高中数学选修综合测试题附答案
高中数学选修2-3全册综合能力测试题含解析人教版
⾼中数学选修2-3全册综合能⼒测试题含解析⼈教版⾼中数学选修2-3全册综合能⼒测试题（含解析⼈教版）⾼中数学选修2-3全册综合能⼒测试题（含解析⼈教版）时间120分钟，满分150分。
⼀、选择题(本⼤题共12个⼩题，每⼩题5分，共60分，在每⼩题给出的四个选项中，只有⼀项是符合题⽬要求的．)1．将标号为1,2,3,4,5,6的6张卡⽚放⼊3个不同的信封中，若每个信封放2张，其中标号为1,2的卡⽚放⼊同⼀信封，则不同的放法共有()A．12种B．18种C．36种D．54种[答案]B[解析]由题意，不同的放法共有C13C24＝18种．2．(2014四川理，2)在x(1＋x)6的展开式中，含x3项的系数为()A．30B．20C．15D．10[答案]C[解析]x3的系数就是(1＋x)6中的第三项的系数，即C26＝15.3．某展览会⼀周(七天)内要接待三所学校学⽣参观，每天只安排⼀所学校，其中甲学校要连续参观两天，其余学校均参观⼀天，则不同的安排⽅法的种数是() A．210B．50C．60D．120[答案]D[解析]⾸先安排甲学校，有6种参观⽅案，其余两所学校有A25种参观⽅案，根据分步计数原理，安排⽅法共6A25＝120(种)．故选D.4．若随机变量ξ～N(－2,4)，则ξ在区间(－4，－2]上取值的概率等于ξ在下列哪个区间上取值的概率() A．(2,4]B．(0,2] C．[－2,0)D．(－4,4][答案]C[解析]此正态曲线关于直线x＝－2对称，∴ξ在区间(－4，－2]上取值的概率等于ξ在[－2,0)上取值的概率．5．变量X与Y相对应的⼀组数据为(10,1)、(11.3,2)、(11.8,3)、(12.5,4)、(13,5)；变量U与V相对应的⼀组数据为(10,5)、(11.3,4)、(11.8,3)、(12.5,2)、(13,1)．r1表⽰变量Y与X之间的线性相关系数，r2表⽰变量V与U之间的线性相关系数，则()A．r2r10B．0r2r1C．r20r1D．r2＝r1[答案]C[解析]画散点图，由散点图可知X与Y是正相关，则相关系数r10，U与V是负相关，相关系数r20，故选C. 6．现安排甲、⼄、丙、丁、戊5名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每⼈从事翻译、导游、礼仪、司机四项⼯作之⼀，每项⼯作⾄少有⼀⼈参加．甲、⼄不会开车但能从事其他三项⼯作，丙、丁、戊都能胜任四项⼯作，则不同安排⽅案的种数是()A．152B．126C．90D．54[答案]B[解析]先安排司机：若有⼀⼈为司机，则共有C13C24A33＝108种⽅法，若司机有两⼈，此时共有C23A33＝18种⽅法，故共有126种不同的安排⽅案．7．设a＝0π(sinx＋cosx)dx，则⼆项式(ax－1x)6展开式中含x2项的系数是()A．192B．－192C．96D．－96[答案]B[解析]由题意知a＝2∴Tr＋1＝Cr6(2x)6－r(－1x)r＝Cr626－r(－1)rx3－r ∴展开式中含x2项的系数是C1625(－1)＝－192.故选B. 8．给出下列实际问题：①⼀种药物对某种病的治愈率；②两种药物冶疗同⼀种病是否有区别；③吸烟者得肺病的概率；④吸烟⼈群是否与性别有关系；⑤⽹吧与青少年的犯罪是否有关系．其中，⽤独⽴性检验可以解决的问题有()A．①②③B．②④⑤C．②③④⑤D．①②③④⑤[答案]B[解析]独⽴性检验主要是对事件A、B是否有关系进⾏检验，主要涉及两种变量对同⼀种事物的影响，或者是两种变量在同⼀问题上体现的区别等．9．在⼀次独⽴性检验中，得出列联表如下：AA合计B2008001000B180a180＋a合计380800＋a1180＋a且最后发现，两个分类变量A和B没有任何关系，则a 的可能值是()A．200B．720C．100D．180[答案]B[解析]A和B没有任何关系，也就是说，对应的⽐例aa ＋b和cc＋d基本相等，根据列联表可得2001000和180180＋a基本相等，检验可知，B满⾜条件．故选B. 10．从装有3个⿊球和3个⽩球(⼤⼩、形状相同)的盒⼦中随机摸出3个球，⽤ξ表⽰摸出的⿊球个数，则P(ξ≥2)的值为()A.110B．15C.12D．25[答案]C[解析]根据条件，摸出2个⿊球的概率为C23C13C36，摸出3个⿊球的概率为C33C36，故P(ξ≥2)＝C23C13C36＋C33C36＝12.故选C.11．甲、⼄、丙三位学⽣⽤计算机联⽹学习数学，每天上课后独⽴完成6道⾃我检测题，甲及格的概率为45，⼄及格的概率为35，丙极格的概率为710，三⼈各答⼀次，则三⼈中只有⼀⼈及格的概率为()A.320B．42135C.47250D．以上都不对[答案]C[解析]利⽤相互独⽴事件同时发⽣及互斥事件有⼀个发⽣的概率公式可得所求概率为：45×1－35×1－710＋1－45×35×1－710＋1－45×1－35×710＝47250.故选 C. 12．(1－x)6(1＋x)4的展开式中x的系数是()A．－4B．－3C．3D．4[答案]B[解析]解法1：(1－x)6(1＋x)4的展开式中x的⼀次项为：C06C24(x)2＋C26(－x)2C04＋C16(－x)C14(x)＝6x＋15x －24x＝－3x，所以(1－x)6(1＋x)4的展开式中x的系数是－3.解法2：由于(1－x)6(1＋x)4＝(1－x)4(1－x)2的展开式中x的⼀次项为：C14(－x)C02＋C04C22(－x)2＝－4x＋x＝－3x，所以(1－x)6(1＋x)4的展开式中x的系数是－3.⼆、填空题(本⼤题共4个⼩题，每⼩题4分，共16分，将正确答案填在题中横线上)13．设(x－1)21＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a21x21，则a10＋a11＝________.[答案]0[解析]本题主要考查⼆项展开式．a10＝C1021(－1)11＝－C1021，a11＝C1121(－1)10＝C1021，所以a10＋a11＝C1121－C1021＝C1021－C1021＝0.14．已知ξ的分布列为：ξ1234P14131614则D(ξ)等于____________．[答案]179144[解析]由已知可得E(ξ)＝1×14＋2×13＋3×16＋4×14＝2912，代⼊⽅差公式可得D(ξ)＝179144. 15．对于回归⽅程y＝4.75x＋2.57，当x＝28时，y的估计值是____________．[答案]135.57[解析]只需把x＝28代⼊⽅程即可，y＝4.75×28＋2.57＝135.57.16．某艺校在⼀天的6节课中随机安排语⽂、数学、外语三门⽂化课和其它三门艺术课各1节，则在课表上的相邻两节⽂化课之间最多间隔1节艺术课的概率为________(⽤数字作答)．[答案]35[解析]本题考查了排列组合知识与概率的求解.6节课共有A66种排法，按要求共有三类排法，⼀类是⽂化课与艺术课相间排列，有A33A34种排法；第⼆类，艺术课、⽂化课三节连排，有2A33A33种排法；第三类，2节艺术课排在第⼀、⼆节或最后两节，有C23C12A22C13A33种排法，则满⾜条件的概率为A33A34＋2A33A33＋C23C12A22C13A33A66＝35.三、解答题(本⼤题共6个⼩题，共74分，解答应写出⽂字说明、证明过程或演算步骤)17．(本题满分12分)已知x＋2xn的展开式中第五项的系数与第三项的系数⽐是101，求展开式中含x的项．[解析]T5＝C4n(x)n －42x4＝C4n24xn－122，T3＝C2n(x)n－22x2＝C2n22xn－62，所以C4n24C2n22＝101，即C4n22＝10C2n，化简得n2－5n－24＝0，所以n＝8或n＝－3(舍去)，所以Tr＋1＝Cr8(x)8－r2xr＝Cr82rx8－3r2，由题意：令8－3r2＝1，得r＝2.所以展开式中含x的项为第3项，T3＝C2822x＝112x.18．(本题满分12分)某电脑公司有6名产品推销员，其中5名的⼯作年限与年推销⾦额数据如下表：推销员编号12345⼯作年限x/年35679推销⾦额Y/万元23345(1)求年推销⾦额Y关于⼯作年限x的线性回归⽅程；(2)若第6名推销员的⼯作年限为11年，试估计他的年推销⾦额．[解析](1)设所求的线性回归⽅程为y^＝b^x＋a^，则b^＝i＝15 xi－x yi－y i＝15 xi－x 2＝1020＝0.5，a^＝y－b^x＝0.4.所以年推销⾦额Y关于⼯作年限x的线性回归⽅程为y^＝0.5x＋0.4.(2)当x＝11时，y^＝0.5x＋0.4＝0.5×11＋0.4＝5.9(万元)．所以可以估计第6名推销员的年推销⾦额为5.9万元．19．(本题满分12分)在对⼈们的休闲⽅式的⼀次调查中，共调查了124⼈，其中⼥性70⼈，男性54⼈．⼥性中有43⼈主要的休闲⽅式是看电视，另外27⼈主要的休闲⽅式是运动；男性中有21⼈主要的休闲⽅式是看电视，另外33⼈主要的休闲⽅式是运动．(1)根据以上数据建⽴⼀个2×2的列联表；(2)试问休闲⽅式是否与性别有关？[解析](1)2×2列联表为性别看电视运动合计⼥432770男213354总计6460124(2)由χ2计算公式得其观测值χ2＝124× 43×33－27×21 270×54×64×60≈6.201.因为6.201＞3.841，所以有95%的把握认为休闲⽅式与性别有关．20．(本题满分12分)某研究机构举⾏⼀次数学新课程研讨会，共邀请50名⼀线教师参加，使⽤不同版本教材的教师⼈数如表所⽰：版本⼈教A版⼈教B版苏教版北师⼤版⼈数2015510(1)从这50名教师中随机选出2名，求2⼈所使⽤版本相同的概率；(2)若随机选出2名使⽤⼈教版的教师发⾔，设使⽤⼈教A版的教师⼈数为ξ，求随机变量ξ的分布列．[解析](1)从50名教师中随机选出2名的⽅法数为C250＝1225.选出2⼈使⽤版本相同的⽅法数为C220＋C215＋C25＋C210＝350.故2⼈使⽤版本相同的概率为：P＝3501225＝27. (2)∵P(ξ＝0)＝C215C235＝317，P(ξ＝1)＝C120C115C235＝60119，P(ξ＝2)＝C220C235＝38119，∴ξ的分布列为ξ012P317601193811921.(本题满分12分)(2014陕西理，19)在⼀块耕地上种植⼀种作物，每季种植成本为1000元，此作物的市场价格和这块地上的产量均具有随机性，且互不影响，其具体情况如下表：作物产量(kg)300500概率0.50.5作物市场价格(元/kg)610概率0.40.6(1)设X表⽰在这块地上种植1季此作物的利润，求X的分布列；(2)若在这块地上连续3季种植此作物，求这3季中⾄少有2季的利润不少于2000元的概率．[解析](1)设A表⽰事件“作物产量为300kg”，B表⽰事件“作物市场价格为6元/kg”，由题设知P(A)＝0.5，P(B)＝0.4，∵利润＝产量×市场价格－成本，∴X所有可能的取值为500×10－1000＝4000,500×6－1000＝2000，300×10－1000＝2000,300×6－1000＝800，P(X＝4000)＝P(A－)P(B－)＝(1－0.5)×(1－0.4)＝0.3，P(X＝2000)＝P(A－)P(B)＋P(A)P(B－)＝(1－0.5)×0.4＋0.5×(1－0.4)＝0.5，P(X＝800)＝P(A)P(B)＝0.5×0.4＝0.2，所以X的分布列为X40002000800P0.30.50.2(2)设Ci表⽰事件“第i季利润不少于2000元”(i＝1,2,3)，由题意知C1，C2，C3相互独⽴，由(1)知，P(Ci)＝P(X＝4000)＋P(X＝2000)＝0.3＋0.5＝0.8(i＝1,2,3)，3季的利润均不少于2000元的概率为P(C1C2C3)＝P(C1)P(C2)P(C3)＝0.83＝0.512；3季中有2季利润不少于2000元的概率为P(C－1C2C3)＋P(C1C－2C3)＋P(C1C2C－3)＝3×0.82×0.2＝0.384，所以，这3季中⾄少有2季的利润不少于2000元的概率为0．512＋0.384＝0.896.22．(本题满分14分)学校校园活动有这样⼀个游戏项⽬：甲箱⼦⾥装有3个⽩球、2个⿊球，⼄箱⼦⾥装有1个⽩球、2个⿊球，这些球除颜⾊外完全相同，每次游戏从这两个箱⼦⾥各随机摸出2个球，若摸出的⽩球不少于2个，则获奖．(每次游戏结束后将球放回原箱)(1)求在1次游戏中，①摸出3个⽩球的概率；②获奖的概率．(2)求在2次游戏中获奖次数X的分布列及数学期望E(X)．[解析](1)①设“在1次游戏中摸出i个⽩球”为事件Ai(i＝0,1,2,3)，则P(A3)＝C23C25C12C23＝15.②设“在1次游戏中获奖”为事件B，则B＝A2∪A3.⼜P(A2)＝C23C25C22C23＋C13C12C25C12C23＝12，且A2，A3互斥，所以P(B)＝P(A2)＋P(A3)＝12＋15＝710.(2)由题意可知X的所有可能取值为0,1,2.P(X＝0)＝1－7102＝9100，P(X＝1)＝C127101－710＝2150，P(X＝2)＝7102＝49100.所以X的分布列是X012P9100215049100X的数学期望E(X)＝0×9100＋1×2150＋2×49100＝75.。
高中数学选修一综合测试题重点易错题(带答案)
高中数学选修一综合测试题重点易错题单选题1、已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左焦点为F，点F到双曲线C的一条渐近线的距离为12a，则双曲线C的渐近线方程为（）A．y=±12x B．y=±2xC．y=±4x D．y=±14x 答案：A分析：首先根据题意得到d=√b2+a2=b=12a，从而得到ba=12，即可得到答案.由题知：设F(−c,0)，一条渐近线方程为y=bax，即bx−ay=0.因为d=√b2+a2=b=12a，所以ba=12，故渐近线方程为y=±12x.故选：A2、已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为a，则平面AB1D1与平面BDC1的距离为（）A．√2a B．√3a C．√23a D．√33a答案：D分析：建立空间直角坐标系，用空间向量求解由正方体的性质，AB1∥DC1,D1B1∥DB，AB1∩D1B1=B1，DC1∩DB=D，易得平面AB1D1∥平面BDC1，则两平面间的距离可转化为点B到平面AB1D1的距离．以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则A (a,0,0)，B (a,a,0)，A 1(a,0,a )，C (0,a,0)，B 1(a,a,a )，D 1(0,0,a ) 所以CA 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(a,−a,a )，BA ⃑⃑⃑⃑⃑ =(0,−a,0)，AB 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(0,a,a )，B 1D 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(−a,−a,0)．连接A 1C ，由CA 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅AB 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(a,−a,a )⋅(0,a,a )=0，CA 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅B 1D 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(a,−a,a )⋅(−a,−a,0)=0，且AB 1∩B 1D 1=B 1，可知A 1C ⊥平面AB 1D 1，得平面AB 1D 1的一个法向量为n ⃑ =(1,−1,1)， 则两平面间的距离d =|BA ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅n⃑ |n ⃑ ||=√3=√33a ． 故选：D3、已知两圆分别为圆C 1:x 2+y 2=49和圆C 2:x 2+y 2−6x −8y +9=0，这两圆的位置关系是（ ） A ．相离B ．相交C ．内切D ．外切 答案：B分析：先求出两圆圆心和半径，再由两圆圆心之间的距离和两圆半径和及半径差比较大小即可求解. 由题意得，圆C 1圆心(0,0)，半径为7；圆C 2:(x −3)2+(y −4)2=16，圆心(3,4)，半径为4， 两圆心之间的距离为√32+42=5，因为7−4<5<7+4，故这两圆的位置关系是相交. 故选：B.4、已知直线斜率为k ，且−1≤k ≤√3，那么倾斜角α的取值范围是（ ） A ．[0,π3]∪[π2,3π4)B ．[0,π3]∪[3π4,π)C．[0,π6]∪[π2,3π4)D．[0,π6]∪[3π4,π)答案：B分析：根据直线斜率的取值范围，以及斜率和倾斜角的对应关系，求得倾斜角α的取值范围. 解：直线l的斜率为k，且−1≤k≤√3，∴−1≤tanα≤√3，α∈[0,π).∴α∈[0,π3]∪[3π4,π).故选：B.5、过点P(√3,−2√3)且倾斜角为135∘的直线方程为（）A．3x−y−4√3=0B．x−y−√3=0C．x+y−√3=0D．x+y+√3=0答案：D分析：由倾斜角为135∘求出直线的斜率，再利用点斜式可求出直线方程解：因为直线的倾斜角为135∘，所以直线的斜率为k=tan135°=−1，所以直线方程为y+2√3=−(x−√3)，即x+y+√3=0，故选：D6、如图，下列各正方体中，O为下底面的中心，M，N为顶点，P为所在棱的中点，则满足MN∥OP的是（）A．B．C．D．答案：A分析：根据给定条件，建立空间直角坐标系，再对每一个选项逐一分析，利用空间位置关系的向量证明推理作答.在正方体中，对各选项建立相应的空间直角坐标系，令正方体棱长为2，点O (1,1,0)， 对于A ，M (0,0,2),N (2,0,0),P (2,0,1)，MN ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(2,0,-2),OP ⃑⃑⃑⃑⃑ =(1,-1,1)，MN ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ∥OP ⃑⃑⃑⃑⃑ =0，MN ∥OP ，A 是；对于B ，M (2,0,2),N (0,2,2),P (0,2,1)，MN ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(-2,2,0),OP ⃑⃑⃑⃑⃑ =(-1,1,1)，MN ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ∥OP ⃑⃑⃑⃑⃑ =4≠0，MN 与OP 不垂直，B 不是；对于C ，M (0,2,2),N (0,0,0),P (2,1,2)，MN →=(0,-2,-2),OP →=(1,0,2)，MN ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ∥OP ⃑⃑⃑⃑⃑ =-4≠0，MN 与OP 不垂直，C 不是；对于D ，M (2,2,2),N (0,2,0),P (0,0,1)，MN⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(-2,0,-2),OP ⃑⃑⃑⃑⃑ =(1,0,1)，MN ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ∥OP ⃑⃑⃑⃑⃑ =-4≠0，MN 与OP 不垂直，D 不是.故选：A7、已知直线l 经过点P(1,3)，且l 与圆x 2+y 2=10相切，则l 的方程为（ ） A ．x +3y −10=0B ．x −3y +8=0C ．3x +y −6=0D ．2x +3y −11=0 答案：A分析：直线l 经过点P(1,3)，且l 与圆x 2+y 2=10相切可知k l =−1k op，再使用点斜式即可.直线l 经过点P(1,3)，且l 与圆x 2+y 2=10相切，则k l =−1k op=−13−01−0=−13,故直线l 的方程为y −3=−13(x −1)，即x +3y −10=0. 故选：A.8、已知边长为2的等边三角形ABC ，D 是平面ABC 内一点，且满足DB:DC =2:1，则三角形ABD 面积的最小值是（ ）A ．43(√3−1)B ．43(√3+1)C ．4√33D ．√33答案：A分析：建立直角坐标系，设D(x,y)，写出A,B,C 的坐标，利用DB:DC =2:1列式得关于x,y 的等式，可得点D 的轨迹为以(53,0)为圆心，以43为半径的圆，写出直线AB 的方程，计算|AB |和点D 距离直线AB 的最小距离d −r ，代入三角形面积公式计算.以BC 的中点O 为原点，建立如图所示的直角坐标系，则A(0,√3)，B (−1,0)，C (1,0)， 设D (x,y )，因为DB:DC =2:1，所以(x +1)2+y 2=4(x −1)2+4y 2，得(x −53)2+y 2=169，所以点D 的轨迹为以(53,0)为圆心，以43为半径的圆，当点D 距离直线AB 距离最大时，△ABD 面积最大，已知直线AB 的方程为：√3x −y +√3=0，|AB |=2，点D 距离直线AB 的最小距离为：d −r =|5√33+√3|2−43=4√33−43，所以△ABD 面积的最小值为S △ABD =12×2×(4√33−43)=43(√3−1).故选：A多选题9、对抛物线y ＝4x 2，下列描述正确的是（ ） A ．开口向上，准线方程为y ＝－116B ．开口向上，焦点为(0,116) C ．开口向右，焦点为(1,0) D ．开口向右，准线方程为y ＝－1 答案：AB分析：根据抛物线方程写出焦点、准线方程，并判断开口方向即可. 由题设，抛物线可化为x 2=y4，∴开口向上，焦点为(0,116)，准线方程为y =−116. 故选：AB10、已知直线l 1：x −y −1=0，动直线l 2：(k +1)x +ky +k =0 (k ∈R )，则下列结论正确的是（ ） A ．存在k ，使得l 2的倾斜角为90∘B ．对任意的k ，l 1与l 2都有公共点C．对任意的k，l1与l2都不重合D．对任意的k，l1与l2都不垂直答案：ABD分析：当k=0时可判断A；直线l1与l2均过点(0,−1)可判断B；当k=−12时可判断C，由两直线垂直斜率乘积等于−1可判断D，进而可得正确选项.对于A：当k=0时，直线l2：x=0，此时直线l2的倾斜角为90∘，故选项A正确；对于B，直线l1与l2均过点(0,−1)，所以对任意的k，l1与l2都有公共点，故选项B正确；对于C，当k=−12时，直线l2为12x−12y−12=0，即x−y−1=0与l1重合，故选项C错误；对于D，直线l1的斜率为1，若l2的斜率存在，则斜率为−k+1k≠−1，所以l1与l2不可能垂直，所以对任意的k，l1与l2都不垂直，故选项D不正确；故选：ABD.11、已知F为椭圆C：x24+y22=1的左焦点，直线l：y=kx(k≠0)与椭圆C交于A，B两点，AE⊥x轴，垂足为E，BE与椭圆C的另一个交点为P，则（）A．1|AF|+4|BF|的最小值为2B．△ABE面积的最大值为√2C．直线BE的斜率为12k D．∠PAB为钝角答案：BC分析：A项，先由椭圆与过原点直线的对称性知，|AF|+|BF|=4，再利用1的代换利用基本不等式可得最小值94，A项错误；B项，由直线与椭圆方程联立，解得交点坐标，得出面积关于k的函数关系式，再求函数最值；C项，由对称性，可设A(x0,y0)，则B(−x0,−y0)，E(x0,0)，则可得直线BE的斜率与k的关系；D项，先由A、B对称且与点P均在椭圆上，可得k PA⋅k PB=−b2a2=−12，又由C项可知k PB=k BE=12k，得k PA⋅k AB=−1，即∠PAB=90°，排除D项.对于A，设椭圆C的右焦点为F′，连接AF′，BF′，则四边形AF′BF为平行四边形，∴|AF|+|BF|=|AF|+|AF′|=2a=4，∴1|AF|+4|BF|=14(|AF|+|BF|)(1|AF|+4|BF|)=14(5+|BF||AF|+4|AF||BF|)≥94，当且仅当|BF|=2|AF|时等号成立，A 错误；对于B ，由{x 24+y 22=1y =kx 得x =√1+2k 2，∴|y A −y B |√1+2k 2，∴△ABE 的面积S =12|x A ||y A −y B |=4|k|1+2k 2=41|k|+2|k|≤√2，当且仅当k =±√22时等号成立，B 正确；对于C ，设A(x 0,y 0)，则B(−x 0,−y 0)，E(x 0,0)， 故直线BE 的斜率k BE =0+y 0x 0+x 0=12⋅y 0x 0=12k ，C 正确；对于D ，设P(m,n)，直线PA 的斜率额为k PA ，直线PB 的斜率为k PB ， 则k PA ⋅k PB = n−y 0m−x 0⋅n+y 0m+x 0=n 2−y 02m 2−x 02，又点P 和点A 在椭圆C 上，∴m 24+n 22=1①，x 024+y 022=1②，①−②得n 2−y 02m 2−x 02=−12，易知k PB =k BE =12k ，则k PA ⋅12k =−12，得k PA =−1k ，∴k PA ⋅k AB =(−1k )⋅k =−1，∴∠PAB =90°，D 错误. 故选：BC.小提示：椭圆常用结论：已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)，AB 为椭圆经过原点的一条弦，P 是椭圆上异于A 、B 的任意一点，若k PA ,k PB 都存在，则k PA ⋅k PB =−b 2a 2. 填空题12、设a∈R，若直线l经过点A(a,2)､B(a+1,3)，则直线l的斜率是___________.答案：1分析：利用直线的斜率公式求解.解：因为直线l经过点A(a,2)､B(a+1,3)，=1，所以直线l的斜率是k=3−2a+1−a所以答案是：113、已知圆x2+y2+2x−4y−5=0与x2+y2+2x−1=0相交于A､B两点，则公共弦AB的长是___________.答案：2分析：两圆方程相减可得公共弦所在直线方程，利用垂径定理即可得解.解：由题意AB所在的直线方程为：(x2+y2+2x−4y−5)−(x2+y2+2x−1)=0，即y=−1，因为圆x2+y2+2x−1=0的圆心O(−1,0)，半径为r=√2，所以，圆心O(−1,0)到直线y=−1的距离为1，所以|AB|=2√2−12=2.所以答案是：214、直线y=kx+2(k>0)被圆x2+y2=4截得的弦长为2√3，则直线的倾斜角为________．答案：60∘分析：由已知求得圆心到直线的距离，再由点到直线的距离公式列式求得k，然后利用斜率等于倾斜角的正切值求解．∵直线y=kx+2(k>0)被圆x2+y2=4截得的弦长为2√3，所以，圆心O(0,0)到直线kx−y+2=0的距离d=√22−(√3)2=1，=1，解得k=√3(k>0)．即√k2+1设直线的倾斜角为θ(0∘≤θ<180∘)，则tanθ=√3，则θ=60∘．因此，直线y=kx+2(k>0)的倾斜角为60∘．所以答案是：60∘．解答题15、设直线l 的方程为(a +1)x +y −3+a =0（a ∈R ）. (1)若l 在两坐标轴上的截距相等，求a 的值； (2)若l 不经过第三象限，求a 的取值范围. 答案：(1)0或3 (2)[−1,3]分析：（1）通过讨论−3+a 是否为0，求出a 的值即可； （2）根据一次函数的性质判断a 的范围即可.（1）当直线l 过原点时，该直线l 在x 轴和y 轴上的截距为零， ∴a ＝3，方程即为4x +y ＝0； 若a ≠3，则3−a a+1=3−a ，即a +1＝1，∴a ＝0，方程即为x +y −3=0， ∴a 的值为0或3.（2）若l 不经过第三象限，直线l 的方程化为y =−(a +1)x +3−a ， 则{−(a +1)≤03−a ≥0 ，解得−1≤a ≤3，∴a 的取值范围是[−1,3].。
高中数学选修一综合测试题必须掌握的典型题(带答案)
高中数学选修一综合测试题必须掌握的典型题单选题1、椭圆x 2m 2+1+y 2m 2=1(m >0)的焦点为F 1，F 2，与y 轴的一个交点为A ，若∠F 1AF 2=π3，则m =（ ） A ．1B ．√2C ．√3D ．2 答案：C分析：由椭圆的定义结合已知得|AF 1|=|F 1F 2|，进而求出m 即可.在椭圆x 2m 2+1+y 2m 2=1(m >0)中，a =√m 2+1，b =m ，c =1.易知|AF 1|=|AF 2|=a . 又∠F 1AF 2=π3，所以△F 1AF 2为等边三角形，即|AF 1|=|F 1F 2|，所以√m 2+1=2，即m =√3.故选：C.2、在矩形ABCD 中，O 为BD 中点且AD =2AB ，将平面ABD 沿对角线BD 翻折至二面角A −BD −C 为90°，则直线AO 与CD 所成角余弦值为（ ）A ．√55B ．√54C ．3√525D ．4√225分析：建立空间直角坐标系，利用向量法求得直线AO 与CD 所成角余弦值. 在平面ABD 中过A 作AE ⊥BD ，垂足为E ； 在平面CBD 中过C 作CF ⊥BD ，垂足为F . 由于平面ABD ⊥平面BCD ，且交线为BD ， 所以AE ⊥平面BCD ，CF ⊥平面ABD ， 设AB =1,AD =2，12×BD ×AE =12×AB ×AD ⇒AE =√5OE =√OA 2−AE 2=2√5， 同理可得CF =√5OF =2√5，以O 为原点，建立如图所示空间直角坐标系， 则A(2√5√5),√52√50),D(−√52,0,0)， CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√510,2√50)， 设AO 与CD 所成角为θ， 则cosθ=|OA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CD ⃗⃗⃗⃗⃗ |OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ||=320√52×12=3√525.故选：C3、直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，△ABC 为等边三角形， AA 1＝AB ，M 是A 1C 1的中点，则AM 与平面BCC 1B 1所成角的正弦值为（ ） A ．710B ．√1510C ．√8510D ．−√1510分析：取AC 的中点D ，以D 为原点，BD,DC,DM 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，即可根据线面角的向量公式求出．如图所示，取AC 的中点D ，以D 为原点，BD,DC,DM 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，不妨设AC =2，则A (0,−1,0),M (0,0,2),B(−√3,0,0),N (−√32,−12,2)， 所以AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,2)，平面BCC 1B 1的一个法向量为n ⃗ =(√32,−32,0)设AM 与平面BCC 1B 1所成角为α，向量AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与n ⃗ 所成的角为θ， 所以sinα=|cosθ|=|AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ ||AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗ |=32√5×√3=√1510， 即AM 与平面BCC 1B 1所成角的正弦值为√1510． 故选：B ．4、如果AB >0且BC <0，那么直线Ax +By +C =0不经过（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 答案：C分析：通过直线经过的点来判断象限.由AB >0且BC <0，可得A,B 同号，B,C 异号，所以A,C 也是异号； 令x =0，得y =−CB >0；令y =0，得x =−CA >0； 所以直线Ax +By +C =0不经过第三象限. 故选：C.5、在棱长为2的正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，点E 在棱AA 1上，AE =3A 1E ，点G 是棱CD 的中点，点F 满足BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =λBB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (0<λ<12)，当平面EFG 与平面ABCD 所成（锐）二面角的余弦值为√63时，经过E,F,G 三点的截面的面积为（ ） A ．2√6B ．7√64C ．√17D ．7√66答案：B分析：以D 为坐标原点，分别以DA,DC,DD 1所在的直线为x,y,z 轴，建立空间直角坐标系，由空间向量结合平面EFG 与平面ABCD 所成二面角的余弦值为√63求出λ的值，画出截面图，求出截面五边形的边长，再由等腰三角形及等腰梯形的面积求和可得答案解：如图，以D 为坐标原点，分别以DA,DC,DD 1所在的直线为x,y,z 轴，建立空间直角坐标系，则G(0,1,0),E(2,0,32),F(2,2,2λ)，所以GE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,−1,32),GF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,1,2λ)， 设平面EFG 的一个法向量为m ⃗⃗ =(x,y,z)，则 {m ⃗⃗ ⋅GE ⃗⃗⃗⃗⃗ =2x −y +32z =0m ⃗⃗ ⋅GF ⃗⃗⃗⃗⃗ =2x +y +2λz =0，取z =1，则m ⃗⃗ =(−38−λ2,−λ+34,1)，平面ABCD 的一个法向量为n ⃗ =(0,0,1)， 由题意得|m⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ |m⃗⃗⃗ ||n ⃗ ||=√(38+λ2)2+(−λ+34)2+1=√63，解得λ=14或λ=1320（舍去），延长EF,AB ，设EF ∩AB =I ，连接IG ，交BC 于K ，延长IG ，交AD 的延长线于L ，连接EL ，交DD 1于H ，则五边形EFKGH 为截面图形，由题意求得EF =√5，FK =√12+(12)2=√52，GK =√2，HG =√52，EH =√5，FH =2√2，截面五边形EFKGH 如图所示，则等腰三角形EFH 底边FH 上的高为√3，等腰梯形HGKF 的高为√32， 则截面面积为S =12×2√2×√3+12(√2+2√2)×√32=7√64故选：B小提示：关键点点睛：此题考查二面角的平面角及其求法，考查平面的基本性质及推理，考查运算能力，解题的关键是建立空间直角坐标系，由平面EFG 与平面ABCD 所成（锐）二面角的余弦值为√63求出λ=14，属于中档题6、点P(2,0)关于直线l:x +y +1=0的对称点Q 的坐标为（ ） A ．(−1,−3)B ．(−1,−4)C ．(4,1)D ．(2,3) 答案：A分析：根据点关于线对称的特点，利用中点坐标公式及两直线垂直的斜率的关系即可求解. 设点P(2,0)关于直线x +y +1=0的对称点的坐标为(a,b)，则{b−0a−2×(−1)=−1a+22+b 2+1=0，解得{a =−1b =−3.所以点Q 的坐标为(−1,−3) 故选：A.7、在棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ,AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =c ，则a ⋅(b ⃗ +c )的值为（ ） A ．1B ．0C ．-1D ．-2 答案：B分析：由正方体的性质可知AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 两两垂直，从而对a ⋅(b ⃗ +c )化简可得答案 由题意可得AB ⊥AD,AB ⊥AA 1,所以a ⊥b ⃗ ,a ⊥c ，所以a ⋅b ⃗ =0,a ⋅c =0，所以a⋅(b⃗+c)=a⋅b⃗+a⋅c=0，故选：B8、如果复数z满足|z+1−i|=2，那么|z−2+i|的最大值是（）A．√13+2B．2+√3C．√13+√2D．√13+4答案：A分析：复数z满足|z+1−i|=2，表示以C(−1,1)为圆心，2为半径的圆．|z−2+i|表示圆上的点与点M(2,−1)的距离，求出|CM|即可得出．复数z满足|z+1−i|=2，表示以C(−1,1)为圆心，2为半径的圆．|z−2+i|表示圆上的点与点M(2,−1)的距离．∵|CM|=√32+22=√13．∴|z−2+i|的最大值是√13+2．故选：A．小提示：本题考查复数的几何意义、圆的方程，求解时注意方程|z+1−i|=2表示的圆的半径为2，而不是√2．多选题9、以下四个命题表述正确的是（）A．直线(3+m)x+4y−3+3m=0(m∈R)恒过定点(−3,−3)B．圆x2+y2=4上有且仅有3个点到直线l:x−y+√2=0的距离都等于1C．曲线C1:x2+y2+2x=0与曲线C2:x2+y2−4x−8y+m=0恰有三条公切线，则m=4D．已知圆C:x2+y2=1，点P为直线x+2y=4上一动点，过点P向圆C引两条切线PA、PB，其中A、B为切点，则直线AB经过定点(14,1 2 )答案：BCD分析：利用直线系方程求解直线所过定点判断A；求出圆心到直线的距离，结合圆的半径判断B；由圆心距等于半径和列式求得m判断C；求出两圆公共弦所在直线方程，再由直线系方程求得直线所过点的坐标判断D．由(3+m)x +4y −3+3m =0，得3x +4y −3+m(x +3)=0， 联立{x +3=03x +4y −3=0 ，解得{x =−3y =3，∴直线(3+m)x +4y −3+3m =0(m ∈R)恒过定点(−3,3)，故A 错误；∵圆心(0,0)到直线l:x −y +√2=0的距离等于1，∴直线与圆相交，而圆的半径为2， 故到直线距离为1的两条直线，一条与圆相切，一条与圆相交， 因此圆上有三个点到直线l:x −y +√2=0的距离等于1，故B 正确；两圆有三条公切线，则两圆外切，曲线C 1:x 2+y 2+2x =0化为标准式(x +1)2+y 2=1， 曲线C 2:x 2+y 2−4x −8y +m =0化为标准式(x −2)2+(y −4)2=20−m >0， 圆心距为√(2+1)2+42=5=1+√20−m ，解得m =4，故C 正确；设点P 的坐标为(m,n)，∴ m4+n2=1，以OP 为直径的圆的方程为x 2+y 2−mx −ny =0， 两圆的方程作差得直线AB 的方程为：mx +ny =1，消去n 得，m(x −y2)+2y −1=0， 令x −y2=0，2y −1=0，解得x =14，y =12，故直线AB 经过定点(14，12)，故D 正确．故选：BCD10、下列命题中，不正确的命题有（ ） A ．|a →|+|b →|=|a →−b →|是a →,b →共线的充要条件 B ．若a →//b →，则存在唯一的实数λ，使得a →=λb →C ．若A ，B ，C 不共线，且OP →=2OA →−4OB →+3OC →，则P ，A ，B 、C 四点共面 D ．若{a →,b →,c →}为空间的一个基底，则{a →+b →,b →+2c →,c →+3a →}构成空间的另一个基底 答案：AB分析：利用向量的模相等关系，结合充要条件判断A 的正误；利用平面向量的基本定理判断B ；利用共线向量定理判断C ；利用空间向量的基底的概念和反证法判断D 的正误即可．对于A ，当|a |+|b ⃗ |=|a −b ⃗ |时，a ，b ⃗ 共线成立，但当a ，b ⃗ 同向共线时，|a |+|b ⃗ |≠|a −b ⃗ |， 所以|a |+|b ⃗ |=|a −b ⃗ |是a ，b ⃗ 共线的充分不必要条件，故A 不正确; 对于B ，当b ⃗ =0⃗ 时，a //b ⃗ ，不存在唯一的实数λ，使得a =λb⃗ ，故B 不正确;对于C ，由于OP →=2OA →−4OB →+3OC →，而2−4+3=1，根据共面向量定理知，P ，A ，B ，C 四点共面，故C 正确;对于D ，若{a ，b ⃗ ，c }为空间的一个基底，则a ，b ⃗ ，c 不共面，利用反证法证明a +b ⃗ ，b ⃗ +2c ，c +3a 不共面，假设a +b ⃗ ，b ⃗ +2c ，c +3a 共面，则a →+b →=x(b →+2c →)+y(c →+3a →),所以a →=x−11−3y b →+2x+y 1−3y c →，所以a ，b ⃗ ，c 共面，与已知矛盾.所以a +b ⃗ ，b ⃗ +2c ，c +3a 不共面，则{a +b ⃗ ，b ⃗ +2c ，c +3a }构成空间的另一个基底，故D 正确． 故选：AB11、已知直线l 1：kx −y +2−3k =0与直线l 2：2x +y +1=0的交点在第三象限，则实数k 的值可能为（ ） A ．65B ．45C ．67D ．2答案：BC分析：联立直线方程求出交点坐标，根据象限列出不等式，求出k 的范围即可得出. 联立方程组{kx −y +2−3k =02x +y +1=0，解得交点为(3k−3k+2,−7k+4k+2)， 因为交点在第三象限，所以{3k−3k+2<0−7k+4k+2<0，解得47<k <1，所以实数k 的值可能为45和67. 故选：BC. 填空题12、如图，在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，AB ＝1，M ，N 分别是棱AB ，CC 1的中点，E 是BD 的中点，则异面直线D 1M ，EN 间的距离为______.答案：√24分析：建立空间直角坐标系，表示出D 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,EN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，求出同时垂直于D 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,EN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的n ⃗ ，再通过公式|MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅n ⃗ ||n ⃗ |求距离即可.以D 为原点，DA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,DD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向为x,y,z 轴建立空间直角坐标系，易知D 1(0,0,1),M(1,12,0),E(12,12,0),N(0,1,12)，D 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,12,−1),EN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−12,12,12)，设n ⃗ =(x,y,z)同时垂直于D 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,EN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，由{n ⃗ ⋅D 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x +12y −z =0n ⃗ ⋅EN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−12x +12y +12z =0 ，令x =1，得n ⃗ =(1,0,1)，又MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,12,12)，则异面直线D 1M ，EN 间的距离为|MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ ||n ⃗ |=|−1+12|√2=√24. 所以答案是：√24. 13、已知F 1,F 2为椭圆C ：x 216+y 24=1的两个焦点，P ，Q 为C 上关于坐标原点对称的两点，且|PQ |=|F 1F 2|，则四边形PF 1QF 2的面积为________． 答案：8分析：根据已知可得PF 1⊥PF 2，设|PF 1|=m,|PF 2|=n ，利用勾股定理结合m +n =8，求出mn ，四边形PF 1QF 2面积等于mn ，即可求解.因为P,Q 为C 上关于坐标原点对称的两点， 且|PQ|=|F 1F 2|，所以四边形PF 1QF 2为矩形， 设|PF 1|=m,|PF 2|=n ，则m +n =8,m 2+n 2=48， 所以64=(m +n)2=m 2+2mn +n 2=48+2mn ， mn =8，即四边形PF 1QF 2面积等于8. 所以答案是：8.14、若三点A(2,2),B(a,0),C(0,6)共线，则a的值为_________．答案：3分析：由三点共线得k AB=k BC，即可求出答案.由三点A(2,2),B(a,0),C(0,6)共线故k AB=k BC2−0 2−a =6−20−2⇒a=3所以答案是：3.解答题15、疫情期间，作为街道工作人员的王阿姨和李叔叔需要上门排查外来人员信息，王阿姨和李叔叔分别需走访离家不超过200米、k米的区域，如图，l1、l2分别是经过王阿姨家（点）的东西和南北走向的街道，且李叔叔家在王阿姨家的东偏北45°方向，以点O为坐标原点，l1、l2为x轴、y轴建立平面直角坐标系，已知健康检查点（即点M(100,400)）和平安检查点（即点N(400,700)）是李叔叔负责区域中最远的两个检查点.（1）求出k，并写出王阿姨和李叔叔负责区域边界的曲线方程；（2）王阿姨和李叔叔为交流疫情信息，需在姑山路（直线l:x−y+1000=0）上碰头见面，你认为在何处最为便捷、省时间（两人所走的路程之和最短）？并给出理由.答案：（1）k=300，x2+y2=2002，(x−400)2+(y−400)2=3002；（2）(−300,700)解析：（1）求圆的标准方程，可设出圆心，利用圆上两点距离到圆心相等，可算得圆心和半径.（2）可先求圆心O关于l:x−y+1000=0的对称点P,找到直线PC与l的交点，即为所求.（1）易知，王阿姨负责区域边界的曲线方程为：x2+y2=2002李叔叔家在王阿姨家的东偏北45°方向，设李叔叔家所在的位置为C(c,c)，离M(100,400)和N(400,700)距离相等故(c−100)2+(c−400)2=(c−400)2+(c−700)2故(c−100)2=(c−700)2即c−100=700−c故c=400k=√(400−400)2+(400−700)2=300故李叔叔负责区域边界的曲线方程为(x−400)2+(y−400)2=3002（2）圆心O关于l:x−y+1000=0的对称点为P(a,b)则有a2−b2+1000=0，ba=−1解得a=−1000,b=1000k PC=1000−400−1000−400=−37PC:y=−37x+40007联立l:x−y+1000=0与PC:y=−37x+40007，可得交点为(−300,700)王阿姨和李叔叔为交流疫情信息，可选择在地点(−300,700)碰面，距离之和最近.小提示：求圆的方程，主要有两种方法：(1)几何法：具体过程中要用到初中有关圆的一些常用性质和定理．如：①圆心在过切点且与切线垂直的直线上；②圆心在任意弦的中垂线上；③两圆相切时，切点与两圆心三点共线．(2)待定系数法：根据条件设出圆的方程，再由题目给出的条件，列出等式，求出相关量．一般地，与圆心和半径有关，选择标准式，否则，选择一般式．不论是哪种形式，都要确定三个独立参数，所以应该有三个独立等式．。
高中数学选修一综合测试题考点精题训练(带答案)
高中数学选修一综合测试题考点精题训练单选题1、已知双曲线x 2a 2−y 22=1(a >0)的一条渐近线的倾斜角为π6，则此双曲线的离心率e 为（ ）A ．2√33B ．2√63C ．√3D ．2 答案：A分析：根据题意渐近线的斜率为tan π6=√33，所以该渐近线的方程为y =√33x ，所以2a2=(√33)2，求得a=√6，利用c =√a 2+b 2，求得c 即可得解. ∵双曲线x 2a2−y 22=1(a >0)的一条渐近线的倾斜角为π6，tan π6=√33， ∴该渐近线的方程为y =√33x ，∴2a 2=(√33)2，解得a =√6或−√6（舍去），∴c =√a 2+b 2=2√2， ∴双曲线的离心率为e =c a=√2√6=2√33． 故选：A ．2、若直线y =3x −1与双曲线C:x 2−my 2=1的一条渐近线平行，则实数m 的值为（ ） A ．19B ．9C ．13D ．3 答案：A分析：根据双曲线渐近线的求法，利用直线平行斜率相等即可求解.C:x 2−my 2=1的渐近线方程满足x =±√my ，所以渐进线与y =3x −1平行，所以渐近线方程为y =±3x ，故m =19故选：A3、已知F 1,F 2是双曲线C 的两个焦点，P 为C 上一点，且∠F 1PF 2=60°,|PF 1|=3|PF 2|，则C 的离心率为（ ） A ．√72B ．√132C ．√7D ．√13 答案：A分析：根据双曲线的定义及条件，表示出|PF 1|,|PF 2|，结合余弦定理可得答案.因为|PF1|=3|PF2|，由双曲线的定义可得|PF1|−|PF2|=2|PF2|=2a，所以|PF2|=a，|PF1|=3a；因为∠F1PF2=60°,由余弦定理可得4c2=9a2+a2−2×3a⋅a⋅cos60°，整理可得4c2=7a2，所以e2=c2a2=74，即e=√72.故选：A小提示：关键点睛：双曲线的定义是入手点，利用余弦定理建立a,c间的等量关系是求解的关键.4、若椭圆C:x24+y23=1的左、右焦点分别为F1、F2，点P为椭圆C上一动点，则下列说法中不正确的是（）A．当点P不在x轴上时，△PF1F2的周长是6B．当点P不在x轴上时，△PF1F2面积的最大值为√3C．存在点P，使PF1⊥PF2D．|PF1|的取值范围是[1,3]答案：C分析：根据椭圆定义以及焦距即可判断选项A；当点P位于上下顶点时，△PF1F2面积的最大即可判断选项B；当点P为椭圆C短轴的一个端点时，∠F1PF2为最大与90∘比较即可判断选项C；当点P为椭圆C的左右顶点时取得最值，即可判断选项D.由椭圆方程可知a=2，b=√3，从而c=√a2−b2=1．对于选项A；根据椭圆定义，|PF1|+|PF2|=2a=4，又|F1F2|=2c=2，所以△PF1F2的周长是2a+2c=6，故选项A正确；对于选项B：设点P(x1,y0)(y0≠0)，因为|F1F2|=2，则S△PF1F2=12|F1F2|⋅|y0|=|y0|．因为0<|y0|≤b=√3，则△PF1F2面积的最大值为√3，故选项B正确；对于选项C：由椭圆性质可知，当点P为椭圆C短轴的一个端点时，∠F1PF2为最大．此时，|PF1|=|PF2|=a=2，又|F1F2|=2，则△PF1F2为正三角形，∠F1PF2=60°，所以不存在点P，使PF1⊥PF2，故选项C错误；对于选项D：由椭圆的性质可知，当点P为椭圆C的右顶点时，|PF1|取最大值，此时|PF1|=a+c=3；当点P为椭圆C的左顶点时，|PF1|取最小值，此时|PF1|=a−c=1，所以|PF1|∈[1,3]，故选项D正确．故选：C.小提示：名师点评椭圆中焦点三角形的有关结论以椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上一点P(x0,y0)(y0≠0)和焦点F1(−c,0),F2(c,0)为顶点的△PF1F2中，若∠F1PF2=θ，则（1）焦点三角形的周长为2a+2c；（2）当点P为椭圆短轴的一个端点时，∠F1PF2=θ为最大；（3）S△PF1F2=12PF1×PF2×sinθ，当|y0|=b时，即点P为椭圆短轴的一个端点时S△PF1F2取最大值，为bc；（4）S△PF1F2=b2tanθ2.5、已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左焦点为F，点F到双曲线C的一条渐近线的距离为12a，则双曲线C的渐近线方程为（）A．y=±12x B．y=±2xC．y=±4x D．y=±14x 答案：A分析：首先根据题意得到d=√b2+a2=b=12a，从而得到ba=12，即可得到答案.由题知：设F(−c,0)，一条渐近线方程为y=bax，即bx−ay=0.因为d=√b2+a2=b=12a，所以ba=12，故渐近线方程为y=±12x.故选：A6、下列直线方程纵截距为2的选项为（）A．y=x−2B．x−y+2=0C．x2+y4=1D．x+y+2=0答案：B分析：纵截距就是令x=0是y的值，令每一个选项中的x为0，解出y，最后选出符合题意的.直线x+y+2=0的纵截距为−2，直线x2+y4=1的纵截距为4，直线x−y+2=0的纵截距为2，直线y=x−2的纵截距为−2. 故选：B. 7、设F 1,F 2是椭圆x 212+y 224=1的两个焦点，P 是椭圆上一点，且cos∠F 1PF 2=13.则△PF 1F 2的面积为（ ）A ．6B ．6√2C ．8D ．8√2 答案：B分析：利用椭圆的几何性质，得到|PF 1|+|PF 2|=2a =4√6，|F 1F 2|=2c =4√3，进而利用cos∠F 1PF 2=13得出|PF 1|⋅|PF 2|=18，进而可求出S △PF 1F 2 解：由椭圆x 212+y 224=1的方程可得a 2=24,b 2=12，所以c 2=a 2−b 2=12，得a =2√6,c =2√3 且|PF 1|+|PF 2|=2a =4√6，|F 1F 2|=2c =4√3， 在△PF 1F 2中，由余弦定理可得 cos∠F 1PF 2=|PF 1|2+|PF 2|2−|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|=(|PF 1|+|PF 2|)2−2|PF 1||PF 2|−|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|=4a 2−4c 2−2|PF 1||PF 2|2|PF 1||PF 2|=4b 2−2|PF 1||PF 2|2|PF 1||PF 2|=4×12−2|PF 1||PF 2|2|PF 1||PF 2|，而cos∠F 1PF 2=13，所以，|PF 1|⋅|PF 2|=18， 又因为，cos∠F 1PF 2=13，所以sin∠F 1PF 2=2√23， 所以，S △PF 1F 2=12|PF 1||PF 2|⋅sin∠F 1PF 2=12×18×2√23=6√2故选：B8、已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)上存在点P ，使得|PF 1|=3|PF 2|，其中F 1，F 2分别为椭圆的左、右焦点，则该椭圆的离心率的取值范围是（ ） A ．(0,14]B ．(14,1)C ．(12,1)D ．[12,1)答案：D分析：先由椭圆的定义结合已知求得|PF 1|,|PF 2|，再由|PF 1|−|PF 2|≤|F 1F 2|求得a,c 的不等关系，即可求得离心率的取值范围.由椭圆的定义得|PF1|+|PF2|=2a，又∵|PF1|=3|PF2|，∴|PF1|=32a，|PF2|=12a，而|PF1|−|PF2|≤|F1F2|=2c，当且仅当点P在椭圆右顶点时等号成立，即32a−12a≤2c，即a≤2c，则e=ca≥12，即12≤e<1.故选：D．多选题9、已知抛物线C：y=14x2的焦点为F，P为C上一点，下列说法正确的是（）A．C的准线方程为y=−116B．直线y=x−1与C相切C．若M(0,4)，则|PM|的最小值为2√3D．若M(3,5)，则△PMF的周长的最小值为11答案：BCD分析：将抛物线方程化为标准式，即可求出焦点坐标与准线方程，从而判断A，联立直线与抛物线方程，消元，由Δ=0判断B，设点P(x,y)，表示出|PM|2，根据二次函数的性质判断C，根据抛物线的定义转化求出△PMF的周长的最小值，即可判断D.解：抛物线C：y=14x2，即x2=4y，所以焦点坐标为F(0,1)，准线方程为y=−1，故A错误；由{y=14x2y=x−1，即x2−4x+4=0，解得Δ=(−4)2−4×4=0，所以直线y=x−1与C相切，故B正确；设点P(x,y)，所以|PM|2=x2+(y−4)2=y2−4y+16=(y−2)2+12≥12，所以|PM|min=2√3，故C正确；如图过点P作PN⊥准线，交于点N，|NP|=|PF|，|MF|=√32+(5−1)2=5，所以C△PFM=|MF|+|MP|+|PF|=|MF|+|MP|+|PN|≥|MF|+|MN|=5+6=11，当且仅当M、P、N三点共线时取等号，故D正确；故选：BCD10、已知a⃑=(1,0,1)，b⃑⃑=(−1,2,−3)，c⃑=(2,−4,6)，则下列结论正确的是（）A．a⃑⊥b⃑⃑B．b⃑⃑∥c⃑C．⟨a⃑,c⃑⟩为钝角D．c⃑在a⃑方向上的投影向量为(4,0,4)答案：BD分析：利用向量垂直，平行的坐标关系判断A，B，根据向量夹角公式判断C，根据投影向量和投影数量的关系计算求解判断D.因为1×(−1)+0×2+1×(−3)=−4≠0，所以a⃑，b⃑⃑不垂直，A错，因为c⃑=−2b⃑⃑，所以b⃑⃑∥c⃑，B对，因为a⃑⋅c⃑=1×2+0×(−4)+1×6=8，所以cos⟨a⃑,c⃑⟩>0，所以⟨a⃑,c⃑⟩不是钝角，C错，因为c⃑在a⃑方向上的投影向量|c⃑|⋅cos⟨a⃑,c⃑⟩⋅a⃑⃑|a⃑⃑|=a⃑⃑⋅c⃑|a⃑⃑|2a⃑=82(1,0,1)=(4,0,4)，D对，故选：BD.11、（多选）已知直线l:x −my +m −1=0，则下列说法正确的是（ ）． A ．直线l 的斜率可以等于0B ．若直线l 与y 轴的夹角为30°，则m =√33或m =−√33C ．直线l 恒过点(2,1)D ．若直线l 在两坐标轴上的截距相等，则m =1或m =−1 答案：BD分析：讨论m =0和m ≠0时直线的斜率和截距情况，判断AD 的正误；利用倾斜角和斜率的关系判断B 的正误；将方程化为(x −1)−m (y −1)=0判断直线过定点，判断C 的正误. 当m =0时，直线l:x =1，斜率不存在，当m ≠0时，直线l 的斜率为1m ，不可能等于0，故A 选项错误； ∵直线l 与y 轴的夹角角为30°，∴直线l 的倾斜角为60°或120°，而直线l 的斜率为1m ，∴1m=tan60°=√3或1m=tan120°=−√3，∴m =√33或m =−√33，故B 选项正确；直线l 的方程可化为(x −1)−m (y −1)=0，所以直线l 过定点(1,1)，故C 选项错误； 当m =0时，直线l:x =1，在y 轴上的截距不存在， 当m ≠0时，令x =0，得y =m−1m，令y =0，得x =1−m ，令m−1m=1−m ，得m =±1，故D 选项正确．故选：BD ． 填空题12、已知双曲线E ：x 2a 2−y 2b 2=1（a >0，b >0），矩形ABCD 的四个顶点在E 上，AB ，CD 的中点为E 的两个焦点，且2|AB |=3|BC |=6，则双曲线E 的标准方程是______． 答案：x 214−y 234=1分析：如图所示，设AB ，CD 的中点分别为M ，N ，则可得|MN |=2c =2，|BN |=52，再利用双曲线的定义可得a 2=14，即求.由题意得|AB |=3，|BC |=2．如图所示，设AB ，CD 的中点分别为M ，N ，在Rt △BMN 中，|MN |=2c =2，故|BN |=√|BM|2+|MN |2=√(32)2+22=52．由双曲线的定义可得2a =|BN |−|BM |=52−32=1， 则a 2=14，又2c =2，所以c =1，b 2=34．所以双曲线E 的标准方程是x 214−y 234=1．所以答案是：x 214−y 234=1.13、若直线l 1：2x +ay −2=0与直线l 2：x −y +a =0平行，则直线l 1与l 2之间的距离为______． 答案：√22分析：先根据直线l 1与l 2平行求出参数a ，再由两平行直线间的距离公式可得答案. ∵直线l 1与l 2平行，∴21=a−1≠−2a，解得a =−2，∴直线l 1：x −y −1=0，直线l 2：x −y −2=0， ∴直线l 1与l 2之间的距离d =√1+1=√22． 所以答案是：√2214、直线y =kx +2(k >0)被圆x 2+y 2=4截得的弦长为2√3，则直线的倾斜角为________． 答案：60∘分析：由已知求得圆心到直线的距离，再由点到直线的距离公式列式求得k ，然后利用斜率等于倾斜角的正切值求解．∵直线y =kx +2(k >0)被圆x 2+y 2=4截得的弦长为2√3，所以，圆心O (0,0)到直线kx −y +2=0的距离d =√22−(√3)2=1， 即√k 2+1=1，解得k =√3(k >0)．设直线的倾斜角为θ(0∘≤θ<180∘)，则tanθ=√3，则θ=60∘． 因此，直线y =kx +2(k >0)的倾斜角为60∘． 所以答案是：60∘． 解答题15、如图，在三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，CC 1⊥平面 ABC,AC ⊥BC,AC =BC =2，CC 1=3，点D, E 分别在棱AA 1和棱 CC 1上，且AD =1 CE =2, M 为棱A 1B 1的中点．（Ⅰ）求证：C 1M ⊥B 1D ；（Ⅱ）求二面角B −B 1E −D 的正弦值； （Ⅲ）求直线AB 与平面DB 1E 所成角的正弦值． 答案：（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）√306；（Ⅲ）√33. 分析：以C 为原点，分别以CA ⃑⃑⃑⃑⃑ ,CB ⃑⃑⃑⃑⃑ ,CC 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系. （Ⅰ）计算出向量C 1M ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 和B 1D ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 的坐标，得出C 1M ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅B 1D ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =0，即可证明出C 1M ⊥B 1D ；（Ⅱ）可知平面BB 1E 的一个法向量为CA ⃑⃑⃑⃑⃑ ，计算出平面B 1ED 的一个法向量为n ⃑ ，利用空间向量法计算出二面角B −B 1E −D 的余弦值，利用同角三角函数的基本关系可求解结果； （Ⅲ）利用空间向量法可求得直线AB 与平面DB 1E 所成角的正弦值.依题意，以C 为原点，分别以CA ⃑⃑⃑⃑⃑ 、CB ⃑⃑⃑⃑⃑ 、CC 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系（如图），可得C(0,0,0)、A(2,0,0)、B(0,2,0)、C 1(0,0,3)、 A 1(2,0,3)、B 1(0,2,3)、D(2,0,1)、E(0,0,2)、M(1,1,3). （Ⅰ）依题意，C 1M ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(1,1,0)，B 1D ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(2,−2,−2)， 从而C 1M ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅B 1D ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =2−2+0=0，所以C 1M ⊥B 1D ； （Ⅱ）依题意，CA⃑⃑⃑⃑⃑ =(2,0,0)是平面BB 1E 的一个法向量， EB 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(0,2,1)，ED ⃑⃑⃑⃑⃑ =(2,0,−1)． 设n ⃑ =(x,y,z)为平面DB 1E 的法向量， 则{n ⃑ ⋅EB 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =0n ⃑ ⋅ED ⃑⃑⃑⃑⃑ =0，即{2y +z =02x −z =0， 不妨设x =1，可得n ⃑ =(1,−1,2)．cos <CA ⃑⃑⃑⃑⃑ ,n ⃑ >=CA ⃑⃑⃑⃑⃑⋅n ⃑ |CA ⃑⃑⃑⃑⃑ |⋅|n ⃑ |=2×√6=√66， ∴sin <CA ⃑⃑⃑⃑⃑ ,n ⃑ >=√1−cos 2<CA ⃑⃑⃑⃑⃑ ,n ⃑ >=√306．所以，二面角B −B 1E −D 的正弦值为√306； （Ⅲ）依题意，AB⃑⃑⃑⃑⃑ =(−2,2,0)．由（Ⅱ）知n ⃑ =(1,−1,2)为平面DB 1E 的一个法向量，于是cos <AB ⃑⃑⃑⃑⃑ ,n ⃑ >=AB ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅n ⃑ |AB ⃑⃑⃑⃑⃑ |⋅|n ⃑ |=2√2×√6=−√33． 所以，直线AB 与平面DB 1E 所成角的正弦值为√33.小提示：本题考查利用空间向量法证明线线垂直，求二面角和线面角的正弦值，考查推理能力与计算能力，属于中档题.。
部编版高中数学选修二综合测试题带答案典型例题
(名师选题)部编版高中数学选修二综合测试题带答案典型例题单选题，则该函数在x=1处的切线斜率为（）1、已知函数f(x)=x−1xA．0B．1C．2D．32、我国天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气的晷长损益相同(晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度).二十四节气及晷长变化如图所示，相邻两个节气晷长减少或增加的量相同，周而复始.已知每年冬至的晷长为一丈三尺五寸，夏至的晷长为一尺五寸(一丈等于十尺，一尺等于十寸)，则下列说法不正确的是（）A．小寒比大寒的晷长长一尺B．春分和秋分两个节气的晷长相同C．小雪的晷长为一丈五寸D．立春的晷长比立秋的晷长长3、设数列{an}的通项公式为an＝2n－7，则|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a15|＝（）A．139B．153C．144D．178，对任意的n∈N∗都有na n=(n+2)a n+1，则S2021=（）4、已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=12A ．20192020B ．20202021C ．20212022D ．101010115、若函数f(x)=x 2−ax +lnx 在区间(1,e )上单调递增，则a 的取值范围是（ ） A ．[3,+∞)B ．(−∞,3]C ．[3,e 2+1]D ．[e 2+1,3]6、若等差数列的首项是−24，且从第10项开始大于0，则公差d 的取值范围是（ ） A ．[83,+∞)B ．(−∞,3)C ．[83,3)D ．(83,3]7、已知函数f (x )=(x −1)(x −2)(x −3)，则曲线y =f (x )在点(2,0)处的切线方程为（ ） A ．y =x +2B ．y =−x +2C ．y =x −2D ．y =−x −28、设曲线y =e 2ax (e =2.718…为自然对数的底数)在点(0,1)处的切线及直线2x −y −1=0和两坐标轴的正半轴所围成的四边形有外接圆，则a =（ ） A ．−1B ．−14C ．14D ．1 多选题9、若直线y =12x +b 是函数f(x)图像的一条切线，则函数f(x)可以是（ ）A ．f(x)=1x B ．f(x)=x 4C ．f(x)=sinx D ．f(x)=e x 10、下列四个选项中，不正确的是（ ） A ．数列23,34,45,56，…的一个通项公式是a n =n n+1B ．数列的图象是一群孤立的点C ．数列1，−1，1，−1，…与数列−1，1，−1，1，…是同一数列D ．数列12,14，…，12n 是递增数列11、设数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，S 1=1，S n+1=n+2nS n ，且b n =a n+12an a n+2，则下列结论正确的是（ ）A ．a 2021=2021B ．S n =n (n+1)2C ．b n =1−1n (n+2)D ．13≤T n −n <34填空题12、已知数列{a n }满足a 1=32，a n+1=3a na n +3，则数列{a n }的通项公式为______．部编版高中数学选修二综合测试题带答案(四十四)参考答案1、答案：C分析：利用导数的定义求解.因为f(1+Δx)−f(1)=(1+Δx)−11+Δx −(1−11)，=Δx+1−11+Δx =Δx+Δx1+Δx，所以斜率k=limΔx→0f(1+Δx)−f(1)Δx，=limΔx→0(1+11+Δx)=1+1=2．故选：C2、答案：C分析：先计算从夏至到冬至的晷长构成等差数列的公差和冬至到夏至的晷长构成等差数列的公差，再对选项各个节气对应的数列的项进行计算，判断说法的正误，即得结果.由题意可知，夏至到冬至的晷长构成等差数列{a n}，其中a1=15寸，a13=135寸，公差为d寸，则135=15+12d，解得d1=10（寸）；同理可知，由冬至到夏至的晷长构成等差数列{b n}，首项b1=135，末项b13=15，公差d2=−10（单位都为寸）.故小寒与大寒相邻，小寒比大寒的晷长长10寸，即一尺，选项A正确；∵春分的晷长为b7，∴b7=b1+6d2=135−60=75，∵秋分的晷长为a7，∴a7=a1+6d1=15+60=75，故春分和秋分两个节气的晷长相同，所以B正确；∵小雪的晷长为a11，∴a11=a1+10d1=15+100=115，115寸即一丈一尺五寸，故小雪的晷长为一丈一尺五寸，C错误；∵立春的晷长，立秋的晷长分别为b4，a4，∴a4=a1+3d1=15+30=45，b4=b1+3d2=135−30=105，∴b4>a4，故立春的晷长比立秋的晷长长，故D正确.故选：C.小提示：关键点点睛：本题的解题关键在于看懂题意，二十四节气的晷长变化形成两个等差数列，即结合等差数列项的计算突破难点.3、答案：B分析：根据数列的通项公式，可得数列{an}为等差数列，即可求得a1,d，进而可得前n项和S n，所求可化简为S15−2S3，代入公式，即可得答案.∵an＝2n－7，∴a n+1−a n=2(n+1)−7−(2n−7)=2，∴数列{an}为等差数列，且a1＝－5，d＝2.∴前n项和S n=na1+n(n−1)d2=−5n+n(n−1)×22=n2−6n.∴|a1|＋|a2|＋…＋|a15|＝−a1−a2−a3+a4+⋅⋅⋅+a15=−S3+(S15−S3)=S15−2S3=153.故选：B4、答案：C解析：由na n=(n+2)a n+1，可得n(n+1)a n=(n+1)(n+2)a n+1，数列{n(n+1)a n}为常数列，令n=1，可得n(n+1)a n=2a1=1，进而可得a n=1n(n+1)，利用裂项求和即可求解.数列{a n}满足a1=12，对任意的n∈N∗都有na n=(n+2)a n+1，则有n(n+1)a n=(n+1)(n+2)a n+1，可得数列{n(n+1)a n}为常数列，有n(n+1)a n=2a1，得n(n+1)a n=1，得a n=1n(n+1)，又由a n=1n(n+1)=1n−1n+1，所以S2021=1−12+12−13+⋅⋅⋅12021−12022=1−12022=20212022．故选：C小提示：方法点睛：数列求和的方法（1）倒序相加法：如果一个数列{a n}的前n项中首末两端等距离的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可以用倒序相加法（2）错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可以用错位相减法来求；（3）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时，中间的一些项可相互抵消，从而求得其和； （4）分组转化法：一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组转换法分别求和再相加减；（5）并项求和法：一个数列的前n 项和可以两两结合求解，则称之为并项求和，形如a n =(−1)n f (n )类型，可采用两项合并求解. 5、答案：B分析：由f ′(x )≥0分离常数a ，利用构造函数法，结合导数，求得a 的取值范围. 依题意f ′(x )=2x −a +1x ≥0在区间(1,e )上恒成立，即a ≤2x +1x在区间(1,e )上恒成立，令g (x )=2x +1x(1<x <e )，g ′(x )=2−1x 2=2x 2−1x 2=(√2x+1)(√2x−1)x 2>0，g (x )在(1,e )上递增，g (1)=3， 所以a ≤3.所以a 的取值范围是(−∞,3]. 故选：B 6、答案：D分析：直接写出等差数列的通项公式，由a 9⩽0且a 10>0联立不等式组求得公差d 的取值范围． 解：∵等差数列的首项是−24，则等差数列的通项公式为a n =−24+(n −1)d ， 要使从第10项开始为正，则由{a 10=−24+9d >0a 9=−24+8d ⩽0 ，解得：83<d ⩽3．故选：D ． 7、答案：B分析：求得函数f (x )的导数，得到切线的斜率，结合直线的点斜式方程，即可求解.由题意，函数f (x )=(x −1)(x −2)(x −3)=(x −2)[(x −1)(x −3)]， 可得f ′(x )=(x −1)(x −3)+(x −2)[(x −1)(x −2)]′， 所以曲线y =f (x )在点(2,0)处切线的斜率为k =f ′(2)=−1, 所以切线方程为y −0=−(x −2)，即y =−x +2. 故选：B. 8、答案：B分析：由导数的几何意义，求得切线的方程y =2ax +1，根据围成的四边形有外接圆，得到切线与直线2x −y −1=0垂直，列出方程，即可求解.由题意，函数f (x )=e 2ax ，可得f ′(x )=2ae 2ax ，则f ′(0)=2a ， 即曲线y =e 2ax 在点(0,1)处的切线的斜率为k =2a ， 所以切线方程为y −1=2ax ，即y =2ax +1，要使得切线与直线2x −y −1=0和两坐标轴的正半轴所围成的四边形有外接圆， 则满足两直线垂直，即2a ×2=−1，解得a =−14.故选：B. 9、答案：BCD分析：求得已知直线的斜率k ，对选项中的函数分别求导，可令导数为k ，解方程即可判断结论 解：直线y =12x +b 的斜率为k =12，由f(x)=1x的导数为f ′(x)=−1x2，即切线的斜率小于0，故A 不正确；由f(x)=x 4的导数为f ′(x)=4x 3，而4x 3=12，解得x =12，故B 正确；由f(x)=sinx 的导数为f ′(x)=cosx ，而cosx =12有解，故C 正确；由f(x)=e x 的导数为f ′(x)=e x ，而e x =12，解得x =−ln2，故D 正确， 故选：BCD小提示：此题考查导数的几何意义，正确求导是解题的关键，考查运算能力，属于基础题 10、答案：ACD分析：由a 1=12≠23可判断A ；由数列的通项公式以及n ∈N ∗可判断B ；由数列定义可判断C ；由递减数列定义可判断D ． 对于A ，当通项公式为a n =n n+1时，a 1=12≠23，不符合题意，故选项A 错误；对于B ，由数列的通项公式以及n ∈N ∗可知，数列的图象是一群孤立的点，故选项B 正确； 对于C ，由于两个数列中的数排列的次序不同，因此不是同一数列，故选项C 错误； 对于D ，数列12,14，…，12n是递减数列，故选项D 错误．故选：ACD ． 11、答案：ABD分析：对于AB ，通过累乘法求出{S n }的通项公式，进而求出{a n }的通项公式，即可求解； 对于CD ，通过{a n }的通项公式求出{b n }的通项公式，再通过裂项相消求T n ，进而求解. 由题意，得S n+1S n=n+2n， ∴当n ≥2时，S n =S n S n−1×S n−1S n−2×⋅⋅⋅×S 2S 1×S 1=n+1n−1×n n−2×⋅⋅⋅×31×1=n (n+1)2，又当n =1时S 1=1也符合上式， ∴S n =n (n+1)2，易得a n =n ，∴a 2021=2021，故A ，B 正确； b n =a n+12an a n+2=(n+1)2n (n+2)=1+1n (n+2)=1+12(1n −1n+2)，∴T n =n +12(1−13+12−14+13−15+⋅⋅⋅+1n−1−1n+1+1n −1n+2)=n +12(1+12−1n+1−1n+2) =n +34−12(1n+1+1n+2)<n +34， 易知{T n −n}单调递增，∴T n −n ≥T 1−1=13，∴13≤T n −n <34，故C 错误，D 正确.故选:ABD ． 12、答案：a n =3n+1分析：对递推数列两边同时去倒数，可得1an+1−1a n=13，所以数列{1a n}是首项为23，公差为13的等差数列，即可求出数列{a n }的通项公式. 因为a 1=32，a n+1=3a na n+3，所以1a n+1=a n +33a n =13+1a n，即1an+1−1a n=13，所以数列{1a n}是首项为23，公差为13的等差数列，所以1a n=23+13(n −1)=n+13，所以a n =3n+1．所以答案是：a n =3n+1.。
高中数学选修二综合测试题典型例题(带答案)
高中数学选修二综合测试题典型例题单选题1、函数y=f(x)的图像如图所示，下列不等关系正确的是（）A．0<f′(2)<f′(3)<f(3)−f(2)B．0<f′(2)<f(3)−f(2)<f′(3)C．0<f′(3)<f(3)−f(2)<f′(2)D．0<f(3)−f(2)<f′(2)<f′(3)答案：C分析：根据导数的几何意义和函数平均变化率的定义，结合图象，即可求解.如图所示，根据导数的几何意义，可得f′(2)表示切线l1斜率k1>0，f′(3)表示切线l3斜率k3>0，=f(3)−f(2)，表示割线l2的斜率k2，又由平均变化率的定义，可得f(3)−f(2)3−2结合图象，可得0<k3<k2<k1，即0<f′(3)<f(3)−f(2)<f′(2).故选：C.，则f(x)（）2、已知f(x)=3xe xA ．在(−∞,+∞)上单调递增B ．在(−∞,1)上单调递减C ．有极大值3e ，无极小值D ．有极小值3，无极大值 答案：C分析：根据导数判断单调性与极值 f ′(x)=3−3x e x，则x <1时f ′(x)>0，x >1时f ′(x)<0f(x)在区间(−∞,1)上单调递增，在区间(1,+∞)上单调递减 有极大值f(1)=3e故选：C3、若数列{a n }满足a 1a 2a 3⋅⋅⋅a n =n 2(n ≥2)，则a 3=（ ） A ．9B ．3C ．94D ．49 答案：C分析：利用前n 项积与通项的关系可求得结果. 由已知可得a 3=a 1a 2a 3a 1a 2=3222=94.故选：C.4、设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{b n }的前n 和为T n ，已知a 5=11,S 10=120,b n =1a n ⋅a n+1，若T k =17，则正整数k 的值为（ ） A ．9B ．8C ．7D ．6 答案：A分析：设等差数列{a n }的公差为d ，根据a 5=11,S 10=120求得公差d ，即可求得数列{a n }的通项，从而求得数列{b n }的通项，再根据裂项相消法求得数列{b n }的前n 和为T n ，从而可得出答案. 解：设等差数列{a n }的公差为d ， S 10=10(a 1+a 10)2=5(a 5+a 6)=5(11+a 6)=120，所以a 6=13，则d =a 6−a 5=2，所以a n =a 5+2(n −5)=2n +1，所以b n =1a n ⋅a n+1=12(12n+1−12n+3)， 所以T n =12(13−15+15−17+⋯+12n+1−12n+3)=12(13−12n+3)=n3(2n+3)， 因为T k =17，所以k 3(2k+3)=17，解得k =9. 故选：A.5、设a ≠0，若x =a 为函数f (x )=a (x −a )2(x −b )的极大值点，则（ ） A ．a <b B ．a >b C ．ab <a 2D ．ab >a 2 答案：D分析：先考虑函数的零点情况，注意零点左右附近函数值是否变号，结合极大值点的性质，对进行分类讨论，画出图象，即可得到a,b 所满足的关系，由此确定正确选项.若a =b ，则f (x )=a (x −a )3为单调函数，无极值点，不符合题意，故a ≠b .∴f(x)有x =a 和x =b 两个不同零点，且在x =a 左右附近是不变号，在x =b 左右附近是变号的.依题意，为函数的极大值点，∴在x =a 左右附近都是小于零的.当a <0时，由x >b ，f (x )≤0，画出f (x )的图象如下图所示：由图可知b <a ，a <0，故ab >a 2.当a >0时，由x >b 时，f (x )>0，画出f (x )的图象如下图所示：由图可知b >a ，a >0，故ab >a 2. 综上所述，ab >a 2成立. 故选：D小提示：本小题主要考查三次函数的图象与性质，利用数形结合的数学思想方法可以快速解答. 6、若直线l 与曲线y =√x 和x 2+y 2=15都相切，则l 的方程为（ ） A ．y =2x +1B ．y =2x +12C ．y =12x +1D ．y =12x +12 答案：D分析：根据导数的几何意义设出直线l 的方程，再由直线与圆相切的性质，即可得出答案. 设直线l 在曲线y =√x 上的切点为(x 0,√x 0)，则x 0>0， 函数y =√x 的导数为y ′=2√x ，则直线l 的斜率k =2√x 0，设直线l 的方程为y −√x 0=2√x 0−x 0)，即x −2√x 0y +x 0=0，由于直线l 与圆x 2+y 2=15相切，则√1+4x 0=√5，两边平方并整理得5x 02−4x 0−1=0，解得x 0=1，x 0=−15（舍），则直线l 的方程为x −2y +1=0，即y =12x +12.故选：D.小提示：本题主要考查了导数的几何意义的应用以及直线与圆的位置的应用，属于中档题. 7、已知正项等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若−5，S 3，S 6成等差数列，则S 9−S 6的最小值为( ) A ．25B ．20C ．15D ．10答案：B分析：利用等比数列前n 项和的性质表示出S 9−S 6，再表示成同一变量S 3，然后利用基本不等式求出其最小值即可.因为{a n }是正项等比数列，所以S 3，S 6−S 3，S 9−S 6仍然构成等比数列， 所以(S 6−S 3)2=S 3(S 9−S 6). 又−5，S 3，S 6成等差数列，所以S 6−5=2S 3，S 6−S 3=S 3+5， 所以S 9−S 6=(S 6−S 3)2S 3=(S 3+5)2S 3=S 3+25S 3+10.又{a n }是正项等比数列，所以S 3>0，S 3+25S 3+10≥2√S 3⋅25S 3+10=20，当且仅当S 3=5时取等号.故选：B.8、已知等比数列{a n }中，a 1=2a 2，则这个数列的公比为（ ） A ．2B ．√2C ．12D ．√22答案：C分析：结合等比数列的知识求得正确答案. 数列{a n }是等比数列， 所以公比q =a 2a 1=12.故选：C 多选题9、已知数列{a n }满足a 1=−12，a n+1=11−a n，则下列各数是{a n }的项的有（ ）A ．−2B ．23C ．32D ．3 答案：BD分析：根据递推关系式找出规律，可得数列是周期为3的周期数列，从而可求解结论．因为数列{a n }满足a 1=−12，a n+1=11−a n，∴a 2=11−(−12)=23；a 3=11−a 2=3；a 4=11−a 3=−12=a 1；∴数列{a n }是周期为3的数列，且前3项为−12，23，3； 故选：BD ．小提示：本题主要考查数列递推关系式的应用，考查数列的周期性，解题的关键在于求出数列的规律，属于基础题．10、记S n 为等差数列{a n }的前n 项和.若a 1+3a 5=S 7，则以下结论一定正确的是（ ） A ．a 4=0B ．S n 的最大值为S 3C ．S 6=S 1D ．|a 3|<|a 5| 答案：AC分析：根据等差数列的定义及前n 项和公式可求得公差d 与a 1的关系，再对各项进行逐一判断即可. 设等差数列的公差为d ，因为a 1+3a 5=S 7，可得a 1+3(a 1+4d )=7a 1+21d ，解得a 1=−3d ， 又由a n =a 1+(n −1)d =(n −4)d ，所以a 4=0，所以A 正确； 因为公差d 的正负不能确定，所以S 3可能为最大值最小值，故B 不正确； 由S 6−S 1=a 2+a 3+a 4+a 5+a 6=5a 4=0，所以S 6=S 1，所以C 正确； 因为a 3+a 5=2a 4=0，所以a 3=−a 5，即|a 3|=|a 5|，所以D 错误. 故选:AC.11、已知函数f(x)=xlnx ，若0<x 1<x 2，则下列结论正确的是（ ） A ．x 2f(x 1)<x 1f(x 2)B ．x 1+f(x 1)<x 2+f(x 2) C ．f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2<0D ．当lnx >−1时，x 1f(x 1)+x 2f(x 2)>2x 2f(x 1)答案：AD 分析：设g(x)=f(x)x=lnx ，函数g(x)单调递增，可判断A ；设ℎ(x)=f(x)+x ，则ℎ′(x)=lnx +2不是恒大于零，可判断B ；f(x)=xlnx ，f ′(x)=lnx +1不是恒小于零，可判断C ；当x >1e时，lnx >−1，故f ′(x)=lnx +1>0，函数f(x)=xlnx 单调递增，故(x 2−x 1)[f(x 2)−f(x 1)]=x 1f(x 1)+x 2f(x 2)−x 2f(x 1)−x 1f(x 2)>0，即x 1f(x 1)+x 2f(x 2)>x 2f(x 1)+x 1f(x 2)，由此可判断D.得选项. 解： 对于A 选项，因为令g(x)=f(x)x=lnx ，在(0,+∞)上是增函数，所以当0<x 1<x 2时，g(x 1)<g(x 2)，所以f(x 1)x 1<f(x 2)x 2，即x 2f(x 1)<x 1f(x 2)．故A 选项正确；对于B 选项，因为令g(x)=f(x)+x =xlnx +x ，所以g′(x)=lnx +2，所以x ∈(e −2,+∞)时，g′(x)>0,g(x)单调递增，x ∈(0,e −2)时，g′(x)<0,g(x)单调递减．所以x 1+f(x 1)与x 2+f(x 2)无法比较大小．故B 选项错误；对于C 选项，令f′(x)=lnx +1，所以x ∈(0,1e )时，f′(x)<0,f(x)在(0,1e )单调递减，x ∈(1e ,+∞)时，f′(x)>0,f(x)在(1e,+∞)单调递增，所以当0<x 1<x 2<1e时，f(x 1)>f(x 2)，故f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2<0成立，当1e<x 1<x 2时，f(x 1)<f(x 2)，f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2>0．故C 选项错误；对于D 选项，由C 选项知，当lnx >−1时，f(x)单调递增，又因为A 正确，x 2f(x 1)<x 1f(x 2)成立， 所以x 1⋅f(x 1)+x 2⋅f(x 2)−2x 2f(x 1)>x 1⋅f(x 1)+x 2⋅f(x 2)−x 2f(x 1)−x 1f(x 2) =x 1[f(x 1)−f(x 2)]+x 2[f(x 2)−f(x 1)] =(x 1−x 2)[f(x 1)−f(x 2)]>0,故D 选项正确. 故选：AD ．小提示：用导数求函数的单调区间或判断函数的单调性问题时应注意如下几方面： (1)在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域； (2)不能随意将函数的2个独立的单调递增（或递减）区间写成并集形式；(3)利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用. 填空题12、等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S 19>0，S 20<0，则使S n 取得最大值的n 为______． 答案：10分析：由S19>0，S20<0，结合等差数列的前n项和公式得到第10项大于0，第10项和第11项的和小于0，得到第10项大于0，这样前10项的和最大．由S19>0，S20<0，可知{a n}为递减的等差数列，设其公差为d，则d<0，由S19=19(a1+a19)2>0，S20=10(a1+a20)<0，得a1+a19=2a10>0，a1+a20=a10+a11<0，所以a10>0，a11<0，所以使S n取得最大值的n为10，所以答案是：10．小提示：一般地，如果{a n}为等差数列，S n为其前n项和，则有性质：（1）若m,n,p,q∈N∗,m+n=p+q，则a m+a n=a p+a q；（2）S n=n(a k+a n+1−k)2,k=1,2,⋯,n且S2n−1=(2n−1)a n；（3）S n=An2+Bn且{S nn}为等差数列；（4）S n,S2n−S n,S3n−S2n,⋯为等差数列.13、若直线y=2x+a是函数f(x)=x+lnx的图象在某点处的切线，则实数a=____________.答案：−1分析：利用f′(x)=2求得切点坐标，代入切线方程，从而求得a.令f′(x)=1+1x=2，解得x=1，所以切点为(1,1)，将(1,1)代入切线y=2x+a得1=2+a,a=−1.所以答案是：−114、若对任意的x1，x2∈(m,+∞)，且当x1<x2时，都有lnx1−lnx2x1−x2>2x1x2，则m的最小值是________.答案：2分析：将lnx1−lnx2x1−x2>2x1x2变形为x1lnx1+2x1<x2lnx2+2x2，令f(x)=xlnx+2x，利用f(x)在(m,+∞)上是递增函数求解.由题意得：0<x1<x2，所以x 1−x 2<0， 则lnx 1−lnx 2x 1−x 2>2x 1x 2等价于x 1x 2(lnx 1−lnx 2)>2(x 2−x 1)， 即x 1lnx 1+2x 1<x 2lnx 2+2x 2，令f (x )=xlnx+2x，则f (x 1)<f (x 2)，又x 2>x 1>m ，所以f (x )在(m,+∞)上是递增函数， 所以f ′(x )=x−2x 2>0成立，解得x >2所以m ≥2， 故m 的最小值是2， 所以答案是：2 解答题15、在①a 3=5，S 9=63；②3a 2=a 10，S 2=7；③a 1=3，S 8−S 6=19这三个条件中任选一个，补充在下列问题中的横线上，并解答（若选择两个或三个按照第一个计分）.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，___________，数列{b n }是公比为2的等比数列，且b 2=a 2.求数列{a n }，{b n }的通项公式. 答案：a n =n +2；b n =2n分析：设等差数列{a n }的公差为d ，根据等差数列的基本量方法，结合等差数列的性质可得{a n }，进而根据b 2=a 2求得{b n }的通项公式即可 设等差数列{a n }的公差为d .若选①：根据等差数列的性质，由S 9=63有9a 5=63，故a 5=7，所以{a 1+2d =5a 1+4d =7 ，解得{a 1=3d =1，故a n =3+(n −1)=n +2.故b 2=a 2=4，故b n =b 2⋅2n−2=2n若选②：由题意{3(a 1+d )=a 1+9d 2a 1+d =7 ，即{a 1=3d 2a 1+d =7 ，解得{a 1=3d =1，故a n =3+(n −1)=n +2.故b 2=a 2=4，故b n =b 2⋅2n−2=2n若选③：由S 8−S 6=19可得a 7+a 8=19，即{a 1+2d =52a 1+13d =19 ，解得{a 1=3d =1，故a n =3+(n −1)=n +2.故b 2=a 2=4，故b n =b 2⋅2n−2=2n。
高中数学选修2-2综合测试题(全册含答案)
高中数学选修2-2综合测试题(全册含答案)1.复数就像平面上的点，有实部和虚部。
2.复数就像向量，有大小和方向。
3.复数就像计算机中的复数类型，有实部和虚部。
4.复数就像两个数字的有序对，有序对的第一个数字是实部，第二个数字是虚部。
改写：关于复数的四种类比推理，可以用不同的比喻来描述复数的实部和虚部。
一种比喻是将复数看作平面上的点，实部和虚部分别对应点的横坐标和纵坐标；另一种比喻是将复数看作向量，实部和虚部分别对应向量的大小和方向；还可以将复数看作计算机中的复数类型，实部和虚部分别对应类型中的两个数；最后一种比喻是将复数看作有序对，实部和虚部分别对应有序对的第一个数字和第二个数字。
①复数的加减法运算可以类比多项式的加减法运算法则。
②由向量a的性质|a|²＝a²，可以类比得到复数z的性质：|z|²＝z²。
③方程ax²＋bx＋c＝0 (a，b，c∈R，且a≠0)有两个不同的实数根的条件是b²－4ac>0，类比可得方程ax²＋bx＋c＝0 (a，b，c∈C且a≠0)有两个不同的复数根的条件是b²－4ac>0.④由向量加法的几何意义，可以类比得到复数加法的几何意义。
其中类比得到的结论正确的是：A。
①③B。
②④C。
②③D。
①④2.删除明显有问题的段落。
3.填空题：11.若复数z满足z＋i＝0，则|z|＝1.12.直线y＝kx＋1与曲线y＝x³＋ax＋b相切于点A(1,3)，则2a＋b的值为4.13.第n个正方形数是n²。
14.＋＋＝AA′BB′CC′；＋＋＋＝AA′BB′CC′DD′。
4.解答题：15.1) F(x)的单调区间为(-∞。
0)和(2.+∞)。
2) F(x)在[1,5]上的最小值为-5，最大值为9.16.因为AD⊥BC，所以AB²=AD²+DB²。
又因为AB⊥AC，所以AC²=AD²+DC²。
高中数学选修1-1综合测试题及答案
高中数学选修1-1综合测试题及答案选修1-1模拟测试题一、选择题1.若p、q是两个简单命题，“p或q”的否定是真命题，则必有（）A。
p真q真B。
p假q假C。
p真q假D。
p假q真2.“cos2α=－35π/21”是“α=kπ+π/2,k∈Z”的（）A。
必要不充分条件B。
充分不必要条件C。
充分必要条件D。
既不充分又不必要条件3.设f(x)=sinx+cosx，那么(。
)A。
f'(x)=cosx-sinxB。
f'(x)=cosx+sinxC。
f'(x)=-cosx+sinxD。
f'(x)=-cosx-sinx4.曲线f(x)=x^3+x－2在点P处的切线平行于直线y=4x－1，则点P的坐标为（）A。
(1,0)B。
(2,8)C。
(1,0)和(-1,-4)D。
(2,8)和(-1,-4)5.平面内有一长度为2的线段AB和一动点P，若满足|PA|+|PB|=6，则|PA|的取值范围是A。
[1,4]B。
[1,6]C。
[2,6]D。
[2,4]6.已知2x+y=0是双曲线x^2－λy^2=1的一条渐近线，则双曲线的离心率为（）A。
2B。
3C。
5D。
无法确定7.抛物线y^2=2px的准线与对称轴相交于点S，PQ为过抛物线的焦点F且垂直于对称轴的弦，则∠PSQ的大小是（）A。
π/3B。
2π/3C。
3π/2D。
与p的大小有关8.已知命题p：“|x－2|≥2”，命题“q:x∈Z”，如果“p且q”与“非q”同时为假命题，则满足条件的x为（）A。
{x|x≥3或x≤－1,x∈Z}B。
{x|－1≤x≤3,x∈Z}C。
{-1,0,1,2,3}D。
{1,2,3}9.函数f(x)=x^3+ax－2在区间(1,+∞)内是增函数，则实数a的取值范围是（）A。
[3,+∞]B。
[-3,+∞]C。
(-3,+∞)D。
(-∞,-3)10.若△ABC中A为动点，B、C为定点，B(-a1,0)，C(a2,0)，且满足条件sinC－sinB=sinA，则动点A的轨迹方程是（）A。
高中数学(人教A版)选修1-1全册综合测试题(含详解)
综合测试(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列说法正确的是( )A ．命题“直角相等”的条件和结论分别是“直角”和“相等”B ．语句“当a >1时，方程x 2－4x ＋a ＝0有实根”不是命题C ．命题“矩形的对角线互相垂直且平分”是真命题D ．命题“当a >4时，方程x 2－4x ＋a ＝0有实根”是假命题 答案 D2．如果命题“綈p 且綈q ”是真命题，那么下列结论中正确的是( ) A ．“p 或q ”是真命题 B ．“p 且q ”是真命题 C ．“綈p ”为真命题 D ．以上都有可能解析 若“綈p 且綈q ”是真命题，则綈p ，綈q 均为真命题，即命题p 、命题q 都是假命题，故选C.答案 C3．若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，则双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线方程为( )A ．y ＝±12xB ．y ＝±2xC ．y ＝±4xD ．y ＝±14x解析 由椭圆的离心率e ＝c a ＝32，可知c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝34，∴b a ＝12，故双曲线的渐近线方程为y ＝±12x ，选A.答案 A4．若θ是任意实数，则方程x 2＋y 2sin θ＝4表示的曲线不可能是( ) A ．椭圆 B ．双曲线 C ．抛物线D ．圆解析 当sin θ＝1时，曲线表示圆． 当sin θ<0时，曲线表示的双曲线． 当sin θ>0时，曲线表示椭圆． 答案 C5．曲线y ＝x 3＋1在点(－1,0)处的切线方程为( ) A ．3x ＋y ＋3＝0 B ．3x －y ＋3＝0 C ．3x －y ＝0D ．3x －y －3＝0解析 y ′＝3x 2，∴y ′| x ＝－1＝3，故切线方程为y ＝3(x ＋1)，即3x －y ＋3＝0. 答案 B6．下列命题中，正确的是( )A ．θ＝π4是f (x )＝sin(x －2θ)的图像关于y 轴对称的充分不必要条件 B ．|a |－|b |＝|a －b |的充要条件是a 与b 的方向相同 C ．b ＝ac 是a ，b ，c 三数成等比数列的充分不必要条件D ．m ＝3是直线(m ＋3)x ＋my －2＝0与mx －6y ＋5＝0互相垂直的充要条件答案 A7．函数f (x )＝x 2＋a ln x 在x ＝1处取得极值，则a 等于( ) A ．2 B ．－2 C ．4D ．－4解析 f (x )的定义域为(0，＋∞)， 又f ′(x )＝2x ＋a x ，∴由题可知，f ′(1)＝2＋a ＝0，∴a ＝－2. 当a ＝－2时，f ′(x )＝2x －2x ＝2(x －1)(x ＋1)x ， 当0<x <1时，f ′(x )<0. 当x >1时，f ′(x )>0， ∴f (x )在x ＝1处取得极值． 故选B. 答案 B8．设P 是椭圆x 29＋y 24＝1上一点，F 1，F 2是椭圆的两个焦点，则cos ∠F 1PF 2的最小值是( )A ．－19B ．－1 C.19D.12解析 由椭圆方程a ＝3，b ＝2，c ＝5，∴cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 1|22|PF 1|·|PF 2|＝(|PF 1|＋|PF 2|)2－|F 1F 2|2－2|PF 1||PF 2|2|PF 1|·|PF 2|＝(2a )2－(2c )2－2|PF 1||PF 2|2|PF 1|·|PF 2|＝162|PF 1|·|PF 2|－1.∵|PF 1|·|PF 2|≤(|PF 1|＋|PF 2|2)2＝9， ∴cos ∠F 1PF 2≥162×9－1＝－19，故选A.答案 A9．给出下列三个命题： ①若a ≥b >－1，则a 1＋a ≥b1＋b；②若正整数m 和n 满足m ≤n ，则m (n －m )≤n2；③设P (x 1，y 1)为圆O 1：x 2＋y 2＝9上任一点，圆O 2以Q (a ，b )为圆心且半径为1.当(a －x 1)2＋(b －y 1)2＝2时，圆O 1与圆O 2相切．其中假命题的个数为( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个D ．3个解析 考查不等式的性质及其证明，两圆的位置关系．显然命题①正确，命题②用“分析法”便可证明其正确性．命题③：若两圆相切，则两圆心间的距离等于4或2，二者均不符合，故为假命题．故选B.答案 B10．如图所示是y ＝f (x )的导数图像，则正确的判断是( ) ①f (x )在(－3,1)上是增函数； ②x ＝－1是f (x )的极小值点；③f (x )在(2,4)上是减函数，在(－1,2)上是增函数； ④x ＝2是f (x )的极小值点． A ．①②③ B ．②③ C ．③④D ．①③④解析 从图像可知，当x ∈(－3，－1)，(2,4)时，f (x )为减函数，当x ∈(－1,2)，(4，＋∞)时，f (x )为增函数，∴x ＝－1是f (x )的极小值点， x ＝2是f (x )的极大值点，故选B. 答案 B11．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是直线l ：x ＝a 2c (c 2＝a 2＋b 2)上一点，且PF 1⊥PF 2，|PF 1|·|PF 2|＝4ab ，则双曲线的离心率是( )A. 2B. 3C. 2D. 3解析 设直线l 与x 轴交于点A ，在Rt △PF 1F 2中，有|PF 1|·|PF 2|＝|F 1F 2|·|P A |，则|P A |＝2ab c ，又|P A |2＝|F 1A |·|F 2A |，则4a 2b 2c 2＝(c －a 2c )·(c ＋a 2c )＝c 4－a 4c 2，即4a 2b 2＝b 2(c 2＋a 2)，即3a 2＝c 2，从而e ＝ca ＝ 3.选B.答案 B12．设p ：f (x )＝x 3＋2x 2＋mx ＋1在(－∞，＋∞)内单调递增，q ：m ≥8x x 2＋4对任意x >0恒成立，则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析 f (x )在(－∞，＋∞)内单调递增，则f ′(x )≥0在(－∞，＋∞)上恒成立，即3x 2＋4x ＋m ≥0对任意x ∈R 恒成立，故Δ≤0，即m ≥43；m ≥8xx 2＋4对任意x >0恒成立，即m ≥(8x x 2＋4)max ，因为8x x 2＋4＝8x ＋4x ≤2，当且仅当x ＝2时，“＝”成立，故m ≥2.易知p 是q 的必要不充分条件．答案 B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)13．以x 24－y 212＝－1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为________．解析 ∵双曲线y 212－x 24＝1的焦点坐标为(0，±4)，顶点坐标为(0，±23)， ∴椭圆的顶点坐标为(0，±4)，焦点坐标为(0，±23)，在椭圆中a ＝4，c ＝23，b 2＝4.∴椭圆的方程为x 24＋y 216＝1. 答案 x 24＋y 216＝114．给出下列三个命题：①函数y ＝tan x 在第一象限是增函数；②奇函数的图像一定过原点；③函数y ＝sin2x ＋cos2x 的最小正周期为π，其中假．命题的序号是________．解析 ①不正确，如x ＝π4时tan x ＝1，当x ＝9π4时tan x ＝1，而9π4>π4，所以tan x 不是增函数；②不正确，如函数y ＝1x 是奇函数，但图像不过原点；③正确．答案 ①②15．若要做一个容积为324的方底(底为正方形)无盖的水箱，则它的高为________时，材料最省．解析 把材料最省问题转化为水箱各面的面积之和最小问题，然后列出所用材料和面积关于边长a 的函数关系式．设水箱的高度为h ，底面边长为a ，那么V ＝a 2h ＝324，则h ＝324a 2，水箱所用材料的面积是S ＝a 2＋4ah ＝a 2＋1296a ，令S ′＝2a －1296a 2＝0，得a 3＝648，a ＝633， ∴h ＝324a 2＝324(633)2＝333，经检验当水箱的高为333时，材料最省． 答案 33316．设m ∈R ，若函数y ＝e x ＋2mx (x ∈R)有大于零的极值点，则m 的取值范围是________．解析 因为函数y ＝e x ＋2mx (x ∈R)有大于零的极值点，所以y ′＝e x ＋2m ＝0有大于0的实根．令y 1＝e x ，y 2＝－2m ，则两曲线的交点必在第一象限．由图像可得－2m >1，即m <－12.答案 m <－12三、解答题(本大题共6个小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 过点(1,1)，且在点(2，－1)处与直线y ＝x －3相切，求a ，b ，c 的值．解 本题涉及了3个未知量，由题意可列出三个方程即可求解． ∵y ＝ax 2＋bx ＋c 过点(1,1)， ∴a ＋b ＋c ＝1.①又∵在点(2，－1)处与直线y ＝x －3相切， ∴4a ＋2b ＋c ＝－1.②∴y ′＝2ax ＋b ，且k ＝1. ∴k ＝y ′| x ＝2＝4a ＋b ＝1， ③联立方程①②③得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝－11，c ＝9.18．(12分)已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为63，直线l ：y ＝－x ＋22与以原点为圆心、以椭圆C 1的短半轴长为半径的圆相切．求椭圆C 1的方程．解 ∵e ＝63，∴e 2＝c2a 2＝a 2－b 2a 2＝23，∴a 2＝3b 2.∵直线l ：y ＝－x ＋22与圆x 2＋y 2＝b 2相切， ∴222＝b ，∴b ＝2.∴b 2＝4，a 2＝12.∴椭圆C 1的方程是x 212＋y 24＝1.19．(12分)已知函数f (x )＝ln x ，g (x )＝ax (a >0)，设F (x )＝f (x )＋g (x )． (1)求函数F (x )的单调区间；(2)若以函数y ＝F (x )(x ∈(0,3])图像上任意一点P (x 0，y 0)为切点的切线的斜率k ≤12恒成立，求实数a 的最小值．解 (1)F (x )＝f (x )＋g (x )＝ln x ＋a x (x >0)，则F ′(x )＝1x －a x 2＝x －ax 2(x >0)， ∵a >0，由F ′(x )>0，得x ∈(a ，＋∞)，∴F (x )在(a ，＋∞)上单调递增； 由F ′(x )<0，得x ∈(0，a )， ∴F (x )在(0，a )上单调递减．∴F (x )的单调递减区间为(0，a )，单调递增区间为(a ，＋∞)．(2)由(1)知F ′(x )＝x －a x 2(0<x ≤3)，则k ＝F ′(x 0)＝x 0－a x 20≤12(0<x 0≤3)恒成立，即a ≥(－12x 20＋x 0)max ，当x 0＝1时，－12x 20＋x 0取得最大值12， ∴a ≥12，∴a min ＝12.20．(12分)已知定点F (0,1)和直线l 1：y ＝－1，过定点F 与直线l 1相切的动圆圆心为点C .(1)求动点C 的轨迹方程；(2)过点F 的直线l 2交轨迹于两点P ，Q ，交直线l 1于点R ，求RP →·RQ →的最小值．解 (1)由题设知点C 到点F 的距离等于它到l 1的距离， ∴点C 的轨迹是以F 为焦点，l 1为准线的抛物线． ∴所求轨迹的方程为x 2＝4y .(2)由题意知，直线l 2的方程可设为y ＝kx ＋1(k ≠0)，与抛物线方程联立消去y 得x 2－4kx －4＝0.设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4.又易得点R 的坐标为(－2k ，－1)．∴RP →·RQ →＝(x 1＋2k ，y 1＋1)·(x 2＋2k ，y 2＋1)＝(x 1＋2k )(x 2＋2k )＋(kx 1＋2)(kx 2＋2)＝(1＋k 2)x 1x 2＋(2k ＋2k )(x 1＋x 2)＋4k 2＋4 ＝－4(1＋k 2)＋4k (2k ＋2k )＋4k 2＋4 ＝4(k 2＋1k 2)＋8. ∵k 2＋1k 2≥2，当且仅当k 2＝1时取等号，∴RP →·RQ →≥4×2＋8＝16，即RP →·RQ →的最小值为16.21．(12分)已知函数f (x )＝x 2－8ln x ，g (x )＝－x 2＋14x .(1)求函数f (x )在点(1，f (1))处的切线方程；(2)若函数f (x )与g (x )在区间(a ，a ＋1)上均为增函数，求a 的取值范围；(3)若方程f (x )＝g (x )＋m 有唯一解，试求实数m 的值．解 (1)因为f ′(x )＝2x －8x ，所以切线的斜率k ＝f ′(1)＝－6，又f (1)＝1，故所求的切线方程为y －1＝－6(x －1)，即y ＝－6x ＋7.(2)因为f ′(x )＝2(x ＋2)(x －2)x， 又x >0，所以当x >2时，f ′(x )>0；当0<x <2时，f ′(x )<0.即f (x )在(2，＋∞)上单调递增，在(0,2)上单调递减．又g (x )＝－(x －7)2＋49，所以g (x )在(－∞，7)上单调递增，在(7，＋∞)上单调递减，欲使函数f (x )与g (x )在区间(a ，a ＋1)上均为增函数，则⎩⎨⎧ a ≥2，a ＋1≤7，解得2≤a ≤6.故a 的取值范围是[2,6](3)原方程等价于2x 2－8ln x －14x ＝m ，令h (x )＝2x 2－8ln x －14x ，则原方程即为h (x )＝m .因为当x >0时原方程有唯一解，所以函数y ＝h (x )与y ＝m 的图像在y 轴右侧有唯一的交点．又h ′(x )＝4x －8x －14＝2(x －4)(2x ＋1)x，且x >0， 所以当x >4时，h ′(x )>0；当0<x <4时，h ′(x )<0.即h (x )在(4，＋∞)上单调递增，在(0,4)上单调递减，故h (x )在x ＝4处取得最小值，从而当x >0时原方程有唯一解的充要条件是m ＝h (4)＝－16ln2－24.22．(12分)已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率为32，且经过点M (4,1)，直线l ：y ＝x ＋m 交椭圆于A ，B 两点．(1)求椭圆的方程；(2)若直线l 不过点M ，试问直线MA ，MB 与x 轴能否围成等腰三角形？解 (1)根据题意，设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，因为e ＝32，a 2－b 2＝c 2，所以a 2＝4b 2.又椭圆过点M (4,1)，所以16a 2＋1b 2＝1，则可得b 2＝5，a 2＝20，故椭圆的方程为x 220＋y 25＝1.(2)将y ＝x ＋m 代入x 220＋y 25＝1并整理得5x 2＋8mx ＋4m 2－20＝0，Δ＝(8m )2－20(4m 2－20)>0，得－5<m <5. 设直线MA ，MB 的斜率分别为k 1和k 2， A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8m 5，x 1x 2＝4m 2－205. k 1＋k 2＝y 1－1x 1－4＋y 2－1x 2－4＝(y 1－1)(x 2－4)＋(y 2－1)(x 1－4)(x 1－4)(x 2－4). 上式分子＝(x 1＋m －1)(x 2－4)＋(x 2＋m －1)·(x 1－4) ＝2x 1x 2＋(m －5)(x 1＋x 2)－8(m －1)＝2(4m 2－20)5－8m (m －5)5－8(m －1)＝0， 即k 1＋k 2＝0.所以直线MA，MB与x轴能围成等腰三角形．。
高中数学选修二综合测试题基本知识过关训练(带答案)
高中数学选修二综合测试题基本知识过关训练单选题1、已知等差数列{an}的前n项和Sn，公差d≠0，a1d ≤1．记b1=S2，bn+1=S2n+2–S2n，n∈N∗，下列等式不可能．．．成立的是（）A．2a4=a2+a6B．2b4=b2+b6C．a42=a2a8D．b42=b2b8答案：D分析：根据题意可得，b n+1=S2n+2−S2n=a2n+1+a2n+2，而b1=S2=a1+a2，即可表示出题中b2,b4,b6,b8，再结合等差数列的性质即可判断各等式是否成立．对于A，因为数列{a n}为等差数列，所以根据等差数列的下标和性质，由4+4=2+6可得，2a4=a2+a6，A正确；对于B，由题意可知，b n+1=S2n+2−S2n=a2n+1+a2n+2，b1=S2=a1+a2，∴b2=a3+a4，b4=a7+a8，b6=a11+a12，b8=a15+a16．∴2b4=2(a7+a8)，b2+b6=a3+a4+a11+a12．根据等差数列的下标和性质，由3+11=7+7,4+12=8+8可得b2+b6=a3+a4+a11+a12=2(a7+a8)=2b4，B正确；对于C，a42−a2a8=(a1+3d)2−(a1+d)(a1+7d)=2d2−2a1d=2d(d−a1)，当a1=d时，a42=a2a8，C正确；对于D，b42=(a7+a8)2=(2a1+13d)2=4a12+52a1d+169d2，b2b8=(a3+a4)(a15+a16)=(2a1+5d)(2a1+29d)=4a12+68a1d+145d2，b42−b2b8=24d2−16a1d=8d(3d−2a1)．当d>0时，a1≤d，∴3d−2a1=d+2(d−a1)>0即b42−b2b8>0；当d<0时，a1≥d，∴3d−2a1=d+2(d−a1)<0即b42−b2b8>0，所以b42−b2b8>0，D不正确．故选：D.小提示：本题主要考查等差数列的性质应用，属于基础题．2、设{a n}是等比数列，且a1+a2+a3=1，a2+a3+a4=2，则a6+a7+a8=（）A ．12B ．24C ．30D ．32 答案：D分析：根据已知条件求得q 的值，再由a 6+a 7+a 8=q 5(a 1+a 2+a 3)可求得结果. 设等比数列{a n }的公比为q ，则a 1+a 2+a 3=a 1(1+q +q 2)=1， a 2+a 3+a 4=a 1q +a 1q 2+a 1q 3=a 1q(1+q +q 2)=q =2，因此，a 6+a 7+a 8=a 1q 5+a 1q 6+a 1q 7=a 1q 5(1+q +q 2)=q 5=32. 故选：D.小提示：本题主要考查等比数列基本量的计算，属于基础题． 3、已知f(x)=x 2−xf ′(1)，则f ′(6)等于（ ） A ．11B ．10C ．8D ．1 答案：A分析：求导得f ′(x )=2x −f ′(1)，则f ′(1)=2−f ′(1)，解得f ′(1)的值，代入即可求得结果. f(x)=x 2−xf ′(1)，求导得f ′(x )=2x −f ′(1)， 则f ′(1)=2−f ′(1)，解得f ′(1)=1， 故f(x)=x 2−x ， f ′(6)=2×6−1=11， 故选：A.4、已知函数f (x )=13x 3+a2x 2+x +1在(−∞,0)，(3,+∞)上单调递增，在(1,2)上单调递减，则实数a 的取值范围为（ ） A ．[−103,−52]B ．(−∞,−2] C ．(−103,−2]D ．(−103,−52)答案：A分析：由题意可得f ′(x)=0两个根分别位于[0,1]和[2,3]上，所以{ f ′(0)≥0f ′(1)≤0f ′(2)≤0f ′(3)≥0 ，从而解不等式组可求出实数a的取值范围.由f (x )=13x 3+a2x 2+x +1，得f ′(x )=x 2+ax +1．因为f (x )在(−∞,0)，(3,+∞)上单调递增，在(1,2)上单调递减， 所以方程f ′(x )=0的两个根分别位于区间[0,1]和[2,3]上， 所以{ f ′(0)≥0f ′(1)≤0f ′(2)≤0f ′(3)≥0 ，即{1≥0,1+a +1≤0,4+2a +1≤0,9+3a +1≥0,解得−103≤a ≤−52.故选：A ．5、标准对数视力表（如图）采用的“五分记录法”是我国独创的视力记录方式.标准对数视力表各行为正方形“E ”字视标，且从视力5.1的视标所在行开始往上，每一行“E ”的边长都是下方一行“E ”的边长的√1010倍，若视力4.0的视标边长为a ，则视力4.9的视标边长为（ ）A ．1045a B ．10910a C ．10−45a D ．10−910a答案：D分析：由等比数列的通项公式计算．设第n 行视标边长为a n ，第n −1行视标边长为a n−1(n ≥2)， 由题意可得a n−1=√1010a n (n ≥2)，则a na n−1=10−110(n ≥2)，则数列{a n }为首项为a ，公比为10−110的等比数列，所以a 10=a (10−110)10−1=10−910a ，则视力4.9的视标边长为10−910a ，故选： D.6、已知等比数列{a n }的各项均为正数，且a 1+a 3=20,a 3+a 5=5，则使得a 1a 2⋯a n <1成立的正整数n 的最小值为（ ） A ．8B ．9C ．10D ．11 答案：C分析：应用等比数列通项公式求基本量可得a n =25−n ，再由a 1a 2⋯a n =2n(9−n)2<1求正整数n 的范围，即可得答案.若等比数列的公比为q >0，且a n >0，由题设{a 1(1+q 2)=20a 3(1+q 2)=5，两式相除得q 2=14，则q =12， 所以a 1=16，故a n =25−n ，显然n ≤5时a 1a 2⋯a n <1不成立， 所以n >5且n ∈N ∗，a 1a 2⋯a n =24+3+2+1+0−1−...−(5−n)=2n(9−n)2<1，即n(9−n)2<0，则n >9，故正整数n 的最小值为10. 故选：C7、某市抗洪指挥部接到最新雨情通报，未来24ℎ城区拦洪坝外洪水将超过警戒水位，因此需要紧急抽调工程机械加高加固拦洪坝．经测算，加高加固拦洪坝工程需要调用20台某型号翻斗车，每辆翻斗车需要平均工作24ℎ．而抗洪指挥部目前只有一辆翻斗车可立即投入施工，其余翻斗车需要从其他施工现场抽调．若抽调的翻斗车每隔20min 才有一辆到达施工现场投入工作，要在24ℎ内完成拦洪坝加高加固工程，指挥部至少还需要．．．抽调这种型号翻斗车（ ）A ．25辆B ．24辆C ．23辆D ．22辆 答案：C分析：由题意可知每辆车的工作时间成等差数列，利用等差数列前n 项和公式可确定n 辆车的工作总时长S n ，当n =23时，S n <480，当n =24时，S n >480，可知共需要24辆车，由此确定结果. 总工作量为：20×24=480ℎ，由题意可知：每调来一辆车，工作时间依次递减13ℎ，则每辆车的工作时间成等差数列， 设第n 辆车的工作时间为a n ，则a 1=24，等差数列的公差d =−13，∴n辆车的工作总时长S n=na1+n(n−1)2d=24n−n(n−1)6，∵S23=24×23−23×226≈468<480，S24=24×24−24×236=484>480，∴共需24辆车完成工程，∴至少还需要抽调24−1=23辆车.故选：C.8、已知等差数列{a n}的公差d为正数，等比数列{b n}的公比为q，若a1=b1=1,a2=b2,a14=b4，则d+q=（）A．4B．5C．6D．7答案：B分析：分析得到q>1，再解方程组{1+d=q1+13d=q3即得解.由a2=b2,a14=b4，得{1+d=q1+13d=q3，因为d>0,∴q>1，所以q3−1q−1=13,∴q2+q−12=0，解得q=3,d=2,d+q=5.故选：B.多选题9、（多选题）下列求导运算错误．．的是（）A．(cosx)′=sinx B．(3x)′=3x log3eC．(lgx)′=1xln10D．(x−2)′=−2x−1答案：ABD分析：运用基本初等函数的导数公式进行判断即可.因为(cosx)′=−sinx，所以A不正确；因为(3x)′=3x⋅ln3=3x⋅1log3e，所以B不正确；因为(lgx)′=1x⋅ln10，所以C正确；因为(x−2)′=−2x−2−1=−2x−3，所以D不正确．故选：ABD10、等差数列{a n}的前n项和为S n，若a1>0，公差d≠0，则下列说法正确的是（）．A．若S5>S9，则S14>0B．若S5=S9，则S7是{S n}中最大的项C．若S6>S7，则S7>S8D．若S6>S7，则S5>S6答案：BC分析：对于A，由已知和等差中项的性质求得a1+a14<0，再由等差数列求和公式可判断；对于B，由已知得d=−213a1，继而得a7>0，a8<0，由此可判断；对于C，由已知得a7<0，从而有d<0，故而可判断；对于D，由已知得a7<0，但不能确定a6是否为负，故而可判断．解：对于A，因为S5>S9，所以a6+a7+a8+a9<0，即2(a1+a14)<0，所以a1+a14<0，又S14=14(a1+a14)2，所以S14<0，故A错误；对于B，由S5=S9，得5a1+10d=9a1+36d，得d=−213a1，因为a1>0，a7=a1+6d=a113>0，a8=a1+7d=−a113<0，所以S7是{S n}中最大的项，故B正确；对于C，因为S6>S7，所以S7−S6=a7<0，又a1>0，所以d<0，所以a8<a7<0，所以S7>S8，故C正确；对于D，因为S6>S7，所以S7−S6=a7<0，但不能确定a6是否为负，因此不一定有S5>S6，故D错误．故选：BC．小提示：方法点睛：等差数列的前n项和S n有如下性质：（1）(n,S n)在二次函数的图象上，可以利用二次函数性质求得S n的最值；（2）S n=S n−1+a n(n≥2)，可由a n的正负确定S n与S n−1的大小；（3）S n=n(a1+a n)2，因此可由a1+a n的正负确定S n的正负．11、以下四个式子分别是函数在其定义域内求导，其中正确的是（）A．（1x ）′=1x2B．（cos2x）'＝﹣2sin2xC ．(3x ln3)′=3x D ．（lgx ）′=−1xln10 答案：BC解析：对各个答案分别利用求公式和求导法则进行求导，选出正确答案即可. (1x )'=−1x 2，（cos 2x ）′＝﹣2sin 2x ，(3xln3)'=3x ，(lgx )'=1xln10. 故选：BC .小提示：本题考查了求导的计算，考查了计算能力，属于简单题. 填空题12、函数f (x )=xln (−x )，则曲线y =f (x )在x =−e 处的切线方程为______. 答案：2x −y +e =0分析：先求导，代入x =−e 可得k =f ′(−e)，利用直线方程的点斜式即得解 由题意，f ′(x )=ln (−x )+x −1−x =ln(−x)+1 故k =f ′(−e)=lne +1=2,f(−e)=−e ，则曲线y =f (x )在x =−e 处的切线方程为：y +e =2(x +e)⇔2x −y +e =0 所以答案是：2x −y +e =013、若数列{a n }的首项a 1=1，且a n =2n−1⋅a n−1(n ≥2)，则数列{a n }的通项公式为_______. 答案：a n =2n(n−1)2分析：依题意可得a nan−1=2n−1，利用累乘法计算可得；解： ∵数列{a n }中，a 1=1，a n =2n−1⋅a n−1(n ≥2)， ∴ a nan−1=2n−1，∴ a n =a 1×a 2a 1×a 3a 2×…×a n a n−1=1×2×22×…×2n−1=21+2+⋯+(n−1)=2n(n−1)2．所以答案是：a n =2n(n−1)2．14、已知数列{a n}满足a1=2，a n+a n+1=(−1)n，则数列{a n}的通项公式为______．答案：a n=(−1)n+1(n+1).分析：先由a n+1+a n=(−1)n，得a n+1+a n+2=(−1)n+1，进一步得到a n+2−a n=−2⋅(−1)n，再分奇偶项来求通项公式即可．因为a n+a n+1=(−1)n，所以a n+1+a n+2=(−1)n+1，得a n+2−a n=−2⋅(−1)n．所以当n为奇数时，a n+2−a n=2，当n为偶数时，a n+2−a n=−2．又a1=2，a n+a n+1=(−1)n，所以a2=−3，所以a1，a3，a5，…，a2k−1，…构成以2为首项，2为公差的等差数列，a2，a4，a6，…，a2k，…构成以−3为首项，−2为公差的等差数列．所以当n是奇数时，a n=2+2(n+12−1)=n+1；当n是偶数时，a n=−3−2(n2−1)=−(n+1)．故数列{a n}的通项公式为a n=(−1)n+1(n+1)．所以答案是：a n=(−1)n+1(n+1).解答题15、已知f(x)=sinx−cosx+ax，其中a∈R．（1）若f(x)在x=0处取得极值，求实数a的值；（2）若f(x)在[−π2,π2]上单调递增，求实数a的取值范围．答案：（1）a=−1；（2）[1,+∞)．分析：(1) f′(x)=cosx+sinx+a,由f′(0)=0,求出a的值,再验证结论即可;(2) 由题意可得a≥−(cosx+sinx)在[−π2,π2]上恒成立，利用三角函数的性质求出−(cosx+sinx)在[−π2,π2]上的最值即可.（1）f′(x)=cosx+sinx+a，由f′(0)=0，可得1+a=0，所以a=−1，经检验，满足题意．（2）因为f(x)在[−π2,π2]上单调递增，所以f′(x)≥0在[−π2,π2]上恒成立，即a≥−(cosx+sinx)在[−π2,π2]上恒成立．令y=−(sinx+cosx)，x∈[−π2,π2 ]，则y=−√2sin(x+π4)，x∈[−π2,π2]因为x∈[−π2,π2]，所以x+π4∈[−π4,3π4]，所以y max=1，所以a≥1．所以实数a的取值范围为[1,+∞)．。
(完整版)高中数学选修(2-3)综合测试题(3)附答案
高中数学选修（2-3）综合测试题（3）一、选择题1．假定有一排蜂房，形状如图所示，一只蜜蜂在左下角的蜂房中，由于受了点伤，只能爬，不能飞，而且只能永远向右方（包括右上，右下）爬行，从一间蜂房爬到与之相邻的右方蜂房中去，若从最初位置爬到4号蜂房中，则不同的爬法有（ ） Ａ．4种 Ｂ．6种 Ｃ．8种 Ｄ．10种2．乒乓球运动员10人，其中男女运动员各5人，从这10名运动员中选出4人进行男女混合双打比赛，选法种数为（ ）Ａ．225()A Ｂ．225()C Ｃ．22254()C A · Ｄ．22252()C A · 3．已知集合{}123456M =，，，，，，{}6789N =，，，，从M 中选3个元素，N 中选2个元素，组成一个含有5个元素的集合T ，则这样的集合T 共有（ ）Ａ．126个 Ｂ．120个 Ｃ．90个 Ｄ．26个 4．342(1)(1)(1)n x x x +++++++L 的展开式中2x 的系数是（ ）Ａ．33n C +Ｂ．32n C +Ｃ．321n C +- Ｄ．331n C +-5．200620052008+被2006除，所得余数是（ ）Ａ．2009 Ｂ．3 Ｃ．2 Ｄ．16．市场上供应的灯泡中，甲厂产品占70%，乙厂产品占30%，甲厂产品的合格率是95%，乙厂产品的合格率是80%，则从市场上买到一个是甲厂生产的合格灯泡的概率是（ ） Ａ．0.665 B ．0.56 Ｃ．0.24 Ｄ．0.285 7．抛掷甲、乙两颗骰子，若事件A ：“甲骰子的点数大于4”；事件B ：“甲、乙两骰子的点数之和等于7”，则(|)P B A 的值等于（ ）Ａ．13 Ｂ．118 Ｃ．16 Ｄ．198．在一次智力竞赛的“风险选答”环节中，一共为选手准备了A ，B ，C 三类不同的题目，选手每答对一个A 类、B 类、C 类的题目，将分别得到300分、200分、100分，但如果答错，则要扣去300分、200分、100分，而选手答对一个A 类、B 类、C 类题目的概率分别为0.6，0.7，0.8，则就每一次答题而言，选手选择（ ）题目得分的期望值更大一些（ ） Ａ．A 类 Ｂ．B 类 Ｃ．C 类 Ｄ．都一样 9．已知ξ的分布列如下：ξ 1 2 3 4P1413 16 14并且23ηξ=+，则方差D η=（ ）Ａ．17936 Ｂ．14336 Ｃ．29972 Ｄ．2277210．若2~(16)N ξ-，且(31)P ξ--≤≤0.4=，则(1)P ξ≥等于（ ） Ａ．0.1 Ｂ．0.2 Ｃ．0.3 Ｄ．0.4 11．已知x ，y 之间的一组数据：x 0 1 2 3 y1 3 5 7则y 与x 的回归方程必经过（ ） Ａ．（2，2） Ｂ．（1，3） Ｃ．（1.5，4） Ｄ．(2，5) 12．对于2()P K k ≥，当 2.706k >时，就约有的把握认为“x 与y 有关系”（ ） Ａ．99% Ｂ．99.5% Ｃ．95% Ｄ．90% 二、填空题13．912x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，常数项为 （用数字作答）． 14．某国际科研合作项目成员由11个美国人，4个法国人和5个中国人组成．现从中随机选出两位作为成果发布人，则此两人不属于同一个国家的概率为 （结果用分数表示）．15．两名狙击手在一次射击比赛中，狙击手甲得1分、2分、3分的概率分别为0.4，0.1，0.5；狙击手乙得1分、2分、3分的概率分别为0.1，0.6，0.3，那么两名狙击手获胜希望大的是 ．16．空间有6个点，其中任何三点不共线，任何四点不共面，以其中的四点为顶点共可作出个四面体，经过其中每两点的直线中，有 对异面直线． 三、解答题17．某人手中有5张扑克牌，其中2张为不同花色的2，3张为不同花色的A ，他有5次出牌机会，每次只能出一种点数的牌，但张数不限，则有多少种不同的出牌方法？18．已知数列{}n a 的通项n a 是二项式(1)n x +与2(1)n x +的展开式中所有x 的次数相同的各项的系数之和，求数列的通项及前n 项和n S ．19．某休闲场馆举行圣诞酬宾活动，每位会员交会员费50元，可享受20元的消费，并参加一次抽奖活动，从一个装有标号分别为1，2，3，4，5，6的6只均匀小球的抽奖箱中，有放回的抽两次球，抽得的两球标号之和为12，则获一等奖价值a 元的礼品，标号之和为11或10，获二等奖价值100元的礼品，标号之和小于10不得奖． (1)求各会员获奖的概率；(2)设场馆收益为ξ元，求ξ的分布列；假如场馆打算不赔钱，a 最多可设为多少元？ 20．在研究某种新药对猪白痢的防治效果时到如下数据：存活数 死亡数 合计 未用新药 101 38 139 用新药 129 20 149 合计23058288试分析新药对防治猪白痢是否有效？21．甲有一个箱子，里面放有x 个红球，y 个白球（x ，y ≥0，且x +y =4）；乙有一个箱子，里面放有2个红球，1个白球，1个黄球．现在甲从箱子里任取2个球，乙从箱子里任取1个球．若取出的3个球颜色全不相同，则甲获胜．(1)试问甲如何安排箱子里两种颜色球的个数，才能使自己获胜的概率最大？ (2)在（1）的条件下，求取出的3个球中红球个数的期望．高中数学选修（2-3）综合测试题（3）CDCDB ACBAA CD 13．672 14.11919015.乙 16. 15，45 17.解：由于张数不限，2张2，3张A 可以一起出，亦可分几次出，故考虑按此分类.出牌的方法可分为以下几类：（1）5张牌全部分开出，有55A 种方法；（2）2张2一起出，3张A 一起出，有25A 种方法； （3）2张2一起出，3张A 分开出，有45A 种方法；（4）2张2一起出，3张A 分两次出，有2335C A 种方法； （5）2张2分开出，3张A 一起出，有35A 种方法；（6）2张2分开出，3张A 分两次出，有2435C A 种方法； 因此共有不同的出牌方法5242332455535535860A A A C A A C A +++++=种． 18.解：按(1)nx +及2(1)n x +两个展开式的升幂表示形式，写出的各整数次幂，可知只有当2(1)nx +中出现x 的偶数次幂时，才能与(1)n x +的x 的次数相比较．由0122(1)n n nnn n n x C C x C x C x +=++++L ， 132120242213212222222222(1)()()n nn nn n n nnnnnx C C x C x C x C x C x Cx--+=++++++++L L可得0122422222()()()()nnn n n n n n n n n a C C C C C C C C =++++++++L01202422222()()n n n n n n n n n n C C C C C C C C =+++++++++L L 2122n n -=+， 2122nn n a -=+∵，∴222462112(222)(22222(21)(41)223nn nn n S =++++++++=-+⨯-L L122112122(21)(2328)33n n n n +++=-+-=+-·， 2111(2328)3n n n S ++=-∴·．19.解：(1)抽两次得标号之和为12的概率为11116636P =+=；抽两次得标号之和为11或10的概率为2536P =，故各会员获奖的概率为1215136366P P P =+=+=． （2）ξ 30a -30100-30P1365363036由1530(30)(70)300363636E a ξ=-⨯+-⨯+⨯≥， 得580a ≤元．所以a 最多可设为580元． 20.解：由公式计算得2288(1012038129)8.65813914923058k ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯，由于8.658 6.635>，故可以有99%的把握认为新药对防治猪白痢是有效的．21.解：(1)要想使取出的3个球颜色全不相同，则乙必须取出黄球，甲取出的两个球为一个红球一个白球，乙取出黄球的概率是14，甲取出的两个球为一个红球一个白球的概率是11246x y C C xy C =·，所以取出的3个球颜色全不相同的概率是14624xy xy P ==·，即甲获胜的概率为24xyP =，由0x y ，≥，且4x y +=，所以12424xy P =≤2126x y +⎛⎫= ⎪⎝⎭·，当2x y ==时取等号，即甲应在箱子里放2个红球2个白球才能使自己获胜的概率最大. (2)设取出的3个球中红球的个数为ξ，则ξ的取值为0，1，2，3.212221441(0)12C C P C C ξ===·，1112122222212144445(1)12C C C C C P C C C C ξ==+=··，2111122222212144445(2)12C C C C C P C C C C ξ==+=··，212221441(3)12C C P C C ξ===·，所以取出的3个球中红球个数的期望：15510123 1.512121212E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=。
高中数学选修范文新编综合测试题及答案
选 修 2-2综合测试 题2一、选择题1.在数学归纳法证明“1a a' 2La n11 n 1aa(a 1 , n N ) ” 时，验证当n 1时,等式的左边为（）A. 1B. 1 aC. 1 aD. 1 a 22.已知三次函数f （x ） 1 3 x 3(4m21)x(15 2 m 2m7)x 2 在 x ( -,-）上是增函数,则m 的取值范围为（)A. m 2 或 m 4 B4 m 2 C. 2 m 4 D.以上皆不正确3.设 f(x) (ax b)sin x(cx d)co s x ,若 f (x) xcosx ,贝 Ua, b , i c d 的值分别为（) A. 1 , 1, 0 , 0 B. 1, 0 , 1 , 0C. 0 ,1 ,0 ,1 D . 1 , 10,0, 14 .已知抛物线y ax 2 bx c 通过点P （1,1）,且在点Q （2, 1）处的切线平行于直线y x 3 ,则抛物线方程为（8.定义A B , B C , C D , D A 的运算分别对应下图中的(1) , (2) , (3) , (4),A. y 3x 211x 9 B.3x 2 11x 9C. y 3x 2 11x 9D.3x 2 11x2an ，0 < a.5.数列满足an 12an< 1 , 2若a 1 ；a n 1，,则a 2004的值为（ ）A. 67B. 57C. 376.已知 a , b 是不相等的正数,D.-7a . b2 ,a b ，则x , y 的关系是（ ）A. x yB.C. x 2yD.不确定m 2i / (m 1 2i A.第一象限7.复数zR ）不可能在（）B.第二象限C.第三象限D.第四象限那么，图中（A ）,（B ）可能是下列（）的运算的结果设f （x ）在［a, b ］上连续，则f （x ）在［a, b ］上的平均值是（13.若复数z log 2（x 2 3x 3） ilog 2（x 3）为实数，则x 的值为14.一同学在电脑中打出如下图形（O 表示空心圆，•表示实心圆）若将此若干个圆依此规律继续下去，得到一系列的圆，那么前 2006年圆中有实心圆的 个数为 15.函数f （x ） ax 3 6ax 2 b （a 0）在区间［1,2］上的最大值为3，最小值为29，则a ，b 的值分别为 16.由y 2 4x 与直线y 2x 4所围成图形的面积为 三、解答题17.设n N 且sinx cosx 1，求sin n x cos n x 的值.（先观察n 1,2,3,4时的值，归纳猜A. B D , A DB. B D ，A CC. B C ， A DD. CD , A D9.用反证法证明命题“ a ， b N ，如果ab 可被5整除，那么a ， b 至少有1个能被5整 除. ”则假设的内容是（A. a ，b 都能被5整除B. a ，b 都不能被5整除C.a 不能被5整除D. a ，b 有1个不能被5整除10. F 列说法正确的是（A. 函数y x 有极大值，但无极小值B.函数y x 有极小值，但无极大值C. 函数y x 既有极大值又有极小值D.函数y x 无极值11.对于两个复数1.3.I，日，有下列四个结论：①③ 1 :④1.其中正确的个数为（A.B. 2C. 3D. 412. A.f(a) f(b)B. bf(x)dx2 a、填空题1 bC. f (x)dx 2 aD.旦 b aba f(x)dx测 sin n x cos n x 的值.)18.设关于 x 的方程 x 2 (tan i)x (2 i) 0 , (1) 若方程有实数根，求锐角 和实数根； (2) 证明：对任意 k n n (k Z)，方程无纯虚数根.219•设t 0，点P(t,O)是函数f (x) x 3 ax 与g(x) bx 2 c 的图象的一个公共点，两函数的图象在点P 处有相同的切线.(1)用t 表示a , b, c ; (2)若函数y f(x) g(x)在(1,3) 上单调递减，求t 的取值范围.20.下列命题是真命题，还是假命题，用分析法证明你的结论.命题：若a b c ,且a b c 0，贝U—ac .. 3 .a21. 某银行准备新设一种定期存款业务，经预测，存款量与利率的平方成正比，比例 系数为k(k 0)，且知当利率为0.012时，存款量为1.44亿；又贷款的利率为4.8%寸， 银行吸收的存款能全部放贷出去；若设存款的利率为 x ， x (0,0.048)，则当x 为多少时，银行可获得最大收益？22. 已知函数 f(x) r x & 0)，数列 a n 满足 a 1 f(x) , a . 1 f(a .).J 1 x 2(1) 求 a 2, a 3, a 4;(2) 猜想数列a .的通项，并予以证明. 参考答案、选择题：CCDAC,BABBBD 二 _ 、 填空题 : 13、4, 14 、61, 15、2 !,3 16、9 17、解：当 n 1时， sin x cosx 1；当n 2时，有 ・2 sin x 2 cos x 1;当n 3时， 有.3sin x 3cos x (sin x cosx)(s in 2 2x cos x sin xcosx),而sin x cos x 1,••• 1 2si n xcosx 1 , 3 3sin xcosx 0 . • • sin x cos x 1 .那么，图中（A ）,（B ）可能是下列（ ）的运算的结果 当n 4时，有 ・4 sin x 4 cos x (sin 2 x 2 、2 cos x) 2 2 2sin xcos x 1 . 由以上可以猜测，当 n 1 N 时, 可能有 n nsin x cos x (1)n成立.18、 解：(1 ) 设实 数根为a ,则 2 a (ta ni)a(2 i) 0 ,即2(a ata n 2) (a 1)i0 .2a1,由于a ,tanR ，那么 a ata ntan2 0,a 1,‘ 又0n得na 11ta n1. 24(2 )若有纯 虚 数根i(R),使 (i)2 (tan i)(i)(2 i) 0,即(22) (tan1)i 0 ,由， tanR ，那么22 0,由于22 0无实数解.tan1 0,故对任意k n n (kZ) ，方程无纯虚数根219、解：(1)因为函数f(x) , g(x)的图象都过点(t,0)，所以f(t) 0，即t 3 at 0 . 因为 t 0 ,所以 at 2 . g(t) 0，即 bt 2 c 0，所以 c ab .又因为f(x)，g(x)在点(t,0)处有相同的切线，所以 f (t) g (t)，而 f (x) 3x 2 a ， g (x) 2bx ，所以 3t 2 a 2bt . 将at 2代入上式得b t .因此cab t 3 . 故a t 2， b t ， c t 3 .(2) y f (x) g(x) x 3 t 2x tx 2 t 3，y3x 2 2tx t 2(3x t)(x t).当y (3x t)(x t) 0时，函数y f(x) g(x)单调递减. 由 y 0，右 t 0，贝U — x t ；3若 t 0，则 t x 1 .3由题意，函数y f(x) g(x)在(1,3)上单调递减，则(1，) -，t 或(1,3) t ，-33所以t < 9或t > 3 .又当9 t 3时，函数y f (x) g(x)在(1,3)上不是单调递减的.所以t的取值范围为^，9 U 3, R .20、解：此命题是真命题. ■ a b c 0, a b c，二 a 0 , c 0 .2 2(a c) ac 3a ，立, 故原不等式成立.21、解：由题意，存款量 f(x) kx 2，又当利率为x 0.012时，y 1.44 ; 由 1.44 k-(0.012)2，得 k 10000，那么f(x) 10000x 2，银行应支付 的利息 g(x) x- f (x) 10000x 3，设银行可获收益为y ，则y 480x 2 10000x 3， 由于 y 960x 30000x 2，则 y 0，即 960x 30000x 20，得 x 0 或 x 0.032 .因为，x (0,0.032)时，y 0，此时，函数 y 480x 2 10000x 3 递增；x (0.032,0.048)时，y 0，此时，函数 y 480x 2 10000x 3递减；故当x 0.032时，y 有最大值，其值约为0.164亿.22、 解: (1) 由 a 3 f (a 2)a 2a 4 f (a 3)a3_[rajx1 x 22x•、1x 2f(x)，得 a 2f ⑻)1x1 2x 2x 2x 1 3x 2■. 1 2x 2 xJ 3x 2x ----------------------------- 2x1 4x 21 3x 22 5 N )，a 1 1a 1-------2qxx .1 nx证明：(1)当n 1时，结论显然成立;(2)猜想：a n要证Lac3成立，只需证aac . 3a， 即证b 2 ac 3a 2 ， 也就是证即证(a c)(2a c) 0 .•/ a c 0， 2ac (a c)•••(a c)(2a c) 0 成0.012时，存款量为1.44亿，即(2)假设当n k 时，结论成立，即a k这就是说，当n k 1时，结论成立；由(1)，( 2)可知，对于一切自然数n(n N )都成立. <1 nx 2那么，当n k 1时，由a k ix ,1 kx 2f (a k )x厂(厂1)X 2。
数学：《综合测试题》(新人教A版选修2-3)
高中新课标数学选修（2-3）综合测试题（1）一、选择题1．已知{}{}{}123013412a b R ∈-∈∈，，，，，，，，，则方程222()()x a y b R -++=所表示的不同的圆的个数有（ ）Ａ．3×4×2=24 Ｂ．3×4+2=14 Ｃ．(3+4)×2=14 Ｄ．3+4+2=9答案：Ａ2．神六航天员由翟志刚、聂海胜等六人组成，每两人为一组，若指定翟志刚、聂海胜两人一定同在一个小组，则这六人的不同分组方法有（ ）Ａ．48种 Ｂ．36种 Ｃ．6种 Ｄ．3种答案：Ｄ3．41nx ⎛⎫ ⎪⎝⎭的展开式中，第3项的二项式系数比第2项的二项式系数大44，则展开式中的常数项是（ ）Ａ．第3项 Ｂ．第4项 Ｃ．第7项 Ｄ．第8项答案：Ｂ4．从标有1，2，3，…，9的9张纸片中任取2张，数字之积为偶数的概率为（ ） Ａ．12 Ｂ．718 Ｃ．1318 Ｄ．1118答案：Ｃ5．在10个球中有6个红球和4个白球（各不相同），不放回地依次摸出2个球，在第一次摸出红球的条件下，第2次也摸到红球的概率为（ ） Ａ．35 Ｂ．25 Ｃ．110 Ｄ．59答案：Ｄ6．正态总体的概率密度函数为2()8()x x f x -∈=R ，则总体的平均数和标准差分别为（ ）Ａ．0，8 B ．0，4 Ｃ．0，2 Ｄ．0，2答案：Ｄ7．在一次试验中，测得()x y ，的四组值分别是(12)(23)(34)(45)A B C D ，，，，，，，，则y 与x 之间的回归直线方程为（ ）Ａ．1y x=+Ｂ．2y x=+Ｃ．21y x=+Ｄ．1y x=-答案：Ａ8．用0，1，2，3，4这五个数字组成无重复数字的五位数，其中恰有一个偶数数字夹在两个奇数数字之间的五位数的个数是（）Ａ．48 Ｂ．36 Ｃ．28 Ｄ．20答案：Ｃ9．若随机变量η的分布列如下：0 1 2 30 .1.2.2.3.1.1则当()0.8P xη<=时，实数x的取值范围是（）Ａ．x≤2 Ｂ．1≤x≤2 Ｃ．1＜x≤2 Ｄ．1＜x＜2答案：Ｃ10．春节期间，国人发短信拜年已成为一种时尚，若小李的40名同事中，给其发短信拜年的概率为1，0.8，0.5，0的人数分别为8，15，14，3（人），则通常情况下，小李应收到同事的拜年短信数为（）Ａ．27 Ｂ．37 Ｃ．38 Ｄ．8答案：Ａ11．在4次独立重复试验中事件A出现的概率相同，若事件A至少发生1次的概率为6581，则事件A在1次试验中出现的概率为（）Ａ．13Ｂ．25Ｃ．56Ｄ．23答案：Ａ12．已知随机变量1~95Bξ⎛⎫⎪⎝⎭，则使()P kξ=取得最大值的k值为（）Ａ．2 Ｂ．3 Ｃ．4 Ｄ．5答案：Ａ二、填空题13．某仪表显示屏上一排有7个小孔，每个小孔可显示出0或1，若每次显示其中三个孔，但相邻的两孔不能同时显示，则这显示屏可以显示的不同信号的种数有种．答案：8014．已知平面上有20个不同的点，除去七个点在一条直线上以外，没有三个点共线，过这20个点中的每两个点可以连 条直线．答案：17015．某射手射击1次，击中目标的概率是0.9，他连续射击4次，且各次射击是否击中目标相互之间没有影响，有下列结论：①他第3次击中目标的概率是0.9；②他恰好击中目标3次的概率是0.93×0.1； ③他至少击中目标1次的概率是41(0.1)-．其中正确结论的序号是 （写出所有正确结论的序号）．答案：①③16．口袋内装有10个相同的球，其中5个球标有数字0，5个球标有数字1，若从袋中摸出5个球，那么摸出的5个球所标数字之和小于2或大于3的概率是 （以数值作答）． 答案：1363三、解答题17．有4个不同的球，四个不同的盒子，把球全部放入盒内． （1）共有多少种放法？（2）恰有一个盒子不放球，有多少种放法？ （3）恰有一个盒内放2个球，有多少种放法？ （4）恰有两个盒不放球，有多少种放法？ 解：（1）一个球一个球地放到盒子里去，每只球都可有4种独立的放法，由分步乘法计数原理，放法共有：44256=种．（2）为保证“恰有一个盒子不放球”，先从四个盒子中任意拿出去1个，即将4个球分成2，1，1的三组，有24C 种分法；然后再从三个盒子中选一个放两个球，其余两个球，两个盒子，全排列即可.由分步乘法计数原理，共有放法：12124432144C C C A =···种． （3）“恰有一个盒内放2个球”，即另外三个盒子中恰有一个空盒.因此，“恰有一个盒内放2球”与“恰有一个盒子不放球”是一回事.故也有144种放法.（4）先从四个盒子中任意拿走两个有24C 种，问题转化为：“4个球，两个盒子，每盒必放球，有几种放法？”从放球数目看，可分为（3，1），（2，2）两类.第一类：可从4个球中先选3个，然后放入指定的一个盒子中即可，有3142C C ·种放法；第二类：有24C 种放法.因此共有31342414C C C +=·种.由分步乘法计数原理得“恰有两个盒子不放球”的放法有：241484C =·种．18．求25(1)(1)x x +-的展开式中3x 的系数．解：解法一：先变形，再部分展开，确定系数.252232423(1)(1)(1)(1)(12)(133)x x x x x x x x x +-=--=-+-+-．所以3x 是由第一个括号内的1与第二括号内的3x -的相乘和第一个括号内的22x -与第二个括号内的3x -相乘后再相加而得到，故3x 的系数为1(1)(2)(3)5⨯-+-⨯-=．解法二：利用通项公式，因2(1)x +的通项公式为12rr r T C x +=·， 5(1)x -的通项公式为15(1)k k k k T C x +=-·， 其中{}{}012012345r k ∈∈，，，，，，，，，令3k r +=， 则12k r =⎧⎨=⎩，，或21k r =⎧⎨=⎩，，或30k r =⎧⎨=⎩，．故3x 的系数为112352555C C C C -+-=·．19．为了调查胃病是否与生活规律有关，某地540名40岁以上的人的调查结果如下：患胃病 未患胃病 合计 生活不规律 60 260 320 生活有规律 20 200 220 合计80460540根据以上数据比较这两种情况，40岁以上的人患胃病与生活规律有关吗？解：由公式得2540(6020026020)32022080460k ⨯⨯-⨯=⨯⨯⨯ 2540(120005200)24969609.6382590720000259072⨯-==≈．9.6387.879>∵，∴我们有99.5%的把握认为40岁以上的人患胃病与生活是否有规律有关，即生活不规律的人易患胃病.20．一个医生已知某种病患者的痊愈率为25%，为实验一种新药是否有效，把它给10个病人服用，且规定（1）虽新药有效，且把痊愈率提高到35%，但通过实验被否认的概率； （2）新药完全无效，但通过实验被认为有效的概率．解：记一个病人服用该药痊愈率为事件A ，且其概率为p ，那么10个病人服用该药相当于10次独立重复实验.(1) 因新药有效且p =0.35，故由n 次独立重复试验中事件A 发生k 次的概率公式知，实验被否定（即新药无效）的概率为：0010119223371010101010101010(0)(1)(2)(3)(1)(1)(1)(1)0.514x P P P P C p p C p p C p p C p p +++=-+-+-+-≈．（2）因新药无效，故p =0.25，实验被认为有效的概率为： 10101010101010(4)(5)(10)1((0)(1)(2)(3))0.224P P P P P P P +++=-+++≈．即新药有效，但被否定的概率约为0.514； 新药无效，但被认为有效的概率约为0.224.21．A B ，两个代表队进行乒乓球对抗赛，每队三名队员，A 队队员是123A A A ，，，B 队队员是123B B B ，，，现按表中对阵方式出场，每场胜队得1分，负队得0分，设A 队，B 队最后所得总分分别为ξη，． (1)求ξη，的概率分布列； (2)求E ξ，E η．解：（1）ξη，的可能取值分别为3，2，1，0．2228(3)35575P ξ==⨯⨯=；22312223228(2)35535535575P ξ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=； 2331231322(1)3553553555P ξ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=；1333(0)35525P ξ==⨯⨯=．由题意知3ξη+=， 所以8(0)(3)75P P ηξ====； 28(1)(2)75P P ηξ====； 2(2)(1)5P P ηξ====； 3(3)(0)P P ηξ====．ξ的分布列为3218752875325η的分布列为1238752875325（2）82823223210757552515E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=， 因为3ξη+=，所以23315E E ηξ=-=．22．某工业部门进行一项研究，分析该部门的产量与生产费用之间的关系，从这个工业部门内随机抽选了个企业作样本，有如下资料：产量（千件）x 生产费用 （千元）y79 162 88 185 100 165 120 190 140185完成下列要求：（1）计算x 与y 的相关系数；（2）对这两个变量之间是否线性相关进行相关性检验； （3）设回归直线方程为y bx a =+，求系数a ，b ．解：利用回归分析检验的步骤，先求相关系数，再确定0.05r ． (1)制表ii y 2i x 2i y i i x y1 40 150 1600 22500 60002 42 140 1764 19600 5880 3481602304256007680产量（千件）x 生产费用 （千元）y40 150 42 140 48 160 55 170 651504 55 170 3025 28900 9350 5 65 150 4225 22500 97506 79 162 6241 26244 127987 88 185774434225 16280 8 100165 10000 27225 16500 9 120190 14400 36100 22800 10140185 1960034225 25900 合计 777 1657 7090327711913293877777.710x ==，1657165.710y == 270903ix =∑，2277119i y =∑，132938iix y=∑220.808(709031077.7)(2771910165.7)r =≈-⨯-⨯．即x 与Y 的相关关系0.808r ≈． （2）因为0.75r >．所以x 与Y 之间具有很强的线性相关关系． （3）1329381077.7165.70.398709031077.7b -⨯⨯=≈-⨯，165.70.39877.7134.9a =-⨯=．高中新课标数学选修（2-3）综合测试题（2）一、选择题1．假定有一排蜂房，形状如图所示，一只蜜蜂在左下角的蜂房中，由于受了点伤，只能爬，不能飞，而且只能永远向右方（包括右上，右下）爬行，从一间蜂房爬到与之相邻的右方蜂房中去，若从最初位置爬到4号蜂房中，则不同的爬法有（ ） Ａ．4种 Ｂ．6种 Ｃ．8种 Ｄ．10种答案：Ｃ2．乒乓球运动员10人，其中男女运动员各5人，从这10名运动员中选出4人进行男女混合双打比赛，选法种数为（ ） Ａ．225()AＢ．225()CＣ．22254()C A · Ｄ．22252()C A ·答案：Ｄ3．已知集合{}123456M =，，，，，，{}6789N =，，，，从M 中选3个元素，N 中选2个元素，组成一个含有5个元素的集合T ，则这样的集合T 共有（ ）Ａ．126个 Ｂ．120个 Ｃ．90个 Ｄ．26个答案：Ｃ4．342(1)(1)(1)n x x x +++++++的展开式中2x 的系数是（ ）Ａ．33n C +Ｂ．32n C +Ｃ．321n C +- Ｄ．331n C +-答案：Ｄ5．200620052008+被2006除，所得余数是（ ） Ａ．2009 Ｂ．3 Ｃ．2 Ｄ．1答案：Ｂ6．市场上供应的灯泡中，甲厂产品占70%，乙厂产品占30%，甲厂产品的合格率是95%，乙厂产品的合格率是80%，则从市场上买到一个是甲厂生产的合格灯泡的概率是（ ） Ａ．0.665 B ．0.56 Ｃ．0.24 Ｄ．0.285答案：Ａ7．抛掷甲、乙两颗骰子，若事件A ：“甲骰子的点数大于4”；事件B ：“甲、乙两骰子的点数之和等于7”，则(|)P B A 的值等于（ ）Ａ．13 Ｂ．118 Ｃ．16 Ｄ．19答案：Ｃ8．在一次智力竞赛的“风险选答”环节中，一共为选手准备了A ，B ，C 三类不同的题目，选手每答对一个A 类、B 类、C 类的题目，将分别得到300分、200分、100分，但如果答错，则要扣去300分、200分、100分，而选手答对一个A 类、B 类、C 类题目的概率分别为0.6，0.7，0.8，则就每一次答题而言，选手选择（ ）题目得分的期望值更大一些（ ） Ａ．A 类 Ｂ．B 类 Ｃ．C 类 Ｄ．都一样答案：Ｂ9．已知ξ的分布列如下：4并且23ηξ=+，则方差D η=（ ） Ａ．17936Ｂ．14336Ｃ．29972Ｄ．22772答案：Ａ10．若2~(16)N ξ-，且(31)P ξ--≤≤0.4=，则(1)P ξ≥等于（ ） Ａ．0.1 Ｂ．0.2 Ｃ．0.3Ｄ．0.4答案：Ａ11．已知x ，y 之间的一组数据：则y 与x 的回归方程必经过（ ） Ａ．（2，2） Ｂ．（1，3） Ｃ．（1.5，4） Ｄ．(2，5)答案：Ｃ12．对于2()P K k ≥，当 2.706k >时，就约有的把握认为“x 与y 有关系”（ ） Ａ．99% Ｂ．99.5% Ｃ．95% Ｄ．90%答案：Ｄ二、填空题13．912xx⎛⎫-⎪⎝⎭的展开式中，常数项为（用数字作答）．答案：67214．某国际科研合作项目成员由11个美国人，4个法国人和5个中国人组成．现从中随机选出两位作为成果发布人，则此两人不属于同一个国家的概率为（结果用分数表示）．答案：119 19015．两名狙击手在一次射击比赛中，狙击手甲得1分、2分、3分的概率分别为0.4，0.1，0.5；狙击手乙得1分、2分、3分的概率分别为0.1，0.6，0.3，那么两名狙击手获胜希望大的是．答案：乙16．空间有6个点，其中任何三点不共线，任何四点不共面，以其中的四点为顶点共可作出个四面体，经过其中每两点的直线中，有对异面直线．答案：15，45三、解答题17．某人手中有5张扑克牌，其中2张为不同花色的2，3张为不同花色的A，他有5次出牌机会，每次只能出一种点数的牌，但张数不限，则有多少种不同的出牌方法？解：由于张数不限，2张2，3张A可以一起出，亦可分几次出，故考虑按此分类.出牌的方法可分为以下几类：（1）5张牌全部分开出，有55A种方法；（2）2张2一起出，3张A一起出，有25A种方法；（3）2张2一起出，3张A分开出，有45A种方法；（4）2张2一起出，3张A分两次出，有2335C A种方法；（5）2张2分开出，3张A一起出，有35A种方法；（6）2张2分开出，3张A分两次出，有2435C A种方法；因此共有不同的出牌方法5242332455535535860A A A C A A C A+++++=种．18．已知数列{}n a 的通项n a 是二项式(1)n x +与2(1)n x +的展开式中所有x 的次数相同的各项的系数之和，求数列的通项及前n 项和n S ．解：按(1)n x +及2(1)n x +两个展开式的升幂表示形式，写出的各整数次幂，可知只有当2(1)n x +中出现x 的偶数次幂时，才能与(1)n x +的x 的次数相比较．由0122(1)n n nnn n n x C C x C x C x +=++++，132120242213212222222222(1)()()n nn nn nnnnnnnx C C x C x C x C x C x Cx--+=++++++++可得00122422222()()()()n nn n n n n n n n n a C C C C C C C C =++++++++01202422222()()n nn n n n n n n n C C C C C C C C =+++++++++2122n n -=+， 2122n n n a -=+∵，∴222462112(222)(22222(21)(41)223n nnnn S =++++++++=-+⨯-122112122(21)(2328)33n n n n +++=-+-=+-·，2111(2328)3n n n S ++=-∴·．19．某休闲场馆举行圣诞酬宾活动，每位会员交会员费50元，可享受20元的消费，并参加一次抽奖活动，从一个装有标号分别为1，2，3，4，5，6的6只均匀小球的抽奖箱中，有放回的抽两次球，抽得的两球标号之和为12，则获一等奖价值a 元的礼品，标号之和为11或10，获二等奖价值100元的礼品，标号之和小于10不得奖．(1)求各会员获奖的概率；(2)设场馆收益为ξ元，求ξ的分布列；假如场馆打算不赔钱，a 最多可设为多少元？解：(1)抽两次得标号之和为12的概率为11116636P =+=； 抽两次得标号之和为11或10的概率为2536P =， 故各会员获奖的概率为1215136366P P P =+=+=． （2）30a-30100-31365363036由1530(30)(70)300363636E a ξ=-⨯+-⨯+⨯≥， 得580a ≤元．所以a 最多可设为580元．20．在研究某种新药对猪白痢的防治效果时到如下数据：存活数死亡数 合计未用新药 101 38 139用新药 129 20 149合计23058288试分析新药对防治猪白痢是否有效？解：由公式计算得2288(1012038129)8.65813914923058k ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯，由于8.658 6.635>，故可以有99%的把握认为新药对防治猪白痢是有效的．21．甲有一个箱子，里面放有x 个红球，y 个白球（x ，y ≥0，且x +y =4）；乙有一个箱子，里面放有2个红球，1个白球，1个黄球．现在甲从箱子里任取2个球，乙从箱子里任取1个球．若取出的3个球颜色全不相同，则甲获胜．(1)试问甲如何安排箱子里两种颜色球的个数，才能使自己获胜的概率最大？ (2)在（1）的条件下，求取出的3个球中红球个数的期望．解：(1)要想使取出的3个球颜色全不相同，则乙必须取出黄球，甲取出的两个球为一个红球一个白球，乙取出黄球的概率是14，甲取出的两个球为一个红球一个白球的概率是 11246x yC C xy C =·，所以取出的3个球颜色全不相同的概率是14624xy xy P ==·，即甲获胜的概率为24xy P =，由0x y ，≥，且4x y +=，所以12424xy P =≤2126x y +⎛⎫= ⎪⎝⎭·，当2x y ==时取等号，即甲应在箱子里放2个红球2个白球才能使自己获胜的概率最大.(2)设取出的3个球中红球的个数为ξ，则ξ的取值为0，1，2，3.212221441(0)12C C P C C ξ===·，1112122222212144445(1)12C C C C C P C C C C ξ==+=··，2111122222212144445(2)12C C C C C P C C C C ξ==+=··，212221441(3)12C C P C C ξ===·，所以取出的3个球中红球个数的期望：15510123 1.512121212E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=．22．规定(1)(1)mxA x x x m =--+，其中x ∈R ，m 为正整数，且01x A =，这是排列数m n A (n ，m 是正整数，且m ≤n )的一种推广．（1）求315A -的值；（2）排列数的两个性质：①11m m n n A nA --=，②11m m mn n n A mA A -++= (其中m ，n 是正整数)．是否都能推广到m x A (x ∈R ，m 是正整数)的情形？若能推广，写出推广的形式并给予证明；若不能，则说明理由；（3）确定函数3x A 的单调区间．解：（1）315(15)(16)(17)4080A -=-⨯-⨯-=-；（2）性质①、②均可推广，推广的形式分别是①11m m x x A xA --=，②11()m m m x x x A mA A x m -*++=∈∈R N ，．事实上，在①中，当1m =时，左边1x A x ==，右边01x xA x -==，等式成立；在②中，当1m =时，左边10111x x x A A x A +=+=+==右边，等式成立；当2m ≥时，左边(1)(2)(1)(1)(2)(2)x x x x m mx x x x m =---++---+=(1)(2)(2)[(1)]x x x x m x m m ---+-++1(1)(1)(2)[(1)1]mx x x x x x m A +=+--+-+==右边，因此②11()m m m x x x A mA A x m -*++=∈∈R N ，成立．（3）先求导数，得32()362xA x x '=-+．令23620x x -+>，解得x <x >因此，当x ⎛∈- ⎝⎭∞时，函数为增函数，当x ⎫∈+⎪⎪⎝⎭∞时，函数也为增函数，令23620x x -+≤x ，因此，当x ∈⎣⎦时，函数为减函数，∴函数3x A 的增区间为⎛- ⎝⎭∞，⎫+⎪⎪⎝⎭∞；减区间为⎣⎦．。
高中数学选修一综合测试题专项训练(带答案)
高中数学选修一综合测试题专项训练单选题1、设圆C 1:x 2+y 2−2x +4y =4，圆C 2:x 2+y 2+6x −8y =0，则圆C 1，C 2的公切线有（ ） A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条 答案：B分析：先根据圆的方程求出圆心坐标和半径，再根据圆心距与半径的关系即可判断出两圆的位置关系，从而得解．由题意，得圆C 1:(x −1)2+(y +2)2=32，圆心C 1(1,−2)，圆C 2:(x +3)2+(y −4)2=52，圆心C 2(−3,4)，∴5−3<|C 1C 2|=2√13<5+3，∴C 1与C 2相交，有2条公切线． 故选：B ．2、经过点(－√2，2)，倾斜角是30°的直线的方程是（ ） A ．y ＋√2 =√33(x －2)B ．y ＋2＝√3(x －√2) C ．y －2=√33(x ＋√2)D ．y －2＝√3(x ＋√2) 答案：C分析：根据k =tan30°求出直线斜率，再利用点斜式即可求解. 直线的斜率k =tan30°=√33，由直线的点斜式方程可得y －2＝√33(x ＋√2)， 故选：C ．3、已知点P(x ，y)在直线x −y −1=0上的运动，则(x −2)2+(y −2)2的最小值是（ ） A ．12B ．√22C ．14D ．√34 答案：A分析：(x −2)2+(y −2)2表示点P(x ，y)与(2，2)距离的平方，求出(2，2)到直线x −y −1=0的距离，即可得到答案.(x −2)2+(y −2)2表示点P(x ，y)与(2,2)距离的平方，因为点(2,2)到直线x −y −1=0的距离d =√2=√22， 所以(2,2)的最小值为d 2=12． 故选：A4、动点P ，Q 分别在抛物线x 2=4y 和圆x 2+y 2−8y +13=0上，则|PQ|的最小值为（ ） A ．2√3B ．√3C ．12√3D ．32√3 答案：B分析：设P (x 0,14x 02)，根据两点间距离公式，先求得P 到圆心的最小距离，根据圆的几何性质，即可得答案. 设P (x 0,14x 02)，圆化简为x 2+(y −4)2=3，即圆心为（0,4），半径为√3，所以点P 到圆心的距离d =√(x 0−0)2+(14x 02−4)2=√116(x 02)2−x 02+16，令t =x 02，则t ≥0，令f(t)=116t 2−t +16，t ≥0，为开口向上，对称轴为t =8的抛物线，所以f(t)的最小值为f (8)=12， 所以d min =√12=2√3，所以|PQ|的最小值为d min −√3=2√3−√3=√3. 故选：B5、已知圆C 1:x 2+y 2+4x −2y −4=0，C 2:(x +32)2+(y −32)2=112，则这两圆的公共弦长为（ ）A ．4B ．2√2C ．2D ．1 答案：C分析：先求出两圆的公共弦所在直线的方程，用垂径定理求弦长.由题意知C 1:x 2+y 2+4x −2y −4=0，C 2:x 2+y 2+3x −3y −1=0，将两圆的方程相减，得x +y −3=0，所以两圆的公共弦所在直线的方程为x +y −3=0.又因为圆C 1的圆心为(−2,1)，半径r =3，所以圆C 1的圆心到直线x +y −3=0的距离d =√2=2√2.所以这两圆的公共弦的弦长为2√r2−d2=2√32−(2√2)2=2. 故选：C.6、设B是椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的上顶点，若C上的任意一点P都满足|PB|≤2b，则C的离心率的取值范围是（）A．[√22,1)B．[12,1)C．(0,√22]D．(0,12]答案：C分析：设P(x0,y0)，由B(0,b)，根据两点间的距离公式表示出|PB|，分类讨论求出|PB|的最大值，再构建齐次不等式，解出即可．设P(x0,y0)，由B(0,b)，因为x02a2+y02b2=1，a2=b2+c2，所以|PB|2=x02+(y0−b)2=a2(1−y02b2)+(y0−b)2=−c2b2(y0+b3c2)2+b4c2+a2+b2，因为−b≤y0≤b，当−b3c2≤−b，即b2≥c2时，|PB|max2=4b2，即|PB|max=2b，符合题意，由b2≥c2可得a2≥2c2，即0<e≤√22；当−b3c2>−b，即b2<c2时，|PB|max2=b4c2+a2+b2，即b4c2+a2+b2≤4b2，化简得，(c2−b2)2≤0，显然该不等式不成立．故选：C．小提示：本题解题关键是如何求出|PB|的最大值，利用二次函数求指定区间上的最值，要根据定义域讨论函数的单调性从而确定最值．7、如图1所示，双曲线具有光学性质；从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点．若双曲线E：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，从F2发出的光线经过图2中的A，B两点反射后，分别经过点C和D，且cos∠BAC=−35，AB⊥BD，则E的离心率为（）A ．√52B ．√173C ．√102D ．√5 答案：B分析：利用双曲线的光学性质及双曲线定义，用|BF 2|表示|BF 1|,|AF 1|,|AB|，再在两个直角三角形中借助勾股定理求解作答.依题意，直线CA,DB 都过点F 1，如图，有AB ⊥BF 1，cos∠BAF 1=35，设|BF 2|=m ，则|BF 1|=2a +m ，显然有tan∠BAF 1=43，|AB|=34|BF 1|=34(2a +m)，|AF 2|=32a −14m ，因此，|AF 1|=2a +|AF 2|=72a −14m ，在Rt △ABF 1，|AB|2+|BF 1|2=|AF 1|2，即916(2a +m)2+(2a +m)2=(72a −14m)2，解得m =23a ，即|BF 1|=83a,|BF 2|=23a ，令双曲线半焦距为c ，在Rt △BF 1F 2中，|BF 2|2+|BF 1|2=|F 1F 2|2，即(23a)2+(83a)2=(2c)2，解得ca =√173， 所以E 的离心率为√173. 故选：B小提示：方法点睛：求双曲线离心率的三种方法：①定义法，通过已知条件列出方程组，求得a,c 得值，根据离心率的定义求解离心率e ；②齐次式法，由已知条件得出关于a,c 的二元齐次方程，然后转化为关于e 的一元二次方程求解；③特殊值法：通过取特殊值或特殊位置，求出离心率.8、已知直线l 1:√3x +y =0与直线l 2:kx −y +1=0，若直线l 1与直线l 2的夹角是60°，则k 的值为（ ） A ．√3或0B ．−√3或0 C ．√3D ．−√3 答案：A分析：先求出l 1的倾斜角为120°，再求出直线l 2的倾斜角为0°或60°，直接求斜率k . 直线l 1:√3x +y =0的斜率为k 1=−√3，所以倾斜角为120°. 要使直线l 1与直线l 2的夹角是60°， 只需直线l 2的倾斜角为0°或60°， 所以k 的值为0或√3. 故选：A 多选题9、下列四个命题中，错误的有（ ） A ．若直线的倾斜角为θ，则sinθ>0 B ．直线的倾斜角θ的取值范围为0≤θ≤πC ．若一条直线的倾斜角为θ，则此直线的斜率为tanθD ．若一条直线的斜率为tanθ，则此直线的倾斜角为θ 答案：ABCD分析：根据倾斜角与斜率的定义判断即可；解：因为直线的倾斜角的取值范围是[0,π)，即θ∈[0,π)，所以sinθ≥0， 当θ≠π2时直线的斜率k =tanθ，故A 、B 、C 均错误； 对于D ：若直线的斜率k =tan 4π3=√3，此时直线的倾斜角为π3，故D 错误；故选：ABCD10、(多选)已知三条直线x －2y ＝1，2x ＋ky ＝3，3kx ＋4y ＝5相交于一点，则k 的值为（ ） A ．－163B ．－1C ．1D ．163分析：由任意两个直线方程联立方程组求出交点坐标，再由其会标代入第三个方程中可求出k 的值 解：由{x −2y =12x +ky =3，得{x =6+k4+ky =14+k ，所以三条直线的交点为(6+k4+k ,14+k)，所以3k ⋅6+k 4+k+4⋅14+k =5，化简得3k 2+13k −16=0，解得k =1或k =−163， 故选：AC11、已知直线l 经过点P(3,1)，且被两条平行直线l 1：x +y +1=0和l 2：x +y +6=0截得的线段长为5，则直线l 的方程为（ ） A ．x =2B ．x =3 C ．y =1D ．y =2 答案：BC分析：先分析当直线l 的斜率不存在，则直线l 的方程为x =3，符合题意；再分析直线l 的斜率存在时，先求出A,B 的坐标，解方程(3k−2k+1−3k−7k+1)2+(−4k−1k+1+9k−1k+1)2=52求出k 的值，综合即得解.若直线l 的斜率不存在，则直线l 的方程为x =3， 此时与l 1、l 2的交点分别为A(3,−4)，B(3,−9)， 截得的线段AB 的长|AB|=|−4+9|=5，符合题意， 若直线l 的斜率存在，则设直线l 的方程为y =k(x −3)+1， 解{y =k(x −3)+1x +y +1=0 得A(3k−2k+1,−4k−1k+1)，解{y =k(x −3)+1x +y +6=0 得B(3k−7k+1,−9k−1k+1)，由|AB|=5，得(3k−2k+1−3k−7k+1)2+(−4k−1k+1+9k−1k+1)2=52，解得k =0，即所求的直线方程为y =1，综上可知，所求直线l 的方程为x =3或y =1，填空题12、已知抛物线y 2=2px (p >0)，圆(x −p 2)2+y 2=1与y 轴相切，斜率为k 的直线过抛物线的焦点与抛物线交于A ，D 两点，与圆交于B ，C 两点(A ，B 两点在x 轴的同一侧)，若AB ⃑⃑⃑⃑⃑ =λCD ⃑⃑⃑⃑⃑ ，λ∈[2,4]，则k 2的取值范围为___________. 答案：[8,16+12√2]分析：先求出p ，然后设出直线，让直线与抛物线联立，再根据向量之间的关系及韦达定理求出x A ,x D ，再利用抛物线的定义及条件建立等式，再转化为不等式求解即可.由圆的方程可知，其圆心坐标为(p2,0)，当圆与y 轴相切可知p2=1，得p =2，所以抛物线的焦点坐标为(1,0)，抛物线方程为y 2=4x ，设斜率为k 的直线方程为y =k(x −1)，设A(x A ,y A ),D(x D ,y D )，直线与抛物线联立， {y =k(x −1)y 2=4x，得k 2x 2−(2k 2+4)x +k 2=0， 所以x A +x D =2k 2+4k 2①，x A x D =1②所以|AB⃑⃑⃑⃑⃑ |=|AF ⃑⃑⃑⃑⃑ |−1=x A +1−1=x A ，|CD ⃑⃑⃑⃑⃑ |=|DF ⃑⃑⃑⃑⃑ |−1=x D +1−1=x D ， 而AB⃑⃑⃑⃑⃑ =λCD ⃑⃑⃑⃑⃑ ，则有|AB ⃑⃑⃑⃑⃑ |=λ|CD ⃑⃑⃑⃑⃑ |，λ∈[2,4]， 所以x A =λx D ③，由①，③解得x A =λ(2k 2+4)(λ+1)k 2,x D =2k 2+4(λ+1)k 2，代入②有λ(λ+1)2⋅(2k 2+4)2k 4=1，变形得(2k 2+4)2k 4=(λ+1)2λ，因为λ∈[2,4]，所以(λ+1)2λ=λ+1λ+2∈[92,254]，所以92≤(2k 2+4)2k 4≤254，变形得√2≤2k 2+4k 2≤52，解得8≤k 2≤16+12√2. 所以答案是：[8,16+12√2].小提示：关键点睛：解决本题的关键一是先求出抛物线方程，二是运用抛物线的定义，三是解不等式. 13、设m ∈R ，圆M:x 2+y 2−2x −6y =0，若动直线l 1:x +my −2−m =0与圆M 交于点A 、C ，动直线l2:mx−y−2m+1=0与圆M交于点B、D，则|AC|+|BD|的最大值是________．答案：2√30分析：求出圆的圆心和半径，求出两条直线位置关系和经过的定点，作出图像，设圆心到其中一条直线的距离为d，根据几何关系表示出|AC|+|BD|，利用基本不等式即可求出其最大值.x2+y2−2x−6y=0⇒(x−1)2+(y−3)2=10，圆心M(1，3)，半径r＝√10，x+my−2−m=0⇒x−2+m(y−1)=0⇒l1过定点E(2,1)，mx−y−2m+1=0⇒m(x−2)−y+1=0⇒l2过定点E(2,1)，且l1⊥l2，如图，设AC和BD中点分别为F、G，则四边形EFMG为矩形，设|MF|=d，0≤d≤|ME|=√5，则|MG|=√|ME|2−|EG|2=√|ME|2−|MF|2=√5−d2，则|AC|+|BD|＝2√10−d2+2√10−(5−d2)=2(√10−d2+√5+d2)⩽2√2(10−d2+5+d2)=2√30，当且仅当10−d2=5+d2即d=√102时取等号.所以答案是：2√30.14、已知椭圆C:x24+y23=1的左､右焦点分别为F1，F2，M为椭圆C上任意一点，N为圆E:(x−3)2+(y−2)2=1上任意一点，则|MN|−|MF1|的最小值为___________. 答案：2√2−5分析：首先根据椭圆的定义将|MN|−|MF1|的最小值转化为|MN|+|MF2|−4，再根据|MN|≥|ME|−1（当且仅当M、N、E共线时取等号），最后根据|ME|+|MF2|≥|EF2|求得|MN|−|MF1|的最小值.如图，由M为椭圆C上任意一点，则|MF1|+|MF2|=4又N为圆E:(x−3)2+(y−2)2=1上任意一点，则|MN|≥|ME|−1（当且仅当M、N、E共线时取等号），∴|MN|−|MF1|=|MN|−(4−|MF2|)=|MN|+|MF2|−4≥|ME|+|MF2|−5≥|EF2|−5，当且仅当M、N、E、F2共线时等号成立.∵F2(1,0)，E(3,2)，则|EF2|=√(3−1)2+(2−0)2=2√2，∴|MN|−|MF1|的最小值为2√2−5．所以答案是：2√2−5．小提示：思路点睛；本题主要考查与椭圆与圆上动点相关的最值问题，主要根据椭圆的定义将目标等价转化为能够通过数形结合解题的类型，考查学生的转化与化归思想，属于较难题.解答题15、如图所示，某隧道内设双行线公路，其截面由一段圆弧和一个长方形的三边构成.已知隧道总宽度AD为6√3m，行车道总宽度BC为2√11m，侧墙高EA，FD为2m，弧顶高MN为5m.（1）以EF所在直线为x轴，MN所在直线为y轴，1m为单位长度建立平面直角坐标系，求圆弧所在的圆的标准方程；（2）为保证安全，要求隧道顶部与行驶车辆顶部（设为平顶）在竖直方向上的高度之差至少为0.5m ，问车辆通过隧道的限制高度是多少？答案：（1）x 2+(y +3)2=36；（2）3.5m . 分析：（1）设出圆的方程，代入F,M 即可求解；（2）设限高为ℎ，作CP ⊥AD ，求出点P 的坐标，即可得出答案. （1）由题意，有E(−3√3,0)，F(3√3,0)，M(0,3).∵所求圆的圆心在y 轴上，∴设圆的方程为(x −0)2+(y −b)2=r 2（b ∈R ，r >0）， ∵F(3√3,0)，M(0,3)都在圆上， ∴{(3√3)2+b 2=r 202+(3−b )2=r 2，解得{b =−3r 2=36 .∴圆的标准方程是x 2+(y +3)2=36.（2）设限高为ℎ，作CP ⊥AD ，交圆弧于点P ， 则CP =ℎ+0.5.将点P 的横坐标x =√11代入圆的方程，得(√11)2+(y +3)2=36， 得y =2或y =−8（舍去）.∴ℎ=CP −0.5=(2+2)−0.5=3.5(m ). 故车辆通过隧道的限制高度为3.5m .。
高中数学选修2-1全册综合测试题含答案
选修2-1综合测试一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的)1．已知p ：2x －3<1，q ：x 2－3x <0，则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．抛物线y ＝14x 2的焦点坐标为( ) A ．(116，0) B ．(－116，0) C ．(0,1) D ．(0，－1)3．已知命题p ：3是奇数，q ：3不是质数．由它们构成的“p ∨q ”“p ∧q ”“非p ”形式的命题中真命题有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个4．双曲线x 24＋y 2k＝1的离心率e ∈(1,2)，则k 的取值范围是( ) A ．(－∞，0) B ．(－3,0) C ．(－12,0) D ．(－60，－12)5．下列结论正确的个数是( )①命题“所有的四边形都是平行四边形”是特称命题；②命题“∀x ∈R ，x 2＋1>0”是全称命题；③若p ：∃x ∈R ，x 2＋2x ＋1≤0，则非p ：∀x ∈R ，x 2＋2x ＋1≤0.A ．0B ．1C ．2D ．36．设α，β，γ是互不重合的平面，m ，n 是互不重合的直线，给出下列命题：①若m ⊥α，m ⊥β，则α∥β；②若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；③若m ⊥α，m ∥β，则α⊥β；④若m ∥α，n ⊥α，则m ⊥n .其中真命题的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．47．已知a ＝(m ＋1,0,2m )，b ＝(6,2n －1,2)，若a ∥b ，则m 与n 的值分别为( ) A.15，12 B ．5,2 C ．－15，－12D ．－5，－2 8．若双曲线x 23－16y 2p 2＝1的左焦点在抛物线y 2＝2px 的准线上，则p 的值为( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．4 29．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的左、右焦点分别为F 1、F 2，点P 在双曲线上，且|PF 1|＝4|PF 2|，则此双曲线的离心率e 的最大值为( )A.43B.32C.53D ．210．如图所示，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝BC ＝AA 1，∠ABC ＝90°，点EF 分别是棱AB ，BB 1的中点，则直线EF 和BC 1所成的角是( )A ．45°B ．60°C ．90°D ．120°11．给出下列曲线，其中与直线y ＝－2x －3有交点的所有曲线是( )①4x ＋2y －1＝0；②x 2＋y 2＝3；③x 22＋y 2＝1；④x 22－y 2＝1. A ．①③ B ．②④ C ．①②③ D ．②③④12．过点M (－2,0)的直线l 与椭圆x 2＋2y 2＝2交于P 1，P 2两点，设线段P 1P 2的中点为P .若直线l 的斜率为k 1(k 1≠0)，直线OP 的斜率为k 2，则k 1·k 2等于( )A ．－12 B.12C ．－2D ．2 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分．把答案填在题中横线上)13．命题“存在一个三角形没有外接圆”的否定是________．14．已知命题p ：1≤x ≤2，q ：a ≤x ≤a ＋2，且綈p 是綈q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是________．15．已知直线l 1的一个方向向量为(－7,4,3)，直线l 2的一个方向向量为(x ，y,6)，且l 1∥l 2，则x ＝________，y ＝________.16．如图在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝2，AA 1＝1，则AC 1与平面ABCD 所成角的余弦值为________．三、解答题(本大题共6小题，满分70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)已知命题p ：不等式|x －1|>m －1的解集为R ，命题q ：f (x )＝－(5－2m )x 是减函数，若p 或q 为真命题，p 且q 为假命题，求实数m 的取值范围．18．(12分)求证：a ＋2b ＝0是直线ax ＋2y ＋3＝0和直线x ＋by ＋2＝0互相垂直的充要条件．19．(12分)抛物线y ＝－x 22与过点M (0，－1)的直线l 相交于A ，B 两点，O 为原点，若OA 和OB 的斜率之和为1，求直线l 的方程．20．(12分)已知椭圆C 的中心为平面直角坐标系xOy 的原点，焦点在x 轴上，它的一个顶点到两个焦点的距离分别是7和1.(1)求椭圆C 的方程；(2)若P 为椭圆C 上的动点，M 为过P 且垂直于x 轴的直线上的点，|OP ||OM |＝e (e 为椭圆C 的离心率)，求点M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．21．(12分)如图，在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝2AA 1，点D 是A 1B 1的中点，点E 在A 1C 1上，且DE ⊥AE .(1)证明：平面ADE⊥平面ACC1A1；(2)求直线AD和平面ABC1所成角的正弦值．22．(12分)如图所示，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，已知DC＝DD1＝2AD＝2AB，AD⊥DC，AB∥DC.(1)设E是DC的中点，求证：D1E∥平面A1BD；(2)求二面角A1—BD—C1的余弦值．1．解析 p ：x <2，q ：0<x <3.∴pD ⇒/q ，qD ⇒/p .∴p 是q 的既不充分也不必要条件．答案 D2．解析 由y ＝14x 2，得x 2＝4y ，∴焦点坐标为(0,1)．答案 C2．解析 命题p 为真，q 为假，∴“p ∨q ”为真，“p ∧q ”、“綈p ”为假，故应选B.答案 B4．解析 由x 24＋y 2k ＝1表示双曲线知，k <0，且a 2＝4，b 2＝－k ，∴e 2＝c 2a 2＝4－k 4，∵1<e <2，∴1<4－k 4<4.∴4<4－k <16，∴－12<k <0.答案 C5．解析 ①是全称命题，②是全称命题，③綈p ：∀x ∈R ，x 2＋2x ＋1>0.∴①不正确，②正确，③不正确．答案 B6．解析 ①正确，②不正确，③正确，④正确．答案 C7．解析 ∵a ∥b ，∴a ＝λb ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋1＝6λ，0＝λ(2n －1)，2m ＝2λ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝15，n ＝12，λ＝15.∴m ＝15，n ＝12.答案 A 8．解析 设双曲线的焦距为2c ，由双曲线方程知c 2＝3＋p 216，则其左焦点为(－3＋p 216，0)．由抛物线方程y 2＝2px 知其准线方程为x ＝－p 2，由双曲线的左焦点在抛物线的准线上知，3＋p 216＝p 24，且p >0，解得p ＝4.答案 C9．解析 由双曲线的定义知，|PF 1|－|PF 2|＝2a ，又|PF 1|＝4|PF 2|，∴|PF 1|＝8a 3，|PF 2|＝2a 3.又|PF 2|≥c －a ，即2a 3≥c －a .∴c a ≤53.即e ≤53.答案 C10．解析 建立空间直角坐标如图所示．设AB ＝2，则EF →＝(0，－1,1)．BC 1→＝(2,0,2)，∴cos 〈EF →·BC 1→〉＝EF →·BC 1→|EF →||BC 1→|＝28·2＝12， 故EF 与BC 1所成的角为60°.答案 B11．解析 直线y ＝－2x －3与4x ＋2y －1＝0平行，所以与①不相交．②中圆心(0,0)到直线2x ＋y ＋3＝0的距离d ＝35< 3.所以与②相交．把y ＝－2x －3代入x 22＋y 2＝1，得x 22＋4x 2＋12x ＋9＝1，即9x 2＋24x ＋16＝0，Δ＝242－4×9×16＝0，所以与③有交点．观察选项知，应选D.答案 D12．解析 设直线l 的方程为y ＝k 1(x ＋2)，代入x 2＋2y 2＝2，得(1＋2k 21)x 2＋8k 21x ＋8k 21－2＝0，设P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8k 211＋2k 21， 而y 1＋y 2＝k 1(x 1＋x 2＋4)＝4k 11＋2k 21. ∴k 2＝y 1＋y 22x 1＋x 22＝－12k 1，∴k 1·k 2＝－12. 答案 A13．解析 命题“存在一个三角形没有外接圆”是特称命题，它的否定是全称命题“任意一个三角形都有外接圆．”答案 任意一个三角形都有外接圆14．解析 “p 是q 的必要不充分条件”的逆否命题是“q 是p 的必要不充分条件”．∴{x |1≤x ≤2}{x |a ≤x ≤a ＋2}，∴0≤a ≤1. 答案 0≤a ≤115．答案 －14 816．解析 由题意知，AC 1＝22＋22＋1＝3，AC ＝22＋22＝22，在Rt △AC 1C 中，cos ∠C 1AC ＝AC AC 1＝223.答案 22317．解 由|x －1|>m －1的解集为R ，知m －1<0，∴m <1.即p ：m <1.又f (x )＝－(5－2m )x 是减函数，∴5－2m >1，即m <2，即q ：m <2.若p 真q 假，则⎩⎨⎧ m <1，m ≥2，m 不存在． 若p 假q 真，则⎩⎨⎧ m ≥1，m <2，∴1≤m <2.综上知，实数m 的取值范围是[1,2)．18．证明 充分性：当b ＝0时，如果a ＋2b ＝0，那么a ＝0，此时直线ax ＋2y ＋3＝0平行于x 轴，直线x ＋by ＋2＝0平行于y 轴，它们互相垂直；当b ≠0时，直线ax ＋2y ＋3＝0的斜率k 1＝－a 2，直线x＋by ＋2＝0的斜率k 2＝－1b ，如果a ＋2b ＝0，那么k 1k 2＝(－a 2)×(－1b )＝－1.故两直线互相垂直．必要性：如果两条直线互相垂直且斜率都存在，那么k 1k 2＝(－a 2)×(－1b )＝－1，所以a ＋2b ＝0，若两条直线中有直线的斜率不存在，且互相垂直，则b ＝0，且a ＝0，所以a ＋2b ＝0.综上可知，a ＋2b ＝0是直线ax ＋2y ＋3＝0和直线x ＋by ＋2＝0互相垂直的充要条件．19．解 显然直线l 垂直于x 轴不合题意，故设所求的直线方程为y ＝kx －1，代入抛物线方程化简，得x 2＋2kx －2＝0.由根的判别式Δ＝4k 2＋8＝4(k 2＋2)>0，于是有k ∈R .设点A 的坐标为(x 1，y 1)，点B 的坐标为(x 2，y 2)，则y 1x 1＋y 2x 2＝1.① 因为y 1＝kx 1－1，y 2＝kx 2－1，代入① ，得2k －(1x 1＋1x 2)＝1.② 又因为x 1＋x 2＝－2k ，x 1x 2＝－2，代入②得k ＝1.所以直线l 的方程为y ＝x －1.20．解 (1)设椭圆长半轴长及半焦距分别为a ，c 由已知得⎩⎨⎧ a －c ＝1，a ＋c ＝7，解得⎩⎨⎧ a ＝4，c ＝3，所以椭圆C 的方程为x 216＋y 27＝1.(2)设M (x ，y )，P (x ，y 1)，其中x ∈[－4,4]．由已知得x 2＋y 21x 2＋y 2＝e 2.而e ＝34，故16(x 2＋y 21)＝9(x 2＋y 2)．① 由点P 在椭圆C 上得y 21＝112－7x 216，代入①式并化简得9y 2＝112，所以点M 的轨迹方程为y ＝±473(－4≤x ≤4)，它是两条平行于x轴的线段．21．解 (1)证明：由正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的性质知AA 1⊥平面A 1B 1C 1.又DE ⊂平面A 1B 1C 1，所以DE ⊥AA 1.而DE ⊥AE ，AA 1∩AE ＝A ，所以DE ⊥平面ACC 1A 1.又DE ⊂平面ADE ，故平面ADE ⊥平面ACC 1A 1.(2)如图所示，设O 是AC 的中点，以O 为原点建立空间直角坐标系．不妨设AA 1＝2，则AB ＝2，相关各点的坐标分别是A (0，－1,0)，B (3，0,0)，C 1(0,1，2)，D (32，－12，2)．易知AB →＝(3，1,0)，AC 1→＝(0,2，2)，AD →＝(32，12，2)．设平面ABC 1的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，则有⎩⎨⎧n ·AB →＝3x ＋y ＝0，n ·AC 1→＝2y ＋2z ＝0.解得x ＝－33y ，z ＝－2y .故可取n ＝(1，－3，6)．所以cos 〈n ，AD →〉＝n ·AD →|n ||AD →|＝2310×3＝105.由此可知，直线AD和平面ABC1所成角的正弦值为10 5.22．解(1)证明：在图中连接B，E，则四边形DABE为正方形，∴BE＝AD＝A1D1，且BE∥AD∥A1D1.∴四边形A1D1EB为平行四边形．∴D 1E ∥A 1B .又D 1E ⊄平面A 1BD ，A 1B ⊂平面A 1BD ，∴D 1E ∥平面A 1BD .(2)以D 为原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设DA ＝1，则D (0,0,0)，A (1,0,0)，B (1,1,0)，C 1(0,2,2)，A 1(1,0,2)．∴DA 1→＝(1,0,2)，DB →＝(1,1,0)．设n ＝(x ，y ，z )为平面A 1BD 的一个法向量，由n ⊥DA 1→，n ⊥DB →，得⎩⎨⎧x ＋2z ＝0，x ＋y ＝0，取z ＝1，则n ＝(－2,2,1)．又DC 1＝(0,2,2)，DB →＝(1,1,0)，设m ＝(x 1，y 1，z 1)为平面C 1BD 的一个法向量，由m ⊥DC 1→，m ⊥DB →， 得⎩⎨⎧ 2y 1＋2z 1＝0，x 1＋y 1＝0，取z 1＝1，则m ＝(1，－1,1)．设m 与n 的夹角为α，二面角A 1－BD －C 1为θ，显然θ为锐角，∴cos α＝m ·n |m ||n |＝－39×3＝－33.∴cosθ＝3 3，即所求二面角A1－BD－C1的余弦值为3 3.。
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高中新课标数学选修（1-2）综合测试题
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
)
1.独立性检验，适用于检查______变量之间的关系 （ ）
A.线性
B.非线性
C.解释与预报
D.分类
2.样本点),(,),,(),,(2211n n y x y x y x 的样本中心与回归直线a x b y
ˆˆˆ+=的关系（ ）
A.在直线上
B.在直线左上方
C. 在直线右下方
D.在直线外
3.复平面上矩形ABCD 的四个顶点中，C B A 、、所对应的复数分别为
i 32+、i 23+、i 32--，则D 点对应的复数是
（ ）
A.i 32+-
B.i 23--
C.i 32-
D.i 23-
4.在复数集C 内分解因式5422+-x x 等于 （ ）
A.)31)(31(i x i x --+-
B.)322)(322(i x i x --+-
C.)1)(1(2i x i x --+-
D.)1)(1(2i x i x -+++
5.已知数列 ,11,22,5,2，则52是这个数列的
（ ）
A.第6项
B.第7项
C.第19项
D.第11项
6. 已知2()
(1),(1)1()2
f x f x f f x +=
=+ *x N ∈（）
，猜想(f x ）的表达式为（ ）. A.4()22x f x =+ B.2()1f x x =+ C.1()1
f x x =+
D.2()21
f x x =+
7.2020)1()1(i i --+的值为
（ ）
A.0
B.1024
C.1024
-
D
.
10241
-
8.确定结论“X与Y有关系”的可信度为95℅时，则随机变量2k的观测值
k
必
须
（
）
A.大于828
.
10 B.大于841
.3 C.小于635
.6 D.大
于
706
.2
9.已知复数z满足|
|z
z-
=，则z的实部
（）
A.不小于0
B.不大于0
C.大于0
D
.
小
于
10.下面说法正确的有
( )
（1）演绎推理是由一般到特殊的推理；
（2）演绎推理得到的结论一定是正确的；
（3）演绎推理一般模式是“三段论”形式；
（4）演绎推理的结论的正误与大前提、小前提和推理形式有关。
个个个个
11.命题“任意角θθθθ2cos sin cos ,44=-”的证明：
“θθθθθθθθθ2cos sin cos )sin )(cos sin (cos sin cos 22222244=-=+-=-”过程应用了 ( )
A.分析法
B.综合法
C.综合法、分析法结合使用
D.间接证法
12.如果复数z 满足633=-++i z i z ，那么i z ++1的最小值是 （ ）
A. 1
B. 2
C. 2
D
.
5
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。
把答案填在题中的横线上。
）
13.设复数z 满足i z i 23)1(+-=+，则z 的虚部是 。
14.从 ),4321(16941,321941),21(41,11+++-=-+-++=+-+-=-=，概括出第n 个式子为___________。
15.指出三段论“自然数中没有最大的数（大前提），2是自然数（小前提），所以2不是最大的数（结论）”中的错误是___________。
16.已知
i a i
i 31)1(3
+=+-，则__________=a 。
三、解答题（本大题共6小题，共70分。
解答应写出文字说明，证明过
程
或
演
算
步
骤。
）
17.（10分）已知关于x 的方程03)12(2=-+--i m x i x 有实数根,求实数m
的值。
18.（12分）考查小麦种子经灭菌与否跟发生黑穗病的关系，经试验观察，
得到数
据如 下表所示：
试按照原实验目的作统计分析判断小
麦种子灭菌与黑穗病是否具有相关关系。
19.
（12分）复数z 满
足|z |=1，且01
22<+
+z
z z 。
求z 20.（12分）已知R d c b a ∈、、、，且,11>+=+=+bd ac d c b a ，求证：
d c b a 、、、中至少有一个是负数。
21.（12分）某校高一.2班学生每周用于数学学习的时间x （单位：h ）与数学成绩y （单位：分）之间有如下数据：
某同学每周用于数学学习的时间为18小时，试预测该生数学成绩。
22.（12分）若10000531>++++n ，试设计一个程序框图，寻找满足条件的最小整数。
高中新课标数学选修（1-2）综合测试题答案
一、选择题
；；；；；；；；；；；。
二、填空题 ；
14.2
)
1()1()1(16941121+-=-++-+-++n n n n n ； 15.小前提错误； 16.i 32--。
三、解答题
17. 解：设方程的实根为0x ，则03)12(020=-+--i m x i x ， 因为R m x ∈、0，所以方程变形为0)12()3(0020=+-++i x m x x ，
由复数相等得⎪⎩⎪⎨⎧
=+=++0
12030020x m x x ，解得⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧
=-=1212
10m x ，
故12
1=
m 。
18.解：841.38.4384
76250210)5018420026(4602
2
>≈⨯⨯⨯⨯-⨯⨯=
k ， ∴有95℅的把握认为小麦种子灭菌与否跟发生黑穗病有关。
19.解：由题意可知：ααsin cos i z += 则ααααcos sin 2sin cos 222i z +-=
∴0)sin cos sin 2()cos 32(cos 1
22
<+++=++i z
z z ααααα
∴⎩⎨
⎧=+<+0
sin cos sin 20
cos 32cos ααααα
若0sin =α则12cos =α，由0cos 32cos <+αα得1cos -=α，1-=z
若21cos -=α，则21
2cos -=α0cos 32cos <+αα得i z 2321±
-= ∴1-=z 或i z 2
3
21±
-= 20.证明：假设d c b a 、、、都是非负数 因为1=+=+d c b a ， 所以1))((=++d c b a ，
又bd ac bc ad bd ac d c b a +>+++=++))((， 所以1≤+bd ac ，
这与已知1>+bd ac 矛盾。
所以d c b a 、、、中至少有一个是负数。
21.解：因为学习时间与学习成绩间具有相关关系。
可以列出下表并用科
学计算器进行计算。
于是可得53.34
.1544
.5451010ˆ2
10
1
210
1
≈=
--=∑∑==x
x
y x y
x b
i i
i i
i ，
5.134.1753.39.74ˆ≈⨯-=-=x b y a
， 因此可求得回归直线方程5.1353.3ˆ+=x y
， 当18=x 时，7704.775.131853.3ˆ≈=+⨯=y
， 故该同学预计可得77分左右。
22.解：
否。