九年级数学圆的综合复习(二)人教实验版五四制知识精讲

九年级数学圆的综合复习（二）人教实验版五四制
【本讲教育信息】
一. 教学内容：
圆的综合复习（二）
二. 重点、难点：
1. 重点：圆的有关性质和圆有关的位置关系，正多边形与圆、弧长、扇形面积。

2. 难点：综合运用以上知识解题。

三. 具体内容：
1. 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧，平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。

2. 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。

3. 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。

半圆（或直径）所对的圆周角是直角，︒90的圆周角所对的弦是直径。

4. 点和圆的位置关系，设⊙O 半径为r ，点P 到圆心的距离d OP =。

则有：点P 在⊙O 外r d >⇔；点P 在⊙O 上r d =⇔；点P 在⊙O 内r d <⇔。

5. 不在同一直线上的三个点确定一个圆。

6. 直线和圆的位置关系，设⊙O 半径为r ，直线l 到圆心O 的距离为d 。

则有：直线l 和⊙O 相交r d <⇔；直线l 和⊙O 相切r d =⇔；直线l 和⊙O 相离r d >⇔。

7. 切线的性质和判定：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线，圆的切线垂直于过切点的半径。

8. 切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。

9. 圆和圆的位置关系，如果两圆的半径分别为1r 和2r （21r r <）圆心距为d ，则有：
两圆外离21r r d +>⇔；两圆外切21r r d +=⇔；两圆相交2112r r d r r +<<-⇔；两圆内切12r r d -=⇔；两圆内含120r r d -<≤⇔。

10. 弧长、扇形面积：在半径为R 的圆中， n 圆心角所对的弧长为l ，则180R n l π=，360
2R n S π=扇
【典型例题】
[例1] 如图，一条公路的转弯处是一段圆弧⋂CD ，点O 是圆弧所在圆的圆心，E 为⋂
CD 上一点，OE ⊥CD 于F ，已知CD=600m ，EF=100m ，求这段弯路的半径。

解：连结CO ，设半径为R ∵CD OE ⊥于F ∴CD DF CF 21=
= ∵m CD 600=∴m CF 300=∵m EF 100=
∴100-=-=R EF OE OF ∴ 在OFC Rt ∆中，22
2CF OF OC +=
∴222300)100(+-=R R ∴m R 500=
答：这段弯路的半径为m 500。

[例2] 如图，A 、B 、C 三点在⊙O 上，CE 是⊙O 的直径，CD ⊥AB 于D
（1）求证：BCE ACD ∠=∠
（2）延长CD 交⊙O 于F ，连接AE 、BF ，求证：AE=BF
证明：（1）∵ CE 为⊙O 直径 ∴︒=∠90CAE ∴︒=∠+∠90E ACE
∵AB CD ⊥于D ∴︒=∠+∠90ABC BCD
∵ABC E ∠=∠∴BCD ACE ∠=∠∴BCE ACD ∠=∠
（2）连结AO 、BO 、FO 由（1）知BCD ACE ∠=∠∴BOF AOE ∠=∠∴ AE=BF
[例3] 如图已知扇形OAB 半径为cm 6，C 为OB 中点，︒=∠120AOB ，求阴影部分面积。

解：延长BO ，过A 作AD ⊥OB 交BO 延长线于D
∵︒=∠120AOB ∴︒=∠60DOA ∴︒=∠-︒=∠3090DOA DAO
∵cm OA 6=∴ 在ADO Rt ∆中，321==
OA OD ，3322=-=OD OA AD ∵OAC OAB S S S ∆-=阴阴
∴))(2
3912(33321360361202cm S -=⨯⨯-⨯=
ππ阴
[例4] 如图，已知⊙O 半径为8cm ，点A 为半径OB 延长线上一点，射线AC 切⊙O 于C ，⋂BC 的长
为cm 3
8π，求线段AB 的长。

解：∵3
8π=
⋂BC l OB=OC=8cm ∴︒=∠60BOC ∵ AC 切⊙O 于C ∴︒=∠90ACO ∴︒=∠30A
∴在AOC Rt ∆中，OA=2OC=16cm ∴ AB=OA －OB=8cm
[例5] 如图，已知等边ABC ∆，以B 为直径的半圆与边AB 、AC 分别交于D 、E 两点，过D 作DF ⊥AC 于F 。

（1）判断DF 与⊙O 的位置关系，并证明你的结论；
（2）过F 作FH ⊥BC 于H ，若等边∆ABC 的边长为4，求FH 的长。

（1）答：DF 与⊙O 相切
证明：连结OD ∵ABC ∆为等边三角形 ∴B A ∠=∠
∵ OD=OB ∴ODB B ∠=∠∴ODB A ∠=∠∴ OD//AC
∵ DF ⊥AC ∴ OD ⊥DF ∴ DF 是⊙O 的切线
（2）解：连接CD
∵ BC 为⊙O 直径 ∴︒=∠90BDC
又 ∵ABC ∆是边长为4的等边三角形 ∴ BD=AD=2
∵︒=∠60A ∴︒=︒-︒=∠306090ADF
∴ 在ADF Rt ∆中，12
1==AD AF ∴3=-=AF AC FC ∵ FH ⊥BC 于H ∴ 在FCH Rt ∆中，︒=∠30HFC
∴2
321==FC HC ∴23322=-=HC FC FH
[例6] 已知AB 是半圆O 的直径，AB=16，OQ ⊥AB 交半圆O 于Q ，OB 是半圆O 1的直径，⊙O 2与半圆O 、半圆O 1及OQ 都相切，切点分别为M 、N 、C ，求⊙O 2的半径r 。

解：由已知，连结CO 2，OO 2，O 1O 2作O 2H ⊥AB 于H
则易知COHO 2为矩形 ∴ OH=CO 2=r ∴r OO H O -=11
∵ AB=16 ∴ OO 1=4 ∴ O 1H=r -4
∵⊙O 1与⊙O 2外切 ∴r O O +=421∵⊙O 与⊙O 2内切 ∴ OO 2=r -8
∴ 在H OO Rt 2∆中，r r r OH
OO H O 1664)8(2222222-=--=-= 在H O O Rt 21∆中，r r r H O O O H
O 16)4()4(222122122=--+=-= ∴r r 161664=-∴2=r
[例7] 如图，在平面直角坐标系中，以坐标原点O 为圆心的圆O 半径为12-，直线l ：2--=x y 与坐标轴分别交于A 、C 两点，点B 的坐标为（4，1），⊙B 与x 轴相切于点M
（1）求点A 的坐标及CAO ∠的度数；
（2）⊙B 以每秒1个单位的速度沿x 轴负方向平移，同时，直线l 绕点A 顺时针匀速旋转，当⊙B 第一次与⊙O 相切时，直线l 也恰好与⊙B 第一次相切，问：直线AC 绕点A 每秒旋转多少度？
解：（1）∵ 直线l ：2--=x y
令0=y 得2-=A x ∴ A （0,2-）
令0=x 得2-=C y ∴ C （2,0-）
∵ OA=OC 且︒=∠90AOC ∴︒=∠45CAO
（2）如图，设⊙B 平移)(s t 到⊙B 1处时与⊙O 第一次相切，此时，直线l 旋转到l '恰好与⊙B 1第一次相切于点P ，⊙B 1与x 轴切于点N ，连接B 1O ，B 1N ，则MN=t ，21=OB ，11=N B ，
AN N B ⊥1∴ ON=1 ∴ MN=3 即3=t
连接B 1A ，B 1P ，则N B P B AP P B 111,=⊥∴11NAB PAB ∠=∠
∵ OA=OB 1=2∴11NAB O AB ∠=∠∴11PAB O AB ∠=∠
∴ PA//OB 1∵ B 1N=ON=1 B 1N ⊥ON ∴︒=∠451ON B
在1NOB Rt ∆中，︒=∠451ON B ∴︒=∠45PAN
∴︒=∠901∴ 直线AC 绕点A 每秒旋转︒=÷︒30390
【模拟试题】
1.如图，PA 是⊙O 的切线，A 为切点，PA=23，∠A PO=30°，则⊙O 的半径为______。

2. 已知：⊙O 1和⊙O 2外切，⊙O 1的半径为3cm ，圆心距O 1O 2= 5cm ，则⊙O 2的半径R=____________。

3. 如图，△ABC 的内切圆⊙I 与边BC 、CA 、AB 分别切于D 、E 、F ，若∠A=70°，则 ∠BIC=，∠FDE=。

4. ⊙O 是ABC Rt ∆的内切圆，∠ACB=90°，且AB=13，AC=12，则其内切圆半径为。

5. 中心角是45°的正多边形的边数是___________。

6. 如图，AB 为半圆的直径，直线MN 切半圆于C ，MA ⊥MN 于M ，BN ⊥MN 于N ，若a AM =，b BN =，则直径AB=。

7. 半径为R 的圆内接正六边形的边长与边心距之比为_______________。

8. 圆锥底面圆的半径为5cm ，母线长是8cm ，则它的侧面积为________cm 2。

（注：用含π
的式子表示）
9. 若四边形ABCD 外切于⊙O ，且AB+CD=12cm ，⊙O 的半径为3cm ，则此四边形的面积为
___________ cm 2。

10. 如图，⊙O 与⊙O ’为相交的等圆，BC 分别切两圆于B 、C ，且r=1。

若两部分阴影面积相等，则OO ’的长为_______。

【试题答案】
1. 2
2. 2cm
3. 125o ；55o
4. 2
5. 8
6.
b a + 7. 3:2 8. π40 9. 36 10. 2π。