多边形内角和及外角和
多边形的内角和与外角和知识点-例题-习题
第二十四讲 多边形的内角和与外角和【要点梳理】知识点一、多边形的概念1．定义：在平面内不在同一直线上的一些线段首尾顺次相接所组成的封闭图形叫做多边形．其中，各个角相等、各条边相等的多边形叫做正多边形． 2．相关概念：边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边． 顶点：每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点．内角：多边形相邻两边组成的角叫多边形的内角，一个n 边形有n 个内角. 外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角. 对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．3. 多边形的分类:画出多边形的任何一边所在的直线，如果整个多边形都在这条直线的同一侧，那么这个多边形就是凸多边形，如果整个多边形不在直线的同一侧，这个多边形叫凹多边形．如图：要点诠释：(1)正多边形必须同时满足“各边相等”，“各角相等”两个条件，二者缺一不可； (2)过n 边形的一个顶点可以引(n-3)条对角线，n 边形对角线的条数为(3)2n n -；(3)过n 边形的一个顶点的对角线可以把n 边形分成(n-2)个三角形． 知识点二、多边形内角和n 边形的内角和为(n-2)·180°(n≥3)． 要点诠释：(1)内角和公式的应用：①已知多边形的边数，求其内角和；②已知多边形内角和求其边数；(2)正多边形的每个内角都相等，都等于(2)180n n-°；知识点三、多边形的外角和 多边形的外角和为360°． 要点诠释：(1)在一个多边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做多边形的外角和．n 边形的外角和恒等于360°，它与边数的多少无关；(2)正n 边形的每个内角都相等，所以它的每个外角都相等，都等于360n°；(3)多边形的外角和为360°的作用是：①已知各相等外角度数求多边形边数；②已知多边形边数求各相等外角的度数．凸多边形 凹多边形【典型例题】类型一、多边形的概念例1．如图，在六边形ABCDEF中，从顶点A出发，可以画几条对角线？它们将六边形ABCDEF分成哪几个三角形?【答案与解析】解：如图，P从顶点A出发，可以画三条对角线，它们将六边形ABCDEF分成的三角形分别是：△ABC、△ACD、△ADE、△AEF.【总结升华】从一个多边形一个顶点出发，可以连的对角线的条数(n-3)条，分成的三角形数是个数（n-2）个．举一反三：【变式】过正十二边形的一个顶点有条对角线，一个正十二边形共有条对角线【答案】9，54。
多边形内角和与外角和(基础)知识讲解
多边形内角和与外角和（基础）知识讲解【学习目标】1.理解多边形的概念；2.掌握多边形内角和与外角和公式；3.灵活运用多边形内角和与外角和公式解决有关问题，体验并掌握探索、归纳图形性质的推理方法，进一步培养说理和进行简单推理的能力.【要点梳理】知识点一、多边形的概念1．定义：在平面内不在同一直线上的一些线段首尾顺次连接结所组成的封闭图形叫做多边形．其中，各个角相等、各条边相等的多边形叫做正多边形．2．相关概念：边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边．顶点：每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点．内角：多边形相邻两边组成的角叫多边形的内角，一个n 边形有n 个内角. 外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角.对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．3. 多边形的分类:画出多边形的任何一边所在的直线，如果整个多边形都在这条直线的同一侧，那么这个多边形就是凸多边形，如果整个多边形不在直线的同一侧，这个多边形叫凹多边形．如图：要点诠释： (1)正多边形必须同时满足“各边相等”，“各角相等”两个条件，二者缺一不可；(2)过n 边形的一个顶点可以引(n -3)条对角线，n 边形对角线的条数为(3)2n n ； (3)过n 边形的一个顶点的对角线可以把n 边形分成(n -2)个三角形．知识点二、多边形内角和定理n 边形的内角和为(n-2)·180°(n ≥3)．要点诠释：(1)内角和定理的应用：①已知多边形的边数，求其内角和；②已知多边形内角和求其边数；凸多边形 凹多边形(2)正多边形的每个内角都相等，都等于(2)180nn°；知识点三、多边形的外角和多边形的外角和为360°．要点诠释：(1)在一个多边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做多边形的外角和．n边形的外角和恒等于360°，它与边数的多少无关；(2)正n边形的每个内角都相等，所以它的每个外角都相等，都等于360n°；(3)多边形的外角和为360°的作用是：①已知各相等外角度数求多边形边数；②已知多边形边数求各相等外角的度数．【典型例题】类型一、多边形的概念1．（优质试题•重庆校级模拟）如图，正四边形有2条对角线，正五边形有5条对角线，正六边形有9条对角线，则正十边形有（）条对角线．A．27 B．35 C．40 D．44【答案】B．【解析】解：当n=10时，==35，即凸十边形的对角线有35条．【总结升华】本题考查了多边形的边数与对角线的条数之间的关系，熟记多边形的边数与对角线的条数的关系式是解决此类问题的关键．举一反三：【变式】过正十二边形的一个顶点有条对角线，一个正十二边形共有条对角线【答案】9，54。
计算正多边形的内角和和外角之和
计算正多边形的内角和和外角之和正多边形是指所有边相等、所有角相等的多边形。
在这篇文章中，我们将探讨如何计算正多边形的内角和和外角之和。
一、正多边形的内角和为了计算正多边形的内角和，我们首先需要了解一个公式：正多边形的内角和公式，也被称为欧拉公式。
根据欧拉公式，正多边形的内角和等于(边数-2)×180度。
例如，一个正三角形的内角和为(3-2)×180度=180度；一个正四边形的内角和为(4-2)×180度=360度；一个正五边形的内角和为(5-2)×180度=540度，以此类推。
二、正多边形的外角和正多边形的外角是指每个角与其相邻的内角的补角。
一般情况下，我们求解外角和时候会用到以下公式：正多边形的外角和等于360度。
根据这个公式，不论正多边形的边数是多少，其外角和都等于360度。
三、计算示例让我们通过一些示例来计算正多边形的内角和和外角和。
1. 计算一个正七边形的内角和：根据欧拉公式，正七边形的内角和为(7-2)×180度=900度。
2. 计算一个正六边形的内角和：根据欧拉公式，正六边形的内角和为(6-2)×180度=720度。
3. 计算一个正五边形的内角和和外角和：根据欧拉公式，正五边形的内角和为(5-2)×180度=540度。
根据正多边形的外角和公式，正五边形的外角和为360度。
四、总结在本文中，我们探讨了如何计算正多边形的内角和和外角和。
根据欧拉公式，我们可以通过正多边形的边数来计算其内角和。
而根据外角和公式，不论正多边形的边数是多少，其外角和都等于360度。
这个知识点在几何学中具有重要的意义，可用于解决各种涉及正多边形的问题。
理解正多边形的内角和和外角和的计算方法，将为我们在学术和实际应用中提供帮助。
多边形的内角和与外角和的关系
多边形的内角和与外角和的关系在我们的日常生活中，很少有形状是一个简单的正方形或长方形的东西。
相反，我们更经常遇到的是有许多条边和角的形状，这些形状被称为多边形。
了解多边形的内角和与外角和的关系非常重要，因为这可以帮助我们更好地理解和处理这些形状。
内角和和外角和的概念首先，我们需要了解一些术语。
一个多边形是一个由三条或更多边组成的形状。
顶点是相邻的两条边的端点。
内角是多边形中的一个角，内角和是多边形内所有角的度数和。
外角是多边形内与内角相邻的角之一和外侧相邻直线的夹角，即外角等于与之相对的内角。
内角和公式多边形的内角和可以通过几种方式计算。
对于一个n边形，内角和的公式为：sum = (n-2) * 180°这个公式的意思是，将n边形划分成n-2个三角形，每个三角形的内角和为180度，所以n边形的内角和就等于(n-2)乘以180度。
对于一个三角形，它只有三个内角，所以它的内角和是固定的，为180度。
外角和公式现在我们来看看如何计算多边形的外角和。
对于一个n边形，外角和的公式为：sum = 360°也就是说，多边形的外角和总是恒定的，为360度。
这是因为每一个内角都有一个相对的外角，而所有外角相加的结果等于一个完整的圆的角度，即360度。
例如，一个四边形的内角和是360度，而外角和也是360度。
任何非直线多边形的外角和也都是360度。
内角和和外角和的关系既然我们已经知道了如何计算多边形的内角和和外角和，那么它们之间的关系是什么呢？事实上，多边形的内角和和外角和之间存在一个重要的关系。
对于任何一个n边形，它的内角和和外角和之间满足以下公式：内角和 + 外角和 = (n * 180°)换句话说，多边形的内角和和外角和的和总是等于n乘以180度。
例如，一个四边形的内角和为360度，其外角和也为360度。
因此，它们的总和为720度，也就是4乘以180度。
理解多边形的内角和与外角和的关系可以帮助我们更好地理解和计算多边形的角度，特别是当涉及到更复杂的多边形时。
多边形的内角和与外角和
B 求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数。
F
E
HM
D
A
G
B
C
C 讨论：是否存在一个多边形，它的每个内角都等于相邻外角的
五分之一？为什么？
谢谢观赏
探究 求五边形的外角和
探究 求五边形的外角和
∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=？
∠1+∠6=？ ∠2+∠7=？ ∠3+∠8=？ ∠4+∠9=？ ∠5+∠10=？
°
=180
1A
6
B
7 2
5
10 E
∠6+∠7+∠8+∠9+∠10=？ 五边形外角和 = 五个平角-五边形内角和
8ห้องสมุดไป่ตู้
C3
= 5×180°-(5-2) × 180°
注意： 1.多边形的内角和随着边数的增加而增加； 2.多边形的外角和为一个定值，与边数无关； 3.特殊情况：
如果多边形（边数为n）的每个外角都相等
n × 每个外角的度数 =360°.
例题4 一个多边形的每个外角都是72 º，这个 多边形是几边形？
分析： n × 每个外角的度数 =360°.
解：设多边形的边数为n，根据题意，得 n·72º= 360º． 解得n=5．
A r=2
D r=2
r=2 B
r=2 C
A
A r=2 r=2 B
r=2 C
F r=2 E r=2
r=2 D
B
课堂小结
2.多边形外角和的定义 本节1.3多课.任对边你意多形有边多外哪形边角的些形的每收的一定获个外义或内角角思和，考等从？于与它
初中数学多边形的内角和与外角和
第3节多边形的内角和与外角和一，多边形（1）定义：平面内，由若干条不在同一直线上的线段首尾顺次相连组成的封闭图形（2）分类：多边形可以分为凸多边形和凹多边形，我们研究的是凸多边形（3）其中内角相等，边也相等的多边形叫正多边形（4）多边形的内角和与外角和性质1：多边形的内角和等于(n－2)·180°，多边形的外角和等于360°.推导：2．多边形的边数与内角和、外角和的关系：(1)n边形的内角和等于(n－2)·180°(n≥3，n是正整数)，可见多边形内角和与边数n有关，每增加1条边，内角和增加180°.(2)多边形的外角和等于360°，与边数的多少无关.3.正n边形：正n边形的内角的度数为（n－2）·180°n，外角的度数为n360.【类型一】利用内角和求边数一个多边形的内角和为540°，则它是()A．四边形B．五边形C．六边形D．七边形【类型二】求多边形的内角和一个多边形的内角和为1800°，截去一个角后，得到的多边形的内角和为()A．1620°B．1800°C．1980°D．以上答案都有可能【类型三】复杂图形中的角度计算如图，∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＋∠7＝()A．450°B．540°C．630°D．720°【类型四】 利用方程和不等式确定多边形的边数一个同学在进行多边形的内角和计算时，求得内角和为1125°，当他发现错了以后，重新检查，发现少算了一个内角，问这个内角是多少度？他求的是几边形的内角和？解：设此多边形的内角和为x ，则有1125°＜x ＜1125°＋180°，即180°×6＋45°＜x ＜180°×7＋45°，探究点二：多边形的外角和定理【类型一】 已知各相等外角的度数，求多边形的边数正多边形的一个外角等于36°，则该多边形是正( )A ．八边形B ．九边形C ．十边形D ．十一边形【类型二】 多边形内角和与外角和的综合运用一个多边形的内角和与外角和的和为540°，则它是( )A ．五边形B ．四边形C ．三角形D ．不能确定4.多边形对角线的条数N 边形对角线的条数公式 21N(N-3) 例1：一个凸多边形的每个内角都是140°，求这个多边形对角线的条数例2：一个多边形的内角和比它外角和的3倍少180°，求它对角线的条数。
《多边形的内角和与外角和》教案
《多边形的内角和与外角和》教案一、教学目标1.理解多边形内角和与外角和的概念。
2.掌握多边形内角和与外角和的计算公式。
3.能够运用内角和与外角和的知识解决实际问题。
二、教学重点与难点1.教学重点：多边形内角和与外角和的概念，计算公式及应用。
2.教学难点：多边形内角和与外角和的推导过程，以及实际问题的解决。
三、教学过程1.导入（1）引导学生回顾三角形内角和的知识，提问：三角形内角和是多少？（2）让学生尝试用三角形内角和的知识解释四边形、五边形等图形的内角和。
2.探索（1）让学生分组讨论，尝试找出多边形内角和的计算规律。
（2）引导学生通过作图、观察、归纳，发现多边形内角和与边数的关系。
3.内角和公式的应用（1）讲解多边形内角和公式的应用，如求解多边形内角的度数。
（2）举例说明如何利用内角和公式求解实际问题，如求解四边形、五边形的内角度数。
（3）让学生独立完成一些内角和相关的练习题。
4.外角和的概念与计算（1）引导学生通过观察图形，发现多边形外角和的性质。
（2）讲解多边形外角和的概念及计算公式。
（3）举例说明如何利用外角和公式求解实际问题。
5.外角和公式的应用（1）讲解外角和公式的应用，如求解多边形外角的度数。
（2）举例说明如何利用外角和公式求解实际问题，如求解四边形、五边形的外角度数。
（3）让学生独立完成一些外角和相关的练习题。
（2）讲解多边形内角和与外角和在实际问题中的应用。
（3）布置一些拓展题目，让学生课后思考。
四、教学评价1.课堂练习：检查学生对多边形内角和与外角和的计算公式及应用的掌握情况。
2.课后作业：布置一些实际问题和拓展题目，评估学生对知识点的运用能力。
五、教学反思1.教学过程中，注意观察学生的学习反馈，及时调整教学方法和进度。
2.关注学生的个体差异，给予不同层次的学生适当的指导。
3.结合学生的实际情况，设计有趣的实际问题，提高学生的学习兴趣。
六、教学资源1.教材：初中数学教材《多边形的内角和与外角和》相关章节。
数学教案多边形内角和与外角和【优秀3篇】
数学教案多边形内角和与外角和【优秀3篇】（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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多边形内角和外角和
多边形内角和外角和
多边形是几何学中的一个重要概念，指具有三个或更多条边的图形。
其中，内角和外角的概念是在讨论多边形时经常提到的。
首先，让我们来看看多边形的内角和外角是如何定义的。
内角是多
边形内部的角，是由多边形的相邻两边所形成的角。
而外角则是指多
边形的某一个角和其相邻角的补角。
接着，我们来研究一下多边形内角和外角的性质。
对于任意一个多
边形来说，它的所有内角之和是固定的。
具体来说，对于一个 n 边形
（n ≥ 3），其内角之和为 (n-2) × 180 度。
这个性质被称为多边形内角
和定理，是几何学中的基本定理之一。
另外，多边形的外角也有一个重要性质。
对于任意一个多边形来说，它的所有外角之和也是固定的。
具体来说，对于一个 n 边形，其外角
之和为 360 度。
这个性质被称为多边形外角和定理，同样也是几何学
中的基本定理之一。
多边形内角和外角的性质在几何学中有着广泛的应用。
通过研究多
边形的内外角和，我们可以更深入地理解多边形的结构和性质，进而
解决与多边形相关的各种问题。
总的来说，多边形内角和外角的性质是几何学中的重要内容。
通过
对这些性质的深入研究，我们可以更好地理解和运用多边形的相关知识，为解决各种几何问题提供有力的支持。
希望本文的介绍能够帮助
读者更好地理解多边形内角和外角的概念和性质。
《多边形的内角和与外角和》典型例题
《多边形的内角和与外角和》典型例题【题1】正五边形的一个内角的度数是 .【解析】一个多边形的内角和为（n-2）×180°，外角和为360°，因此可通过两种方法求内角度数.方法1：设正五边形的一个内角的度数为a ，则a=5180)25(︒⨯-=108° 方法2：因为5360︒=720°，所以一个内角的度数=180°-72°=108° 【知识规律串讲】一、多边形的内角和与外角和公式n 边形的内角和为：（n-2）·180°（正n 边形的每个内角的度数是n ︒⨯1802)-(n ） n 边形的外角和为360°（正n 边形的每个外角的度数都是n︒360） 二、多边形的内角和与外角和的运用1.求多边形的边数例1：1.若一个多边形的每个外角都等于45°，则这个多边形的边数是 .2.如果一个多边形的内角和是540°，那么这个多边形是 边形. 解析: 第1题计算的根据是多边形的外角和都等于360°，n 边形有n 个外角，360÷40=9,即为多边形的边数，注意多边形的外角和与边数无关.第2题的解答主要依据多边形的内角和（n-2）·180°.此公式的逆向的运用，即可用内角和公式求边数.答案：1. 九边形 2. 五边形点评：在利用多边形的内角和公式时一定要注意到n-2，在由公式求边数时,一般先求出n-2，再求n.例如：已知一个多边形的内角和是2340°，则这个多边形的边数是_______. 答案： 十五边形2. 外角和的性质n 边形的外角和为360°，它不随边数的变化而变化.例2：随着边数的增加, n边形的外角和()A. 不变B. 增加C. 减少D. 不一定答案：A3.判断角的可能性例3：在四边形的四个内角中，最多能有几个钝角？最多能有几个锐角？最多能有三个钝角，最多能有三个锐角.理由是：解析:设四边形的四个内角的度数分别为：α°，β°，γ°，δ°，则α+β+γ+δ=360°，α、β、γ、δ的值最多能有三个大于90°，否则α、β、γ、δ都大于90°.α+β+γ+δ＞360°.同理最多能有三个小于90°.4.内角的镶嵌例4：下图是三个完全相同的正多边形拼成的无缝隙不重叠的图形的一部分，这种多边形是几边形？为什么？解析:这种正多边形是正六边形，理由是：设这个正多边形的一个内角为x°，则由题图得：3x=360°.x=120°.再根据多边形的内角和公式得：n×120°=(n－2)×180°.解得n=6答案：六边形。
多边形的内角和及外角和
DB OC A ② C O A BD ③ 多边形的内角和及外角和知识体系：1．多边形的定义：在平面内，由若干条不在同一条直线上的线段；首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形，在多边形中，组成多边形的各条线段叫做多边形的边，每相邻两条边的公共点叫做多边形的顶点，连接不相邻两个顶点的线段叫做多边形的对角线．2．多边形的内角和：n 边形的内角和=(n －2)180°．3．正多边形：在平面内，内角都相等，边也相等的多边形叫做正多边形．4．多边形的外角：多边形内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角，叫做这个多边形的外角．在多边形的每个顶点处取这个多边形的一个外角，它们 的和叫做多边形的外角和，多边形的外角和都等于360°．5．过n 边形的一个顶点共有(n －3）条对角线，n 边形共有(3)2n n 条对角线． 6．过n 边形的一个顶点将n 边形分成(n －2)个三角形．题型体系：例1.正n 边形的内角和等于1080°，那么这个正n 边形的边数n=______解：8 点拨：主要考查n 边形的内角和公式．例2.四边形是大家最熟悉的图形之一，我们已经发现了它的许多性质.只要善于观察、乐于探索，我们还会发现更多的结论.问题的提出：四边形一条对角线上任意一点与另外两个顶点的连线，将四边形分成四个三角形，其中相对的两对三角形的面积之积有何关系？你能探索出结论吗？（1）为了更直观的发现问题，我们不 妨先在特殊的四边形――平行四边形中，研究这个问题：已知：在平行四边形ABCD 中，O 是对角线BD 上任意一点（如图①）；求证：S △OBC ·S △OAD =S △OAE ·S △OCD .（2）有了（1）中的探索过程作参照，你一定能类比出在一般四边形（如图②）中，解决问题的办法了吧！填写结论并写出证明过程。
已知：在四边形ABCD 中，O 是对角线BD 上任意一点（如图②）求证：_________________。
多边形内角和与外角和
(n 2)180
正n边形的内角为 n
完成AB层作业
预习下节课内容
在生活中找一下常见的多边形，计 算出他们的内角和
八年级下册
第六章 平行四边形
6.4.1多边形内角和与外角和
深圳市龙岗区兴泰实验学校 卢海洋
目标呈现
学习目标
• 1、掌握多边形相关概念 • 2、通过探索多边形内角和求法，拓展一题多解思维并找
到常规求法，掌握多边形内角和定理。 • 3、运用多边形内角和定理解决问题
知识回顾
1、多边形是如何定义的？
在平面内，由若干条不在同一直线上的线 段首尾顺次相连组成的封闭图形叫做多边 形。
=360°
=360°
C A
B C
●
D
O
3×180°-180° =360°
规律总结
多边形
三角形 四边形 五边形 六边形 七边形
Hale Waihona Puke 边数一个顶点出 发的对角线
条数
3
0
4
1
5
2
6
3
7
4
问题探究
图形
分成三角形的个 数
计算规律
1
1 ×180°
2
2 ×180°
3
3 ×180°
4
4 ×180°
5
5 ×180°
… …
知识巩固
拓展提升
请思考：如何利用多变形内角和定理与正多边形 内角关系，求正三角形、正四边形（正方形）、 正五边形、正六边形、正八边形的内角分别是多 少度？
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2） ✖180
多边形的内角和与外角和
八年级数学第四章《四边形性质探索》多边形的内角和与外角和姓名_班级______________【知识要点】多边形的定义：在平面内，由若干条不在同一直线上的线段首尾顺次相连接组成的封闭图形叫做多边形边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边顶点：每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点对角线：在多边形中，连结不相邻两个顶点的线段叫做多边形的对角线内角：多边形相邻两边组成的角叫多边形的内角多边形的命名：五边形ABCDE，或五边形EDCBA你能求出六边形的内角和是多少度吗? 那么n边形的内角和呢？边形（＞3）从一个顶点出发可以引________条对角线，把多边形分成_________个三角形。
结论：n边形的内角和等于___________结论：正n边形的每个内角为___________多边形内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做这个多边形的外角。
在每个顶点处取这个多边形的一个外角，它们的和叫做这个多边形的外角和。
一般地，在多边形的任一顶点处按顺（逆）时针方向可作外角，n边形有n个外角。
结论：多边形的外角和公式____________________________________中心对称图形：在平面内，一个图形绕某个点旋转，如果旋转前后的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心。
轴对称图形与中心对称图形：结论：中心对称图形上的每一对对应点所连成的线段都被对称中心平分典型练习题一．填空题1.若一个六边形的各条边都相等，当边长为3cm时，它的周长为________ cm.2.一个n边形有________个顶点，________条边，________个内角，________个外角.3.若一个四边形的四个内角的度数比为1∶3∶4∶2，则四个内角的度数分别为__________________.4.若四边形ABCD的相对的两个内角互补，且满足∠A∶∠B∶∠C=2∶3∶4,则∠A=________,∠B=________,∠C=________,∠D=________.5.若一个n边形的内角都相等，且内角的度数与和它相邻的外角的度数比为3∶1，那么这个多边形的边数为________.6.若一个十边形的每个外角都相等，则它的每个外角的度数为_______，每个内角的度数为________.7.若一个多边形的各边都相等，它的周长是63，且它的内角和为900°，则它的边长是________.二、选择题1.一个多边形最少可分割成五个三角形，则它是________边形（）A.8B.7C.6D.52.一个多边形的外角和是内角和的一半，则它是边形（）A.7B.6C.5D.43.一个多边形的内角和与外角和为540°，则它是边形（）A.5B.4C.3D.不确定4.若等角n边形的一个外角不大于40°，则它是边形（）A.n=8B.n=9C.n＞9D.n≥9思考题：我们知道过n边形的一个顶点可以做(n－3)条对角线，这(n－3)条对角线把三角形分割成(n－2)个三角形，想一想这是为什么？如图1.如图2，在n边形的边上任意取一点，连结这点与各顶点的线段可以把n边形分成几个三角形？想一想，利用这两个图形，怎样证明多边形的内角和定理.图1 图2综合提高训练题一、填空1、如果四边形有一个角是直角，另外三个角的度数之比为2 : 3 : 4，那么这个四边形的内角的度数分别为______________________。
多边形及其内角和、外角和
第三讲：多边形及其内角和、外角和【知识要点】1．多边形及其有关概念(1)多边形定义：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形．多边形按组成它的线段的条数分为三角形、四边形、五边形、六边形、……由n条线段组成的多边形就叫做n边形．如图，是一个五边形，可表示为五边形ABCDE.三角形是最简单，边数最少的多边形.(2)多边形的边：组成多边形的线段叫做多边形的边．(3)多边形的内角、外角：多边形相邻两边组成的角叫做多边形的内角，也称为多边形的角；多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角．如图，∠B，∠C，∠D，…是五边形的内角，∠1是五边形的外角．(4)多边形的对角线：①定义：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．如图，AC，AD就是五边形ABCDE中的两条对角线．(5)凸多边形和凹多边形：①在图(1)中，画出四边形ABCD的任何一条边所在的直线，整个图形都在这条直线的同一侧，这样的四边形叫做凸四边形，这样的多边形称为凸多边形；②在图(2)中，画出DC(或BC)所在直线，整个四边形不都在这条直线的同一侧，我们称这个四边形为凹四边形，像这样的多边形称为凹多边形．2．正多边形(1)定义：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形．如等边三角形、正方形等．(2)特点：不仅边都相等，角也都相等，两个条件必须同时具备才是正多边形．如长方形四个角都是直角，都相等，但边不等，所以不是正多边形．3．多边形的内角和(1)公式：n边形内角和等于(n－2)×180°.(2)探究过程：如图，以五边形、六边形为例．①从五边形的一个顶点出发，可以画2条对角线，它们将五边形分成3个三角形，五边形的内角和等于180°×3＝540°；②从六边形的一个顶点出发，可以画3条对角线，它们将六边形分成4个三角形，六边形的内角和等于180°×4＝720°；③从n边形的一个顶点出发，可以画(n－3)条对角线，它们将n边形分成(n－2)个三角形，n边形的内角和等于180°×(n－2)．所以多边形内角和等于(n－2)×180°.4．多边形的外角和(1)公式：多边形的外角和等于360°.(2)探究过程：如图，以六边形为例．①外角和：在每个顶点处各取一个外角，即∠1，∠2，∠3，∠4，∠5，∠6，它们的和为外角和．②因为同顶点处的一个内角和外角互为邻补角，所以六边形内、外角和等于180°×6＝1 080°，所以∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＝1 080°－180°×(6－2)＝360°.③n 边形外角和＝n ×180°－(n －2)×180°＝360°.【注意】1． 多边形每一个顶点处有两个外角，并且同顶点的外角与内角互为邻补角．2．一个n 边形从一个顶点可以引(n －3)条对角线，把n 边形分成(n －2)个三角形．一个n边形一共有n (n －3)2条对角线．3．因为边数相同的正多边形各个内角都相等，同顶点的内角与外角互为邻补角，所以边数相同的正多边形的各个外角也相等．4．多边形的外角和是一个恒值，即任何多边形的外角和都是360°，与边数无关．5. 多边形的外角和与多边形所有外角的和不是一回事，多边形的外角和是每个顶点处取一个外角的和．【例题解析】例1 填空：(1) 十边形有________个顶点，________个内角，________个外角，从一个顶点出发可画________条对角线，它共有________条对角线(2)从多边形一个顶点出发画对角线将它分成了四个三角形，这个多边形是________边形．例2 下列说法正确的个数有( )．(1)由四条线段首尾顺次相接组成的图形是四边形；(2)各边都相等的多边形是正多边形；(3)各角都相等的多边形一定是正多边形；(4)正多边形的各个外角都相等．A ．1B ．2C ．3D ．4例3十边形的内角和为( )．A ．1 260°B ．1 440°C ．1 620°D ．1 800°例 4 (1)一个多边形每个外角都是60°，这个多边形是__________边形，它的内角和是__________度，外角和是__________度；(2)多边形边数每增加一条，它的内角和会增加__________，外角和增加__________．例5如图所示，已知∠ABE＝138°，∠BCF＝98°，∠CDG＝69°，则∠DAB＝______例6若八边形的每个内角都相等，则其每个内角的度数是__________．例7过n边形的一个顶点的所有对角线，把多边形分成8个三角形，则这个多边形的边数是( )．A．8 B．9 C．10 D．11例8 若多边形所有内角与它的一个外角的和为600°，求这个多边形的边数及内角和．【课后作业】1 六边形的对角线的条数为（）A. 15B.9C.8D.62 下列说法不正确的是（）A.各边都相等的多边形是正多边形B.正多边形的各边都相等C.正三角形就是等边三角形D.各内角相等的多边形不一定是正多边形3．一个多边形的内角和为720°，那么这个多边形的对角线共有( )．A．6条 B．7条 C．8条 D．9条4.如果一个多边形的内角和是其外角和的一半，那么这个多边形是（）A.六边形B.五边形C.四边形D.三角形5. 一个多边形的内角和不可能是( )．A．1 800° B．540°C．720° D．810°6.如图，在四边形ABCD中，∠1，∠2分别是∠BCD和∠BAD的邻补角，且∠B＋∠ADC＝140°，则∠1＋∠2等于( )．A．140° B．40°C．260° D．不能确定7. 多边形的每一个内角都是150°，则此多边形的一个顶点引出的对角线的条数是( )．A．7 B．8 C．9 D．108.一个多边形截去一个角(截线不过顶点)之后，所形成的一个多边形的内角和是2 520°，那么原多边形的边数是( )．A．13 B．15 C．17 D．19。
多边形内角和与外角和
多边形的内角和与外角和基础训练1.n 边形的内角和=________度，外角和=_______度。
2.从n 边形(n>3)的一个顶点出发，可以画_______条对角线，.这些对角线把n 边形分成______三角形，分得三角形内角的总和与多边形的内角和_______。
. 3.如果一个多边形的内角和与它的外角和相等，那么这个多边形是____边形。
4.如果一个多边形的内角和等于它的外角和5倍，那么这个多边形是____边形。
5.若n 边形的每个内角都是150°，则n=____。
6.一个多边形的每个外角都是36°，这个多边形是______边形。
7.如果一个多边形的每个内角都相等，且内角的度数是与它相邻的外角度数的2倍，那么这个边形的每个内角是_____度，其内角和等于______度。
8.若一个多边形的内角和是1800°，则这个多边形的边数是_______。
9.若一个多边形的边数增加１，则它的内角和 （ ）.Ａ.不变 Ｂ.增加１ Ｃ.增加180° Ｄ.增加360°10.当一个多边形的边数增加时，其外角和 （ ）Ａ.增加Ｂ.减少Ｃ.不变Ｄ.不能确定11.某学生在计算四个多边形的内角和时，得到下列四个答案，其中错误的是（ ）A.180°B.540°C.1900°D.1080°12.n 边形的内角和等于______度。
任意多边形的外角和等于______度。
13.一个多边形的外角和是它的内角和的41，这个多边形是______边形。
14.如果十边形的每个内角都相等，那么它的每个内角都等于______度，每个外角都等于______度。
15.若一个多边形的内角和与外角和之和是1800°,则此多边形是( )A.八边形B.十边形C.十二边形D.十四边形16.n 边形的外角和与内角和的度数之比为2:7,则边数为_______.17.从一个多边形的一个顶点出发,一共做了10条对角线,则这个多边形的内角和为_____度.18.在四边形ABCD 中,如果∠A:∠B:∠C:∠D=1:2:3:4,则∠D=______.19.多边形每一个内角都等于120°,则从此多边形一个顶点出发可引的对角线的条数是( )A.5条B.4条C.3D.2条能力训练1.分别画出下列各多边形的对角线，并观察图形完成下列问题：（１）试写出用n 边形的边数n 表示对角线总条数Ｓ的式子：__________。
多边形的内角和与外角和
多边形的内角和与外角和一、多边形及其相关概念.1.多边形：在平面内，由若干条不在同一条直线上的线段首尾顺次相连组成的封闭图型叫多边形。
2.对边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线。
（1）从n边形的一个顶点可以引_______条对角线，将多边形分成________个三角形；（2）n边形对角线有________条.3.正多边形：在平面内，内角都相等、边也相等的多边形叫做正多边形。
二、多边形的内角和与外角和的性质.1.多边形内角和：n边形内角和等于_______.2.多边形外角和等于_______.3.正多边形每一个内角：正n边形每一个内角都等于_______，每一个外角都等于_______，那么每一个内角又可以等于_______.典型练习：一.选择题：1. 下列语句中正确的是（）.A.四条边都相等的四边形是正多边形B.四个角都相等的四边形是正多边形C.等边三角形不是正多边形D.正方形是正多边形2．多边形的边数由3增加到n（n为正整数），则其外角和的度数（）.A.增加B.减少C.不变D. 不一定变化3．若一个多边形的内角和等于720°，则这个多边形的边数是（）.A.5B.6C.7D.84．内角和与与外角和度数比为2:1的多边形是（）.A.四边形B.五边形C.六边形D.七边形5．n边形的n个内角与某一个外角的总和为1350°，则n等于（）.A.6B.7C.8D.96．若一个多边形的每一个外角都等于一个内角的三分之二，则这个多边形是（）.A.四边形B.五边形C.六边形D.七边形7．每个内角都是72°的多边形是（）.A.五边形B.七边形C.十边形D.不存在8．若一个多边形的每一个内角都等于140°，那么从这个多边形的一个顶点出发的对角线的条数为（）.A.9B.8C.7D. 69．如果把多边形的边数增加一倍，它的内角和是2520°，那么原来多边形的边数是（）.A.6B.7C.8D.910．一个多边形除了一个内角之外，其余各内角之和为2570°，则这一内角的度数为（）.A.90°B.105°C.130°D.120°二. 填空题：1．若在四边形ABCD中，∠A、∠B、∠C、∠D的外角度数之比是8：3：7：6，那么，∠D=_______.2．已知一个多边形的内角和是540°，则这个多边形是_______边形.3．已知一个五边形的4个内角都是100°，则第五个内角的外角度数是_______度. 4．一个多边形的内角和比它的外角和的3倍少180°，这个多边形的边数是_______. 5．正多边形的一个外角的度数为36°，则这个正多边形的边数为_______.6．若一个多边形共有27条对角线，那么这个多边形的内角和是_______.7．若一个多边形的每一个内角都等于140°，那么从这个多边形的一个顶点出发的对角线的条数是_______条.8．若一个多边形的各边都相等，它的周长是42cm,且它的内角和为720°，则它的边长_______cm.9．长为a的正六边形的面积等于________.10．若将4根木条钉成的矩形木框变形为平行四边形形状，并使其面积变为矩形面积的一半.则这个平行四边形的一个最小内角是_______度.11．有两个各内角都相等的多边形，它们的边数之比为1:2,且第二个多边形的内角比第一个多边形的内角大15°，则这两个多边形的边数分别为________.计算题：1.如果多边形的每一个外角都相等，并且小于45°，那么这个多边形最少是多少？2.一个n边形除去一个内角以后，其余的（n-1）个内角的和是1993°，那么：除去的这个内角是多少度？这个多边形是几边形？3．一个边形只截去一个角，形成另一个多边形的内角和为2520°，则原多边形的边数为几？（截面不经过其他顶点）4．已知，如图所示，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G的度数.5．如图，六边形ABCDEF的每个内角都为120°，AF=AB=2,BC=CD=3,求DE、EF的长.。
多边形内角和和外角和
例2：已知一个多边形，它的内角和与外角和
相 等.请说明这个多边形是几边形.
解： 设多边形的边数为n，则它的内角和等 于(n-2)×180°,外角和等于360°, 由(n-2)×180°=360°,
解得:n=4, 所以,这个多边形是四边形. 答：这个多边形是四边形．
例3是否存在一个多边形，它的每一个外角都等
于相邻内角的
1 ？简述你的理由． 6
设这个多边形是n边形， 解： 则它的内角和是(n-2)· 180°， 是外角和的6倍 依题意得 (n-2)· 180°＝6×360° 解得 n＝14
答：存在这个多边形，它是是十四边形．
一个多边形的内角和与外角和共 9 1620°,这个多边形的边数为_____
通过本节课 的学习，你有哪 些收获？n边形ຫໍສະໝຸດ =2×180°= 360 °
多边形内角的一边与另一边的反向延长线所组 成的角叫做这个多边形的外角.
在每个顶点处取这个多边形的一个外角，它们 的和叫做这个多边形的外角和. 多边形的外角和等于360ْ
5 1 2
4
3
将四边形缩小(保持形状不变)
1 4 2 3
1 2
4
3
1 4 3 2
(3).如果保持四边形的形状不变，将四边形不断缩小下去， 外 (1).∠1、∠2、∠3、∠4是这个四边形的_____角 你能想象一下最终的形状吗?你能借助上面的变化过程说 明四边形的外角和吗？ (2).在缩小过程中，四边形对应的各个外角的大小是否发 (4).你能类似地说明多边形的外角和吗? 生了变化?
1 3 2
∠1+∠2+∠3 =3×180°-1×180° =2×180°=360° ∠1+∠2+∠3+∠4 =4×180°-2×180°
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2、四边形ABCD的内角∠A∶∠B∶∠C∶∠D =
1∶2∶3∶4， 求各个角的大小。
C D
360 720 1080 1440 A
B
3、过某个多边形一个顶点的所有对角线，将这 个多边形分成5个三角形。这个多边形是几边形？ 它的内角和是多少？七 9000
随堂练习
1.正五边形的每一个内角等于_____,
应用新知
1、求八边形的内角和的度数。 解：八边形的内角和是 (n-2)×1800 = (8-2)×1800 = 10800
答：八边形的内角和的度数是1080o。
2、一个多边形内角和等于1260°，它 是几边形？
解：设它是n边形，根据题意，得 （n－2）·180＝ 1260 解得 n ＝9 所以它是九边形。
任意四边形的内角和等于多少度？ 你是怎样得到的？
D A
B C
四边形的内角和
D A
B
C
四边形的内角和
D A
B
C
D A
B
C
2×180 º
=360 º
D A
BEC
3×180 º-180º =360 º
D A
P
B
C
4×180 º-360º =360 º
四边形的内角和是360º
B C
A
●
D
O
3×180°-180° =360°
(2)他每跑完一圈，身体 转过的角度之和是多少？
(3)你能说明上述结论的 正确性吗？
例2、在六边形的每个顶点处各取一个外角， 这些外角的和叫做六边形的外角和。 六边形的外角和等于多少？
E4
5
D
解： 6×1800-(6-2)×1800 ＝3600
3
F
6
A1
C
2
B
类比前边的做法，你能归 纳出n 边形的外角和是多少吗？
3.求下列图形中x的值：
1500
2x0 x0
(1)
1200 800
750
x0
(3)
1500 2x0
1200
x0
(2)
D
E
x0 1500 1350
600
C
A (4) B
AB∥CD
例1:如果一个四边形的一组对角互补，那么另一
Hale Waihona Puke 组对角有什么关系？解： 如右图，四边形ABCD中，
∠A＋∠C＝180°.
C
∵ ∠A＋∠B＋∠C＋∠D
∵ n边形的每一个外角与它相邻的内角
的和是__1_8_0_º
∴ n边形的内角和加外角和等于 __n__•_1_8_0_º
∵ n 边形的内角和等于 __(_n_-2_)_•__1_8_0_º
∴ n 边形的外角和等于：n • 180º – (n-2) • 180º
A4
=360º
An A1
A3 多边形的外角和等于360º。 （与边数无关！区别于内角和！）
2.如果一个正多边形的一个内角等于120°,
则这个多边形的边数是_____ 3. 一个多边形的内角和比九边形的内角和多
360°,则这个多边形的边数是____.
A.12
B.11
C. 13
D.14
4.如果一个多边形的每一个外角等于30°,则这 个多边形的边数是_____,对角线有_____条。
5、一个多边形的内角和与外角和相等，
5.把图中的五边形剪去一个角，此时， 多边形的内角和与外角和有什么变化？
谈谈收获
1、 n边形的内角和等于(n-2)×1800； 2、多边形的外角和是360度； 3、会运用多边形的内角和与外角和
解决有关问题； 4、在解决问题时，体验了从
未知到已知的转化，类比，推广等数 学思想；
5、一个多边形的内角和与外角和相等，
这是一个几边形？ 四边形
1、n边形从一个顶点所画对角线的条数
是 n－3
；
2、n边形内角和 =（n－2）× 180°；
3、一个多边形的边数增加1，则内角和增加
的度数是( C )
A.60° B.90° C.180° D.360°
4、在四边形的四个内角中，最多有几个钝角？ 最多能有几个锐角？
多边形
的边数 图
3
从一个顶点 分割出的 多边形的
形
引出的对角 三角形的
线条数
个数 内 角 和
0
1
1× 180º
4
1
2 2× 180º
5
2
3
3× 180º
6
3
4 4× 180º
…… …… n
…… ……
……
n－3 n－2 (n-2)×180º
结论：n边形内角和公式为：（_n_-_2_）__·1_8_0_°。
①n代表什么？
A
② n-2表示什么含义？
③为什么要乘以180°
B
G F
E
D C
探索多边形的内角和关键是：
把多边形分成几个三角形，再 利用三角形的内角和求得。
P
n×180o－360o
议
一
P
议
（n－1）×180o－180o
应用新知
1、求八边形的内角和的度数。
2、一个多边形内角和等于1260°， 它是几边形？
＝(4－2) ×180°
D
＝360 °
∴ ∠B＋∠D＝360°－(∠A＋∠C)
＝360°－180°
A
B
＝180°
这就是说，如果四边形的一组对角互补，
那么另一组对角也互补.
议一议
♀
清晨 ，小明沿一个五边 形广场周围的小路按逆时针 方向跑步。
(1)小明每从一条小路转 到下一条小路时，身体转 过的角是哪个角？ 在图中标出它们.
这是一个几边形？
随堂练习
1.正五边形的每一个内角等于_1_0_8_°_,
2.如果一个正多边形的一个内角等于120°, 则这个多边形的边数是____6_
3. 一个多边形的一个内角和比九边形的内角和 多360°,则这个多边形的边数是__B__.
A.12
B.11
C. 13
D.14
4.如果一个多边形的每一个外角等于30°,则这 个多边形的边数是__1_2__,对角线有__5_4__条。
A2
1、已知一个多边形各个内角都相等， 都等于135°，求这个多边形的边数.
解：设这个多边形的边数为n。 根据题意，得
（n－2）·180＝135 ·n 解得 n = 8
则这个多边形的边数为8。
解：每个内角相应的外角度数是： 180o- 135°=45o 360o÷45o=8
所以多边形的边数是8。