概率论与数理统计期末考试题及答案

模拟试题一

一、 填空题（每空3分，共45分）

1、已知P(A) = 0.92, P(B) = 0.93, P(B|A ) = 0.85, 则P(A|B ) = 。 P( A ∪B) = 。

3、一间宿舍内住有6个同学，求他们之中恰好有4个人的生日在同一个月份的概率： ；没有任何人的生日在同一个月份的概率 ；

4、已知随机变量X 的密度函数为：,0

()1/4,

020,2

x Ae x x x x ϕ⎧<⎪

=≤<⎨⎪≥⎩

, 则常数A= , 分布函数F (x )= , 概率{0.51}P X -<<= ； 5、设随机变量X~ B(2，p)、Y~ B(1，p)，若{1}5/9P X ≥=，则p = ，若X 与Y 独立，则Z=max(X,Y)的分布律： ； 6、设~(200,0.01),~(4),X B Y P 且X 与Y 相互独立，则D(2X-3Y)= , COV(2X-3Y , X)= ；

7、设125,,,X X X L 是总体~(0,1)X N 的简单随机样本，则当k = 时，

~(3)Y t =

；

8、设总体~(0,)0X U θθ>为未知参数，12,,,n X X X L 为其样本，1

1n

i i X X n ==∑为

样本均值，则θ的矩估计量为： 。

9、设样本129,,,X X X L 来自正态总体(,1.44)N a ，计算得样本观察值10x =，求参数a 的置信度为95%的置信区间： ；

二、 计算题（35分）

1、 (12分)设连续型随机变量X 的密度函数为：

1,

02()2

0,

x x x ϕ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其它

求：1）{|21|2}P X -<；2）2

Y X =的密度函数()Y y ϕ；3）(21)E X -； 2、(12分)设随机变量(X,Y)的密度函数为

1/4,||,02,(,)0,

y x x x y ϕ<<<⎧=⎨

⎩其他

1） 求边缘密度函数(),()X Y x y ϕϕ； 2） 问X 与Y 是否独立？是否相关？ 3） 计算Z = X + Y 的密度函数()Z z ϕ；

3、（11分）设总体X 的概率密度函数为：

1,

0(),000

x

e x x x θϕθθ

-⎧≥⎪=>⎨⎪<⎩

X 1,X 2,…,X n 是取自总体X 的简单随机样本。

1）求参数θ的极大似然估计量ˆθ

； 2）验证估计量ˆθ

是否是参数θ的无偏估计量。 2．（10分）环境保护条例，在排放的工业废水中，某有害物质不得超过0.5‰，假定有害物质含量X 服从正态分布。现在取5份水样，测定该有害物质含量，得如下数据：

0.530‰，0.542‰，0.510‰，0.495‰，0.515‰ 能否据此抽样结果说明有害物质含量超过了规定(0.05α=)？ 附表：

0.9750.950.9750.950.9750.951.96 1.65,4 2.776,4 2.132, 2.571,4 2.015,()()(5)()t t t t u u ======

答 案（模拟试题一）

三、 填空题（每空3分，共45分）

1、0.8286 ， 0.988 ；

2、 2/3 ；

3、1421266

1112

C C ⨯，61266!12C ； 4、 1/2, F (x )= 1,

021,0224

1,

2x

e x x

x x ⎧≤⎪⎪

⎪+<≤⎨⎪>⎪⎪⎩

， {0.51}P X -<<= 0.53142e --；

5、p = 1/3 ， Z=max(X,Y)的分布律： Z 0 1 2

P 8/27 16/27 3/27；

6、D(2X-3Y)= 43.92 , COV(2X-3Y, X)= 3.96 ；

7、当k

~(3)Y t =；

8、θ的矩估计量为：2X 。 9、 [9.216，10.784]

；

四、 计算题（

35分）

1、解 1） 9{|21|2}{0.5 1.5}16

P X P X -<=-<<=

2）

(0()0,01,0440,

X X Y y y y y ϕϕϕ+>=≤⎩

⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其它

3）45

(21)212133

E X EX -=-=⨯

-=

2、解：1）1,

02,

02()(,)420,0,

x X x

x

dy x x x x y dy ϕϕ+∞

--∞⎧⎧<<<<⎪⎪===⎨⎨⎪⎪⎩⎩

⎰⎰其它

其它

2||11

,

||2

(2||),

||24

()(,)40,

0,

y Y dx y y y y x y dx ϕϕ+∞

-∞⎧⎧<-<⎪⎪===⎨⎨⎪

⎪⎩⎩⎰⎰其它其它 2）显然，(,)()()X Y x y x y ϕϕϕ≠，所以X 与Y 不独立。

又因为EY=0，EXY=0，所以，COV(X,Y)=0，因此X 与Y 不相关。

3）

22()(,)1

1,04,

044280,0,Z z z x z x dx

z

dx z z ϕϕ+∞

-∞

=-⎧⎧<<-<<⎪⎪==⎨⎨⎪⎪⎩

⎩

⎰⎰其它

其它 3、解1）1

121

1

1

(,,,,)n

i

i

i x x n

n n

i L x x x e

e

θ

θ

θθθ

=-

-=∑=

=

∏L

12ln (,,,,)ln n nx

L x x x n θθθ

=--L

令

2ln 0d L n nx

d θθθ

=-+= 解出：ˆX θ

= 2）ˆE EX EX θ

θ===Q ˆθ

θ∴是的无偏估计量。 2． 解：0:0.5H a ≤（‰），1:0.5H a >

拒绝域为：00.95(4)}x t χ=> 计算0.5184,0.018x s ==

0.952.2857(4)x t t =

=>， 所以，拒绝0H ，说明有害物质含量超过了规定。