两条直线的交点坐标
两条直线的交点坐标公式
两条直线的交点坐标公式
两条直线的交点坐标公式：y=x+2
直线与某个坐标轴的交点在该坐标轴上的坐标，称为直线在该坐标轴上的截距。
直线在平面上的位置，由它的斜率和一个截距完全确定。
坐标，数学名词，是指为确定天球上某一点的位置，在天球上建立的球面坐标系。
有两个基本要素：
①基本平面；由天球上某一选定的大圆所确定；大圆称为基圈，基圈的两个几何极之一，作为球面坐标系的极。
②主点，又称原点；由天球上某一选定的过坐标系极点的大圆与基圈所产生的交点所确定。
两条直线的交点坐标(上课课件)
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1.已知直线l1：x＋my＋6＝0，l2：(m－2)x＋3y＋2m＝ 0，试求m为何值时，l1与l2：(1)重合；(2)平行；(3)垂直；(4)相交． 解析：当 l1∥l2(或重合)时： A1B2－A2B1＝1×3－(m－2)·m＝0，解得 m＝3，或 m＝－1. (1)当 m＝3 时，l1：x＋3y＋6＝0，l2：x＋3y＋6＝0，所以 l1 与 l2 重合． (2)当 m＝－1 时，l1：x－y＋6＝0，l2：－3x＋3y－2＝0，所以 l1∥l2. (3)当 l1⊥l2 时，A1A2＋B1B2＝0，m－2＋3m＝0，即 m＝12.
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4．要理解掌握两直线位置关系与两直线方程的系数的关系，即：
l1 与
l2 平行⇔kb11＝≠kb22，
(斜率
k
存
在
)
⇔
A1 A2
＝
B1 B2
≠
C1 C2
(A2B2C2≠0)
⇔
AB11BC22＝≠AB22BC11，；
l1 与
l2 重合⇔kb11＝＝kb22，
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2.分别求过直线l1：x＋3y－4＝0与l2：5x＋2y＋6＝0的交 点且与直线l：2x＋3y＝0垂直、平行的直线．
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相交直线系
过直线A1x＋B1y＋C1＝0(其中A1，B1不同时为0)与直线A2x＋B2y＋C2＝ 0(其中A2，B2不同时为0)交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋ B2y＋C2)＝0(其中λ为任意实数)．
[例1] 判断下列各对直线的位置关系．如果相交，求出交点坐标． (1)l1：2x＋y＋3＝0，l2：x－2y－1＝0； (2)l1：x＋y＋2＝0，l2：2x＋2y＋3＝0； (3)l1：x－y＋1＝0，l2：2x－2y＋2＝0. 分析：联立方程组，由解的情况确定两直线的位置关系；若方程组有 唯一解，此解就是交点坐标．
两直线的交点坐标两点间的距离
感谢观看
THANKS
计算最小路径长度
在某些优化问题中，两点间距离公式可用于计算两点之间的最小路 径长度。
距离公式的几何意义
垂直距离
01
两点间距离公式所求得的值为两点间的垂直距离，即从一点垂
直向下（或向上）到另一点的长度。
连接两点的线段
02
两点间距离公式所求得的值为连接两点的线段的长度，该线段
通过两点的中点。
空间中两点间的距离
解析几何中的距离问题不仅涉及到平面上的 两点，还涉及到空间中的两点、点到直线的 距离、两平行线间的距离等。这些概念在解 决实际问题时非常重要，例如在测量、工程
、计算机图形学等领域中都有广泛应用。
空间几何中的距离问题
空间几何是研究空间中点、线、面等几何对象性质的学科。在空间几何中，两直线的交点坐标和两点 间的距离是基本问题。通过使用向量的概念和运算规则，可以解决这些问题。空间几何在解决实际问 题时非常有用，例如在航空航天、建筑学、物理学等领域中都有广泛应用。
03
在三维空间中，两点间距离公式同样适用，只是需要增加一个
高度坐标。
03
两直线的交点与两点间的距
离关系
交点到两点的距离相等性
总结词
两直线交点到两端点距离相等
详细描述
当两直线相交于一点时，该交点到两直线端点的距离相等，这是由于两直线在交 点处垂直相交，形成等腰三角形的性质。
交点在两点连线上
总结词
空间几何中的距离问题涉及到空间中的任意两点，需要使用三维坐标系和三维向量来解决。这些概念 在解决实际问题时非常重要，例如在计算两点间的最短路径、确定物体的位置和运动轨迹等方面都有 广泛应用。
两条直线的交点坐标与距离公式
l1上一点，设其关于l的对称点为（x，y），则
{ x + 0 - y - 2-1=0，
22
y +2 ×1
=-1,
x
{ x=-1，
得
即（1，0），
y=-1.
（-1，-1）为l2上两点，可得l2的方程为x-2y-1=0.
故应选B.）
.
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考点四 直线系方程的应用 求经过直线l1:3x+2y-1=0和l2:5x+2y+1=0的交点,且垂 直于直线l3:3x-5y+6=0的直线l的方程.
两直线的交点坐标与 距离公式
.
一、两直线的交点
已知两条直线l1:A1x+B1y+C1=0与 l2:A2x+B2y+C2=0的交点坐标对应的是方程组
{A1x+B1y+C1=0 A2x+B2y+C2=0
的解，
.
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其中①当A1B2-A2B1≠0时,两条直线 相交于一点 ， ② 当条A直1线B2无-A交2B点1=,0即且A1C2-A2平C1行≠，0③（当或AB11BC22--AB22BC11=≠00且）A时1,C两2A即2C1=0(或重B合1C. 2-B2C1=0)时,两条直线有无数个公共点,
.
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＊对应演练＊
求过点P（-1，2）且与点A（2，3）和B（-4，5）距离 相等的直线l的方程.
解法一:设直线l的方程为y-2=k(x+1),
即kx-y+k+2=0.由题意知
| 2k - 3 + k + 2 | =
| -4k - 5 + k + 2 |
两条直线的交点坐标及两点间的距离公式
D(b,c)
C(a+b,c)
A(0,0) B(a,0)
x
建立坐标系， 用坐标表示有 关的量。
进行有关的代 数运算。
把代数运算结 果“翻译”成 几何关系。
练习
3、证明直角三角形斜边的中点到三个 顶点的距离相等.
y
B (0,b)
M(
a 2
,b 2
)
o C (0,0)
A(a,0)x
解题参考
3.3.1 两条直线的交点坐标
练习
2、已知点A(7,-4) ，B(-5,6), 求线段AB的垂 直平分线的方程
解：设P点的坐标为(x, y) 由题意可得：| AP || BP | 得：(x-7)2 ( y 4)2 (x 5)2 ( y 6)2
化简得：6x-5y-1=0
例2、证明平行四边形四条边的平方和等于两 条对角线的平方和。
无解
l1 , l2平行
举例
例1：求下列两条直线的交点：l1：3x+4y －2=0；l2：2x+y+2=0.
解：解方程组
3x+4y－2 =0 2x+y+2 = 0
得
x= －2 y=2
∴l1与l2的交点是M（- 2，2）
当变化时, 方程
3x 4 y 2 (2x y 2) 0
两条直线的交点坐标及两点间的距离公式
§3.3.1两直线的交点坐标
已知两条直线
l1 : A1x B1 y C1 0 l2 : A2 x B2 y C2 0 相交, 如何求这两条直线交点的坐标?
几何元素及关系
点A 直线l 点A在直线l上
直线l1与l2的交点是A
高中数学 同步教学 两条直线的交点坐标
方法二:(待定系数法)
设直线l的方程为4x+3y+m=0.
-2 + 4 = 0,
解方程组
得P(0,2).
+ -2 = 0,
因为直线l经过直线l1与l2的交点P(0,2),
所以4×0+3×2+m=0,解得m=-6.
所以直线l的方程为4x+3y-6=0.
反思1.直接法是从两条垂直直线的斜率关系求出直线l的斜率和
解:方法一:由
得
= 1,
- + 1 = 0,
所以直线l1与l2的交点坐标为(0,1).
又因为直线2x+y-3=0与所求直线平行,
所以所求直线的斜率为-2.
所以所求直线的方程为y=-2x+1,即2x+y-1=0.
+ 3-3 = 0,
= 0,
方法二:由
得
= 1,
- + 1 = 0,
围成三角形,求m的值.
错解当三条直线中至少有两条平行时,三条直线不能围成三角形.
显然l1与l3不平行.当l1∥l2时,m=4;当l2∥l3时,m=-1.故m=4或m=-1.
错因分析错解直接认为当存在两条直线平行时,不能围成三角形,
所以两条直线无公共点,即 l1∥l2.
解:(1)解方程组
题型一
题型二
题型三
反思判断两条直线的位置关系,关键是看将两条直线的方程联立所
得的方程组的解的情况.注意最后一定要将方程组解的情况还原为
直线的位置关系.
题型一
题型二
题型三
【变式训练1】 判断直线l1:x-2y+1=0与直线l2:2x-2y+3=0的位置
两条直线的交点坐标
03
直线交点坐标的应用
平面几何中的交点坐标
确定图形形状
在平面几何中，两条直线的交点可以用于确定四边形的形状，例如，两条对角线 相等且交点在中心点的四边形是矩形。
求解角度
根据两条直线的交点可以求出角的大小，例如，两条直线的夹角大小等于两个直 线，建立方程求解交点坐标。
02
两条直线交点的计算
直线交点坐标的求解公式
• 求解直线交点坐标的基本方法是使用联立方程组，将两条直线的方程联立起来，求解得到交点的坐标。 • 具体公式如下：对于两条直线 $y = k_1x+b_1$ 和 $y = k_2x+b_2$，其交点坐标为 $(x,y)$，满足以下方
程组 • $$ • \begin{cases} y=k_1 x + b_1 \ • y=k_2 x + b_2 \end{cases} • $$ • 解得 • $$x = \frac{b_2 - b_1}{k_1 - k_2}, y = k_1 \cdot \frac{b_2 - b_1}{k_1 - k_2} + b_1$$
3
最后，通过运行程序代码，得到两条直线的交 点坐标。
05
直线交点坐标的扩展
求解多条直线的交点坐标
01
多重交点
当多条直线相互之间有多个交点时，需要使用更复杂的算法求解。
02
迭代法
迭代法是一种常用的求解多条直线交点坐标的方法，通过不断逼近的
方式逐步求出交点。
03
数值稳定性
在求解多条直线交点坐标时，需要注意数值稳定性，避免计算机浮点
直线方程的表述
直角坐标系中直线方程
Ax + By + C = 0（A、B不全为0）
两直线的交点坐标和距离公式
两直线的交点坐标和距离公式直线是平面几何中最基本的图形之一，计算两条直线的交点坐标和距离是解决许多几何问题的基础。
在本文中，我们将详细介绍如何计算两条直线的交点坐标和距离的公式和方法。
首先，我们需要了解什么是直线。
在平面几何中，直线是由一组点组成的，这些点在同一条直线上，且直线上的任意两点可以确定直线的一条直线是由两个不同的点定义。
那么，如何计算两条直线的交点坐标呢？要计算两条直线的交点，我们需要利用直线的方程。
在平面几何中，直线可以由一般方程、点斜式方程和两点式方程表示。
1.一般方程：Ax+By+C=0。
其中A、B、C是常数。
2.点斜式方程：y-y1=m(x-x1)。
其中m是斜率，(x1,y1)是直线上的一个点。
3.两点式方程：(y-y1)/(x-x1)=(y2-y1)/(x2-x1)。
其中(x1,y1)和(x2,y2)是直线上的两个点。
像这样，当我们有两条直线的方程时，我们可以通过求解方程组，找到两条直线的交点坐标。
解方程组的方法有多种，比如代入法、消元法和克莱姆法则等。
让我们通过一个具体的例子来说明如何计算两条直线的交点坐标。
例1：已知直线L1的方程为y=2x-1，直线L2的方程为y=-x+3，求两条直线的交点坐标。
解：将L1和L2的方程联立起来，得到方程组：y=2x-1y=-x+3通过消元法，我们可以先将方程组中的y消去。
将L1中的y代入L2的方程中，得到：2x-1=-x+3整理方程，得到：3x=4解方程，得到：x=4/3将x的值代入L1的方程中，得到：y=2*(4/3)-1y=8/3-1y=5/3所以，两条直线的交点坐标为(4/3,5/3)。
接下来，我们将介绍如何计算两条直线的距离。
两条直线的距离是两条直线之间最短的直线距离，也就是垂直于两条直线的连线段的长度。
计算两条直线的距离，我们可以利用点到直线的距离公式来求解。
点到直线的距离公式:d=，Ax+By+C，/√(A^2+B^2)其中，A、B、C是直线的方程中的常数。
两直线的交点坐标
都经过一定点，求这个定点的坐标。
（2）不论λ 取何实数，直线(2λ -1)x+(λ +3)y-(λ -3)=0 都经过一定点，求这个定点的坐标。
拓展问题：
求过两直线3x+4y－2=0和2x+y+2=0的交 点，且满足下列条件的直线L的方程。 (1) 过点(0, 0) (2) 和直线3x-y+5=0平行。
作业：
求过两直线x-2y+4=0和x+y-2=0的交 点， 且满足下列条件的直线L的方程。 (1) 过点(2, 1) (2) 和直线3x-4y+5=0垂直。
（1）x+y=0 (2)3x-y+8=0
A x B1 y C1 0 1 1 、 方程组的解即两条直线的交点坐标 A2 x B2 y C2 0
①方程组有唯一解 ②方程组无解 ③方程组有无数解
两直线相交 两直线平行 两直线重合
2、求直线系A1 x B1 y C1 ( A2 x B2 y C ) 0 所过定点的方法。
y=2.
3x+4y －2= 0 ，
2x+y+2 = 0.
∴l1
、 l2
的交点是（-2，2）.
(1) l
结论2：
相交
l1‖l2
l2 : x 2 y 4 方程组有唯一 36 4 解( 7 , 7 ) (2) l1 : y 3x 4 方程组无解 l2 : 6 x 2 y 1
(3) l1 : 3x 4 y 5 l2 : 6 x 8 y 10
方程组有 无数解
2.3.1 两直线的交点坐标
第二章
直线和圆的方程
2.3.1 两直线的交点坐标
情境导学
在平面几何中，我们对直线做了定性研究，引入平面直角坐标系后，我们
用二元一次方程表示直线，直线的方程就是相应直线上每一点的坐标所满足的
一个关系式，这样我们可以通过方程把握直线上的点，进而用代数方法对直线
进行定量研究，例如求两条直线的交点，坐标平面内与点直线相关的距离问题
.
跟踪训练2 已知直线5x+4y=2a+1与直线2x+3y=a的交点位于第四象限,
则a的取值范围是
.
=
5 + 4 = 2 + 1,
解析:由
得ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2 + 3 = ,
=
由
2+3
> 0,
7
得
-2
< 0,
7
3
2
答案: - ,2
3
> - ,∴-3<a<2.
2
2
< 2.
2+3
,
7
-2
(2)方程组
有无数个解,
4-12 + 8 = 0
这表明直线 l1 和 l2 重合.
4 + 2 + 4 = 0,
(3)方程组
无解,
= -2 + 3
这表明直线 l1 和 l2 没有公共点,故 l1∥l2.
跟踪训练2 已知直线5x+4y=2a+1与直线2x+3y=a的交点位于第四象限,
则a的取值范围是
2过两条相交直线 l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0 交点的直
两条直线的交点坐标课件
求解直线交点坐标
1 列方程组
将两条直线的方程相等 组成方程组，并用未知 量表示交点坐标。
2 消元求解
使用消元法计算未知量 的值。
3 计算交点坐标
把已知值带回到方程组， 计算出交点坐标。
常见问题一: 平面直角坐标系中直线的交 点坐标
平面坐标系
两条直线可以相交、平行 或重合。为了找到交点， 我们需要比较两条直线的 斜率和截距，然后计算方 程组的解。
平行和重合的情况
如果直线平行或重合，则 无法找到交点。在这种情 况下，我们会根据另一些 条件来确定相关的线性关 系。
实例：找到两条交叉 直线的交点
通过计算方程组的解，我 们可以找到两条直线的交 点坐标。
常见问题二：空间直角坐标系中的直线 交点坐标
1
坐标系扩展
在空间坐标系中，我们需要一条额外的直线，这样才能找到两条直线的交点。
2
差异之处
与平面坐标系不同，在空间坐标系中，直线可以相交，平行，重合或者位于同一平面上。 为了解决这些不同的情况，我们必须了解斜率、截距与空间坐标系之间的关系。
3
实例：找到两条垂直交叉的直线的交点
通过计算方程组的解，我们可以找到两条直线的交点坐标。
实例操作
列出方程
给定两条直线的点，我们可 以计算出这两条直线的一般 式和点斜式方程。
两条直线的交点坐标课件
在平面或空间直角坐标系中，学习如何找到两条直线的交点坐标。
直线的定义和方程
什么是直线？
直线是由无数个点组成的，这些点堆叠在一起的 结果是一条线。直线可以扩展到平面或空间中。
如何表示直线？
通过一般式和点斜式可以表示一条直线的方程。 这些方程基于直线在坐标系的位置和斜率进行计 算。Fra bibliotek消元求解
两直线的交点坐标和距离公式
两直线的交点坐标和距离公式首先，我们假设有两条直线分别为L1和L2，它们可以表示为以下形式的参数方程：L1:P1=P0+t1*d1L2:P2=P0+t2*d2其中，P1和P2分别是L1和L2上的两个点，P0是直线的起点，d1和d2是直线的方向向量。
t1和t2是参数，用来确定直线上的点的位置。
要求两条直线的交点坐标，我们需要找到使L1和L2重合的参数值t1和t2、我们可以通过两个参数方程组相等来解这个方程组：P1=P2=>P0+t1*d1=P0+t2*d2化简上述方程，我们可以得到：P0+t1*d1-P0=P0+t2*d2-P0即：t1*d1=t2*d2这个方程告诉我们，d1和d2这两个方向向量成比例，它们的比例系数即为两个参数t1和t2的比值。
所以，我们可以将其表示为：d1=k*d2其中，k为比例系数。
在上述方程中，我们可以用矩阵的形式来表示方程：[d1,-d2]*[t1;-t2]=0其中，[d1,-d2]和[t1;-t2]分别是一个2x1的矩阵和一个2x1的列向量。
我们可以将上述方程拓展为一个矩阵方程：[A]*[x]=0其中，[A]是一个2x2的矩阵，其元素为[d1,-d2]。
[x]是一个2x1的列向量，其元素为[t1;-t2]。
根据行列式的定义，只有当[A]的行列式为0时，方程[A]*[x]=0有非零解。
计算[A]的行列式可得：det([A]) = ad1 - bd2对于两条直线相交的情况，其中ad1 - bd2不等于0。
形式上，我们可以将[A]*[x]=0表示为：[U]*[S]*[V^T]*[x]=0其中，[U]和[V]是正交矩阵，[S]是一个对角矩阵，其对角线元素为奇异值。
通过奇异值分解，我们可以得到：[U]*[S]*[V^T]=[R]*[T]其中，[R]是一个旋转矩阵，[T]是一个平移矩阵。
我们可以将解表示为：[x]=[V]*[T[2,:]]其中，[T[2,:]]表示[T]矩阵的第二行。
3.3.1 两条直线的交点坐标
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1．已知a为实数，求当直线l1：ax＋y＋1＝0与l2：x＋y－a ＝0相交时的交点坐标．
解：若 a＝1，则直线 l1 与 l2 平行，故 l1 与 l2 无交点，
∴a≠1.
解方程组ax＋x＋y－y＋a1＝＝00，， 得yx＝＝a－a2－＋aa＋ －11.11，
∵直线 l 与直线 3x＋y－1＝0 平行，
∴λ＋3 2＝λ－1 3≠2－λ－13，得 λ＝121.
从而所求直线方程为 15x＋5y＋16＝0.
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有关对称的问题
1.对称问题 (1)中心对称 ①若点 M(x1，y1)及 N(x，y)关于 P(a，b)对称，则由中点坐 标公式得xy＝ ＝22ab－ －xy11， ，
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直线的交点的求法及应用 设直线 l1：A1x＋B1y＋C1＝0；l2：A2x＋B2y＋C2＝0.如果这 两条直线相交，由于交点同时在这两条直线上，交点的坐标一定 是这两个方程的唯一公共解；反过来，如果这两个二元一次方程 只有一个公共解，那么以这个解为坐标的点必是直线 l1 和 l2 的交 点．因此，两条直线是否有交点，就要看这两条直线的方程所组
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已知直线l的方程为(k＋1)x－(k－1)y－2k＝0.
求证：不论k取何实数，直线l必过定点，并求出这个定点坐
标． 【思路点拨】(方法一)
令k＝ 0，1
→
两特殊直线方 程构成方程组
两条直线的交点坐标
A1a+B1b+C1=0
点A的坐标是方程组 l1：A1x+B1y+C1=0 l2：A2x+B2y+C2=0 的解.
例1. 如图，求直线 l1：3x+4y-2=0和直线 l2:2x+y +2=0的交点坐标.
M
y
3x+4y-2=0 解:解方程组 2x+y+2=0 x=-2 得： y=2
-2 -1
2 1
两个方程可以化成同一个方程，因此两 个方程表示同一条直线，即l1与l2重合.
求下列各对直线的交点坐标，并画出图形
（1）l1:2x+3y=12， （2）l1:x=2，
l2:x-2y=4 l2:3x+2y-12=0
2x+3y-12=0 解:（1）解方程组 x-2y-4=0
x= 36 7 得： y= 4 7 36 4 所以直线l1与l2的交点坐标是（ ， 7 7 ）.
判断下列各对直线的位置关系.如果相交，求 出交点的坐标 （1）l1:x-y=0， l2:3x+3y-10=10 （2）l1:3x-y+4=0， l2:6x-2y-1=0 （3）l1:3x+4y-5=0， l2:6x+8y-10=10 3x-y+4=0 解:（2）解方程组 6x-2y-1=0
得出方程组无解，所以两直线无公共点， 即l1与l2平行.
3.3.1 两条直线的交点坐标 及两点间距离公式
同一直角坐标系中的两条直线l1：A1x+B1y+C1 =0, l2:A2x+B2y+C2=0有几种位置关系？ l1 l2 l1 l2 如何用代数的方 l2 法来判断这两条直线 ？ l1和l2平行的位置关系呢 l1和l2重合 l1
两条直线的交点坐标
l1 : x − y = 0 (1) l 2 : 3x + 3 y − 10 = 0 l1 : 3 x − y + 4 = 0 (2) l2 : 6 x − 2 y − 1 = 0 l1 : 3x + 4 y − 5 = 0 (3) l2 : 6 x + 8 y − 10 = 0
1. 两直线交点的求法---联立方程组。 两直线交点的求法---联立方程组。 ---联立方程组 两直线位置关系的判断:解方程组,根据解的个数。 2. 两直线位置关系的判断:解方程组,根据解的个数。 3. 共点直线系方程及其应用
例4 : 求经过两直线2 x − 3 y − 3 = 0和x + y + 2 = 0 的交点且与直线3 x + y − 1 = 0平行的直线l的方程.
3 2x −3y −3 = 0 x = − 5 解: ,∴交 为 点 ⇒ 7 x + y +2 =0 y = − 5 3 7 直 3 行 − ,− .Ql与 线 x + y −1= 0平 , 5 5 7 3 ∴所 方 为 + = −3 x + , 求 程 y 5 5 即 x + 5y +1= 0. 15
λ =-1时，方程为x+3y-4=0
λ =0时，方程为3x+4y-2=0 λ =1时，方程为5x+5y=0
y l1 l3 l2
0
上式可化为：(3+2λ)x+(4+λ)y+2λ-2=0
x
发现：此方程表示经过直线3x+4y-2=0与直线2x+y+2=0交 点的直线束（直线集合）
三、共点直线系方程: 共点直线系方程
两条直线的交点坐标
x+2y－1=0， 2x－y－7=0
得
x=3 y= －1
∴这两条直线的交点坐标为（3，-1） 又∵直线x+2y－5=0的斜率是－1/3 ∴所求直线的斜率是3 所求直线方程为y+1=3（x－3）即 3x－y－10=0
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例1、求经过原点及两条直线L1:x-2y+2=0, L2:2x-y-2=0的交点的直线的方程.
两条直线的交点坐标
(一）新课引入： 二元一次方程组的解有三种不同情况（唯一
解，无解,无穷多解），同时在直角坐标系中两条 直线的位置关系也有三种情况（相交，平行，重 合），下面我们通过二元一次方程组解的情况来 讨论直角坐标系中两直线的位置关系。
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（二）讲解新课：
①两条直线的交点：
如果两条直线A1x+B1y+C1=0和A2x+B2y+C2=0 相交，由于交点同时在两条直线上，交点坐标一定
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例2、两条直线y=kx+1和7
巩固：
①两条直线x+my+2=0和2x-y+m=0的交点在x轴上，则m
的值是
（A）0 （B）4 （C）±4 （D）以上都不对
②若直线x－y+1=0和x－ky = 0相交，且交点在第二象限，
则k的取值范围是
（A）（-∞，0）
（B）（-∞，0]
（C）（0，1）
（D）（1，＋∞）
③若两直线（3－a）x+4y=4+3a与2x+（5－a）y=7平行，
则a的值是
（A）1或7 （B）7 （C）1 （D）以上都错
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解：解方程组
两条直线的交点坐标两点间的距离公式
方法点睛 1.用“坐标法”解决平面几何问题时,关键要结合图形的特征,建
立适当的平面直角坐标系.坐标系建立的是否合适,会直接影响问题能否方
便解决.建系的原则主要有两点:
(1)让尽可能多的点落在坐标轴上,这样便于运算;
(2)如果条件中有互相垂直的两条直线,可考虑将它们作为两坐标轴;如果
图形为中心对称图形,可考虑将中心作为原点;如果图形为轴对称图形,可
=
+ -1 = 0,
将①②联立得
解得
4- + 2 = 0,
=
把
1
- ,
5
6
.
5
1
6
x=- ,y= 代入直线方程(3m+1)x-(2m-1)·y+3m-1=0
5
5
得(3m+1)×
1
-5
的左边,
6
-(2m-1)×5+3m-1=0.
因此,不论 m 为何实数,直线(3m+1)x-(2m-1)y+3m-1=0 恒过定点
∴设所求的直线方程为x+2y-2+λ(3x-2y+2)=0,λ∈R.
∵点 P(1,0)在直线上,∴1-2+λ(3+2)=0,解得
∴所求直线的方程为
1
λ= .
5
1
x+2y-2+ (3x-2y+2)=0,即
5
x+y-1=0.
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(2)证法一:令m=0,得x+y-1=0,①
令m=1,得4x-y+2=0,②
|PA|=|PB|,根据两点间距离公式建立关于x,y的方程,解方程组得点P的坐
标.(2)由|PA|=|PB|知点P在线段AB的垂直平分线上,再解由两条直线的方程
直线的交点坐标与距离公式09264
直线的交点坐标与距离公式一：两条直线的交点坐标：1、设两条直线分别为1l ：1110A x B y C ++=，2l ：2220A x B y C ++= 则1l 与2l 是否有交点，只需看方程组1112220A xB yC A x B y C ++=⎧⎨++=⎩是否有唯一解若方程组有唯一解，则这两条直线相交，此解就是交点的坐标； 若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行； 若方程组有无穷多解，则两直线重合例1、求经过两直线2330x y --=和20x y ++=的交点且与直线310x y +-=平行的直线方程。
经过两直线1111:0l A x B y C ++=与2222:0l A x B y C ++=交点的直线系方程为()1112220A x B y C A x B y C λ+++++=，其中λ是待定系数，在这个方程中，无论λ取什么实数，都得到2220A x B y C ++=，因此，它不能表示直线2l 。
2、对称问题（1）点关于点的对称，点A(a ，b)关于()000,P x y 的对称点B （m ，n ），则由中点坐标公式002,2m x a n y b =-=-，即B （002,2x a y b --） 。
（2）点关于直线的对称，点()00,A x y 关于直线:0l Ax By C ++=（A 、B 不同时为0）的对称点()'11,Ax y ，则有AA ’的中点在l 上且直线AA ’与已知直线l 垂直。
（3）直线关于直线的对称，一般转化为点关于直线的对称解决，若已知直线1l 与对称轴l 相交，则交点必在与1l 对称的直线2l上，然后再求出1l 上任意不同于交点的已知点1P 关于对称轴对称的点2P ，那么经过交点及点2P 的直线就是2l ；若直线1l 与对称轴l 平行，则在1l 上任取两不同点1P 、2P ，求其关于对称轴l 的对称点'1P 、'2P ，过'1P 、'2P 的直线就是2l。
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一、内容及解析
1、内容：本节我们通过直线的方程，用代数方法解决与直线有关的问题，如求两条直线的交点坐标。
2、解析：教科书给出两条直线l 1:A 1x +B 1y +C 1=0,l 2:A 2x +B 2y +C 2=0的方程以后，设置了一个表格，要求学生填充表格，目的之一在于体验坐标法的思想。
两条直线交点位置的确定体现另外坐标法的思想。
二、目标及解析 1、目标：
（1）掌握两直线方程联立方程组解的情况与两直线不同位置的对应关系，并且会通过直线方程系数判定解的情况，培养学生树立辩证统一的观点.
(2) 当两条直线相交时，会求交点坐标.培养学生思维的严谨性，注意学生语言表述能力的训练.
(3) 学生通过一般形式的直线方程解的讨论，加深对解析法的理解，培养转化能力. 2、解析：
本节课从知识内容来说并不是很难，但从解析几何的特点看，就需要培养学生如何利用直线方程来讨论其特点，得到直线交点，以及交点个数对应于直线在平面内的相对位置关系.在教学过程中应该围绕两直线一般方程的系数的变化来揭示两直线方程联立解的情况，从而判定两直线的位置特点，设置平面内任意两直线方程组解的情况的讨论，为课题引入寻求理论上的解释，使学生从熟悉的平面几何的直观定义深入到准确描述这三类情况.在教学过程中，应强调用交点个数判定位置关系与用斜率、截距判定两直线位置关系的一致性. 三、数学问题诊断分析
在问题“在这个集合中，如何确定经过点（-2，2）的直线？”的问题中，学生会发现只要把坐标（-2，2）代入方程0)22(243=+++-+y x y x λ确定λ，反过来，把λ的值代入0)22(243=+++-+y x y x λ就可以了。
四、教学支持条件
本节内容联系生活，应用广泛，可以采取多样化的学生感兴趣的例子帮助学生分析掌握，若有条件可以利用多媒体教学。
五、教学过程设计 （一）教学基本流程
（二）导入新课
复习：直线上的点与其方程0Ax By C ++=的解有什么关系？ 师生活动：教师提出问题；学生思考并回答问题.
设计意图：通过复习，学生意识到直线上的点的坐标是直线方程的解，为后面学习新知识做铺垫.
（三）新知探究
1．如何求解两条相交直线的交点坐标
问题1 已知两条直线l 1:A 1x +B 1y +C 1=0,l 2:A 2x +B 2y +C 2=0相交，如何求这两条直线的交点坐标？
师生活动：教师提出问题；学生尝试解决，引起认知冲突，激起探索兴趣. 设计意图：以问题为出发点，引起学生的学习兴趣. 问题2 完成书上P102的填表：
师生活动：教师引导学生填空，通过复习几何元素及关系的代数表示，找到求两条直线交点坐标的方法：求两条直线交点坐标就是求解相应的联立方程组.
设计意图：通过复习点与坐标的对应关系，引导学生意识到求两条直线交点坐标即求解相应方程组.
注意：此处应引导学生回到问题1，并作答案总结：相应方程组的解即是两直线的交点坐标. 例1：求下列两直线的交点坐标,l 1：3x +4y -2=0,l 2：2x +y +2=0.
解:解方程组⎩⎨
⎧=++=-+,
022,
023y x y x 得x =-2，y =2，所以l 1与l 2的交点坐标为(-2，2).
变式训练：求下列两直线的交点坐标，l 1:y =45+x ,l 2:
15
3=+y
x . 解:解方程组⎪⎩⎪
⎨⎧=++=,15
3,54y x x y 得x =0，y =5，所以l 1与l 2的交点坐标为(0，5).
2．相应直线方程组的解的情况与两条直线的位置关系之间的联系 问题3 利用求交点坐标的方法，能否判断两条直线的位置关系？
师生活动：教师提出问题，并引导学生复习二元一次方程组的解的情况；学生在教师的引导下总结出：若方程组只有一个解，说明两条直线只有一个交点；若方程组无解，说明两条直线没有公共点，即两直线平行；若有无数个解，说明两直线重合. 例2 ： 判断下列各对直线的位置关系.如果相交，求出交点坐标.
(1) l 1：x -y =0，l 2：3x +3y -10=0. (2) l 1：3x -y +4=0，l 2：6x -2y -1=0. (3) l 1：3x +4y -5=0，l 2：6x +8y -10=0.
师生活动：教师让学生自己动手解方程组，看解题是否规范，条理是否清楚，表达是否简洁，然后再进行讲评.
解:(1)解方程组⎩⎨⎧=-+=-,01033,0y x y x 得⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧
==.
35,3
5y x
所以l 1与l 2相交,交点是(
35,3
5). (2)解方程组⎩⎨
⎧=--=+-)
2(,
0126)1(,
043y x y x
①×2-②得9=0,矛盾,
方程组无解,所以两直线无公共点,l 1∥l 2.
(3)解方程组⎩⎨
⎧=-+=-+)
2(,
01086)1(,0543y x y x
①×2得6x +8y -10=0.
因此,①和②可以化成同一个方程,即①和②表示同一条直线,l 1与l 2重合.。