两条直线的交点坐标 PPT
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课件2：2.3.1 两条直线的交点坐标 ~2.3.2 两点间的距离公式
31
(2)轴对称： ①点 A(a，b)关于直线 Ax＋By＋C＝0(B≠0)的对称点 A′(m，n)， 则有mAn－·－a＋ba2×m＋－BAB·b＝＋2－n＋1，C＝0. ②直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决．
32
[跟踪训练] 求直线 m：3x－2y－6＝0 关于直线 l：2x－3y＋1＝0 的对称直线 m′ 的方程． 解：在直线 m 上取一点，如 M(2,0)， 则 M(2,0)关于直线 l 的对称点 M′必在直线 m′上．
18
法二：∵kAC＝1－7－－13＝32，kAB＝3－－3－ －13＝－23， 则 kAC·kAB＝－1，∴AC⊥AB. 又|AC|＝ 1＋32＋7－12＝2 13， |AB|＝ 3＋32＋－3－12＝2 13， ∴|AC|＝|AB|，∴△ABC 是等腰直角三角形．
19
[母题探究] (变设问)本例条件不变，求 BC 边上的中线 AM 的长． 解：设点 M 的坐标为(x，y)，因为点 M 为 BC 的中点， 所以 x＝3＋2 1＝2，y＝－32＋7＝2，即点 M 的坐标为(2,2)． 由两点间的距离公式得|AM|＝ －3－22＋1－22＝ 26， 所以 BC 边上的中线 AM 的长为 26.
并求|PA|的值． 解：设点 P 的坐标为(x,0)，则有
|PA|＝ x＋32＋0－42＝ x2＋6x＋25，
|PB|＝ x－22＋0－ 32＝ x2－4x＋7.
由|PA|＝|PB|，得 x2＋6x＋25＝x2－4x＋7，解得 x＝－95.
故所求点 P 的坐标为－95，0.|PA|＝
－95＋32＋0－42＝2
则点(－1，－2)必在所求直线上，∴2×(－1)＋3×(－2)＋C＝0，C＝8.
∴所求直线方程为 2x＋3y＋8＝0. [答案] (1)B (2)D
(2)轴对称： ①点 A(a，b)关于直线 Ax＋By＋C＝0(B≠0)的对称点 A′(m，n)， 则有mAn－·－a＋ba2×m＋－BAB·b＝＋2－n＋1，C＝0. ②直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决．
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[跟踪训练] 求直线 m：3x－2y－6＝0 关于直线 l：2x－3y＋1＝0 的对称直线 m′ 的方程． 解：在直线 m 上取一点，如 M(2,0)， 则 M(2,0)关于直线 l 的对称点 M′必在直线 m′上．
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法二：∵kAC＝1－7－－13＝32，kAB＝3－－3－ －13＝－23， 则 kAC·kAB＝－1，∴AC⊥AB. 又|AC|＝ 1＋32＋7－12＝2 13， |AB|＝ 3＋32＋－3－12＝2 13， ∴|AC|＝|AB|，∴△ABC 是等腰直角三角形．
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[母题探究] (变设问)本例条件不变，求 BC 边上的中线 AM 的长． 解：设点 M 的坐标为(x，y)，因为点 M 为 BC 的中点， 所以 x＝3＋2 1＝2，y＝－32＋7＝2，即点 M 的坐标为(2,2)． 由两点间的距离公式得|AM|＝ －3－22＋1－22＝ 26， 所以 BC 边上的中线 AM 的长为 26.
并求|PA|的值． 解：设点 P 的坐标为(x,0)，则有
|PA|＝ x＋32＋0－42＝ x2＋6x＋25，
|PB|＝ x－22＋0－ 32＝ x2－4x＋7.
由|PA|＝|PB|，得 x2＋6x＋25＝x2－4x＋7，解得 x＝－95.
故所求点 P 的坐标为－95，0.|PA|＝
－95＋32＋0－42＝2
则点(－1，－2)必在所求直线上，∴2×(－1)＋3×(－2)＋C＝0，C＝8.
∴所求直线方程为 2x＋3y＋8＝0. [答案] (1)B (2)D
直线的交点坐标与距离公式课件PPT
1．求经过两直线 2x－3y－3＝0 和 x＋y＋2＝0 的交点且与直 线 3x＋y－1＝0 平行的直线方程．
解： 法一：设所求的直线为 l，
由方程组2x＋x－y＋3y－2＝3＝0 0， 得xy＝ ＝－ －5753， . ∵直线 l 和直线 3x＋y－1＝0 平行， ∴直线 l 的斜率 k＝－3. ∴根据点斜式有 y－－75＝－3x－－35， 即所求直线方程为 15x＋5y＋16＝0.
法二：
∵直线 l 过两直线 2x－3y－3＝0 和 x＋y＋2＝0 的交点， ∴设直线 l 的方程为 2x－3y－3＋λ(x＋y＋2)＝0， 即(λ＋2)x＋(λ－3)y＋2λ－3＝0. ∵直线 l 与直线 3x＋y－1＝0 平行， ∴λ＋3 2＝λ－1 3≠2－λ－13，解得 λ＝121. 从而所求直线方程为 15x＋5y＋16＝0.
题型二 两点间距离公式的应用 【例 2】 试在直线 x－y＋4＝0 上求一点 P，使点 P 到点 M(－ 2，－4)，N(4,6)的距离相等．
思路点拨：有以下两种思路：①设出 P 点坐标，根据条件列 出方程，由此求出 P 点坐标；②由条件求出线段 MN 的中垂线方 程，与已知直线方程联立，可得 P 点坐标．
自学导引
1．两条直线的交点坐标
(1)直线的交点坐标：设两条直线的方程是 l1：A1x＋B1y＋C1＝ 0 ， l2 ： A2x ＋ B2y ＋ C2 ＝ 0 ， 两 条 直 线 的 交 点 坐 标 就 是 方 程
A1x＋B1y＋C1＝0， A2x＋B2y＋C2＝0
的解．
(2)两直线位置关系与方程组 的解的关系：
4．已知点 P(x,2)，Q(－2，－3)，M(1,1)，且|PQ|＝|PM|，则 x ＝________.
《两条直线的交点坐标》教学课件(15张PPT)
同一直角坐标系中的两条直线l1：A1x+B1y+C1 =0, l2:A2x+B2y+C2=0有几种位置关系？ l1 l2 l1 l2 如何用代数的方 l2 法来判断这两条直线 ？ l1和l2平行的位置关系呢 l1和l2重合 l1
l1和l2相交
下面的表格中，你能用代数表示表示出左边 的几何元素及关系吗？ 几何元素及关系 点A 直线l1 点A在l1直线上 直线l1与l2的交 点是A 代数表示 A（ a， b ） l1：A1x+B1y+C1=0
解:（3）将方程变形后，解方程组
( 2 -1)x+y-3=0 x+( 2 +1)y-2=0
得出方程组无解.
所以直线l1与l2没有公共点，即直线l1与l２平行.
光线从M(-2，3)射到x轴上的一点P(1，0)后 被x轴反射，求反射光线所在的直线方程. y M
o P
x
解:（1）将方程变形后，解方程组
17 x= 2x-3y-7=0 得： 16 13 4x+2y-1=0 y= 8 13 17 所以l1与l2相交， 交点坐标为（ ， 8 ）. 16
判断下列各对直线的位置关系.如果相交，求 出交Байду номын сангаас的坐标 （1）l1:2x-3y=7， l2:4x+2y=1 + 2 （2）l1:2x-6y+4=0， l2:y= x 3 3 （3）l1:( 2 -1)x+y=３， l2:x+( 2 +1)y=2
判断下列各对直线的位置关系.如果相交，求 出交点的坐标 （1）l1:x-y=0， l2:3x+3y-10=10 （2）l1:3x-y+4=0， l2:6x-2y-1=0 （3）l1:3x+4y-5=0， l2:6x+8y-10=10 3x-y+4=0 解:（2）解方程组 6x-2y-1=0
l1和l2相交
下面的表格中，你能用代数表示表示出左边 的几何元素及关系吗？ 几何元素及关系 点A 直线l1 点A在l1直线上 直线l1与l2的交 点是A 代数表示 A（ a， b ） l1：A1x+B1y+C1=0
解:（3）将方程变形后，解方程组
( 2 -1)x+y-3=0 x+( 2 +1)y-2=0
得出方程组无解.
所以直线l1与l2没有公共点，即直线l1与l２平行.
光线从M(-2，3)射到x轴上的一点P(1，0)后 被x轴反射，求反射光线所在的直线方程. y M
o P
x
解:（1）将方程变形后，解方程组
17 x= 2x-3y-7=0 得： 16 13 4x+2y-1=0 y= 8 13 17 所以l1与l2相交， 交点坐标为（ ， 8 ）. 16
判断下列各对直线的位置关系.如果相交，求 出交Байду номын сангаас的坐标 （1）l1:2x-3y=7， l2:4x+2y=1 + 2 （2）l1:2x-6y+4=0， l2:y= x 3 3 （3）l1:( 2 -1)x+y=３， l2:x+( 2 +1)y=2
判断下列各对直线的位置关系.如果相交，求 出交点的坐标 （1）l1:x-y=0， l2:3x+3y-10=10 （2）l1:3x-y+4=0， l2:6x-2y-1=0 （3）l1:3x+4y-5=0， l2:6x+8y-10=10 3x-y+4=0 解:（2）解方程组 6x-2y-1=0
人教版数学必修二课件：3-3-1两条直线的交点坐标
(2)若 AA11BC22－－AA22BC11＝≠00⇔l1∥l2
重点导析
重点 1 联立方程，解方程组求直线交点坐标 重点 2 判断直线间的位置关系
思维导悟
导悟 1 代数法判断两直线的位置关系 【例 1】 分别判断下列直线是否相交，若相交，求出它们的交点． (1)l1∶2x－y＝7 和 l2∶3x＋2y－7＝0； (2)l1∶2x－6y＋4＝0 和 l2∶4x－12y＋8＝0； (3)l1∶4x＋2y＋4＝0 和 l2∶y＝－2x＋3.
知识导学
知识点 1 联立两条不重合直线的方程 AA12xx＋ ＋BB12yy＋ ＋CC12＝ ＝00， ，解方程组可求交点坐标． 知识点 2 l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0： ①A1≠B1⇒两直线相交，即方程组有唯一解．
A2 B2 ②A1＝B1≠C1⇒两直线平行，即方程组无解．
导悟 3 根据交点求参数的值或其范围
【例 3】 已知直线 5x＋4y＝2a＋1 与直线 2x＋3y＝a 的交点位于第四象限，则 a 的取值范围是________．
【解析】 解方程组52xx＋ ＋43yy＝ ＝2aa，＋1， 得xy＝ ＝2aa－7＋ 723，，交点在第四象限， 所以2aa－7＋ 723<>00，，解得－32<a<2. 【答案】 －32<a<2
方法导拨
导拨 求过交点的直线
【例 4】 求过两直线 2x－3y0 平 行的直线方程．
【解】 解法 1：解方程组2x＋x－y＋3y－ 2＝3＝ 0，0， 得xy＝ ＝－ －3575， ，
所以两直线的交点坐标为－35，－75. 又所求直线与直线 3x＋y－1＝0 平行，
第三章 直线与方程
第三节 直线的交点坐标与距离公式
重点导析
重点 1 联立方程，解方程组求直线交点坐标 重点 2 判断直线间的位置关系
思维导悟
导悟 1 代数法判断两直线的位置关系 【例 1】 分别判断下列直线是否相交，若相交，求出它们的交点． (1)l1∶2x－y＝7 和 l2∶3x＋2y－7＝0； (2)l1∶2x－6y＋4＝0 和 l2∶4x－12y＋8＝0； (3)l1∶4x＋2y＋4＝0 和 l2∶y＝－2x＋3.
知识导学
知识点 1 联立两条不重合直线的方程 AA12xx＋ ＋BB12yy＋ ＋CC12＝ ＝00， ，解方程组可求交点坐标． 知识点 2 l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0： ①A1≠B1⇒两直线相交，即方程组有唯一解．
A2 B2 ②A1＝B1≠C1⇒两直线平行，即方程组无解．
导悟 3 根据交点求参数的值或其范围
【例 3】 已知直线 5x＋4y＝2a＋1 与直线 2x＋3y＝a 的交点位于第四象限，则 a 的取值范围是________．
【解析】 解方程组52xx＋ ＋43yy＝ ＝2aa，＋1， 得xy＝ ＝2aa－7＋ 723，，交点在第四象限， 所以2aa－7＋ 723<>00，，解得－32<a<2. 【答案】 －32<a<2
方法导拨
导拨 求过交点的直线
【例 4】 求过两直线 2x－3y0 平 行的直线方程．
【解】 解法 1：解方程组2x＋x－y＋3y－ 2＝3＝ 0，0， 得xy＝ ＝－ －3575， ，
所以两直线的交点坐标为－35，－75. 又所求直线与直线 3x＋y－1＝0 平行，
第三章 直线与方程
第三节 直线的交点坐标与距离公式
新教材高中数学直线的交点坐标与距离公式：两条直线的交点坐标pptx课件新人教A版选择性必修第一册
l1∥l2
＝0与直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0的位置关系是________．
l1∥l2
[方程组无解，则l1与l2无公共点，从而l1∥l2．]
3．直线l1 ：4x－y＋3＝0与直线l2 ：3x＋12y－11＝0的位置关系是
l1⊥l2
________．
l1⊥l2
[由4×3＋(－1)×12＝0得l1⊥l2．]
15x＋5y＋16＝0
的直线方程为_________________．
2
因此l1与l2的斜率相等，但截距不相等，所以它们平行．
(2)l1：x－2y＋1＝0，l2：x＋2y＋5＝0．
[解]
− 2 + 1 = 0，
解方程组ቊ
可得x＝－3，y＝－1，
+ 2 + 5 = 0，
因此，l1与l2相交，而且交点坐标为(－3，－1)．
类型3 直线系过定点问题
【例3】 (1)直线mx－3y＋2m＋3＝0，当m变动时，所有直线都经
l1
l2
设这两条直线的交点为P，则点P既在直线__上，也在直线__上．所
以点P的坐标既满足直线l1的方程A1x＋B1y＋C1＝0，也满足直线l2的
1 + 1 + 1 = 0，
方程A2x＋B2y＋C2＝0，即点P的坐标就是方程组 ቊ + + = 0
2
2
2
的解．
知识点2 两直线的位置关系和方程组解的个数的关系
第二章
直线和圆的方程
2.3 直线的交点坐标与距离公式
2.3.1 两条直线的交点坐标
1．会用解方程的方法求两条相交直线的交点坐标．(数学
学习 运算)
任务 2．会根据方程解的个数判定两条直线的位置关系．(数学
＝0与直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0的位置关系是________．
l1∥l2
[方程组无解，则l1与l2无公共点，从而l1∥l2．]
3．直线l1 ：4x－y＋3＝0与直线l2 ：3x＋12y－11＝0的位置关系是
l1⊥l2
________．
l1⊥l2
[由4×3＋(－1)×12＝0得l1⊥l2．]
15x＋5y＋16＝0
的直线方程为_________________．
2
因此l1与l2的斜率相等，但截距不相等，所以它们平行．
(2)l1：x－2y＋1＝0，l2：x＋2y＋5＝0．
[解]
− 2 + 1 = 0，
解方程组ቊ
可得x＝－3，y＝－1，
+ 2 + 5 = 0，
因此，l1与l2相交，而且交点坐标为(－3，－1)．
类型3 直线系过定点问题
【例3】 (1)直线mx－3y＋2m＋3＝0，当m变动时，所有直线都经
l1
l2
设这两条直线的交点为P，则点P既在直线__上，也在直线__上．所
以点P的坐标既满足直线l1的方程A1x＋B1y＋C1＝0，也满足直线l2的
1 + 1 + 1 = 0，
方程A2x＋B2y＋C2＝0，即点P的坐标就是方程组 ቊ + + = 0
2
2
2
的解．
知识点2 两直线的位置关系和方程组解的个数的关系
第二章
直线和圆的方程
2.3 直线的交点坐标与距离公式
2.3.1 两条直线的交点坐标
1．会用解方程的方法求两条相交直线的交点坐标．(数学
学习 运算)
任务 2．会根据方程解的个数判定两条直线的位置关系．(数学
两条直线的交点坐标、两点间的距离公式 课件
两条直线的交点坐标 两点间的距离公式
要点 两条直线的交点 (1)已知两条直线的方程分别是 l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x ＋B2y＋C2＝0，当方程组 AA12xx＋ ＋BB12yy＋ ＋CC12＝ ＝00，有唯一解时，l1 与 l2 相交；有无穷多个解时，说明直线 l1 与 l2 重合；当方程组无解 时，l1 与 l2 平行．
②类似地，有 l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0.
(4)①设 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则 |P1P2|＝ （x2－x1）2＋（y2－y1）2. ②原点 O(0，0)与任一点 P(x，y)的距离|OP|＝ x2＋y2.
如何设直线系方程？
答：(1)与直线 Ax＋By＋C＝0 平行的直线系方程是 Ax＋By＋ m＝0(m≠C)；
(2)经过两直线交点的直线系方程：(A1x＋B1y＋C1)＋λ(A2x ＋B2y＋C2)＝0(其中不包括直线 A2x＋B2y＋C2＝0)．
(3)已知 l1：A1x＋B1y＋C1＝0 与 l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则 ①A1B2－A2B1≠0⇔l1 与 l2 相交；A1B2－A2B1＝0 且 A1C2－A2C1 ≠0⇔l1∥l2；A1B2－A2B1＝0 且 A1C2－A2C1＝0⇔l1 与 l2 重合．
题型三 两点间的距离公式的应用
例 3 求函数 y＝ x2－8x＋20＋ x2＋1的最小值． 【思路分析】 常规方法显然行不通，只有进行转化！根据结 构联想距离．
【 解 析 】 原 式 可 化 为 y ＝ （x－4）2＋（0－2）2 ＋ （x－0）2＋（0－1）2 ，考虑 两点间 的距 离 公式形 式得三点 A(4，2)，B(0，1)，P(x，0)，则上述问题转化为：在 x 轴上求一 点 P(x，0)，使得|PA|＋|PB|最小．作点 A(4，2)关于 x 轴的对称点 A′(4，－2)，可知|PA|＋|PB|＝|PA′|＋|PB|≥|A′B|，故|PA|＋|PB| 的最小值为|A′B|的长度．由两点间的距离公式，得|A′B|＝ 42＋（－2－1）2＝5，所以，函数 y＝ x2－8x＋20＋ x2＋1的 最小值为 5.
两条直线的交点坐标课件
求解直线交点坐标
1 列方程组
将两条直线的方程相等 组成方程组，并用未知 量表示交点坐标。
2 消元求解
使用消元法计算未知量 的值。
3 计算交点坐标
把已知值带回到方程组， 计算出交点坐标。
常见问题一: 平面直角坐标系中直线的交 点坐标
平面坐标系
两条直线可以相交、平行 或重合。为了找到交点， 我们需要比较两条直线的 斜率和截距，然后计算方 程组的解。
平行和重合的情况
如果直线平行或重合，则 无法找到交点。在这种情 况下，我们会根据另一些 条件来确定相关的线性关 系。
实例：找到两条交叉 直线的交点
通过计算方程组的解，我 们可以找到两条直线的交 点坐标。
常见问题二：空间直角坐标系中的直线 交点坐标
1
坐标系扩展
在空间坐标系中，我们需要一条额外的直线，这样才能找到两条直线的交点。
2
差异之处
与平面坐标系不同，在空间坐标系中，直线可以相交，平行，重合或者位于同一平面上。 为了解决这些不同的情况，我们必须了解斜率、截距与空间坐标系之间的关系。
3
实例：找到两条垂直交叉的直线的交点
通过计算方程组的解，我们可以找到两条直线的交点坐标。
实例操作
列出方程
给定两条直线的点，我们可 以计算出这两条直线的一般 式和点斜式方程。
两条直线的交点坐标课件
在平面或空间直角坐标系中，学习如何找到两条直线的交点坐标。
直线的定义和方程
什么是直线？
直线是由无数个点组成的，这些点堆叠在一起的 结果是一条线。直线可以扩展到平面或空间中。
如何表示直线？
通过一般式和点斜式可以表示一条直线的方程。 这些方程基于直线在坐标系的位置和斜率进行计 算。Fra bibliotek消元求解
两条直线的交点坐标、两点间的距离公式 课件
命题方向1 ⇨两直线的交点问题
判断下列各对直线的位置关系，若相交，求出交点坐标： (1)l1：2x＋y＋3＝0，l2：x－2y－1＝0； (2)l1：x＋y＋2＝0，l2：2x＋2y＋3＝0； (3)l1：x－y＋1＝0，l2：2x－2y＋2＝0.
[思路分析] 题中给出了两条直线的方程，要判断它们的位置关系，只需看它们组成的方程组的解 的个数．
(3)若l2∥l3，则由1×1－a×1＝0，解得a＝1， 当a＝1，l2与l3重合． (4)若l1∥l3，则a×1－1×1＝0得a＝1， 当a＝1时，l1与l3重合． 综上，当a＝1时，三条直线重合；当a＝－1时，l1∥l2； 当a＝－2时，三条直线交于一点， 所以要使三条直线共有三个交点，需a≠±1且a≠－2. [正解] D
两条直线的交点坐标 两点间的距离公式
1．两条直线的交点坐标 (1)求法：两直线方程联立组成方程组，此方程组的解就是这两条直线的交点 坐标，因此解方程组即可．
(2)应用：可以利用两直线的___交__点__个__数____判断两直线的位置关系． 一般地，将直线 l1：A1x＋B1y＋C1＝0 和直线 l2：A2x＋B2y＋C2＝0 的方程联
3．坐标法
(1)定义：通过建立平面直角坐标系，用代数方法解决几何问题的方法称为坐标法．
( 2 ) 步 骤 ： ① 建 立 _ _坐_ _ _标_ _系_ _ _ _ _ ， 用 坐 标 表 示 有 关 的 量 ： ② 进 行 有 关 代 数 运 算 ； ③ 把 代 数 运 算 结 果
“翻译”成几何关系．
解法一：∵|AB|＝ －1－12＋[3－－1]2＝ 20＝2 5， |AC|＝ 3－12＋[0－－1]2＝ 5， |BC|＝ [3－－1]2＋0－32＝ 25＝5， ∴|AB|2＋|AC|2＝|BC|2， 即△ABC 是以 A 为直角顶点的直角三角形．
2.3.1两条直线的交点坐标(教学课件)- 高中数学人教A版(2019)选择性必修第一册
两条直线相交
二元一次方程 组有唯一解
直线l,J2还 有 哪些位置关系
平行
重合
问题4.已知直线l₁:A₁x+B₁y+C₁=0,l:A₂x+B₂y+C₂=0
平行，能否判断对应的二元一次方程组的解的情况呢
从形的角度看
直线l₁//l₂
直线lj,J₂没有公共点
从代数的角度看
不 存在点P(xo,y₀)的坐标满足
解 直线l₁,l₂方程化为斜截式，
则k₁=1,k₂=-1,k₁≠k₂,
所以，直线l₁与l₂相交.
例2.判断下列各对直线的位置关系.
(2)l:3x-y+4=0,l ₂:6x-2y-1=0
解 直线l₁,l₂ 方程化为斜截式，
则k₁=k₂=3,b₁≠b₂, l₁/l₂.
所以，
例2.判断下列各对直线的位置关系. (3)l:3x+4y-5=0,l₂:6x+8y-10=0
Q(2,-6)在直线l 上
追问：为什么可以作这样的判断呢?
直线l上的点
对应 关系
直线l 的方程的解
直线l:Ax+By+C=0
点P
在直线l上
C=0
问题2.已知直线 l₁:A₁x+B₁y+C₁=0,l₂:A₂x+B₂y+C₂=0 相交，它们的交点坐标与直线l₁,l₂的方程有他么途系?
从形的角度看
直线l₁,l₂ 相交
的交点且过坐标原点的直线l的方程 .
解 解方程组
,得
所以，两条直线的交点为
所以，直线l的的斜率 故直线l的方程
即4x-3y=0
和l₂ :6x-4y+1=0
两条直线的交点-PPT课件
第2章 平面解析几何初步 2．1 直线与方程
2．1.4 两条直线的交点
1
课标点击
栏 目 链
接
2
1．了解直线上的点的坐标和直线方程方向的关 系． 2．掌握用代数方法求两条直线的交点坐标．
3
典例剖析 栏 目 链 接 4
两条直线的交点问题
求经过两条直线2x－3y－3＝0和x＋y＋2＝0的
栏
交点且与直线3x＋y－1＝0平行的直线l的方
方程组
1＋2x0－2×4＋2y0＝0， x0＝159，
xy00－－41×12＝－1，得 y0来自－85.栏 目 链 接
同理可求得点 A 关于直线 x＋y－1＝0 的对称点 A″的坐标为(－3，
0)．
13
由于点 A′159，－58，点 A″(－3，0)均在 BC 所在的直线上，
∴直线 BC 的方程为－y－85－00＝15x9＋＋33，
6
方法二 ∵直线 l 过两直线 2x－3y－3＝0 和 x＋y＋2＝0 的交点，
∴可设直线 l 的方程为 2x－3y－3＋λ(x＋y＋2)＝0.
∵直线 l 与直线 3x＋y－1＝0 平行，
栏 目
链
∴λ＋3 2＝λ－1 3≠2λ－－1 3，得 λ＝121.
接
从而所求直线方程为 15x＋5y＋16＝0.
栏 目 链 接
即 4x＋17y＋12＝0.
∴BC 所在直线的方程为 4x＋17y＋12＝0.
14
规律总结：点关于点对称问题是最基本的对称
栏
问题，用中点坐标公式及垂直的条件求解，它
目 链
接
是解答其他对称问题的基础．
15
►变式训练 2．一条光线从点A(3，2)出发，经x轴反射，通过点B( －1，6)，求入射光线和反射光线所在的直线方程．
2．1.4 两条直线的交点
1
课标点击
栏 目 链
接
2
1．了解直线上的点的坐标和直线方程方向的关 系． 2．掌握用代数方法求两条直线的交点坐标．
3
典例剖析 栏 目 链 接 4
两条直线的交点问题
求经过两条直线2x－3y－3＝0和x＋y＋2＝0的
栏
交点且与直线3x＋y－1＝0平行的直线l的方
方程组
1＋2x0－2×4＋2y0＝0， x0＝159，
xy00－－41×12＝－1，得 y0来自－85.栏 目 链 接
同理可求得点 A 关于直线 x＋y－1＝0 的对称点 A″的坐标为(－3，
0)．
13
由于点 A′159，－58，点 A″(－3，0)均在 BC 所在的直线上，
∴直线 BC 的方程为－y－85－00＝15x9＋＋33，
6
方法二 ∵直线 l 过两直线 2x－3y－3＝0 和 x＋y＋2＝0 的交点，
∴可设直线 l 的方程为 2x－3y－3＋λ(x＋y＋2)＝0.
∵直线 l 与直线 3x＋y－1＝0 平行，
栏 目
链
∴λ＋3 2＝λ－1 3≠2λ－－1 3，得 λ＝121.
接
从而所求直线方程为 15x＋5y＋16＝0.
栏 目 链 接
即 4x＋17y＋12＝0.
∴BC 所在直线的方程为 4x＋17y＋12＝0.
14
规律总结：点关于点对称问题是最基本的对称
栏
问题，用中点坐标公式及垂直的条件求解，它
目 链
接
是解答其他对称问题的基础．
15
►变式训练 2．一条光线从点A(3，2)出发，经x轴反射，通过点B( －1，6)，求入射光线和反射光线所在的直线方程．
【课件】两条直线的交点坐标课件高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册
方法总结：
(1)求过两直线交点的直线方程的方法 ①方程组法：一般是先解方程组求出两直线的交点坐标，再结 合其他条件求出直线方程． ②直线系法：先设出过两直线交点的直线系方程，再结合条件 利用待定系数法求出参数，最后确定直线方程．如过两条已知 直线A1x＋B1y＋C1＝0，A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线系方程为
3
-1
-2
巩固练习
3.直线l经过原点, 且经过直线2x－2y－1＝0与直线6x－4y＋1＝0的交点, 求直线l的方程.
解1:
解方程组
2x 6 x
2 4
y y
1 1
0，得 0
x
3 2
,y
2.
直线2x 2 y 1 0与6x 4 y 1 0的交点坐标为( 3 , 2). 2
直线l的方程为
A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(不包括直线A2x＋B2y＋C2＝0).
(2)含有参数的直线恒过定点问题的解法 ①直接法 将已知的直线方程转化为点斜式、斜截式等形式的方程，进而得定点． ②特殊值法 取出直线系中的两条特殊直线，它们的交点就是所有直线都过的定点． ③方程法 将已知的直线方程整理成关于参数的方程，由于直线恒过定点，则关于参 数的方程应有无穷多解，进而求出定点．
恒过定点的直线问题
求经过两条直线2x－3y－3＝0和x＋y＋2＝0的交点且与 直线3x＋y－1＝0平行的直线l的方程．
解 1：由方程组2xx＋－y＋3y－2＝3＝0，0，
解得x＝－35， y＝－57．
因为直线l和直线3x＋y－1＝0平行，所以直线l的斜率k＝－3.
所以根据点斜式有 y－－75 ＝－3x－－53 ， 即所求直线 l 的方程为 15x＋5y＋16＝0.
2.3.1两条直线的交点坐标课件(人教版)
点P在直线l上 直线l1与l2的交点是P
Ax0+By0+C=0
点P的坐标是方程组的解
A1 x B1 y C1 0
A2
x
B2
y
C2
0
学习新知 两条直线的交点：
如果两条直线A1 x B1 y C1 0和A2 x B2 y C2 0相交， 由于交点同时在两条直线上，交点坐标一定是它们的方程
若方程组
A1 A2
x x
B1 y B2 y
C1 C2
0 0
有唯一解，有无数组解，无解，则两直线的位置关系如何？
直线l1、l2联立得方程组
唯一解 无穷多解 无解
转化
l1 l1 l1
, , ,
l2相交， l2重合， l2平行.
(代数问题)
(几何问题)
学习新知
一般地，对于直线l1 : A1 x B1 y C1 0，l2 : A2 x B2 y C2 0 ( A1B1C1 0, A2B2C2 0),有方程组
证明：联立方程
3x+2 y 2x 3 y
1 0, 5 0,
解得
ห้องสมุดไป่ตู้
x 1, 即M y 1,
(1,
1).
代入：3x 2 y 1 （2x 3 y 5） 0,
y
x
o M(1, - 1)
得0 ·0 0, ∴M点在直线上.
A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0是过直线A1x+B1y+C1=0和 A2x+B2y+C2=0的交点的直线系方程.
段的中点为P(-1,2),则直线l的方程为 3x+y+1=0 .
2.3.1两条直线的交点坐标+2.3.2两点间的距离公式课件(人教版)
于是， P1P2 x2 x1 2 y2 y1 2 .
故 P1(x1 ，y1) ， P2 (x2 ，y2 ) 两点间的距离公式 P1P2 (x2 x1)2 ( y2 y1)2 .
特别地，原点O(0，0) 与任一点 P(x，y) 间的距离 OP x2 y2 .
例题巩固
例 3 已知点 A(1, 2) ， B(2, 7) ，在 x 轴上求一点 P，使 PA PB ， 并求 PA 的值.
A. (2, 2)
B. (2,2)
C.(2, 2)
D. (2, 2)
解析：由
3x 2x
4y2 0 y20
，解得
x
y
2 2
，故所求交点坐标是
(2,
2)
.故选
C.
2.点 P(2,5) 为平面直角坐标系内一点，线段 PM 的中点是(1,0) ，那么点 M 到
B 原点 O 的距离为( )
A.41
B. 41
C. 39
D.39
解析：设 M (x, y) ，由中点坐标公式得 x 2 1， y 5 0 ，解得 x 4 ， y 5 ，
2
2
所以点 M (4, 5) ，则| OM | 42 (5)2 41 .故选 B.
C 3.不论 m 为何实数，直线l : (m 1)x (2m 3)y m 0 恒过定点( )
3x 4y 5 0 ① （3）解方程组 6x 8y 10 0 ② ， ① 2 得 6x 8y 10 0 ， ①和②可以化成同一个方程， 即①和②表示同一条直线，l1 与l2 重合.
如图，由点 P1(x1 ，y1) ， P2 (x2 ，y2 ) ，得 P1P2 (x2 x1 ，y2 y1) .
解：（1）解方程组
x y 0 3x 3y 10
故 P1(x1 ，y1) ， P2 (x2 ，y2 ) 两点间的距离公式 P1P2 (x2 x1)2 ( y2 y1)2 .
特别地，原点O(0，0) 与任一点 P(x，y) 间的距离 OP x2 y2 .
例题巩固
例 3 已知点 A(1, 2) ， B(2, 7) ，在 x 轴上求一点 P，使 PA PB ， 并求 PA 的值.
A. (2, 2)
B. (2,2)
C.(2, 2)
D. (2, 2)
解析：由
3x 2x
4y2 0 y20
，解得
x
y
2 2
，故所求交点坐标是
(2,
2)
.故选
C.
2.点 P(2,5) 为平面直角坐标系内一点，线段 PM 的中点是(1,0) ，那么点 M 到
B 原点 O 的距离为( )
A.41
B. 41
C. 39
D.39
解析：设 M (x, y) ，由中点坐标公式得 x 2 1， y 5 0 ，解得 x 4 ， y 5 ，
2
2
所以点 M (4, 5) ，则| OM | 42 (5)2 41 .故选 B.
C 3.不论 m 为何实数，直线l : (m 1)x (2m 3)y m 0 恒过定点( )
3x 4y 5 0 ① （3）解方程组 6x 8y 10 0 ② ， ① 2 得 6x 8y 10 0 ， ①和②可以化成同一个方程， 即①和②表示同一条直线，l1 与l2 重合.
如图，由点 P1(x1 ，y1) ， P2 (x2 ，y2 ) ，得 P1P2 (x2 x1 ，y2 y1) .
解：（1）解方程组
x y 0 3x 3y 10
2.3.1 两条直线的交点坐标ppt
出λ,即得所求直线方程.
(2)将直线方程改写为-x-y-1+a(x+2)=0.
---1
=
0,
解方程组
得直线所过定点.
+ 2 = 0,
解 (1)设所求直线方程为 x+2y-2+λ(3x-2y+2)=0.∵点 P(1,0)在直线上,
1
∴1-2+λ(3+2)=0.∴λ=5.
∴所求方程为
1
x+2y-2+ (3x-2y+2)=0,
2023
人教版普通高中教科书·数学
第二章
选择性必修
2.3.1 两条直线的交点坐标
第一册
内
容
索
引
01
课前篇 自主预习02课堂篇 探究学习课标阐释
1.会用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标.(数学运算)
2.会根据方程组解的个数判定两条直线的位置关系.(数学运算)
思维脉络
课前篇 自主预习
[激趣诱思]
+ + 3 = 0,
∵P(3,0)为线段 AB 的中点,
∴
3-2
3-3
+
-2
+1
4 6
=
-2 +1
= 6,
0.
2-16 = 0,
∴ 2
-8 = 0.
∴k=8.∴所求直线方程为 y=8(x-3),即 8x-y-24=0.
(方法2)设A点坐标为(x1,y1),则由P(3,0)为线段AB的中点,得B点坐标为(6x1,-y1).
【解析】由(m＋1)(m－1)＋4＝m2 ＋3≠0，因此方程组有唯一的
解．
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A (a ,b)
l : Ax By C 0
Aa Bb C 0
直线 l1与直线 l2的交点 A
A1a B1b C1 0
A2a
B2b
C2
பைடு நூலகம்
0
1.平面内两条直线的位置关系有几种？哪几种？ 2.两条直线方程所组成的二元一次方程组的解的个数， 和直线的位置关系有什么联系？
结论： 若方程组有唯一解，则两直线相交，方程组 的解即为交点坐标; 若方程组无解，则两直线平行； 若方程组有无数解，则两直线重合.
3.无论m取何值，直线(m-1)x+(2m-1)y-（m+5）=0 恒过定点，求此定点坐标？
思考题： 是否存在实数a, 使得三条直线 l1 : ax y 1 0，l2 : x ay 1 0,l3 : x y a 0 能围成一个三角形，请说明理由
课堂小结
1.两直线交点的求法---联立方程组。 2.两直线位置关系的判断:解方程组,根据解的
为待定系数
此直线系方程 少一条直线l2
求经过两直线l1：x－2y＋4＝0和 l2：x＋y－2＝0的交点P，且与直线 l3：3x－4y＋5＝0垂直的直线l的方
程．
巩固练习
1.已知直线x+y-3m=0与2x-y+2m-1=0的交点在第四 象限，求m的取值范围？
2.求经过原点且与 经过l1: x-2y+2=0 和 l2: 2x-y-2=0 的交点的直线方程？
例1 求下列两条直线的交点坐标
l1 : 3x 4 y 2 0 l2 : 2x y 2 0
解：解方程组
3x+4y-2 =0 2x+y+2 = 0
得 x= -2 y=2
∴l1与l2的交点是M（- 2，2）
例2 判断下列各对直线的位置关系， 如果相交，求出交点的坐标：
（1）l1:x-y=0, l2:3x+3y-10=0; （2）l1:3x-y+4=0, l2:6x-2y-1=0; （3）l1:3x+4y-5=0, l2:6x+8y-10=0;
个数。 3.共点的直线系方程
课后作业
必做题：习题3.3 A组第1，3，5 题 拓展题：
课后探究：两直线是否相交与其方程组成 的方程组的系数有何关系？
3.3.1 两直线的交点坐标
思考
已知两条直线 l1 : A1 x B1 y C1 0 l2 : A2 x B2 y C2 0
相 交,如 何 求 这 两 条 直 线 交 点的 坐 标?
A1x A2 x
B1 B2
y y
C1 C2
0 0
几何元素及关系
代数表示
点A
直线 l 点 A在直线 l上
当变化时, 方程 3x 4y 2 (2x y 2) 0
表示什么图形?图形有何特点?
二、共点直线系方程:
经过直线l1 : A1x B1y C1 0与直线l2 : A2x B2 y C2 0 的交点的直线系方程为:
( A1x B1y C1) (A2x B2 y C2 ) 0