高中数学有关分式型最值问题的探讨人教版

关于求f
ex dx c bx ax y ++++=22型最值问题的方法初讨
株洲市第四中学 欧晓东
对于f
ex dx c bx ax y ++++=22型的最值类问题一直是学生的难点，主要的原因是学生对这类问题缺乏归纳总结。

笔者通过不断观察、分析，特对这类问题的方法探讨总结得出其大致可分为三类〔指分子分母的最高次数〕：分子的次数比分母的次数高；分子的次数比分母的次数低；分子的次数等于分母的次数；具体解决方法如下：
一、 分子的次数比分母的次数高
对于这类问题常可转化成利用均值不等式的形式，具体方案是造分母。

例1、当1->x 时，求函数1
)2)(5(+++=x x x y 的最小值。

解:∵1
)2)(5(+++=x x x y =14)1(5)1(110722+++++=+++x x x x x x 51
4)1(++++=x x ∵ x>-1 ∴ x+1>0 ∴14)1(++
+x x ≥4 ∴ y ≥9 〔当且仅当x+1=1
4+x 即x=1时取等号〕 二、 分子的次数比分母的次数低
我们在解方程时往往是化多元为二元、化二元为一元，采取的是划归的思想。

鉴于此，这类问题常可化归成第一类问题来解决。

例2、求)0(1600
39202>++=x x x x y 的最大值。

方案一：∵x ≠0 ∴x
x x y 9201600312++= 这样一来问题就划归成了分
子的次数比分母的次数高类的问题了〔具体过程略〕；
方案二：∵x ≠0 ∴31600920160039202++=++=x
x x x x y 所以问题转化成求31600'++=x
x y 的最值问题了。

观察发现此类问题都是转化分子分母的关系从而化归。

于是此类题也可提炼出自己的规律，方法类似。

具体方案是造分子。

例3、求)8050()40()50(102
5≤<--=x x x y 的最大值。

分析：∵x ≠50 ∴100
)50(20)50()50(10)40()50(102525+-+--=--=x x x x x y ∴2050
100)50(105
+-+-=x x y 三、 分子的次数等于分母的次数
如果分子的次数等于分母的次数，这类问题较为复杂：分如下几种情况：〔1〕、自变量的X 围是全体实数，常采用判别式法；〔2〕自变量的X 围不是全体实数，那么常结合根的分布来讨论或分离常数〔变量〕。

例4、假设对R x ∈恒有),(1
22322*∈>++++N n n x x x x 试求n 的值。

方案一〔判别式法〕：∵012>++x x
∴02)2()3(2>-+-+-n x n x n 对R x ∈恒成立
∴⎩
⎨⎧<---->-0)2)(3(4)2(032n n n n ∴20<<n ∵*∈N n ∴ n=1
方案二〔分离常数〕：∵1
131223222+++-=++++<x x x x x x x n ∴ 令1
12+++=x x x y 那么只要求y 的最大值即可，转化成分子的次数比分母的次数低
另外，读者可以观察到上几题都有具体的X 围，当然，假设改变条件那么此类题相应可化归结)0(1≠+=x x x y 这类问题的解答。

如例1改为：
当1-≠x 时，求函数1
)2)(5(+++=x x x y 的最值。

解:∵1
)2)(5(+++=x x x y =14)1(5)1(110722+++++=+++x x x x x x 51
4)1(++++=x x 令t ＝x+1〔t ≠0〕,那么54
++=t t y .问题转化为当t ≠0时，求
54++=t
t y 的最值。

由图知
当t ＝2即x=1时,有最小值9
当t ＝-2即x=-3时,有最大值1
知识间是相互联系的，不存在相互独立的、孤立的知识点。

只要我们发现、挖掘它们间的内在联系，运用化归的思想，把看似孤立的知识点建立联系，用链锁把它们连接在一起。

做到这一点，我想至少可以大大的减轻学生对数学的恐惧感，发现数学的内在美。