广东省2019年普通高等学校招生全国统一考试模拟试卷(二)文科数学(WORD版)

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2019年普通高等学校招生全国统一考试
广东省文科数学模拟试卷(二)
注意事项:
1.答题前,考生须认真核对条形码上的姓名、考生号、考场号和座位号,并将其贴在指定位置,然后用0.5毫米黑色字迹签字笔将自己所在的县(市、区)、学校以及自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡和试卷的指定位置,并用2B铅笔在答题卡的“考生号”处填涂考生号.
2.回答选择题时,选出每小题答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.回答非选择题时,用0.5毫米黑色字迹签字笔将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效.
3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.设i为虚数单位,则复数z=i(2-i)的共轭复数=
A.-1+2i
B.-1-2i
C.1+2i
D. 1-2i
2.已知集合A={x|-1<x<6},集合B={x|x2<4},则A∩(∁R B)=
A.{x|-1<x<2}
B.{x|-1<x≤2}
C.{x|2≤x<6}
D.{x|2<x<6}
3.在样本的频率分布直方图中,共有9个小长方形,若中间一个长方形的面积等于其他8个小长方形面积的和的,且样本容量为200,则中间一组的频数为
A.0.2
B.0.25
C.40
D.50
4.设向量a与向量b垂直,且a=(2,k),b=(6,4),则下列向量与向量a+b共线的是
A.(1,8)
B.(-16,-2)
C.(1,-8)
D.(-16,2)
5.设S n为等差数列的前n项和,若公差d=1,S9-S4=10,则S17=
A.34
B.36
C.68
D.72
6.某几何体的三视图如下图所示,三个视图都是半径相等的扇形,若该几何体的表面积为,则其体积为
7.阿基米德(公元前287年—公元前212年)不仅是著名的物理学家,也是著名的数学家,他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆C的对称轴为坐
标轴,焦点在y轴上,且椭圆C的离心率为,面积为12π,则椭圆C的方程为
8.函数f(x)在(-∞,+∞)单调递增,且为奇函数.已知f(1)=2,f(2)=3,则满足-3<f(x-3)<2的x的取值范围是
A.(1,4)
B.(0,5)
C.(1,5)
D.(0,4)
9.某轮胎公司的质检部要对一批轮胎的宽度(单位: mm)进行质检,若从这批轮胎中随机选取3个,至少有2个轮胎的宽度在195±3内,则称这批轮胎基本合格.已知这批轮胎的宽度分别为
195,196,190,194,200,则这批轮胎基本合格的概率为
10.函数f(x)=2sin(ω≠0)的部分图象不可能为
11.若函数f(x)=x3-k e x在(0,+∞)上单调递减,则k的取值范围为
12.已知直线x=2a与双曲线C:(a>0,b>0)的一条渐近线交于点P,双曲线C的左、右焦
点分别为F1 ,F2,且cos∠PF2F1=-,则双曲线C的离心率为
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在答题卡中的横线上.
13.若函数f(x)=log2(x+a)的零点为-2,则a=▲.
14.若x,y满足约束条件则的最大值为▲.
15.在四棱锥P-ABCD中,PA与矩形ABCD所在平面垂直,AB=3,AD=,PA=,则直线PC与平面PAD所成角的正切值为▲.
16.在数列中,a n+1=2(a n-n+3),a1=-1,若数列为等比数列,其中p,q为常数,则a p+q=▲.
三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每道试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.
(一)必考题:共60分.
17.(12分)
在△ABC中,AC=3,C=120°.
(1)若AB=7,求BC边的长;
(2)若cos A=sin B,求△ABC的面积.
18.(12分)
《最强大脑》是江苏卫视推出的大型科学竞技真人秀节目.节目筹备组透露挑选选手的方式:不但要对选手的空间感知、照相式记忆能力进行考核,而且要让选手经过名校最权威的脑力测试,120分以上才有机会入围.某重点高校准备调查脑力测试成绩是否与性别有关,在该高校随机抽取男、女学生各100名,然后对这200名学生进行脑力测试.规定:分数不小于120分为“入围学生”, 分数小于120分为“未入围学生”.已知男生入围24人,女生未入围80人.
(1)根据题意,填写下面的2×2列联表,并根据列联表判断是否有90%以上的把握认为脑力测试后是否为“入围学生”与性别有关.
(2)用分层抽样的方法从“入围学生”中随机抽取11名学生.
(ⅰ)求这11名学生中女生的人数;
(ⅱ)若抽取的女生的脑力测试分数各不相同(每个人的分数都是整数),求这11名学生中女生测试分数的平均分的最小值.
附:K2=,其中n=a+b+c+d.
19.(12分)
如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥底面A1B1C1,AC⊥AB,AC=AB=4,AA1=6,点E,F分别为CA1与AB的中点.
(1)证明:EF∥平面BCC1B1.
(2)求三棱锥B1-AEF的体积.
20.(12分)
在平面直角坐标系xOy中,直线y=kx+1与抛物线C:x2=4y交于A,B两点.
(1)证明:△AOB为钝角三角形.
(2)若直线l与直线AB平行,直线l与抛物线C相切,切点为P,且△PAB的面积为16,求直线l的方程.
21.(12分)
已知函数f(x)=x2-(a+1)x+a ln x.
(1)当a=-4时,求f(x)的单调区间;
(2)已知a∈(1,2],b∈R,函数g(x)=x3+bx2-(2b+4)x+ln x.若f(x)的极小值点与g(x)的极小值点相等,证明:g(x)的极大值不大于.
(二)选考题:共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.
22.[选修4-4:坐标系与参数方程](10分)
在平面直角坐标系xOy中,以坐标原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线C的极坐标方程为ρ2-4ρcos θ-6ρsin θ+12=0.
(1)求曲线C的直角坐标方程;
(2)过曲线C上一动点P分别作极轴、直线ρcos θ=-1的垂线,垂足分别为M,N,求|PM|+|PN|的最大值.
23.[选修4-5:不等式选讲](10分)
设函数f(x)=+-k.
(1)当k=4时,求不等式f(x)<0的解集;
(2)若不等式f(x)≥对x∈R恒成立,求k的取值范围.
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广东省文科数学模拟试卷(二)
参考答案及评分标准
评分标准:
1.本解答给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则.
2.对计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度,可视影响的程度决定后继部分的给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分.
3.解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数.
4.只给整数分数,选择题不给中间分.
1.D
2.C
3.D
4.B
5.C
6.A
7.A
8.A
9.C10.B11.C12.B
13.314.15.16.40
17.解:(1)由余弦定理得AB2=BC2+AC2-2BC×AC×cos C, 1分
代入数据整理得BC2+3BC-40=0, 3分
解得BC=5(BC=-8舍去).5分
(2)由cos A=sin B及C=120°,
得cos(60°-B)=sin B, 6分
展开得cos B+sin B-sin B=0, 7分
即sin B=cos B,tan B==, 8分
所以B=30°.9分
从而A=60°-B=30°,即A=B=30°,
所以BC=AC=3.10分
故△ABC的面积为×3×3×sin 120°=.12分
评分细则:
第(1)问中,只要由余弦定理得到BC=5,就给5分;
第(2)问中,cos(60°-B)=sin B是关键,得到B=30°或A=30°,就给3分.
18.解:(1)填写列联表如下:
4分
因为K2的观测值k==<2.706, 6分
所以没有90%以上的把握认为脑力测试后是否为“入围学生”与性别有关.7分
(2)(ⅰ)这11名学生中,被抽到的女生人数为20×=5.9分
(ⅱ)因为入围的分数不低于120分,且每个女生的测试分数各不相同,每个人的分数都是整数,
所以这11名学生中女生的平均分的最小值为=122.12分评分细则:
第(1)问计算得到K2的观测值k=即可得1分.
19.(1)证明:如图,连接BC1.1分
在三棱柱ABC-A1B1C1中,E为AC1的中点.2分
又因为F为AB的中点,
所以EF∥BC1.3分
又EF⊄平面BCC1B1,BC1⊂平面BCC1B1,
所以EF∥平面BCC1B1.5分
(2)解:因为AC⊥AB,AA1⊥AC,AA1∩AB=A,所以AC⊥平面ABB1A1, 7分
又AC=4,E为A1C的中点,所以E到平面ABB1A1的距离为×4=2.9分
因为△AB1F的面积为×2×6=6, 10分
所以==×2×6=4.12分
评分细则:
第(1)问中,先证面面平行,再证线面平行,也是常见的方法,阅卷时应同样给分.
20.(1)证明:设A(x1,y1),B(x2,y2),联立得x2-4kx-4=0, 1分
则x1x2=-4, 2分
所以y1y2==1, 3分
从而·=x1x2+y1y2=-3<0, 4分
则∠AOB为钝角,故△AOB为钝角三角形.5分
(2)解:由(1)知,x1+x2=4k,y1+y2=k(x1+x2)+2=4k2+2, 6分
则|AB|=y1+y2+p=4k2+4.7分
由x2=4y,得y=,y'=,设P(x0,y0),则x0=k,x0=2k,y0=k2,
则点P到直线y=kx+1的距离d=.9分
从而△PAB的面积S=d|AB|=2(k2+1)=16, 10分
解得k=±, 11分
故直线l的方程为y=±x-3.12分
评分细则:
第(1)问中,得到x1x2,y1y2的值分别给1分;若只是得到其中一个,且得到·=-3<0 ,可以共给3分.
21.(1)解:当a=-4时,f(x)=x2+3x-4ln x,定义域为(0,+∞).1分
f'(x)=x+3-==.2分
当x>1时,f'(x)>0,f(x)单调递增,则f(x)的单调递增区间为(1,+∞); 3分
当0<x<1时,f'(x)<0,f(x)单调递减, 则f(x)的单调递减区间为(0,1).4分
(2)证明:f'(x)==, 5分
g'(x)=3x2+2bx-(2b+4)+=.6分
令p(x)=3x2+(2b+3)x-1.
因为a∈(1,2],所以f(x)的极小值点为a,则g(x)的极小值点为a, 8分
所以p(a)=0,即3a2+(2b+3)a-1=0,即b=, 9分
此时g(x)的极大值为g(1)=1+b-(2b+4)=-3-b=-3-=a--.10分
因为a∈(1,2],所以a--≤×2--=.11分
故g(x)的极大值不大于.12分
评分细则:
第(1)问中,计算导数时未因式分解不扣分;
第(2)问中,计算g(x)的导数时未因式分解扣1分.
22.解:(1)由ρ2-4ρcos θ-6ρsin θ+12=0,得x2+y2-4x-6y+12=0, 3分
即(x-2)2+(y-3)2=1,此即为曲线C的直角坐标方程.4分
(2)由(1)可设P的坐标为(2+cos α,3+sin α),0≤α<2π,6分
则|PM|=3+sin α, 7分
又直线ρcos θ=-1的直角坐标方程为x=-1,
所以|PN|=2+cos α+1=3+cos α.8分
所以|PM|+|PN|=6+sin, 9分
故当α=时,|PM|+|PN|取得最大值,且最大值为6+.10分
评分细则:
第(2)问中,亦可设P的坐标为(2+sin α,3+cos α),|PM|=3+cos α,|PN|=3+sin α,各给1分.
23.解:(1)由f(x)<0,得+<4.1分
当x<-1时,-x-1+2-x<4,解得-<x<-1; 2分
当-1≤x≤2时,x+1+2-x=3<4恒成立,则-1≤x≤2;3分
当x>2时,x+1+x-2<4,解得2<x<.4分
故f(x)<0的解集为.5分
(2)因为f(x)=+-k≥|x+1+2-x|-k=3-k, 6分
所以f(x)的最小值为3-k.7分
因为不等式f(x)≥对x∈R恒成立,所以3-k≥, k+3≥0，
所以9分
解得-3≤k≤1,则k的取值范围为[-3,1].10分
评分细则:
第(1)问中,先将f(x)化为三段的分段函数,得3分,再得出不等式的解集,得2分;
第(2)问中,未写3-k≥0,扣1分.。