概率论第二章理科班课堂测试(含答案)
概率论第二章练习答案
《概率论》第二章练习答案一、填空题：”2x c S 11.设随机变量X的密度函数为f(x)= 则用丫表示对X的3次独立重复的0 其匕'-观察中事件(X< -)出现的次数，则P (丫= 2)= ___________________ 。
22.设连续型随机变量的概率密度函数为：ax+b 0<x<1f (x)=I 0 其他1且EX=丄，贝U a = -2 , b = 2 。
3 ------------------- ----------------------3. 已知随机变量X在［10 , 22 ］上服从均匀分布，则EX=」6 ________________ , DX= 124. 设为随机变量，E =3, E 2=11,则 E (4 10) = 4E TO =225. 已知X的密度为(x)二ax©"bY010 . x ::11 1(x ) =P(X»),则3 36.7. 1 1(X〈一)= P ( X〉一)一1(ax b)dxjQx b)联立解得:dx若f(x)为连续型随机变量X的分布密度，则J［f(x)dx= ________ 1——'J设连续型随机变量汕分布函数F(x)=x2/：,丨1, x ：： 00 岂x ：：： 1，则P ( E =0.8 ) = _0_; P(0.2 ：：：： 6) = 0.998. 某型号电子管，其寿命(以小时记)为一随机变量，概率密度：(x)二x _100x2，某一个电子设备内配有3个这样的电子管，则电子管使用150小时都不0(其他)需要更换的概率为_____厂100 8/27 _________ x> 1009.设随机变量X服从(n, p)分布，已知EX= 1.6 ,DX= 1.28 ,则参数n=P= oEX = np = 1.6DX = npq = 1.28 ，解之得：n = 8 ，p = 0.210.设随机变量x服从参数为(2, p)的二项分布，丫服从参数为(4, p)的二项分5布，若P (X> 1)=-，贝U P (Y> 1)=—65/81 _____________ o9解:13.已知离散型随机变量X服从参数为2的泊松分布，则随机变量Z= 3X- 2的期望E (Z)= 3EX-2=3x2-2=4 。
概率论第二章习题答案
概率论第二章习题答案习题1：离散型随机变量及其分布律设随机变量X表示掷一枚公正的六面骰子得到的点数。
求X的分布律。
解答：随机变量X的可能取值为1, 2, 3, 4, 5, 6。
由于骰子是公正的，每个面出现的概率都是1/6。
因此，X的分布律为：\[ P(X=k) = \frac{1}{6}, \quad k = 1, 2, 3, 4, 5, 6 \]习题2：连续型随机变量及其概率密度函数设随机变量Y表示从标准正态分布中抽取的数值。
求Y的概率密度函数。
解答：标准正态分布的概率密度函数为高斯函数，其形式为：\[ f(y) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{y^2}{2}}, \quad -\infty < y < \infty \]习题3：随机变量的期望值已知随机变量X的分布律为：\[ P(X=k) = p_k, \quad k = 1, 2, ..., n \]求X的期望值E(X)。
解答：随机变量X的期望值定义为：\[ E(X) = \sum_{k=1}^{n} k \cdot p_k \]习题4：随机变量的方差继续使用习题3中的随机变量X，求X的方差Var(X)。
解答：随机变量X的方差定义为期望值的平方与每个值乘以其概率之和的差：\[ Var(X) = E(X^2) - (E(X))^2 \]其中，\( E(X^2) = \sum_{k=1}^{n} k^2 \cdot p_k \)习题5：二项分布设随机变量X表示n次独立伯努利试验中成功的次数，每次试验成功的概率为p。
求X的分布律和期望值。
解答：X服从参数为n和p的二项分布。
其分布律为：\[ P(X=k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}, \quad k = 0, 1, ..., n \]X的期望值为：\[ E(X) = np \]结束语：以上是概率论第二章的一些典型习题及其解答。
概率论第二章习题及答案
三、一些常用的离散型随机变量
1) Bernoulli分布 如果随机变量 X 的分布律为
PX 0 1 p q ， PX 1 p
或
P{ X k } p q
X P
k 1 k
(k 0 , 1)
1 p
0 1-p
则称随机变量 X 服从参数为 p 的 Bernoulli分布． 记作 X ~ B1 ， p . 其中0 p 1 为参数
第二章 随机变量及其分布
一、 随机变量的定义
设E是一个随机试验，S是其样本空间．若对每一个
S , 都有唯一确定的一个实 数X 与之对应 , 则称
X 为一个随机变量.
S
X
R
第二章 习题课
二、离散型随机变量的分布律
设离散型随机变量 X 的所有可能取值为 x1 ， x2 ， ， xk ， 并设
如果连续型随机变量X 的密度函数为 （I）
1 2 2 x f x e 2 其中 ， 0 为参数， 则称随机变量X 服从参数为 ， 2 的
正态分布．记作
f (x)
x 2
X ~ N ，
2
0
第二章 随机变量及其分布
4）几 何 分 布
若随机变量 X 的分布律为
PX k q k 1 p
k 1， 2，
其中 p 0，q 0，p q 1
则称随机变量 X 服从参数为 p的几何分布．
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第二章 随机变量及其分布
5）超 几 何 分 布
如果随机变量 X 的分布律为
x
f ( t )dt,
bipt概率论第二章试题含答案
1. 2.3125 ； 0.54 ．
2. 0.007125 .
0, x 0,
3.
F
(
x)
=
1 13
, ,
0 x 1, 1 x 2,
2
1, x 2.
4.
X
~
−1 0.4
1 0.4
3 0.2
5. (1) 0 ,1
(2)
X
~
1 1
3 2
3 3
6. (1) 2 . (2) 0.75 ．
7. (1) 0.5 . (2) 0.316 . (3)
0 x 4, ，求Y = 2X + 8的概率密度函数．
0, 其它.
16．设随机变量
X
的概率密度为
f
(x)
=
1 4
,
0 x 4, ，求Y = 4 − 3X 的概率密度函数.
0, 其它.
17 . 设随机变量 X
的概率密度为
f
(x)
=
e−x ,
x 0, ，求Y = X 2 的概率密度.
,
1 x 2, 则 A＝
B, x 2.
，B＝
0, x 1,
4.设随机变量
X
的分布函数为
F(x)
=
1 2
,
1 x 2, ，则 P{−1 X 2} =
1, x 2.
0,
5.设随机变量
X
的分布函数为
F(x)
=
x2 4
,
1,
x 0, 0 x 2, 则 P(0 X 1) =
2
1,
x 1.5.
求（1） P(0.4 X 1.3) ；（2） P(X 0.5) ；（3） P(1.7 X 2) ．
概率论与数理统计第二章测验题答案
第二章测验题答案一. 填空(共28分，每题4分)1. 投掷一枚均匀对称的硬币，以X 表示正面出现的次数，则随机变量在区间 (0.5, 1.5)取值的概率为0.5 . 解：随机变量X 的分布律为所以{0.5}{1}0.551.P X P X <===≤2. 设随机变量~(1,6)U ξ, 则方程210x x ξ++=, 有实根的概率为 4/5 . 解：方程210x x ξ++=有实根，则判别式240ξ∆=-≥, 则2ξ≥或者2ξ≤-,所以()2{}{40}{2}{2}P P P ξξξ=∆=-≥=≥⋃≤-方程有实根{2}{2}P P ξξ=≥+≤-又因为随机变量ξ服从参数为(1,6)的均匀分布，所以其概率密度函数为11,16,16()6150,0,x x f x ⎧⎧<<<<⎪⎪==-⎨⎨⎪⎪⎩⎩其它其它所以6222214{2}(),55{2}()00.P f t dt dt P f t dt dt ξξ+∞---∞-∞≥===≤-===⎰⎰⎰⎰故{}P 方程有实根{2}{2}P P ξξ=≥+≤-45=. 3. 设(2,),(3,)X b p Y b p , 若519{}P X ≥=, 则{1}P Y ≥=19/27.解：由题意知随机变量X 和Y 分别服从参数为2和p 、3和p 的二项分布.5{1}1{0}9P X P X =≥=-=, 得到4{0}9P X ==, 即00222(1)(1)C p p p -=-49=,所以2(1)3p -=, 从而33333219{1}1{0}1(1)1(1)1.327P Y P Y C p p p ⎛⎫≥=-==--=--=-= ⎪⎝⎭4. 设X 的概率密度函数为1,[0,1]32(),[3,6]90,x f x x ⎧∈⎪⎪⎪=∈⎨⎪⎪⎪⎩其它，若k 使得2{}3P X k ≥=, 则k 的取值范围是13k ≤≤.解：此题用画图的方法来解：下图中红线即为()f x 的图像.其中S1表示由红线1()3f x =与x 轴所夹部分的面积，即{01}P X ≤≤13=；S2表示红线2()9f x =与x 轴所夹部分面积，即{36}P X ≤≤22393=⨯=.而{}P X k ≥即表示()f x 图像与x 轴所夹图形在直线x k =右侧的面积(绿色虚线所示范围). 因为2{}3P X k ≥={36}P X =≤≤，所以k 的取值范围只能在1和3之间， 即13k ≤≤.5. 设随机变量(1,4)X N , 则{12}P X <≤= 0.1915 .(已知(0.5)0.6915Φ=.) 解：由(1,4)X N 可知，1,2μσ==. 首先进行正态分布的标准化，在查表计算11211{12}{0}222X X P X P P μμσσ----⎧⎫<≤=<≤=<≤⎨⎬⎩⎭1()(0)2=Φ-Φ0.69150.5=-=0.19156. 设硕士研究生入学数学考试及格率为0.55，则15名考生中数学考试及格人数X 的概率分布是二项分布，参数为15和0.55, 解：15名考生参加考试，可以视为15次伯努利实验。
概率论与数理统计2.第二章练习题(答案)
第二章练习题（答案）一、单项选择题1．已知连续型随机变量X 的分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤+<=ππx x b kx x x F ,10,0,0)( 则常数k 和b 分别为 （ A ）（A ）0,1==b k π （B ）π1,0b k = （C ）0,21==b k π （D ）π21,0==b k ． 2.下列函数哪个是某随机变量的分布函数 （ A ）A. f （x ）={xa e −x 22a,x ≥01, x <0(a ＞0); B. f （x ）={12cosx, 0< x <π0, 其他C. f （x ）={cosx, −π2< x <π20, 其他D. f （x ）={sinx, −π2< x <π20, 其他3.若函数()f x 是某随机变量X 的概率密度函数，则一定成立的是 （ C ） A. ()f x 的定义域是[0,1] B. ()f x 的值域为[0,1] C. ()f x 非负 D. ()f x 在(,)-∞+∞内连续4. 设)1,1(~N X ，密度函数为)(x f ，则有（ C ） A.{}{}00>=≤X P X P B. )()(x f x f -= C. {}{}11>=≤X P X P D. )(1)(x F x F --=5. 设随机变量()16,~μN X ，()25,~μN Y ，记()41-<=μX P p ，()52+>=μY P p ，则正确的是 （ A ）.（A ）对任意μ，均有21p p = （B ）对任意μ，均有21p p < （C ）对任意μ，均有21p p > （D ）只对μ的个别值有21p p = 6. 设随机变量2~(10,)X N ，则随着的增加{10}P X （ C ）A.递增B.递减C.不变D.不能确定7.设F 1(x )与F 2(x )分别为随机变量X 1、X 2的分布函数,为使F (x )=aF 1(x )-bF 2(x )是某一随机变量的分布函数,在下列给定的多组数值中应取 ( A )A . a =53, b =52-; B . a =32, b =32;C . 21-=a ， 23=b ; D . 21=a , 23-=b .8.设X 1与X 2是任意两个相互独立的连续型随机变量，它们的概率密度函数分别为f 1(x )和f 2(x )，分布函数分别为F 1(x )和F 2(x )，则 ( D ) (A) f 1(x )+f 2(x ) 必为某个随机变量的概率密度； （B ）f 1(x )•f 2(x ) 必为某个随机变量的概率密度； （C ）F 1(x )+F 2(x ) 必为某个随机变量的分布函数； (D) F 1(x ) •F 2(x ) 必为某个随机变量的分布函数。
概率论第二章习题参考解答1
概率论第二章习题参考解答1. 用随机变量来描述掷一枚硬币的试验结果. 写出它的概率函数和分布函数. 解: 假设ξ=1对应于"正面朝上",ξ=0对应于反面朝上. 则 P (ξ=0)=P (ξ=1)=0.5 . 其分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<=11105.000)(x x x x F 2. 如果ξ服从0-1分布, 又知ξ取1的概率为它取0的概率的两倍, 写出ξ的分布律和分布函数.解: 根据题意有 P (ξ=1)=2P (ξ=0) (1) 并由概率分布的性质知 P (ξ=0)+P (ξ=1)=1 (2) 将(1)代入(2)得3P (ξ=0)=1, 即P (ξ=0)=1/3 再由(1)式得 P (ξ=1)=2/3因此分布律由下表所示ξ0 1 P 1/32/3而分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧>=<≤<=11103/100)(x x x x F 3. 如果ξ的概率函数为P {ξ=a }=1, 则称ξ服从退化分布. 写出它的分布函数F (x ), 画出F (x )的图形. 解: ⎩⎨⎧≥<=ax a x x F 10)(, 它的图形为4. 一批产品分一,二,三级, 其中一级品是二级品的两倍, 三级品是二级品的一半, 从这批产品中随机地抽取一个检验质量, 用随机变量描述检验的可能结果, 写出它的概率函数. 解 设ξ取值1,2,3代表取到的产品为一,二,三级, 则根据题意有 P (ξ=1)=2P (ξ=2) (1)P (ξ=3)=P (ξ=2)/2 (2) 由概率论性质可知P (ξ=1)+P (ξ=2)+P (ξ=3)=1 (3)(1),(2)代入(3)得:2P (ξ=2)+P (ξ=2)+P (ξ=2)/2=1解得P (ξ=2)=2/7, 再代回到(1)和(2)得 P (ξ=1)=4/7, P (ξ=3)=1/7 则概率函数为)3,2,1(271)(3=⨯==-i i P i ξ或列表如下:5. 一批产品20个, 其中有5个次品, 从这批产品中随意抽取4个, 求这4个中的次品数ξ的分布律.解: 基本事件总数为420C n =,有利于事件{ξ=i }(i =0,1,2,3,4)的基本事件数为ii i C C n -=4155, 则001.01731911718192051234)4(031.0171952121545171819201234)3(2167.01718191415231212141545171819201234)2(4696.01718191314151231314155171819201234)1(2817.01719137123412131415171819201234)0(445420115354202152542031515420415=⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅====⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅====⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅====⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅====⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅===C C P C C C P C C C P C C C P C C P ξξξξξ 6. 一批产品包括10件正品, 3件次品, 有放回地抽取, 每次一件, 直到取得正品为止, 假定每件产品被取到的机会相同, 求抽取次数ξ的概率函数.解: 每次抽到正品的概率相同, 均为p =10/13=0.7692, 则每次抽到次品的概率q =1-p =0.2308则ξ服从相应的几何分布, 即有),3,2,1(1331310)(1=⎪⎭⎫⎝⎛⋅===-i pq i P i i ξ7. 上题中如果每次取出一件产品后, 总以一件正品放回去, 直到取得正品为止, 求抽取次数ξ的分布律.解: 这样抽取次数就是有限的, 因为总共只有3件次品, 即使前面三次都抽到次品,第四次抽时次品 已经全部代换为正品, 因此必然抽到正品, 这样ξ的取值为1,2,3,4. 不难算出,0027.0131132133)4(0328.01312132133)3(1953.01311133)2(7692.01310)1(=⋅⋅===⋅⋅===⋅=====ξξξξP P P P8. 自动生产线在调整之后出现废品的概率为p , 当在生产过程中出现废品时立即重新进行调整, 求在两次调整之间生产的合格品数ξ的概率函数.解: 事件ξ=i 说明生产了i 次正品后第i +1次出现废品, 这是i +1个独立事件的交(1次发生i 次不发生, 因此有P (ξ=i )=p (1-p )i , (i =0,1,2,…)9. 已知随机变量ξ只能取-1,0,1,2四个值, 相应概率依次为cc c c 167,85,43,21, 确定常数c 并计算P {ξ<1|ξ≠0}.解: 根据概率函数的性质有1}2{}1{}0{}1{==+=+=+-=ξξξξP P P P即1167854321=+++cc c c 得2.3125163716710128167854321==+++=+++=c 设事件A 为ξ<1, B 为ξ≠0, (注: 如果熟练也可以不这样设)则32.0258167852121}2{}1{}1{}1{)0{}01{)()(}0|1{==++==+=+-=-==≠≠⋂<==≠<ξξξξξξξξξP P P P P P B P AB P P 10. 写出第4题及第9题中各随机变量的分布函数. 解: 第4题:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤<≤<=31327/6217/410)(x x x x x F第9题:当x <-1时: F (x )=P (ξ≤x )=0 当-1≤x <0时: F (x )=P (ξ≤x )=P (ξ=-1)=2162.03125.22121=⨯=c 当0≤x <1时: F (x )=P (ξ≤x )=P (ξ=-1)+P (ξ=0)=5405.03125.243214321=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+c c 当1≤x <2时: F (x )=P (ξ≤x )=P (ξ=-1)+P (ξ=0)+P (ξ=1)=8108.03125.2854321854321=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=++c c c 当x ≥2时: F (x )=P (ξ≤x )=1 综上所述, 最后得:⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥<≤<≤<≤--<=21218108.0105405.0012162.010)(x x x x x x F 11. 已知ξ~⎪⎩⎪⎨⎧<<=其它1021)(x xx ϕ, 求ξ的分布函数F (x ), 画出F (x )的图形.解: 当x <0时: F (x )=0;当0≤x <1时:xx xt x t dt t dt t dt dt t x F xxx=-==+-⋅==+==+--∞-∞-⎰⎰⎰⎰00012112121210)()(12102100ϕ 当x ≥1时: F (x )=1 综上所述, 最后得⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<=111000)(x x xx x F 图形为12. 已知ξ~⎩⎨⎧<<=其它0102)(x x x ϕ, 求P {ξ≤0.5}; P (ξ=0.5);F (x ).解: 25.005.020)(}5.0{225.0025.005,0|=-==+==≤⎰⎰⎰∞-∞-x xdx dx dx x P ϕξ, 因ξ为连续型随机变量, 因此取任何点的概率均为零, 所以P {ξ=0.5}=0,求F (x ): 当x <0时, F (x )=0 当0≤x <1时, 220|20)()(x t tdt dt dt t x F xxx==+==⎰⎰⎰∞-∞-ϕ 当x ≥1时, F (x )=1 综上所述, 最后得:⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<=111000)(2x x x x x F 13. 某型号电子管, 其寿命(以小时计)为一随机变量, 概率密度⎪⎩⎪⎨⎧≥=其它0100100)(2x x x ϕ, 某一个电子设备内配有3个这样的电子管, 求电子管使用150小时都不需要更换的概率.解: 先求一个电子管使用150小时以上的概率P (ξ≥150)为:3215010012100100)()150(|150121502150==+-===≥∞++-+∞+∞⎰⎰x dx xdx x P ϕξ 则3个这样的电子管构成贝努里独立试验概型, 试验三次发生三次的概率为2963.027832)3(33==⎪⎭⎫⎝⎛=p14. 设连续型随机变量ξ的分布函数为:⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<=111000)(2x x Ax x x F 求系数A ; P (0.3<ξ<0.7); 概率密度φ(x ).解: 因ξ是连续型随机变量, 因此F (x )也必是连续曲线, 则其在第二段(0,1)区间的曲线必能和第三段(1,+∞)的曲线接上, 则必有 A ×12=1, 即A =1. 则分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<=111000)(2x x x x x F P (0.3<ξ<0.7)=F (0.7)-F (0.3)=0.72-0.32=0.49-0.09=0.4概率密度φ(x )为⎩⎨⎧<≤='=其它0102)()(x x x F x ϕ15. 服从柯西分布的随机变量ξ的分布函数是F (x )=A +B arctg x , 求常数A ,B ;P {|ξ|<1}以及概率密度φ(x ). 解: 由F (-∞)=0, 得A +Barctg (-∞)=02=-πB A(1)再由F (+∞)=1,得12)arctg(=+=+∞+πB A B A(2)综和(1),(2)两式解得π1,21==B A 即x x F arctg 121)(π+=5.0214411111)1()1()11()1|(|==⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--==--=--=<<-=<πππππξξarctg arctg F F P P2111)()(x x F x +⋅='=πϕ16. 服从拉普拉斯分布的随机变量ξ的概率密度||)(x Ae x -=ϕ, 求系数A 及分布函数F (x ).解: 这实际上是一个分段函数, φ(x )可重新写为⎩⎨⎧<≥=-0)(x Aex Ae x xxϕ 根据性质1)(=⎰+∞∞-dx x ϕ, 又因φ(x )为偶函数, 因此有1222)(|==-==∞+-+∞-+∞∞-⎰⎰A Aedx Aedx x x xϕ, 则有A =1/2因此⎪⎩⎪⎨⎧<≥==--02102121)(||x e x e ex x x x ϕ.求分布函数F (x ). 当x <0时, 有xxtxt x e e dt e dt t x F 212121)()(====∞-∞-∞-⎰⎰ϕ当x ≥0时, 有x x xtxt t x e e e dt e dt e dt t x F ----∞-∞--=+-=-=+==⎰⎰⎰21121212121212121)()(00ϕ 综上所述, 最后得⎪⎩⎪⎨⎧≥-<=-0211021)(x e x e x F x x17. 已知⎩⎨⎧<<+-=其它01031212)(~2x x x x ϕξ, 计算P {ξ≤0.2|0.1<ξ≤0.5}解: 设事件A ={ξ≤0.2}, B ={0.1<ξ≤0.5}, 则要计算的是条件概率P (A |B ), 而)()()|(B P AB P B A P =, 而事件AB ={ξ≤0.2}∩{0.1<ξ≤0.5}={0.1<ξ≤0.2} 因此有148.03.006.0004.06.024.0032.0)1.0301.06001.04()2.0304.06008.04()364(d )31212()(}2.01.0{)(2.01.0232.01.022.01.0=-+-+-=⨯+⨯-⨯-⨯+⨯-⨯==+-=+-==≤<=⎰⎰x x x xx x dx x P AB P ϕξ256.03.006.0004.05.15.15.0)1.0301.06001.04()5.0325.06125.04()364(d )31212()(}5.01.0{)(5.01.0235.01.025.01.0=-+-+-=⨯+⨯-⨯-⨯+⨯-⨯==+-=+-===≤<=⎰⎰x x x xx x dx x P B P ϕξ最后得5781.0256.0148.0)()()|(}5.01.0|2.0{====≤<≤B P AB P B A P P ξξ18. 已知xxce x +-=2)(~ϕξ, 确定常数c .解: 首先证明普阿松广义积分π=⎰+∞∞--x e xd 2, 因为函数2x e -并不存在原函数, 因此需要一技巧. 令⎰+∞∞--=x eI x d 2, 则⎰⎰⎰+∞∞-+∞∞-+-+∞∞--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=y x e x e I y x x d d d )(22222作极坐标代换, 令θθsin ,cos r y r x ==, 则积分区间为全平面, 即θ从0积到2π, r 从0积到+∞, 且θd d d d r r y x =, 因此有πππθπ====∞+-+∞-+∞-⎰⎰⎰020202222)d(212rr r e r e rdr ed I , 所以I =π.现确定常数c , 由性质1)(=⎰+∞∞-dx x ϕ,1d d 41)21(414141212222====⎰⎰⎰+∞∞---+∞∞-+-⋅⋅+-+∞∞-+-πcedx ecex cex cex x x xx得421πe c =19. 已知⎩⎨⎧>>=-其它)0()(~λλϕξλa x e c x x, 求常数c 及P {a -1<ξ≤a +1}.解: 由性质1)(=⎰+∞∞-dx x ϕ得1d d 0)(|==-=+=-∞+-+∞-∞-+∞∞-⎰⎰⎰aax ax ace ce x e c x dx x λλλλϕ 解得 aec λ=, 因此有⎩⎨⎧>>=--其它)0()()(λλϕλa x e x a x则λλλλλλϕξ---+---+--=-==+==+≤<-⎰⎰⎰⎰e e due x ex x x a a P u u a aa x a a a a 1d d 0d )()11(|111)(111求边缘概率分布, 与是否独立?解: 按下表计算ξ与η的边缘分布:得的边缘分布如下表所示:当i =1及j =0时,因202.026.0}0{}1{0}0,1{)2(0)1(110⨯====≠====ηξηξP P p p P p因此ξ与η相互间不独立.21. 假设电子显示牌上有3个灯泡在第一排, 5个灯泡在第二排. 令ξ,η分别表示在某一规定时间内第一排和第二排烧坏的灯泡数. 若ξ与η的联合分布如下表所示: 试计算在规定时间内下列事件的概率: (1) 第一排烧坏的灯泡数不超过一个; (2) 第一排与第二排烧坏的灯泡数相等;(3) 第一排烧坏的灯泡数不超过第二排烧坏的灯泡数.解: 假设事件A 为第一排烧坏的灯泡数不超过一个, B 为第一排与第二排烧坏的灯泡数相等, C 为第一排烧坏的灯光数不超过第二排烧坏的灯泡数. 则事件A 发生的概率为上表中头两排概率之和52.008.006.005.004.002.001.009.007.005.003.001.001.0)(104=++++++++++++==∑∑==i j ij p A P事件B 发生的概率为上表中从0行0列开始的斜对角线之和14.006.005.002.001.0)(3=+++==∑=i ii p B P事件C 发生的概率为上表中斜对角线上右的各个数相加(包括斜对角线上的数), 但为减少运算量, 也可以考虑其逆事件C 的概率, 然后用1减去它. 而C 的概率为上表中斜对角线的左下角的所有概率之和(不包括斜对角线):89.011.01)04.001.003.001.001.001.0(1)(1)(=-=+++++-=-=C P C P22. 袋中装有标上号码1,2,2的3个球, 从中任取一个并且不再放回, 然后再从袋中任取一球, 以ξ, η分别记为第一,二次取到球上的号码数, 求(ξ,η)的分布律(袋中各球被取机会相同).解: 因为有两个2一个1, 因此第一次取到2号的概率为P (ξ=2)=2/3, 第一次取到1号的概率为P (ξ=1)=1/3. 第一次取到2号后还剩下一个2号一个1号, 则在此条件下第二次取到1号的概率P (η=1|ξ=2)=P (η=2|ξ=2)=1/2. 而第一次取到1号后还剩下两个2号, 因此这时P (η=1|ξ=1)=0, P (η=2|ξ=1)=1. 综上所述并用乘法法则可得312132)2|2()2()2,2(312132)2|1()2()1,2(31131)1|2()1()2,1(0031)1|1()1()1,1(22211211=⨯=========⨯=========⨯=========⨯========ξηξηξξηξηξξηξηξξηξηξP P P p P P P p P P P p P P P p23. (ξ , η)只取下列数组中的值：)0,2()31,1()1,1()0,0(--且相应的概率依次为1/6, 1/3, 1/12, 5/12. 列出(ξ,η)的概率分布表, 写出关于η的边缘分布. 解: 从上面数组可知ξ只取-1,0,2这三个值, 而η只取0,31,1这三个值, 因此总共可构成九个. 概率分布表及η的边缘分布计算如下即η的边缘分布率如下表所示24. 袋中装有标上号码1,2,2,3的4个球, 从中任取一个并且不再放回, 然后再从袋中任取一球, 以ξ, η分别记为第一,二次取到球上的号码数, 求(ξ,η)的分布律(袋中各球被取机会相同).解: 第一次取到号码1,2,3的概率为P{ξ=1}=P(ξ=3)=1/4P{ξ=2}=1/2在第一次取到号码i条件下,第二次取到号码j的概率各为P{η=1|ξ=1}=P{η=3|ξ=3}=0P{η=2|ξ=1}=P{η=2|ξ=3}=2/3P{η=3|ξ=1}=P{η=1|ξ=3}=1/3P{η=1|ξ=2}=P{η=3|ξ=2}=1/3P{η=2|ξ=2}=1/3则p11=P{ξ=1,η=1}=P{ξ=1}P{η=1|ξ=1}=0p12=P{ξ=1,η=2}=P{ξ=1}P{η=2|ξ=1}=1/6p13=P{ξ=1,η=3}=P{ξ=1}P{η=3|ξ=1}=1/12p21=P{ξ=2,η=1}=P{ξ=2}P{η=1|ξ=2}=1/6p22=P{ξ=2,η=2}=P{ξ=2}P{η=2|ξ=2}=1/6p23=P{ξ=2,η=3}=P{ξ=2}P{η=3|ξ=2}=1/6p31=P{ξ=3,η=1}=P{ξ=3}P{η=1|ξ=3}=1/12p32=P{ξ=3,η=2}=P{ξ=3}P{η=2|ξ=3}=1/6p33=P{ξ=3,η=3}=P{ξ=3}P{η=3|ξ=3}=025. 表示随机地在1-4的4个整数中取出的一个整数，η表示在1-ξ中随机地取出的一个整数值，求(ξ,η)的联合概率分布.解: 因ξ取四个数中的任何一个概率相等, 因此有P{ξ=i}=1/4, (i=1,2,3,4)而在ξ=i的条件下, (i=1,2,3,4), η取1到i的概率也相同,为1/i, 即P{η=j|ξ=i}=1/i, (i=1,2,3,4;j=1-i)因此有p ij=P{ξ=i,η=j}=P{ξ=i}P{η=j|ξ=i}=1/(4i), (i=1,2,3,4; j=1-i),联合概率分布如下表所示:26. 已知(ξ,η)~⎪⎩⎪⎨⎧≤≤+=其它04,0)sin(),(πϕy x y x c y x ,试确定常数c 并求η的边缘概率密度.解: 根据性质1),(=⎰⎰+∞∞-+∞∞-dydx y x ϕ, 有1)12(]220122[)]4sin([sin )]4cos([cos )]cos([)sin(40440404040=-=+--=+-=+-=+-=+⎰⎰⎰⎰c c x x c x x dx c y x dx c dydx y x c ππππππππ解得12)12)(12(12121+=+-+=-=c ,因此,⎪⎩⎪⎨⎧≤≤++=其它04,0)sin()12(),(πϕy x y x y x求η的边缘概率密度: 当40π≤≤y 时:)8sin(22)12()]4cos()[cos 12()cos()12()sin()12(),()(4042ππϕϕκπ+-+==+-+==++-=++==⎰⎰∞+∞-y y y y x dx y x dx y x y上式后一等式利用了三角函数公式2sin 2sin2cos cos A B A B B A -+=-, 而计算三角函数8sin π的值, 又是在已知224cos=π的前提下,利用半角公式2cos 12sin θθ-=得222222124cos18sin-=-=-=ππ当y 取区间]4,0[π之外的值时, 0)(1=y ϕ.因此最后得:⎪⎩⎪⎨⎧≤≤+-+=其它040)8sin(22)12()(2ππϕy y y27. 已知ξ服从参数p =0.6的0-1分布, 在ξ=0及ξ=1条件下, 关于η的条件分布分别如下二表所示:求二元随机变量(,)的联合概率分布, 以及在≠1时关于的条件分布. 解: 根据题意已知P {ξ=0}=1-p =1-0.6=0.4, P {ξ=1}=p =0.6 则根据乘法法则有:p 01=P {ξ=0,η=1}=P {ξ=0}P {η=1|ξ=0}=0.4×(1/4)=0.1 p 02=P {ξ=0,η=2}=P {ξ=0}P {η=2|ξ=0}=0.4×(1/2)=0.2 p 03=P {ξ=0,η=3}=P {ξ=0}P {η=3|ξ=0}=0.4×(1/4)=0.1 p 11=P {ξ=1,η=1}=P {ξ=1}P {η=1|ξ=1}=0.6×(1/2)=0.3 p 12=P {ξ=1,η=2}=P {ξ=1}P {η=2|ξ=1}=0.6×(1/6)=0.1 p 13=P {ξ=1,η=3}=P {ξ=1}P {η=3|ξ=1}=0.6×(1/3)=0.2由表中可以算出P {η≠1}=1-P {η=1}=1-(p 01+p 11)=1-0.4=0.6 P {ξ=0,η≠1}=p 02+p 03=0.2+0.1=0.3 P {ξ=1,η≠1}=p 12+p 13=0.1+0.2=0.3 因此有5.06.03.0}1{}1,1{}1|1{5.06.03.0}1{}1,0{}1|0{==≠≠==≠===≠≠==≠=ηηξηξηηξηξP P P P P P则在η≠1时关于ξ的条件分布律如下表所示:28. 第22题中的两个随机变量ξ与η是否独立？当ξ=1时η的条件分布是什么？: , 因为 P {ξ=1}=1/3, P {η=1}=1/3 而P {ξ=1,η=1}=0≠P {ξ=1}P {η=1} 在ξ=1条件下, 因13/13/1}1{}2,1{}1|2{03/10}1{}1,1{}1|1{================ξηξξηξηξξηP P P P P P因此在此条件下η服从单点分布或退化分布, 只取值为2, 取值为2的条件概率为1.=p i (1)p j (2), 算得联合分布律如下表所示 根据此联合分布律可算出43129611211)2/1,2/1()1,1(1)0(1)0(121484481161)1,0()3,2()1(==--==-==-=-=-==+-=≠+==+===+=-===+ηξηξηξηξηξηξηξP P P P P P P30. 测量一矩形土地的长与宽, 测量结果得到如下表所示的分布律(长与宽相互独立), 求周解: 因ζ=2ξ+2η, 可知ζ的取值为96,98,100,102,104, 又因ξ与η独立, 因此有 P {ζ=96}==P {ξ=29}P {η=19}=0.3×0.3=0.09P {ζ=98}=P {ξ=29}P {η=20}+P {ξ=30}P {η=19}=0.3×0.4+0.5×0.3=0.27 P {ζ=100}=P {ξ=29}P {η=21}+P {ξ=30}P {η=20}+P {ξ=31}}P {η=19}==0.3×0.3+0.5×0.4+0.2×0.3=0.35P {ζ=102}=P {ξ=30}P {η=21}+P {ξ=31}P {η=20}=0.3×0.5+0.2×0.4=0.23 P {ζ=104}=P {ξ=31}P {η=21}=0.2×0.3=0.06η的分布.解: 因周长=2πR , 面积=πR , 因此当半径R 取值10,11,12,13时, ξ的取值为62.83, 69.12,32. 一个商店每星期四进货, 以备星期五,六,日3天销售, 根据多周统计, 这3天销售件数 ξ问三天销售总量∑==31i iξη这个随机变量可以取哪些值?如果进货45件, 不够卖的概率是多少? 如果进货40件, 够卖的概率是多少?解: 因η的取值为ξ1,ξ2,ξ3三个随机变量可能取值之和, 因此可能的取值为从10+13+17=40到12+15+19=46之间的每一个整数值, 即40,41,42,43,44,45,46. 因此, 如进货15件, 不够卖的概率在η取值为46时出现, 即 P {η=46}=P {ξ1=12}P {ξ2=15}P {ξ3=19}=0.1×0.1×0.1=0.001 如进货40件, 够卖的概率发生在η取值为40时出现, 即P {η=40}=P {ξ1=10}P {ξ2=13}P {ξ3=17}=0.2×0.3×0.1=0.006 33. 求出第22题中ξ+η的分布律.ξ与η的联合分布律如下表: 则P {+=2}=P {=1,=1}=0P {ξ+η=3}=P {ξ=1,η=2}+P {ξ=2,η=1}=2/3 P {ξ+η=4}=P {ξ=2,η=2}=1/334. 求出第23题中ξ-η的分布律 解: 因(ξ , η)只取下列数组中的值：)0,2()31,1()1,1()0,0(--且相应的概率依次为1/6, 1/3, 1/12, 5/12.因此ξ-η也只取0-0=0, -1-1=-2, -1-1/3=-4/3, 2-0=2这四个值, 相应的概率也还是依次为1/6, 35. 已知P {ξ=k }=a /k , P {η=-k }=b /k (k =1,2,3), ξ与独立, 确定a ,b 的值; 求出(ξ,η)的联合概率分布以及ξ+η的概率分布. 解: 由概率分布的性质有131211}{31=⎪⎭⎫⎝⎛++==∑=a k P k ξ, 解得 5455.0116312111==++=a,191411}{31=⎪⎭⎫⎝⎛++=-=∑=b k P k η 解得 7347.04936914111==++=b 因此有P {ξ=1}=0.5455, P {ξ=2}=0.5455/2=0.2727, P {ξ=3}=0.1818 P {η=-1}=0.7347, P {η=-2}=0.1837, P {η=-3}=0.0816 因ξ与η独立, 则有p 11=P {ξ=1,η=-1}=P {ξ=1}P {η=-1}=0.5455×0.7347=0.4008 p 12=P {ξ=1,η=-2}=P {ξ=1}P {η=-2}=0.5455×0.1837=0.1002 p 13=P {ξ=1,η=-3}=P {ξ=1}P {η=-3}=0.5455×0.0816=0.0445 p 21=P {ξ=2,η=-1}=P {ξ=2}P {η=-1}=0.2727×0.7347=0.2004 p 22=P {ξ=2,η=-2}=P {ξ=2}P {η=-2}=0.2727×0.1837=0.0501 p 23=P {ξ=2,η=-3}=P {ξ=2}P {η=-3}=0.2727×0.0816=0.0223 p 31=P {ξ=3,η=-1}=P {ξ=3}P {η=-1}=0.1818×0.7347=0.1336 p 32=P {ξ=3,η=-2}=P {ξ=3}P {η=-2}=0.1818×0.1837=0.0333 p 33=P {ξ=3,η=-3}=P {ξ=3}P {η=-3}=0.1818×0.0816=0.0148计算+的概率分布: P {ξ+η=-2}=p 13=0.0445P {ξ+η=-1}=p 12+p 23=0.1002+0.0223=0.1225P {ξ+η=0}=p 11+p 22+p 33=0.4008+0.0501+0.0148=0.4657 P {ξ+η=1}=p 21+p 32=0.2004+0.0333=0.2337 P{ξ+η=2}=p 31=0.1336即ξ+η的概率分布率如下表所示36. 已知服从区间[0,1]上的均匀分布, 求的函数=3+1的概率分布. 解: 根据题意知ξ的概率密度φξ(x )为⎩⎨⎧≤≤=其它0101)(x x ξϕ 则η的分布函数为)31(}31{}13{}{)(-=-≤=≤+=≤=x F x P x P x P x F ξηξξη 对其求导得η的概率密度与ξ的概率密度间的关系为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=⎪⎩⎪⎨⎧≤-≤=-=-'='=其它其它041310131031)31(31)31(31)()(x x x x F x F x ϕϕξηη即η服从在区间[1,4]上的均匀分布.37. 已知ξ～⎪⎩⎪⎨⎧>+=其它0)1(2)(2x x x πϕ, ξηln =, 求η的概率密度.解: 求η的分布函数F η(x )为)(}{}{ln }{)(x x e F e P x P x P x F ξηξξη=≤=≤=≤=因e x 总大于0, 而当x 大于0时F ξ(x )为x t t t dt t x F x xxarctg 2arctg 2d )1(2)()(|002πππϕξ==+==⎰⎰∞- 因此有x x e e F x F arctg 2)()(πξη==则η的概率密度为其分布函数的求导:xxee x F x 212)()(+⋅='=πϕηη。
概率论与数理统计课程第二章练习题及解答
概率论与数理统计课程第二章练习题及解答一、判断题（在每题后的括号中 对的打“√”错的打“×” ）1、连续型随机变量X 的概率密度函数)(x f 也一定是连续函数 （×）2、随机变量X 是定义在样本空间S 上的实值单值函数 （√）3、取值是有限个或可列无限多个的随机变量为离散随机变量 （√）4、离散型随机变量X 的分布律就是X 的取值和X 取值的概率 （√）5、随机变量X 的分布函数()F x 表示随机变量X 取值不超过x 的累积概率（√）6、一个随机变量，如果它不是离散型的那一定是连续型的 （×）7、我们将随机变量分成离散型和连续型两类 （×）8、若()()()()P ABC P A P B P C =成立，则,,A B C 相互独立 （×）9、若,,A B C 相互独立，则必有()()()()P ABC P A P B P C = （√） 二、单选题1、设123,,X X X 是随机变量，且22123~(0,1),~(0,2),~(5,3),X N X N X N{22)(1,2,3)i i P P X i =-≤≤=，则（ A ）A ．123P P P >> B. 213P P P >> C. 321P P P >> D. 132P P P >>2、设随机变量~(0,1)X N ，其分布函数为()x Φ，则随机变量min{,0}Y X =的分布函数()F y 为（ D ）A 、1,()(),0y F y y y >⎧=⎨Φ≤⎩ B 、1,()(),0y F y y y ≥⎧=⎨Φ<⎩C 、0,()(),y F y y y ≤⎧=⎨Φ>⎩ D 、0,()(),y F y y y <⎧=⎨Φ≥⎩ 3、设随机变量X 的密度函数为()x ϕ，且()()x x ϕϕ-=，()F x 是X 的分布函数，则对任意实数a ，有（ B ）A 、0()1()aF a x dx ϕ-=-⎰B 、01()()2a F a x dx ϕ-=-⎰C 、()()F a F a -=D 、()2()1F a F a -=-分析 ()()()()a a aF a x dx x tt dt x dx ϕϕϕ-+∞-∞+∞-==--=⎰⎰⎰令1()()()()()2()aa a aax dx x dx x dx x dx x dxFa a x dxϕϕϕϕϕϕ+∞-+∞-∞-∞-==+++=⎰⎰⎰⎰⎰⎰（-）+21()()2a F a x dx ϕ-=-⎰，选B4、设1F x （）与2F x （）分别为随机变量1X 与2X 的分布函数，为使12F x aF x bF x（）=（）-（）是某一随机变量的分布函数，在下列给定的各组数值中应取（ A ）A 、3255a b ==-，B 、2233a b ==，C 、1322a b =-=，D 、1322a b ==-，分析 根据分布函数的性质lim 1x F x →+∞=（），即121lim x F x F aF bF a b →+∞=∞∞∞（）=（+）=（+）-（+）=-在给的四个选项中只有A 满足1a b =-，选A5、设1X 和2X 是任意两个相互独立的连续型随机变量，它们的概率密度分别为1f x （）和2f x （），分布函数分别为1F x（）和2F x （），则（ D ） A 、12f x f x （）+（）必为某一随机变量的概率密度 B 、12f x f x （）（）必为某一随机变量的概率密度C 、12F x F x（）+（）必为某一随机变量的分布密度 D 、12F x F x（）（）必为某一随机变量的分布密度 分析 首先可否定选项A 与C ，因为1212[]21f x f xdx f xdx f xdx +∞+∞+∞-∞-∞-∞=+=≠⎰⎰⎰（）+（）（）（）12F F ∞∞≠（+）+（+）=1+1=21对于选项B ，若112x f x -⎧⎨⎩，〈〈-1（）=0，其它，210x f x ⎧⎨⎩，〈〈1（）=0，其它，则对任何 1212(,),0,01x f x f x f xf x dx +∞-∞∈-∞+∞≡=≠⎰（）（）（）（），也应否定C 。
概率统计(概率论)第二章练习题答案及解析
第二章习题与答案同学们根据自己作答的实际情况，并结合总正误率和单个题目正误统计以及答案解析来总结和分析习题！！！标红表示正确答案标蓝表示解析1、为掌握商品销售情况，对占该地区商品销售额60%的10家大型商场进行调查，这种调查方式属于( )。
A普查B抽样调查【解析：抽取一部分单位进行调查；习惯上将概率抽样（根据随机原则来抽取样本）称为抽样调查】C重点调查【解析：在调查对象中选择一部分重点单位进行调查的一种非全面调查】D统计报表2、人口普查规定标准时间是为了（）。
A确定调查对象和调查单位B避免资料的重复和遗漏。
C使不同时间的资料具有可比性D便于登记资料【解析：规定时间只是为了统计该时间段内的人口数据，没有不同时间数据对比的需要】3、对一批灯泡的使用寿命进行调查，应该采用( )。
A普查 B重点调查 C典型调查D抽样调查4、分布数列反映( )。
A总体单位标志值在各组的分布状况B总体单位在各组的分布状况【解析：课本30页1.分布数列的概念一段最后一句】C总体单位标志值的差异情况D总体单位的差异情况5、与直方图比较，茎叶图( )。
A没有保留原始数据的信息B保留了原始数据的信息【解析：直方图展示了总体数据的主要分布特征，但它掩盖了各组内数据的具体差异。
为了弥补这一局限，对于未分组的原始数据则可以用茎叶图来观察其分布。
课本P38】C更适合描述分类数据D不能很好反映数据的分布特征6、在累计次数分布中，某组的向上累计次数表明( )。
A大于该组上限的次数是多少B大于该组下限的次数是多少C小于该组上限的次数是多少【解析：向上累计是由变量值小的组向变量值大的组累计各组的次数或频率，各组的累计次数表明小于该组上限的次数或百分数共有多少。
课本P33】D小于该组下限的次数是多少7、对某连续变量编制组距数列，第一组上限为500，第二组组中值是750，则第一组组中值为 ( )。
A. 200B. 250C. 500D. 300【解析：组中值=下限+组距/2=上限+组距/2】8、下列图形中最适合描述一组定量数据分布的是( )。
概率论第二章习题解答(全)
概率论第二章习题1考虑为期一年的一张保险单，若投保人在投保一年内意外死亡，则公司赔付20万元，若投保人因其它原因死亡，则公司赔付5万元，若投保人在投保期末自下而上，则公司无需传给任何费用。
若投保人在一年内因意外死亡的概率为0.0002，因其它原因死亡的概率为0.0010，求公司赔付金额的分崣上。
解设赔付金额为X ，则X 是一个随机变量，取值为20万，5万，0，其相应的概率为0.0002；0.0010；0.9988，于是得分布律为X20（万）5万0xp 0.00020.00100.99882.（1）一袋中装有5只球，编号为1,2，3,4，5。
在袋中同时取3只，以X 表示取出的3只球中的最大号码，写出随机变量X 的分布律（2）将一颗骰子抛掷两次，以X 表示两次中得到的小的点数，试求X 的分布律。
解（1）在袋中同时取3个球，最大的号码是3,4，5。
每次取3个球，其总取法：35541021C ⋅==⋅，若最大号码是3，则有取法只有取到球的编号为1,2，3这一种取法。
因而其概率为22335511{3}10C P X C C ====若最大号码为4，则号码为有1,2，4；1，3,4；2，3，4共3种取法，其概率为23335533{4}10C P X C C ====若最大号码为5，则1，2,5；1,3，5；1，4,5；2,3，5；2,4，5；3,4，5共6种取法其概率为25335566{5}10C P X C C ====一般地3521)(C C x X p x -==，其中21-x C 为最大号码是x 的取法种类数，则随机变量X 的分布律为X 345xp 101103610（2）将一颗骰子抛掷两次，以X 表示两次中得到的小的点数，则样本点为S ＝｛（1,1），（1,2），（1,3），…，（6,6）｝，共有36个基本事件，X 的取值为1,2，3,4，5,6，最小点数为1，的共有11种，即（1,1，），（1,2），（2,1）…，（1,6），（6,1），11{1}36P X ==；最小点数为2的共有9种，即（2,2），（2,3），（3,2），…，（3,6），（6,3），9{2}36P X ==；最小点数为3的共有7种，7{3}36P X ==；最小点数为4的共有5种，5{4}36P X ==；最小点数为5的共有3种，3{5}36P X ==；最小点数为6的共有1种，1{6}36P X ==于是其分布律为X 123456kp 11369367365363361363设在15只同类型的产品中有2只次品，在其中取3次，每次任取1只，作不放回抽样，以X 表示取出的次品的次数，（1）求X 的分布律；（2）画出分布律的图形。
概率统计(概率论)第二章练习题答案及解析
第二章习题与答案同学们根据自己作答的实际情况，并结合总正误率和单个题目正误统计以及答案解析来总结和分析习题！！！标红表示正确答案标蓝表示解析1、为掌握商品销售情况，对占该地区商品销售额60%的10家大型商场进行调查，这种调查方式属于( )。
A普查B抽样调查【解析：抽取一部分单位进行调查；习惯上将概率抽样（根据随机原则来抽取样本）称为抽样调查】C重点调查【解析：在调查对象中选择一部分重点单位进行调查的一种非全面调查】D统计报表2、人口普查规定标准时间是为了（）。
A确定调查对象和调查单位B避免资料的重复和遗漏。
C使不同时间的资料具有可比性D便于登记资料【解析：规定时间只是为了统计该时间段内的人口数据，没有不同时间数据对比的需要】3、对一批灯泡的使用寿命进行调查，应该采用( )。
A普查 B重点调查 C典型调查D抽样调查4、分布数列反映( )。
A总体单位标志值在各组的分布状况B总体单位在各组的分布状况【解析：课本30页1.分布数列的概念一段最后一句】C总体单位标志值的差异情况D总体单位的差异情况5、与直方图比较，茎叶图( )。
A没有保留原始数据的信息B保留了原始数据的信息【解析：直方图展示了总体数据的主要分布特征，但它掩盖了各组内数据的具体差异。
为了弥补这一局限，对于未分组的原始数据则可以用茎叶图来观察其分布。
课本P38】C更适合描述分类数据D不能很好反映数据的分布特征6、在累计次数分布中，某组的向上累计次数表明( )。
A大于该组上限的次数是多少B大于该组下限的次数是多少C小于该组上限的次数是多少【解析：向上累计是由变量值小的组向变量值大的组累计各组的次数或频率，各组的累计次数表明小于该组上限的次数或百分数共有多少。
课本P33】D小于该组下限的次数是多少7、对某连续变量编制组距数列，第一组上限为500，第二组组中值是750，则第一组组中值为 ( )。
A. 200B. 250C. 500D. 300【解析：组中值=下限+组距/2=上限+组距/2】8、下列图形中最适合描述一组定量数据分布的是( )。
概率论第二章练习答案
《概率论》第二章 练习答案一、填空题：1．设随机变量X 的密度函数为f(x)=⎩⎨⎧02x其它1〈⨯〈o 则用Y 表示对X 的3次独立重复的观察中事件(X≤21)出现的次数，则P （Y ＝2）＝ 。
2. 设连续型随机变量的概率密度函数为： ax+b 0<x<1f (x) =0 其他且EX ＝31，则a = _____-2___________， b = _____2___________。
3. 已知随机变量X 在[ 10，22 ] 上服从均匀分布，则EX= 16 ， DX= 124. 设=+==）（，则，为随机变量，1041132ξξξξE E E 22104=+ξE 5. 已知X 的密度为=)(x ϕ 0b ax + 且其他,10<<x P （31<x ）=P(X>31) ， 则a = ,b =⎰⎰⎰+=+⇒==+∞∞-10133131311dx b ax dx b ax x P x P dx x ）（）（）〉（）〈（）（ϕ联立解得：6．若f(x)为连续型随机变量X 的分布密度，则⎰+∞∞-=dx x f )(＿＿1＿＿＿＿。
7. 设连续型随机变量ξ的分布函数⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<=2,110,4/0,0)(2x x x x x F ，则P （ξ=0.8）= 0 ；)62.0(<<ξP = 0.99 。
8. 某型号电子管，其寿命（以小时记）为一随机变量，概率密度)(x ϕ＝()⎪⎩⎪⎨⎧≥)(01001002其他x x ，某一个电子设备内配有3个这样的电子管，则电子管使用150小时都不需要更换的概率为＿＿＿8/27＿＿＿＿＿。
2100xx≥100 ∴ ϕ(x)=0 其它 P （ξ≥150）=1－F(150)=1－⎰⎰=-+=+=150100150100232132********x dx x [P(ξ≥150)]3=(32)3=2789. 设随机变量X 服从B （n, p ）分布，已知EX ＝1.6，DX ＝1.28，则参数n ＝___________，P ＝_________________。
最新概率论与数理统计第2章随机变量习题库及答案-精品课件
一个量只要它是许多微小的、独立的随机因素作用的总和 或结果，而各种因素在正常情况下都不起压倒一切其他因 素的主导作用，一般都认为服从正态分布。
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第2章 随机变量及其分布
正态变量的线性不变性
定理 设 X ~N (, 2)，则当a 0 时， Y = aX+b ~ N (a +b, a22).
第2章 随机变量及其分布
指数分布
第18页
设连续型随机变 X 的 量概率密度为
f
(x)
1 θ
ex
θ
,
x 0,
0,
x 0.
其中θ 0为常数,则称X 服从参数为的指数
分布.
分布函数
1exθ, x0,
F(x)
0,
x0.
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第2章 随机变量及其分布
正态分布(或高斯分布)
第19页
(1)定 义 设连续型随X机 的变 概量 率密度为 f(x) 1 e(x2σμ2)2, x, 2πσ
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第2章 随机变量及其分布
第24页
随机变量的函数的分布
(1)离散型随机变量的函数的分布
如X 果 是离散型 ,其 随函 Y 机 数 g(变 X) 量
也是离散.若 型 X的 随分 机布 变律 量为
X x 1 x 2 x k
pk
p 1 p 2 p k
则Yg(X)的分布律为
Yg(X) g ( x 1 )g ( x 2 ) g ( x k )
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第2章 随机变量及其分布
第29页
它们的联系:
对离散型随机变量 X，当知道了 X 的分布律，可通 过求概率 P (X ≤ x)（x 取任意的值）求得 X 的分布函 数 F(x)；反之也一样。
《概率论与数理统计》习题及答案 第二章
《概率论与数理统计》习题及答案第 二 章1．假设一批产品中一、二、三等品各占60%，30%，10%，从中任取一件，发现它不是三等品，求它是一等品的概率.解 设i A =‘任取一件是i 等品’ 1,2,3i =，所求概率为13133()(|)()P A A P A A P A =，因为 312A A A =+所以 312()()()0.60.30.9P A P A P A =+=+=131()()0.6P A A P A ==故1362(|)93P A A ==. 2．设10件产品中有4件不合格品，从中任取两件，已知所取两件中有一件是不合格品，求另一件也是不合格品的概率.解 设A =‘所取两件中有一件是不合格品’i B =‘所取两件中恰有i 件不合格’ 1, 2.i = 则12A B B =+11246412221010()()()C C C P A P B P B C C =+=+， 所求概率为2242112464()1(|)()5P B C P B A P A C C C ===+. 3．袋中有5只白球6只黑球，从袋中一次取出3个球，发现都是同一颜色，求这颜色是黑色的概率.解 设A =‘发现是同一颜色’，B =‘全是白色’，C =‘全是黑色’，则 A B C =+， 所求概率为336113333611511/()()2(|)()()//3C C P AC P C P C A P A P B C C C C C ====++ 4．从52张朴克牌中任意抽取5张，求在至少有3张黑桃的条件下，5张都是黑桃的概率.解 设A =‘至少有3张黑桃’，i B =‘5张中恰有i 张黑桃’，3,4,5i =， 则345A B B B =++， 所求概率为555345()()(|)()()P AB P B P B A P A P B B B ==++51332415133********1686C C C C C C ==++. 5．设()0.5,()0.6,(|)0.8P A P B P B A ===求()P A B 与()P B A -.解 ()()()() 1.1()(|) 1.10P AB P A P B P A B P A P B A =+-=-=-= ()()()0.60.40.2P B A P B P AB -=-=-=.6．甲袋中有3个白球2个黑球，乙袋中有4个白球4个黑球，今从甲袋中任取2球放入乙袋，再从乙袋中任取一球，求该球是白球的概率。
概率论第二章练习答案
概率论第二章练习答案 WTD standardization office【WTD 5AB- WTDK 08- WTD 2C】《概率论》第二章练习答案一、填空题：1．设随机变量X 的密度函数为f(x)=⎩⎨⎧02x 其它1〈⨯〈o 则用Y 表示对X 的3次独立重复的观察中事件(X≤21)出现的次数，则P （Y ＝2）＝ 。
2. 设连续型随机变量的概率密度函数为： ax+b 0<x<1f (x) =0 其他且EX ＝31，则a = _____-2___________， b = _____2___________。
3. 已知随机变量X 在[ 10，22 ] 上服从均匀分布，则EX= 16 ， DX= 124. 设=+==）（，则，为随机变量，1041132ξξξξE E E 22104=+ξE 5. 已知X 的密度为=)(x ϕb ax + 且其他,10<<x P （31<x ）=P(X>31) ， 则a = , b =⎰⎰⎰+=+⇒==+∞∞-10133131311dx b ax dx b ax x P x P dx x ）（）（）〉（）〈（）（ϕ联立解得：6．若f(x)为连续型随机变量X 的分布密度，则⎰+∞∞-=dx x f )(＿＿1＿＿＿＿。
7. 设连续型随机变量ξ的分布函数⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<=2,110,4/0,0)(2x x x x x F ，则P （ξ=）= 0 ；)62.0(<<ξP = 。
8. 某型号电子管，其寿命（以小时记）为一随机变量，概率密度)(x ϕ＝()⎪⎩⎪⎨⎧≥)(01001002其他x x ，某一个电子设备内配有3个这样的电子管，则电子管使用150小时都不需要更换的概率为＿＿＿8/27＿＿＿＿＿。
2100xx≥100 ∴ ϕ(x)= 0 其它P （ξ≥150）=1－F(150)=1－⎰⎰=-+=+=150100150100232132********x dx x [P(ξ≥150)]3=(32)3=2789. 设随机变量X 服从B （n, p ）分布，已知EX ＝，DX ＝，则参数n ＝___________，P ＝_________________。
概率论与数理统计第二章自测题答案与提示
为了更好地备考，我将关注以下几个方向：深入理解概率论的基本概念和性质；掌握条件概率的计算 方法；熟悉常用随机变量的期望和方差的计算公式；提高解决实际问题的能力。同时，我也会注重培 养自己的逻辑思维和分析能力，以便更好地应对各种考试挑战。
THANKS
感谢观看
通过具体例题，解析如何运用概 率的基本性质和计算方法，解决 复杂的概率计算问题。
随机变量分布题
通过具体例题，解析如何运用随 机变量的性质和分布函数，解决 随机变量分布的问题。
随机变量变换题
通过具体例题，解析如何运用随 机变量的变换方法，解决随机变 量变换的问题。
04
自测题答案总结与反思
答案总结
要点一
填空题答案及解析
填空题1答案：0.6
01
输标02入题
解析：此题考查概率的计算，根据概率的基本性质， 互斥事件的概率和为1，因此$P(A) + P(B) = 1$，解 得$P(A) = 0.6$。
03
解析：此题考查随机变量的期望和方差的计算，根据 期望和方差的定义，随机变量X的期望$E(X) = sum x_i p_i$，方差$D(X) = sum (x_i - E(X))^2 p_i$。
概率论与数理统计第二章 自测题答案与提示
• 自测题答案 • 题目解析与提示 • 重点与难点解析 • 自测题答案总结与反思
01
自测题答案
选择题答案及解析
选择题1答案：B 选择题2答案：C 选择题3答案：D
解析：此题考查概率的基本性质，事件A和B的并集概 率等于它们概率之和减去它们的交集概率，即$P(A cup B) = P(A) + P(B) - P(A cap B)$。
建议
为了提高自己的理解和应用能力，我建议在未来的学习中更加注重基础知识的掌握，多做一些练习题来加深对概 念的理解。同时，我也应该学会如何将理论知识应用于实际问题中，提高自己的分析和解决问题的能力。
概率论第二章测验及其解答
1、分析下列函数是否是分布函数.若是分布函数，判断是哪类随机变量的分布函数. （共5分、每问2+3分）（1）⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤--<=.0,1,02,21,2,0)(x x x x F （2）⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<=.,1,0,sin ,0,0)(ππx x x x x F 分析：可根据分布函数的定义及性质进行判断.解：（1）)(x F 在）（+∞∞-,上单调不减且右连续.同时， 1)(lim ,0)(lim ==+∞→-∞→x F x F x x .故)(x F 是随机变量的分布函数.有)(x F 的图形可知是阶梯形曲线，故)(x F 是离散型随机变量的分布函数；（2）由于)(x F 在],2[ππ上单调下降，故)(x F 不是随机变量的分布函数.但只要将)(x F 中的π改为2π，)(x F 就满足单调不减右连续，且1)(lim ,0)(lim ==+∞→-∞→x F x F x x ，这时)(x F 就是随机变量的分布函数.由)(x F 可求得⎪⎩⎪⎨⎧≤<='=.20,cos ,0)()(πx x x F x f 其它，显然，)(x F 是连续型随机变量的分布函数；2、一电话交换台每分钟接到的呼叫次数服从参数为4的泊松分布，求（1）每分钟恰有8次呼叫的概率；（2）每分钟的呼叫次数大于10的概率。
（共10分、每问5分） 解 设X 为每分钟接到的呼叫次数，则~(4)X P（1）844(8)0.029778!P X e -===（2）4114(10)0.002764.!k k P X e k ∞-=>==∑3、设随机变量~[2,5]X U ，现对X 进行3次独立观测，试求至少有两次观测值大于3的概率. （共5分）解 设Y 为三次观测中，观测值大于3的观测次数，则~(3,)Y B p ，其中532(3)523p P X -=>==-， 所求概率为232321220(2)(2)(3)33327P Y P Y P Y C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫≥==+==+=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 4、设随机变量X 的密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧<-= 其它,01,1)(2x x cx f ，试求：（1）常数c ；（2）}210{≤≤X P ；（3）X 的分布函数. （共20分、每问5+5+10分）分析：由密度函数的性质1)(=⎰+∞∞-dx x f 可求得常数c ；对密度函数在]21,0[上积分，即得}210{≤≤X P ；根据连续型随机变量分布函数的定义可求X 的分布函数.解：（1）由πc x c dx xc dx x f =⋅=-==+-+-+∞∞-⎰⎰11112|arcsin 1)(1得：π1=c ； （2）61|arcsin 1111}210{2121020==-=≤≤⎰x dx x X P ππ；（3）当1-≤x 时，}{x X ≤是不可能事件，所以0}{)(=≤=x X P x F ；当1<x 时，21arcsin 1|arcsin 1111)()(121+==-==--∞-⎰⎰x x dx x dx x f x F xxxπππ； 当1≥x 时，1111)()(211=-==⎰⎰-∞-dx x dx x f x F x π；所以，X 的分布函数为： ⎪⎩⎪⎨⎧≥<+-≤=1,11,21arcsin 11,0)(x x x x x F π. 5、设随机变量2~(108,3)X N 。
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课堂测试
1,据信有20%的美国人没有任何健康保险，现任意抽查15个美国人，以X 表示15个人中无任何健康保险的人数（设各人是否有健康保险相互独立）。
问X 服从什么分布？写出分布律。
并求下列情况下无任何健康保险的概率：（1）恰有3人；（2）至少有2人；（3）不少于1人且不多于3人；
解：根据题意，随机变量X 服从二项分布B(15, 0.2)，分布律为
1515()0.20.8,0,1,2,15k k k P X k C k -==⨯⨯=L 。
（1）331215(3)0.20.80.2501,P X C ==⨯⨯=
（2）(2)1(1)(0)0.8329P X P X P X ≥=-=-==；
（3）(13)(1)(2)(3)0.6129P X P X P X P X ≤≤==+=+==； 2，某商店出售某种商品。
根据经验，此商品的月销售量X 服从3=λ的泊松分布。
问在月初进货时要库存多少件此种商品，才能以99%的概率满足顾客要求？
解：设月初库存M 件，依题意
33(),(0,1,2,...)!
k
P X k e k k -=== 那么
303()0.99!k
M
k P X M e k -=≤=≥∑ 即
查表，可知M 最小应是8，即月初进货时要库存8件此种商品，才能以99%的概率满足顾客要求。
3，一本500页的书，共500错字，每个字等可能的出现在每一页上，求在给定的某一页上最多两个错字的概率。
解：设X 表示在给定的某一页上出现的错字的个数，则1~(500,)500X B ，因为n 很大，1np =，所以可以用泊松分布近似计算，依题意
12
1111015(2)0.92!22k e P X e e e e k -----=≤≈=++=≈∑ 4，设~(1.5,4)X N ，求
（1）( 3.5)P X ≤； （2）(4)P X ≤-；（3）(|
|3)P X ≤.
解： （1）)5.3(≤X P =8413.0)1()2
5.15.3()5.3(=Φ=-Φ=F . （2）
)
4(-≤X P 4013.05987.01)75.2(1)75.2()2
5.14(=-=Φ-=-Φ=--Φ=（3）)3|(|≤X P =)3()3(}33{--=≤≤-F F X P =)25.2()75.0()2
5.13()25.13(-Φ-Φ=--Φ--Φ= 7612.0)9878.01(7734.0)]25.2(1[)75.0(=--=Φ--Φ5，设随机变量Y 的概率密度为
0.210()0.2010y f y Cy y -<≤⎧⎪=+<≤⎨⎪⎩
其他
试确定常数C ，求分布函数()F y ，并求{00.5}P Y ≤≤
（1）根据01
101()0.2(0.2)0.42
C f y dy dy Cy dy +∞-∞-=
=++=+⎰⎰⎰，得到2.1=C 。
101
00
11
0010.210()()0.2(0.2 1.2)010.2(0.2 1.2)1y y
y y dy y F y f y dy dy y dy y dy y dy y --∞--⎧<-⎪⎪⎪-≤<⎪⎪=
=⎨++⎪≤<⎪⎪++⎪≥⎪⎩⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 2010.2(1)100.60.20.201
11y y y y y y y <-⎧⎪+-≤<⎪=⎨++≤<⎪⎪≥⎩
{00.5}{0.5}{0}(0.5)(0)0.450.20.25P Y P Y P Y F F ≤≤=≤-≤=-=-=；
6，一教授当下课铃打响时，他还不结束讲解。
他常结束他的讲解在铃响后的一分钟以内，以X 表示铃响至结束讲解的时间。
设X 的概率
密度为201()0
x kx f x ≤≤⎧=⎨⎩其他， （1）确定k ；（2）求1{}3
P X ≤；（3）求11{}42
P X ≤≤； 解：（1）根据1201()3k f x dx kx dx +∞-∞=
==⎰⎰，得到3k =； （2）31/320111{}33327P X x dx ⎛⎫≤=== ⎪⎝⎭
⎰； （3）331/221/411117{}3422464P X x dx ⎛⎫⎛⎫≤≤==-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
⎰.。