(2021年整理)高三数学第二轮专题复习系列(1)--集合与简易逻辑.docx

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高三数学第二轮专题复习系列(1)-—集合与简易逻辑
一、【重点知识结构】
二、【高考要求】
1.理解集合、子集、交集、并集、补集的概念。

了解空集和全集的意义，了解属于、包含、
相等关系的意义，能掌握有关的述语和符号，能正确地表示一些较简单的集合。

2.理解｜ax+b|〈c，｜ax+b｜〉c(c〉0)型不等式的概念,并掌握它们的解法。

了解二次函数、
一元二次不等式及一元二次方程三者之间的关系，掌握一元二次不等式及简单分式不等式的解法。

3.理解逻辑联结词“或"、“且"、“非”的含义；理解四种命题及其相互关系;掌握充要条件的
意义和判定。

4.学会运用数形结合、分类讨论的思想方法分析和解决有关集合问题，形成良好的思维品质;
学会判断和推理,解决简易逻辑问题，培养逻辑思维能力.
三、【高考热点分析】
集合与简易逻辑是高中数学的重要基础知识，是高考的必考内容.本章知识的高考命题热点
有以下两个方面：一是集合的运算、集合的有关述语和符号、集合的简单应用、判断命题的真假、四种命题的关系、充要条件的判定等作基础性的考查，题型多以选择、填空题的形式出现;二是以函数、方程、三角、不等式等知识为载体，以集合的语言和符号为表现形式,结合简易逻辑知识考查学生的数学思想、数学方法和数学能力，题型常以解答题的形式出现.
四、【高考复习建议】
概念多是本章内容的一大特点,一是要抓好基本概念的过关，一些重点知识（如子、交、并、补集及充要条件等）要深刻理解和掌握;二是各种数学思想和数学方法在本章题型中都有较好体现，特别是数形结合思想，要善于运用韦氏图、数轴、函数图象帮助分析和理解集合问题.
五、【例 题】
【例1】 设}13|{},13|{,,22++==+-==∈y y b b B x x a a A R y x ，求集合A 与B 之间的关系。

解：由4545)23(1322-≥--=+-=x x x a ，得A=}4
5|{-≥x x 45)23(1322-+=++=y y y b 4
5-≥ ∴A=B
【例2】 已知集合A=}0103|{2≤--x x x ，集合B=}121|{-≤≤+p x p x ，若B ⊆A ，求实数p 的取值范围.
解:若B=Φ时，2121<⇒->+p p p
若
B ≠Φ时,则32512121
21≤≤⇒⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≤--≤+p p p p p
综上得知：3≤p 时，B ⊆A 。

【例3】 已知集合}123|),{(+=--=a x y y x A ，集合B=}30)1()1(|),{(2=-+-y a x a y x 。

如果∅=B A , 试求实数a 的值。

解：注意集合A 、B 的几何意义，先看集合B ；
当a =1时，B=Φ,A ∩B=Φ
当a =－1时，集合B 为直线y =－15,A ∩B=Φ
当a ≠±1时，集合A ：)2)(1(3-+=-x a y ，A ∉)3,2(,只有B ∈)3,2(才满足条件。

故303)1(2)1(2=⋅-+⋅-a a ；解得：a =－5或a =2
7
∴a =1或a =27或a=－1或a =－5。

【例4】 若集合A=}3,1,23{x -，B=},1{2x ，且}3,1,23{x B A -= ，求实数x 。

解：由题设知A B A = ,∴A B ⊆，故32=x 或x x 232-= 即3±=x 或1=x 或3-=x ，但当1=x 时,123=-x 不满足集合
A 的条件。

∴实数x 的值为3-或3±。

【例5】 已知集合A=}0310|{2≥-+x x x ，B=}022|{2<+-m x x x ，若B B A = ，求实数m 的值。

解：不难求出A=}52|{≤≤-x x ，由B B A = A B ⊆⇒，又0222<+-m x x ,m 84-=∆
①若084≤-m ，即2
1≥m ，则A B ⊂Φ=
②若084>-m ，即21<m ，}211211|{m x m x B -+<<--
=, ∴⎪⎩⎪⎨⎧≤-+-≥--52112211m m 214<≤-⇒m 故由①②知：m 的取值范围是),4[+∞-∈m
注：不要忽略空集是任何集合的子集。

【例6】 已知集合A=｛019|22=-+-a ax x x },B=}1)85(log |{22=+-x x x ，C=}082|{2=-+x x x ， 若A B ⊃∅与A C =∅同时成立，求实数a 的值。

解：易求得B=}3,2{，C=}4,2{-，由A B ⊃∅知A 与B 的交集为非空集。

故2,3两数中至少有一适合方程01922=-+-a ax x
又A C =∅，∴A ∉2，即019392=-+-a a 得，a =5或a =－2
当a =5时，A=}3,2{,于是Φ≠=}2{C A ,故a =5舍去。

当a =－2时，A=}5,2{,于是Φ⊃=}3{B A ，∴a =－2。

【例7】 }023|{2=+-=x x x A ,}022|{2=+-=ax x x B ,A ∪B =A ,求a 的取值构成的集合。

解：∵A ∪B =A ，∴A B ⊆,当φ=B 时0162<-a ,∴-4〈a <4，
}2,1{}023|{2==+-=x x x A ，当1∈B 时，将x =1代入B 中方程得a =4，此时B =｛1},当2∈B
时，将x =2代入B 中方程得a =5,此时A B ⊄=}2,21{，a =5舍去，∴-4<a ≤4。

【例8】 已知}023|{2=+-=x x x A ,}02|{=-=ax x B 且A ∪B =A ，求实数a 组成的集合C.
解：由A =｛1，2｝，由A ∪B =A ，即A B ⊆，只需a ×1-2=0，a =2或a ×2-2=0,a =1.
另外显然有当a =0时，φ=B 也符合。

所以C=｛0，1，2}。

【例9】 某车间有120人，其中乘电车上班的84人,乘汽车上班的32人，两车都乘的18人,求：
（1）只乘电车的人数;(2）不乘电车的人数；（3）乘车的
人数；
（4）不乘车的人数；（5)只乘一种车的人数。

解：本题是已知全集中元素的个数，求各部分元素的个数，可用图解法.设只乘电车的人数为x 人，不乘电车的人数为y 人,乘车的人数为z 人，不乘车的人数为u 人,只乘一种车的人数为v 人
如图所示(1）x =66人，(2)y =36人，(3）z=98人，（4）u=22人，(5)v=80人。

【例10】 （2004届湖北省黄冈中学高三数学综合训练题）已知M 是关于x 的不等式0)23()73(222<-++-+a a x a x 的解集，且M 中的一个元素是0,求实数a 的取值范围,并用a 表示出该不等式的解集。

解：原不等式即0)32)(12(<-+--a x a x ，
由0=x 适合不等式故得0)32)(1(>-+a a ，所以1-<a ，或23>
a . 若1-<a ,则5)1(252132>+-=+-+-a a a ,∴2
123+>-a a ， 此时不等式的解集是}232
1|{a x a x -<<+； 若23>a ，由45)1(252132-<+-=+-+-a a a ，∴2
123+<-a a ,
此时不等式的解集是}2
123|{+<<-a x a x . 【例11】 (2004届杭州二中高三数学综合测试题）已知1>a ,设命题01)2(:>+-x a P ，命题1)2()1(:2+->-x a x Q 。

试寻求使得Q P 、都是真命题的x 的集合。

解:设}1)2()1(|{}01)2(|{2+->-=>+-=x a x x B x a x A ，，
依题意，求使得Q P 、都是真命题的x 的集合即是求集合B A ， ∵2211(2)1022(1)(2)1()(2)0(2)20a x x x a a x a x x a x x a x a ⎧⎧-+>>-⎧>-⎪⎪⇒⇒⎨⎨⎨->-+⎩⎪⎪-->-++>⎩⎩
∴若12a <<时,则有122x a x x a
⎧>-⎪⎨⎪><⎩或， 而11(2)20a a a a
--=+->,所以12a a >-, 即当12a <<时使Q P 、都是真命题的1{|22}x x x x a a
∈>-<<或； 当2a =时易得使Q P 、都是真命题的3{|,2}2
x x x x ∈>≠且； 若2a >，则有122
x a x a x ⎧>-⎪⎨⎪><⎩或， 此时使得Q P 、都是真命题的1{|22}x x x a x a
∈>-
<<或． 综合略. 【例12】 （2004届湖北省黄冈中学综合测试题）已知条件a x p >-|15:|和条件01
321:2>+-x x q ，请选取适当的实数a 的值，分别利用所给的两个条件作为A 、B 构造命题:“若A 则B ”，并使得构造的原命题为真命题，而其逆命题为假命题。

则这样的一个原命题可以是什么？并说明为什么这一命题是符合要求的命题.
分析：本题为一开放性命题，由于能得到的答案不唯一，使得本题的求解没有固定的模式，考生既能在一般性的推导中找到一个满足条件的a ，也能先猜后证，所找到的实数a 只需满足2151≤-a ，且≥+5
1a 1即可。

这种新颖的命题形式有较强的综合性，同时也是对于四个命题考查的一种新尝试,如此命题可以考查学生探究问题、解决问题的能力，符合当今倡导研究性学
习的教学方向.
解：已知条件p 即a x -<-15，或a x >-15，∴51a x -<
,或51a x +>， 已知条件q 即01322>+-x x ,∴21<x ,或1>x ；
令4=a ,则p 即53-<x ，或1>x ,此时必有q p ⇒成立，反之不然.
故可以选取的一个实数是4=a ,A 为p ，B 为q ,对应的命题是若p 则q ，
由以上过程可知这一命题的原命题为真命题,但它的逆命题为假命题.
【例13】 已知)0(012:2|3
11:|22>≤-+-≤--m m x x q x p ，；¬p 是¬q 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围. 解：由，2|3
11|≤--x 得102≤≤-x ， 由)0(01222>≤-+-m m x x ,得)0(11>+≤≤-m m x m ，
∴¬p 即2-<x ，或10>x ，而¬q 即m x -<1，或m x +>1)0(>m ；
由¬p 是¬q 的必要不充分条件，知¬q ⇒¬p ，
设A=}102|{>-<x x x ，或,B=)}0(11|{>+>-<m m x m x x ，或，
则有A B ≠⊂，故⎪⎩
⎪⎨⎧>≤+-≥-，，，010111m m m 且不等式中的第一、二两个不等式不能同时取等号， 解得30≤<m ，此即为“¬p 是¬q 的必要不充分条件"时实数m 的取值范围.
【例14】 （2004届全国大联考高三第四次联考试题)已知函数x x f a log )(=，其中}1220|{2a a a a -<∈.
（1）判断函数x x f a log )(=的增减性;
（2）（文）若命题:p )2(1|)(|x f x f -<为真命题，求实数x 的取值范围.
（2）(理）若命题:p |)2(|1|)(|x f x f -<为真命题，求实数x 的取值范围。

解：（1）∵}1220|{2a a a a -<∈，∴020122<+-a a ,
即102<<a ，∴函数x y a log =是增函数；
（2)（文）)2(1|)(|x f x f -<即12log |log |<+x x a a ，必有0>x ，
当10<<x ，0log <x a ，不等式化为12log log <+-x x a a ，
∴12log <a ，这显然成立,此时10<<x ；
当1≥x 时，0log ≥x a ,不等式化为12log log <+x x a a ,
∴12log <x a ，故2a x <,此时2
1a x <≤; 综上所述知，使命题p 为真命题的x 的取值范围是}2
0|{a x x <<。

（2）（理）|)2(|1|)(|x f x f -<即1|2log ||log |<+x x a a ，必有0>x ，
当4
10<
<x 时，02log log <<x x a a ,不等式化为12log log <--x x a a ， ∴12log <-x a ,故12log ->x a ,∴a x 21>,此时4
121<<x a ； 当14
1<≤x 时，x x a a 2log 0log <<，不等式化为12log log <+-x x a a ， ∴12log <a ，这显然成立，此时141<≤x ； 当1≥x 时，x x a a 2log log 0<≤,不等式化为12log log <+x x a a ，
∴12log <x a ，故2a x <，此时2
1a x <≤； 综上所述知，使命题p 为真命题的x 的取值范围是}221|
{a x a x <<. 六、【专题练习】
一、选择题
1．已知I 为全集，集合M 、N I ，若M N=M ，则有：(D )
A ．M （N C u )
B ．M (N
C u ) C ．)()(N C M C u u ⊇
D ．)()(N C M C u u ⊆
2．若非空集合A 、B 适合关系A B,I 是全集，下列集合为空集的是：(D ）
A ．
B A B ．)()(B
C A C u u C ． B A C U )(
D ．)(B C A U
3．已知集合A=｛0，1,2，3，4}，B={0，2,4，8}，那么A ∩B 子集的个数是：(C ）
A ．6个
B ．7个
C ．8个
D ．9个
4．满足｛a}⊂X ⊆｛a ，b,c ｝的集合X 的个数有 （ B ）
（A)2 （B ）3 （C ）4 （D ）5
5．已知集合I 、P 、Q 适合I=P Q=｛1，2，3，4，5｝，P Q={1，2｝则（P Q ） (P C u Q C u ）
为（ C )
（A ）{1，2，3｝ (B){2，3，4｝ （C ）{3，4，5} （D ）｛1，4，5｝
6．已知I 为全集·集合M ，N 是I 的子集M N=N,则 （ B ）
（A ）)()(N C M C u u ⊆ （B ）)()(N C M C u u ⊇ （C ）M ⊆(N C u ） （D ）M ⊇（N C u )
7．设P={x ｜ x ≥-2｝,Q=｛x ｜ x ≥3}，则P Q 等于 （ D )
（A ）Æ （B ）R （C ）P （D ）Q
8．设集合E=｛n|n=2k ， k ∈Z ｝，F={n ｜n=4k , k ∈Z}，则E 、F 的关系是 （ B ）
（A ）E ⊂F （B ）E ⊃F （C)E=F （D ）E F=Æ
9．已知集合M=}22|{<<-x x ,N={ x |｜ x —1|≤2}，则M N 等于 （ B ）
（A)}32|{≤<-x x (B)}21|{<≤-x x
（C ）}12|{-≤<-x x (D ）}32|{≤<x x
10．已知集合I=R,集合M=｛ x | x =
12n ,n ∈N ｝,P={ x ｜ x =14n ，n ∈N ｝，则M 与P 的关系是 （ B ）
（A ）M P=Æ （B ）)(M C U P=Æ （C ）M )(P C U =Æ （D ）)(M C U )(P C U =Æ
11．已知集合A={y ｜y =x 2， x ∈R}，B={y |y =2x x ∈R}，则A B 等于 （ C ）
（A ）{2，4｝ (B ）｛（2，4），(4，16)｝
（C ）｛ y ｜y ≥0｝ （D ）{ x ｜ x 〈0}
12．设全集I=R ，集合P=}0)2)(4(|{<-+x x x ，集合Q={ x ｜ x +4〉0}，则 （ D ）
（A ）P Q=Æ （B ）P Q=R
（C))(P C U Q=)(P C U (D))(P C U )(Q C U =｛-4}
二、解答题
1、设A=}4|{2ax x x x >-，B=}10|{<<x x ；若A ⊆B ，求实数a 的取值范围。

解:由图象法解得:
当a 〉0时，}14
0|{2a x x A +<<=；
当a ≤0时，}40|{<<=x x A
∴要使得A ⊆B,必须且只须
1142≤+a ，解得3≥a
2、已知A=})1(21|)1(21| |{22-≤+-
a a x x ，B=}0)13(2)1(3|{2≤+++-a x a x x 。

若A ⊆B ，求实数a 的取值范
围。

解：易得}12|{2+≤≤=a x a x A ，由0)13(2)1(32≤+++-a x a x 得0)]13()[2(≤+--a x x ⑴当3a+1〉2，即3
1>a 时，}132|{+≤≤=a x x B 要使A ⊆B ，必须311312
22≤≤⇒⎪⎩⎪⎨⎧+≤+≥a a a a ，
⑵当3a+1=2，即3
1=a 时,}2{=B ；要使A ⊆B,a=1 当3a+1<2，即3
1<a 时，}213{≤≤+=x a B ⑶要使A ⊆B ，必须1211322-=⇒⎪⎩
⎪⎨⎧≤++≥a a a a 综上知:1-=a 或]3,1[∈a
3、已知集合A=},42|{2R x mx x y y ∈++=，B=}0log log |{3
123≤+x x x ,且φ≠B A ，求实数
m 的值。

解：}31|{≤≤=x x B ，}4|{2m x x A -≥=，由342<-m 得：),1[]1,(+∞--∞∈ m
4、已知集合A=}0)1()1(|{222>++++-a a y a a y y ，B=}30,2521|{2≤≤+-=
x x x y y ；若 ∅≠B A ，求实数a 的取值范围。

解：B=}42|{≤≤x x ,由0)1()1(222>++++-a a y a a y 得：0)1)((2>---a y a y 因为a a >+12，所以A=}1|{2a x a x x <+>或。

由∅≠B A 得：412<+a 或2>a 所以),2()3,3(+∞-∈ a
x
y o
5、已知集合}0|{2=++=q px x x A ，}01|{2=++=px qx x B 同时满足
①∅≠B A ，②}2{-=B C A u ，其中p 、q 均为不等于零的实数,求p 、q 的值。

解：条件①是说集合A 、B 有相同的元素，条件②是说-2∈A 但B ∉-2,A 、B 是两个方程的解集，方程02=++q px x 和012=++px qx 的根的关系的确定是该题的突破口.
设A x ∈0，则00≠x ，否则将有q=0与题设矛盾。

于是由0020
=++q px x ,两边同除以20x ,得011)1(0
20=++x p x q ， 知B x ∈01，故集合A 、B 中的元素互为倒数。

由①知存在A x ∈0,使得B x ∈01,且001x x =，得10=x 或10-=x 。

由②知A ={1，—2｝或A =｛—1,—2}。

若A =｛1，—2｝，则}21,1{-
=B ， 有⎩
⎨⎧-=-⨯==--=.2)2(1;1)21(q p 同理，若A =｛-1，-2｝，则}21,1{-
-=B ,得p=3,q=2.
综上，p=1，q=—2或p=3,q=2.
6、已知关于x 的不等式
2)1(2)1(22-≤+-a a x ，0)13(2)1(32≤+++-a x a x 的解集依次为A 、B ，且φ=B A .
求实数a 的取值范围. 解：}12|{2+≤≤=a x a x A ，B =｛x ｜（x -2）[x -（3a +1）］≤0｝ ∵φ=B A
①当3a +1≥2时，B ={x |2≤x ≤3a +1｝
∴3a +1〈2a 或212<+a ，∴13
1<≤a ②当3a +1<2时，B ={x |3a +1≤x ≤2｝
∴2a >2或1132+>+a a ，∴3
10<<a
7、已知集合},023|{2R x x x x A ∈=+-=，若},01|{2R x a ax x x B ∈=-+-=，且A B A = ,求实数a 。

解：∵A ∪B =A ，∴A B ⊆。

∵A={1，2},∴φ
B或B={1｝或B=｛2｝或B=｛1，2｝。

≠
若φ
B，则由△<0知，不存在实数a使原方程有解；
=
若B={1}，则由△=0得，a=2，此时1是方程的根；
若B=｛2}，则由△=0得,a=2,此时2不是方程的根,
∴不存在实数a使原方程有解；
若B=｛1，2}，则由△>0，得a∈R，且a≠2,
此时将x=1代入方程得a∈R，将x=2代入方程得a=3.
综上所述，实数a的值为2或3。