高考数学压轴专题乌鲁木齐备战高考《平面解析几何》技巧及练习题附答案解析

新数学《平面解析几何》试卷含答案
一、选择题
1．当点P 在圆221x y +=上变动时，它与定点(3,0)Q 的连结线段PQ 的中点的轨迹方程是（ ）
A ．22(3)4x y ++=
B ．22(23)41x y -+=
C ．22(3)1x y -+=
D ．22(23)41x y ++=
【答案】B 【解析】 【分析】
根据已知条件可设()00,P x y ，线段PQ 的中点为(),M x y ，再利用中点坐标公式可得到
0023,2x x y y =-=，再代入圆的方程221x y +=即可得到线段PQ 的中点的轨迹方程.
【详解】
设()00,P x y ，线段PQ 的中点为(),M x y ，（如图）
则00
322x x y y +⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
即00232x x y y =-⎧⎨=⎩，
Q 点()00,P x y 在圆221x y +=上变动，即22001x y +=
()()222321x y ∴-+=即()2
22341x y -+=
故选：B 【点睛】
本题考查了中点坐标公式，动点轨迹方程求法，属于一般题.
2．已知一条抛物线恰好经过等腰梯形ABCD 的四个顶点，其中4AB =，
2BC CD AD ===，则该抛物线的焦点到其准线的距离是（ ）
A ．
3
4
B ．
32
C 3
D ．23【答案】B
【解析】 【分析】
不妨设抛物线标准方程22(0)x py p =>，将条件转化为坐标，代入解出p ，即得结果. 【详解】
不妨设抛物线标准方程22(0)x py p =>，可设(1,),(2,3)C m B m +，
则12332342(3)pm p p p m =⎧⎪∴=∴=⎨=+⎪⎩
，即抛物线的焦点到其准线的距离是32，选
B. 【点睛】
本题考查抛物线方程及其性质，考查基本分析求解能力，属基本题.
3．已知抛物线C ：212y x =的焦点为F ，A 为C 上一点且在第一象限，以F 为圆心，
FA 为半径的圆交C 的准线于B ，D 两点，且A ，F ，B 三点共线，则AF =（ ）
A ．16
B ．10
C ．12
D ．8
【答案】C 【解析】 【分析】
根据题意可知AD BD ⊥，利用抛物线的定义，可得30ABD ∠=︒，所以
||||2612AF BF ==⨯=．
【详解】
解：因为A ，F ，B 三点共线，所以AB 为圆F 的直径，AD BD ⊥． 由抛物线定义知1
||||||2
AD AF AB ==
，所以30ABD ∠=︒．因为F 到准线的距离为6， 所以||||2612AF BF ==⨯=． 故选：C ．
【点睛】
本题考查抛物线的性质，抛物线的定义，考查转化思想，属于中档题．
4．已知直线(3)(0)y k x k =+>与抛物线2:4C y x =相交于A ，B 两点，F 为C 的焦点.若5FA FB =，则k 等于（ ）
A ．
3
B ．
12
C ．
23
D ．
2
【答案】B 【解析】 【分析】
由2(3)4y k x y x =+⎧⎨=⎩，得()
22226490k x k x k +-+=，()
22464360k k ∆=-->，得21
3
k <，129x x =①，再利用抛物线的定义根据5FA FB =，得到1254x x =+②，从
而求得21x =，代入抛物线方程得到(1,2)B ，再代入直线方程求解. 【详解】
设()11,A x y ，()22,B x y ，易知1 0x >，20x >，10y >，20y >， 由2
(3)4y k x y x
=+⎧⎨
=⎩，得()
22226490k x k x k +-+=，()
22
464360k k ∆=-->， 所以2
1
3
k <
，129x x =①. 因为1112p FA x x =+
=+，2212
p
FB x x =+=+，且5FA FB =， 所以1254x x =+②. 由①②及20x >得21x =， 所以(1,2)B ，代入(3)y k x =+，
得12k =
. 故选：B 【点睛】
本题考查抛物线的定义，几何性质和直线与抛物线的位置关系，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
5．已知双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>)的左，右焦点分别为12,F F ，其右支上存在一点
M ，使得210MF MF ⋅=u u u u r u u u r
,直线:0l bx ay +=，若直线2//MF l 则双曲线C 的离心率为
（ ）
A
B ．2
C D ．5
【答案】C 【解析】 【分析】
易得且1MF l ⊥，从而l 是线段1MF 的垂直平分线求出直线1MF 的方程与渐近线方程联立求出交点坐标，进而求得M 坐标，根据勾股定理即可求解离心率. 【详解】
由120
MF MF ⋅=u u u u v u u u u v
可得12MF MF ⊥易知直线:0l bx ay +=为双曲线的一条渐近线，
可知l 的方程为b
y x a
=-，且1MF l ⊥，从而l 是线段1MF 的垂直平分线，且直线1MF 的方程为()a
y x c b
=
+设1MF ，与l 相交 于点(),N x y .由 ()a y x c b b y x a ⎧
=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩得2a x c ab
y c ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
即2,a ab N c c ⎛⎫-
⎪⎝⎭，又()1,0F c -，由中点坐标公式，得222,.a ab M c c c ⎛⎫
- ⎪⎝
⎭由双曲线性质可得122MF MF a -=①，由12MF MF ⊥得22
2124MF MF c +=②，①②联立，可得2
122MF MF b ⋅=所以点M 的纵坐标为2b c ，所以22b ab c c =
即2b a =所以2
1 5.b e a ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭
故选：C 【点睛】
本题考查双曲线性质的综合问题，考查数形结合思想，对于学生的数学运算和逻辑推理能力要求较高，属于一般性题目.
6．如图，O 是坐标原点，过(,0)E p 的直线分别交抛物线22(0)y px p =>于A 、B 两点，直线BO 与过点A 平行于x 轴的直线相交于点M ，过点M 与此抛物线相切的直线与直线x p =相交于点N .则2
2
||ME NE -=（ ）
A ．2p
B ．2p
C ．22p
D ．24p
【答案】C 【解析】 【分析】
过E （p ，0）的直线分别交抛物线y 2＝2px （p ＞0）于A 、B 两点，不妨设直线AB 为x ＝p ，分别求出M ，N 的坐标，即可求出答案． 【详解】
过E （p ，0）的直线分别交抛物线y 2＝2px （p ＞0）于A 、B ，两点为任意的，不妨设直线
AB 为x ＝p ，由2y 2px
x p
⎧=⎨=⎩，解得y ＝2p ，
则A （p 2p ），B （p 2p ），
∵直线BM 的方程为y 2x ，直线AM 的方程为y ＝2x ， 解得M （﹣p 2p ），∴|ME |2＝（2p ）2+2p 2＝6p 2， 设过点M 与此抛物线相切的直线为y 2p ＝k （x +p ），
由()
2
y 2y+2=k px x p ⎧=⎪⎨+⎪⎩，消x 整理可得ky 2﹣2py ﹣2p +2p 2k ＝0， ∴△＝4p 2﹣4k （﹣2p +2p 2k ）＝0， 解得k ＝
2+2
2
， ∴过点M 与此抛物线相切的直线为y 2p 2+2
（x +p ）， 由()2+2
y+2=2x p x p =⎧
⎪⎨+⎪⎩
，解得N （p ，2p ）， ∴|NE |2＝4p 2，
∴|ME |2﹣|NE |2＝6p 2﹣4p 2＝2p 2， 故选C ． 【点睛】
本题考查了直线和抛物线位置关系，以及直线和直线的交点坐标问题，属于难题．
7．已知抛物线24y x =上有三点,,A B C ，,,AB BC CA 的斜率分别为3，6，2-，则
ABC ∆的重心坐标为（ ）
A ．14,19⎛⎫
⎪⎝⎭
B ．14,09⎛⎫
⎪⎝⎭
C ．14,027⎛⎫
⎪⎝⎭
D ．14,127⎛⎫
⎪⎝⎭
【答案】C 【解析】 【分析】
设()()()112233,,,,,A x y B x y C x y ，进而用坐标表示斜率即可解得各点的纵坐标，进一步可求横坐标，利用重心坐标公式即可得解. 【详解】
设()()()112233,,,,,,A x y B x y C x y 则
121222
121212
4
344
AB y y y y k y y x x y y --=
===-+-，得124
3
y y +=
， 同理234263y y +=
=，31422
y y +==--，三式相加得1230y y y ++=， 故与前三式联立，得211231241,2,,3349y y y y x =-==-==，2
2
214y x ==，
2
33449
y x ==，
则12314327x x x ++=.故所求重心的坐标为14,027⎛⎫
⎪⎝⎭
，故选C. 【点睛】
本题主要考查了解析几何中常用的数学方法，集合问题坐标化，进而转化为代数运算，对学生的能力有一定的要求，属于中档题.
8．过抛物线212x y =的焦点F 的直线交抛物线于点A 、B ，交抛物线的准线于点C ，若
3AF FB =uu u r uu r
，则BC =（ ）
A ．4 B
．C ．6
D ．8
【答案】D 【解析】 【分析】
作出图象，作BM CP ⊥，AN CP ⊥，BH AN ⊥，设BF x =，根据抛物线的性质可得
BM BF HN x ===，3AN AF x ==，进而得到1
sin 2
ACN ∠=
，则可求出x 的值，进而得到BC 的值. 【详解】
作BM CP ⊥，AN CP ⊥，BH AN ⊥，如图，
因为3AF FB =uu u r uu r
，不妨设BF x =，所以33AF BF x ==，4AB x =，
根据抛物线的定义可得BM BF HN x ===，3AN AF x ==，6FP p ==， 则32AH AN HN x x x =-=-=，
所以1
sin sin 2
AH ABH ACN AB ∠=∠=
=，则212CF FP ==，2CB x =， 则312CF CB BF x =+==，所以4x =，则28BC x ==， 故选：D ． 【点睛】
本题考查抛物线的性质，涉及抛物线定义的应用，考查数形结合思想，属于中档题．
9．若双曲线223mx my -=3的一个焦点是()0,2,则m 的值是 A ．-1 B ．1
C ．1020
-
D ．
102
【答案】A 【解析】
双曲线22
3mx my -=3的标准方程为22
113
x y m m
-=, ∵焦点在y 轴上,∴134m m
+=,且0m <, ∴ 1.m =- 故选A ．
10．如图，12,F F 是双曲线2
2
1:13
y C x -=与椭圆2C 的公共焦点，点A 是1C ，2C 在第一
象限的公共点，若112F A F F =，则2C 的离心率是（ ）
A ．
1
3
B ．
15
C ．
23
D ．
25
【答案】C 【解析】
由2
2
1:13
y C x -=知2c =，1124F A F F ==
∵122F A F A -= ∴22F A =
∵由椭圆得定义知1226a F A F A =+= ∴2
3,3
c a e a === 故选C
11．已知(cos ,sin )P αα，(cos ,sin )Q ββ，则||PQ 的最大值为（ ） A 2 B ．2
C ．4
D ．22【答案】B 【解析】 【分析】
由两点的距离公式表示PQ ，再运用两角差的余弦公式化简，利用余弦函数的值域求得最值. 【详解】
∵(cos ,sin )P αα，(cos ,sin )Q ββ，
∴||PQ =
=
=
=
∵cos()[1,1]αβ-∈-，∴||[0,2]PQ ∈. 故选B . 【点睛】
本题综合考查两点的距离公式、同角三角函数的平方关系、两角差的余弦公式和余弦的值域，属于中档题.
12．已知,A B 两点均在焦点为F 的抛物线()2
20y px p =>上，若4AF BF +=，线段
AB 的中点到直线2
p
x =
的距离为1，则p 的值为 （ ） A ．1 B ．1或3
C ．2
D ．2或6
【答案】B 【解析】
4AF BF +=1212442422
p p
x x x x p x p ⇒+
++=⇒+=-⇒=-中 因为线段AB 的中点到直线2
p
x =
的距离为1，所以121132
p
x p p -
=∴-=⇒=中或 ，选B. 点睛：1.凡涉及抛物线上的点到焦点距离时，一般运用定义转化为到准线距离处理． 2．若
00(,)P x y 为抛物线22(0)y px p =>上一点，由定义易得02
p
PF x =+
；若过焦点的弦AB AB 的端点坐标为1122(,),(,)A x y B x y ，则弦长为1212,AB x x p x x =+++可由根与系
数的关系整体求出；若遇到其他标准方程，则焦半径或焦点弦长公式可由数形结合的方法类似地得到．
13．如图所示，点F 是抛物线24y x =的焦点，点,A B 分别在抛物线24y x =及圆
22(1)4x y -+=的实线部分上运动，且AB 总是平行于x 轴，则FAB ∆的周长的取值范围
（ ）
A ．(4,6)
B ．[4,6]
C ．(2,4)
D ．[2,4]
【答案】A 【解析】
由题意知抛物线2
4y x =的准线为1x =-，设A B 、两点的坐标分别为1,0()A x y ，
2,0()B x y ，则1||1AF x =+．
由()222414
y x x y ⎧=⎪⎨-+=⎪⎩ 消去y 整理得2230x x +-=，解得1x =， ∵B 在图中圆()2
214x y -+=的实线部分上运动， ∴213x <<．
∴FAB ∆的周长为1212(1)2()3(4,6)AF FB BA x x x x ++=+++-=+∈． 选A ．
点睛：解决与抛物线有关的问题时，要注意抛物线定义的运用．特别是对于焦点弦的问题更是这样，利用定义可将抛物线上的点到焦点的距离（两点间的距离）转化成该点到准线的距离（点到直线的距离），然后再借助几何图形的性质可使问题的解决变得简单．
14．在圆M ：224410x y x y +---=中，过点(0,1)E 的最长弦和最短弦分别为AC 和
BD ，则四边形ABCD 的面积为（ ）
A ．6
B ．12
C ．24
D ．36
【答案】B 【解析】 【分析】
先将圆M 的方程化为标准方程,得到其圆心坐标与半径,再结合直线与圆的位置关系可得
AC ､BD 的值,进而求出答案. 【详解】
圆M 的标准方程为:22
(2)(2)9x y -+-=,
其圆心为(2,2)M ,半径3r =, 过点E 最长的弦长是直径,故6AC =, 最短的弦是与ME 垂直的弦,又415ME =
+=
所以
221
9522
BD r ME =-=-=,即4BD =, 所以四边形的面积11
641222
S AC BD =⋅⋅=⨯⨯=, 故选:B. 【点睛】
本题考查直线与圆相交的性质,解题关键是明确AC 和BD 的位置关系,难度不大.
15．已知点M 是抛物线24x y =上的一动点，F 为抛物线的焦点，A 是圆C ：
22(1)(4)1x y -+-=上一动点，则||||MA MF +的最小值为（ ）
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
【答案】B 【解析】 【分析】
根据抛物线定义和三角形三边关系可知当,,M A P 三点共线时，MA MF +的值最小，根据圆的性质可知最小值为CP r -；根据抛物线方程和圆的方程可求得CP ，从而得到所求的最值. 【详解】
如图所示，利用抛物线的定义知：MP MF =
当,,M A P 三点共线时，MA MF +的值最小，且最小值为1CP r CP -=-
Q 抛物线的准线方程：1y =-，()1,4C
415CP ∴=+= ()min 514MA MF ∴+=-=
本题正确选项：B 【点睛】
本题考查线段距离之和的最值的求解，涉及到抛物线定义、圆的性质的应用，关键是能够找到取得最值时的点的位置，从而利用抛物线和圆的性质来进行求解.
16．倾斜角为45︒的直线与双曲线22
214x y b
-=交于不同的两点P 、Q ，且点P 、Q 在x
轴上的投影恰好为双曲线的两个焦点，则该双曲线的焦距为（ ）
A ．2
B ．2
C 1
D 1
【答案】B 【解析】 【分析】
方法一；由双曲线的对称性可知直线过原点，可得2Rt QOF △为等腰三角形且
245QOF ∠=︒，根据勾股定理及双曲线的定义可得：1c =.方法二：等腰
2Rt QOF △中，可得2
2b QF a
=，且2b c a =.又根据222b a c =-，联立可解得1c =. 【详解】
方法一；由双曲线的对称性可知直线过原点，在等腰2Rt QOF △中，245QOF ∠=︒，
则122F F c =，2QF c =，1QF =.
由双曲线的定义可得：122QF QF a
-=，
41c c -==，，
故22c =.
方法二：等腰2Rt QOF △中，22b
QF a
=，
∴2b c a
=. 又222b a c =-， ∴2240c c --=，
得1c =.
∴22c =. 故选：B . 【点睛】
本题考查双曲线的性质，解题关键是将题目条件进行转化，建立等量关系求解，属于中等题.
17．已知点1F ，2F 分别是椭圆1C 和双曲线2C 的公共焦点，1e ，2e 分别是1C 和2C 的离心率，点P 为1C 和2C 的一个公共点，且1223
F PF π
∠=，若22e =，则1e 的值是（ ）
A B C D 【答案】D 【解析】 【分析】
利用椭圆和双曲线的定义以及余弦定理可得到方程222
1243c a a =+，由此得到关于离心率
的方程求得结果. 【详解】
设椭圆长半轴长为1a ，双曲线实半轴长为2a ，焦点坐标为()1,0F c -，()2,0F c ， 不妨设P 为第一象限内的点，则1212+=PF PF a ，1222-=PF PF a ， 则22
1
212PF PF a a =-，
由余弦定理得：2
2
22
2
12121212242cos
3
c PF PF PF PF PF PF PF PF π=+-=++， ()22222211212443c a a a a a ∴=--=+，2212314e e ∴
+=，又22e =，2
145
e ∴=， 125
5
e ∴=
. 故选：D . 【点睛】
本题考查共焦点的椭圆与双曲线问题的求解，关键是能够熟练应用椭圆和双曲线的定义，利用余弦定理构造等量关系，配凑出关于椭圆和双曲线离心率的方程.
18．双曲线定位法是通过测定待定点到至少三个已知点的两个距离差所进行的一种无线电定位.通过船（待定点）接收到三个发射台的电磁波的时间差计算出距离差，两个距离差即可形成两条位置双曲线，两者相交便可确定船位.我们来看一种简单的“特殊”状况；如图所示，已知三个发射台分别为A ，B ，C 且刚好三点共线，已知34AB =海里，20AC =海里，现以AB 的中点为原点，AB 所在直线为x 轴建系.现根据船P 接收到C 点与A 点发
出的电磁波的时间差计算出距离差，得知船P 在双曲线
()2
2
2713664
x y --=的左支上，根据船P 接收到A 台和B 台电磁波的时间差，计算出船P 到B 发射台的距离比到A 发射台的距离远30海里，则点P 的坐标（单位：海里）为（ ）
A ．9011,7
7⎛⎫
±
⎪
⎪⎝⎭
B ．135322,7
7⎛⎫
±
⎪
⎪⎝⎭
C ．3217,3⎛
⎫± ⎪⎝
⎭
D ．(45,162±
【答案】B
【解析】 【分析】
设由船P 到B 台和到A 台的距离差确定的双曲线方程为()22
221x y x a a b
-=≥，根据双曲线
的定义得出15a =，再得出由船P 到B 台和到A 台的距离差所确定的双曲线为
()2211522564x y x -=>，与双曲线()2
2
2713664x y --=联立，即可得出点P 坐标. 【详解】
设由船P 到B 台和到A 台的距离差确定的双曲线方程为()22
221x y x a a b
-=≥
由于船P 到B 台和到A 台的距离差为30海里，故15a =，又=17c ，故8b =
故由船P 到B 台和到A 台的距离差所确定的双曲线为()22
11522564
x y x -=>
联立()()()22
2227121366411522564
x y x x y x ⎧--=<⎪⎪⎨⎪-=>⎪⎩
，解得135,7P ⎛ ⎝⎭ 故选：B 【点睛】
本题主要考查了双曲线的应用，属于中档题.
19．已知直线1:(1)(1)20l a x a y -++-=和2:(1)210l a x y +++=互相垂直，则a 的值为（ ） A ．-1 B ．0
C ．1
D ．2
【答案】A 【解析】
分析：对a 分类讨论，利用两条直线相互垂直的充要条件即可得出．
详解：1a =-时，方程分别化为：10210x y +=+=，
， 此时两条直线相互垂直，因此1a =-满足题意．
1a ≠-时，由于两条直线相互垂直，可得：11
()112
a a a -+-
⨯-=-+， 解得1a =-，舍去． 综上可得：1a =-. 故选A ．
点睛：本题考查了两条直线相互垂直的充要条件，考查了推理能力与计算能力，属于基础题
20．已知点P 是椭圆22
221(0,0)x y a b xy a b
+=>>≠上的动点，1(,0)F c -、2(,0)F c 为椭圆
的左、右焦点，O 为坐标原点，若M 是12F pF ∠的角平分线上的一点，且F 1M ⊥MP ，则|OM|的取值范围是( ) A ．(0,)c B ．(0,)a
C ．(,)b a
D ．(,)c a
【答案】A 【解析】 【分析】 【详解】
解：如图，延长PF 2，F 1M ，交与N 点，∵PM 是∠F 1PF 2平分线，且F 1M ⊥MP ， ∴|PN|=|PF 1|，M 为F 1F 2中点，
连接OM ，∵O 为F 1F 2中点，M 为F 1F 2中点 ∴|OM|=|F 2N|=||PN|﹣|PF 2||=||PF 1|﹣|PF 2|| ∵在椭圆
中，设P 点坐标为（x 0，y 0）
则|PF 1|=a+ex 0，|PF 2|=a ﹣ex 0，
∴||PF 1|﹣|PF 2||=|a+ex 0+a ﹣ex 0|=|2ex 0|=|ex 0| ∵P 点在椭圆上，
∴|x 0|∈（0，a]，
又∵当|x 0|=a 时，F 1M ⊥MP 不成立，∴|x 0|∈（0，a ） ∴|OM|∈（0，c ）． 故选A ．。