初中数学七年级上册《绝对值》知识简要与举例

初中数学七年级上册

《绝对值》知识简要与举例

1.绝对值的概念是代数的重要概念之一，它是学习代数后续内容的基础.同时，利用绝对值的概念，能使我们进一步认识已学过的概念.例如，我们可以把任何一个有理数看成是由符号与绝对值两部分组成；又如，互为相反数的两个数，其实质是绝对值相等而符号相反的两个数.像－6和6，它们的符号相反，而其绝对值|－6|=|6|=6.

2.理解绝对值的意义，应注意以下三点：

(1)绝对值的非负性即任何一个数a的绝对值，总是非负的.即|a|≥0.当a≠0时，|a|＞0；当a=0时，|a|=0.

(2)绝对值相等的两个数或相等，或互为相反数.如|2|=|+2|=2，|+2|=|－2|=2.一般地，若|x|=|y|，则有x=y或x=－y.

(3)学习了绝对值的几何意义后，数轴的概念、画法、利用数轴比较数的大小、相反数以及绝对值，借助数轴，这些知识便都联系到一起了.

3.用正负数可以表示具有相反意义的量.但在实际生产和生活中，有时不考虑方向性.如：计算汽车的耗油量时，知道行驶单位路程的耗油量，只需求出汽车行驶的总路程，便可求出耗油量，与行驶的方向无关而汽车所走的路程就只需用正数表示，因此，引出绝对值的概念.

4.绝对值的三种表达方法.

（1）文字语言表达法（绝对值的概念）：

一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值是零.

（2）用数学式子法：

设a为任意有理数，则

(3)绝对值的几何意义：

一个数的绝对值就是表示这个数的点离开原点的距离.

［例1］判断题

(2)|－0.01|＜0.( )

(3)－（－4）＜|－4|.( )

(4)|a|=a.( )

(5)当a≤0时，|a|+a=0.( )

答案：(1)√；(2)×；(3)×；(4)×；(5)√.

说明：在有理数的大小比较中，如果含有绝对值或相反数时，可先化简，然后再进行比较.

［例2］填空题

（5）______________与它的绝对值互为相反数；

（6）如果|a|=|－7|，那么a=________.

说明：如果两个数相等或互为相反数，那么这两个数的绝对值相等；反之，如果这两个数的绝对值相等，那么这两个数相等或互为相反数.

［例3］a为何值时，下列各式成立?

(1)|a|=a；（2）|a|=－a；（3）|a|≥a；

（4）|a|＜a；（5）|a|=5；（6）|a|=－5.

解：（1）a≥0；

（2）a≤0；

（3）a为任意有理数时，都使|a|≥a成立；

（4）a为任意有理数时，|a|＜a都不成立；

（5）a=±5；

（6）a为任意有理数时，|a|=－5都不成立.

说明：本题解决的关键是牢固掌握绝对值的非负性，即|a|≥0.另外，（3）、

（4）小题还要准确理解有理数大小的比较法则.

［例4］比较大小：

［例5］把下列各数按照从大到小的顺序用“＞”连接起来：

说明：学了绝对值的概念之后，比较两有理数大小的基本方法，我们便有了两种：(1)数轴法；(2)绝对值法.在这小节的后一部分，介绍了利用绝对值比较两个负数的大小的办法.这既可巩固绝对值的概念，又把比较有理数大小的方法提高了一步.利用绝对值来比较两有理数大小的方法是我们常用的方法之一.前面提到绝对值的概念是代数中重要的概念之一，我们应该很好地掌握它.

［例6］（1）若a＞3,则|a－3|=________;

（2）若a=3,则|a－3|=________;

（3）若a＜3,则|a－3|=________.

分析：要想正确地化简|a－3|的结果.关键是确定a－3的符号.当a＞3时，a －3＞0,即a－3为正，由正数的绝对值是它本身，可得结果为a－3;当a=3时，a －3=0,所以|a－3|=|0|=0;当a＜3时，a－3＜0,即a－3为负数，由负数的绝对值等于它的相反数可得|a－3|=－(a－3).

解：（1）a＞3时，|a－3|=a－3;

（2）a=3时，|a－3|=0;

（3）a＜3时，|a－3|=－(a－3)

说明：由本题的解法说明，化简含有字母的式子的绝对值时，必须先讨论这个式子的计算结果的正负性.否则会出现错误，如|a－3|=a－3(×).