高中数学2.3幂函数、函数图象变换讲义新人教A版必修1
高中数学 2.3.1幂函数的图像、性质及应用课件 新人教A版必修1
点评：比较两个幂的大小的关键是搞清楚底数与指数是否相同，若
底数相同，利用指数函数的性质比较大小；若指数相同，利用幂函
栏 目
链
数的性质比较大小；若底数指数均不同，考虑利用中间值来比较大 接
小．
►跟踪训练
2．比较下列各组数的大小：
11 (1)1.53，1.73，1；
(2)－
22－32，－17023，1.1－43；
例1
函数f(x)＝(m2－m－1)xm2＋m－3是幂函数，且当
x∈(0，＋∞)时，f(x)是增函数，求f(x)的解析式．
解析：根据幂函数定义得
m2－m－1＝1，解得m＝2或m＝－1，
栏
当m＝2时，f(x)＝x3在(0，＋∞)上是增函数，
目 链
当m＝－1时，f(x)＝x－3在(0，＋∞)上是减函数，不合要求，故接
解析：∵f(x)为幂函数，∴2m2＋m＝1，得m＝21或m＝－1.
栏
当m＝12时，f(x)＝x－41＝
1 4
，
目 链 接
x
定义域为x＞0，显然不具有奇偶性；
当m＝－1时，f(x)＝x－1＝x1是奇函数．
答案：－1
题型2 利用你幂函数的性质比较大小
例2 比较下列各组中两个数的大小：
6
6
(1)0.611与0.711；
f(x)＝x3.
点评：幂函数y＝xα(α∈R)其中α为常数，其本质特征是以幂的
底x为自变量，指数α为常数(也可以为0)．这是判断一个函数是否为
幂函数的重要依据和唯一标准．对例1来说，还要根据单调性验
根，以免增根．
►跟踪训练
1．已知函数f(x)＝(2m2＋m)xm2＋m－1为幂函数且是奇函数，
【精品】高中数学人教A版必修一课件：2.3 幂函数
新知探求
课堂探究
新知探求·素养养成
【情境导学】 导入 请用描点法在同一平面直角坐标系中画出初中已熟知的函数y=x, y=x2,y= 1x 的图象,并观察它们的共同特点. 答案:这些函数都是以幂的底数为自变量,指数为常数,它们的图象都过点 (1,1).这类函数称之为幂函数.
知识探究
1.幂函数的概念 一般地,函数 y=xα
(2)(2017· 江西高一月考)若四个幂函数y=xa,y=xb,y=xc,y=xd在同一坐标系
中的图象如图,则a,b,c,d的大小关系是(
(A)d >c>b>a (B)a>b>c>d
)
(C)d >c>a>b
1 2
y=x-1 {x|x≠0} {y|y≠0} 奇 x∈(0,+∞) 时,减 函数 x∈(-∞,0) 时,减函数
[0,+∞) [0,+∞) 非奇非偶
增 函数
增 函数
【拓展延伸】 函数y=xn(n= q ,p,q∈Z,|p|与|q|互质)的图象
p
n=
q ,|p|与|q|互质 p
n<0
0<n<1
n>1
方法技巧 幂函数解析式的结构特征:(1)解析式是单项式;(2)幂指数为常
数,底数为自变量,系数为1.
即时训练 1-1:已知 y=(m2+2m-2) x m
2
1
+2n-3 是定义域为 R 的幂函数,求 m,n 的值.
m 2 2m 2 1, m 3, 2 解:由题意得 m 1 0, 解得 3 n . 2n 3 0, 2
2
1 m 1
数学：2.3.1《幂函数》课件(新人教A必修1)
(1) 底数为自变量x，系数为1； (2) 指数为常数； (3) 均是以自变量为底的幂.
y xa
幂函数
y=x-1 y=x
二.新课讲授 1.定义：
一般地，函数 其中x为自变量，
y x 叫做幂函数a (power function) ，
为常数。
a
问题3： 你能说出幂函数与指数函数的区别吗?
练1. 判断下列函数是否为幂函数
定义域 值域 奇偶性
单调性
R
R
R
R
[0,+∞） R
奇
偶
奇
增
[0,+∞)增
增
(-∞,0]减
{x|x≥0} {x|x≠0} [0,+∞） {y|y≠0}
非奇非偶
奇
(0,+∞)减
增 (-∞,0)减
公共点 （1，1） （1，1） （1，1） （1，1） （1，1）
图象分布 1,2
1,2
1,3
1
1,3
二.新课讲授
1
1
( 1 )5.23 2 , 5.24 2
(2)0.26-1 0.27-1
( 3 )0.20.3 ,0.30.3 ,0.30.2 ,
小结：利用单调性比较大小。
课堂小结：
本节知识结构:
幂函数
定义
五个特殊幂函数
图象
基本性质
2.3
幂 函 数
请及时笔记
一.新课引入
问题1：写出下列y关于x的函数解析式：
y=x2
①正方形边长x，面积y； ②正方体棱长x，体积y； ③正方形面积x，边长y；
y=x3
1
y=x 2
④某人骑车x秒内匀速前进了1m,骑车速度为y；
数学2.3《幂函数》课件(人教A版数学必修1)
练习:比较下列各组数的大小:
< 1
1
1、(0.3)3 ____(0.31)3
10
3
< 2、 (0.9)1.3 ____(1.1)1.3 1.3 0
< 3、(2.1)0.3 ____(1.9)0.3 0.3 0
> 4、(1.9)0.2 ____(1.8)0.2 0.2 0
y
1
y x 2 , y x1
O
x
在同一平面直角坐标系内作出幂函数:
y x0, y x, y x2, y x3,
y
1
y x 2 , y x1
O
x
观察图象，将结论写在下表内:
1
y x y x2 y x3 y x 2 y x1
定义域 R
R
值域 R [0,+∞)
y x0, y x, y x2, y x3,
y
1
y x 2 , y x1
O
x
在同一平面直角坐标系内作出幂函数:
y x0, y x, y x2, y x3,
y
1
y x 2 , y x1
O
x
在同一平面直角坐标系内作出幂函数:
y x0, y x, y x2, y x3,
(3)幂函数和指数函数的异同:都具有幂的形式， 但指数函数的自变量位于指数上， 幂函数的自变量是底数.
练习：判断下列函数是否为幂ຫໍສະໝຸດ 数:1y x41
2y x 2
3y 2x2 5y x3 2
4y x2
6y
1 x2
下面研究幂函数 y x
四中高中数学 幂函数及图象变换基础知识讲解 新人教A版必修1
幂函数及图象变换【学习目标】1．通过实例，了解幂函数的概念；结合幂函数的图象，了解它们的变化情况. 2．掌握幂函数的图象和性质，并能熟练运用图象和性质去解题。
3．掌握初等函数图象变换的常用方法． 【要点梳理】要点一、幂函数概念形如()y x R αα=∈的函数，叫做幂函数，其中α为常数. 要点诠释：幂函数必须是形如()y x R αα=∈的函数，幂函数底数为单一的自变量x ，系数为1，指数为常数.例如：()2423,1,2y x y x y x ==+=-等都不是幂函数.要点二、幂函数的图象及性质 1.作出下列函数的图象：(1)x y =；(2)21x y =；(3)2x y =；(4)1-=x y ；(5)3x y =．要点诠释：幂函数随着α的取值不同，它们的定义域、性质和图象也不尽相同，但它们有一些共同的性质： (1)所有的幂函数在(0，+∞)都有定义，并且图象都过点(1，1)；(2)0>α时，幂函数的图象通过原点，并且在区间),0[+∞上是增函数．特别地，当1>α时，幂函数的图象下凸；当10<<α时，幂函数的图象上凸；(3)0<α时，幂函数的图象在区间),0(+∞上是减函数．在第一象限内，当x 从右边趋向原点时，图象在y 轴右方无限地逼近y 轴正半轴，当x 趋于∞+时，图象在x 轴上方无限地逼近x 轴正半轴．2.作幂函数图象的步骤如下: (1)先作出第一象限内的图象；(2)若幂函数的定义域为(0，+∞)或[0，+∞)，作图已完成； 若在(-∞，0)或(-∞，0]上也有意义，则应先判断函数的奇偶性 如果为偶函数，则根据y 轴对称作出第二象限的图象； 如果为奇函数，则根据原点对称作出第三象限的图象. 3.幂函数解析式的确定(1)借助幂函数的定义，设幂函数或确定函数中相应量的值． (2)结合幂函数的性质，分析幂函数中指数的特征．(3)如函数()a f x k x =⋅是幂函数，求()f x 的表达式，就应由定义知必有1k =，即()af x x =．4.幂函数值大小的比较(1)比较函数值的大小问题一般是利用函数的单调性，当不便于利用单调性时，可与0和1进行比较．常称为“搭桥”法．(2)比较幂函数值的大小，一般先构造幂函数并明确其单调性，然后由单调性判断值的大小． (3)常用的步骤是：①构造幂函数；②比较底的大小；③由单调性确定函数值的大小． 要点三、初等函数图象变换基本初等函数包含以下九种函数：正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数．（三角函数、反三角函数待讲）由基本初等函数经过四则运算以及简单复合所得的函数叫初等函数． 如：2()f x x =的图象变换，22(1),1,y x y x =+=+222,||y x y x == （1）平移变换y =f (x )→y =f (x ＋a ) 图象左（0a >）、右（0a <）平移 y =f (x )→y =f (x )＋b 图象上（b 0>）、下（b 0<）平移（2）对称变换y =f (x ) →y =f (－x ), 图象关于y 轴对称 y =f (x ) →y =－f (x ) , 图象关于x 轴对称 y =f (x ) →y =－f (－x ) 图象关于原点对称y =f (x )→1()y f x -= 图象关于直线y =x 对称（3）翻折变换：y =f (x ) →y =f (|x |),把y 轴右边的图象保留，然后将y 轴左边部分 关于y 轴对称．（注意：它是一个偶函数）y =f (x ) →y =|f (x )| 把x 轴上方的图象保留，x 轴下方的图象 关于x 轴对称 要点诠释：（1）函数图象是由基本初等函数的图象经过以上变换变化而来。
高中数学(人教a版)必修一教案：§2.3幂函数
导学生用类比研究指数函数，对函数的方法研究幂函数的性质
.
-10
通过观察图像，填 P91 探究中的表格
定义域
yx
R
y x2
R
y x3RFra bibliotek1y x2
x|x 0
y x1 x|x 0
奇偶性
奇
奇
奇
非奇非偶
奇
在第Ⅰ象限 单调增减性 定点 3．幂函数性质
在第Ⅰ象限 单调递增 （ 1，1）
在第Ⅰ象限 单调递增 （ 1， 1）
探究新知 1．幂函数的定义
§2.3 幂函数
一般地，形如 y x （ x R）的函数称为幂孙函数，其中 x 是自变量， 是常数 .
1
如 y x2, y x3, y
本初等函数 . 2．研究函数的图像
（ 1） y x
1
x 4 等都是幂函数，幂函数与指数函数，对数函数一样，都是基
1
（2） y x2
（ 3） y x2
在第Ⅰ象限 单调递增 （ 1， 1）
在第Ⅰ象限 单调递增 （ 1，1）
在第Ⅰ象限 单调递减 （1， 1）
（ 1）所有的幂函数在（ 0，+∞）都有定义，并且图象都过点（ 1， 1）（原因： 1x 1）；
（ 2） x ＞ 0 时， 幂函数的图象都通过原点， 并且在 [0，+∞ ] 上，是增函数 （从左往右看，
来证明 f ( x) x在[0, ] 上是增函数，利用这种方法需要注意些什么？
2．利用函数的性质 ，判断下列两个值的大小
1
1
（ 1） 26 , 36
3
3
（ 2） (x 1)2 , x 2 ( x 0)
2
2
（ 3） (a 2 4) 4 , 4 4
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2.3幂函数、函数图象变换
一、幂函数 课型A
例1．幂函数)(x f 的图象过点（4，2），则)81(f 等于
_____________
4
例2．比较下列各组数的大小： （1） 253- > 251.3-
（2）32)32(-- < 32)6(--π （3）878-- < 8791⎪⎭⎫ ⎝⎛- （4） 521.4，328.3-，()539.1- 521.4>32
8.3->()539.1-
例3． 当∈x （0，+∞）时，幂函数3222)1(--⋅--=m m x m m y 为减函数，求实数m 的值. 211
21
m m m m --===-或 3
2,m y x -∴== 1m =-(舍)
例4． 若3
131)23()
1(---<+a a ，试求a 的取值范围. 1023320(,)32132a a a a a +>⎧⎪->∴∈⎨⎪=>-⎩
或10320
132a a a a a +<⎧⎪-<∴∈∅⎨⎪+>-⎩
或10(,1)320
a a a +<⎧∴∈-∞-⎨->⎩
二、函数图象 课型A
例1．试作出函数1y x x =+
的图像； ∵1()f x x x
=+，∴()f x 为奇函数，从而可以作出0x >时()f x 的图像，又∵0x >时，()2f x ≥，
∴1x =时，()f x 的最小值为2，图像最低点为(1,2)，
又∵()f x 在(0,1)上为减函数，在(1,)+∞上是增函数， 同时1()(0)f x x x x x
=+>>即以y x =为渐近线， 于是0x >时，函数的图像应为下图①，()f x 图象为图②：
二、图像的平移变换：
1．水平平移 （左加右减）
（1）函数()y f x a =+，（0a >）的图像由函数()y f x =的图像沿x 轴方向向左平移a 个
长度单位得到的；
（2）函数()y f x a =-，（0a >）的图像由函数()y f x =的图像沿x 轴方向向右平移a 个
长度单位得到的。
2．竖直平移 （上加下减）
（3）函数()y f x b =+，（0b >）的图像由函数()y f x =的图像沿y 轴方向向上平移b 个长度单位即可得到；
（4）函数()y f x b =-，（0b >）的图像由函数()y f x =的图像沿y 轴方向向下平移b 个长度单位即可得到；
例2．为了得到函数的图像，只需把函数的图像上所有的点（ C ）
A ．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度
B ．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度
C ．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度
D ．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度
三、图像对称变换：（关于函数图象自身的对称性）
（1）满足()()x f x f -=的函数()x f y =的图象关于y 轴对称
（2）满足()()x a f x a f -=+或()()2f x f a x =-的函数()x f y =的图象关于a x =对称
（3）满足()()f x f x =--的函数()x f y =的图象关于原点对称
（4）满足()()f a x f a x -=-+的函数()x f y =的图象关于点(,0)P a 对称
例3．定义在R 上的函数
()x f 在()2,∞-上是增函数,且()2+x f 的图象关于0=x 对称,则
A ()()13f f -<
B ()()03f f > ( A )
C ()()13f f -=
D ()()03f f =
例4．设()f x 满足()()4f x f x =-，且当2x > 时()f x 是增函数，
则0.9(1.1),a f = 1.1
(0.9)b f = 12(log 4)c f =12(log 4)c f =的大小关系是（ D ）
A ．a b c >>
B ．b a c >>
C ．a c b >>
D ．c b a >>
三、函数图像练习 课型B
例5．.函数的图像 ( A )
A 关于原点对称
B 关于直线对称
C 关于轴对称
D 关于直线对称
四、图像的翻折变换：
（1）函数|()|y f x =的图像可以将函数()y f x =的图像的x 轴下方部分沿x 轴翻折到x 轴上方，去掉原x 轴下方部分，并保留()y f x =的x 轴上方部分即可得到；
（2）函数(||)y f x =的图像可以将函数()y f x =的图像右边沿y 轴翻折到y 轴左边替代原y 轴左边部分并保留()y f x =在y 轴右边部分即可得到
例6．定义在R 上的奇函数f （x ）满足)8(,2
1)1(),(2)2(f f x f x f 则且=--=的值为 4
例7．设()f x 是定义在R 上的奇函数，且y =f (x )的图象关于直线12
x =对称，则f (1)+ f (2)+ f (3)+ f (4)+ f (5)=________________. 0
例8．已知对一切R ∈x ,都有()()x f x f -=2,且方程()0=x f 有5个不同的根,求这5个根的和.
()f x 关于直线1x =对称，1x ∴=必是方程的一个根。
设12,x x 是()0f x =的根
11221212()(2)0
()(2)0
()(2)0
2
f x f x f x f x f x f x x x ∴=-=∴=-=∴=-=∴+=
同理：342x x += 所以5个根的和5.
例9．若直线2y a =与函数 1,(01)x y a a a =->≠且的图像有两个公共点 求a 的取值范围。
通过图像得1(0,)2a ∈
例10．方程)10(2)1(log 2<<=++a x x a 的解的个数是 （ C ）
A. 0
B. 1
C. 2
D. 无法确定。