪N={0，1，2，3}，∴x=3，故选：A．2．如图是一个几何体的三视图，则该几何体为（）A．球B．圆柱C．圆台D．圆锥【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知该几何体为圆锥．【解答】解：根据三视图可知，该几何体为圆锥．故选D．3．在区间[0，5]内任取一个实数，则此数大于3的概率为（）A．B．C．D．【考点】几何概型．【分析】由题意，要使此数大于3，只要在区间（3，5]上取即可，利用区间长度的比求．【解答】解：要使此数大于3，只要在区间（3，5]上取即可，由几何概型的个数得到此数大于3的概率为为；故选B．4．某程序框图如图所示，若输入x的值为1，则输出y的值是（）A．2 B．3 C．4 D．5【考点】程序框图．【分析】根据题意，模拟程序框图的运行过程，即可得出正确的答案．【解答】解：模拟程序框图的运行过程，如下；输入x=1，y=1﹣1+3=3，输出y的值为3．故选：B．5．已知向量=（1，2），=（x，4），若∥，则实数x的值为（）A．8 B．2 C．﹣2 D．﹣8【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．【分析】根据向量平行的坐标公式建立方程进行求解即可．【解答】解：∵∥，∴4﹣2x=0，得x=2，故选：B6．某学校高一、高二、高三年级的学生人数分别为600，400，800．为了了解教师的教学情况，该校采用分层抽样的方法从这三个年级中抽取45名学生进行座谈，则高一、高二、高三年级抽取的人数分别为（）A．15，5，25 B．15，15，15 C．10，5，30 D．15，10，20【考点】分层抽样方法．【分析】根据分层抽样的定义，建立比例关系即可等到结论．【解答】解：∵高一、高二、高三年级的学生人数分别为600，400，800．∴从这三个年级中抽取45名学生进行座谈，则高一、高二、高三年级抽取的人数分别，高二：，高三：45﹣15﹣10=20．故选：D7．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，直线BD与A1C1的位置关系是（）A．平行B．相交C．异面但不垂直D．异面且垂直【考点】空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】连接AC，则AC∥A1C1，AC⊥BD，即可得出结论．【解答】解：∵正方体的对面平行，∴直线BD与A1C1异面，连接AC，则AC∥A1C1，AC⊥BD，∴直线BD与A1C1垂直，∴直线BD与A1C1异面且垂直，故选：D．8．不等式（x+1）（x﹣2）≤0的解集为（）A．{x|﹣1≤x≤2}B．{x|﹣1＜x＜2}C．{x|x≥2或x≤﹣1}D．{x|x＞2或x＜﹣1}【考点】一元二次不等式的解法．【分析】根据一元二次不等式对应方程的实数根，即可写出不等式的解集．【解答】解：不等式（x+1）（x﹣2）≤0对应方程的两个实数根为﹣1和2，所以该不等式的解集为{x|﹣1≤x≤2}．故选：A．9．已知两点P（4，0），Q（0，2），则以线段PQ为直径的圆的方程是（）A．（x+2）2+（y+1）2=5 B．（x﹣2）2+（y﹣1）2=10 C．（x﹣2）2+（y﹣1）2=5 D．（x+2）2+（y+1）2=10【考点】圆的标准方程．【分析】求出圆心坐标和半径，因为圆的直径为线段PQ，所以圆心为P，Q的中点，应用中点坐标公式求出，半径为线段PQ长度的一半，求出线段PQ的长度，除2即可得到半径，再代入圆的标准方程即可．【解答】解：∵圆的直径为线段PQ，∴圆心坐标为（2，1）半径r===∴圆的方程为（x﹣2）2+（y﹣1）2=5．故选：C．10．如图，在高速公路建设中需要确定隧道的长度，工程技术人员已测得隧道两端的两点A、B 到点C的距离AC=BC=1km，且∠ACB=120°，则A、B两点间的距离为（）A．km B．km C．1.5km D．2km【考点】解三角形的实际应用．【分析】直接利用与余弦定理求出AB的数值．【解答】解：根据余弦定理AB2=a2+b2﹣2abcosC，∴AB===（km）．故选：A．二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，满分20分．11．计算：log21+log24=2．【考点】对数的运算性质．【分析】直接利用对数的运算法则化简求解即可．【解答】解：log21+log24=0+log222=2．故答案为：2．12．已知1，x，9成等比数列，则实数x=±3．【考点】等比数列．【分析】由等比数列的性质得x2=9，由此能求出实数x．【解答】解：∵1，x，9成等比数列，∴x2=9，解得x=±3．故答案为：±3．13．已知点（x，y）在如图所示的平面区域（阴影部分）内运动，则z=x+y的最大值是5．【考点】简单线性规划．【分析】利用目标函数的几何意义求最大值即可．【解答】解：由已知，目标函数变形为y=﹣x+z，当此直线经过图中点（3，2）时，在y轴的截距最大，使得z最大，所以z的最大值为3+2=5；故答案为：5．14．已知a是函数f（x）=2﹣log2x的零点，则a的值为4•【考点】函数的零点．【分析】根据函数零点的定义，得f（a）=0，从而求出a的值．【解答】解：a是函数f（x）=2﹣log2x的零点，∴f（a）=2﹣log2a=0，∴log2a=2，解得a=4．故答案为：4．15．如图1，在矩形ABCD中，AB=2BC，E、F分别是AB、CD的中点，现在沿EF把这个矩形折成一个直二面角A﹣EF﹣C（如图2），则在图2中直线AF与平面EBCF所成的角的大小为45°．【考点】直线与平面所成的角．【分析】由题意，AE⊥平面EFBC，∠AFE是直线AF与平面EBCF所成的角，即可得出结论．【解答】解：由题意，AE⊥平面EFBC，∴∠AFE是直线AF与平面EBCF所成的角，∵AE=EF，∴∠AFE=45°．故答案为45°．三、解答题：本大题共5小题，满分40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．已知，＜θ＜π．（1）求tanθ；（2）求的值．【考点】三角函数的化简求值．【分析】（1）由，＜θ＜π结合同角平方关系可求cosθ，利用同角基本关系可求（2）结合（1）可知tanθ的值，故考虑把所求的式子化为含“切”的形式，从而在所求的式子的分子、分母同时除以cos2θ，然后把已知tanθ的值代入可求．【解答】解：（1）∵sin2θ+cos2θ=1，∴cos2θ=．又＜θ＜π，∴cosθ=∴．（2）=．17．某公司为了了解本公司职员的早餐费用情况，抽样调査了100位职员的早餐日平均费用（单位：元），得到如图所示的频率分布直方图，图中标注a的数字模糊不清．（1）试根据频率分布直方图求a的值，并估计该公司职员早餐日平均费用的众数；（2）已知该公司有1000名职员，试估计该公司有多少职员早餐日平均费用不少于8元？【考点】频率分布直方图．【分析】（1）由频率分布直方图中各小长方形的面积之和等于1，求出a的值，频率分布直方图中最高的小长方体的底面边长的中点即是众数；（2）求出本公司职员平均费用不少于8元的频率就能求出公司有多少职员早餐日平均费用不少于8元．【解答】解：（1）据题意得：（0.05+0.10+a+0.10+0.05+0.05）×2=1，解得a=0.15，众数为：；（2）该公司职员早餐日平均费用不少于8元的有：×2=200，18．已知等比数列{a n}的公比q=2，且a2，a3+1，a4成等差数列．（1）求a1及a n；（2）设b n=a n+n，求数列{b n}的前5项和S5．【考点】数列的求和；等比数列的通项公式．【分析】（1）运用等比数列的通项公式和等差数列的中项的性质，解方程可得首项，进而得到所求通项公式；（2）求得b n=2n﹣1+n，再由数列的求和方法：分组求和，结合等差数列和等比数列的求和公式，计算即可得到所求和．【解答】解：（1）由已知得a2=2a1，a3+1=4a1+1，a4=8a1，又a2，a3+1，a4成等差数列，可得：2（a3+1）=a2+a4，所以2（4a1+1）=2a1+8a1，解得a1=1，故a n=a1q n﹣1=2n﹣1；（2）因为b n=2n﹣1+n，所以S5=b1+b2+b3+b4+b5=（1+2+...+16）+（1+2+ (5)=+=31+15=46．19．已知二次函数f（x）=x2+ax+b满足f（0）=6，f（1）=5（1）求函数f（x）解析式（2）求函数f（x）在x∈[﹣2，2]的最大值和最小值．【考点】二次函数的性质；二次函数在闭区间上的最值．【分析】（1）利用已知条件列出方程组求解即可．（2）利用二次函数的对称轴以及开口方向，通过二次函数的性质求解函数的最值即可．【解答】解：（1）∵；（2）∵f（x）=x2﹣2x+6=（x﹣1）2+5，x∈[﹣2，2]，开口向上，对称轴为：x=1，∴x=1时，f（x）的最小值为5，x=﹣2时，f（x）的最大值为14．20．已知圆C：x2+y2+2x﹣3=0．（1）求圆的圆心C的坐标和半径长；（2）直线l经过坐标原点且不与y轴重合，l与圆C相交于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，求证：为定值；（3）斜率为1的直线m与圆C相交于D、E两点，求直线m的方程，使△CDE的面积最大．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】（1）把圆C的方程化为标准方程，写出圆心和半径；（2）设出直线l的方程，与圆C的方程组成方程组，消去y得关于x的一元二次方程，由根与系数的关系求出的值；（3）解法一：设出直线m的方程，由圆心C到直线m的距离，写出△CDE的面积，利用基本不等式求出最大值，从而求出对应直线方程；解法二：利用几何法得出CD⊥CE时△CDE的面积最大，再利用点到直线的距离求出对应直线m 的方程．【解答】解：（1）圆C：x2+y2+2x﹣3=0，配方得（x+1）2+y2=4，则圆心C的坐标为（﹣1，0），圆的半径长为2；（2）设直线l的方程为y=kx，联立方程组，消去y得（1+k2）x2+2x﹣3=0，则有：；所以为定值；（3）解法一：设直线m的方程为y=kx+b，则圆心C到直线m的距离，所以，≤，当且仅当，即时，△CDE的面积最大，从而，解之得b=3或b=﹣1，故所求直线方程为x﹣y+3=0或x﹣y﹣1=0．解法二：由（1）知|CD|=|CE|=R=2，所以≤2，当且仅当CD⊥CE时，△CDE的面积最大，此时；设直线m的方程为y=x+b，则圆心C到直线m的距离，由，得，由，得b=3或b=﹣1，故所求直线方程为x﹣y+3=0或x﹣y﹣1=0．2017年5月5日。
高中数学《选修2-3》同步分层能力测试题 二项分布及其应用
二项分布及其应用A 卷(时间:45分钟 满分:100分)一、选择题:1.已知随机变量ξ服从二项分布，ξ~B (6,31),则P (ξ=2)等于( ) A.163 B.2434 C.24313 D.24380 2.某电视机内的一种晶体管使用时间在10000小时以上的概率为0.2，则三个这样的晶体管在使用10000小时后最多有一个坏了的概率为 （ ）A ．0.014B ．0.104C ．0.410D ．0.4013.已知随机变量ξ服从二项分布，ξ～B （6，31），则P （ξ=1）等于A.163B.24316C.24332 D.24364 4.已知随机变量ξ的分布列为P （ξ=k ）=k21，k =1，2，…，则P （2<ξ≤4）等于A.163 B.41 C.161 D.51 5.将一枚硬币连掷5次，如果出现k 次正面的概率等于出现k +1次正面的概率，那么k 的值为 A.0 B.1 C.2 D.36.位于坐标原点P 的一个质点按下述规则移动：质点每次移动一个单位；移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率者是12，质点P 移动五次后位于点（2，3）的概率是 A. 51()2B. 2551()2CC. 3351()2CD. 235551()2C C二、填空题:7.现有一大批种子，其中优质良种占30%，从中任取5粒，记ξ为5粒中的优质良种粒数，则ξ的分布列是________.8.设随机变量ξ～B （2，p ），η～B （4，p ），若P （ξ≥1）=95，则P （η≥1）=______. 三、解答题:9.重复抛掷一枚骰子5次，得到点数为6的次数记为ξ，求P （ξ>3）.10.某厂生产电子元件，其产品的次品率为5%.现从一批产品中任意地连续取出2件，写出其中次品数ξ的概率分布.11.从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛.设随机变量ξ表示所选3人中女生的人数.（1）求ξ的分布列；（2）求“所选3人中女生人数ξ≤1”的概率.12.A、B两个代表队进行乒乓球对抗赛，每队三名队员，A队队员是A1、A2、A3，B队队员是B1、B2、B3，按以往多次比赛的统计，对阵队员之间胜负概率如下：现按表中对阵方式出场，每场胜队得1分，负队得0分.设A队、B队最后所得总分分别为ξ、η.求ξ、η的概率分布；B 卷(时间:45分钟 满分:100分)一、选择题:1.一袋中有5个白球，3个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个记下颜色后放回，直到红球出现10次时停止，设停止时共取了ξ次球，则P （ξ=12）等于A.C 1012（83）10·（85）2B.C 911（83）9（85）2·83C.C 911（85）9·（83）2 D.C 911（83）9·（85）2 2.某产品的次品率为P ，进行重复抽样检查，选取4个样品，其中至少有两件次品的概率是（ ）A.C 24P 2（1－P ）2B.C 24P 2（1－P ）2+C 34P 3（1－P ）C.1－C 14P （1－P ）3D.1－（1－P ）4－C 14P （1－P ）33.有一批蚕豆种子，如果每1粒发芽的概率为0.9，播下15粒种子，那么恰有14粒种子发芽的概率是（ ）A.1－0.914B.0.914C.C 1415（0.9）（1－0.9）14D.C 14150.914（1－0.9）4.在4次独立实验中事件A 出现的概率相同，若事件A 至少发生1次的概率为8165，则事件A 在1次实验中出现的概率为（ ）A.31 B.52 C.65 D.以上全不对 5.甲、乙两人进行乒乓球比赛，比赛规则为“3局2胜”，即以先赢2局者为胜．根据经验，每局比赛中甲获胜的概率为0．6，则本次比赛甲获胜的概率是A. 0．216B.0．36C.0．432D.0．6486.如果ξ～B （20，31），则使P （ξ=k ）取最大值的k 的值是( )A ．7B ．6C ． 5D ． 6或7 二、填空题:7.设随机变量ξ～B （2，p ），随机变量η～B （3，p ），若P （ξ≥1）=95，则P （η≥1）=__________.8.袋中有4只红球3只黑球，从袋中任取4只球，取到1只红球得1分，取到1只黑球得3分，设得分为随机变量ξ，则P （ξ≤6）=________. 三、解答题:9.金工车间有10台同类型的机床，每台机床配备的电动机功率为10 kW ，已知每台机床工作时，平均每小时实际开动12 min ，且开动与否是相互独立的.现因当地电力供应紧张，供电部门只提供50 kW 的电力，这10台机床能够正常工作的概率为多大?在一个工作班的8 h 内，不能正常工作的时间大约是多少?10.写出下列离散型随机变量的分布列，并指出其中服从二项分布的是哪些?服从几何分布的是哪些? （1）ξ1表示重复抛掷1枚骰子n次中出现点数是3的倍数的次数;（2）ξ2表示连续抛掷2枚骰子，所得的2枚骰子的点数之和;（3）ξ3表示1个击中目标的概率为0.9的射手从开始射击到第一次击中目标所需要的射击次数.答案 A 卷一、选择题:1.D 解析：已知ξ~B (6, 31), P (ξ=k )=k n C p k q n －k ,当ξ=2, n =6, p =31时有P (ξ=2)=26C (31)2(1－31)6－2=26C (31)2·(32)4=24380.故应选D ． 2.B 解析:由已知可得,晶体管在使用10000小时后最多有一个坏了的概率P=31230.20.20.80.104C +⋅⨯=故应选B.3.D 解析:已知ξ~B (6,31), P (ξ=k )=k n C p k q n －k , 当ξ=1, n =6, p =31时有P (ξ=1)=16C (31)1(1－31)6－1=16C (31)1·(32)5=64243.故应选D ． 4.A 解析:P （2<ξ≤4）=P （ξ=3）+P （ξ=4）=321+421=163.故应选A ． 5.C 解析:由C k5（21）k （21）5－k =C 15+k （21）k +1·（21）5－k －1， 即C k 5=C 15+k ，k +（k +1）=5，k =2.故应选C ．6.B 解析: 如图所示, 质点P 由原点到点(2,3)需要向右平移2个单位,向上平移3个单位,共需要移动5次, 每次移动的概率均为12,则质点P 移动五次后位于点(2,3)的概率2232555111()()()222P C C ==. 故应选B.二、填空题:7.P （ξ=k ）=C k50.3k 0.75－k ，k =0，1，…，5解析:ξ～B （5，0.3），ξ的分布列是P （ξ=k ）=C k 50.3k 0.75－k ，k =0，1， (5)8.8165解析:P （ξ≥1）=1－P （ξ<1）=1－C 02p 0·（1－p ）2=95， ∴p =31，P （η≥1）=1－P （η=0）=1－C 04（31）0（32）4=1－8116=8165. 三、解答题:9.解析:依题意，随机变量ξ～B （5，61）， ∴P （ξ=4）=45C （61）4·65=777625，P （ξ=5）=55C （61）5=77761. ∴P （ξ>3）=P （ξ=4）+P （ξ=5）=388813. 10.解析:依题意，随机变量ξ～B （2，5%）， ∴P （ξ=0）=02C （95%）2=0.9025，P （ξ=1）=12C （5%）（95%）=0.095，P （ξ=2）=22C （5%）2=0.0025.11.解析:（1）ξ的可能取值为0，1，2. P （ξ=k ）=36342C C C kk -⋅，k =0，1，2.（2）“所选3人中女生人数ξ≤1”的概率为 P （ξ≤1）=P （ξ=0）+P （ξ=1）=54.12.解析:（1）ξ、η的可能取值分别为3，2，1，0. P （ξ=3）=32×52×52=758， P （ξ=2）=32×52×53+31×52×52+32×53×52=7528， P （ξ=1）=32×53×53+31×52×53+31×53×52=52， P （ξ=0）=31×53×53=253；根据题意知ξ+η=3，所以 P （η=0）=P （ξ=3）=758， P （η=1）=P （ξ=2）=7528， P （η=2）=P （ξ=1）=52， P （η=3）=P （ξ=0）=253.B 卷一、选择题:1.B 解析:P （ξ=12）表示第12次为红球，前11次中有9次为红球，从而P （ξ=12）=C 911·（83）9（85）2×83.故应选B ． 2.D 解析:∴至少有两件次品的对立事件是没有次品或只有一件次品,∴至少有两件次品的概率是1－（1－P ）4－C 14P （1－P ）3,故应选D ．3.D 解析:恰有14粒种子发芽相当于15个独立实验中事件发芽发生了14次,其概率为C 14150.914（1－0.9）,故应选D ．4.A 解析:事件A 至少发生1次的概率为044651(1)81C p p --=,解之得13p =,故应选A ． 5.D 解析:甲获胜有两种情况，一是甲以2：0获胜，此时210.60.36p ==二是甲以2：1获胜，此时1220.60.40.60.288p C =⋅⨯⨯=，故甲获胜的概率120.648p p p =+=,故应选D ．6.D 解析:)()1(k P k P =+=ξξ=k k k k k k ---++20201201120)32()31(C )32()31(C =120+-k k ×21≥1，得k ≤6. 所以当k ≤6时，P （ξ=k +1）≥P （ξ=k ）， 当k ＞6时，P （ξ=k +1）＜P （ξ=k ）， 其中k =6时，P （ξ=k +1）=P （ξ=k ）， 从而k =6或7时，P （ξ=k ）取得最大值. 二、填空题: 7.2719解析: P （ξ≥1）=1－P （ξ<1）=1－C 02p 0·（1－p ）2=95， ∴p =31，P （η≥1）=1－P （η=0）=1－C 03（31）0（32）3=1－827=2719.8.3513解析:取出的4只球中红球个数可能为4，3，2，1个，黑球相应个数为0，1，2，3个.其分值为ξ=4，6，8，10分.P （ξ≤6）=P （ξ=4）+P （ξ=6）=470344C C C +471334C C C =3513. 三、解答题:9.解析:设10台机床中实际开动的机床数为随机变量ξ，由于机床类型相同，且机床的开动与否相互独立，因此ξ～B （10，p ）.其中p 是每台机床开动的概率，由题意p =6012=51.从而P （ξ=k ）=C k10（51）k （54）10－k，k =0，1，2， (10)50 kW 电力同时供给5台机床开动，因而10台机床同时开动的台数不超过5台时都可以正常工作.这一事件的概率为P （ξ≤5），P （ξ≤5）=C 010（54）10+C 110·51·（54）9+C 210（51）2·（54）8+C 310（51）3（54）7+C 410（51）4·（54）6+C 510（51）5·（54）5≈0.994.因此，在电力供应为50 kW的条件下，机床不能正常工作的概率仅约为0.006，从而在一个工作班的8 h 内，不能正常工作的时间只有大约8×60×0.006=2.88（min），这说明，10台机床的工作基本上不受电力供应紧张的影响.10.解析:ξ1服从二项分布，ξ2既不服从二项分布也不服从几何分布，ξ3服从几何分布.（1）ξ的分布列为。
高中数学选修2-3单元配套练习试题2.2.3独立重复试验与二项分布及参考答案解析
2.2.3独立重复试验与二项分布姓名:___________班级:______________________一、选择题1.已知X ～B(6,3),则P(X ＝2)等于( ) A. 316 B. 4243C. 13243D. 802432.电灯泡使用时数在1 000小时以上的概率为0.2,则三个灯泡在1 000小时以后最多有一个坏了的概率是( )A.0.401B.0.104C.0.410D.0.0143.每次试验的成功率为()01p p <<,重复进行10次试验,其中前7次都未成功,后3次都成功的概率为( )A.33107C (1)p p －B.73103C (1)p p －C.37()1p p － D.73()1p p － 4.已知随机变量16,3B ξ⎛⎫⎪⎝⎭,则()2P ξ≥=( ) A.16143 B.471729 C.473729 D.12435.一射手对同一目标独立地射击四次,已知至少命中一次的概率为8081,则此射手每次射击命中的概率为( )A.13 B.23 C.14 D.256.一个学生通过某种英语听力测试的概率是12,他连续测试n 次,要保证他至少有一次通过的概率大于0.9,那么n 的最小值为( )A.3B.4C.5D.67.在4次独立重复试验中,随机事件A 恰好发生1次的概率不大于其恰好发生2次的概率,则事件A 在一次试验中发生的概率p 的取值范围是( ) A.[0.4,1) B.(0,0.4]8.口袋里放有大小相同的两个红球和一个白球,有放回地每次摸取一个球,定义数列{a n}:a n＝11nn-⎧⎨⎩（第次摸出红球）,（第次摸出白球）,如果S n为数列{a n}的前n项和,那么S7＝3的概率为( )A.255712C33⎛⎫⎛⎫⨯⨯⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B.252721C33⎛⎫⎛⎫⨯⨯⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C.255711C33⎛⎫⎛⎫⨯⨯⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D.522722C33⎛⎫⎛⎫⨯⨯⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭9.设X～B(4,p),且P(X＝2)＝827,那么一次试验成功的概率p等于________.10.下列例子中随机变量ξ服从二项分布的有________.①随机变量ξ表示重复抛掷一枚骰子n次中出现点数是3的倍数的次数;②某射手击中目标的概率为0.9,从开始射击到击中目标所需的射击次数ξ;③有一批产品共有N件,其中M件为次品,采用有放回抽取方法,ξ表示n次抽取中出现次品的件数(M＜N);④有一批产品共有N件,其中M件为次品,采用不放回抽取方法,ξ表示n次抽取中出现次品的件数.二、填空题11.冰箱中放有甲、乙两种饮料各5瓶,每次饮用时从中任意取1瓶甲种或乙种饮料,取用甲种或乙种饮料的概率相等,则甲种饮料饮用完毕时乙种饮料还剩下3瓶的概率为________.12.在每道单项选择题给出的4个备选答案中,只有一个是正确的.若对4道选择题中的每一道都任意选定一个答案,求这4道题中:(1)恰有两道题答对的概率;(2)至少答对一道题的概率.三、解答题13.某射手进行射击训练,假设每次射击击中目标的概率为35,且每次射击的结果互不影响,已知射手射击了5次,求:(1)其中只在第一、三、五次击中目标的概率;(2)其中恰有3次击中目标的概率.14.某居民小区有两个相互独立的安全防范系统,简称系统A和B,系统A和系统B在任意时刻发生故障的概率分别为110和p.(1)若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为4950,求p的值;(2)求系统A在3次相互独立的检测中不发生故障的次数大于发生故障的次数的概率.参考答案1.D【解析】()242612802C 33243P X ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 考点:二项分布的概率.2.B【解析】()()()()133233+C 010.20.80.20.104P P P ==⨯+=.故选B.考点:独立重复试验的概率. 3.C【解析】成功率为p ,则不成功的概率为1p －.前7次都未成功概率为7(1)p －,后3次都成功概率为3p ,故C 正确. 考点:独立重复试验的概率. 4.C【解析】()()()()0656601661212C C 21113333011P P P P ξξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-=- ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝≤--⎭≥-＝473729.故选C. 考点:二项分布的概率. 5.B【解析】设此射手射击四次命中次数为ξ,则()4,B p ξ～,依题意可知,()08118P ξ=≥,即()()404101C 18081P p ξ--===-,∴()41181p -=,23p =. 考点:二项分布的概率. 6.B【解析】由题意得011C 10.92n n ⎛⎫--> ⎪⎝⎭,即10.12n⎛⎫< ⎪⎝⎭,∴4n ≥.考点:独立重复试验的概率.【答案】A【解析】由条件知P(ξ＝1)≤P (ξ＝2),即()()3212244C 1C 1p p p p -≤-,∴2(1－p)≤3p ,∴p≥0.4,又0≤p＜1,∴0.4≤p＜1. 考点:独立重复试验的概率. 【答案】B 【解析】由S 7＝3知,在7次摸球中有2次摸取红球,5次摸取白球,而每次摸取红球的概率为23,摸取白球的概率为13,则S 7＝3的概率为252721C 33⎛⎫⎛⎫⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,故选B.考点:独立重复试验的概率. 9.13或23【解析】P(X ＝2)＝()22248C 1,27p p -=即p 2(1－p)2＝221233⎛⎫⎛⎫⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 解得p ＝13或p ＝23. 考点:二项分布的概率.【答案】①③【解析】对于①,设事件A 为“抛掷一枚骰子出现的点数是3的倍数”,则P(A)＝13.而在n 次独立重复试验中事件A 恰好发生了k 次(k ＝0、1、2、…、n)的概率12()C 33k n kk n P k ξ-⎛⎫⎛⎫==⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,符合二项分布的定义.对于②,ξ的取值是1、2、3、…、n,P(ξ＝k)＝10.90.1k -⨯ (k ＝1、2、3、…、n),显然不符合二项分布的定义,因此ξ不服从二项分布.③和④的区别:③是“有放回”抽取,而④是“无放回”抽取,显然④中n 次试验是不独立的,因此ξ不服从二项分布,对于③有ξ～B ,M n N⎛⎫⎪⎝⎭.故应填①③. 考点:二项分布. 11.15128【解析】第七次取出的是甲种饮料,424611115C 1222128P ⎛⎫⎛⎫=-⋅=⎪⎪⎝⎭⎝⎭. 考点:独立重复试验的概率. 12.(1)27128 (2)175256【解析】视“选择每道题的答案”为一次试验,则这是4次独立重复试验,且每次试验中“选择正确”这一事件发生的概率为14.由独立重复试验的概率计算公式得: (1)恰有两道题答对的概率为22241327C =44128P =⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. (2)解法一:至少有一道题答对的概率为()0444011381C 14421560P ⎛⎫⎛⎫==-= ⎪⎝-⎪⎝⎭⎭- 175256. 解法二:至少有一道题答对的概率为3223123444131313C +C +C +444444⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭40441310854121175C =+++=.44256256256256256⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭考点:独立重复试验的概率. 13.(1)1083125 (2)216625【解析】(1)该射手射击了5次,其中只在第一、三、五次击中目标,是在确定的情况下击中目标3次,也即在第二、四次没有击中目标,所以只有一种情况,又各次射击的结果互不影响,故所求其概率为P 1＝35·(1－35)·35·(1－35)·35＝1083125. (2)该射手射击了5次,其中恰有3次击中目标,符合独立重复试验概率模型,故所求其概率为P 2＝35C (35)3·(1－35)2＝216625. 考点:独立重复试验的概率. 14.(1)15(2)0.972 【解析】 (1)设“至少有一个系统不发生故障”为事件C,那么1－P(C )＝1－110·p＝4950,解得p ＝15. (2)设“系统A 在3次相互独立的检测中不发生故障的次数大于发生故障的次数”为事件D,则P(D)＝23C 110·(1－110)2＋(1－110)3＝972=0.9721000. 考点:独立重复试验的概率.。
高中数学选修2-3(人教A版)第二章随机变量及其分布2.2知识点总结含同步练习及答案
第二章随机变量及其分布 2.2二项分布及其应用
一、学习任务 1. 了解条件概率的定义及计算公式，并会利用条件概率解决一些简单的实际问题． 2. 能通过实例理解相互独立事件的定义及概率计算公式，并能综合利用互斥事件的概率加法公 式即对立事件的概率乘法公式． 3. 理解独立重复试验的概率及意义，理解事件在 n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率 公式，并能利用 n 次独立重复试验的模型模拟 n 次独立重复试验． 二、知识清单
（2）设事件“甲、乙两人在罚球线各投球二次均不命中”的概率为 P1 ，则
¯ ∩ ¯¯ ¯ ∩ ¯¯ ¯ ∩ ¯¯ ¯) P1 = P (¯¯ A A B B ¯ ) ⋅ P (¯¯ ¯ ) ⋅ P (¯¯ ¯ ) ⋅ P (¯¯ ¯) = P (¯¯ A A B B 1 2 = (1 − )2 (1 − )2 2 5
n−k k P (X = k) = Ck , k = 0, 1, 2, ⋯ , n. n p (1 − p)
此时称随机变量 X 服从二项分布（binnomial distribution），记作 X ∼ B(n, p)），并称 p 为 成功概率． 例题： 下列随机变量 X 的分布列不属于二项分布的是（ ） A．投掷一枚均匀的骰子 5 次，X 表示点数 6 出现的次数 B．某射手射中目标的概率为 p ，设每次射击是相互独立的，X 为从开始射击到击中目标所需要 的射击次数 C．实力相等的甲、乙两选手举行了 5 局乒乓球比赛，X 表示甲获胜的次数 D．某星期内，每次下载某网站数据后被病毒感染的概率为 0.3，X 表示下载 n 次数据后电脑被 病毒感染的次数 解：B 选项 A，试验出现的结果只有两个：点数为 6 和点数不为 6 ，且点数为 6 的概率在每一次试验 都为
新人教A版选修【2-3】第2章同步练习 2.2二项分布及其应用(含答案)
高中数学系列2—3单元测试题（2.2）一、选择题：1、已知随机变量X 服从二项分布，1(6,)3X B ，则((2)P X =等于( )A.316 B. 4243 C. 13243 D. 802432设某批电子手表正品率为34，次品率为14，现对该批电子手表进行测试，设第X 次首次测到正品，则(3)P X =等于( )A. )43()41(223⨯C B. )41()43(223⨯C C. )43()41(2⨯ D. )41()43(2⨯ 3、设随机变量X 的概率分布列为2()()1,2,33k p X k a k ===，则a 的值为（ ）A1927 B 1917 C 3827 D 3817 4、10个球中有一个红球，有放回的抽取，每次取出一球，直到第n 次才取得()k k n ≤次红球的概率为（ ）A ．2191010n k-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．191010k n k-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．11191010k n kk n C ---⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．111191010k n kk n C----⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭5、甲、乙两名篮球队员轮流投篮直至某人投中为止，设甲每次投篮命中的概率为0.4，乙投中的概率为0.6，而且不受其他次投篮结果的影响，设投篮的轮数为X ，若甲先投，则()P X k =等于（ ） A.4.06.01⨯-k B. 76.024.01⨯-k C. 6.04.01⨯-k D. 24.076.01⨯-k6、某学生解选择题出错的概率为0.1，该生解三道选择题至少有一道出错的概率是（ ） A. 20.10.9⨯ B. 3220.10.10.90.10.9+⨯+⨯ C. 30.1 D. 310.9-7、一个口袋内有带标号的7个白球，3个黑球，作有放回抽样，连摸2次，每次任意摸出1球，则2次摸出的球为一白一黑的概率是（ ） A. 732()()1010⨯⨯ B. 1111()()()()7337⨯+⨯ C. 112()()73⨯⨯ D. 7337()()()()10101010⨯+⨯ 8、用10个均匀材料做成的各面上分别标有数字1,2,3,4,5,6的正方体玩具，每次同时抛出，共抛5次，则至少有一次全部都是同一数字的概率是（ ） A. 1055[1()]6- B. 5105[1()]6-C. 5951[1()]6-- D. 9511[1()]6-- 二、填空题：9、某人射击1次，击中目标的概率是0.8，他射击4次，至少击中3次的概率是 ． 10、三人独立地破译一个密码，它们能译出的概率分别为51、31、41，则能够将此密码译出的概率为 ．11、设随机变量ξ~B(2, p )，随机变量η~B(3, p )，若5(1)9P ξ≥=，则(1)P η≥= .三、解答题：0929求此射手“射击一次命中环数≥7”的概率13、某厂生产电子元件，其产品的次品率为5%，现从一批产品中的任意连续取出2件，求次品数X 的概率分布14、有甲乙两个箱子，甲箱中有6个小球，其中1个标记0号，2个小球标记1号，3个小球标记2号；乙箱装有7个小球，其中4个小球标记0号，一个标记1号，2个标记2号。
高中数学选修2-3n次独立重复试验和二项分布精选题目(附答案)
高中数学选修2-3n次独立重复试验和二项分布精选题目（附答案）(1)n次独立重复试验一般地，在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验．(2)二项分布一般地，在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为p，则P(X＝k)＝C k n p k(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n.此时称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p)，并称p为成功概率．一、n次独立重复试验1．某气象站天气预报的准确率为80%，计算：(结果保留到小数点后面第2位)(1)5次预报中恰有2次准确的概率；(2)5次预报中至少有2次准确的概率；(3)5次预报中恰有2次准确，且其中第3次预报准确的概率．解：(1)记预报一次准确为事件A，则P(A)＝0.8.5次预报相当于5次独立重复试验，2次准确的概率为C25×0.82×0.23＝0.051 2≈0.05，因此5次预报中恰有2次准确的概率约为0.05.(2)“5次预报中至少有2次准确”的对立事件是“5次预报全部不准确或只有1次准确”，其概率为C05×0.25＋C15×0.8×0.24＝0.006 72.∴所求概率为1－0.006 72＝0.993 28≈0.99.(3)说明第1,2,4,5次中恰有1次准确．∴所求概率为C14×0.8×0.23×0.8＝0.020 48≈0.02.故5次预报中恰有2次准确，且其中第3次预报准确的概率约为0.02.注：(1)运用n次独立重复试验的概率公式求概率，首先要分析问题中涉及的试验是否为n次独立重复试验，若不符合条件，则不能应用公式求解．(2)解决实际问题时往往需要把所求概率的事件分拆为若干个事件，而每个事件均为独立重复试验．2．已知两名射击运动员的射击水平：甲击中目标靶的概率是0.7，乙击中目标靶的概率是0.6.若让甲、乙两人各自向目标靶射击3次，则(1)甲恰好击中目标2次的概率是________；(2)两名运动员都恰好击中目标2次的概率是________．(结果保留两位有效数字)解析：由题意，甲向目标靶射击1次，击中目标靶的概率为0.7，乙向目标靶射击1次，击中目标靶的概率为0.6，两人射击均服从二项分布．(1)甲向目标靶射击3次，恰好击中2次的概率是C 23×0.72×(1－0.7)≈0.44. (2)甲、乙两人各向目标靶射击3次，恰好都击中2次的概率是[C 23×0.72×(1－0.7)]×[C 23×0.62×(1－0.6)]≈0.19.答案：(1)0.44 (2)0.193．一袋中有5个白球，3个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个记下颜色后放回，直到红球出现10次时停止，设停止时共取了ξ次球，则P (ξ＝12)等于( )A ．C 1012⎝⎛⎭⎪⎫3810⎝ ⎛⎭⎪⎫582 B ．C 911⎝ ⎛⎭⎪⎫3810⎝ ⎛⎭⎪⎫582C ．C 911⎝ ⎛⎭⎪⎫589⎝ ⎛⎭⎪⎫382D ．C 911⎝ ⎛⎭⎪⎫389⎝ ⎛⎭⎪⎫582 解析：选B 当ξ＝12时，表示前11次中取到9次红球，第12次取到红球，所以P (ξ＝12)＝C 911·⎝ ⎛⎭⎪⎫389·⎝ ⎛⎭⎪⎫582·38＝C 911⎝ ⎛⎭⎪⎫3810⎝ ⎛⎭⎪⎫582. 4．箱中装有标号分别为1,2,3,4,5,6的六个球(除标号外完全相同)，从箱中一次摸出两个球，记下号码并放回，如果两球的号码之积是4的倍数，则获奖．现有4人参与摸球，恰好有3人获奖的概率是( )A.16625B.4625 C.624625 D.96625解析：选D 依题意得获奖的概率为1＋5C 26＝25(注：当摸出的两个球中有标号为4的球时，两球的号码之积是4的倍数，有5种情况；当摸出的两个球中没有标号为4的球时，要使两球的号码之积是4的倍数，只有1种情况，即摸出的两个球的标号为2,6)，因此所求概率为C 34×⎝ ⎛⎭⎪⎫253×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－25＝96625.故选D.5．某学生参加一次选拔考试，有5道题，每题10分．已知他解题的正确率为35，若40分为最低分数线，则该学生被选中的概率是( )A ．C 45×⎝ ⎛⎭⎪⎫354×25 B ．C 55×⎝ ⎛⎭⎪⎫355C ．C 45×⎝⎛⎭⎪⎫354×25＋C 55×⎝ ⎛⎭⎪⎫355D ．1－C 35×⎝⎛⎭⎪⎫353×⎝ ⎛⎭⎪⎫252解析：选C 该学生被选中包括“该学生做对4道题”和“该学生做对5道题”两种情形．故所求概率为C 45×⎝ ⎛⎭⎪⎫354×25＋C 55×⎝ ⎛⎭⎪⎫355. 6．在等差数列{a n }中，a 4＝2，a 7＝－4.现从{a n }的前10项中随机取数，每次取出一个数，取后放回，连续抽取3次，假定每次取数互不影响，那么在这三次取数中，取出的数恰好为两个正数和一个负数的概率为________．(用数字作答)解析：由已知可求通项公式为a n ＝10－2n (n ＝1,2，3，…)，其中a 1，a 2，a 3，a 4为正数，a 5＝0，a 6，a 7，a 8，a 9，a 10为负数，∴从中取一个数为正数的概率为410＝25，取得负数的概率为12.三次取数相当于三次独立重复试验．∴取出的数恰为两个正数和一个负数的概率为C 23×⎝ ⎛⎭⎪⎫252×⎝ ⎛⎭⎪⎫121＝625. 答案：625二、二项分布1．加工某种零件需经过三道工序．设第一、二、三道工序的合格率分别为910，89，78，且各道工序互不影响，(1)加工一个零件是否是独立重复事件？求该零件的合格率；(2)从该种零件中任取3件，恰好取到X 件合格品，X 是否服从二项分布？ (3)在(2)的条件下，求恰好取到1件合格品的概率．解：(1)加工一个零件需经过三道工序，各道工序互不影响，它们是独立的，但三道工序的合格率不同，因此不是独立重复试验．由事件的独立性知，该种零件的合格率P ＝910×89×78＝710.(2)从该种零件中任取3件，相当于3次独立重复试验，恰好取到X 件合格品，即随机变量X 的取值是取到合格品的事件发生的次数，因此X 服从二项分布．(3)由二项分布的概率公式得，恰好取到1件合格品的概率P (X ＝1)＝C 13×710×⎝ ⎛⎭⎪⎫3102＝0.189. 注:利用二项分布来解决实际问题的关键是在实际问题中建立二项分布的模型，也就是看它是否是n 次独立重复试验，随机变量是否为在这n 次独立重复试验中某事件发生的次数，满足这两点的随机变量才服从二项分布，否则就不服从二项分布.2．在一次数学考试中，第14题和第15题为选做题．规定每位考生必须且只需在其中选做一题．设4名考生选做这两题的可能性均为12.(1)求其中甲、乙2名考生选做同一道题的概率；(2)设这4名考生中选做第15题的考生人数为X ，求X 的分布列．解：(1)设事件A 表示“甲选做第14题”，事件B 表示“乙选做第14题”，则甲、乙2名考生选做同一道题的事件为“AB ∪A B ”，且事件A ，B 相互独立．所以P (AB ∪A B )＝P (A )P (B )＋P (A )P (B )＝12×12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＝12.(2)随机变量X 的可能取值为0,1,2,3,4.且X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，12.所以P (X ＝k )＝C k 4⎝ ⎛⎭⎪⎫12k ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－124－k ＝C k 4⎝ ⎛⎭⎪⎫124(k ＝0,1,2,3,4)． 所以变量X 的分布列为3．某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各个路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是13，遇到红灯时停留的时间都是2 min.(1)求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率； (2)求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间至多是4 min 的概率． 解: (1)第三个路口首次遇到红灯，表示前2个路口是绿灯，第3个路口是红灯．(2)中事件指这名学生在上学路上最多遇到2次红灯．(1)设“这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯”为事件A .因为事件A 等价于事件“这名学生在第一个和第二个路口没有遇到红灯，在第三个路口遇到红灯”，所以事件A 的概率为P (A )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13×13＝427.(2)设“这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间至多是4 min ”为事件B ，“这名学生在上学路上遇到k 次红灯”为事件B k (k ＝0,1,2,3,4)．由题意得P (B 0)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫234＝1681，P (B 1)＝C 14×⎝ ⎛⎭⎪⎫131×⎝ ⎛⎭⎪⎫233＝3281， P (B 2)＝C 24×⎝ ⎛⎭⎪⎫132×⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝2481. 所以事件B 的概率为P (B )＝P (B 0)＋P (B 1)＋P (B 2)＝89. 注：(1)二项分布的简单应用是求n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率．解题的一般思路是：根据题意设出随机变量→分析出随机变量服从二项分布→找到参数n ，p →写出二项分布的分布列→将k 值代入求解概率．(2)二项分布求解随机变量涉及“至少”“至多”问题的取值概率，其实质是求在某一取值范围内的概率，一般转化为几个互斥事件发生的概率的和，或者利用对立事件求概率．4．某公司安装了3台报警器，它们彼此独立工作，且发生险情时每台报警器报警的概率均为0.9，求发生险情时，下列事件的概率．(1)3台都未报警；(2)恰有1台报警；(3)恰有2台报警；(4)3台都报警；(5)至少有2台报警；(6)至少有1台报警．解：令X为发生险情时3台报警器报警的台数，那么X～B(3,0.9)，则X的分布列为P(X＝k)＝C k30.9k(1－0.9)3－k(k＝0,1,2,3)．(1)3台都未报警的概率P(X＝0)＝C03×0.90×0.13＝0.001；(2)恰有1台报警的概率P(X＝1)＝C13×0.91×0.12＝0.027；(3)恰有2台报警的概率P(X＝2)＝C23×0.92×0.1＝0.243；(4)3台都报警的概率P(X＝3)＝C33×0.93×0.10＝0.729；(5)至少有2台报警的概率P(X≥2)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＝0.243＋0.729＝0.972；(6)至少有1台报警的概率P(X≥1)＝1－P(X＝0)＝1－0.001＝0.999.5．下列随机变量X不服从二项分布的是()A．投掷一枚均匀的骰子5次，X表示点数为6出现的次数B．某射手射中目标的概率为p，设每次射击是相互独立的，X为从开始射击到击中目标所需要的射击次数C．实力相等的甲、乙两选手进行了5局乒乓球比赛，X表示甲获胜的次数D．某星期内，每次下载某网站数据被病毒感染的概率为0.3，X表示下载n 次数据电脑被病毒感染的次数解析：选B选项A，试验出现的结果只有两种：点数为6和点数不为6，且点数为6的概率在每一次试验中都为16，每一次试验都是独立的，故随机变量X服从二项分布；选项B，虽然随机变量在每一次试验中的结果只有两种，每一次试验事件相互独立且概率不发生变化，但随机变量的取值不确定，故随机变量X不服从二项分布；选项C，甲、乙的获胜率相等，进行5次比赛，相当于进行了5次独立重复试验，故X服从二项分布；选项D，由二项分布的定义，可知被感染次数X ～B (n,0.3)．6．将一枚硬币连掷7次，如果出现k 次正面向上的概率等于出现k ＋1次正面向上的概率，那么k 的值为( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选D 由题意，知C k 7⎝⎛⎭⎪⎫12k ⎝ ⎛⎭⎪⎫127－k ＝C k ＋17⎝ ⎛⎭⎪⎫12k ＋1·⎝ ⎛⎭⎪⎫127－k －1，∴C k 7＝C k ＋17，∴k ＋(k ＋1)＝7，∴k ＝3.7．从学校乘汽车到火车站的途中有三个交通灯，假设在各个交通灯遇到红灯的事件为相互独立的，并且概率都是25，设ξ为途中遇到红灯的次数，求随机变量ξ的分布列．解：由题意ξ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，25，则P (ξ＝0)＝C 03⎝ ⎛⎭⎪⎫250⎝ ⎛⎭⎪⎫353＝27125， P (ξ＝1)＝C 13⎝ ⎛⎭⎪⎫251⎝ ⎛⎭⎪⎫352＝54125， P (ξ＝2)＝C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫252⎝ ⎛⎭⎪⎫351＝36125， P (ξ＝3)＝C 33⎝ ⎛⎭⎪⎫253＝8125. 所以随机变量ξ的分布列为8．在4次独立重复试验中，随机事件A 恰好发生1次的概率不大于其恰好发生2次的概率，则事件A 在一次试验中发生的概率p 的取值范围是( )A ．[0.4,1)B ．(0,0.4]C ．(0,0.6]D ．[0.6,1)解析：选A 由题意，知C 14p (1－p )3≤C 24p 2(1－p )2，解得p ≥0.4，所以0.4≤p <1，故选A.9．设随机变量ξ～B (2，p )，η～B (4，p )，若P (ξ≥1)＝59，则P (η≥2)的值为( )A.3281B.1127C.6581D.1681解析：选B 因为随机变量ξ～B (2，p ) ，所以P (ξ≥1)＝1－P (ξ＝0)＝1－(1－p )2＝59，解得p ＝13，所以η～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，13.则P (η≥2)＝1－P (η＝0)－P (η＝1)＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－134－C 14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－133·⎝ ⎛⎭⎪⎫131＝1127.故选B. 10.如图，一个圆形游戏转盘被分成6个均匀的扇形区域，用力旋转转盘，转盘停止转动时，箭头A 所指区域的数字就是每次游戏所得的分数(箭头指向两个区域的边界时重新转动)，且箭头A 指向每个区域的可能性都是相等的．在一次家庭抽奖的活动中，要求每位家庭派一名儿童和一位成年人先后分别转动一次游戏转盘，得分情况记为(a ，b )(假设儿童和成年人的得分互不影响，且每个家庭只能参加一次活动)．若规定：一个家庭的得分为参与游戏的两人得分之和，且得分大于等于8的家庭可以获得一份奖品．(1)求某个家庭获奖的概率；(2)若共有5个家庭参加家庭抽奖活动，记获奖的家庭数为X ，求X 的分布列．解：(1)某个家庭在游戏中获奖记为事件A ，则符合获奖条件的得分包括(5,3)，(5,5)，(3,5)，共3种情况，∴P (A )＝13×13＋13×13＋13×13＝13. ∴某个家庭获奖的概率为13.(2)由(1)知每个家庭获奖的概率都是13，5个家庭参加游戏相当于5次独立重复试验．∴X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫5，13.∴P (X ＝0)＝C 05×⎝ ⎛⎭⎪⎫130×⎝ ⎛⎭⎪⎫235＝32243， P (X ＝1)＝C 15×⎝⎛⎭⎪⎫131×⎝ ⎛⎭⎪⎫234＝80243， P (X ＝2)＝C 25×⎝ ⎛⎭⎪⎫132×⎝ ⎛⎭⎪⎫233＝80243，P (X ＝3)＝C 35×⎝ ⎛⎭⎪⎫133×⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝40243，P (X ＝4)＝C 45×⎝ ⎛⎭⎪⎫134×⎝ ⎛⎭⎪⎫231＝10243，P (X ＝5)＝C 55×⎝ ⎛⎭⎪⎫135×⎝ ⎛⎭⎪⎫230＝1243.∴X 的分布列为1．有n 位同学参加某项选拔测试，每位同学能通过测试的概率都是p (0<p <1)，假设每位同学能否通过测试是相互独立的，则至少有1位同学能通过测试的概率为( )A ．(1－p )nB ．1－p nC ．p nD ．1－(1－p )n解析：选D 所有同学都不能通过测试的概率为(1－p )n ，则至少有1位同学能通过测试的概率为1－(1－p )n .2．计算机程序每运行一次都随机出现一个五位的二进制数A ＝a 1a 2a 3a 4a 5，其中A 的各位数中，a 1＝1，a k (k ＝2,3,4,5)出现0的概率为13，出现1的概率为23.记X ＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5，当程序运行一次时，则X ＝3的概率为( )A.6581B.2527C.827D.79解析：选C 已知a 1＝1，要使X ＝3，只需后四位数中出现2个1和2个0，∴P (X ＝3)＝C 24×⎝ ⎛⎭⎪⎫232×⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝827.3．已知某班有6个值日小组，每个值日小组中有6名同学，并且每个小组中男生的人数相等，现从每个小组中各抽一名同学参加托球跑比赛，若抽出的6人中至少有1名男生的概率为728729，则该班的男生人数为( )A ．24B ．18C ．12D ．6解析：选A 设每个小组抽一名同学为男生的概率为p ，则由已知得1－(1－p )6＝728729，即(1－p )6＝1729，解得p ＝23，所以每个小组有6×23＝4名男生，该班共有4×6＝24名男生．4．箱子里有5个黄球，4个白球，每次随机取出1个球，若取出黄球，则放回箱中重新取球，若取出白球，则停止取球，那么在4次取球之后停止取球的概率为( )A.35×14B.⎝ ⎛⎭⎪⎫593×49C ．C 14×⎝ ⎛⎭⎪⎫593×49 D ．C 14×⎝ ⎛⎭⎪⎫493×59解析：选B 取球次数X 是一个随机变量，X ＝4表明前3次取出的球都是黄球，第4次取出白球．这4次取球，取得黄球的概率相等，且每次取球是相互独立的，所以这是独立重复试验．设A 表示“取出的1个球是白球”，则P (A )＝C 14C 19＝49，P (A －)＝1－49＝59，故P (X ＝4)＝P (A －A －A －A )＝[P (A －)]3·P (A )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫593×49.5．一只蚂蚁位于数轴x ＝0处，这只蚂蚁每隔一秒钟向左或向右移动一个单位长度，设它向右移动的概率为23，向左移动的概率为13，则3秒后，这只蚂蚁在x ＝1处的概率为________．解析：由题意知，3秒内蚂蚁向左移动一个单位长度，向右移动两个单位长度，所以蚂蚁在x ＝1处的概率为C 23×⎝ ⎛⎭⎪⎫232×⎝ ⎛⎭⎪⎫131＝49. 答案：496．如果X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫20，13，Y ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫20，23，那么当X ，Y 变化时，下面关于P (X ＝x k )＝P (Y ＝y k )成立的(x k ，y k )的个数为________．解析：根据二项分布的特点可知，(x k ，y k )分别为(0,20)，(1,19)，(2,18)，…，(20,0)，共21个．答案：217．某居民小区有两个相互独立的安全防范系统(简称系统)A 和B ，系统A 和B 在任意时刻发生故障的概率分别为110和p .(1)若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为4950，求p 的值；(2)设系统A 在3次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量ξ，求ξ的概率分布列．解：(1)设“至少有一个系统不发生故障”为事件C ，那么1－P (C )＝1－110p ＝4950，解得p ＝15.(2)由题意，ξ的可能取值为0,1,2,3.P (ξ＝0)＝C 03⎝ ⎛⎭⎪⎫1103＝11 000， P (ξ＝1)＝C 13⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1101⎝ ⎛⎭⎪⎫1102＝271 000， P (ξ＝2)＝C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1102⎝ ⎛⎭⎪⎫1101＝2431 000， P (ξ＝3)＝C 33⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1103⎝ ⎛⎭⎪⎫1100＝7291 000，所以随机变量ξ的概率分布列为8.甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是23和34.假设两人射击是否击中目标，相互之间没有影响；每人各次射击是否击中目标相互之间也没有影响．(1)求甲射击4次，至少有1次未击中目标的概率；(2)求两人各射击4次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率；(3)假设某人连续2次未击中目标，则中止其射击．问：甲恰好射击5次后，被中止射击的概率是多少？解：设A ＝{甲射击一次击中目标}，B ＝{乙射击一次击中目标}，则A ，B相互独立，且P (A )＝23，P (B )＝34.(1)设C ＝{甲射击4次，至少有1次未击中目标}，则P (C )＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫234＝6581. (2)设D ＝{两人各射击4次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次}，∴P (D )＝C 24·⎝ ⎛⎭⎪⎫232·⎝ ⎛⎭⎪⎫132·C 34·⎝ ⎛⎭⎪⎫343·14＝18. (3)甲恰好射击5次，被中止射击，说明甲第4,5次未击中目标，第3次击中目标，第1,2两次至多一次未击中目标，故所求概率P ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫132×23×⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝16243.。
人教新课标A版 选修2-3 2.2二项分布及其应用(I)卷
人教新课标A版选修2-3 2.2二项分布及其应用（I）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）随机变量服从二项分布～，且则等于（）A . 4B . 12C . 4或12D . 3【考点】2. （2分）一个不透明的盒子里有质地、大小完全相同的5个球，编号分别为1，2，3，4，5，甲、乙两人玩一种游戏：甲先摸出一个球，记下编号，放回后乙再摸一个球，记下编号，如果两个编号的和为偶数算甲赢，否则算乙赢．那么甲赢的概率是（）【考点】3. （2分）(2018·全国Ⅰ卷理) 某地区经过一年的新农村建设,农村的经济收入增加了一倍,实现翻番。
为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况,统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例。
得到如下饼图：则下面结论中不正确的是（）A . 新农村建设后，种植收入减少B . 新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C . 新农村建设后，养殖收入增加了一倍D . 新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半【考点】4. （2分） (2018高二下·滦南期末) 已知随机变量服从二项分布，则（）A .B .C .D .【考点】5. （2分）袋中有5个小球（3白2黑），现从袋中每次取一个球，不放回地抽取两次，则在第一次取到白球的条件下，第二次取到白球的概率是（）【考点】6. （2分）已知X～B（n，p），E（X）＝2，D（X）＝1.6，则n，p的值分别为（）A . 100，0.8B . 20，0.4C . 10，0.2D . 10，0.8【考点】7. （2分） (2017高二下·汪清期末) 如果随机变量ξ～B(n ， p)，且E(ξ)＝7，D(ξ)＝6，则p等于（）A .B .C .D .【考点】8. （2分）袋中有大小相同的3个红球，7个白球，从中不放回地一次摸取2球，在已知第一次取出白球的前提下，第二次取得红球的概率是（）【考点】9. （2分） (2017高二下·眉山期末) 已知，当P（X=k）（k∈N，0≤k≤8）取得最大值时，k 的值是（）A . 7B . 6C . 5D . 4【考点】10. （2分） (2018高二上·孝昌期中) 甲、乙两组各有三名同学，他们在一次测验中的成绩的茎叶图如图所示，如果分别从甲、乙两组中各随机选取一名同学，则这两名同学的成绩相同的概率是（）A .B .C .D .【考点】11. （2分） (2018高二上·吉林期末) 随机变量服从二项分布，且，则等于（）A .B .C . 1D . 0【考点】12. （2分） (2016高二下·故城期中) 某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X，则X的数学期望为（）A . 100B . 200C . 300D . 400【考点】二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）某地区牛患某种病的概率为0.25，且每头牛患病与否是互不影响的，今研制一种新的预防药，任选12头牛做试验，结果这12头牛服用这种药后均未患病，则此药________(填“有效”或“无效”)．【考点】14. （1分）(2019·绵阳模拟) 一个盒子装有3个红球和2个蓝球（小球除颜色外其它均相同），从盒子中一次性随机取出3个小球后，再将小球放回．重复50次这样的实验．记“取出的3个小球中有2个红球，1个蓝球”发生的次数为，则的方差是________．【考点】15. （1分） (2018高一下·北京期中) 集合，集合，若任意A∪B中的元素a，则A∩B的概率是________。
高中数学选修2-3同步检测题 2.2.3 独立重复试验与二项分布 附答案解析
第二章 随机变量及其分布 2.2.3 独立重复试验与二项分布(时间：40分钟，满分：60分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．某一试验中事件A 发生的概率为p ，则在n 次独立重复试验中，A 发生k 次的概率为( )A ．1－p kB ．(1－p )k p n－kC ．(1－p )kD ．C k n (1－p )k pn －k2．掷一枚不均匀的硬币，正面朝上的概率为23，若将此硬币掷4次，则正面朝上3次的概率是( )A.881B.3281C.827D.26273．某人射击一次击中目标的概率为0.6，经过3次射击，此人至少有2次击中目标的概率为( )A.81125B.54125C.36125D.271254．位于坐标原点的一个质点P 按下述规则移动：质点每次移动一个单位，移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是12，则质点P 移动5次后位于点(2,3)的概率为( )A.512⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．C 25512⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．C 35312⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．C 25C 35512⎛⎫ ⎪⎝⎭二、填空题(每小题5分，共10分)5．某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第18、19、20层停靠，若该电梯在底层载有5位乘客，且每位乘客在这三层的每一层下电梯的概率均为13，用X 表示这5位乘客在第20层下电梯的人数，则P (X ＝4)＝________.6．下列说法正确的是________．①某同学投篮命中率为0.6，他10次投篮中命中的次数X 是一个随机变量，且X ～B (10,0.6)；②某福彩的中奖概率为P ，某人一次买了8张，中奖张数X 是一个随机变量，且X ～B (8，P )；③从装有5红5白的袋中，有放回的摸球，直到摸出白球为止，则摸球次数X 是随机变量，且X ～B 1,2n ⎛⎫ ⎪⎝⎭.三、解答题(每小题10分，共30分)7．一批玉米种子，其发芽率是0.8.问每穴至少种几粒，才能保证每穴至少有一粒发芽的概率大于98%？(lg 2＝0.301 0)8．现有4个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择．为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自已去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏．(1)求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率；(2)求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率．9．(10分)某居民小区有两个相互独立的安全防范系统(简称系统)A和B，系统A和系统B在任意时刻发生故障的概率分别为110和p.(1)若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为4950，求p的值；(2)设系统A在3次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量ξ，求ξ的概率分布列．参考答案一、选择题1.解析：A发生的概率为p，则A发生的概率为1－p，n次试验中A发生k次的概率为C k n(1－p)k p n－k.答案：D2.解析：设正面朝上X次，则X～24,3B⎛⎫⎪⎝⎭，P(X＝3)＝33421323381C⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.答案：B3.解析：至少有2次击中目标包含以下情况：只有2次击中目标，此时概率为C23×0.62×(1－0.6)＝54125；3次都击中目标，此时的概率为C33×0.63＝27125，∴至少有2次击中目标的概率为54125＋27125＝81125. 答案：A4.解析：质点每次只能向上或向右移动，且概率均为1 2，所以移动5次可看成做了5次独立重复试验．质点P移动5次后位于点(2,3)的概率为C25212⎛⎫⎪⎝⎭312⎛⎫⎪⎝⎭＝C25512⎛⎫⎪⎝⎭.答案：B二、填空题5.解析：考察一位乘客是否在第20层下电梯为一次试验，这是5次独立重复试验，故X～15,3B⎛⎫⎪⎝⎭，即有P(X＝k)＝C k513k⎛⎫⎪⎝⎭×523k-⎛⎫⎪⎝⎭，k＝0,1,2,3,4,5.∴P(X＝4)＝C45×41233⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝10243.答案：102436.解析：①、②显然满足独立重复试验的条件，而③虽然是有放回的摸球，但随机变量X的定义是直到摸出白球为止，也就是说前面摸出的一定是红球，最后一次是白球，不符合二项分布的定义．答案：①②三、解答题7.解析：记事件A＝“种一粒种子，发芽”，则P(A)＝0.8，P(A)＝1－0.8＝0.2.设每穴至少种n粒，才能保证每穴至少有一粒发芽的概率大于98%.因为每穴种n粒相当于n次独立重复试验，记事件B＝“每穴至少有一粒发芽”，则。
高中数学选修2-3课后习题答案
数学选修2-3
第一章 计数原理
Ⅰ总体设计
Ⅱ教科书分析
1.Hale Waihona Puke 分类加法计数原理与分步乘法计数原理
1.2排列与组合
1.3二项式定理
Ⅲ自我检测题
第二章 随机变量及其分布
Ⅰ总体设计
Ⅱ教科书分析
2.1离散型随机变量及其分布列
2.2二项分布及其应用
2.3离散型随机变量的均值与方差
2.4正态分布
Ⅲ自我检测题
第三章 统计案例
Ⅰ总体设计
Ⅱ教科书分析
3.1回归分析的基本思想及其初步应用
3.2独立性检验的基本思想及其初步应用
Ⅲ自我检测题
人教版高数选修2-3第二章2.2二项分布及其应用(学生版)
人教版高数选修2-3第二章2.2二项分布及其应用（学生版）A 发生的结果有1m 种，乙试验共有2N 种等可能的不同结果，其中属于B 发生的结果有2m 种.由于事件A 与B 相互独立，这里的种数11,N m 与22,N m 之间互相没有影响.那么，甲、乙两试验的结果搭配在一起，总共有12N N ⋅种不同的搭配，显然，这些搭配都是具有等可能性的.现在考察属于事件AB 的试验结果.显然，凡属于A 的任何一种甲试验的结果同属于B 的任何一种乙试验的结果的搭配，都表示A 与B 同时发生，即属于事件AB ，这种结果总共有1m ⋅2m 种，因此得12121212(),m m m m P AB N N N N ⋅==⋅⋅所以P (AB )=P (A )·P (B ).(2)一般地，可以证明，事件A 与B (不一定互斥)中至少有一个发生的概率可按下式计算：P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB).特别地，当事件A 与B 互斥时，P(AB)=0，于是上式变为P(A+B)=P(A)+P(B).(3)如果事件A 与B 相互独立，则事件A 与B ，A 与B ，A 与B 也都相互独立.3.n 次独立重复试验一般地，由n 次试验构成，且每次试验相互独立完成，每次试验的结果仅有两种______的状态，即A 与A ，每次试验中P (A )=p >0，我们将这样的试验称为n 次独立重复试验，也称为伯努利试验.4.二项分布若随机变量X的分布列为P(X=k)=__________________其中0<p<1，p+q=1，k=0，1，2，…，n，则称X服从参数为n，p的二项分布，记作X~_________.5.二项分布公式在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k(0≤k ≤n)次的概率为_________________________,k=0，1，2，…，n，它恰好是()np q的二项展开式中的第k+1项.其中每次试验事件A发生的概率为p(0<p<1)，即P(A)=p，P(A)=1-p=q.类型一.条件概率例1：抛掷一枚骰子，观察出现的点数，若已知出现的点数不超过3，则出现的点数是奇数的概率为________.练习1：从一副不含大小王的52张扑克牌中不放回地抽取2次，每次抽1张.已知第1次抽到A，求第2次也抽到A的概率.类型二.两个事件的相互独立性例2：制造一种零件，甲机床的正品率是0.96，乙机床的正品率是0.95，从它们制造的产品中各任抽一件.(1)两件都是正品的概率是多少？(2)恰有一件正品的概率是多少？练习1：袋内有3个白球和2个黑球，从中不放回地摸球，用A表示“第一次摸得白球”，用B表示“第二次摸得白球”，则A与B是( )A.互斥事件B.相互独立事件C.对立事件D.不相互独立事件若上题中的“不放回”改为“有放回”，则A与B是( )类型三.n个事件相互独立例3：有三种产品，合格率分别是0.90，0.95和0.95，从中各抽取一件进行检验.(1)求恰有一件不合格的概率；(2)求至少有两件不合格的概率(结果都精确到0.001).练习1：甲、乙两名篮球运动员分别进行一次投篮，如果两人投中的概率都是0.6，计算：(1)两人都投中的概率；(2)其中恰有一人投中的概率；(3)至少有一人投中的概率.类型四.n次独立重复试验及二项分布例4：某一种玉米种子，如果每一粒发芽的，概率为0.9.播下五粒种子，则其中恰有两粒末发芽的概率约是( )A.0.07B.0.27C.0.30D.0.33练习1：某射击手每次射击击中目标的概率是0.8，现在连续射击4次，求击中目标次数X 的概率分布表.类型五. 独立重复试验和二项分布的应用例5：某排球队参加比赛，每场比赛取胜的概率均为80%，计算：(1)5场比赛中恰有4场胜出的概率；(2)5场比赛中至少有4场胜出的概率.练习1：某人射击5次，每次中靶的概率均为0.9.求他至少有2次中靶的概率.1.甲射击命中目标的概率是12，乙命中目标的概率是13，丙命中目标的概率是14.现在三人同时射击目标，则目标被击中的概率为( )A.34B.23C.45D.7102.面几种概率是条件概率的是( )A.甲、乙两人投篮命中率分别为0.6，0.7，各投篮一次都投中的概率B.甲、乙两人投篮命中率分别为0.6，0.7，在甲投篮一次投中的条件下乙投篮一次命中的概率C.有10件产品其中3件次品，抽2件产品进行检验，恰好抽到一件次品的概率D.小明上学路上要过四个路口，每个路口遇到红灯的概率都是2,5则小明在一次上学中遇到红灯的概率3.下列说法正确的是( )A.P (A |B )=P (B |A )B.0<P (B |A )<1C.P (AB )=P (A )·P (B |A )D.P (A B |A )=P (B )4.独立重复试验应满足的条件是：①每次试验之间是相互独立的；②每次试验只有发生与不发生两种结果；③每次试验中发生的机会是均等的；④每次试验发生的事件是互斥的.其中正确的是( )A.①②B.②③C.①②③D.①②④5.某一试验中事件A 发生的概率为p ，则在n 次试验中A 发生k 次的概率为( )A.1k p -B.(1)k n k p p --C.(1)k p -D.(1)kk n k n C p p --6.4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为( ) A.13 B.12 C.23D.34 7.从20名男同学，10名女同学中任选3名参加体能测试，则选到的3名同学中既有男同学又有女同学的概率为( ) A.929 B.1029 C.1929 D.20298.篮球运动员在三分线投球的命中率是1,2他投球10次，恰好投进3个球的概率为________.(用数值作答)_________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________基础巩固1. 某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是( )A ．0.8B ．0.75C ．0.6D ．0.452.设随机变量X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫6，12，则P (X ＝3)等于( ) A.516 B.316 C.58 D.383.某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同，且在两次罚球中至多命中一次的概率为1625，则该队员每次罚球的命中率为________．4.有一批种子的发芽率为0.9，出芽后的幼苗成活率为0.8，在这批种子中，随机抽取一粒，则这粒种子能成长为幼苗的概率为________．5.设随机变量X ～B 1(6,),2则P (X =3)为( ) A.516 B.316 C.58 D.7166.某人参加一次考试，4道题中解对3道则为及格，已知他的解题正确率为0.4，则他能及格的概率是( )A.0.18B.0.28C.0.37D.0.487.把10枚骰子全部投出，记出现6点的骰子个数为,ξ则P (ξ≤2)等于( ) A.2281015()()66C⨯ B.1910228101015515()()()()()66666C C ⨯++⨯ C.1922810101515()()()()6666C C ⨯+⨯ D.以上都不对8.有5粒种子，每粒种子发芽的概率均是98%，在这5粒种子中恰有4粒发芽的概率是( )A.40.980.02⨯B.40.980.02⨯C.4450.980.02C ⨯⨯ D.4450.980.02C ⨯⨯能力提升1.设随机变量X ～B (2，p )，Y ～B (4，p )，若P (X ≥1)＝59，则P (Y ≥2)的值为( ) A.3281 B.1127 C.6581 D.16812.口袋里放有大小相等的两个红球和一个白球，有放回地每次摸取一个球，定义数列{a n }：a n ＝⎩⎨⎧－1，第n 次摸取红球，1，第n 次摸取白球，如果S n 为数列{a n }的前n 项和，那么S 7＝3的概率为( )A.57C ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫132·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫235 B.27C ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫232·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫135 C.57C ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫132·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫135 D.37C ⎝⎛⎭⎪⎪⎫132·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫235 3.接种某疫苗后，出现发热反应的概率为0.80.现有5人接种了该疫苗，至少有3人出现发热反应的概率为________.(精确到0.01)4.三人独立地破译一份密码，他们能单独译出的概率分别为111,534、、 假设他们破译密码彼此是独立的，则此密码被破译的概率为( )A.35B.25C.160D.不能确定5.某射手每次击中目标的概率是23，各次射击互不影响，若规定：其若连续两次射击不中，则停止射击，则其恰好在射击完第5次后停止射击的概率为________．6. 已知2件次品和3件正品放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束.求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；7. 乒乓球台面被网分隔成甲、乙两部分，如图1-4所示，甲上有两个不相交的区域A，B，乙被划分为两个不相交的区域C，D.某次测试要求队员接到落点在甲上的来球后向乙回球．规定：回球一次，落点在C上记3分，在D上记1分，其他情况记0分．对落点在A上的来球，队员小明回球的落点在C上的概率为12，在D上的概率为13；对落点在B上的来球，小明回球的落点在C上的概率为15，在D上的概率为35.假设共有两次来球且落在A ，B 上各一次，小明的两次回球互不影响．求：小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率；8. 一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需要击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分（即获得分）.设每次击鼓出现音乐的概率为，且各次击鼓出现音乐相互独立.（1）设每盘游戏获得的分数为，求的分布列（2）玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？200 12X X。
2019-2020学年高中数学人教A版选修2-3课时训练：2.2 二项分布及其应用3 Word版含答案
2．2.3独立重复试验与二项分布[学习目标]1．理解n次独立重复试验的模型．2．理解二项分布．3．能利用独立重复试验的模型及二项分布解决一些简单的实际问题．[知识链接]1．在n次独立重复试验中，各次试验的结果相互有影响吗？答在n次独立重复试验中，各次试验的结果相互之间无影响．因为每次试验是在相同条件下独立进行的，所以第i次试验的结果不受前i－1次结果的影响(其中i＝1，2，…，n)．2．你能说明两点分布与二项分布之间的关系吗？答两点分布是特殊的二项分布，即X～B(n，p)中，当n＝1时，二项分布便是两点分布，也就是说二项分布是两点分布的一般形式．[预习导引]1．n次独立重复实验在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验．2．二项分布一般地，在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为p，P(X＝k)＝C k n p k(1－p)n－k，k＝0，1，2，…，n.此时称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p)，并称p为成功概率.要点一独立重复试验的判断例1 判断下列试验是不是独立重复试验：(1)依次投掷四枚质地不同的硬币，3次正面向上．(2)某人射击，击中目标的概率是稳定的，他连续射击了10次，其中6次击中． (3)口袋中装有5个白球，3个红球，2个黑球，依次从中抽取5个球，恰好抽出4个白球． 解 (1)由于试验的条件不同(质地不同)，因此不是独立重复试验． (2)某人射击且击中的概率是稳定的，因此是独立重复试验．(3)每次抽取，试验的结果有三种不同的颜色，且每种颜色出现的可能性不相等，因此不是独立重复试验．规律方法 判断的依据要看该实验是不是在相同的条件下可以重复进行，且每次试验相互独立，互不影响． 跟踪演练1小明同小华一起玩掷骰子游戏，游戏规则如下：小明先掷，小华后掷，如此间隔投掷．问：(1)小明共投掷n 次，是否可看作n 次独立重复试验？小华共投掷m 次，是否可看作m 次独立重复试验？(2)在游戏的全过程中共投掷了m ＋n 次，则这m ＋n 次是否可看作m ＋n 次独立重复试验． 解 (1)由独立重复试验的条件，小明、小华各自投掷骰子时可看作在相同条件下，且每次间互不影响，故小明、小华分别投掷的n 次和m 次可看作n 次独立重复试验和m 次独立重复试验． (2)就全过程考查，不是在相同条件下进行的试验，故不能看作m ＋n 次独立重复试验． 要点二 相互独立重复事件的概率 例2某射手进行射击训练，假设每次射击击中目标的概率为35，且每次射击的结果互不影响，已知射手射击了5次，求：(1)其中只在第一、三、五次击中目标的概率； (2)其中恰有3次击中目标的概率；(3)其中恰有3次连续击中目标，而其他两次没有击中目标的概率．解 (1)该射手射击了5次，其中只在第一、三、五次击中目标，是在确定的情况下击中目标3次，也就是在第二、四次没有击中目标，所以只有一种情况，又因为各次射击的结果互不影响，故所求概率为P ＝35×(1－35)×35×(1－35)×35＝1083 125；(2)该射手射击了5次，其中恰有3次击中目标．根据排列组合知识，5次当中选3次，共有C35种情况，因为各次射击的结果互不影响，所以符合n 次独立重复试验概率模型．故所求概率为P ＝C35×(35)3×(1－35)2＝216625；(3)该射手射击了5次，其中恰有3次连续击中目标，而其他两次没有击中目标，应用排列组合知识，把3次连续击中目标看成一个整体可得共有C13种情况．故所求概率为P ＝C13·(35)3·(1－35)2＝3243 125.规律方法 解答独立重复试验中的概率问题要注意以下几点： (1)先要判断问题中所涉及的试验是否为n 次独立重复试验；(2)要注意分析所研究的事件的含义，并根据题意划分为若干个互斥事件的并． (3)要善于分析规律，恰当应用排列、组合数简化运算．跟踪演练2 甲、乙两队进行排球比赛，已知在一局比赛中甲队胜的概率为23，没有平局． (1)若进行三局两胜制比赛，先胜两局者为胜，甲获胜的概率是多少？ (2)若进行五局三胜制比赛，甲获胜的概率为多少？解 (1)甲第一、二局胜，或第二、三局胜，或第一、三局胜，则P ＝(23)2＋C12×23×13×23＝2027. (2)甲前三局胜，或甲第四局胜，而前三局仅胜两局，或甲第五局胜，而前四局仅胜两局，则 P ＝(23)3＋C23×(23)2×13×23＋C24(23)2×(13)2×23＝6481. 要点三 二项分布问题 例3某一中学生心理咨询中心服务电话接通率为34，某班3名同学商定明天分别就同一问题询问该服务中心．且每人只拨打一次，求他们中成功咨询的人数X 的分布列． 解 由题意可知：X ～B (3，34)，所以P (X ＝k )＝Ck 3(34)k (14)3－k (k ＝0，1，2，3)． P (X ＝0)＝C03(34)0(14)3＝164， P (X ＝1)＝C13·34·(14)2＝964， P (X ＝2)＝C23(34)2·14＝2764，P (X ＝3)＝C33(34)3＝2764. 所以分布列为规律方法 利用二项分布来解决实际问题的关键在于在实际问题中建立二项分布的模型，也就是看它是否为n 次独立重复试验，随机变量是否为在这n 次独立重复试验中某事件发生的次数，满足这两点的随机变量才服从二项分布，否则就不服从二项分布．跟踪演练3从学校乘汽车到火车站的途中有三个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件为相互独立的，并且概率都是25，设ξ为途中遇到红灯的次数，求随机变量ξ的分布列．解由题意ξ～B(3，2 5)，则P(ξ＝0)＝C03(25)0(35)3＝27125，P(ξ＝1)＝C13(25)(35)2＝54125，P(ξ＝2)＝C23(25)2(35)＝36125，P(ξ＝3)＝C33(25)3＝8125.所以随机变量ξ的分布列为1．每次试验的成功率为p(0<p<1)，重复进行10次试验，其中前7次都未成功，后3次都成功的概率为( )A．C310p3(1－p)7B．C310p3(1－p)3C．p3(1－p)7D．p7(1－p)3答案 C2．若X～B(5，0.1)，则P(X≤2)等于( )A．0.665 B．0.008 56C．0.918 54 D．0.991 44答案 D解析P(X≤2)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＋P(X＝2)＝C050.10×0.95＋C150.1×0.94＋C250.12×0.93＝0.991 44.3．将一枚均匀的硬币抛掷6次，则正面出现的次数比反面出现的次数多的概率为________．答案11 32解析正面出现的次数比反面出现的次数多，则正面可以出现4次、5次或6次，所求概率P＝C46(12)6＋C56(12)6＋C66(12)6＝1132.4．重复抛掷一枚骰子5次得到点数为6的次数记为ξ，求P (ξ>3)． 解 依题意，随机变量ξ～B (5，16)．∴P (ξ＝4)＝C45(16)4·56＝257 776，P (ξ＝5)＝C55(16)5＝17 776. ∴P (ξ>3)＝P (ξ＝4)＋P (ξ＝5)＝133 888.1．独立重复试验要从三方面考虑：第一，每次试验是在相同条件下进行的；第二，各次试验中的事件是相互独立的；第三，每次试验都只有两种结果，即事件要么发生，要么不发生． 2．如果一次试验中某事件发生的概率是p ，那么n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率为P n (k )＝Ck n p k (1－p )n －k .此概率公式恰为[(1－p )＋p ]n 展开式的第k ＋1项，故称该公式为二项分布公式.一、基础达标1．种植某种树苗，成活率为0.9.若种植这种树苗5棵，则恰好成活4棵的概率约为( ) A ．0.33 B ．0.66 C ．0.5 D ．0.45 答案 A解析 根据n 次独立重复实验中，事件A 恰好发生k 次的概率公式得到种植这种树苗5棵，则恰好成活4棵的概率为C450.94(1－0.9)≈0.33，故选A. 2．已知随机变量ξ～B (6，13)，则P (ξ＝2)等于( ) A.316 B.4243 C.13243 D.80243 答案 D解析 P (ξ＝2)＝C26(13)2(1－13)4＝80243.3．位于坐标原点的一个质点P 按下述规则移动：质点每次移动一个单位，移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是12，质点P 移动五次后位于点(2，3)的概率是( )A ．(12)5B ．C25×(12)5C ．C35×(12)3D ．C25×C35×(12)5 答案 B解析 如图，由题可知，质点P 必须向右移动2次，向上移动3次才能位于点(2，3)，问题相当于5次重复试验向右恰好发生2次的概率．所求概率为P ＝C25×(12)2×(12)3＝C25×(12)5.故选B. 4．某学生参加一次选拔考试，有5道题，每题10分．已知他解题的正确率为35，若40分为最低分数线，则该生被选中的概率是( ) A ．C45(35)4×25 B ．C55(35)5C ．C45(35)4×25＋C55(35)5D ．1－C35(35)3×(25)2 答案 C解析 该生被选中包括“该生做对4道题”和“该生做对5道题”两种情形．故所求概率为P ＝C45×(35)4×25＋C55×(35)5.故应选C.5．从次品率为0.1的一批产品中任取4件，恰有两件次品的概率为________． 答案 0.048 6解析 P ＝C24(0.1)2(1－0.1)2＝0.048 6.6．在4次独立重复试验中，事件A 发生的概率相同，若事件A 至少发生1次的概率为6581，则事件A 在1次试验中发生的概率为________． 答案 13解析 设事件A 在1次试验中发生的概率为p . 由题意知，1－(1－p )4＝6581，∴(1－p )4＝1681，故p ＝13.7．某单位为绿化环境，移栽了甲、乙两种大树各2棵．设甲、乙两种大树移栽的成活率分别为56和45，且各棵大树是否成活互不影响，求移栽的4棵大树中， (1)至少有1棵成活的概率； (2)两种大树各成活1棵的概率．解 设A k 表示第k 棵甲种大树成活，k ＝1，2，B l 表示第l 棵乙种大树成活，l ＝1，2， 则A 1，A 2，B 1，B 2相互独立，且P (A 1)＝P (A 2)＝56，P (B 1)＝P (B 2)＝45. (1)至少有1棵成活的概率为1－P (A 1－·A 2－·B 1－·B 2－) ＝1－P (A 1－)·P (A 2－)·P (B 1－)·P (B 2－)＝1－(16)2(15)2＝899900.(2)由独立重复试验中事件发生的概率公式知，所求概率为P ＝C12(56)(16)·C12(45)(15)＝1036×825＝80900＝445. 二、能力提升8．某人参加一次考试，4道题中答对3道则为及格，已知他的解题正确率为0.4，则他能及格的概率约为( )A ．0.18B ．0.28C ．0.37D ．0.48 答案 A解析 P ＝C34×0.43×(1－0.4)＋C44×0.44＝0.179 2≈0.18.9．口袋里放有大小相同的两个红球和一个白球，每次有放回地摸取一个球，定义数列{a n }，an ＝⎩⎪⎨⎪⎧－1，第n 次摸取红球，1，第n 次摸取白球，如果S n 为数列{a n }的前n 项和，那么S 7＝3的概率为( )A ．C57×(13)2×(23)5B ．C27×(23)2×(13)5C ．C57×(13)2×(13)5D ．C27×(13)2×(23)2 答案 B解析 由S 7＝3知，在7次摸球中有2次摸取红球，5次摸取白球，而每次摸取红球的概率为23，摸取白球的概率为13，则S 7＝3的概率为C27×(23)2×(13)5，故选B.10．某射手射击1次，击中目标的概率为0.9，他连续射击4次，且各次射击是否击中目标相互之间没有影响，有下列结论：①他第三次击中目标的概率为0.9；②他恰好击中目标3次的概率为0.93×0.1；③他至少击中目标1次的概率为1－0.14. 其中正确结论的序号为________． 答案 ①③解析 在n 次试验中，每次事件发生的概率都相等，故①正确；②中恰好击中3次需要看哪3次击中，所以正确的概率应为C340.93×0.1；利用对立事件，③正确．11．某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训，以提高下岗人员的再就业能力，每名下岗人员可以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培训，已知参加过财会培训的有60%，参加过计算机培训的有75%，假设每个人对培训项目的选择是相互独立的，且各人的选择相互之间没有影响．(1)任选1名下岗人员，求该人参加过培训的概率；(2)任选3名下岗人员，记ξ为3人中参加过培训的人数，求ξ的分布列．解 (1)任选1名下岗人员，记“该人参加过财会培训”为事件A ，“该人参加过计算机培训”为事件B ，由题设知，事件A 与B 相互独立， 且P (A )＝0.6，P (B )＝0.75.所以，该下岗人员没有参加过培训的概率是 P (A －B －)＝P (A －)·P (B －)＝(1－0.6)(1－0.75)＝0.1. ∴该人参加过培训的概率为1－0.1＝0.9.(2)因为每个人的选择是相互独立的，所以3人中参加过培训的人数ξ服从二项分布B (3，0.9)，P (ξ＝k )＝Ck 30.9k ×0.13－k ，k ＝0，1，2，3. ∴ξ的分布列是12.在一次数学考试中，第14题和第15题为选做题．规定每位考生必须且只需在其中选做一题．设4名考生选做这两题的可能性均为12. (1)求其中甲、乙两名学生选做同一道题的概率；(2)设这4名考生中选做第15题的学生数为ξ个，求ξ的分布列．解 (1)设事件A 表示“甲选做第14题”，事件B 表示“乙选做第14题”，则甲、乙两名学生选做同一道题的事件为“AB ＋A －B －”，且事件A ，B 相互独立． ∴P (AB ＋A －B －)＝P (A )P (B )＋P (A －)P (B －) ＝12×12＋(1－12)×(1－12)＝12.(2)随机变量ξ的可能取值为0，1，2，3，4，且ξ～B (4，12)． ∴P (ξ＝k )＝Ck 4(12)k (1－12)4－k ＝Ck 4(12)4(k ＝0，1，2，3，4)． 所以变量ξ的分布列为三、探究与创新13．甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是23和34.假设两人射击是否击中目标，相互之间没有影响；每人各次射击是否击中目标，相互之间也没有影响．(1)求甲射击4次，至少有1次未击中目标的概率；(2)求两人各射击4次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率；(3)假设某人连续2次未击中目标，则中止其射击．问：甲恰好射击5次后，被中止射击的概率是多少？解 设A ＝{甲射击一次击中目标}，B ＝{乙射击一次击中目标}，则A ，B 相互独立，且P (A )＝23，P (B )＝34.(1)设C ＝{甲射击4次，至少有1次未击中目标} 则P (C )＝1－(23)4＝6581.(2)设D ＝{两人各射击4次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次}， ∴P (D )＝C24·(23)2·(13)2·C34·(34)3·14＝18.(3)甲恰好射击5次，被中止射击，说明甲第4，5次未击中目标，第3次击中目标，第1，2两次至多一次未击中目标，故所求概率P ＝[1－(13)2]·23·(13)2＝16243.2016-2017学年湖南省衡阳市衡阳县四中高二（下）第一次模拟数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合M={0，1，2}，N={x }，若M ∪N={0，1，2，3}，则x 的值为（ ） A ．3B ．2C ．1D ．02．如图是一个几何体的三视图，则该几何体为（ ）A．球B．圆柱C．圆台D．圆锥3．在区间[0，5]内任取一个实数，则此数大于3的概率为（）A．B．C．D．4．某程序框图如图所示，若输入x的值为1，则输出y的值是（）A．2 B．3 C．4 D．55．已知向量=（1，2），=（x，4），若∥，则实数x的值为（）A．8 B．2 C．﹣2 D．﹣86．某学校高一、高二、高三年级的学生人数分别为600，400，800．为了了解教师的教学情况，该校采用分层抽样的方法从这三个年级中抽取45名学生进行座谈，则高一、高二、高三年级抽取的人数分别为（）A．15，5，25 B．15，15，15 C．10，5，30 D．15，10，207．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，直线BD与A1C1的位置关系是（）A．平行B．相交C．异面但不垂直D．异面且垂直8．不等式（x+1）（x﹣2）≤0的解集为（）A．{x|﹣1≤x≤2}B．{x|﹣1＜x＜2}C．{x|x≥2或x≤﹣1}D．{x|x＞2或x＜﹣1}9．已知两点P（4，0），Q（0，2），则以线段PQ为直径的圆的方程是（）A．（x+2）2+（y+1）2=5 B．（x﹣2）2+（y﹣1）2=10 C．（x﹣2）2+（y﹣1）2=5 D．（x+2）2+（y+1）2=1010．如图，在高速公路建设中需要确定隧道的长度，工程技术人员已测得隧道两端的两点A、B 到点C的距离AC=BC=1km，且∠ACB=120°，则A、B两点间的距离为（）A．km B．km C．1.5km D．2km二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，满分20分．11．计算：log21+log24=．12．已知1，x，9成等比数列，则实数x=．13．已知点（x，y）在如图所示的平面区域（阴影部分）内运动，则z=x+y的最大值是．14．已知a是函数f（x）=2﹣log2x的零点，则a的值为•15．如图1，在矩形ABCD中，AB=2BC，E、F分别是AB、CD的中点，现在沿EF把这个矩形折成一个直二面角A﹣EF﹣C（如图2），则在图2中直线AF与平面EBCF所成的角的大小为．三、解答题：本大题共5小题，满分40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．已知，＜θ＜π．（1）求tanθ；（2）求的值．17．某公司为了了解本公司职员的早餐费用情况，抽样调査了100位职员的早餐日平均费用（单位：元），得到如图所示的频率分布直方图，图中标注a的数字模糊不清．（1）试根据频率分布直方图求a的值，并估计该公司职员早餐日平均费用的众数；（2）已知该公司有1000名职员，试估计该公司有多少职员早餐日平均费用不少于8元？18．已知等比数列{a n}的公比q=2，且a2，a3+1，a4成等差数列．（1）求a1及a n；（2）设b n=a n+n，求数列{b n}的前5项和S5．19．已知二次函数f（x）=x2+ax+b满足f（0）=6，f（1）=5（1）求函数f（x）解析式（2）求函数f（x）在x∈[﹣2，2]的最大值和最小值．20．已知圆C：x2+y2+2x﹣3=0．（1）求圆的圆心C的坐标和半径长；（2）直线l经过坐标原点且不与y轴重合，l与圆C相交于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，求证：为定值；（3）斜率为1的直线m与圆C相交于D、E两点，求直线m的方程，使△CDE的面积最大．2016-2017学年湖南省衡阳市衡阳县四中高二（下）第一次模拟数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合M={0，1，2}，N={x}，若M∪N={0，1，2，3}，则x的值为（）A．3 B．2 C．1 D．0【考点】并集及其运算．【分析】根据M及M与N的并集，求出x的值，确定出N即可．【解答】解：∵集合M={0，1，2}，N={x}，且M∪N={0，1，2，3}，∴x=3，故选：A．2．如图是一个几何体的三视图，则该几何体为（）A．球B．圆柱C．圆台D．圆锥【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知该几何体为圆锥．【解答】解：根据三视图可知，该几何体为圆锥．故选D．3．在区间[0，5]内任取一个实数，则此数大于3的概率为（）A．B．C．D．【考点】几何概型．【分析】由题意，要使此数大于3，只要在区间（3，5]上取即可，利用区间长度的比求．【解答】解：要使此数大于3，只要在区间（3，5]上取即可，由几何概型的个数得到此数大于3的概率为为；故选B．4．某程序框图如图所示，若输入x的值为1，则输出y的值是（）A．2 B．3 C．4 D．5【考点】程序框图．【分析】根据题意，模拟程序框图的运行过程，即可得出正确的答案．【解答】解：模拟程序框图的运行过程，如下；输入x=1，y=1﹣1+3=3，输出y的值为3．故选：B．5．已知向量=（1，2），=（x，4），若∥，则实数x的值为（）A．8 B．2 C．﹣2 D．﹣8【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．【分析】根据向量平行的坐标公式建立方程进行求解即可．【解答】解：∵∥，∴4﹣2x=0，得x=2，故选：B6．某学校高一、高二、高三年级的学生人数分别为600，400，800．为了了解教师的教学情况，该校采用分层抽样的方法从这三个年级中抽取45名学生进行座谈，则高一、高二、高三年级抽取的人数分别为（）A．15，5，25 B．15，15，15 C．10，5，30 D．15，10，20【考点】分层抽样方法．【分析】根据分层抽样的定义，建立比例关系即可等到结论．【解答】解：∵高一、高二、高三年级的学生人数分别为600，400，800．∴从这三个年级中抽取45名学生进行座谈，则高一、高二、高三年级抽取的人数分别，高二：，高三：45﹣15﹣10=20．故选：D7．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，直线BD与A1C1的位置关系是（）A．平行B．相交C．异面但不垂直D．异面且垂直【考点】空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】连接AC，则AC∥A1C1，AC⊥BD，即可得出结论．【解答】解：∵正方体的对面平行，∴直线BD与A1C1异面，连接AC，则AC∥A1C1，AC⊥BD，∴直线BD与A1C1垂直，∴直线BD与A1C1异面且垂直，故选：D．8．不等式（x+1）（x﹣2）≤0的解集为（）A．{x|﹣1≤x≤2}B．{x|﹣1＜x＜2}C．{x|x≥2或x≤﹣1}D．{x|x＞2或x＜﹣1}【考点】一元二次不等式的解法．【分析】根据一元二次不等式对应方程的实数根，即可写出不等式的解集．【解答】解：不等式（x+1）（x﹣2）≤0对应方程的两个实数根为﹣1和2，所以该不等式的解集为{x|﹣1≤x≤2}．故选：A．9．已知两点P（4，0），Q（0，2），则以线段PQ为直径的圆的方程是（）A．（x+2）2+（y+1）2=5 B．（x﹣2）2+（y﹣1）2=10 C．（x﹣2）2+（y﹣1）2=5 D．（x+2）2+（y+1）2=10【考点】圆的标准方程．【分析】求出圆心坐标和半径，因为圆的直径为线段PQ，所以圆心为P，Q的中点，应用中点坐标公式求出，半径为线段PQ长度的一半，求出线段PQ的长度，除2即可得到半径，再代入圆的标准方程即可．【解答】解：∵圆的直径为线段PQ，∴圆心坐标为（2，1）半径r===∴圆的方程为（x﹣2）2+（y﹣1）2=5．故选：C．10．如图，在高速公路建设中需要确定隧道的长度，工程技术人员已测得隧道两端的两点A、B 到点C的距离AC=BC=1km，且∠ACB=120°，则A、B两点间的距离为（）A．km B．km C．1.5km D．2km【考点】解三角形的实际应用．【分析】直接利用与余弦定理求出AB的数值．【解答】解：根据余弦定理AB2=a2+b2﹣2abcosC，∴AB===（km）．故选：A．二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，满分20分．11．计算：log21+log24=2．【考点】对数的运算性质．【分析】直接利用对数的运算法则化简求解即可．【解答】解：log21+log24=0+log222=2．故答案为：2．12．已知1，x，9成等比数列，则实数x=±3．【考点】等比数列．【分析】由等比数列的性质得x2=9，由此能求出实数x．【解答】解：∵1，x，9成等比数列，∴x2=9，解得x=±3．故答案为：±3．13．已知点（x，y）在如图所示的平面区域（阴影部分）内运动，则z=x+y的最大值是5．【考点】简单线性规划．【分析】利用目标函数的几何意义求最大值即可．【解答】解：由已知，目标函数变形为y=﹣x+z，当此直线经过图中点（3，2）时，在y轴的截距最大，使得z最大，所以z的最大值为3+2=5；故答案为：5．14．已知a是函数f（x）=2﹣log2x的零点，则a的值为4•【考点】函数的零点．【分析】根据函数零点的定义，得f（a）=0，从而求出a的值．【解答】解：a是函数f（x）=2﹣log2x的零点，∴f（a）=2﹣log2a=0，∴log2a=2，解得a=4．故答案为：4．15．如图1，在矩形ABCD中，AB=2BC，E、F分别是AB、CD的中点，现在沿EF把这个矩形折成一个直二面角A﹣EF﹣C（如图2），则在图2中直线AF与平面EBCF所成的角的大小为45°．【考点】直线与平面所成的角．【分析】由题意，AE⊥平面EFBC，∠AFE是直线AF与平面EBCF所成的角，即可得出结论．【解答】解：由题意，AE⊥平面EFBC，∴∠AFE是直线AF与平面EBCF所成的角，∵AE=EF，∴∠AFE=45°．故答案为45°．三、解答题：本大题共5小题，满分40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．已知，＜θ＜π．（1）求tanθ；（2）求的值．【考点】三角函数的化简求值．【分析】（1）由，＜θ＜π结合同角平方关系可求cosθ，利用同角基本关系可求（2）结合（1）可知tanθ的值，故考虑把所求的式子化为含“切”的形式，从而在所求的式子的分子、分母同时除以cos2θ，然后把已知tanθ的值代入可求．【解答】解：（1）∵sin2θ+cos2θ=1，∴cos2θ=．又＜θ＜π，∴cosθ=∴．（2）=．17．某公司为了了解本公司职员的早餐费用情况，抽样调査了100位职员的早餐日平均费用（单位：元），得到如图所示的频率分布直方图，图中标注a的数字模糊不清．（1）试根据频率分布直方图求a的值，并估计该公司职员早餐日平均费用的众数；（2）已知该公司有1000名职员，试估计该公司有多少职员早餐日平均费用不少于8元？【考点】频率分布直方图．【分析】（1）由频率分布直方图中各小长方形的面积之和等于1，求出a的值，频率分布直方图中最高的小长方体的底面边长的中点即是众数；（2）求出本公司职员平均费用不少于8元的频率就能求出公司有多少职员早餐日平均费用不少于8元．【解答】解：（1）据题意得：（0.05+0.10+a+0.10+0.05+0.05）×2=1，解得a=0.15，众数为：；（2）该公司职员早餐日平均费用不少于8元的有：×2=200，18．已知等比数列{a n}的公比q=2，且a2，a3+1，a4成等差数列．（1）求a1及a n；（2）设b n=a n+n，求数列{b n}的前5项和S5．【考点】数列的求和；等比数列的通项公式．【分析】（1）运用等比数列的通项公式和等差数列的中项的性质，解方程可得首项，进而得到所求通项公式；（2）求得b n=2n﹣1+n，再由数列的求和方法：分组求和，结合等差数列和等比数列的求和公式，计算即可得到所求和．【解答】解：（1）由已知得a2=2a1，a3+1=4a1+1，a4=8a1，又a2，a3+1，a4成等差数列，可得：2（a3+1）=a2+a4，所以2（4a1+1）=2a1+8a1，解得a1=1，故a n=a1q n﹣1=2n﹣1；（2）因为b n=2n﹣1+n，所以S5=b1+b2+b3+b4+b5=（1+2+...+16）+（1+2+ (5)=+=31+15=46．19．已知二次函数f（x）=x2+ax+b满足f（0）=6，f（1）=5（1）求函数f（x）解析式（2）求函数f（x）在x∈[﹣2，2]的最大值和最小值．【考点】二次函数的性质；二次函数在闭区间上的最值．【分析】（1）利用已知条件列出方程组求解即可．（2）利用二次函数的对称轴以及开口方向，通过二次函数的性质求解函数的最值即可．【解答】解：（1）∵；（2）∵f（x）=x2﹣2x+6=（x﹣1）2+5，x∈[﹣2，2]，开口向上，对称轴为：x=1，∴x=1时，f（x）的最小值为5，x=﹣2时，f（x）的最大值为14．20．已知圆C：x2+y2+2x﹣3=0．（1）求圆的圆心C的坐标和半径长；（2）直线l经过坐标原点且不与y轴重合，l与圆C相交于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，求证：为定值；（3）斜率为1的直线m与圆C相交于D、E两点，求直线m的方程，使△CDE的面积最大．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】（1）把圆C的方程化为标准方程，写出圆心和半径；（2）设出直线l的方程，与圆C的方程组成方程组，消去y得关于x的一元二次方程，由根与系数的关系求出的值；（3）解法一：设出直线m的方程，由圆心C到直线m的距离，写出△CDE的面积，利用基本不等式求出最大值，从而求出对应直线方程；解法二：利用几何法得出CD⊥CE时△CDE的面积最大，再利用点到直线的距离求出对应直线m 的方程．【解答】解：（1）圆C：x2+y2+2x﹣3=0，配方得（x+1）2+y2=4，则圆心C的坐标为（﹣1，0），圆的半径长为2；（2）设直线l的方程为y=kx，联立方程组，消去y得（1+k2）x2+2x﹣3=0，则有：；所以为定值；（3）解法一：设直线m的方程为y=kx+b，则圆心C到直线m的距离，所以，≤，当且仅当，即时，△CDE的面积最大，从而，解之得b=3或b=﹣1，故所求直线方程为x﹣y+3=0或x﹣y﹣1=0．解法二：由（1）知|CD|=|CE|=R=2，所以≤2，当且仅当CD⊥CE时，△CDE的面积最大，此时；设直线m的方程为y=x+b，则圆心C到直线m的距离，由，得，由，得b=3或b=﹣1，故所求直线方程为x﹣y+3=0或x﹣y﹣1=0．2017年5月5日。
2020-2021学年高中数学人教A版选修2-3练习：2.2.3 独立重复试验与二项分布 Word
姓名，年级：时间：第二章2。
2 2.2.3请同学们认真完成练案[13］A级基础巩固一、选择题1．任意抛掷三枚均匀硬币，恰有2枚正面朝上的概率为（ B ）A．错误!B．错误!C．错误!D．错误![解析］抛一枚硬币,正面朝上的概率为错误!，则抛三枚硬币,恰有2枚朝上的概率为P＝C错误!错误!2×错误!＝错误!．2．(2020·临泉县校级期末)已知随机变量ξ服从二项分布，且np＝2。
4，npq＝1。
44，（p＋q＝1）,则二项分布的参数n，p的值为( B ）A．n＝4，p＝0。
6 B．n＝6，p＝0。
4C．n＝8，p＝0.3 D．n＝24，p＝0.1[解析] ∵ξ服从二项分布B（n，p)由2。
4＝np，1。
44＝np(1－p），可得1－p＝错误!＝0.6，∴p＝0.4，n＝错误!＝6．故选B．3．口袋中有5只白色乒乓球,5只黄色乒乓球，从中任取5次，每次取1只后又放回，则5次中恰有3次取到白球的概率是( D )A．错误!B．错误!C．错误!D．C错误!·0.55[解析］本题是独立重复试验，任意取球5次,取得白球3次的概率为C错误!0.53(1－0。
5）5－3＝C350。
55．4．位于坐标原点的一个质点P按下述规则移动:质点每次移动一个单位，移动的方向为向上或向右,并且向上、向右移动的概率都是错误!.则质点P移动5次后位于点(2,3）的概率为( B )A．（错误!）5B．C错误!(错误!）5C．C错误!（错误!）3D．C错误!C错误!（错误!)5[解析] 质点每次只能向上或向右移动，且概率均为错误!，所以移动5次可看成做了5次独立重复试验．质点P移动5次后位于点(2,3）(即质点在移动过程中向右移动2次，向上移动3次）的概率为C错误!（错误!)2×（错误!)3＝C25（错误!)5．5．甲、乙两人进行羽毛球比赛，比赛采取五局三胜制,无论哪一方先胜三局则比赛结束，假设甲每局比赛获胜的概率均为错误!，则甲以3∶1的比分获胜的概率为( A ）A．错误!B．错误!C．错误!D．错误!［解析] 当甲以3∶1的比分获胜时，说明甲乙两人在前三场比赛中,甲只赢了两局，乙赢了一局,第四局甲赢，所以甲以3∶1的比分获胜的概率为P＝C23（错误!)2×（1－错误!)×错误!＝3×错误!×错误!×错误!＝错误!．6．随机变量ξ服从二项分布ξ～B（n，p）,且np＝300，npq＝200，(p ＋q＝1)，则错误!等于( B ）A．3 200 B．2 700C．1 350 D．1 200[解析］由题意可得错误!，解得错误!，∴错误!＝2 700．故选B．二、填空题7．(2019·全国Ⅰ卷理,15)甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束)．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为0。
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2020年高中数学选修2-3《2.2二项分布及其应用》测试卷一．选择题（共6小题）
1．三个元件T1，T2，T3正常工作的概率分别为且是互相独立的，按图种方式接入电路，电路正常工作的概率是（）
A ．
B ．
C ．
D ．
2．抛掷3枚质地均匀的硬币，A＝{既有正面向上又有反面向上}，B＝{至多有一个反面向上}，则A与B关系是（）
A．互斥事件B．对立事件
C．相互独立事件D．不相互独立事件
3．某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（）
A．0.8B．0.75C．0.6D．0.45
4．投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试．已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为（）
A．0.648B．0.432C．0.36D．0.312
5．设某批产品合格率为，不合格率为，现对该产品进行测试，设第ε次首次取到正品，则P（ε＝3）等于（）
A．C32（）2×（）B．C32（）2×（）
C．（）2×（）D．（）2×（）
6．已知P（B|A ）＝，P（A ）＝，则P（AB）＝（）
A ．
B ．
C ．
D ．
二．填空题（共1小题）
7．为了考察某校各班参加课外小组的人数，从全校随机抽取5个班级，把每个班级参加该
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