基于多目标规划在生产计划问题上的应用
多目标规划实例
多目标规划实例简介多目标规划是一种决策方法，它可以帮助人们在多个目标之间做出权衡和平衡。
在实际问题中，通常会有多个相互关联的目标需要同时考虑，而单目标规划无法满足这种需求。
多目标规划通过建立多个目标函数和约束条件之间的优化问题，从中寻找一个解集，该解集包含了一系列近似最优的解，这些解通常被称为 Pareto 最优解。
在本文中，我们将介绍一个实际的多目标规划问题，并使用 Markdown 文本格式展示其模型、目标函数和约束条件。
实例描述假设我们是一家电子产品制造公司，我们要生产两种类型的电子产品：手机和平板电脑。
我们有两个主要的目标：最大化销售额和最小化生产成本。
我们需要找到一个生产计划，使得销售额最大化同时生产成本最小化。
模型我们假设我们可以生产的手机数量为 x，平板电脑数量为 y。
我们使用以下模型描述我们的多目标规划问题：•目标函数 1：最大化销售额–销售额 = 销售价格 × 销售数量–销售价格：手机价格为 P1，平板电脑价格为 P2–销售数量：手机数量为 x，平板电脑数量为 y•目标函数 2：最小化生产成本–生产成本 = 生产成本1 + 生产成本2–生产成本1：生产一个手机的成本为C1–生产成本2：生产一个平板电脑的成本为 C2•约束条件–生产产能限制：手机数量加平板电脑数量不能超过产能上限 N–非负约束：手机数量和平板电脑数量不能为负数目标函数和约束条件根据上述模型，我们可以得到以下目标函数和约束条件。
目标函数 1：最大化销售额Maximize: P1 * x + P2 * y目标函数 2：最小化生产成本Minimize: C1 * x + C2 * y约束条件x + y <= Nx >= 0y >= 0结论多目标规划是一种强大的决策方法，可以帮助我们在多个目标之间做出权衡和平衡。
在本文中，我们介绍了一个实际的多目标规划问题，以及该问题的模型、目标函数和约束条件。
多目标规划应用实例
02
投资者需要在满足一定风险承 受能力的前提下，最大化投资 组合的预期收益，同时考虑市 场波动、政策风险等因素。
03
投资决策问题需要考虑多个目 标之间的权衡和折中，以实现 整体最优。
目标函数
收益最大化
投资者希望获得尽可能高的投资回报率，通 常以预期收益率作为目标函数。
风险最小化
投资者希望将投资风险降至最低，通常以方 差或标准差作为目标函数。
城市发展需满足环境保护的相关法律法规和标准。
3
3. 资源利用约束
城市发展需遵循资源利用的可持续性原则。
求解方法与结果分析
• 多目标规划问题通常采用权重法、目标规 划法、遗传算法等求解方法进行求解。通 过对不同方案进行比较和评估，可以得出 最优解或满意解。在城市规划与交通管理 中，多目标规划的应用可以帮助决策者全 面考虑各种因素，制定出更加科学、合理 的城市规划方案，提高城市运行效率，促 进城市的可持续发展。
多目标规划能够为决策者提供一个 系统的方法来权衡和比较不同目标 之间的优劣，从而提高决策的科学 性和合理性。
折衷与平衡
多目标规划可以帮助决策者在多个 目标之间找到一个相对最优的折衷 方案，实现不同目标之间的平衡发 展。
多目标规划的方法与步骤
方法
多目标规划常用的方法包括层次分析 法、多属性决策分析、数据包络分析 等。
问题描述
目标函数
• 目标函数包括两个部分：最小化生产成本 和运输成本。生产成本由各个工厂的生产 费用决定，运输成本则取决于各个工厂之 间的运输距离和运输量。
约束条件
• 约束条件包括：各个工厂的生产能力限制、市场需求量限制以及产品种类限制等。这些约束条件确保了生产计 划的可实施性和有效性。
多目标优化基本概念
多目标优化基本概念多目标优化（Multi-objective Optimization，简称MOO）是一种在优化问题中同时考虑多个冲突的目标并找到它们之间的最佳平衡点的方法。
在很多实际问题中，单一目标优化方法无法解决问题的多样性和复杂性，因此需要多目标优化方法来解决这些问题。
1.目标函数：多目标优化问题通常涉及到多个冲突的目标函数。
这些目标函数通常是需要最小化或最大化的。
例如，在生产计划问题中，需要最小化成本和最大化生产效率。
在路线规划问题中，需要最小化行驶距离和最小化行驶时间。
2. Pareto最优解：多目标优化问题的解集通常由一组候选解组成，这些解在目标空间中构成了一个前沿（Frontier）或Pareto前沿。
Pareto最优解是指在目标空间中，不存在其他解能够同步减小或增大所有目标函数值而不减小或增大一些目标函数值的解。
也就是说，Pareto最优解是一种无法在同时满足所有目标的情况下进一步优化的解。
3.帕累托支配关系：在多目标优化问题中，解的优劣之间通常通过帕累托支配关系进行比较。
如果一个解A在目标空间中支配解B，则称解A支配解B。
一个解A支配解B，意味着解A在至少一个目标函数上优于解B，并且在其他目标函数上与解B相等。
如果一个解A不能被任何其他解支配，则称解A为非支配解。
4. 优化算法：多目标优化问题的解集通常非常复杂，无法通过常规的单目标优化算法来解决。
因此，需要专门的多目标优化算法。
常见的多目标优化算法包括进化算法（如遗传算法、粒子群算法）、多目标精英蚁群算法、多目标遗传规划算法等。
这些算法在空间中同时考虑多个目标函数，并通过不同的策略来寻找Pareto最优解。
例如，在进化算法中，通过使用非支配排序和拥挤度距离来保持种群的多样性，并在进化过程中进行解集的更新和进化。
5. 解集选择和决策：多目标优化算法通常会生成一组非支配解，这些解构成了整个Pareto前沿。
解集选择是指从这个解集中选择一个或多个解作为最终的优化结果。
《多目标规划实例》课件
多目标规划的基本概念
REPORTING
目标函数
01
目标函数是用来衡量规划方案效果的数学表达式， 通常表示为决策变量的函数。
02
在多目标规划中，目标函数可能不止一个，每个目 标函数代表一个需要优化的目标。
03
目标函数的值可以是最大化或最小化的，具体取决 于问题的要求。
约束条件
01 约束条件是限制决策变量取值范围的规则或条件 。
混合智能算法
结合人工智能、机器学习等先进技术，开发混合智能算法，提高多 目标规划的自动化和智能化水平。
扩展应用领域
多目标规划的应用领域将进一步扩大，涵盖经济、工程、环境、社 会等更多领域，为解决实际问题提供更多思路和方法。
如何更好地应用多目标规划解决实际问题
强化理论支撑
深入研究多目标规划的基本理论，提高其理论水平和科学性，为实际应用提供更有力的理论支撑。
总结词
资源分配问题是一个多目标规划的经典问题，旨在合理分配有限资源以达到多 个目标最优。
详细描述
资源分配问题通常涉及多个相互冲突的目标，如最大化效益、最小化成本、确 保资源公平分配等。通过多目标规划方法，可以找到一种权衡方案，使得各个 目标在不同程度上得到优化。
实例二：生产计划问题
总结词
生产计划问题是多目标规划在制造业中的实际应用，旨在平衡生产成本、交货期和产品质量等多个目 标。
解释
在多目标规划中，决策者需要权衡多 个目标之间的利益关系，并找到一个 平衡点，使得所有目标都能得到相对 最优的解。
多目标规划的重要性
解决现实问题
多目标规划能够解决许多现实问题， 如资源分配、项目评估等，这些问题 通常涉及到多个相互冲突的目标。
基于双重规划的优化调度方法研究
基于双重规划的优化调度方法研究在生产调度、物流调度等领域中，如何实现最优的资源利用，提高生产效率，一直是一个重要的问题。
传统的调度方法通常只考虑单一目标，如时间、成本、质量等，缺乏综合考虑，容易导致某些任务被优先安排，而忽略了其他任务的重要性。
为此，基于双重规划的优化调度方法被提出。
双重规划是一种多目标优化方法。
与传统单目标优化不同，双重规划旨在解决两个或两个以上的目标功能之间的矛盾或冲突。
在调度问题中，双重规划可以将调度目标分为两个层次：一是资源利用效率，即如何最大限度地利用有限的资源，使任务的完成时间最短；二是业务目标，即如何满足不同任务的质量要求、交期等特定需求。
在应用双重规划进行调度时，需要先对各任务的约束条件进行描述，包括任务加工工序、工艺时间、资源需求等。
然后，根据约束条件，制定计划，将任务分配给不同的设备或工作组，并制定相应的执行时间。
最后，将计划和执行结果进行反馈和调整，以满足不同的要求和优化目标。
整个过程需要通过计算机模拟或数学建模等方法实现。
基于双重规划的优化调度方法有多种优点。
首先，它可以提高资源的利用效率，避免资源浪费和闲置。
其次，它考虑了多个目标，确保不同任务的要求都能得到满足。
此外，双重规划可以帮助调度人员更好地理解调度问题，从而采取更加科学合理的调度策略。
最后，它可以不断地优化调度方案，使得调度系统能够不断地适应市场和业务变化。
不过，基于双重规划的优化调度方法也存在一些挑战和限制。
首先，由于计算成本较高，需要进行大量的数据收集和处理，所以实现起来比较复杂。
其次，当目标函数个数增加时，优化难度也会不断增加。
此外，由于系统本身的复杂性，较难对每个目标得到全局最优解。
基于双重规划的优化调度方法在未来的发展中，需要进一步完善和改进。
一方面，需要将人工智能、机器学习等技术应用到优化调度中，以提高计算效率和准确度。
另一方面，需要建立更加完善的算法和模型，以应对更加复杂的业务场景和调度需求。
多目标规划
多目标规划
多目标规划是一种管理和决策方法，用于解决具有多个竞争目标的问题。
在日常生活和商业环境中，我们常常面临多个目标的冲突和权衡，面临难以做出有效决策的情况。
多目标规划通过将多个目标和约束条件转换为数学模型，帮助决策者找到最优的解决方案。
多目标规划的基本思想是将多个目标转化为一个目标函数，然后通过优化算法求解这个目标函数的最优解。
在多目标规划中，每个目标对应着一个权重，决策者可以根据实际需求和优先级为每个目标分配不同的权重。
优化算法会考虑各个目标的权重，尽量减小目标函数的值。
多目标规划的优势在于它能够同时优化多个目标，避免了单一目标规划的片面性。
它能够帮助管理者在多个目标之间进行权衡，找到最合理的解决方案。
例如，一个公司希望在降低成本的同时提高产品质量，采用多目标规划可以帮助公司找到一个平衡点，实现成本和质量的最优化。
多目标规划还可以应用于各种复杂的决策问题，如资源分配、供应链管理、生产计划等。
在资源分配问题中，多目标规划可以考虑到多个资源的利用效率和经济性，从而提高整体资源利用率。
在供应链管理中，多目标规划可以考虑到多个目标，如减少库存成本、提高交付效率和降低物流成本等，从而优化供应链的绩效。
多目标规划方法有许多不同的求解算法，如线性加权法、加权
规范化法、最坏目标法等。
不同的算法适用于不同的问题，可以根据实际情况和具体需求选择合适的方法。
总而言之，多目标规划是一种强大的管理和决策工具，能够帮助决策者在多个目标之间进行权衡和平衡，找到最优的解决方案。
它可以应用于各种不同的领域和问题，帮助解决现实生活和商业环境中的复杂决策问题。
多目标规划(运筹学
环境与资源管理
资源利用
多目标规划可用于资源利用优化，以最 大化资源利用效率、最小化资源浪费为 目标，同时考虑环境保护、可持续发展 等因素。
VS
环境污染控制
多目标规划可以应用于环境污染控制，以 最小化污染排放、最大化环境质量为目标 ，同时考虑经济成本、技术可行性等因素 。
城市规划与交通管理
城市布局
发展更高级的建模语言和工具， 以简化多目标规划问题的描述和 求解过程。
求解算法
02
03
混合整数规划
研究更高效的求解算法，以处理 大规模、高维度的多目标规划问 题。
研究如何将连续变量和离散变量 有效地结合在多目标规划问题中， 以解决更广泛的优化问题。
数据驱动的多目标优化
数据驱动决策
利用大数据和机器学习技术，从大量数据中提取有用的信息，以 支持多目标决策过程。
案例二：投资组合优化
总结词
投资组合优化是多目标规划在金融领域的应 用，旨在实现投资组合的风险和回报之间的 最佳平衡。
详细描述
在投资组合优化中，投资者需要权衡风险和 回报两个目标。多目标规划方法可以帮助投 资者找到一个最优的投资组合，该组合在给 定风险水平下能够获得最大的回报，或者在 给定回报水平下能够实现最小的风险。通过 考虑多个目标，多目标规划可以帮助投资者 避免过度依赖单一目标而导致的潜在风险。
在多目标规划中，约束条件可能包括资源限制、时间限制、技术限制等，需要综合考虑各种因素来制 定合理的约束条件。
决策变量
决策变量是规划方案中需要确定的参 数，其取值范围和类型根据问题的实 际情况而定。
在多目标规划中，决策变量可能包括 投资规模、生产能力、产品种类等， 需要合理选择和定义决策变量，以便 更好地描述问题。
多目标优化的应用
多目标优化的应用多目标优化是指在一个优化问题中同时考虑多个目标，而不是仅针对单个目标进行优化。
在现实世界中，许多问题具有多个相互关联的目标，因此多目标优化技术可以应用于各种领域，包括工程、经济学、管理学、生物学等等。
下面将介绍几个典型的多目标优化应用。
1.工程设计：在工程设计中，常常需要考虑多个目标，例如成本、可靠性、效率等。
多目标优化可以帮助工程师在设计过程中找到最优的权衡解，以满足不同的设计要求。
2.能源系统规划：能源系统规划是一个复杂的问题，涉及到多个目标，如能源供应的可靠性、经济性、环境可持续性等。
多目标优化可以帮助能源规划者找到最佳的能源配置方案，以实现不同目标的平衡。
3.物流优化：在物流领域，需要考虑多个目标，如成本、送货时间、货物损失等。
多目标优化可以用于优化路线规划、货物调度等问题，以提高物流效率和客户满意度。
4.金融投资决策：在金融领域，投资者通常关注多个目标，如收益、风险、流动性等。
多目标优化可以帮助投资者在收益和风险之间找到最佳的平衡，以制定合理的投资策略。
5.生产调度：在生产调度中，需要同时考虑多个目标，如生产效率、资源利用率、交货期等。
多目标优化可以用于制定最优的生产计划，以提高生产效率和满足客户需求。
6.城市规划：在城市规划中，需要平衡多个目标，如社会经济发展、环境保护、居民生活质量等。
多目标优化可以帮助城市规划者找到最佳的城市发展方案，以实现可持续发展和改善居民生活。
以上只是多目标优化的一些应用领域的简单介绍，实际上，多目标优化可以应用于几乎所有需要权衡多个目标的问题。
通过使用多目标优化方法，可以帮助决策者在众多可行方案中快速找到最佳的解决方案，提高问题的解决效率和质量，从而为社会经济发展带来更大的价值。
多目标规划及案例
• 以学分最多为目标， 不管课程多少。
最优解显然是选修所 有9门课程 。
多目标规划
• 在课程最少的前提下 以学分最多为目标。
课号
课名
学分
∗1 ∗
微积分
5
∗2 ∗
线性代数
4
∗ 3 ∗ 最优化方法
4
4
数据结构
3
5∗
应用统计
4
∗6
计算机模拟
3
∗ 7 ∗ 计算机编程
2
8
预测理论
2
∗9 ∗
数学实验
3
9
增加约束 ∑ xi = 6 ， i =1
A/(h/件)
22
12
B/(h/件)
40
16
C/(h/件)
05
15
赢利/(元/件) 200 300
问该企业应如何安排生产，使得在计划期内 总利润最大？
1. 线性规划建模
该例是一个线性规划问题，直接考虑它的线性规划模型
设甲、乙产品的产量分别为x1, x2,建立线性规划模型：
Max z = 200 x1 + 300 x 2 ;
s. t. 2x1 + 2x2 ≤12,
4x1 ≤16,
5x2 ≤15,
x1, x2 ≥ 0.
用Lindo或Lingo软件求解,得到最优
解
x1 = 3, x2 = 3, z* = 1500.
2. 目标规划建模
若在上例中，企业的经营目标不仅要考
Max
s. t.
z = 200 x 1 + 300 x 2 ;
⎪⎧min{d −}; ⎪⎩⎨200x1 + 300x2 + d − − d + = 1500.
多目标规划
多 目 标 优 化简介
•在很多实际问题中，例如经济、管理、军事、科学和工程设 计等领域，衡量一个方案的好坏往往难以用一个指标来判断， 而需 要用多个目标来比较，而这些目标有时不甚协调，甚至 是矛盾的。
•多目标规划（Multiple Objectives Programming） 是数学规划的一个分支，研究多于一个目标函数在给定 区域上的最优化，又称多目标最优化，通常记为 VMP。
甲 2 A/(h/件) 4 B/(h/件) 0 C/(h/件) 赢利/(元/件) 200
乙 设备的生产能力/h 2 12 0 16 5 15 300
• 力求使利润指标不低于1500元 • 考虑到市场需求,甲、乙两种产品的产量比应尽量保持1:2 • 设备A为贵重设备，严格禁止超时使用 • 设备C可以适当加班，但要控制；设备B既要求充分利用，又 尽可能不加班，在重要性上，设备B是设备C的3倍 设甲、乙产品的产量分别为x1,
x2,建立模型：
设备C可以适当加班，但要控制， 则目标可表示为 甲、乙两种产品的产量尽量保 持1:2的比例，则目标可表示为 设备B既要求充分利用，又尽可能 不加班，则目标可表示为
⎧min{d + }; ⎪ ⎨ ⎪5 x2 + d − − d + = 15. ⎩
⎧ min{ d + + d − }; ⎪ ⎨ ⎪ 2 x1 − x 2 + d − − d + = 0 . ⎩
x∈ X 1≤ i ≤ m
4.
范数理想点法
dp
(
p⎤ ⎡ f ( x ), f ;ω = ⎢ ∑ ω i f i ( x ) − f i ⎥ ⎣ i =1 ⎦ m
)
1 p
多目标规划
指标往往相互矛盾（诸如资源可供 量与利润，利润与污染程度等）， 使得多目标规划问题往往没有线性 规划意义下的最优解，只能给出统 筹兼顾各方面要求的一个满意解。
在上例中，如果利润指标与污染指标的重 要程度不同，比如：利润指标比污染指标 重要10 倍， 那么，目标函数就将写成min(10 + ) 如果利润指标和污染指标的重要程度是不 能通过数值来比较的，比如我们要求在尽 量降低污染指标的前提下去追求最大利润， 则目标函数可以形式化地写成min(k1 +k2 )。式中的k1k2,不代表具体的数值， k1＞＞＞k2，表示远远地大于k2。
多目标规划的特点是：引人正、负偏差变 量, 以及优先因子和权系数∀正偏差变量d+ 表示考察变量值超过目标值的部分;而负偏 差变量d-则表示考察变量值少于目标值的 部分,并且d+ ·d-恒等于0。 并且规划问题常常有多个考察目标, 而达到 这些目标的优先次序又有所不同, 用P 表示 优先程度, 且P >P (i= 1 , 2 ,…,n)。当同一 优先级有多个考察目标时, 以权系数区别不 同目标之间的差别。
应用领域
多目标规划在资源分配、计划编制、生产调 度等方面有一定的应用。
通过建立多目标规划模型，可以 解决供应商的选择问题（1、分析各供应商评价
标准的优先次序；2、建立多目标规划模型）
优化供应链的绩效 开发供应链的渠道 拓展市场需求 ……
多目标规划的研究趋势
( 1) 长期以来, 多目标规划的算法一直受到特 别重视, 目前尚未出现可以用来解决所有多目 标规划问题的统一算法, 算法及其收敛性的研 究将是一个长期的研究方向。
存在，当约束方程中有矛盾方程时， 线性规划问题就无可行解，为了防止 出现这种现象，可以设想将约束“放 松” 引入偏差变量的概念： 正偏差 是超出现有资源的部分， 负偏差 是现有资源使用后剩余部分。
目标规划与多目标规划
总费用为3360.
Reduced Cost 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000
硬约束（供应约束）
系列软约束 （1）用户4必须全部满足
（2）供应用户1的产品中，工厂3的产品不少于100单位
（3）每个用户的满足率不低于80%； 四个用户的80%需求量分别为160,80,360,200，即
（4）应尽量满足个用户的要求
（5）新运费尽量不超过不考虑各个目标费用的10%： （6）因道路限制，工厂2到用户4的路线的运输任务应尽量避免： （7） 用户1和用户3的满足率尽量平衡：
2 目标规划的模型
例2 在上述例1的基础上，计划人员还要求考虑如下意见：
1 由于产品II销售疲软，故希望产品II的产量不超过产品I产 量的一半；
2 原材料严重短缺，生产中应避免过量消耗；
3 最好能够节约4小时设备工时；
4 计划利润不少于48元。
分析：把这四条意见分别看成营销部门、材料部门、设备管理 部门、财务部门四个部门的目标愿望。那么在决策的时候，如 何协调者四个部门的意愿呢。同等对待每个目标意愿，势必陷 于矛盾中。故当务之急是确定四个目标的重要程度或轻重缓急。 然后根据重要程度逐一协调。下面引入一些新的变量来解决问 题。
目标决策值f
X2-x1/2 5x1+10x2 4x1+4x2 6x1+8x2
多目标决策模型及其在最优方案选择中的应用
多目标决策模型及其在最优方案选择中的应用在现实生活和商业决策中，面对多个目标和多个约束条件的情况时，如何选择出最优方案是一个重要问题。
多目标决策模型被广泛应用于这类问题中，它可以帮助决策者在有限的资源和不完善的信息条件下作出最佳决策。
一、多目标决策模型的基本概念多目标决策模型是一种数学模型，其目标是找到一个可行解，使得在多个目标函数下达到最佳综合效果。
常见的多目标决策模型有线性规划、非线性规划和多目标规划等。
例如，在企业中，选择生产线的投资方案时，需要考虑投资成本、生产效率、环境影响等多个目标。
多目标决策模型可以帮助企业决策者权衡这些目标，找到最适合的方案。
二、多目标决策模型的基本原理多目标决策模型的核心思想是将多个目标函数转化成一个综合目标函数，通过优化综合目标函数来得出最优解。
常用的多目标优化方法有加权法、熵权法和TOPSIS法等。
1. 加权法加权法是最简单且常用的多目标优化方法之一。
它根据决策者对不同目标的重要性给目标设定权重，然后计算加权目标函数的值，选取使加权目标函数最小（或最大）的方案作为最优解。
2. 熵权法熵权法基于信息论中的熵概念，通过计算各目标函数的信息熵来确定权重。
熵越大表示信息不确定性越大，权重越小；熵越小表示信息不确定性越小，权重越大。
熵权法可以客观地确定各个目标的权重，适用于信息不完全或者决策者主观判断困难的情况。
3. TOPSIS法TOPSIS法通过计算方案与最理想解和最劣解的距离来评估方案的优劣，并选择距离最小的方案作为最优解。
通过正向和负向的距离计算，TOPSIS法可以考虑到最优解和最劣解之间的差距。
三、多目标决策模型在最优方案选择中的应用多目标决策模型广泛应用于各个领域的最优方案选择中，包括生产管理、供应链优化、项目管理和金融投资等。
1. 生产管理在生产管理中，多目标决策模型可以帮助企业决策者在考虑成本、质量、交货时间等多个目标的情况下，选择最优的生产方案。
通过权衡各目标的权重，确定合理的生产策略，提高生产效率和盈利能力。
多目标优化方法及实例解析
方法一 效用最优化模型（线性加权法）
思想：规划问题的各个目标函数可以通过一定的方式 进行求和运算。这种方法将一系列的目标函数与效用 函数建立相关关系，各目标之间通过效用函数协调， 使多目标规划问题转化为传统的单目标规划问题：
max Z ( X )
（1）
s.t. ( X ) G （2）
是与各目标函数相关的效用函数的和函数。
X
)
0
(
X
)
2
(X
)
0
m ( X ) 0
在求解之前，先设计与目标函数相应的一组目标值理想
化的期望目标 fi* ( i=1,2,…,k ) ,
每一个目标对应的权重系数为 i* ( i=1,2,…,k ) ， 再设 为一松弛因子。
那么，多目标规划问题就转化为：
f1( X )
min
在用效用函数作为规划目标时，需要确定一组权值 i
来反映原问题中各目标函数在总体目标中的权重，即：
k
max i i
i1
i ( x1, x2,xn ) gi (i 1,2,, m)
式中， i 应满足：
k
i 1
i 1
向量形式： max T
s.t. ( X ) G
方法二 罚款模型（理想点法）
1( X )
g1
s.t.
(
X
)
2(X
)
G
g2
m ( X )
gm
式中： X [ x1, x2 ,, xn ]T 为决策变量向量。
缩写形式： max(min)Z F ( X ) s.t. ( X ) G
（1） （2）
有n个决策变量，k个目标函数， m个约束方程， 则：
基于DEA的动态资源分配——生产计划中的应用
Ｃ Ｃ Ｒ模型 评估 每个 单元 的效率 ；二是 使每 个 单收 稿 日期］ ２０１ ［ 基 金项 目］ 国家 自然科 技基金 项 目 （ ７ １ １ ７ １ １ ８ １ ） ；国家 自然 科学 基金 创新 研 究群体 （ ７ ０ ８ ２ １ ０ ０ １ ）． １ ９ ６ ６一 ）男，博 士 ，中 国科 学技 术 大学管 理 学院副 教授 ；毛 秋立 （ １ ９ ８ ６一 ）男 ，中国科 学 技术 大学 管理 学 院硕士研 究 生 ［ 作 者简 介】 毕 功兵 （
Ｊ ｏ ｕ ｎａ ｒ ｌ ｏ ｆ ＵＥＳ ＴＣ
（ Ｓ ｏ ｃ ｉ ａ ｌ Ｓ ｃ ｉ ｅ ｎ ｃ ｅ ｓ Ｅ ｄ ｉ ｔ ｉ ｏ ｎ） Ｏｃ ｔ ． ２ ０ １ ３ ， Ｖｏ １ ． １ ５ ， Ｎｏ ． ５
基 于ＤＥ Ａ的动 态资 源 分 配
— —
生产计划 中的应用
口毕 功 兵 毛 秋 立 丁 晶 晶 ［ 中国科学技术大学 合肥 ２ ３ ０ ０ ２ ６ ］
只 能用模 糊 的方 法来 解 决 ，更 多 的是趋 于 定性 分析 和 建议 ，没 有结 合 实际情 况进 行 实证 并把 库存 、量 化和动态等 因素全 面考 虑 ，更无法反映 企业 的效率 。 数据 包络 分析（ Ｄａ ｔ ａ Ｅ ｎ ｖ ｅ ｌ ｏ ｐ ｍｅ ｎ ｔ Ａｎ ａ ｌ ｙ ｓ ｉ ｓ ， 简称 ＤＥ Ａ） 是数 学 、运 筹学 、数理 经济 学和 管理 科 学 的一 个 新 的交 叉领 域 ，该方 法最初 由Ｃ ｈ 啪ｅ ｓ 和Ｃ ｏ ０ ｐ ｅ ｒ 等
生产计划中多目标规划的优化算法研究
生产计划中多目标规划的优化算法研究生产计划是企业管理中的一个非常重要环节。
生产计划的制定与实施，往往决定着企业的生产能力、产品质量、效率与效益。
多目标规划作为生产计划中的基本理论工具，被广泛应用于生产计划中，特别是在大型制造企业与生产流程复杂的企业中，多目标规划可以提高生产计划的效率并最大限度地实现企业的生产目标。
本文将介绍多目标规划与生产计划之间的关系，并探讨多目标规划在生产计划中的优化算法。
一、多目标规划与生产计划多目标规划理论是对多维决策问题的描述和解决方法。
多目标规划中的目标往往是相互依存的，相互矛盾的，而生产计划也存在着多个目标需要实现。
例如，生产计划需要实现产品的质量、产量、成本与时间等多个目标。
在多目标规划中，我们需要综合考虑这些目标，通过权衡和协调各个目标之间的关系，以达到最优的决策结果。
类比生产计划中的多目标决策问题，多目标规划可以有效地为生产计划提供决策的支持和帮助。
二、多目标规划的优化算法在多目标规划中，我们需要依据不同的目标，通过建立数学模型，运用数学方法将目标转化为数学计算的形式。
优化算法在此过程中扮演着重要的角色。
针对生产计划中多目标的特性，我们需要设计更加灵活、高效的多目标规划优化算法。
1. 线性规划算法线性规划是一种常用的优化算法，它特别适用于生产计划中多目标决策问题的求解。
线性规划通过建立线性模型，将目标函数与约束条件进行量化，寻找最优的决策方案。
线性规划算法的主要优点是运算效率高，可以快速求解多目标优化问题。
2. 非线性规划算法非线性规划算法可以更加真实地模拟生产计划中复杂的生产过程，能够求解一些线性规划不能解决的问题。
非线性规划算法主要针对生产过程中的非线性目标函数，如时间关系、动态限制条件、供应链模型、资源约束等问题。
非线性规划算法的缺点是求解复杂性较高，需要大量的计算。
3. 模糊规划算法模糊规划算法是多目标规划的一种新算法。
模糊规划算法通过引入模糊数学的概念，以模糊概念为变量建立多目标模型，从而降低了问题约束条件的严格性，增加了算法求解的灵活性。
多目标规划应用实例
和总产值
f2 (X )
，
分别提出一个期望目标值
f 1* = 6 10 0 000（kg）
f 2* = 6 60 0 000 （元）
并将两个目标视为相同的优先级。
如果 d 1+ 、d1 分别表示对应第1个目标期
+ 望值的正、负偏差变量， d 2 、d 2 分别表示对
应于第2个目标期望值的正、负偏差变量，而 且将每一个目标的正、负偏差变量同等看待 （即可将它们的权系数都赋为1），那么，该 目标规划问题的目标函数为
这样，就将多目标规划转化为单目标 线性规划。
用单纯形方法对该问题求解，可以得到 一个满意解（非劣解）方案，结果见表 6.4.1。 此方案是：III等耕地全部种植水稻，I 等耕地全部种植玉米，II等耕地种植大豆 19.117 6 hm2、种植玉米280.882 4 hm2。在 此方案下，线性加权目标函数的最大取值 为6 445 600。
min f1 ( x1 , x2 ) = 2 100 x1 + 4 800 x2
max f 2 ( x1 , x2 ) = 3 600 x1 + 6 500 x2
而且满足
x1 ≤ 5 x ≤ 8 2 x1 + x 2 ≥ 9 x1 , x 2 ≥ 0
对于上述多目标规划问题，如果决策者 提出的期望目标是：（1）每个月的总投资 不超30 000元；（2）每个月的总利润达到 或超过45 000元；（3）两个目标同等重要。 那么，借助Matlab软件系统中的优化计算工 具进行求解，可以得到一个非劣解方案为
+ min Z = d1 + d1+ + d 2 + d 2
对应的两个目标约束为
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基于多目标规划在生产计划问题上的应用
（论文二）
一、摘要：
本论文是根据题中所给信息，多次运用多目标线性规划解答题目中所给问题，通过题中已知信息写出多目标函数和对应的约束条件，借助matlab软件求解题中的多目标线性规划问题，进而找到最优方案和利润的最大值。
二、关键字：多目标线性规划matlab求解
三、问题重述：
某企业拟生产A和B两种产品，其生产投资费用分别为2100元/t和4800元/t. A、B两种产品的利润分别为3600元/t和6500元/t，A、B产品每月的最大生产能力分别为5t和8t；市场对这两种产品总量的需求每月不少于9t。
试问该企业应该如何安排生产计划，才能既能满足市场需求，又节约投资，而且使生产利润达到最大?
四、问题分析：
很显然，此题是一道多目标线性规划问题，需要借助多目标线性规划知识求解。
五、模型说明：
多目标决策方法是从20世纪70年代中期发展起来的一种决策分析方法。
决策分析是在系统规划、设计和制造等阶段为解决当前或未来可能发生的问题，在若干可选的方案中选择和决定最佳方案的一种分析过程。
六、模型求解
设：生产A产品x吨，生产B产品y吨。
则：
生产的利润为：2f(x,y)=3600x+6500y
投资费用为：1f(x,y)=2100x+4800y
需要满足的约束条件为：
x
<=5
<=8
y
x y
+>=9
x
>=0
>=0
y
综上所述：
目标函数：
Min 1f(x,y)=2100x+4800y
Max 2f(x,y)=3600x+6500y
约束条件：
x
<=5
y
<=8
x y
+>=9
x
>=0
y
>=0
对于上述多目标规划问题，如果决策者提出的期望目标是：（1）、每个月的投资不超过30000元；（2）、每个月的利润不少于45000元（3）两个目标函数的重要性相同。
求解程序如下：
（1）编辑目标函数M文件ff12.m
function f=ff12(x)
f(1)=2100*x(1)+4800*x(2);
f(2)=-3600*x(1)+6500*x(2);
（2）按给定目标得：
goal=[30000,-5000];
weight=[30000,45000];
（3）给出约束条件：
x0=[2,2];
A=[1 0; 0 1;-1 -1];
b=[5,8,-9];
lb=zeros(2,1);
（4）调用fgoalattain函数：
[x,fval,attainfactor,exitflag]=fgoalattain(@ff12,x0,goal,weight,A,b,[],[],lb,[])
运行后，输出结果为：
x =
5 4
fval =
29700 44000
attainfactor =
-0.0100
exitflag =
1
有上述数据可得：当生产A产品5吨，生产B产品4吨时，既能满足市场需求，又节约投资，而且使生产利润达到最大，此时：投资为：29700元，利润为44000元。
七、参考文献：
1、姜启源数学建模（第三版）高等教育出版社
2、胡运权运筹学教程（第三版）清华大学出版社。