3.3.1两直线的交点坐标
3.3.1两条直线的交点坐标
3.3.1 两条直线的交点坐标求两直线的交点求下列两条直线的交点坐标：l1：3x＋4y－2＝0，l2：2x＋y＋2＝0.1．求下列各对直线的交点坐标，并画出图形：(1)l1：2x＋3y＝12，l2：x－2y＝4；(2)l1：x＝2，l2：3x＋2y－12＝0.两条直线的位置关系的判断判定下列各对直线的位置关系，如果相交，求出交点的坐标．(1)l1：x－y＝0，l2：3x＋3y－10＝0；(2)l1：3x－y＋4＝0，l2：6x－2y－1＝0；(3)l1：3x＋4y－5＝0，l2：6x＋8y－10＝0.2．判断下列各对直线的位置关系．如果相交，求出交点的坐标：(1)2x －y ＋7＝0，x ＋y ＝1；(2)x －3y －10＝0，y ＝x ＋53； (3)3x －5y ＋10＝0，9x －15y ＋30＝0.求两点间的距离已知点A (－1，2)，B (2，7)，在x 轴上求一点P ，使|P A |＝|PB |，并求|P A |的值．3．求下列两点间的距离：(1)A (6，0)，B (－2，0)；(2)C (0，－4)，D (0，－1)；(3)P (6，0)，Q(0，－2)；(4)M (2，1)，N(5，－1)．坐标法证明几何问题证明：平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和．4．证明：直角三角形斜边的中点到三个顶点的距离相等．若三条直线l 1：ax ＋y ＋1＝0，l 2：x ＋ay ＋1＝0，l 3：x ＋y ＋a ＝0能构成三角形，则a 应满足的条件是( )A ．a ＝1或a ＝－2B ．a ≠±1C ．a ≠1且a ≠－2D ．a ≠±1且a ≠－25．直线y ＝2x ＋10，y ＝x ＋1，y ＝ax －2交于一点，则a 的值为( )A ．12B ．－12C ．23D ．－23某县相邻两镇在一平面直角坐标系下的坐标为A (1，2)，B (4，0)，一条河所在直线方程为l ：x ＋2y －10＝0，若在河边l 上建一座供水站P 使之到A ，B 两镇的管道最省，问供水站P 应建在什么地方？此时|P A |＋|PB |为多少？A组训练1．已知点A(－3，4)和B(0，b)，且|AB|＝5，则b等于()A．0或8 B．0或－8C．0或6 D．0或－62．经过直线2x－y＋4＝0与x－y＋5＝0的交点，且垂直于直线x－2y＝0的直线方程是() A．2x＋y－8＝0 B．2x－y－8＝0C．2x＋y＋8＝0 D．2x－y＋8＝03．若过点A(4，a)和点B(5，b)的直线与直线y＝x＋m平行，则|AB|的值为()A．6 B． 2C．2 D．不能确定4.已知A(2，1)，B(3，2)，C(－1，4)，则△ABC是()A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．等腰直角三角形5．点P(2，5)关于直线x＋y＝0的对称点的坐标是()A．(5，2) B．(2，5)C．(－5，－2) D．(－2，5)6．直线y＝ax＋1与y＝x＋b交于点(1，1)，则a＝________，b＝________．7．直角坐标平面上连接点(－2，5)和点M的线段的中点是(1，0)，那么点M到原点的距离为________．8．经过两条直线2x －3y ＋10＝0和3x ＋4y －2＝0的交点，且垂直于直线3x －2y ＋4＝0的直线的方程为________．9．(1)求在x 轴上与点A (5，12)的距离为13的点的坐标；(2)已知点P 的横坐标是7，点P 与点N(－1，5)间的距离等于10，求点P 的纵坐标．10．求经过两直线2x ＋y －8＝0与x －2y ＋1＝0的交点，且在y 轴上的截距为x 轴上截距的2倍的直线l 的方程．B 组训练1．已知A (－3，8)，B (2，2)，在x 轴上有一点M ，使得|MA |＋|MB |最短，则点M 的坐标是( )A ．(－1，0)B ．(1，0)C ．(225，0) D ．(0，225)2．若三条直线x＋y＋1＝0，2x－y＋8＝0和ax＋3y－5＝0共有三个不同的交点，则实数a 应满足的条件是________．3．已知AO是△ABC边BC的中线，求证：|AB|2＋|AC|2＝2(|AO|2＋|OC|2)．4．已知两点A(－2，4)，B(4，2)和直线l：y＝kx－2.(1)求直线l恒过的定点P的坐标；(2)若直线l与线段AB相交，试求k的取值范围．3.3.1 两条直线的交点坐标参考答案求两直线的交点求下列两条直线的交点坐标：l 1：3x ＋4y －2＝0，l 2：2x ＋y ＋2＝0.[解] 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋4y －2＝0，2x ＋y ＋2＝0， 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝2.所以，l 1与l 2的交点坐标是M (－2，2)．1．求下列各对直线的交点坐标，并画出图形：(1)l 1：2x ＋3y ＝12，l 2：x －2y ＝4；(2)l 1：x ＝2，l 2：3x ＋2y －12＝0.解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＝12，x －2y ＝4，解得⎩⎨⎧x ＝367，y ＝47， ∴交点坐标为(367，47)．如图(1)．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，3x ＋2y －12＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝3， ∴交点坐标为(2，3)，如图(2)．两条直线的位置关系的判断判定下列各对直线的位置关系，如果相交，求出交点的坐标．(1)l 1：x －y ＝0，l 2：3x ＋3y －10＝0；(2)l 1：3x －y ＋4＝0，l 2：6x －2y －1＝0；(3)l 1：3x ＋4y －5＝0，l 2：6x ＋8y －10＝0.[解] (1)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝03x ＋3y －10＝0， 得⎩⎨⎧x ＝53y ＝53. 所以，l 1与l 2相交，交点坐标是M (53，53)． (2)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x －y ＋4＝0， ①6x －2y －1＝0， ②①×2－②得9＝0，矛盾，方程组无解，所以两直线无公共点，l 1∥l 2.(3)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋4y －5＝0， ①6x ＋8y －10＝0， ②①×2得6x ＋8y －10＝0.因此，①和②可以化成同一个方程，即①和②表示同一条直线，l 1与l 2重合．2．判断下列各对直线的位置关系．如果相交，求出交点的坐标：(1)2x －y ＋7＝0，x ＋y ＝1；(2)x －3y －10＝0，y ＝x ＋53； (3)3x －5y ＋10＝0，9x －15y ＋30＝0.解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋7＝0，x ＋y ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝3.所以两直线相交，交点坐标为(－2，3)．(2)两直线方程分别化为y ＝13x －103， y ＝13x ＋53.由斜率相等，纵截距不等知两直线平行． (3)将3x －5y ＋10＝0的两边同乘以3得，9x－15y＋30＝0，与第二个方程完全相同，故两直线重合．求两点间的距离已知点A(－1，2)，B(2，7)，在x轴上求一点P，使|P A|＝|PB|，并求|P A|的值．[解]设所求点为P(x，0)，∵|P A|＝|PB|，∴（x＋1）2＋（0－2）2＝（x－2）2＋（0－7）2，∴x2＋2x＋5＝x2－4x＋11，解得x＝1.∴所求点为P(1，0)，|P A|＝（1＋1）2＋（0－2）2＝2 2.3．求下列两点间的距离：(1)A(6，0)，B(－2，0)；(2)C(0，－4)，D(0，－1)；(3)P(6，0)，Q(0，－2)；(4)M(2，1)，N(5，－1)．解：(1)|AB|＝[6－（－2）]2＋（0－0）2＝8.(2)|CD|＝（0－0）2＋[－4－（－1）]2＝3.(3)|P Q|＝（6－0）2＋[0－（－2）]2＝210.(4)|M N|＝（2－5）2＋[1－（－1）]2＝13.坐标法证明几何问题证明：平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和．[证明]如图所示，以顶点A为坐标原点，AB边所在直线为x轴，建立直角坐标系，有A(0，0)．设B(a，0)，D(b，c)，由平行四边形的性质得点C的坐标为(a＋b，c)．因为|AB|2＝a2，|CD|2＝a2，|AD|2＝b2＋c2，|BC |2＝b 2＋c 2，|AC |2＝(a ＋b )2＋c 2，|BD |2＝(b －a )2＋c 2.所以|AB |2＋|CD |2＋|AD |2＋|BC |2＝2(a 2＋b 2＋c 2)，|AC |2＋|BD |2＝2(a 2＋b 2＋c 2)．所以|AB |2＋|CD |2＋|AD |2＋|BC |2＝|AC |2＋|BD |2.因此，平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和．4．证明：直角三角形斜边的中点到三个顶点的距离相等．证明：以两直角边OA ，OB 所在直线为x 轴，y 轴建立平面直角坐标系，C 为AB 的中点，设A (a ，0)，B (0，b )，则C (a 2，b 2)． ∴|OC |＝（a 2）2＋（b 2）2＝12 a 2＋b 2，|AB |＝ a 2＋b 2. ∴|OC |＝12|AB |， 即直角三角形斜边上的中点到三个顶点的距离相等．若三条直线l 1：ax ＋y ＋1＝0，l 2：x ＋ay ＋1＝0，l 3：x ＋y ＋a ＝0能构成三角形，则a 应满足的条件是( )A ．a ＝1或a ＝－2B ．a ≠±1C ．a ≠1且a ≠－2D ．a ≠±1且a ≠－2[解析] 为使三条直线能构成三角形，需三条直线两两相交且不共点．(1)若三条直线交于一点，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋ay ＋1＝0，x ＋y ＋a ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－a －1，y ＝1，将l 2，l 3 的交点(－a －1，1)代入l 1的方程解得a ＝1或a ＝－2①；(2)若l 1∥l 2，则由a ×a －1×1＝0， 得a ＝±1②，当a ＝1时，l 1与l 2重合；(3)若l 2∥l 3，则由1×1－a ×1＝0， 得a ＝1，当a ＝1时，l 2与l 3重合； (4)若l 1∥l 3，则由a ×1－1×1＝0， 得a ＝1，当a ＝1时，l 1与l 3重合． 综上，当a ＝1时，三条直线重合；当a ＝－1时，l 1∥l 2；当a ＝－2时，三条直线交于一点， 所以要使三条直线能构成三角形，需a ≠±1且a ≠－2.[答案] D5．直线y ＝2x ＋10，y ＝x ＋1，y ＝ax －2交于一点，则a 的值为( ) A ．12B ．－12C ．23D ．－23解析：选C ．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋10y ＝x ＋1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－9y ＝－8，把点(－9，－8)代入y ＝ax －2，得－8＝－9a －2， 解得a ＝69＝23.某县相邻两镇在一平面直角坐标系下的坐标为A (1，2)，B (4，0)，一条河所在直线方程为l ：x ＋2y －10＝0，若在河边l 上建一座供水站P 使之到A ，B 两镇的管道最省，问供水站P 应建在什么地方？此时|P A |＋|PB |为多少？[解]如图所示，过A 作直线l 的对称点A ′，连接A ′B 交l 于P ，因为若P ′(异于P )在直线l 上，则|AP ′|＋|BP ′|＝|A ′P ′|＋|BP ′|>|A ′B |.因此，供水站只能在点P 处，才能取得最小值． 设A ′(a ，b )，则AA ′的中点在l 上，且AA ′⊥l ， 即⎩⎪⎨⎪⎧a ＋12＋2×b ＋22－10＝0，b －2a －1·（－12）＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝6，即A ′(3，6)，所以直线A ′B 的方程为6x ＋y －24＝0， 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧6x ＋y －24＝0，x ＋2y －10＝0，得⎩⎨⎧x ＝3811，y ＝3611.所以P 点的坐标为(3811，3611)．故供水站应建在点P (3811，3611)处，此时|P A |＋|PB |＝|A ′B |＝（3－4）2＋（6－0）2＝37.A 组训练1．已知点A (－3，4)和B (0，b )，且|AB |＝5，则b 等于( ) A ．0或8 B ．0或－8 C ．0或6 D ．0或－6 解析：选A ．由|AB |＝5得（－3－0）2＋（4－b ）2＝5，所以(4－b )2＝16， ∴4－b ＝±4， ∴b ＝0或b ＝8.2．经过直线2x －y ＋4＝0与x －y ＋5＝0的交点，且垂直于直线x －2y ＝0的直线方程是( ) A ．2x ＋y －8＝0 B ．2x －y －8＝0 C ．2x ＋y ＋8＝0 D ．2x －y ＋8＝0解析：选A ．由⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋4＝0x －y ＋5＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝6，故过点(1，6)与x －2y ＝0垂直的直线为y －6＝－2(x －1)，即2x ＋y －8＝0.3．若过点A (4，a )和点B (5，b )的直线与直线y ＝x ＋m 平行，则|AB |的值为( ) A ．6B ． 2C ．2D ．不能确定解析：选B ．因为直线AB 与y ＝x ＋m 平行，则b －a5－4＝1，即b －a ＝1，|AB |＝（4－5）2＋（a －b ）2＝ 2.4.已知A (2，1)，B (3，2)，C (－1，4)，则△ABC 是( ) A ．直角三角形 B ．锐角三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰直角三角形 解析：选A ．∵|AB |＝（2－3）2＋（1－2）2＝2，|BC |＝（3＋1）2＋（2－4）2＝20， |AC |＝（2＋1）2＋（1－4）2＝18，所以|AB |2＋|AC |2＝|BC |2， 所以△ABC 为直角三角形．5．点P (2，5)关于直线x ＋y ＝0的对称点的坐标是( ) A ．(5，2) B ．(2，5) C ．(－5，－2) D ．(－2，5) 解析：选C ．设对称点P ′(x ，y )， 则⎩⎪⎨⎪⎧y －5x －2＝1x ＋22＋y ＋52＝0，∴x ＝－5，y ＝－2.6．直线y ＝ax ＋1与y ＝x ＋b 交于点(1，1)，则a ＝________，b ＝________． 解析：因为直线y ＝ax ＋1与y ＝x ＋b 的交点为(1，1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧1＝a ＋11＝1＋b ⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0b ＝0.答案：0 07．直角坐标平面上连接点(－2，5)和点M 的线段的中点是(1，0)，那么点M 到原点的距离为________．解析：设M 的坐标为(x ，y )， 则⎩⎪⎨⎪⎧－2＋x 2＝15＋y 2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4y ＝－5，所以|OM |＝42＋（－5）2＝41.答案：418．经过两条直线2x －3y ＋10＝0和3x ＋4y －2＝0的交点，且垂直于直线3x －2y ＋4＝0的直线的方程为________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y ＋10＝03x ＋4y －2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2y ＝2，垂直于直线3x －2y ＋4＝0的直线的斜率为－23，故所求的直线方程为y －2＝－23(x ＋2)，即2x ＋3y －2＝0.答案：2x ＋3y －2＝09．(1)求在x 轴上与点A (5，12)的距离为13的点的坐标；(2)已知点P 的横坐标是7，点P 与点N(－1，5)间的距离等于10，求点P 的纵坐标． 解：(1)设x 轴上的点为B (x ，0)， 由|AB |＝13， 得（x －5）2＋（0－12）2＝13，∴(x －5)2＝25， ∴x －5＝5或x －5＝－5. ∴x ＝10或x ＝0，即点B 的坐标为(10，0)或(0，0)．(2)设点P 的纵坐标为y ，即P (7，y )． 由于|P N|＝10， ∴[7－（－1）]2＋（y －5）2＝10，∴(y －5)2＝36，∴y －5＝6或y －5＝－6，从而y ＝11或y ＝－1， ∴P 点的纵坐标为11或－1.10．求经过两直线2x ＋y －8＝0与x －2y ＋1＝0的交点，且在y 轴上的截距为x 轴上截距的2倍的直线l 的方程．解：(1)2x ＋y －8＝0在x 轴、y 轴上的截距分别是4和8，符合题意． (2)当l 的方程不是2x ＋y －8＝0时， 设l ：(x －2y ＋1)＋λ(2x ＋y －8)＝0， 即(1＋2λ)x ＋(λ－2)y ＋(1－8λ)＝0. 据题意，1＋2λ≠0，λ－2≠0. 令x ＝0，得y ＝－1－8λλ－2；令y ＝0，得x ＝－1－8λ1＋2λ.所以－1－8λλ－2＝2·(－1－8λ1＋2λ)，解得λ＝18，此时直线l 的方程为2x －3y ＝0.综合(1)(2)，所求直线方程为2x ＋y －8＝0或2x －3y ＝0.B 组训练1．已知A (－3，8)，B (2，2)，在x 轴上有一点M ，使得|MA |＋|MB |最短，则点M 的坐标是( )A ．(－1，0)B ．(1，0)C ．(225，0)D ．(0，225)解析：选B ．A (－3，8)关于x 轴对称的点A ′(－3，－8)，A ′B 与x 轴的交点，就是使|MA |＋|MB |最短的M 点，直线A ′B 的方程为 y ＋82＋8＝x ＋32＋3， 当y ＝0时，得x ＝1， 即此时M 的坐标为(1，0)．2．若三条直线x ＋y ＋1＝0，2x －y ＋8＝0和ax ＋3y －5＝0共有三个不同的交点，则实数a 应满足的条件是________． 解析：解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋1＝02x －y ＋8＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3y ＝2，即两直线的交点坐标为(－3，2)． 依题意知，实数a 满足的条件为⎩⎨⎧a ·（－3）＋3×2－5≠0－a3≠－1－a 3≠2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ≠13a ≠3a ≠－6，即实数a 满足的条件为a ∈R ，且a ≠13且a ≠3且a ≠－6.答案：a ≠13且a ≠3且a ≠－63．已知AO 是△ABC 边BC 的中线，求证： |AB |2＋|AC |2＝2(|AO |2＋|OC |2)． 证明：以BC所在直线为x轴，BC的中点O为原点，建立平面直角坐标系，设B(－a，0)，C(a，0)，A(b，c)．则|AB|2＋|AC|2＝[b－(－a)]2＋(c－0)2＋(b－a)2＋(c－0)2＝2(a2＋b2＋c2)，|AO|2＋|OC|2＝b2＋c2＋a2.故|AB|2＋|AC|2＝2(|AO|2＋|OC|2)．4．已知两点A(－2，4)，B(4，2)和直线l：y＝kx－2.(1)求直线l恒过的定点P的坐标；(2)若直线l与线段AB相交，试求k的取值范围．解：(1)令x＝0，则y＝－2，所以不论k取什么值，直线l：y＝kx－2都过定点P(0，－2)．(2)直线l：y＝kx－2过定点P(0，－2)，所以k P A＝－2－40－（－2）＝－3，k PB＝－2－20－4＝1.如图所示，所以直线l的斜率k的取值范围是(－∞，－3]∪[1，＋∞)．。
3.3.1《两条直线的交点坐标》课件(新人教A版必修2)
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品质来自专业 ②利用二元一次方程组的解讨论平面上两条直线的位置关系 金太阳教育网
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已知方程组
A1x+B1y+C1=0
（1）
A2x+B2y+C2=0 当A1，A2，B1，B2全不为零时
（2）
（1）×B2－（2）×B1得（A1B2－A2B1）x=B1C2－B2C1
3x+2y－1=0
y
证明：联立方程 2x－3y－5=0
x=1
解得： y= - 1 代入：x+2y－1+λ（2x－3y－5）= 0 即 M（1，- 1）
x
o
(1, - 1) M
得 0+λ·0=0
∴M点在直线上
A1x+B1y+C1+λ（ A2x+B2y+C2）=0是过直A1x+B1y+C1=0 和A2x+B2y+C2=0的交点的直线系方程。
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上述方程组的解的各种情况分别对应的两条直线的 什么位置关系？
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A1 B1 时，两条直线相交，交点坐标为 当——≠ —— A2 B2 B1C2－B2C1 C1A2－C2A1 （ , ） A1B2－A2B1 A1B2－A2B1 A1 B1 C1 当 —— = —— ≠ —— 时，两直线平行； A2 B2 C2 A1 B1 C1 当 —— = —— = —— 时，两条直线重合。 A2 B2 C2
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④直线A1x+B1y+C1=0与直线A2x+B2y+C2=0重合，则必 有 （A）A1=A2，B1=B2，C1=C2 （B ）
3.3.1两条直线的交点坐标公开课
2014年10月19日
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4.已知不论m取何实数值，直线(m-1)x-y+2m+1=0恒 过一定点,则这点的坐标为__________
5.直线l与两直线y=1和x-y-7=0分别交于A,B两点，
(1)l1:3x+4y－2=0，l2:2x+y+2=0；交点M（-2，2）
平行 重合
(3)l1:x-2y+3=0,
l2:3x-6y+9=0.
2014年10月19日
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§3.3.1两条直线的交点坐标
二元一次方程组的解与两条直线的位置关系:
A1 x B1 y C1 x 0 ( A 、B 、C 均不为零) 2 2 2 A2 x B2 y C2 x 0
练一练
1.求证：不论λ取何值，直线（2λ-1）x+（λ+3）y
-（λ-3）=0都过一定点，并求出该点的坐标. 解:整理为 -x+3y+3+λ( 2x+3y-1)=0,
求出-x+3y+3=0和 2x+3y-1=0的交点.
2014年10月19日
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，
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(不能表示l2)
小题巧练第30练
2014年10月19日
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∴所求直线的斜率是 3 所求直线方程为y+1=3（x－3）即 3x－y－10=0
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2014年10月19日
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两直线的交点坐标
三、过两直线的交点的直线系方程
直线l1 : A1 x B1 y C1 0, l2 : A2 x B2 y C2 0, 则
2x 3 y 2 0
2、经过两条直线2 x y 8 0和x 2 y 1 0
4x 3 y 6 0
方程( A1 x B1 y C1 ) ( A2 x B2 y C2 ) 0
表示过直线l1与l2的交点的直线(不含直线l2 )
称该方程为过直线l1和l2交点的直线系方程。
练习：求满足下列条件的直线的方程。 1、经过两条直线2 x 3 y 10 0和3x 4 y 2 0 的交点，且垂直于直线3x 2 y 4 0; 的交点，且平行于直线4 x 3 y 7 0.
(1)若方程组有唯一解，则两直线有唯一公共点， 此时，两直线相交，此解就是交点的坐标；
(2)若方程组无解，则两条直线无公共点， 此时，两直线平行。
(3)若方程组有无数解，则两直线有无数公共点， 此时，两直线重合。
探索：
当变化时，方程3x 4 y 2 (2 x y 2) 0 表示什么图形？图形有何特点？
二、两直线的交点坐标
l : Ax By C 0, l1 : A1 x B1 y C1 0, l2 : A2 x B2 y C2 0
几何元素及关系
代数表示
A(a, b)
点A
直线l 点A在直线l上
直线l1与l2的交点是A
3.3.1 两条直线的交点坐标与两条平行线间距离
3.3 直线的交点坐标与距离公式3．3.1 两条直线的交点坐标3．3.2 两点间的距离[学习目标]1．会用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标． 2．会根据方程解的个数判定两条直线的位置关系． 3．掌握两点间距离公式并会应用． [知识链接]直线的方程有点斜式、斜截式、两点式、截距式及一般式，它们的表现形式分别为y －y 0＝k (x －x 0)、y ＝kx ＋b 、y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1、x a ＋yb＝1及Ax ＋By ＋C ＝0. [预习导引] 1．两条直线的交点已知两条直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0；l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0.若两直线的方程联立，得方程组⎩⎨⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0.若方程组有唯一解，则两条直线相交；若方程组无解，则两条直线平行．若方程组有无穷多个解，则两条直线重合．2．过定点的直线系方程已知直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与直线l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0交于点P (x 0，y 0)，则方程A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0表示过点P 的直线系，不包括直线l 2.3．两点间的距离平面上的两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)间的距离公式 |P 1P 2|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2. 4．两点间距离的特殊情况(1)原点O (0,0)与任一点P (x ，y )的距离|OP |＝x 2＋y 2. (2)当P 1P 2∥x 轴(y 1＝y 2)时，|P 1P 2|＝|x 2－x 1|. (3)当P 1P 2∥y 轴(x 1＝x 2)时，|P 1P 2|＝|y 2－y 1|.要点一 两直线的交点问题例1 求经过两直线l 1：3x ＋4y －2＝0和l 2：2x ＋y ＋2＝0的交点且过坐标原点的直线l 的方程．解 法一 由方程组⎩⎨⎧3x ＋4y －2＝0，2x ＋y ＋2＝0，解得⎩⎨⎧x ＝－2，y ＝2，即l 1与l 2的交点坐标为(－2,2)．∵直线过坐标原点， ∴其斜率k ＝2－2＝－1. 故直线方程为y ＝－x ，即x ＋y ＝0.法二 ∵l 2不过原点，∴可设l 的方程为3x ＋4y －2＋λ(2x ＋y ＋2)＝0(λ∈R )，即(3＋2λ)x ＋(4＋λ)y ＋2λ－2＝0.将原点坐标(0,0)代入上式，得λ＝1，∴直线l 的方程为5x ＋5y ＝0，即x ＋y ＝0.规律方法 (1)法一是常规方法，思路自然，但计算量稍大，法二运用了交点直线系，是待定系数法，计算简单，但要注意判断原点(0,0)不能在直线2x ＋y ＋2＝0上．否则，会出现λ的取值不确定的情形．(2)过直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0交点的直线系有两种：①λ1(A 1x ＋B 1y ＋C 1)＋λ2(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0可表示过l 1、l 2交点的所有直线；②A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0不能表示直线l 2.跟踪演练1 求经过直线l 1：x ＋3y －3＝0，l 2：x －y ＋1＝0的交点且平行于直线2x ＋y －3＝0的直线方程．解 法一 由⎩⎨⎧ x ＋3y －3＝0，x －y ＋1＝0，得⎩⎨⎧x ＝0，y ＝1，∴直线l1与l2的交点坐标为(0,1)，再设平行于直线2x＋y－3＝0的直线方程为2x＋y＋c＝0，把(0,1)代入所求的直线方程，得c＝－1，故所求的直线方程为2x＋y－1＝0.法二设过直线l1、l2交点的直线方程为x＋3y－3＋λ(x－y＋1)＝0(λ∈R)，即(λ＋1)x＋(3－λ)y＋λ－3＝0，由题意可知，λ＋1λ－3＝－2，解得λ＝53，所以所求直线方程为83x＋43y－43＝0，即2x＋y－1＝0.要点二两点间距离公式的应用例2已知△ABC三顶点坐标A(－3,1)、B(3，－3)、C(1,7)，试判断△ABC 的形状．解法一∵|AB|＝(3＋3)2＋(－3－1)2＝213，|AC|＝(1＋3)2＋(7－1)2＝213，又|BC|＝(1－3)2＋(7＋3)2＝226，∴|AB|2＋|AC|2＝|BC|2，且|AB|＝|AC|，∴△ABC是等腰直角三角形．法二∵k AC＝7－11－(－3)＝32，k AB＝－3－13－(－3)＝－23，则k AC·k AB＝－1，∴AC⊥AB.又|AC|＝(1＋3)2＋(7－1)2＝213，|AB|＝(3＋3)2＋(－3－1)2＝213，∴|AC|＝|AB|.∴△ABC是等腰直角三角形．规律方法 1.判断三角形的形状，要采用数形结合的方法，大致明确三角形的形状，以确定证明的方向．2．在分析三角形的形状时，要从两方面考虑：一是要考虑角的特征，主要考查是否为直角或等角；二是要考虑三角形边的长度特征，主要考查边是否相等或是否满足勾股定理．跟踪演练2已知△ABC的三个顶点坐标为A(－3,1)、B(3，－3)、C(1,7)．(1)求BC边上的中线AM的长；(2)证明△ABC为等腰直角三角形．(1)解设点M的坐标为(x，y)，因为点M为BC的中点，所以x＝3＋12＝2，y＝－3＋72＝2，即点M的坐标为(2,2)．由两点间的距离公式得|AM|＝(－3－2)2＋(1－2)2＝26，所以BC边上的中线AM的长为26.(2)证明根据题意可得，|AB|＝(－3－3)2＋(1＋3)2＝213，|BC|＝(1－3)2＋(7＋3)2＝226，|AC|＝(－3－1)2＋(1－7)2＝213，所以|AB|＝|AC|，且|AB|2＋|AC|2＝|BC|2，所以△ABC为等腰直角三角形．要点三坐标法的应用例3证明平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和．证明如图所示，以顶点A为坐标原点，AB边所在的直线为x轴，建立直角坐标系，有A(0,0)．设B(a,0)，D(b，c)，由平行四边形的性质得点C的坐标为(a＋b，c)，因为|AB|2＝a2，|CD|2＝a2，|AD|2＝b2＋c2，|BC|2＝b2＋c2，|AC|2＝(a＋b)2＋c2，|BD|2＝(b－a)2＋c2.所以|AB|2＋|CD|2＋|AD|2＋|BC|2＝2(a2＋b2＋c2)，|AC|2＋|BD|2＝2(a2＋b2＋c2)．所以|AB|2＋|CD|2＋|AD|2＋|BC|2＝|AC|2＋|BD|2.规律方法坐标法解决几何问题时，关键要结合图形的特征，建立平面直角坐标系．坐标系建立的是否合适，会直接影响问题能否方便解决．建系的原则主要有两点：①让尽可能多的点落在坐标轴上，这样便于运算；②如果条件中有互相垂直的两条线，要考虑将它们作为坐标轴；如果图形为中心对称图形，可考虑将中心作为原点；如果有轴对称性，可考虑将对称轴作为坐标轴．跟踪演练3已知：等腰梯形ABCD中，AB∥DC，对角线为AC和BD.求证：|AC|＝|BD|.证明如图所示，建立直角坐标系，设A(0,0)，B(a,0)，C(b，c)，则点D的坐标是(a－b，c)．∴|AC|＝(b－0)2＋(c－0)2＝b2＋c2，|BD|＝(a－b－a)2＋(c－0)2＝b2＋c2.故|AC|＝|BD|.1．直线x＋2y－2＝0与直线2x＋y－3＝0的交点坐标是()A ．(4,1)B ．(1,4) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫43，13 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，43 答案 C解析 由方程组⎩⎨⎧x ＋2y －2＝0，2x ＋y －3＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝43，y ＝13.即直线x ＋2y －2＝0与直线2x ＋y －3＝0的交点坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫43，13.2．已知M (2,1)，N (－1,5)，则|MN |等于( ) A ．5 B.37 C.13 D ．4 答案 A解析 |MN |＝(2＋1)2＋(1－5)2＝5.3．经过直线2x －y ＋4＝0与x －y ＋5＝0的交点，且垂直于直线x －2y ＝0的直线的方程是( )A ．2x ＋y －8＝0B ．2x －y －8＝0C ．2x ＋y ＋8＝0D ．2x －y ＋8＝0 答案 A解析 首先解得交点坐标为(1,6)，再根据垂直关系得斜率为－2，可得方程y －6＝－2(x －1)，即2x ＋y －8＝0.4．已知两条直线l 1：ax ＋3y －3＝0，l 2：4x ＋6y －1＝0，若l 1与l 2相交，则实数a 满足的条件是________．答案 a ≠2解析 l 1与l 2相交则有：a 4≠36，∴a ≠2.5．设点A 在x 轴上，点B 在y 轴上，AB 的中点是P (2，－1)，则|AB |等于________．答案 25解析 设A (x,0)，B (0，y )，∵AB 中点P (2，－1)， ∴x 2＝2，y2＝－1，∴x ＝4，y ＝－2，即A (4,0)，B (0，－2)， ∴|AB |＝42＋22＝2 5.1．方程组⎩⎨⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0有唯一解的等价条件是A 1B 2－A 2B 1≠0.亦即两条直线相交的等价条件是A 1B 2－A 2B 1≠0.直线A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0(λ∈R )是过直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0交点的直线(不含l 2)．2．解析法又称为坐标法，它就是通过建立直角坐标系，用坐标代替点、用方程代替曲线、用代数的方法研究平面图形的几何性质的方法．3．两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)间的距离公式|P 1P 2|＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2与两点的先后顺序无关，其反映了把几何问题代数化的思想.一、基础达标1．已知A (－1,0)，B (5,6)，C (3,4)，则|AC ||CB |的值为( ) A.13 B.12 C ．3 D ．2答案 D解析 由两点间的距离公式， 得|AC |＝[3－(－1)2]＋(4－0)2＝42，|CB |＝(3－5)2＋(4－6)2＝22，故|AC ||CB |＝4222＝2.2．两直线2x ＋3y －k ＝0和x －ky ＋12＝0的交点在y 轴上，那么k 的值为( )A ．－24B ．6C ．±6D ．24答案 C解析 在2x ＋3y －k ＝0中，令x ＝0得y ＝k 3，将⎝ ⎛⎭⎪⎫0，k 3代入x －ky ＋12＝0，解得k ＝±6.3．以A (5,5)，B (1,4)，C (4,1)为顶点的三角形是( ) A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．等边三角形 D ．等腰直角三角形答案 B解析 ∵|AB |＝17，|AC |＝17，|BC |＝32， ∴三角形为等腰三角形．故选B.4．已知直线mx ＋4y －2＝0与2x －5y ＋n ＝0互为垂直，垂足为(1，p )，则m －n ＋p 为( )A ．24B ．20C ．0D ．－4 答案 B解析 由垂直性质可得2m －20＝0，m ＝10.由垂足可得⎩⎨⎧10＋4p －2＝0，2－5p ＋n ＝0，得⎩⎨⎧p ＝－2，n ＝－12.∴m －n ＋p ＝20.5．已知点A (－2，－1)，B (a,3)，且|AB |＝5，则a 的值为________． 答案 1或－5解析 由题意得(a ＋2)2＋(3＋1)2＝5， 解得a ＝1或a ＝－5.6．若直线l ：y ＝kx －3与直线2x ＋3y －6＝0的交点位于第一象限，则k 的取值范围是________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫33，＋∞解析 由⎩⎨⎧y ＝kx －3，2x ＋3y －6＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝33＋62＋3k ，y ＝6k －232＋3k .由于交点在第一象限，故x >0，y >0，解得k >33.7．在直线l ：3x －y ＋1＝0上求一点P ，使点P 到两点A (1，－1)，B (2,0)的距离相等．解 法一 设P 点坐标为(x ，y )，由P 在l 上和点P 到A ，B 的距离相等建立方程组 ⎩⎨⎧3x －y ＋1＝0，(x －1)2＋(y ＋1)2＝(x －2)2＋y 2， 解得⎩⎨⎧x ＝0，y ＝1，所以P 点坐标为(0,1)．法二 设P (x ，y )，两点A (1，－1)、B (2,0)连线所得线段的中垂线方程为x ＋y －1＝0.①又3x －y ＋1＝0，②解由①②组成的方程组⎩⎨⎧ 3x －y ＋1＝0，x ＋y －1＝0，得⎩⎨⎧x ＝0，y ＝1，所以所求的点为P (0,1)． 二、能力提升8．两直线3ax －y －2＝0和(2a －1)x ＋5ay －1＝0分别过定点A ，B ，则|AB |的值为( )A.895B.175C.135D.115 答案 C解析 直线3ax －y －2＝0过定点A (0，－2)，直线(2a －1)x ＋5ay －1＝0，过定点B ⎝⎛⎭⎪⎫－1，25，由两点间的距离公式，得|AB |＝135. 9．直线x ＋ky ＝0,2x ＋3y ＋8＝0和x －y －1＝0交于一点，则k 的值是( )A.12 B ．－12 C ．2 D ．－2答案 B解析 由方程组⎩⎨⎧2x ＋3y ＋8＝0x －y －1＝0得直线2x ＋3y ＋8＝0与x －y －1＝0的交点坐标为(－1，－2)代入直线x ＋ky ＝0得k ＝－12.10．若动点P 的坐标为(x,1－x )，x ∈R ，则动点P 到原点的最小值是________． 答案 22解析 由距离公式得x 2＋(1－x )2＝2x 2－2x ＋1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋12，∴最小值为12＝22.11．(1)求过两直线3x ＋y －1＝0与x ＋2y －7＝0的交点且与第一条直线垂直的直线方程．(2)求经过直线3x ＋2y ＋6＝0和2x ＋5y －7＝0的交点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程．解 (1)法一 由⎩⎨⎧3x ＋y －1＝0，x ＋2y －7＝0，得⎩⎨⎧x ＝－1，y ＝4，即交点为(－1,4)． ∵第一条直线的斜率为－3，且两直线垂直， ∴所求直线的斜率为13. ∴由点斜式得y －4＝13(x ＋1)， 即x －3y ＋13＝0.法二 设所求的方程为3x ＋y －1＋λ(x ＋2y －7)＝0， 即(3＋λ)x ＋(1＋2λ)y －(1＋7λ)＝0， 由题意得3(3＋λ)＋(1＋2λ)＝0，∴λ＝－2，代入所设方程得x －3y ＋13＝0.(2)设直线方程为3x＋2y＋6＋λ(2x＋5y－7)＝0，即(3＋2λ)x＋(2＋5λ)y＋6－7λ＝0.令x＝0，得y＝7λ－6 2＋5λ；令y＝0，得x＝7λ－6 3＋2λ.由7λ－62＋5λ＝7λ－63＋2λ，得λ＝13或λ＝67.直线方程为x＋y＋1＝0或3x＋4y＝0.三、探究与创新12．求函数y＝x2－8x＋20＋x2＋1的最小值．解原式可化为y＝(x－4)2＋(0－2)2＋(x－0)2＋(0－1)2.考虑两点间的距离公式，如图所示，令A(4,2)，B(0,1)，P(x,0)，则上述问题可转化为：在x轴上求一点P(x,0)，使得|P A|＋|PB|最小．作点A(4,2)关于x轴的对称点A′(4，－2)，由图可直观得出|P A|＋|PB|＝|P A′|＋|PB|≥|A′B|，故|P A|＋|PB|的最小值为|A′B|的长度．由两点间的距离公式可得|A′B|＝(4－0)2＋(－2－1)2＝5，所以函数y＝x2－8x＋20＋x2＋1的最小值为5.13．某县相邻两镇在一平面直角坐标系下的坐标为A(1,2)，B(4,0)，一条河所在直线方程为l：x＋2y－10＝0，若在河边l上建一座供水站P使之到A，B两镇的管道最省，问供水站P应建在什么地方？此时|P A|＋|PB|为多少？解如图所示，过A 作直线l 的对称点A ′，连接A ′B 交l 于P ，因为若P ′(异于P )在直线l 上，则|AP ′|＋|BP ′|＝|A ′P ′|＋|BP ′|>|A ′B |.因此，供水站只能在点P 处，才能取得最小值．设A ′(a ，b )，则AA ′的中点在l 上，且AA ′⊥l ，即⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋12＋2×b ＋22－10＝0，b －2a －1·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－1，解得⎩⎨⎧ a ＝3，b ＝6，即A ′(3,6)．所以直线A ′B 的方程为6x ＋y －24＝0，解方程组⎩⎨⎧ 6x ＋y －24＝0，x ＋2y －10＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3811，y ＝3611. 所以P 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫3811，3611.故供水站应建在点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫3811，3611处，此时|P A |＋|PB |＝|A ′B |＝(3－4)2＋(6－0)2 ＝37.。
3.3.1两条直线的交点坐标
在3x+2y－1+λ（2x－3y－5）=0（λ为任意常 数）表示的直线集合中，如何确定经过点（-2，5） 的直线？
将坐标（-2，5）代入方程3x+2y－1+λ（2x－ 1 3y－5）=0，得到 λ . 8 1 再将 λ ，代入3x+2y－1+λ（2x－3y－ 8 5）=0，得到直线方程22x+19y-3=0.
新课导入
在平面几何中，我们对方程做定性的研究. 引入直角坐标系后，我们用方程表示直线。
y
x
名称
已知条件
标准方程
适用范围
点斜式
(x0, y 0 ), k
y - y 0 k(x, x0 ) 有斜率的直线
y kx b
有斜率的直线
斜截式 k,y轴上截距b
两点式 截距式
一般式
y y1 x x1 (x1, y1 )(x2 , y 2 ) y 2 y 1 x 2 x1 x y x轴上截距a 1 a b Y轴上截距b
一元二次方程
3.3.1 两直线的交点坐标
教学目标
知识与能力
直线和直线的交点。 二元一次方程组的解。
过程与方法
学习两直线交点坐标的求法，以及判断两直线位 置的方法。 掌握数形结合的学习法。
情感态度与价值观
通过两直线交点和二元一次方程组的联系，从 而认识事物之间的内在联系。 能够用辩证的观点看问题。 体会事物之间的内在联系，能用代数方法解决 几何问题。
此方程即为所求。
例二 判断下面各对直线的位置关系，如果相交，求出 交点的坐标： (1)l1:3x+4y－2=0， l2:2x+y+2=0； (2)l1:3x+5y-2=0, (3)l1:x-2y+3=0, l2:6x+10y+7=0; l2:3x-6y+9=0;
第3章 3.3.1两条直线的交点坐标
§3.3 直线的交点坐标与距离公式 3.3.1 两条直线的交点坐标【课时目标】 1．掌握求两条直线交点的方法．2．掌握通过求方程组解的个数，判定两直线位置关系的方法．3．通过本节的学习初步体会用代数方法研究几何问题的解析思想．1．两条直线的交点已知两直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0；l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0．若两直线方程组成的方程组⎩⎪⎨⎪⎧ A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0有唯一解⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0y ＝y 0，则两直线______，交点坐标为________．2一、选择题1．直线l 1：(2－1)x ＋y ＝2与直线l 2：x ＋(2＋1)y ＝3的位置关系是( ) A ．平行 B ．相交 C ．垂直 D ．重合2．经过直线2x －y ＋4＝0与x －y ＋5＝0的交点，且垂直于直线x －2y ＝0的直线的方程是( )A ．2x ＋y －8＝0B ．2x －y －8＝0C ．2x ＋y ＋8＝0D ．2x －y ＋8＝03．直线ax ＋2y ＋8＝0,4x ＋3y ＝10和2x －y ＝10相交于一点，则a 的值为( ) A ．1 B ．－1 C ．2 D ．－2 4．两条直线l 1：2x ＋3y －m ＝0与l 2：x －my ＋12＝0的交点在y 轴上，那么m 的值为( ) A ．－24 B ．6 C ．±6 D ．以上答案均不对5．已知直线l 1：x ＋m 2y ＋6＝0，l 2：(m －2)x ＋3my ＋2m ＝0，l 1∥l 2，则m 的值是( ) A ．m ＝3 B ．m ＝0C ．m ＝0或m ＝3D ．m ＝0或m ＝－16．直线l 与两直线y ＝1和x －y －7＝0分别交于A ，B 两点，若线段AB 的中点为M (1，－1)，则直线l 的斜率为( )A ．32B ．23C ．－32D ．－23二、填空题7．若集合{(x ，y )|x ＋y －2＝0且x －2y ＋4＝0}{(x ，y )|y ＝3x ＋b }，则b ＝________． 8．已知直线l 过直线l 1：3x －5y －10＝0和l 2：x ＋y ＋1＝0的交点，且平行于l 3：x ＋2y －5＝0，则直线l 的方程是______________．9．当a 取不同实数时，直线(2＋a )x ＋(a －1)y ＋3a ＝0恒过一个定点，这个定点的坐标为________．三、解答题10．求经过两直线2x ＋y －8＝0与x －2y ＋1＝0的交点，且在y 轴上的截距为x 轴上截距的两倍的直线l 的方程．11．已知△ABC的三边BC，CA，AB的中点分别是D(－2，－3)，E(3,1)，F(－1,2)．先画出这个三角形，再求出三个顶点的坐标．能力提升12．在△ABC中，BC边上的高所在直线的方程为x－2y＋1＝0，∠A的角平分线所在直线的方程为y＝0，若点B的坐标为(1,2)，求点A和点C的坐标．13．一束平行光线从原点O(0,0)出发，经过直线l：8x＋6y＝25反射后通过点P(－4,3)，求反射光线与直线l的交点坐标．1．过定点(x0，y0)的直线系方程y－y0＝k(x－x0)是过定点(x0，y0)的直线系方程，但不含直线x＝x0；A(x－x0)＋B(y－y0)＝0是过定点(x0，y0)的一切直线方程．2．与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程为Ax＋By＋D＝0(D≠C)．与y＝kx＋b平行的直线系方程为y＝kx＋m(m≠b)．3．过两条直线交点的直线系方程：过两条直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线系方程是A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)，但此方程中不含l2；一般形式是m(A1x＋B1y＋C1)＋n(A2x＋B2y＋C2)＝0(m2＋n2≠0)，是过l1与l2交点的所有直线方程．§3．3直线的交点坐标与距离公式3．3．1 两条直线的交点坐标答案知识梳理1．相交 (x 0，y 0) 2．无 1 无数 作业设计1．A [化成斜截式方程，斜率相等，截距不等．]2．A [首先解得交点坐标为(1,6)，再根据垂直关系得斜率为－2，可得方程y －6＝－2(x －1)，即2x ＋y －8＝0．]3．B [首先联立⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋3y ＝102x －y ＝10，解得交点坐标为(4，－2)，代入方程ax ＋2y ＋8＝0得a ＝－1．]4．C [2x ＋3y －m ＝0在y 轴上的截距为m 3，直线x －my ＋12＝0在y 轴上的截距为12m，由12m ＝m3得m ＝±6．] 5．D [l 1∥l 2，则1·3m ＝(m －2)·m 2， 解得m ＝0或m ＝－1或m ＝3． 又当m ＝3时，l 1与l 2重合， 故m ＝0或m ＝－1．]6．D [设直线l 与直线y ＝1的交点为A (x 1,1)，直线l 与直线x －y －7＝0的交点为B (x 2，y 2)，因为M (1，－1)为AB 的中点，所以－1＝1＋y 22即y 2＝－3，代入直线x －y －7＝0得x 2＝4，因为点B ，M 都在直线l 上，所以k l ＝－3＋14－1＝－23．故选D ．]7．2解析 首先解得方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －2＝0x －2y ＋4＝0的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0y ＝2，代入直线y ＝3x ＋b 得b ＝2．8．8x ＋16y ＋21＝0 9．(－1，－2)解析 直线方程可写成a (x ＋y ＋3)＋2x －y ＝0，则该直线系必过直线x ＋y ＋3＝0与直线2x －y ＝0的交点，即(－1，－2)．10．解 (1)2x ＋y －8＝0在x 轴、y 轴上的截距分别是4和8，符合题意． (2)当l 的方程不是2x ＋y －8＝0时， 设l ：(x －2y ＋1)＋λ(2x ＋y －8)＝0， 即(1＋2λ)x ＋(λ－2)y ＋(1－8λ)＝0． 据题意，1＋2λ≠0，λ－2≠0．令x ＝0，得y ＝－1－8λλ－2；令y ＝0，得x ＝－1－8λ1＋2λ．∴－1－8λλ－2＝2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1－8λ1＋2λ解之得λ＝18，此时y ＝23x ．∴所求直线方程为2x ＋y －8＝0或y ＝23x ．11．解如图，过D ，E ，F 分别作EF ，FD ，DE 的平行线，作出这些平行线的交点，就是△ABC 的三个顶点A ，B ，C ．由已知得，直线DE 的斜率 k DE ＝1＋33＋2＝45，所以k AB ＝45．因为直线AB 过点F ，所以直线AB 的方程为y －2＝45(x ＋1)，即4x －5y ＋14＝0．①由于直线AC 经过点E (3,1)，且平行于DF ， 同理可得直线AC 的方程 5x －y －14＝0．②联立①，②，解得点A 的坐标是(4,6)．同样，可以求得点B ，C 的坐标分别是(－6，－2)，(2，－4)． 因此，△ABC 的三个顶点是A (4,6)，B (－6，－2)，C (2，－4)． 12．解如图所示，由已知，A 应是BC 边上的高线所在直线与∠A 的角平分线所在直线的交点．由⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y ＋1＝0y ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝0x ＝－1， 故A (－1,0)．又∠A 的角平分线为x 轴，故k AC ＝－k AB ＝－1，(也可得B 关于y ＝0的对称点(1，－2)． ∴AC 方程为y ＝－(x ＋1)， 又k BC ＝－2， ∴BC 的方程为 y －2＝－2(x －1)，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝－(x ＋1)y －2＝－2(x －1)，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5y ＝－6， 故C 点坐标为(5，－6)．13．解 设原点关于l 的对称点A 的坐标为(a ，b )，由直线OA 与l 垂直和线段AO 的中点在l 上得⎩⎨⎧b a ·⎝⎛⎭⎫－43＝－18×a 2＋6×b2＝25，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4b ＝3，∴A 的坐标为(4,3)．∵反射光线的反向延长线过A (4,3)，又由反射光线过P (－4,3)，两点纵坐标相等，故反射光线所在直线方程为y ＝3． 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝38x ＋6y ＝25，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝78y ＝3，∴反射光线与直线l 的交点坐标为⎝⎛⎭⎫78，3．。
21-22版：3.3.1 两条直线的交点坐标~3.3.2 两点间的距离(创新设计)
§3.3直线的交点坐标与距离公式3.3.1两条直线的交点坐标3.3.2两点间的距离学习目标 1.会用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标(重点).2.会根据方程解的个数判定两条直线的位置关系(重点).3.掌握两点间距离公式并会应用(难点)．知识点1直线的交点与直线的方程组解的关系1．两直线的交点(l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0)2.两直线的位置关系【预习评价】1．直线x－y＋2＝0与直线x＋y－8＝0的交点坐标为()A ．(3，－5)B ．(－3，5)C ．(3，5)D ．(－3，－5)答案 C2．直线x ＋y ＋2＝0与直线2x ＋2y ＋7＝0的位置关系是________． 答案 平行知识点2 两点间的距离公式【预习评价】1．平面内两点间的距离公式与坐标顺序是否有关？提示 无关．在计算公式中x 2与x 1，y 2与y 1的位置可以同时互换，不影响计算结果．2．式子x 2＋y 2的几何意义是什么？提示 式子x 2＋y 2＝（x －0）2＋（y －0）2表示平面上的点(x ，y )到原点的距离.题型一 两直线的交点问题【例1】 (1)直线l 1：2x －6y ＝0与直线l 2：y ＝13x ＋12交点的个数为________； (2)若两直线2x ＋3y －k ＝0和x －ky ＋12＝0的交点在y 轴上，则k ＝________； (3)已知一直线过两直线2x －3y －3＝0和x ＋y ＋2＝0的交点. 则：①与直线3x ＋y －1＝0平行的直线方程为________； ②与直线3x ＋y －1＝0垂直的直线方程为________. 解析 (1)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x －6y ＝0， ①y ＝13x ＋12， ②②×6－①，得3＝0，矛盾， 故方程组无解，∴两直线无交点.(2)在2x ＋3y －k ＝0中，令x ＝0，得y ＝k3， 将(0，k3)代入x －ky ＋12＝0，解得k ＝±6. (3)法一 解方程组⎩⎨⎧2x －3y －3＝0，x ＋y ＋2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－35，y ＝－75，所以两直线的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，－75.①与直线3x ＋y －1＝0平行的直线的斜率为－3. 故所求直线方程为y ＋75＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋35，即15x ＋5y ＋16＝0.②又与直线3x ＋y －1＝0垂直的直线的斜率为13，故所求直线方程为y ＋75＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋35， 即5x －15y －18＝0. 法二 ①设所求直线方程为 (2x －3y －3)＋λ(x ＋y ＋2)＝0， 即(2＋λ)x ＋(λ－3)y ＋(2λ－3)＝0.(*) 由于所求直线与直线3x ＋y －1＝0平行， 所以⎩⎨⎧（2＋λ）×1－（λ－3）×3＝0，（2＋λ）×（－1）－（2λ－3）×3≠0，得λ＝112.代入(*)式，得⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋112x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫112－3y ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2×112－3＝0，即15x ＋5y ＋16＝0.②设所求直线方程为(2x －3y －3)＋λ(x ＋y ＋2)＝0， 即(2＋λ)x ＋(λ－3)y ＋(2λ－3)＝0， 由所求直线与直线3x ＋y －1＝0垂直，得3(2＋λ)＋(λ－3)×1＝0，得λ＝－34， 所以所求直线方程为5x －15y －18＝0.答案 (1)0 (2)±6 (3)①15x ＋5y ＋16＝0 ②5x －15y －18＝0 规律方法 两条直线相交的判定方法12k 的取值范围是( ) A.(1，＋∞)B.(－1，1)C.(－∞，－1)∪(1，＋∞)D.(－∞，－1)(2)直线l 经过原点，且经过另两条直线2x ＋3y ＋8＝0，x －y －1＝0的交点，则直线l 的方程为( ) A.2x ＋y ＝0 B.2x －y ＝0 C.x ＋2y ＝0D.x －2y ＝0解析(1)联立直线方程⎩⎨⎧y ＝kx ＋1，x －y －1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝21－k ，y ＝1＋k 1－k ，∵直线的交点在第一象限，∴⎩⎪⎨⎪⎧21－k >0，1＋k 1－k >0，解不等式组可得－1<k <1，故选B.(2)设所求直线方程为2x ＋3y ＋8＋λ(x －y －1)＝0， 即(2＋λ)x ＋(3－λ)y ＋8－λ＝0， 因为l 过原点，所以λ＝8. 则所求直线l 的方程为2x －y ＝0. 答案 (1)B (2)B题型二 直线恒过定点问题【例2】 不论m 为何实数，直线(m －1)x ＋(2m －1)y ＝m －5恒过的定点坐标是________.解析 法一 取m ＝1，得直线y ＝－4. 取m ＝12，得直线x ＝9. 故两直线的交点为(9，－4)，下面验证直线(m －1)x ＋(2m －1)y ＝m －5恒过点(9，－4).将x ＝9，y ＝－4代入方程，左边＝(m －1)×9－4×(2m －1)＝m －5＝右边， 故直线恒过点(9，－4).法二 直线方程可变形为(x ＋2y －1)m －(x ＋y －5)＝0， ∵对任意m 该方程恒成立， ∴⎩⎨⎧x ＋2y －1＝0，x ＋y －5＝0，解得⎩⎨⎧x ＝9，y ＝－4. 故直线恒过定点(9，－4). 答案 (9，－4)规律方法 1.过两直线交点的直线系方程的设法经过两直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0交点的直线系方程为A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0，其中λ是待定系数，在此方程中，无论λ取什么实数，都不能表示直线l 2. 2.过两条直线交点的直线方程的求法(1)常规解法(方程组法)：一般是先解方程组求出交点坐标，再结合其他条件写出直线方程.(2)特殊解法(直线系法)：先设出过两直线交点的直线方程，再结合条件利用待定系数法求出参数，最后确定直线方程.【训练2】 求证：不论m 取什么实数，直线(2m －1)x ＋(m ＋3)y －(m －11)＝0都经过一定点，并求出这个定点坐标.解 法一 对于方程(2m －1)x ＋(m ＋3)y －(m －11)＝0， 令m ＝0，得x －3y －11＝0； 令m ＝1，得x ＋4y ＋10＝0. 解方程组⎩⎨⎧x －3y －11＝0，x ＋4y ＋10＝0，得两条直线的交点坐标为(2，－3).将点(2，－3)代入方程组左边，得(2m －1)×2＋(m ＋3)×(－3)－(m －11)＝0. 这表明不论m 取什么实数，所给直线均经过定点(2，－3). 法二 将已知方程(2m －1)x ＋(m ＋3)y －(m －11)＝0 整理为(2x ＋y －1)m ＋(－x ＋3y ＋11)＝0. 由于m 取值的任意性，有⎩⎨⎧2x ＋y －1＝0，－x ＋3y ＋11＝0，解得⎩⎨⎧x ＝2，y ＝－3.所以不论m 取什么实数，所给直线均经过定点(2，－3). 题型三 对称问题【例3】 (1)与直线2x ＋3y －6＝0关于点(1，－1)对称的直线方程是( ) A.3x －2y ＋2＝0 B.2x ＋3y ＋7＝0 C.3x －2y －12＝0D.2x ＋3y ＋8＝0解析 由平面几何知识易知所求直线与已知直线2x ＋3y －6＝0平行，则可设所求直线方程为2x ＋3y ＋C ＝0.在直线2x ＋3y －6＝0上任取一点(3，0)，关于点(1，－1)的对称点为(－1，－2)，则点(－1，－2)必在所求直线上， ∴2×(－1)＋3×(－2)＋C ＝0，解得C ＝8. ∴所求直线方程为2x ＋3y ＋8＝0. 答案 D(2)点P (－3，4)关于直线x ＋y －2＝0的对称点Q 的坐标是( ) A.(－2，1)B.(－2，5)C.(2，－5)D.(4，－3)解析 设对称点坐标为(a ，b )，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a －32＋b ＋42－2＝0，b －4a ＋3＝1，解得⎩⎨⎧a ＝－2，b ＝5，即Q (－2，5). 答案 B(3)在平面直角坐标系中，直线y ＝2x ＋1关于y ＝x －2对称的直线l 的方程为( )A.x －4y －11＝0B.4x －y ＋11＝0C.x －2y ＋7＝0D.x －2y －7＝0解析 ∵直线y ＝2x ＋1关于y ＝x －2对称的直线是直线l ，联立⎩⎨⎧y ＝2x ＋1，y ＝x －2，得⎩⎨⎧x ＝－3，y ＝－5，∴直线l 过点(－3，－5).在直线y ＝2x ＋1上取一点A (0，1)， 设点A 关于y ＝x －2对称的点为B (a ，b )， 则点B 在直线l 上.设AB 与直线y ＝x －2的交点为M ，则M ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，b ＋12， ∴⎩⎪⎨⎪⎧b －1a －0＝－1，b ＋12＝a 2－2，解得⎩⎨⎧a ＝3，b ＝－2，∴直线l 过点(－3，－5)和(3，－2)， ∴直线l 的方程为y ＋5－2＋5＝x ＋33＋3，整理得x －2y －7＝0.答案 D规律方法 (1)点关于点的对称问题：若两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)关于点P (x 0，y 0)对称，则P 是线段AB 的中点，并且⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x 1＋x 22，y 0＝y 1＋y 22.(2)直线关于点的对称问题：若两条直线l 1，l 2关于点P 对称，则：①l 1上任意一点关于点P 的对称点必在l 2上，反过来，l 2上任意一点关于点P 的对称点必在l 1上；②若l 1∥l 2，则点P 到直线l 1，l 2的距离相等；③过点P 作一直线与l 1，l 2分别交于A ，B 两点，则点P 是线段AB 的中点. 【训练3】 (1)求点P (x 0，y 0)关于点A (a ，b )的对称点P ′的坐标； 解 根据题意可知点A (a ，b )为PP ′的中点，设点P ′的坐标为(x ，y )，则根据中点坐标公式得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝x ＋x 02，b ＝y ＋y 02，所以⎩⎨⎧x ＝2a －x 0，y ＝2b －y 0.所以点P ′的坐标为(2a －x 0，2b －y 0).(2)一束光线从原点O (0，0)出发，经过直线l ：8x ＋6y ＝25反射后通过点P (－4，3)，求反射光线的方程.解 设原点关于l 的对称点A 的坐标为(a ，b )，由直线OA 与l 垂直和线段AO 的中点在l 上，得 ⎩⎪⎨⎪⎧b a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＝－1，8×a2＋6×b2＝25， 解得⎩⎨⎧a ＝4，b ＝3，∴点A 的坐标为(4，3).∵反射光线的反向延长线过点A (4，3)， 又∵反射光线过点P (－4，3)，两点纵坐标相等， 故反射光线所在直线方程为y ＝3. 由方程组⎩⎨⎧y ＝3，8x ＋6y ＝25，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝78，y ＝3，由于反射光线为射线，故反射光线的方程为y ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x ≤78.题型四 运用坐标法解决平面几何问题【例4】 如图，已知△ABC 三顶点坐标A (－3，1)，B (3，－3)，C (1，7).(1)判断△ABC的形状；(2)求△ABC的面积.解(1)法一(1)∵|AB|＝（3＋3）2＋（－3－1）2＝213，|AC|＝（1＋3）2＋（7－1）2＝213，又|BC|＝（1－3）2＋（7＋3）2＝226，∴|AB|2＋|AC|2＝|BC|2，且|AB|＝|AC|，∴△ABC是等腰直角三角形.法二∵k AC＝7－11－（－3）＝32，k AB＝－3－13－（－3）＝－23，则k AC·k AB＝－1，∴AC⊥AB.又|AC|＝（1＋3）2＋（7－1）2＝213，|AB|＝（3＋3）2＋（－3－1）2＝213，∴|AC|＝|AB|.∴△ABC是等腰直角三角形.(2)S△ABC＝12|AC|·|AB|＝12(52)2＝26，∴△ABC的面积为26.规律方法 1.利用坐标法解平面几何问题常见的步骤(1)建立坐标系，尽可能将有关元素放在坐标轴上.(2)用坐标表示有关的量.(3)将几何关系转化为坐标运算.(4)把代数运算结果“翻译”成几何关系.2.用解析法解题时，虽然平面图形的几何性质不依赖于直角坐标系的建立，但不同的直角坐标系会使我们的计算有繁简之分，因此在建立直角坐标系时必须“避繁就简”.【训练4】 在△ABC 中，AD 是BC 边上的中点，求证： |AB |2＋|AC |2＝2(|AD |2＋|DC |2). 证明 设BC 所在边为x 轴，以D 为坐标原点，建立平面直角坐标系， 如图所示，设A (b ，c )，C (a ，0)， 则B (－a ，0). ∵|AB |2＝(a ＋b )2＋c 2， |AC |2＝(a －b )2＋c 2， |AD |2＝b 2＋c 2， |DC |2＝a 2.∴|AB |2＋|AC |2＝2(a 2＋b 2＋c 2)， |AD |2＋|DC |2＝a 2＋b 2＋c 2， ∴|AB |2＋|AC |2＝2(|AD |2＋|DC |2).课堂达标1．已知直线l 1：3x ＋4y －5＝0与l 2：3x ＋5y －6＝0相交，则它们的交点是( ) A ．(－1，13) B ．(13，1) C ．(1，13)D ．(－1，－13)解析 由⎩⎨⎧3x ＋4y －5＝0，3x ＋5y －6＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝13，y ＝1.答案 B2．经过直线2x －y ＋4＝0与x －y ＋5＝0的交点，且垂直于直线x －2y ＝0的直线方程是( )A ．2x ＋y －8＝0B ．2x －y －8＝0C ．2x ＋y ＋8＝0D ．2x －y ＋8＝0解析 联立⎩⎨⎧2x －y ＋4＝0，x －y ＋5＝0，解得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝6.∴交点坐标为(1，6)．由垂直关系，得所求直线的斜率为－2，则所求直线方程为y －6＝－2(x －1)，即2x ＋y －8＝0. 答案 A3．已知A (－1，0)，B (5，6)，C (3，4)三点，则|AC ||CB |的值为( )A.13B.12 C ．3 D ．2解析 由两点间的距离公式，得|AC |＝[3－（－1）]2＋（4－0）2＝42，|CB |＝（3－5）2＋（4－6）2＝22，故|AC ||CB |＝4222＝2. 答案 D4．不论m 取何实数，直线(m ＋2)x －(m ＋1)y ＋m ＋1＝0恒过定点________． 解析 由直线(m ＋2)x －(m ＋1)y ＋m ＋1＝0变形为m (x －y ＋1)＋(2x －y ＋1)＝0， 令⎩⎨⎧x －y ＋1＝0，2x －y ＋1＝0，解得⎩⎨⎧x ＝0，y ＝1，∴该直线过定点(0，1)．答案 (0，1)5．已知两条直线l 1：mx ＋8y ＋n ＝0和l 2：2x ＋my －1＝0，试分别确定m ，n 的值，使：(1)l 1与l 2相交于一点P (m ，1)；(2)l 1∥l 2且l 1过点(3，－1)；(3)l 1⊥l 2且l 1在y 轴上的截距为－1.解 (1)由于l 1与l 2相交于一点P (m ，1)，故把点P (m ，1)代入l 1，l 2的方程得m 2＋8＋n ＝0，2m ＋m －1＝0，联立解得m ＝13，n ＝－739.(2)当m ＝0时，l 1：8y ＋n ＝0，l 2：2x －1＝0，不满足l 1∥l 2.当m ≠0时，∵l 1∥l 2且l 1过点(3，－1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧－m 8＝－2m ，3m －8＋n ＝0，解得⎩⎨⎧m ＝4，n ＝－4或⎩⎨⎧m ＝－4，n ＝20.(3)由l 1⊥l 2且l 1在y 轴上的截距为－1，得⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋8m ＝0，－n 8＝－1，解得⎩⎨⎧m ＝0，n ＝8. 课堂小结1．方程组⎩⎨⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0有惟一解的等价条件是A 1B 2－A 2B 1≠0，亦即两条直线相交的等价条件是A 1B 2－A 2B 1≠0.直线A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0(λ∈R )是过直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0交点的直线(不含l 2)．2．解析法又称为坐标法，它就是通过建立直角坐标系，用坐标代替点、用方程代替曲线、用代数的方法研究平面图形的几何性质的方法．3.有关对称问题的两种主要类型(1)中心对称①点P (x ，y )关于O (a ，b )的对称点P ′(x ′，y ′)满足⎩⎨⎧x ′＝2a －x ，y ′＝2b －y .②直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决.(2)轴对称①点A (a ，b )关于直线Ax ＋By ＋C ＝0(B ≠0)的对称点为A ′(m ，n )，则有⎩⎪⎨⎪⎧n －b m －a ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－A B ＝－1，A ·a ＋m 2＋B · b ＋n 2＋C ＝0.②直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决.。
3.3.1两条直线的交点坐标
P120 A3
k1 k2 l1 // l2 b1 b2
l1 l2 k1 k2 1
作业
A：小结 B：P120 A3（3） A5（2） 2 C：画二次函数 y 2 x 4 x 2 的图象并 在下列情况下求其值域 （1） x R （2）x [1,5] （3）x [3,5] 技巧：遇到二次函数就求对称轴方程和顶点 坐标，并画图象。
5 5 直线l1与l2的交点是 M ( , ) 3 3
P114 例2
（2） l1 : 解：
3x 4 y 4 0 l2 : 6 x 2 y 1 0
b1 b2
3 k1 k2 4
所以l1//l2
另一方面
3x 4 y 4 0 6x 2 y 1 0
解析几何
3.3.1两条直线交点坐标
直线的方程
斜率和一点坐标
点斜式 斜截式
两点式
y y0 k ( x x0 )
斜率k和截距b
y kx b
y y1 x x1 y2 y1 x2 x1
两点坐标
点斜式 两个截距 截距式
y y0 k ( x x0 )
x y 1 a b
A1 x B1 y C1 0 A2 x B2 y C2 0
P113 例1
l1 : 3x 4 y 2 0 l2 : 2x y 2 0
画图
两点确定一条直线
练习P114 1（1）
两点确定一条直线
y
l1
Hale Waihona Puke l21y2
x
k1 k2 l1 // l2 b1 b2
人教版高中数学必修二《3.3.1 两条直线的交点坐标》
x 0y+10=0和3x+4y-2=0的交点坐标为(0,2) 又因为所求直线过点(2,1)
所以所求直线方程为x+2y-4=0
法二：设经过两直线交点的直线方程为：
当直线斜率不存 在时，如何判断?
（ 1 ）k1 k 2 , b1 b2
（2）k1 k 2 , b1 b2
l1 // l2
l1与l 2 重合
l1与l2相交
（3）k1 k 2
二、新课讲授
y P(a,b)
直线l : 2 x y 3 0
(1)点15 ， 在直线上吗？ (2)点 2， 7 在直线上吗？ (3)点3， 8 在直线上吗？
点P(a,b)在直线l上，那么 P(a,b)满足直线l的方程 即2a-b+3=0
l : 2x y 3 0
x
l1:A1x+B1y+C1=0 l2:A2x+B2y+C2=0 y
l1
y
l2
y A(a,b)
l1
A(a,b) x l1:A1x+B1y+C1=0 A1a+B1b+C1=0
A(a,b)
（3）l1:3x+4y-5=0， l2:6x+8y-10=0 x-y=0 解（ : 1）解方程组 3x+3y-10=10 x= 5 得： 3 所以l1与l2相交， 5 y= 3 5 5 交点坐标为（ 3 ，3 ）.
3x y 4 0, （2） 解方程组 6 x 2 y 1 0,
问题4:方程组 两条直线的位置关系有何关系？
第3章 3.3.1 两条直线的交点坐标
§3.3 直线的交点坐标与距离公式 3.3.1 两条直线的交点坐标【课时目标】 1．掌握求两条直线交点的方法．2．掌握通过求方程组解的个数，判定两直线位置关系的方法．3．通过本节的学习初步体会用代数方法研究几何问题的解析思想．1．两条直线的交点已知两直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0；l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0．若两直线方程组成的方程组⎩⎪⎨⎪⎧ A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0有唯一解⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0y ＝y 0，则两直线______，交点坐标为________．2一、选择题1．直线l 1：(2－1)x ＋y ＝2与直线l 2：x ＋(2＋1)y ＝3的位置关系是( ) A ．平行 B ．相交 C ．垂直 D ．重合2．经过直线2x －y ＋4＝0与x －y ＋5＝0的交点，且垂直于直线x －2y ＝0的直线的方程是( )A ．2x ＋y －8＝0B ．2x －y －8＝0C ．2x ＋y ＋8＝0D ．2x －y ＋8＝03．直线ax ＋2y ＋8＝0,4x ＋3y ＝10和2x －y ＝10相交于一点，则a 的值为( ) A ．1 B ．－1 C ．2 D ．－2 4．两条直线l 1：2x ＋3y －m ＝0与l 2：x －my ＋12＝0的交点在y 轴上，那么m 的值为( ) A ．－24 B ．6 C ．±6 D ．以上答案均不对5．已知直线l 1：x ＋m 2y ＋6＝0，l 2：(m －2)x ＋3my ＋2m ＝0，l 1∥l 2，则m 的值是( ) A ．m ＝3 B ．m ＝0C ．m ＝0或m ＝3D ．m ＝0或m ＝－16．直线l 与两直线y ＝1和x －y －7＝0分别交于A ，B 两点，若线段AB 的中点为M (1，－1)，则直线l 的斜率为( )A ．32B ．23C ．－32D ．－23二、填空题7．若集合{(x ，y )|x ＋y －2＝0且x －2y ＋4＝0} {(x ，y )|y ＝3x ＋b }，则b ＝________． 8．已知直线l 过直线l 1：3x －5y －10＝0和l 2：x ＋y ＋1＝0的交点，且平行于l 3：x ＋2y －5＝0，则直线l 的方程是______________．9．当a 取不同实数时，直线(2＋a )x ＋(a －1)y ＋3a ＝0恒过一个定点，这个定点的坐标为________．三、解答题10．求经过两直线2x＋y－8＝0与x－2y＋1＝0的交点，且在y轴上的截距为x轴上截距的两倍的直线l的方程．11．已知△ABC的三边BC，CA，AB的中点分别是D(－2，－3)，E(3,1)，F(－1,2)．先画出这个三角形，再求出三个顶点的坐标．能力提升12．在△ABC中，BC边上的高所在直线的方程为x－2y＋1＝0，∠A的角平分线所在直线的方程为y＝0，若点B的坐标为(1,2)，求点A和点C的坐标．13．一束平行光线从原点O(0,0)出发，经过直线l：8x＋6y＝25反射后通过点P(－4,3)，求反射光线与直线l的交点坐标．1．过定点(x 0，y 0)的直线系方程y －y 0＝k (x －x 0)是过定点(x 0，y 0)的直线系方程，但不含直线x ＝x 0；A (x －x 0)＋B (y －y 0)＝0是过定点(x 0，y 0)的一切直线方程．2．与直线Ax ＋By ＋C ＝0平行的直线系方程为Ax ＋By ＋D ＝0(D ≠C )．与y ＝kx ＋b 平行的直线系方程为y ＝kx ＋m (m ≠b )．3．过两条直线交点的直线系方程：过两条直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0交点的直线系方程是A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0(λ∈R )，但此方程中不含l 2；一般形式是m (A 1x ＋B 1y ＋C 1)＋n (A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0(m 2＋n 2≠0)，是过l 1与l 2交点的所有直线方程．§3．3 直线的交点坐标与距离公式 3．3．1 两条直线的交点坐标答案知识梳理1．相交 (x 0，y 0) 2．无 1 无数 作业设计1．A [化成斜截式方程，斜率相等，截距不等．]2．A [首先解得交点坐标为(1,6)，再根据垂直关系得斜率为－2，可得方程y －6＝－2(x －1)，即2x ＋y －8＝0．]3．B [首先联立⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋3y ＝102x －y ＝10，解得交点坐标为(4，－2)，代入方程ax ＋2y ＋8＝0得a ＝－1．]4．C [2x ＋3y －m ＝0在y 轴上的截距为m 3，直线x －my ＋12＝0在y 轴上的截距为12m，由12m ＝m3得m ＝±6．] 5．D [l 1∥l 2，则1·3m ＝(m －2)·m 2， 解得m ＝0或m ＝－1或m ＝3． 又当m ＝3时，l 1与l 2重合， 故m ＝0或m ＝－1．] 6．D [设直线l 与直线y ＝1的交点为A (x 1,1)，直线l 与直线x －y －7＝0的交点为B (x 2，y 2)，因为M (1，－1)为AB 的中点，所以－1＝1＋y 22即y 2＝－3，代入直线x －y －7＝0得x 2＝4，因为点B ，M 都在直线l 上，所以k l ＝－3＋14－1＝－23．故选D ．]7．2解析 首先解得方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －2＝0x －2y ＋4＝0的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0y ＝2， 代入直线y ＝3x ＋b 得b ＝2． 8．8x ＋16y ＋21＝0 9．(－1，－2)解析 直线方程可写成a (x ＋y ＋3)＋2x －y ＝0，则该直线系必过直线x ＋y ＋3＝0与直线2x －y ＝0的交点，即(－1，－2)．10．解 (1)2x ＋y －8＝0在x 轴、y 轴上的截距分别是4和8，符合题意． (2)当l 的方程不是2x ＋y －8＝0时， 设l ：(x －2y ＋1)＋λ(2x ＋y －8)＝0， 即(1＋2λ)x ＋(λ－2)y ＋(1－8λ)＝0． 据题意，1＋2λ≠0，λ－2≠0．令x ＝0，得y ＝－1－8λλ－2；令y ＝0，得x ＝－1－8λ1＋2λ．∴－1－8λλ－2＝2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1－8λ1＋2λ解之得λ＝18，此时y ＝23x ． ∴所求直线方程为2x ＋y －8＝0或y ＝23x ．11．解如图，过D ，E ，F 分别作EF ，FD ，DE 的平行线，作出这些平行线的交点，就是△ABC 的三个顶点A ，B ，C ．由已知得，直线DE 的斜率k DE ＝1＋33＋2＝45，所以k AB ＝45．因为直线AB 过点F ，所以直线AB 的方程为y －2＝45(x ＋1)，即4x －5y ＋14＝0．①由于直线AC 经过点E (3,1)，且平行于DF ， 同理可得直线AC 的方程 5x －y －14＝0．②联立①，②，解得点A 的坐标是(4,6)．同样，可以求得点B ，C 的坐标分别是(－6，－2)，(2，－4)． 因此，△ABC 的三个顶点是A (4,6)，B (－6，－2)，C (2，－4)． 12．解如图所示，由已知，A 应是BC 边上的高线所在直线与∠A 的角平分线所在直线的交点． 由⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y ＋1＝0y ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝0x ＝－1， 故A (－1,0)．又∠A 的角平分线为x 轴，故k AC ＝－k AB ＝－1，(也可得B 关于y ＝0的对称点(1，－2)． ∴AC 方程为y ＝－(x ＋1)， 又k BC ＝－2， ∴BC 的方程为 y －2＝－2(x －1)，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝－(x ＋1)y －2＝－2(x －1)，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5y ＝－6， 故C 点坐标为(5，－6)．13．解 设原点关于l 的对称点A 的坐标为(a ，b )，由直线OA 与l 垂直和线段AO 的中点在l 上得⎩⎨⎧b a ·⎝⎛⎭⎫－43＝－18×a 2＋6×b 2＝25，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4b ＝3，∴A 的坐标为(4,3)．∵反射光线的反向延长线过A (4,3)，又由反射光线过P (－4,3)，两点纵坐标相等，故反射光线所在直线方程为y ＝3．由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝38x ＋6y ＝25，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝78y ＝3，∴反射光线与直线l 的交点坐标为⎝⎛⎭⎫78，3．。
3.3.1两条直线的交点坐标学案
探究一。求两直线的交点
例1.设三条直线：x-2y=1,2x+ky=3,3kx+4y=5(k≠-4)交于一点，求k的值.
探究二。解直线方程判断两直线的位置关系
例2．判断下列各对直线的位置关系，如果相交，求出交点坐标。
（1）L1：x-y=0 L2: 3x+3y-10=0（2）L1：3x-y+4=0 L2: 6x-2y=0
3.3.1两条直线的交点坐标学案
学习目标：
1、理解二元一次方程组的解与其对应的直线的交点的关系。
2、求两直线的交点。
3.会根据二元一次方程组的解的情况判定两直线的关系。
学习重点：求两直线的交点。
学习难点：。根据二元一次方程组的解的情况判定两直线的关系。
自学设计：
1.两直线是否有公共点，要看它们的方程是否有公共解。因此，只要将两条直线L1和L2的方程联立，得方程组{ （1）．若方程组无解，则L1和L2的位置关系是。（2）.若方程组有且只有一个解，则L1与L2的位置关系是。（3）.若方程组有无数解，则L1与L2的位置关系是
[三层练习]：
8.已知两直线l1：x＋m2y＋6＝0，l2：（m－2）x＋3my＋2m＝0，当m为何值时，l1与l2（1）相交；（2）平行；（3）重合?
9.在△ABC中，已知BC边上的高所在直线的方程为x－2y+1=0，∠A的平分线所在直线的方程为y=0.若点B的坐标为（1，2），求点C的坐标.
（3）L1：3x+4y-5=0 L2: 6x+8y-10=0
课堂达标
[一层练习]：
1.直线2x-y+1=0与直线x-y-1=0的交点坐标是（）
A．(1,2) B.(-2,-3) C.(0,1) D.(-1,0)
3.3.1 两条直线的交点坐标
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1．已知a为实数，求当直线l1：ax＋y＋1＝0与l2：x＋y－a ＝0相交时的交点坐标．
解：若 a＝1，则直线 l1 与 l2 平行，故 l1 与 l2 无交点，
∴a≠1.
解方程组ax＋x＋y－y＋a1＝＝00，， 得yx＝＝a－a2－＋aa＋ －11.11，
∵直线 l 与直线 3x＋y－1＝0 平行，
∴λ＋3 2＝λ－1 3≠2－λ－13，得 λ＝121.
从而所求直线方程为 15x＋5y＋16＝0.
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有关对称的问题
1.对称问题 (1)中心对称 ①若点 M(x1，y1)及 N(x，y)关于 P(a，b)对称，则由中点坐 标公式得xy＝ ＝22ab－ －xy11， ，
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直线的交点的求法及应用 设直线 l1：A1x＋B1y＋C1＝0；l2：A2x＋B2y＋C2＝0.如果这 两条直线相交，由于交点同时在这两条直线上，交点的坐标一定 是这两个方程的唯一公共解；反过来，如果这两个二元一次方程 只有一个公共解，那么以这个解为坐标的点必是直线 l1 和 l2 的交 点．因此，两条直线是否有交点，就要看这两条直线的方程所组
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已知直线l的方程为(k＋1)x－(k－1)y－2k＝0.
求证：不论k取何实数，直线l必过定点，并求出这个定点坐
标． 【思路点拨】(方法一)
令k＝ 0，1
→
两特殊直线方 程构成方程组
3.3.1_两条直线的交点坐标&3.3.2_两点间的距离
解得 x=1。所以，所求点P（1，0）且
PA (1 1) 2 (0 2) 2 2 2
例5; 证明：平行四边行四条边的平方和等于两条对角线 的平方和。 分析：首先要建立直角坐标系，用坐标表示有关量，然后 用代数进行运算，最后把代数运算“翻译”成几何关系。
证明：如图所示，以顶点Ａ为坐标 原点，ＡＢ边所在的直线为ｘ轴， 建立直角坐标系.
∴l1与l2的交点是（2，2）
设经过原点的直线方程为 y=k x
把（2，2）代入方程，得k=1，所求方程为 x-y=0
思考与探究： 当 变化时，方程
3x 4 y 2 (2 x y 2) 0
表示何图形，图形有何特点？ 解：先以特殊值引路：
=0时，方程为3x+4y-2=0 =1时，方程为5x+5y=0
则A(0，0)。设B(ａ，0)， D(ｂ，ｃ)，由平行四边形性质得点 C的坐标为(ａ＋ｂ，ｃ)，
y D C
A
B
x
因为
AB a CD , AD BC b 2 c 2
2 2 2 2 2
AC (a b) c , BD (a b) 2 c 2
2 2 2 2
所以
AB CD AD BC 2(a 2 b 2 c 2 )
2 2 2 2
AC BD 2(a 2 b 2 c 2 )
2 2
所以
AB CD AD BC AC BD
2 2 2 2
2
2
因此，平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的 平方和。
用“坐标法”解决有关几何问题的基本步骤： 第一步；建立坐标系， 用坐标系表示有关的量
第二步：进行 有关代数运算
C§ 3.3.1两条直线的交点坐标
§ 3.1两条直线的交点坐标 学习目标1．掌握判断两直线相交的方法；会求两直线交点坐标；2.体会判断两直线相交中的数形结合思想. 学习过程一、课前准备：1121141．经过点(1,2)A -，且与直线210x y +-+垂直的直线 .2．点斜式、斜截式、两点式和截距式能否表示垂直于坐标轴的直线?3．平面直角系中两条直线的位置关系有几种？二、新课导学：※ 学习探究问题1：已知两直线方程1111:0l A x B y C ++=，222:l A x B y +20C +=，如何判断这两条直线的位置关系？问题2：如果两条直线相交，怎样求交点坐标？交点坐标与二元一次方程组有什关系？※ 典型例题例1 求下列两直线1:3420l x y +-=，2:22l x y ++0=的交点坐标.变式：判断下列各对直线的位置关系.如果相交，求出交点坐标.⑴1:0l x y -=，2:33100l x y +-=；⑵1:30l x y -=，2:630l x y -=；⑶1:3450l x y +-=，2:68100l x y +-=.例2 求经过两直线2330x y --=和20x y ++=的交点且与直线310x y +-=平行的直线方程.变式：求经过两直线2330x y --=和20x y ++=的交点且与直线310x y +-=垂直的直线方程.例3 已知两点(2,1),(4,3)A B -，求经过两直线2310x y -+=和3210x y +-=的交点和线段AB 中点的直线l 的方程.※ 动手试试练1. 求直线20x y --=关于直线330x y -+=对称的直线方程.练2. 已知直线1l 的方程为30Ax y C ++=，直线2l的方程为2340x y -+=，若12,l l 的交点在y 轴上，求C 的值.三、总结提升：※ 学习小结1．两直线的交点问题.一般地，将两条直线的方程联立，得方程组11122200A x B y C A x B y C ++=⎧⎨++=⎩，若方程组有唯一解，则两直线相交；若方程组有无数组解，则两直线重合；若方程组无解，则两直线平行..学习评价※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.A.很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 两直线12:210,:220l x y l x y ++=-++=的交点坐标为（ ）.A ．13(,)24B ．13(,)24-C ．13(,)24--D ．13(,)24- 2. 两条直线320x y n ++=和2310x y -+=的位置关系是（ ）.A ．平行B ．相交且垂直C ．相交但不垂直D ．与n 的值有关3. 与直线2360x y +-=关于点(1,1)-对称的直线方程是（ ）.A ．3220x y -+=B ．2370x y ++=C ．32120x y --=D ．2380x y ++=4. 光线从(2,3)M -射到x 轴上的一点(1,0)P 后被x 轴反射，则反射光线所在的直线方程 .5. 已知点(5,8),(4,1)A B ，则点A 关于点B 的对称点C 的坐标 . 课后作业1. 直线54210x y m +--=与直线230x y m +-=的交点在第四象限，求m 的取值范围.2. 已知a 为实数，两直线1l ：10ax y ++=，2l ：0x y a +-=相交于一点，求证交点不可能在第一象限及x 轴上.感谢您的阅读，祝您生活愉快。
人教高一数学教学设计之《3.3.1两条直线的交点坐标》
人教高一数学教学设计之《3.3.1两条直线的交点坐标》一. 教材分析《3.3.1两条直线的交点坐标》这一节内容，主要让学生了解两条直线的交点坐标的概念，掌握求解两条直线交点坐标的方法。
教材通过实例分析，引导学生探究并总结两条直线交点的性质，从而加深对坐标系中直线交点的理解。
二. 学情分析高一学生已经具备了一定的函数知识，对直线方程、坐标系等概念有一定的了解。
但学生在解决实际问题时，仍可能对直线交点的求解方法感到困惑。
因此，在教学过程中，需要关注学生的认知水平，引导学生通过观察、操作、思考、交流等方式，自主探索并掌握求解直线交点坐标的方法。
三. 教学目标1.理解两条直线的交点坐标的概念，掌握求解两条直线交点坐标的方法。
2.培养学生的观察能力、操作能力、思考能力和交流能力。
3.提高学生解决实际问题的能力，培养学生的数学素养。
四. 教学重难点1.重点：两条直线的交点坐标的概念及求解方法。
2.难点：如何引导学生发现并总结两条直线交点的性质，以及如何在实际问题中灵活运用。
五. 教学方法1.情境教学法：通过实例分析，引导学生观察、操作、思考，激发学生的学习兴趣。
2.启发式教学法：教师提问，引导学生主动探究，培养学生的问题解决能力。
3.合作学习法：分组讨论，鼓励学生相互交流，提高学生的合作意识。
六. 教学准备1.准备相关的实例问题，用于引导学生观察和思考。
2.准备多媒体教学设备，如投影仪、电脑等。
3.准备练习题，用于巩固所学知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用多媒体展示生活中的实际问题，如平面直角坐标系中两条直线的交点问题。
引导学生关注问题，激发学习兴趣。
2.呈现（10分钟）展示两条直线的交点坐标实例，引导学生观察并描述两条直线的交点特征。
教师通过提问，引导学生思考并总结两条直线交点的性质。
3.操练（10分钟）学生分组讨论，每组选取一个实例，尝试求解两条直线的交点坐标。
教师巡回指导，解答学生的疑问。
4.巩固（10分钟）教师出示一组练习题，学生独立完成，检验自己对直线交点坐标的理解和掌握程度。
3.3.1两条直线的交点坐标1
交点坐标
会用方程组的思想求两直线的交点。 会判断两直线的位置关系。 理解直线系的特征，并能应用解题。 加强数形结合思想和转化思想的应用。
直线有几种方程形式？点在直线上 如何断定？ 两直线的位置关系有哪几种？
如何判定两直线的平行垂直关系？
已知两条直线 l1 : A1 x B1 y C1 0 l2 : A2 x B2 y C2 0 相交, 如何求这两条直线交点 的坐标?
(x-y=0) 2：求经过原点且经过以下两条直线的交点的 直线方程:l1：x－2y+2=0，l2：2x－y－2=0. (用直线系的方法求解)
变式：求经过两条直线x+2y－1=0和2x－y－7=0
的交点，且垂直于直线x+3y－5=0的直线方程。
变式：求经过两条直线x+2y－1=0和2x－y－7=0的交点， 且垂直于直线x+3y－5=0的直线方程。
（ ，）
5 5 3 3
l1∥l2 l1与l2重合
已知两直线 l1:x+my+6=0, l2:(m-2)x+3y+2m=0， 问：当m为何值时，直线l1与l2： (1)相交，(2) 平行，(3) 垂直
1m 3且m 1
2m 1
1 3m 2
求直线3x+2y－1=0和2x－3y－5=0的交点M 的坐标，并证明方程： 3x+2y－1+λ（2x－3y－5）=0（λ为任意常 数）表示过M点的所有直线。
两条直线的交点：
如果两条直线A1x+B1y+C1=0和A2x+B2y+C2=0相 交，由于交点同时在两条直线上，交点坐标一定 A1x+B1y+C1=0 是它们的方程组成的方程组 A x+B y+C =0 2 2 2 A1x+B1y+C1=0 的解；反之，如果方程组 A2x+B2y+C2=0 只有一个解，那么以这个解为坐标的点就是直线 A1x+B1y+C1=0和A2x+B2y+C2=0的交点。
§3.3.1两条直线的交点坐标
§3.3.1两条直线的交点坐标 【学习目标】能用解方程组的方法求两直线的交点坐标；体会判断两直线相交中的数形结合思想.【学习过程】一、课前导学：问题：平面直角系中两条直线的位置关系有几种？二、新课导学：探究一：直线上的点与其方程0=++C By Ax 的解有什么样的关系？那如果两直线相交于一点),(b a A ，这一点与两直线0:1111=++C y B x A l 0:2222=++C y B x A l 有何关系？ 看下表，并填空。
探究二： 如果两条直线相交，怎样求交点坐标？交点坐标与二元一次方程组有什关系？探究三：如何利用方程判断两直线的位置关系？两直线是否有公共点，要看它们的方程是否有公共解。
因此，只要将两条直线1l 和2l 的方程联立，得方程组⎩⎨⎧=++=++00222111C y B x A C y B x A1.若方程组无解，则1l 与2l 此时有2.若方程组有且只有一个解，则1l 与2l此时有 ，特别地当 时12l l ⊥3.若方程组有无数解，则1l 与2l 此时有三、例题讲解例1、求下列两直线1:3420l x y +-=，2:22l x y ++0=的交点坐标.变式：判断下列各对直线的位置关系.如果相交，求出交点坐标.⑴01:1=+-y x l ，2:33100l x y +-=；⑵1:30l x y -=，2:630l x y -=；⑶1:3450l x y +-=，0468:2=+-y x l问题：请同学们观察上面变式中的三组直线，讨论下面的问题，并写出你们的结论.1、和直线）不同时为，（00B A C By Ax =++平行的直线可表示为 .2、和直线）不同时为，（00B A C By Ax =++垂直的直线可表示为 .例2、已知直线1:2(1)40l x m y +++=与直线2:3l mx y +-6=0，求下列位置关系下m 的值（1）相交；（2）平行；（3）重合；（4）垂直；例3、求经过两直线2330x y --=和20x y ++=的交点且与直线310x y +-=平行的直线方程.探究四：直线系R y x y x ∈=+++--λλ,0)2(332，有何特征？新知：过直线0:1111=++C y B x A l 和直线0:2222=++C y B x A l 的交点的直线系方程为：变式：将例2中的“平行”改为“垂直”呢？例4、求证：不论m 取何实数，直线011)3()12(=+-++-m y m x m 恒过定点，并求出这个定点的坐标例5、已知直线042:1=-+y x l ，求1l 关于直线0143:=-+y x l 对称的直线2l 的方程四、课堂小结1、本节课主要学到了什么？2、主要用到的数学解题思想是什么？。
3..3..1两条直线的交点坐标
3.3.1 两条直线地交点坐标【教学目标】1.掌握两直线方程联立方程组解地情况与两直线不同位置地对立关系，并且会通过直线方程系数判定解地情况，2.当两条直线相交时，会求交点坐标.3.学生通过一般形式地直线方程解地讨论，加深对解读法地理解，培养转化能力.【重点难点】教学重点:根据直线地方程判断两直线地位置关系和已知两相交直线求交点.教学难点:对方程组系数地分类讨论与两直线位置关系对应情况地理解.【教学过程】导入新课问题1.作出直角坐标系中两条直线，移动其中一条直线，让学生观察这两条直线地位置关系.课堂设问：由直线方程地概念，我们知道直线上地一点与二元一次方程地解地关系，那如果两直线相交于一点，这一点与这两条直线地方程有何关系？你能求出它们地交点坐标吗？说说你地看法.问题2.你认为该怎样由直线地方程求出它们地交点坐标?这节课我们就来研究这个问题.新知探究提出问题①已知两直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,如何判断这两条直线地关系？②如果两条直线相交，怎样求交点坐标？交点坐标与二元一次方程组有什关系？③解下列方程组(由学生完成>：(ⅰ>; (ⅱ>; (ⅲ>.如何根据两直线地方程系数之间地关系来判定两直线地位置关系？④当λ变化时，方程3x+4y-2+λ(2x+y+2>=0表示什么图形，图形有什么特点？求出图形地交点坐标.讨论结果：①教师引导学生先从点与直线地位置关系入手，看下表，并填空.②学生进行分组讨论，教师引导学生归纳出两直线是否相交与其方程所组成地方程组地关系.设两条直线地方程是l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,如果这两条直线相交,由于交点同时在这两条直线上,交点地坐标一定是这两个方程地唯一公共解,那么以这个解为坐标地点必是直线l1和l2地交点,因此,两条直线是否有交点,就要看这两条直线方程所组成地方程组是否有唯一解.(ⅰ>若二元一次方程组有唯一解，则l1与l2相交;(ⅱ>若二元一次方程组无解，则l1与l2平行;(ⅲ>若二元一次方程组有无数解，则l1与l2重合.即直线l1、l2联立得方程组(代数问题> (几何问题>③引导学生观察三组方程对应系数比地特点：(ⅰ>≠;(ⅱ>;(ⅲ>≠.一般地，对于直线l1:A1x+B1y+C1=0，l2:A2x+B2y+C2=0(A1B1C1≠0,A2B2C2≠0>,有方程组.注意：(a>此关系不要求学生作详细地推导,因为过程比较繁杂，重在应用.(b>如果A1,A2,B1,B2,C1,C2中有等于零地情况，方程比较简单，两条直线地位置关系很容易确定.④(a>可以用信息技术，当λ取不同值时，通过各种图形，经过观察，让学生从直观上得出结论，同时发现这些直线地共同特点是经过同一点.(b>找出或猜想这个点地坐标，代入方程，得出结论.(c>结论：方程表示经过这两条直线l1与l2地交点地直线地集合.应用示例例1 求下列两直线地交点坐标,l1：3x+4y-2=0,l2：2x+y+2=0.解:解方程组得x=-2，y=2，所以l1与l2地交点坐标为M(-2，2>.变式训练求经过原点且经过以下两条直线地交点地直线方程.l1:x-2y+2=0,l2:2x-y-2=0.解:解方程组x-2y+2=0,2x-y-2=0,得x=2,y=2,所以l1与l2地交点是(2,2>.设经过原点地直线方程为y=kx,把点(2,2>地坐标代入以上方程,得k=1,所以所求直线方程为y=x.点评:此题为求直线交点与求直线方程地综合运用,求解直线方程也可应用两点式.例2 判断下列各对直线地位置关系.如果相交，求出交点坐标.(1>l1：x-y=0，l2：3x+3y-10=0.(2>l1：3x-y+4=0，l2：6x-2y-1=0.(3>l1：3x+4y-5=0，l2：6x+8y-10=0.活动：教师让学生自己动手解方程组，看解题是否规范，条理是否清楚，表达是否简洁，然后再进行讲评.解:(1>解方程组得所以l1与l2相交,交点是(,>.(2>解方程组①×2-②得9=0,矛盾,方程组无解,所以两直线无公共点,l1∥l2.(3>解方程组①×2得6x+8y-10=0.因此,①和②可以化成同一个方程,即①和②表示同一条直线,l1与l2重合.变式训练判定下列各对直线地位置关系，若相交，则求交点.(1>l1:7x+2y-1=0,l2:14x+4y-2=0.(2>l1:(->x+y=7,l2:x+(+>y-6=0.(3>l1:3x+5y-1=0,l2:4x+3y=5.答案：(1>重合，(2>平行，(3>相交，交点坐标为(2，－1>.例3 求经过两直线2x-3y-3=0和x+y+2=0地交点且与直线3x+y-1=0平行地直线方程.思路解读：根据本题地条件，一种思路是先求出交点坐标，再设所求直线地点斜式方程求出所要求地直线方程；另一种思路是利用直线系(平行系或过定点系>直接设出方程，根据条件求未知量，得出所求直线地方程.解：(方法一>由方程组得∵直线l和直线3x+y-1=0平行，∴直线l地斜率k=-3.∴根据点斜式有y-(>=-3［x-(>］，即所求直线方程为15x+5y+16=0.(方法二>∵直线l过两直线2x-3y-3=0和x+y+2=0地交点，∴设直线l地方程为2x-3y-3+λ(x+y+2>=0，即(λ+2>x+(λ-3>y+2λ-3=0.∵直线l与直线3x+y-1=0平行，∴.解得λ=.从而所求直线方程为15x+5y+16=0.点评：考查熟练求解直线方程，注意应用直线系快速简洁解决问题.变式训练求经过两条直线l1:x+y-4=0和l2:x-y+2=0地交点，且与直线2x-y-1=0垂直地直线方程例 4 求证：不论m取什么实数，直线(2m-1>x+(m+3>y-(m-11>=0都经过一个定点，并求出这个定点地坐标.思路解读：题目所给地直线方程地系数含有字母m，给m任何一个实数值，就可以得到一条确定地直线，因此所给地方程是以m 为参数地直线系方程.要证明这个直线系中地直线都过一定点，就是证明它是一个共点地直线系，我们可以给出m地两个特殊值，得到直线系中地两条直线，它们地交点即是直线系中任何直线都过地定点.另一个思路是：由于方程对任意地m都成立，那么就以m为未知数，整理为关于m地一元一次方程，再由一元一次方程有无数个解地条件求得定点地坐标.解：解法一：对于方程(2m-1>x+(m+3>y-(m-11>=0，令m=0，得x-3y-11=0；令m=1，得x+4y+10=0.解方程组得两条直线地交点为(2，-3>.将点(2，-3>代入已知直线方程左边，得(2m-1>×2+(m+3>×(-3>-(m-11>=4m-2-3m-9-m+11=0.这表明不论m为什么实数，所给直线均经过定点(2，-3>.解法二：将已知方程以m为未知数，整理为(2x+y-1>m+(-x+3y+11>=0.由于m地取值地任意性，有解得所以所给直线不论m取什么实数，均经过定点(2，-3>点评含参直线过定点问题地解题思路有二：一是曲线过定点，即与参数无关，则参数地同次幂地系数为0，从而求出定点；二是分别令参数为两个特殊值，得方程组，求出点地坐标，代入原方程满足，则此点为所求定点变式训练当a为任意实数时，直线(a-1>x-y+2a+1=0经过地定点是<）A.(2,3>B.(-2,3>C.(1,>D.(-2,0>解读：直线方程可化为a(x+2>-x-y+1=0,由定点<-2，3）.答案：B课堂小结本节课通过讨论两直线方程联立方程组来研究两直线地位置关系，得出了方程系数比地关系与直线位置关系地联系.培养了同学们地数形结合思想、分类讨论思想和转化思想.通过本节学习，要求学生掌握两直线方程联立方程组解地情况与两直线不同位置地对立关系，并且会通过直线方程系数判定解地情况，培养学生树立辩证统一地观点.当两条直线相交时，会求交点坐标.注意语言表述能力地训练.通过一般形式地直线方程解地讨论，加深对解读法地理解，培养转化能力.以“特殊”到“一般”，培养探索事物本质属性地精神，以及运动变化地相互联系地观点.当堂检测导学案课内探究部分【板书设计】一、两条直线地交点坐标二、例题例1变式1例2变式2【作业布置】课本习题3.3 A组1、2、3,选做4题.及导学案课后练习与提高3.3.1两条直线地交点坐标课前预习学案一、预习目标根据直线地方程判断两直线地位置关系和已知两相交直线求交点二、预习内容1、阅读课本102-104，找出疑惑之处.同学们，通过你地自主学习，你还有那些疑惑，请填在下面地表格中2、知识概览①两直线相交,则交点同时在这两条直线上,交点地坐标一定是两直线方程地解,若两直线地方程组成地方程组只有一个公共解,则以这个解为坐标地点必是两直线地交点.②两直线A1x+B1y+C1=0与A2x+B2y+C2=0地交点情况,取决于方程组地解地情况.若方程组有唯一解,则两直线相交.若方程组无解,则两直线平行.若方程组有无数个解,则两直线重合.3、思考当λ变化时，方程3x+4y-2+λ(2x+y+2>=0表示什么图形？图形有何特点？三．提出疑惑同学们，通过你地自主学习，你还有那些疑惑，请填在下面地表格中课内探究学案一、学习目标1.掌握判断两条直线相交地方法，会通过解方程组求两条直线地交点坐标；2.了解过两条直线交点地直线系方程地问题.教学重点:根据直线地方程判断两直线地位置关系和已知两相交直线求交点.教学难点:对方程组系数地分类讨论与两直线位置关系对应情况地理解.二、学习过程自主学习【知识点一】、两条直线地交点如果两条直线相交，则交点坐标分别适合两条直线地方程，即< >;把两条直线地方程组成方程组，若方程组有( >解，则两条直线相交，此解就是交点地坐标；若方程组( >，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；若方程组有( >，则两条直线有无数个公共点，此时两条直线重合..【知识点二】、直线系方程具有某一共同属性地一类直线地集合称为直线系，表示直线系地方程叫做直线系方程.方程地特点是除含坐标变量x、y以外，还含有待定系数(也称参变量>.(1>共点直线系方程：经过两直线l1：A1x+B1y+C1=0，l2：A2x+B2y+C2=0交点地直线方程为A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2>=0，其中λ是待定系数.在这个方程中，无论λ取什么实数，都得不到A2x+B2y+C2=0，因此它不能表示直线l2.(2>平行直线系：与直线Ax+By+C=0平行地直线系方程是( >，λ是参变量.(3>垂直直线系方程：与Ax+By+C=0(A≠0，B≠0>垂直地直线系方程是( >(4>特殊平行线与过定点(x0，y0>地直线系：当斜率k一定而m 变动时，( >表示斜率为k地平行线系，( >表示过定点(x0，y0>地直线系(不含直线x=x0>.问题设两条直线地方程为l1:A1x+B1y+C1=0和l2:A2x+B2y+C2=0，如果这两条直线相交，你能分析它们地系数满足什么关系吗？探究:我们可以先解由两直线方程联立地方程组①×B2-②×B1,得(A1B2-A2B1>x+B2C1-B1C2=0.当A1B2-A2B1≠0时，得x=；再由①×A2-②×A1，当A1B2-A2B1≠0时，可得y=.因此，当A1B2-A2B1≠0时，方程组有唯一一组解x、y.这时两条直线相交，交点地坐标就是(x，y>.因此这两条直线相交时，系数满足地关系为A1B2-A2B1≠0.精讲点拨例1求下列两直线地交点坐标,l1：3x+4y-2=0,l2：2x+y+2=0.变式训练求经过原点且经过以下两条直线地交点地直线方程.l1:x-2y+2=0,l2:2x-y-2=0.例2 判断下列各对直线地位置关系.如果相交，求出交点坐标.(1>l1：x-y=0，l2：3x+3y-10=0.(2>l1：3x-y+4=0，l2：6x-2y-1=0.(3>l1：3x+4y-5=0，l2：6x+8y-10=0..变式训练判定下列各对直线地位置关系，若相交，则求交点.(1>l1:7x+2y-1=0,l2:14x+4y-2=0.(2>l1:(->x+y=7,l2:x+(+>y-6=0.(3>l1:3x+5y-1=0,l2:4x+3y=5.问题当λ变化时，方程3x+4y-2+λ(2x+y+2>=0表示什么图形？图形有何特点？例3求经过两直线2x-3y-3=0和x+y+2=0地交点且与直线3x+y-1=0平行地直线方程.变式训练求经过两条直线l1:x+y-4=0和l2:x-y+2=0地交点，且与直线2x-y-1=0垂直地直线方程.例 4 求证：不论m取什么实数，直线(2m-1>x+(m+3>y-(m-11>=0都经过一个定点，并求出这个定点地坐标..变式训练当a为任意实数时，直线(a-1>x-y+2a+1=0经过地定点是<）A.(2,3>B.(-2,3>C.(1,>D.(-2,0>反思总结 1.两条直线地交点.直线相交地问题转化为求方程组地解地问题,且解地个数决定两条直线地位置关系.两直线地交点坐标对应地就是两直线方程所组成方程组地解.2.直线系方程.如果在求直线方程地问题中,有一个已知条件,另一个条件待定时,可选用直线系方程来求解.当堂检测1.两条直线l1:2x+3y-m=0与l2:x-my+12=0地交点在y轴上，那么m地值为( >A.-24B.6C.±6D.以上答案均不对2.无论k为何值，直线(k+2>x+(1-k>y-4k-5=0都过一个定点，则定点坐标为( >A.(1,3>B.(-1,3>C.(3,1>D.(3,-1>3.求经过两条直线l1:x+y-4=0和l2:x-y+2=0地交点，且与直线2x-y-1=0平行直线方程.参考答案1.解读:l1:2x+3y-m=0在y轴上地截距为，l2:x-my+12=0在y轴上地截距为，根据两直线地交点在y轴上得m=±6.答案：C2.思路解读:直线方程展开按是否含参数k合并同类项,得(2x+y-5>+k(x-y-4>=0，由直线系方程,知此直线过两直线地交点，即为解得交点为(3,-1>.3.解读:由∴l1与l2地交点为<1，3）.(1>解法一：设与直线2x-y-1=0平行地直线为2x-y+c=0，则2-3+c=0，∴c=1.∴所求直线方程为2x-y+1=0.解法二：∵所求直线地斜率k=2，且经过点<1，3），∴所求直线方程为y-3=2(x-1>，即2x-y+1=0.课后巩固练习与提高知能训练课本本节练习1、2.拓展提升1.已知直线mx+4y-2=0与2x-5y+n=0互相垂直，垂足为(1,p>，则m-n+p为<）A.24B.20C.0D.-42.已知点P(-1,0>,Q(1,0>，直线y=-2x+b与线段PQ相交，则b 地取值范围是<）A.［-2,2］B.［-1,1］C.［-,］D.［0,2］3.三条直线x+y=2、x-y=0、x+ay=3构成三角形，求a地取值范围.4. 已知两直线l1:x+my+6=0，l2：(m－2>x＋3y＋2m=0，当m为何值时，直线l1与l2：①相交；②平行；③重合；④垂直.5.三条直线l1:ax+y+1=0,l2:x+ay+1=0,l3:x+y+a=0构成三角形地条件是什么？(2>由可得直线x+y=2和直线x-y=0地交点坐标为(1，1>.若三线共点，则点(1，1>在直线x+ay=3上，所以有1+a=3.解得a=2.综上,可知a满足地条件为a{-1,1,2}.4.解:联立方程组(1>当m=0时，则l1：x＋6=0，l2：－2x＋3y=0,∴l1、l2相交.当m=2时，则l1：x＋2y＋6=0，l2：3y＋4=0,∴l1、l2相交.(2>当m≠0且m≠2时,,,.若=m=-1或m=3;若=m=3.∴当m≠-1且m≠3时(≠>,方程组有唯一解,l1、l2相交.当m=-1时(=≠>,方程组无解,l1与l2平行.当m=3时(==>,方程组有无数解,l1与l2重合.(3>当m-3+3m=0即m=时,l 1与l2垂直(∵l1⊥l2A1A2+B1B2=0>.点评：要注意培养学生分类讨论地思想.5.解读：三直线构成三角形，则需任意两条直线都相交，且不能相交于一点.注意不要忽略三线交于同一点地情况.所以可以从正反两个方向来思考.解法一:任两条直线都相交，则,,故a≠±1.又有三条直线不交于同一点，故其中两条直线地交点(-1-a,1>不在直线ax+y+1=0上，即a(-1-a>+1+1≠0,a2+a-2≠0，(a+2>(a-1>≠0,∴a≠-2,a≠1.综合上述结果，三条直线构成三角形地条件是a≠±1,a≠-2.解法二:因为三条直线能构成三角形,所以三条直线两两相交且不共点，即任意两条直线都不平行，且三线不共点.可以把不能构成三角形地情况排除掉.若三条直线交于同一点，则其中两条直线地交点(-1-a,1>在直线ax+y+1=0上，∴a(-a-1>+1+1=0,∴a=1或a=-2.若l1∥l2，则有,a=1；若l1∥l3，则有,a=1；若l2∥l3，则有,a=±1.所以若三条直线构成三角形，则需a≠±1,a≠-2.申明：所有资料为本人收集整理，仅限个人学习使用，勿做商业用途.。
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8
教学后记： 本节内容比较简单，学生学起来非常轻松， 因此，在这里补充了直线的交点系问题， 为后面的直线与圆，圆与圆的交点问题奠 定基础，学生也能接受。
92Βιβλιοθήκη 已知两条直线 l1 : A1 x B1 y C1 0 l2 : A2 x B2 y C2 0 相交, 如何求这两条直线交点 的坐标?
3
问题1：方程组解的情况与方程组所表示的两条 直线的位置关系有何对应关系？
唯一解 l1 , l2相交 直线l1 , l2解方程组 无解 l , l 平行 1 2
已知两直线 l1:x+my+6=0,l2:(m-2)x+3y+2m=0， 问当m为何值时，直线l1与l2： (1)相交，(2) 平行，(3) 垂直
7
当变化时, 方程 3x 4 y 2 (2 x y 2) 0 表示什么图形 ?图形有何特点 ?
练习：求经过原点及两条直线l1:3x+4y-2=0, l2:2x+y+2=0的交点的直线的方程.
4
问题2：如何根据两直线的方程系数之间的关 系来判定两直线的位置关系？
l1 : A1 x B1 y C1 0
l2 : A2 x B2 y C2 0
A1 B1 C1 A2 B2 C2
l1与l2平行 l1与l2相交
5
A1 B1 A2 B2
例题分析
例2、判定下列各对直线的位置关系，若相交， 则求交点的坐标
l1 : x y 0 (1) l 2 : 3x 3 y 10 0 l1 : 3x y 4 0 (2) l2 : 6 x 2 y 0
l1 : 3x 4 y 5 0 (3) l2 : 6 x 8 y 10 0
6
练习
§3.3.1两直线的交点坐标
1
学习目标
1.知识技能:掌握两直线联立方程解的情况与两直线的位 置的对应关系，会求两相交直线的交点坐标，会通过直线 方程系数判断解的情况。 2.过程与方法：通过解方程求两直线的交点的—代数法， 体会代数与几何的内在联系。 3.情感态度与价值观：认识“代数”与“几何”的内在联 系，感受数与形的和谐统一之美。 重点：根据直线方程判断两直线的位置关系和已知两相交 直线求交点。 难点：对方程组系数的分类讨论与两直线位置关系对应的 情况的理解。