鲁教版初四上学期第二章第8节二次函数的应用课时1
二次函数的应用(一)教学设计
通过做练习训练新知识，掌握新技能，并及时引导学生把所学知识加以总结，并找出规律性的东西，
进行迁移应用训练，进行理性反思，加深对知识的灵活把握程度。
将主动权交给学生。知识性内容的小结，可把课堂教学传授的知识尽快固化在学生的脑中。
加深巩固，引导学生分析探索、培养学生解决问题的能力。
既强化了知识，又提高了归纳整理能力。
巩固新学的知识技巩固新学的知识技能和方法。
进一步明确二次函数最值步骤。
板书
设计
§2．8二次函数的应用（一）
一．二次函数最值公式
二．典型例题
三．二次函数应用最值的步骤。
反思
某商店经营T恤衫,已知成批购进时单价是2.5元.根据市场调查,销售量与单价满足如下关系:在一段时间内,单价是13.5元时,销售量是500件,而单价每降低1元,就可以多售出200件.请你帮助分析，销售单价是多少时，可以获利最多？
若设销售价为x元(x≤13.5元),那么销售量可表示为 :件销售额可表示为:元;
(2)若生产第x档次的产品一天的总利润为1080元，求该产品的质量档次．
学生思考回答二次函数的知识
学生经历由易到难求二次函数最值的过程，为二次函数应用做好铺垫。
学生思考
学生练习，集体交流答案，教师适时进行纠错指导。
学生相互交流得出结论：
学生交流练习中的收获与体会。
学生自我展示
如果增种x棵树，果园橙子的总产量为y个,那么y与x之间的关系式为：
y=(600-5x)(100+x )
=-5x²+100x+60000
学生思考回答，然后小组交流。
学生自己归纳学生畅所欲言，谈自己的收获学生独立完成，学生讲解。
二次函数应用(拱桥问题)
教学过程一、复习预习平时的时候我们能够看到小船可以从桥的下面通过，但是当夏天雨季到来，水平面上升，这时小船还能从桥的下面通过吗？对于这样的问题我们可以利用我们所学的二次函数来解决。
这节我们就看二次函数解决拱桥问题。
二、知识讲解考点/易错点1 ：二次函数解析式的形式1、一般式：y=ax 2+bx+c （a ≠0）2、顶点式：y=a(x-h)2+k （a ≠0） 顶点坐标（h ，k ）直线x=h 为对称轴，k 为顶点坐标的纵坐标，也是二次函数的最值3、双根式：y=a(x-1x )(x-2x )（a ≠0） (1x ,2x 是抛物线与x 轴交点的横坐标) 并不是什么时候都能用双根式，当抛物线与x 轴有交点时才行4、 顶点在原点：5、过原点：)0(2≠+=a bx ax y6、 顶点在y 轴：)0(2≠+=a c ax y)0(2≠=a ax y考点/易错点2：建立平面直角坐标系1、在给定的直角坐标系,中会根据坐标描出点的位置2、能建立适当的直角坐标系,描述物体的位置。
三、例题精析【例题1】【题干】有一座抛物线形拱桥，正常水位时，桥下水面宽度为20m，拱顶距离水面4m．（1）在如图所示的直角坐标系中，求出该抛物线的表达式；（2）在正常水位的基础上，当水位上升h （m ）时，桥下水面的宽度为d （m ），求出将d 表示为h 的函数表达式；（3）设正常水位时桥下的水深为2m ，为保证过往船只顺利航行，桥下水面宽度不得小于18m ，求水深超过多少米时就会影响过往船只在桥下的顺利航行．【答案】 （1）设抛物线的解析式为y ＝ax 2， 且过点（10，－4）∴故（2）设水位上升h m 时，水面与抛物线交于点（）则∴ （3）当d ＝18时，∴当水深超过2.76m 时会影响过往船只在桥下顺利航行。
【解析】顶点式：y=a （x-h ）2+k （a ，h ，k 是常数，a ≠0），其中（h ，k ）为顶点坐标．【例题2】【题干】如图，有一座抛物线形的拱桥，桥下面处在目前的水位时，水面宽AB=10m ，如果水位上升2m ，就将达到警戒线CD ，这时水面的宽为8m.若洪水到来，水位以每小时0.1m 速度上升，经过多少小时会达到拱顶?【答案】解： 以AB 所在的直线为x 轴,AB 中点为原点，建立直角坐标系，则抛物线的-==-4101252a a ×，y x =-1252dh 24，-h d -=-412542×d h =-10418104076=-=h h ，.0762276..+=顶点E 在y 轴上,且B 、D 两点的坐标分别为（5，0）、（4，2）设抛物线为y=ax ²+k.由B 、D 两点在抛物线上，有解这个方程组，得 所以，顶点的坐标为（0，） 则OE=÷0.1=（h ）所以，若洪水到来，水位以每小时0.1m 速度上升，经过小时会达到拱顶.【解析】 以AB 所在的直线为x 轴,AB 中点为原点，建立直角坐标系，求出解析式【例题3】【题干】如图是抛物线拱桥，已知水位在AB 位置时，水面宽，水位上升3m ，达到警戒线CD ，这时水面宽．若洪水到来时，水位以每小时0.25m 的速度上升，求水过警戒线后几小时淹到拱桥顶？【答案】解：根据题意设抛物线解析式为：y ＝ax 2＋h 又知 B (2，0)，D (2，3)∴ 解得： m 64m 3463⎩⎨⎧=+⨯=+⨯3h )32(a 0h )62(a 22⎪⎩⎪⎨⎧=-=6h 41a∴y ＝－41x 2＋6 ∴E (0，6) 即OE ＝6 EF ＝OE －OF ＝3 t ＝＝25.03＝12 (小时)答：水过警戒线后12小时淹到拱桥顶． 【解析】建立直角坐标系，求出解析式四、课堂运用【基础】1、心理学家发现，学生对概念的接受能力y 与提出概念所用的时间x (单位：分)之间满足函数关系：y ＝－0.1x 2＋2.6x ＋43 (0≤x ≤30)．y 值越大，表示接受能力越强．(1) x 在什么范围内，学生的接受能力逐步增加？x 在什么范围内，学生的接受能力逐步降低？（2）第10分钟时，学生的接受能力是多少？ （3）第几分钟时，学生的接受能力最强？25.0EF【巩固】1、有一座抛物线形拱桥，抛物线可用y=表示．在正常水位时水面AB 的宽为20m，如果水位上升3m时，水面CD的宽是10m．(1)在正常水位时，有一艘宽8m、高2.5m的小船，它能通过这座桥吗?(2)现有一辆载有救援物资的货车从甲地出发需经过此桥开往乙地，已知甲地距此桥280km(桥长忽略不计)．货车正以每小时40km的速度开往乙地，当行驶1小时时，忽然接到紧急通过:前方连降暴雨，造成水位以每小时0.25m的速度持续上涨(货车接到通知时水位在CD处，当水位达到桥拱最高点O时，禁止车辆通行)．试问:如果货车按原来的速度行驶，能否安全通过此桥?若能，请说明理由．若不能，要使货车安全通过此桥，速度应超过每小时多少千米?【拔高】1、一个涵洞成抛物线形，它的截面如图(3)所示，现测得，当水面宽AB＝1.6m时，涵洞顶点与水面的距离为2.4m。
专题08 二次函数的应用一(解决实际问题)(测)-备战2021年中考数学二轮讲练测(解析版)
备战2021年中考二轮讲练测一、期考典测——他山之石1．（2015静安区一模）一个小球被抛出后，如果距离地面的高度h（米）和运行时间t（秒）的函数解析式为h=﹣5t2+10t+1，那么小球到达最高点时距离地面的高度是（）A．1米B．3米C．5米D．6米【答案】D．考点：二次函数的应用．2．（2015温州模拟）二次函数的图象如图所示，当﹣1≤x≤0时，该函数的最大值是（）A．3.125B．4C．2D．0【答案】C．考点：二次函数的最值．3．（2015永州模拟如图，某涵洞的截面是抛物线形，现测得水面宽AB=1.6m，涵洞顶点O到水面的距离CO为2.4m，在图中直角坐标系内，涵洞截面所在抛物线的解析式是．【答案】2154y x =-． 考点：根据实际问题列二次函数关系式．4．（2015温州模拟）如图，在一幅长50cm ，宽30cm 的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂画，设整个挂画总面积为ycm 2，金色纸边的宽为xcm ，则y 与x 的关系式是 ．【答案】241601500y x x =++． 【解析】试题分析：由题意可得：y=（50+2x ）（30+2x ）=4x 2+160x+1500．故答案为：241601500y x x =++． 考点：根据实际问题列二次函数关系式．5．（2015普陀区一模）用一根长50厘米的铁丝，把它弯成一个矩形框，设矩形框的一边长为x 厘米，面积为y 平方厘米，写出y 关于x 的函数解析式： ． 【答案】225y x x =-+．考点：根据实际问题列二次函数关系式．6．（2015长宁区一模）某企业今年第一月新产品的研发资金为100万元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长的都是x ，则该厂今年第三月新产品的研发资金y （元）关于x 的函数关系式为y= ． 【答案】2100(1)x +．考点：根据实际问题列二次函数关系式．【答案】28S x x =-．考点：根据实际问题列二次函数关系式．8．（2015黄岛区校级模拟）小明在某次投篮中，球的运动路线是抛物线21 3.55y x =-+的一部分，如图所示，若球命中篮圈中心，则他与篮底的距离L 是 m ．【答案】4． 【解析】试题分析：如图，把C 点纵坐标y=3.05代入21 3.55y x =-+中得：x=±1.5（舍去负值），即OB=1.5，所以l=AB=2.5+1.5=4．令把y=3.05代入21 3.55y x =-+中得：x 1=1.5，x 2=﹣1.5（舍去），∴L=2.5+1.5=4米．故答案为：4．考点：二次函数的应用．9．（2015江岸区校级模拟）校运动会小明参加铅球比赛，若某次投掷，铅球飞行的高度y （米）与水平距离x （米）之间的函数关系式为21(3)55y x =--+，小明这次投掷的成绩是 米．【答案】8．考点：二次函数的应用．二、模考典测——拾级而上10．（2015黄陂区校级模拟）在“母亲节”期间，某校部分团员参加社会公益活动，准备购进一批许愿瓶进行销售，并将所得利润捐给慈善机构．根据市场调查，这种许愿瓶一段时间内的销售量y （个）与销售单价x （元/个）之间的对应关系如图所示：（1）试判断y 与x 之间的函数关系，并求出函数关系式；（2）若许愿瓶的进价为6元/个，按照上述市场调查的销售规律，求销售利润w （元）与销售单价x （元/个）之间的函数关系式；（3）在（2）的前提下，若许愿瓶的进货成本不超过900元，要想获得最大的利润，试确定这种许愿瓶的销售单价，并求出此时的最大利润．试题解析：（1）y是x的一次函数，设y=kx+b图象过点（10，300），（12，240），得：10300 12240k bk b+=⎧⎨+=⎩，解得：30600kb=-⎧⎨=⎩．故y与x 之间的函数关系为：y=﹣30x+600，当x=14时，y=180；当x=16时，y=120，即点（14，180），（16，120）均在函数y=﹣30x+600的图象上．∴y与x之间的函数关系式为y=﹣30x+600；（2）w=（x﹣6）（﹣30x+600）=﹣30x2+780x﹣3600，即w与x之间的函数关系式为w=﹣30x2+780x﹣3600；考点：二次函数的应用．11．（2015福建模拟）某校八年级学生小丽、小强和小红到某超市参加了社会实践活动，在活动中他们参与了某种水果的销售工作．已知该水果的进价为8元/千克，下面是他们在活动结束后的对话．小丽：如果以10元/千克的价格销售，那么每天可售出300千克．小强：如果每千克的利润为3元，那么每天可售出250千克．小红：如果以13元/千克的价格销售，那么每天可获取利润750元．【利润=（销售价﹣进价）×销售量】（1）请根据他们的对话填写下表：销售单价x（元/kg）10 11 13销售量y（kg）（2）请你根据表格中的信息判断每天的销售量y（千克）与销售单价x（元）之间存在怎样的函数关系．并求y（千克）与x（元）（x＞0）的函数关系式；（3）设该超市销售这种水果每天获取的利润为W元，求W与x的函数关系式．当销售单价为何值时，每天可获得的利润最大？最大利润是多少元？【答案】（1）从左到右依次为：300，250，150；（2）y=﹣50x+800；（3）当销售单价为12元时，每天可获得的利润最大，最大利润是800元．试题解析：（1）∵以11元/千克的价格销售，可售出250千克，∴每涨一元就少50千克，∴以13元/千克的价格销售，那么每天售出150千克．故答案为：从左到右依次为：300，250，150；考点：二次函数的应用；一次函数的应用；应用题．12．（2015武汉模拟）2013年我国多地出现雾霾天气，某企业抓住商机准备生产空气净化设备，该企业决定从以下两个投资方案中选择一个进行投资生产，方案一：生产甲产品，每件产品成本为a元（a为常数，且40＜a＜100），每件产品销售价为120元，每年最多可生产125万件；方案二：生产乙产品，每件产品成本价为80元，每件产品销售价为180元，每年可生产120万件，另外，年销售x万件乙产品时需上交0.5x2万元的特别关税，在不考虑其它因素的情况下：（1）分别写出该企业两个投资方案的年利润y1（万元）、y2（万元）与相应生产件数x（万件）（x为正整数）之间的函数关系式，并指出自变量的取值范围；（2）分别求出这两个投资方案的最大年利润；（3）如果你是企业决策者，为了获得最大收益，你会选择哪个投资方案？【答案】（1）y1=（120﹣a）x（1≤x≤125，x为正整数），y2=100x﹣0.5x2（1≤x≤120，x为正整数）；（2）y1最大值=15000﹣125a（万元），y2最大值=5000（万元）；（3）答案见试题解析．试题解析：（1）由题意得：y1=（120﹣a）x（1≤x≤125，x为正整数），y2=100x﹣0.5x2（1≤x≤120，x为正整数）；考点：二次函数的应用．三、中考典测——实战演练1．（2014盘锦）某旅游景点的门票价格是20元/人，日接待游客500人，进入旅游旺季时，景点想提高门票价格增加盈利．经过市场调查发现，门票价格每提高5元，日接待游客人数就会减少50人．设提价后的门票价格为x（元/人）（x＞20），日接待游客的人数为y（人）．（1）求y与x（x＞20）的函数关系式；（2）已知景点每日的接待成本为z（元），z与y满足函数关系式：z=100+10y．求z与x的函数关系式；（3）在（2）的条件下，当门票价格为多少时，景点每日获取的利润最大？最大利润是多少？（利润=门票收入﹣接待成本）试题解析：（1）由题意得y=500﹣50×，即y=﹣10x+700；（2）由z=100+10y，y=﹣10x+700，得：z=﹣100x+7100；考点：1．二次函数的应用；2．最值问题；3．二次函数的最值．2．（2014徐州）某种上屏每天的销售利润y（元）与销售单价x（元）之间满足关系：y=ax2+bx﹣75．其图象如图．（1）销售单价为多少元时，该种商品每天的销售利润最大？最大利润为多少元？（2）销售单价在什么范围时，该种商品每天的销售利润不低于16元？【答案】（1）销售单价为10元时，该种商品每天的销售利润最大，最大利润为25元；（2）销售单价不少于7元且不超过13元时，该种商品每天的销售利润不低于16元．考点：1．二次函数的应用；2．二次函数的最值；3．最值问题．3．（2014泰州）某研究所将某种材料加热到1000℃时停止加热，并立即将材料分为A、B两组，采用不同工艺做降温对比实验，设降温开始后经过x min时，A、B两组材料的温度分别为y A℃、y B℃，y A．y B与x 的函数关系式分别为y A=kx+b，y B=（x﹣60）2+m（部分图象如图所示），当x=40时，两组材料的温度相同．（1）分别求y A．y B关于x的函数关系式；（2）当A组材料的温度降至120℃时，B组材料的温度是多少？（3）在0＜x＜40的什么时刻，两组材料温差最大？【答案】（1）y A=﹣20x+1000，y B=（x﹣60）2+100；（2）164；（3）x=20．试题解析：（1）由题意可得出：y B=（x﹣60）2+m经过（0，1000），则1000=（0﹣60）2+m，解得：m=100，∴y B=（x﹣60）2+100，当x=40时，y B=×（40﹣60）2+100，解得：y B=200，y A=kx+b，经过（0，1000），（40，200），则，解得：，∴y A=﹣20x+1000；考点：1．二次函数的应用；2．最值问题；3．二次函数的最值．4．（2014常州）某小商场以每件20元的价格购进一种服装，先试销一周，试销期间每天的销量（件）与每件的销售价x（元/件）如下表：x（元/件）38 36 34 32 30 28 26 t件） 4 8 12 16 20 24 28假定试销中每天的销售号（件）与销售价x（元/件）之间满足一次函数．（1）试求与x之间的函数关系式；（2）在商品不积压且不考虑其它因素的条件下，每件服装的销售定价为多少时，该小商场销售这种服装每天获得的毛利润最大？每天的最大毛利润是多少？（注：每件服装销售的毛利润=每件服装的销售价﹣每件服装的进货价）【答案】（1）y=﹣2x+80；（2）当x=30时，获得的毛利润最大，最大毛利润为200元．考点：1．二次函数的应用；2．最值问题；3．二次函数的最值．5．（2014西宁）今年5月1日起实施《青海省保障性住房准入分配退出和运营管理实施细则》规定：公共租赁住房和廉租住房并轨运行（以下简称并轨房），计划10年内解决低收入人群住房问题．已知第x年（x 为正整数）投入使用的并轨房面积为y百万平方米，且y与x的函数关系式为y=﹣x+5．由于物价上涨等因素的影响，每年单位面积租金也随之上调．假设每年的并轨房全部出租完，预计第x年投入使用的并轨房的单位面积租金z与时间x满足一次函数关系如下表：时间x（单位：年，x为正整数） 1 2 3 4 5 …单位面积租金z（单位：元/平方米）50 52 54 56 58（1）求出z与x的函数关系式；（2）设第x年政府投入使用的并轨房收取的租金为W百万元，请问政府在第几年投入使用的并轨房收取的租金最多，最多为多少百万元？【答案】（1）z=2x+48；（2）政府在第3年投入使用的并轨房收取的租金最多，最多为243百万元．试题解析：（1）设z与x的一次函数关系为z=kx+b（k≠0），∵x=1时，z=50，x=2时，z=52，∴，解得，∴z与x的函数关系式为z=2x+48；（2）由题意得，W=yz=（﹣x+5）（2x+48）=﹣x2+2x+240=﹣（x﹣3）2+243，∵﹣＜0，∴当x=3时，W 有最大值为243，答：政府在第3年投入使用的并轨房收取的租金最多，最多为243百万元．6．（2014本溪）国家推行“节能减排\低碳经济”政策后，低排量的汽车比较畅销，某汽车经销商购进A，B 两种型号的低排量汽车，其中A型汽车的进货单价比B型汽车的进货单价多2万元花50万元购进A型汽车的数量与花40万元购进B型汽车的数量相等，销售中发现A型汽车的每周销量y A（台）与售价x（万元/台）满足函数关系式y A=﹣x+20，B型汽车的每周销量y B（台）与售价x（万元/台）满足函数关系式y B=﹣x+14．（1）求A、B两种型号的汽车的进货单价；（2）已知A型汽车的售价比B型汽车的人售价高2万元/台，设B型汽车售价为t万元/台．每周销售这两种车的总利润为W万元，求W与t的函数关系式，A、B两种型号的汽车售价各为多少时，每周销售这两种车的总利润最大？最大总利润是多少万元？【答案】（1）A种型号的汽车的进货单价为10万元，B种型号的汽车的进货单价为8万元；（2）A种型号的汽车售价为14万元/台，B种型号的汽车售价为14万元/台时，每周销售这两种车的总利润最大，最大总利润是32万元．试题解析：（1）设A种型号的汽车的进货单价为m万元，考点：1．二次函数的应用；2．分式方程的应用；3．最值问题；4．二次函数的最值．7．（2014武汉）九（1）班数学兴趣小组经过市场调查，整理出某种商品在第x（1≤x≤90）天的售价与销量的相关信息如下表：时间x（天）1≤x＜50 50≤x≤90售价（元/件）x+40 90每天销量（件）200﹣2x已知该商品的进价为每件30元，设销售该商品的每天利润为y元．（1）求出y与x的函数关系式；（2）问销售该商品第几天时，当天销售利润最大，最大利润是多少？（3）该商品在销售过程中，共有多少天每天销售利润不低于4800元？请直接写出结果．【答案】（1）y=；（2）第45天时，当天销售利润最大，最大利润是6050元；（3）当20≤x≤60时．试题解析：（1）当1≤x＜50时，y=（200﹣2x）（x+40﹣30）=﹣2x2+180x+200，当50≤x≤90时，8．（2014荆州）我国中东部地区雾霾天气趋于严重，环境治理已刻不容缓．我市某电器商场根据民众健康需要，代理销售某种家用空气净化器，其进价是200元/台．经过市场销售后发现：在一个月内，当售价是400元/台时，可售出200台，且售价每降低10元，就可多售出50台．若供货商规定这种空气净化器售价不能低于300元/台，代理销售商每月要完成不低于450台的销售任务．（1）试确定月销售量y（台）与售价x（元/台）之间的函数关系式；并求出自变量x的取值范围；（2）当售价x（元/台）定为多少时，商场每月销售这种空气净化器所获得的利润w（元）最大？最大利润是多少？【答案】（1）y=﹣5x+2200（300≤x≤350）；（2）售价定为320元/台时，商场每月销售这种空气净化器所获得的利润w最大，最大利润是72000元．试题解析：（1）根据题中条件销售价每降低10元，月销售量就可多售出50千克，则月销售量y（台）与售价x（元/台）之间的函数关系式：y=200+50×，化简得：y=﹣5x+2200；供货商规定这种空气净化器售价不能低于300元/台，代理销售商每月要完成不低于450台，则，解得：300≤x≤350．∴y与x之间的函数关系式为：y=﹣5x+2200（300≤x≤350）；考点：1．二次函数的应用；2．最值问题；3．二次函数的最值．。
二次函数的应用教学反思
二次函数的应用教学反思二次函数的应用是学习二次函数的图像与性质后，检验学生应用所学知识解决实际问题能力的一个综合考查，它是本章的难点。
新的课程标准要求学生能通过对实际问题的情境的分析确定二次函数的表达式，体会其意义，能依照图像的性质解决简单的实际问题，而最大值问题是生活中利用二次函数知识解决最常见、最有实际应用价值的问题，它生活背景丰富，学生比较感爱好。
本节课通过学习求水流的最高点问题，引导学生将实际问题转化为数学模型，利用数学建模的思想去解决和函数有关的应用问题。
此部分内容是学习一次函数及其应用后的巩固与延伸，又为高中乃至以后学习更多函数打下坚实的基础。
由于本节课是二次函数的应用问题，重在通过学习总结解决问题的方法，故而本节课以启发探究式为主线开展教学活动，以学生动手动脑探究为主，必要时加以小组合作讨论，充分调动学生学习积极性和主动性，突出学生的主体地位，达到不但使学生学会，而且使学生会学的目的。
不足之处：《数学课程标准》提出：教师不仅是学生的引导者，也是学生的合作者。
教学中，要让学生通过自主讨论、交流，来探究学习中碰到的问题、难题，教师从中点拨、引导，并和学生一起学习探讨。
在本节课的教学中，教师引导学生较多，没有完全放开让学生自主探究学习，获得新知；学生在数学学习中依旧有较强的依靠性，教师要有意培养学生自主学习的能力。
教师要想在开放的课堂上具有灵活驾驭的能力，就需要在备课时尽量考虑周到，既要备教材，又要备学生，更需要教师具有丰富的科学文化知识，如此才能使我们的学生在轻松活跃的课堂上找到学习的乐趣与爱好。
反思二：二次函数的应用教学反思本节课的教学目标是：连续经历利用二次函数解决实际最值问题；会综合运用二次函数和其他数学知识解决如有关距离、利润等的函数最值问题；进展应用数学解决问题的能力，体会数学与生活的紧密联系和数学的应用价值。
本节课只有两个例题，第一个例题是有关距离问题，第二个例题是有关利润的问题。
【鲁教版九年级数学上册课件】6 二次函数的应用(1)
其中AB和AD分别在两直角边上. (1).设矩形的一边AB=xcm,那么
M
30cm
bcm
AD边的长度如何表示？
(2).设矩形的面积为ym2,当x取何
D
C
值时,y的最大值是多少?
┐ xcm
A
B
N
40cm
何时面积最大
如图,在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD，
其中AB和AD分别在两直角边上. (1).如果设矩形的一边AD=xcm,那
6 二次函数的应用（1）
何时面积最大
如图,在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD，
其中AB和AD分别在两直角边上. (1).设矩形的一边AB=xcm,那么
M
30cm
AD边的长度如何表示？
D
C
(2).设矩形的面积为ym2,当x取何
值时,y的最大值是多少?
┐
A
B
N
40cm
何时面积最大
如图,在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD，
M
30cm
xc m
么AB边的长度如何表示？ (2).设矩形的面积为ym2,当x取何
D
C
值时,y的最大值是多少?
┐ bcm
A
B
N
40cm
何时面积最大
如图,在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD，其中点A和点D分别在两直角 边上,BC在斜边上.
(1).设矩形的一边BC=xcm,那么AB边的长度如何表示？ M C
xx
y
“二次函数应用Leabharlann 的思路回顾上一节“最大利润”和本节“最大面积”解 决问题的过程，你能总结一下解决此类问题的基本 思路吗？与同伴交流. 1.理解问题; 2.分析问题中的变量和常量,以及它们之间的关系; 3.用数学的方式表示出它们之间的关系; 4.做数学求解; 5.检验结果的合理性,拓展等.
2024中考备考热点05 二次函数的图象及简单应用(8大题型+满分技巧+限时分层检测)
热点05 二次函数的图象及简单应用中考数学中《二次函数的图象及简单应用》部分主要考向分为五类：一、二次函数图象与性质（每年1道，3~4分）二、二次函数图象与系数的关系（每年1题，3~4份）三、二次函数与一元二次方程（每年1~2道，4~8分）四、二次函数的简单应用（每年1题，6~10分）二次函数是初中数学三中函数中知识点和性质最多的一个函数，也是中考数学中的重点和难点，考简答题时经常在二次函数的几何背景下，和其他几何图形一起出成压轴题；也经常出应用题利用二次函数的增减性考察问题的最值。
此外，二次函数的性质、二次函数与系数的关系、二次函数上点的坐标特征也是中考中经常考到的考点，都需要大家准确记忆二次函数的对应考点。
只有熟悉掌握二次函数的一系列考点，才能在遇到对应问题时及时提取有用信息来应对。
考向一：二次函数图象与性质【题型1 二次函数的图象与性质】满分技巧1. 对于二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图象：形状：抛物线； 对称轴：直线ab x 2-=；顶点坐标：)442(2a b ac a b --，； 2、抛物线的增减性问题，由a 的正负和对称轴同时确定，单一的直接说y 随x 的增大而增大（或减小）是不对的，必须在确定a 的正负后，附加一定的自变量x 取值范围；3、当a＞0，抛物线开口向上，函数有最小值；当a＜0，抛物线开口向下，函数有最大值；而函数的最值都是定点坐标的纵坐标。
1．（2023•沈阳）二次函数y＝﹣（x+1）2+2图象的顶点所在的象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．（2023•兰州）已知二次函数y＝﹣3（x﹣2）2﹣3，下列说法正确的是（）A．对称轴为直线x＝﹣2B．顶点坐标为（2，3）C．函数的最大值是﹣3D．函数的最小值是﹣33．（2023•陕西）在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+mx+m2﹣m（m为常数）的图象经过点（0，6），其对称轴在y轴左侧，则该二次函数有（）A．最大值5B．最大值C．最小值5D．最小值【题型2 二次函数图象上点的坐标特征】满分技巧牢记一句话，“点在图象上，点的坐标符合其对应解析式”，然后，和哪个几何图形结合，多想与之结合的几何图形的性质1．（2023•广东）如图，抛物线y＝ax2+c经过正方形OABC的三个顶点A，B，C，点B在y轴上，则ac的值为（）A．﹣1B．﹣2C．﹣3D．﹣42．若点P（m，n）在抛物线y＝ax2（a≠0）上，则下列各点在抛物线y＝a（x+1）2上的是（）A．（m，n+1）B．（m+1，n）C．（m，n﹣1）D．（m﹣1，n）3．（2023•十堰）已知点A（x1，y1）在直线y＝3x+19上，点B（x2，y2），C（x3，y3）在抛物线y＝x2+4x ﹣1上，若y1＝y2＝y3，x1＜x2＜x3，则x1+x2+x3的取值范围是（）A．﹣12＜x1+x2+x3＜﹣9B．﹣8＜x1+x2+x3＜﹣6C．﹣9＜x1+x2+x3＜0D．﹣6＜x1+x2+x3＜1【题型3 二次函数图象与几何变换】满分技巧1、二次函数的几何变化，多考察其平移规律，对应方法是：①将一般式转化为顶点式；②根据口诀“左加右减，上加下减”去变化。
鲁教版九年级数学上册《二次函数的应用2》课件1
何时橙子总产量最大
还记得本章第2节中涉及的“种多少棵橙子树”的问 题吗？
某果园有100棵橙子树，每一棵树平均结600个橙子. 现准备多种一些橙子树以提高产量，但是如果多种 树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就 会减少.根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树 就会少结5个橙子.
(1)问题中有那些变量？其中哪些是自变量？ 哪些是因变量？
定要注意二次函数
自变量的取值范围.
符合
判断是否
符合实际背景
建立二次函数关系式
计 算 检验
Байду номын сангаас求出最值
在上述问题中，种多少棵橙子树，可以使果园橙子的 总产量最多？
x/棵 1 2 3 4 5 6 7 y/个 60095 60180 60225 60320 60375 60420 60455 x/棵 8 9 10 11 12 13 14 y/个 60480 60495 60500 60495 60480 60455 60420
若你是商店经理，你需要多长时间定出这个销售单 价？
谈谈你的收获和体会！
1、求二次函数最值的方法： (1)利用图象，找顶点，求最值； (2)利用配方化为顶点式，求最值； (3)利用顶点坐标公式，求最值.
2、利用二次函数知识解决实际问题中最值的步骤：
实际问题
解 决
实际问题 结论
分析
转
解决提实出际最问值题问时题一 化
解：设每间客房的日租金提高x个10元，则每天客房 出租数会减少6x间.设客房日租金总收入为y元，则
y=(160+10x)(120-6x)=-60(x-2)2+19440.
因为x ≥0，且120-6x>0， 所以0 ≤x<20. 当x=2时，y有最大值19440.
鲁教版数学九年级上册3.6《二次函数的应用》教学设计
鲁教版数学九年级上册3.6《二次函数的应用》教学设计一. 教材分析《二次函数的应用》是鲁教版数学九年级上册3.6节的内容，这部分内容是在学生已经掌握了二次函数的图像和性质的基础上进行学习的。
教材通过实例引入二次函数的应用，让学生了解二次函数在实际生活中的应用，培养学生的数学应用意识。
教材内容主要包括两个方面：一是二次函数在几何中的应用，二是二次函数在实际生活中的应用。
二. 学情分析九年级的学生已经掌握了二次函数的基本知识，对于二次函数的图像和性质有一定的了解。
但是，对于二次函数在实际生活中的应用，可能还比较陌生。
因此，在教学过程中，需要通过实例让学生了解二次函数在实际生活中的应用，并培养学生的数学应用意识。
三. 教学目标1.知识与技能：理解二次函数在几何中的应用，掌握二次函数在实际生活中的应用。
2.过程与方法：通过实例分析，培养学生的数学应用意识，提高学生解决实际问题的能力。
3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的数学思维。
四. 教学重难点1.重点：二次函数在几何中的应用，二次函数在实际生活中的应用。
2.难点：二次函数在实际生活中的应用，如何将实际问题转化为二次函数问题。
五. 教学方法采用实例教学法，通过具体的实例让学生了解二次函数在实际生活中的应用，培养学生的数学应用意识。
同时，采用问题驱动法，引导学生主动探究二次函数的应用，提高学生解决实际问题的能力。
六. 教学准备1.教师准备：准备好相关的实例，制作好PPT。
2.学生准备：预习相关内容，准备好笔记本。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个简单的实例，让学生了解二次函数在几何中的应用。
例如，抛物线的定义及性质，让学生初步感受二次函数的应用。
2.呈现（15分钟）呈现一个实际问题，让学生尝试用二次函数来解决。
例如，一个农场想要建一个最大的矩形鸡舍，鸡舍的一边靠墙，另外两边的长度分别为6米和4米，问如何建鸡舍才能使鸡舍的面积最大？3.操练（15分钟）学生分组讨论，尝试将实际问题转化为二次函数问题，并求解。
《二次函数》教案8篇(二次函数应用教案设计)
《二次函数》教案8篇(二次函数应用教案设计)下面是整理的《二次函数》教案8篇(二次函数应用教案设计)，欢迎参阅。
《二次函数》教案1教学目标掌握二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点个数与一元二次方程ax2+bx+c=0的解的情况之间的关系。
重点、难点：二次函数y=ax2+bx+c的图象与一元二次方程ax2+bx+c=0的根之间关系的探索。
教学过程：一、情境创设一次函数y=x+2的图象与x轴的交点坐标问题1.任意一次函数的图象与x轴有几个交点？问题2.猜想二次函数图象与x轴可能会有几个交点？可以借助什么来研究？二、探索活动活动一观察在直角坐标系中任意取三点A、B、C，测出它们的纵坐标，分别记作a、b、c，以a、b、c为系数绘制二次函数y=ax2+bx+c的图象，观察它与x轴交点数量的情况；任意改变a、b、c值后，观察交点数量变化情况。
活动二观察与探索如图1，观察二次函数y=x2-x-6的图象，回答问题:(1)图象与x轴的交点的坐标为A(，),B(，)(2)当x=时，函数值y=0。
(3)求方程x2-x-6=0的解。
(4)方程x2-x-6=0的解和交点坐标有何关系？活动三猜想和归纳(1)你能说出函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点个数的其它情况吗？猜想交点个数和方程ax2+bx+c=0的根的个数有何关系。
（2）一元二次方程ax2+bx+c=0的根的个数由什么来判断？这样我们可以把二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点、一元二次方程ax2+bx+c=0的实数根和根的判别式三者联系起来。
三、例题分析例1.不画图象，判断下列函数与x轴交点情况。
(1)y=x2-10x+25(2)y=3x2-4x+2(3)y=-2x2+3x-1例2.已知二次函数y=mx2+x-1(1)当m为何值时，图象与x轴有两个交点(2)当m为何值时，图象与x轴有一个交点？(3)当m为何值时，图象与x轴无交点？四、拓展练习1.如图2，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B。
第2章---第8节
点逐步逼近 零点 ，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．
高 考 体 验 · 明 考 情
典 例 探 究 · 提 知 能
课 时 知 能 训 练
菜
单
新课标 ·数学（文）(广东专用)
自 主 落 实 · 固 基 础
1．函数的零点是函数y＝f(x)的图象与x轴的交点吗？ 【提示】 不是．函数的零点是一个实数，是函数y＝f(x)的图象与x
课 时 知 能 训 练
菜
单
新课标 ·数学（文）(广东专用)
【尝试解答】
自 主 落 实 · 固 基 础
(1)当 x∈[0,1]时，f(x)＝ x－cos x 的图象连续不
高 考 体 验 · 明 考 情
间断， ∵f(0)＝0－cos 0＝－1＜0，f(1)＝1－cos 1＞0. ∴f(x)＝ x－cos x 在区间(0,1)内有零点， 1 又 f′(x)＝ ＋sin x＞0(x∈(0,1)， 2 x ∴f(x)在(0,1)上是单调增函数，
自 主 落 实 · 固 基 础
高 考 体 验 · 明 考 情
典 例 探 究 · 提 知 能
课 时 知 能 训 练
菜
单
新课标 ·数学（文）(广东专用)
若 将 例 题 中 函 数 “f(x) ＝ x － cos x” 改 为 “f(x) ＝
自 主 落 实 · 固 基 础
log2xx＞0 x ”且关于 x 的方程 f(x)＋x－a＝0 有且只有一个实根， 3 x≤0
菜
单
新课标 ·数学（文）(广东专用)
自 主 落 实 · 固 基 础
1．函数零点
(1)定义：对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使 f(x)＝0 成立的实数x叫做
初中数学_二次函数图象与性质的复习(第1课时)教学设计学情分析教材分析课后反思
“二次函数图象与性质的复习”（ 第1课时）教学设计一、教学目标1．通过本节教与学的活动，使学生掌握二次函数的定义、图象和性质，并达到灵活应用。
2．通过专题练习，达到知识的熟练运用，并在解决问题的过程中培养分类讨论、数形结合、划归与转化、函数与方程的思想.3．通过具体问题的解决，培养学生思维的深刻性。
二、教学重、难点重点：掌握二次函数的图象和性质，并熟练应用；学生掌握分类讨论、数形结合、划归与转化、函数与方程的思想。
难点：分类讨论、数形结合、划归与转化、函数与方程的思想的掌握。
三、支持条件分析教学中恰当利用PPT 的演示功能四、教学过程设计活动一：出示二次函数图象，引入课题。
引入：这是什么的图象？设计目的：以二次函数图象直接引入课题，让学生明确本节课的学习任务。
问题（1）二次函数的定义：例：下列函数是二次函数的有_________________（填序号）221)1(x y -=；22)2(xy =；c bx ax y ++=2)3(；122)4(23-+=x x y ；(5) y=2(x+3)2－2x 2.设计目的：一、让学生明确学习函数的顺序：定义、图象与性质、应用。
二、巩固了二次函数的定义知识。
活动方式：学生口答，引导学生归纳：1）等式右边是一个整式；（2）在辨析一个函数是不是二次函数时，若二次项系数含有字母，须注明它不等于0；（3）等式右边化到最简，须满足最高次项的次数是二次。
活动二：根据函数图象，回忆与二次函数有关的性质设计目的：学生通过独立思考与小组合作交流形式复习二次函数的基础知识，有助于学生整理零碎、杂乱的知识，做到知识的梳理、整化、强化，加深理解。
活动方式：学生口答，教师板书知识框架的方式。
主要研究开口方向、对称轴、顶点、最值情况、增减性、与坐标轴交点、平移这些性质，使学生意识到数形结合思想。
其中在解析式这一环节找一生板书，并采用口答形式说出另两种求解析式的方法。
教师总结：对于二次函数的图象与性质，我们一般就从开口方向、对称轴、顶点、最值情况、增减性、与坐标轴交点、平移等方面来进行分析，并指出顶点式中的三种特殊形式。
鲁教版初中数学九年级上册《二次函数的应用(2)》参考教案
3.6 二次函数的应用(2)教材分析从题目来看，“何时获得最大利润”似乎是商家才应该考虑的问题．但是你知道吗?这正是我们研究的二次函数的范畴．因为二次函数化为顶点式后，很容易求出最大或最小值．而何时获得最大利润就是当自变量取何值时，函数值取最大值的问题．因此本节课中关键的问题就是如何使学生把实际问题转化为数学问题，从而把数学知识运用于实践．即是否能把实际问题表示为二次函数，是否能利用二次函数的知识解决实际问题，并对结果进行解释．在教学中，要对学生进行适时的引导，并采用小组讨论的方式掌握本节课的内容，从而发展学生的数学应用能力．教学目标(一)教学知识点1．经历探索T恤衫销售中最大利润等问题的过程，体会二次函数是一类最优化问题的数学模型，并感受数学的应用价值．2．能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实际问题的最大(小)值，发展解决问题的能力．(二)能力训练要求经历销售中最大利润问题的探究过程，让学生认识数学与人类生活的密切联系及对人类历史发展的作用，发展学生运用数学知识解决实际问题的能力．(三)情感与价值观要求1．体会数学与人类社会的密切联系，了解数学的价值．增进对数学的理解和学好数学的信心．2．认识到数学是解决实际问题和进行交流的重要工具，了解数学对促进社会进步和发展人类理性精神的作用．教学重点1．探索销售中最大利润问题．2．能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实际问题中的最大(小)值，发展解决问题的能力．教学难点运用二次函数的知识解决实际问题．教学方法在教师的引导下自主学习法．教具准备投影片三张第一张：(记作§3.6.2 A)第二张：(记作§3.6.2 B)第三张：(汜作§3.6.2 C)教学过程Ⅰ. 创设问题情境，引入新课[师]前面我们认识了二次函数，研究了二次函数的图象和性质，由简单的二次函数y＝x2开始，然后是y＝ax2.y＝ax2+c，最后是y=a(x-h)2，y＝a(x-h)2+k，y ＝ax2+bx+c，掌握了二次函数的三种表示方式．怎么突然转到了获取最大利润呢?看来这两者之间肯定有关系．那么究竟有什么样的关系呢?我们本节课将研究有关问题．Ⅱ．讲授新课一、有关利润问题投影片：(§3.6.2A)服装厂生产某品牌的T恤衫，每件的成本是10元.根据市场调查,以单价13元批发给经销商，经销商愿意经销5000件，并且表示每件降价0.1元，愿意多经销500件.厂家批发单价是多少时,可以获利最多?设批发单价为x(0<x≤13)元，那么(1)销售量可以表示为；(2)销售额可以表示为；(3)所获利润可以表示为；(4)当批发单价是元时，可以获得最大利润，最大利润是．[师]从题目的内容来看好像是商家应考虑的问题：有关利润问题．不过，这也为我们以后就业做了准备，今天我们就不妨来做一回商家．从问题来看就是求最值问题，而最值问题是二次函数中的问题．因此我们应该先分析题意列出函数关系式．获利就是指利润，总利润应为每件T 恤衫的利润(批发价一成本)乘以T 恤衫的数量，设批发单价为x 元，则降低了(13-x)元，每降低0.1元，可多售出500件，降低了10(13-x)元，则可多售出5000(13-x)件，因此共售出5000+5000(13-x)件，若所获利润用y(元)表示，则y ＝(x-10)[5000+5000(13-x)]．经过分析之后，大家就可回答以上问题了.[生](1)销售量可以表示为5000+5000(13-x)=70000-5000x ．(2)销售额可以表示为x(70000-5000x)=70000x-5000x 2．(3)所获利润可以表示为(70000x-5000x 2)-10(70000-5000x)＝-5000x 2+120000x-700000．(4)设总利润为y 元，则y ＝-5000x 2+120000x-700000=-5000(x-20000)122 .∵-5000＜0 ∴抛物线有最高点，函数有最大值．当x ＝12元时，y 最大=20000元.即当销售单价是12元时，可以获得最大利润，最大利润是20000元．例2 某旅社有客房120间，每间房的日租金为160元，每天都客满.经市场调查发现，如果每间客房的日租金每增加10元时，那么客房每天出租数会减少6间.不考虑其他因素，旅社将每间客房的日租金提高到多少元时，客房日租金的总收入最高？让学生根据上面的利润问题的解法来解决这道例题.二、做一做还记得本章一开始的“种多少棵橙子树”的问题吗?我们得到表示增种橙子树的数量x(棵)与橙子总产量y(个)的二次函数表达式y ＝(600-5x)(100+x)＝-5x 2+100x+60000．我们还曾经利用列表的方法得到一个猜测，现在验证一下你的猜测是否正确?你是怎么做的?与同伴进行交流．[生]因为表达式是二次函数，所以求橙子的总产量y的最大值即是求函数的最大值．所以y＝-5x2+100x+60000＝-5(x2-20x+100-100)+60000＝-5(x-10)2+60500．当x=10时，y最大=60500．[师]回忆一下我们前面的猜测正确吗?[生]正确．三、议一议(投影片§3.6.2B)(1)利用函数图象描述橙子的总产量与增种橙子树的棵数之间的关系．(2)增种多少棵橙子树，可以使橙子的总产量在60400个以上?[生]图象如上图．(1)当x<10时，橙子的总产量随增种橙子树的增加而增加；当x>10时，橙子的总产量随增种橙子树的增加而减小．(2)由图可知，增种6棵、7棵、8棵、9棵、10棵、11棵、12棵、13棵或14棵，都可以使橙子总产量在60400个以上．四、补充例题投影片：(§3.6.2C)已知——个矩形的周长是24 cm．(1)写出这个矩形面积S与一边长a的函数关系式．(2)画出这个函数的图象．(3)当a长多少时，S最大?[师]分析：还是有关二次函数的最值问题，所以应先列出二次函数关系式．[生](1)S=a(12-a)＝a2+12a＝-(a2-12a+36-36)＝-(a-6)2+36．(2)图象如下：(3)当a＝6时，S最大=36．Ⅲ．课堂练习P100解：设销售单价为；元，销售利润为y元，则y=(x-20)[400-20(x-30)]＝-20x2+1400x-20000＝-20(x-35)2+4500．所以当x=35元，即销售单价提高5元时，可在半月内获得最大利润4500元．Ⅳ．课时小结本节课经历了探索一种商品销售中最大利润等问题的过程，体会了二次函数是一类最优化问题的数学模型，并感受了数学的应用价值．学会了分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实际问题中的最大(小)值，提高解决问题的能力．Ⅴ．课后作业习题3.13Ⅵ．活动与探究某商场销售某种品牌的纯牛奶，已知进价为每箱40元，生产厂家要求每箱售价在40～70元之间．市场调查发现：若每箱以50元销售，平均每天可销售90箱，价格每降低1元，平均每天多销售3箱，价格每升高1元，平均每天少销售3箱．(1)写出平均每天销售(y)箱与每箱售价x(元)之间的函数关系式．(注明范围)(2)求出商场平均每天销售这种牛奶的利润W(元)与每箱牛奶的售价x(元)之间的二次函数关系式(每箱的利润=售价-进价)．(3)求出(2)中二次函数图象的顶点坐标，并求当x＝40，70时W的值．在坐标系中画出函数图象的草图．(4)由函数图象可以看出，当牛奶售价为多少时，平均每天的利润最大?最大利润为多少?解：(1)当40≤x≤50时，则降价(50-x)元，则可多售出3(50-x)，所以y＝90+3(50-x)=-3x+240．当50<x≤70时，则升高(x-50)元，则可少售3(x-50)元，所以y=90-3(x-50)＝-3x+240．因此，当40≤x≤70时，y=-3x+240．(2)当每箱售价为x元时，每箱利润为(x-40)元，平均每天的利润为W＝(240-3x)(x-40)＝-3x2+360x-9600．(3)W＝-3x2+360x-9600＝-3(x2-120x+3600-3600)-9600=-3(x-60)2+1200．所以此二次函数图象的顶点坐标为(60，1200)．当x＝40时，W=-3(40-60)2+1200＝0；当x＝70时，W=-3(70-60)2+1200=900．草图略．(4)要求最大利润，也就是求函数的最大值，只要知道顶点坐标即可．由(3)得，当x＝60时，W最大＝1200．即当牛奶售价为每箱60元时，平均每天的利润最大，最大利润为1200元．板书设计3.6二次函数的应用(2)一、1．有关利润问题(投影片§3.6.2 A)2．做一做3．议一议(投影片§3.6.2 B)4．补充例题(投影片§3.6.2 C)二、课堂练习三、课时小结四、课后作业。
中考数学 考点系统复习 第三章 函数 第八节 二次函数的实际应用
(1)c的值为666 ； 【分层分析】 (1)根据起跳台的高度OA为66 m，即可得c＝6666；
(2)①若运动员落地点恰好到达K点，且此时a＝－
1 50
层分析】
(2)①由a＝－
1 50
，b＝
9 10
，知y＝－
1 50
x2＋
9 10
x＋66，根据基准点K到起跳
第八节 二次函数的实际 应用
命题点：二次函数的实际应用(近 6 年考查 14 次) 1. (2022·黔西南州第 17 题 3 分)如图是一名男生推铅球时，铅球行进 过程中形成的抛物线．按照图中所示的平面直角坐标系，铅球行进高度 y(单位：m)与水平距离 x(单位：m)之间的关系是 y＝－112x2＋23x＋53，则 铅球推出的水平距离 OA 的长是 1100 m.
(3)物价部门规定该品牌贵州特产的销售单价不得高于 85 元/kg，公司想
获得不低于 2 000 元的周利润，销售单价的取值范围是多少？ 【分层分析】(3)令获得的周利润等于 2 000 元，列方程为－－22((xx－－8855))22
＋＋2 244505＝0＝2 000，结合 w 的函数图象可知 x 的取值范围为 700≤≤x≤x≤1001，00 再2结00合0物价部门规定该品牌贵州特产的销售单价不得高于 85 元/kg 即可
工人不会碰到头，理由： ∵小船距 O 点 0.4 m，小船宽 1.2 m，工人直立在小船中间，由题意得工 人距 O 点距离为
1 0．4＋2×1.2＝1(m)， ∴将 x＝1 代入 y＝－14x2＋2x，解得 y＝1.75 m， ∵1.75 m＞1.68 m， ∴此时工人不会碰到头．
重难点：二次函数的实际应用
2．(2022·铜仁第 23 题 12 分)为实施“乡村振兴”计划，某村产业合作 社种植了“千亩桃园”.2022 年该村桃子丰收，销售前对本地市场进行调 查发现：当批发价为 4 千元/t 时，每天可售出 12 t，每吨涨 1 千元，每 天销量将减少 2 t，据测算，每吨平均投入成本 2 千元，为了抢占市场， 薄利多销，该村产业合作社决定，批发价每吨不低于 4 千元，不高于 5.5 千元．
鲁教版二次函数的应用2
• 注：年销售利润=（每件玩具的出厂价﹣每件玩具的成本）× 年销售量．
谈谈你的收获
总利润=一件T恤的利润×件数。
2. 某旅行社有客房120间，每间房的日 租金为160元时，每天都客满.经市场调查发 现，如果每间客房日租金每增加10元，那 么客房每天出租数会减少6间.不考虑其他因
素，旅社将每间客房的日租金调高到多少 元时，客房日租金的总收入最高？
3.某果园有100棵橙子树，每一棵树平均结600个橙 子.现准备多种一些橙子树以提高果园产量，但是如果 多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光 就会减少，根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵 树就会少结5个橙子.设增种x棵树，果园的橙子总产量 为y个，写出y与x之间的关系式。
鲁教版二次函数的应用（2）
理解和体会二次函数是解决最值问题的一种重要模型
想一想
1. 服装厂生产某品牌的T恤衫，每件的成本是10元. 根据市场调查,以单价13元批发给经销商，经销商愿意
经销5000件，并且表示每件降价0.1元，愿意多经销500
件.厂家批发单价是多少时，可以获利最多? 读题步骤： 1.题中涉及到哪几个量？ 成本，单价，销售件数，利润。 2.其中哪几个量是变化的？怎么变化？怎么进行数学 表示？ 3.此题中总利润的关系式是什么？
（解答课本P99议一议问题）
•
一玩具厂去年生产某种玩具，成本为10元/件，出厂价为12
元/件，年销售量为2万件．今年计划通过适当增加成本来提高
产品档次，以拓展市场．若今年这种玩具每件的成本比去年成
本增加0.7x倍，今年这种玩具每件的出厂价比去年出厂价相应
提高0.5X倍，则预计今年年销售量将比去年年销售量增加X倍
（本题中0＜x≤11）．
鲁教版初四上册第二章二次函数全章测试题(五)
鲁教版初四上册第二章二次函数全章测试题（五）(满分：150 分，时间：120 分钟)一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1．下列函数不属于二次函数的是 （ ） A.y ＝(x －1)(x ＋2) B.y ＝21(x ＋1)2 C. y ＝1－3x 2 D. y ＝2(x ＋3)2－2x 22. 抛物线()12212++=x y 的顶点坐标是 （ ）A ．（2，1）B ．（－2，1）C ．（2，－1）D ．（－2，－1） 3. 函数y ＝－x 2－4x －3图象顶点坐标是 （ ）A.（2，－1）B.（－2，1）C.（－2，－1）D.（2， 1）4．已知二次函数)2(2-++=m m x mx y 的图象经过原点，则m 的值为 （ ）A ． 0或2B ． 0C ． 2D ．无法确定5．二次函数c bx x y ++=2的图象上有两点(3，4)和(－5，4)，则此拋物线的对称轴是直线 （ ）A ．1x =-B ．1x =C ．2x =D ．3x =6．函数y ＝2x 2－3x ＋4经过的象限是 （ ）A.一、二、三象限B.一、二象限C.三、四象限D.一、二、四象限 7．抛物线y ＝x 2－bx ＋8的顶点在x 轴上，则b 的值一定为 （ ）A.4B. －4C.2或－2D.42或－42 8．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，下列结论错误的是 （ ）A ．a ＞0B ．b ＞0C ．c ＜0D ．abc ＞0 9．如图，正△AOB 的顶点A 在反比例函数y ＝3x(x ＞0)的图象上，则点B 的坐标为（ ） A ．(2，0) B ．(3，0) C ．(23，0) D ．(32，0)第9题图) (第10题图)10．如图，△OAP、△ABQ 均是等腰直角三角形，点P 、Q 在函数4(0)y x x=> 的图像上，直角顶点A 、B 均在x轴上，则点B 的坐标为 （ ）A ．(12+，0)B ．(15+，0)C ．(3，0)D ．(15-，O) 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）11．抛物线()b x b x y 322+--=的顶点在y 轴上，则b 的值为 ．12．如图，P 为反比例函数xk y =的图象上的点，过P 分别向x 轴和y 轴引垂线，它们与两条坐标轴围成的矩形面积为2，这个反比例函数解析式为__________________． (第12题图)13．如图所示,在同一坐标系中,作出①23x y =②221x y =③2x y =的图象则图象从里到外的三条抛物线对应的函数依次是(填序号) ．14．把抛物线y ＝c bx ax ++2先向右平移2个单位，再向下平移 5个单位得到抛物线222--=x x y ，那么=a ，=b ，=c ． (第13题图)三、(本题共2小题，每小题8分，满分 16 分) 15．拱桥的形状是抛物线，其函数关系式为231x y -=，当水面离桥顶的高度为325m 时，水面的宽度为多少米？16．已知二次函数的顶点坐标为(1，4)，且其图象经过点(－2，－5)，求此二次函数的解析式．四、(本题共2小题，每小题8分，满分 16 分)17．用长为20cm 的铁丝，折成一个矩形，设它的一边长为xcm ，面积为ycm 2． (1)求出y 与x 的函数关系式．（2）当边长x 为多少时，矩形的面积最大，最大面积是多少？18．如图，已知一抛物线形大门，其地面宽度AB ＝18m.一同学站在门内，在离门脚B 点1m 远的D 处，垂直地面立起一根1.7m 长的木杆，其顶端恰好顶在抛物线形门上C 处．根据这些条件，请你求出该大门的高h ．五、(本题共2小题，每小题10分，满分 20 分) 19. 已知函数y ＝y 1＋y 2，y 1与x 成正比例，y 2与x 成反比例，且当x ＝1时，y ＝－1；当x ＝ 3时，y ＝ 5．求y 关于x 的函数关系式．20．抛物线6822-+-=x x y ．（1）用配方法求顶点坐标，对称轴； （2）x 取何值时，y 随x 的增大而减小？（3）x 取何值时，y ＝0；x 取何值时，y ＞0；x 取何值时，y ＜0 ．六、（本大题满分12分）21．已知抛物线y ＝ax 2＋6x －8与直线y ＝－3x 相交于点A(1，m)．（1）求抛物线的解析式；（2）请问(1)中的抛物线经过怎样的平移就可以得到y ＝ax 2的图象？七、（本大题满分12分）22．某地要建造一个圆形喷水池，在水池中央垂直于水面安装一个花形柱子OA ，O 恰好在水面中心，安装在柱子顶端A 处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，且在过OA 的任一平面上，抛物线的形状如图(1)和(2)所示，建立直角坐标系，水流喷出的高度y(米)与水平距离x(米)之间的关系式是y ＝－x 2＋2x ＋54，请你寻求：（1）柱子OA 的高度为多少米?（2）喷出的水流距水平面的最大高度是多少?（3）若不计其他因素，水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流不至于落在池外．八、（本大题满分14分）23.如图，一位运动员在距篮下4米处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为2.5米时，达到最大高度3.5米，然后准确落入篮圈．已知篮圈中心到地面的距离为3.05米．(1)建立如图所示的直角坐标系，求抛物线的表达式；(2)该运动员身高1.8米，在这次跳投中，球在头顶上方0.25问：球出手时，他跳离地面的高度是多少．(1)第22章《二次函数》答案一、选择题1.D2.B3.B4.C5.A6.B7.D8.B9.A 10.B 二、填空题 11．2； 12．xy 2-= ； 13.①③②； 14． 1，2，3．三、15．10m ．16． 设此二次函数的解析式为4)1(2+-=x a y ．∵其图象经过点(－2，－5)， ∴54)12(2-=+--a ，∴1-=a ， ∴324)1(22++-=+--=x x x y 四、17.（1）210x x y -=；（2）25)5(2+--=x y ，所以当x ＝5时，矩形的面积最大，最大为25cm 2．18．解法一：如图1，建立平面直角坐标系．设抛物线解析式为y ＝ax 2＋bx ．由题意知B 、C 两点坐标分别为B(18,0)，C(17,1.7)． 把B 、C 两点坐标代入抛物线解析式得解得∴抛物线的解析式为 y ＝－0.1x 2＋1.8x ＝－0.1(x －9)2＋8.1． ∴该大门的高h 为8.1m ．解法二：如图2，建立平面直角坐标系． 设抛物线解析式为y ＝ax 2．由题意得B 、C 两点坐标分别为B(9,－h)，C(8,－h ＋1.7)． 把B 、C 两点坐标代入y ＝ax 2得解得．∴y＝－0.1x 2.∴该大门的高h 为8.1m ．说明：此题还可以以AB 所在直线为x 轴，AB 中点为原点，建立直角坐标系，可得抛物线解析式为y ＝－0.1x 2＋8.1．五、19.解：xx y 32-=．提示：设xk x k y 21-=．y20．2)2(268222+--=-+-=x x x y ．（1）顶点坐标为（2，2），对称轴为直线2=x ； （2）当2>x 时，y 随x 的增大而减小；（3）当1=x 或3=x 时，y ＝0；当31<<x 时，y ＞0；当1<x 或3>x 时，y ＜0 ．六、21．解：（1）∵点A(1,m)在直线y ＝－3x 上，∴m ＝－3×1＝－3．把x ＝1，y ＝－3代入y ＝ax 2＋6x －8，求得a ＝－1． ∴抛物线的解析式是y ＝－x 2＋6x －8．（2）y ＝－x 2＋6x －8＝－(x －3)2＋1．∴顶点坐标为(3,1)．∴把抛物线y ＝－x 2＋6x －8向左平移3个单位长度得到y ＝－x 2＋1的图象，再把y ＝－x 2＋1的图象向下平移1个单位长度(或向下平移1个单位再向左平移3个单位)得到y ＝－x 2的图象． 七、22．(1)当x ＝0时，y ＝54，故OA 的高度为1.25米．(2)∵y＝－x 2＋2x ＋54＝－(x －1)2＋2.25，∴顶点是(1，2.25)，故喷出的水流距水面的最大高度是2.25米． (3)解方程－(x －1)2＋2.25＝0,得1215,22x x =-=．∴B 点坐标为5,02⎛⎫⎪⎝⎭．∴OB＝52．故不计其他因素，水池的半径至少要2.5米，才能使喷出的水流不至于落在水池外．八、23. (1)设抛物线的表达式为y ＝ax 2＋3.5．由图知图象过点： (1.5，3.05)．y ＝1.52 a ＋3.5＝3.05∴a ＝－0.2∴抛物线的表达式为y ＝－0.2x 2＋3.5．(2)设球出手时，他跳离地面的高度为h m ，则球出手时，球的高度为：h ＋1.8＋0.25＝(h ＋2.05) m ，∴h ＋2.05＝－0.2×(－2.5)2＋3.5,∴h ＝0.2(m)．。
初中数学_二次函数的应用(3)——生活中的抛物线教学课件设计
单行道
双车道
隔离带+双车道
新知探究二
公园要建造圆形的喷水池，在水池中央垂直于水面处安装一个
柱子OA，O点恰在水面中心，OA=1.25米，由柱子顶端A处的喷头
向外喷水，水流在各个方向沿形状相同的抛物线路线落下。为使
水流较为漂亮，要求设计成水流在离OA距离为1米处达到距水面
最大高度2.25米。如果不计其他因素，那么水池的半径至少要多
宽度为2.4m,那么这辆汽车能否顺利通过隧道？
y C
M
N
y=2.65
2.65
2.4
A
x1 O
x2
x B
新知探究一
某隧道的截面呈抛物线型，截面的地面宽AB为4m,顶部C距地面 的高度为4.4m。
一辆满载货物的汽车欲通过隧道，货物顶部距地面2.65m,装货 宽度为2.4m,那么这辆汽车能否顺y 利通过隧道？
老师寄语
数学与我们的生活密不可分， 许多生活中的实际问题，都可以 通过建立相应的数学模型转换成 数学问题，从而得到更好地解决。 所以，让我们一如既往地热爱数 学，热爱生活，用知识点亮智慧 人生！
（1，2.25）
左边抛物 线的表达 式？
（0，1.25）
左侧：y=-(x+1)2+2.25
归纳小结
将实际的抛物线型问题转化为数学问题的一般解法是：
（1）理解问题，建立适当的直角坐标系;(简单易算) （2）根据题意，确定相关点的坐标; （3）求出函数表达式; （4）求解；（知x求y或知y求x） （5）验证结果的合理性； （6）给出结论（写答）.
（鲁教版五四学制）九年级上册 义务教育教科书
3.6(3)二次函数的应用
——生活中的抛物线
新鲁教版 3.6 二次函数的应用 1
2 x y 2 4 2 2 7 2 15 7 15 225 x x . x 2 2 2 14 56 b 15 4ac b 2 225 或用公式 : 当x 1.07时, y最大值 4.02. 2a 14 4a 56
l D Q C R
通过前面活动，这节课你学到了什么？
本节课我们进一步学习了用二次函数知识解决 最大面积问题，增强了应用数学知识的意识， 获得了利用数学方法解决实际问题的经验， 并进一步感受了数学建模思想和数学知识的 应用价值．
如图，在一面靠墙的空地上用长为24米的篱笆，围成中间隔有二道 篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB为x米，面积为S平方米。 (1)求S与x的函数关系式及自变量的取值范围； (2)当x取何值时所围成的花圃面积最大，最大值是多少？ (3)若墙的最大可用长度为8米，则求围成花圃的最大面积。
用48米长的竹篱笆围建一矩形养鸡场,养 鸡场一面用砖砌成,另三面用竹篱笆围成,并 且在与砖墙相对的一面开2米宽的门(不用篱 笆),问养鸡场的边长为多少米时,养鸡场占 地面积最大?最大面积是多少?
xm
ym2
2m
xm
正方形ABCD边长5cm,等腰三角形PQR中,PQ=PR=5cm, QR=8cm,点D、C、Q、R在同一直线l上，当C、Q两 点重合时，等腰△PQR以1cm/s的速度沿直线l向 左方向开始匀速运动，ts后正方形与等腰三角形 重合部分面积为Scm2，解答下列问题： (1)当t=3s时，求S的值； B A (2)当t=3s时，求S的值； (3)当5s≤t≤8s时，求S P M 与t的函数关系式，并求 S的最大值。
2.窗户面积S 2 xy
3.用一块宽为1.2m的长方形铁板弯起两边 做一个水槽，水槽的横断面为底角120º 的 等腰梯形。要使水槽的横断面积最大，它 的侧面AB应该是多长？
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课时1 二次函数最大值的应用课时
何时获得最大利润
回顾思考
1、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的 、二次函数 的
顶点坐标和对称轴公式: 顶点坐标和对称轴公式:
b 4 c−b a − , 2 a a 4
2
b 直 x =− 线 2 a
想一想
何时橙子总产量最大
某果园有100棵橙子树，每一棵平均结600个橙子。现 某果园有100棵橙子树，每一棵平均结600个橙子。 100棵橙子树 600个橙子 准备多种一些橙子树以提高产量，但是如果多种树， 准备多种一些橙子树以提高产量，但是如果多种树，那么 树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少。 树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少。根据 经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子。 经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子。 增种多少棵橙子树，可使橙子总产量最多？ 问：增种多少棵橙子树，可使橙子总产量最多？
何时获得最大利润
某商店经营一种小商品, 某商店经营一种小商品,已知成批购进时单价 2.5元 根据市场调查, 是2.5元.根据市场调查,销售量与销售单价满足 如下关系:在一段时间内,单价是13.5元时, 13.5元时 如下关系:在一段时间内,单价是13.5元时,销售 量是500 500件 而单价每降低1 就可以多售出200 200件 量是500件,而单价每降低1元,就可以多售出200件.
答：应提价5元,才能在半个月内获得 应提价5 最大利润4500 4500元 最大利润4500元。
通过这节课的学习 你有哪些收获？ 你有哪些收获？
想一想
何时橙子总产量最大
还记得本章一开始涉及的“种多少棵橙子树” 还记得本章一开始涉及的“种多少棵橙子树” 的问题吗？ 的问题吗？
我们曾经利用列表的方法猜测增种多少 棵橙子树时,总产量最大? 棵橙子树时,总产量最大? 多种10棵橙子树， 10棵橙子树 多种10棵橙子树，可使橙子总产量 最多， 60500个 最多，共60500个。 现在请你验证一下你的猜测
答：多种10棵橙子树，可使橙子总产量最多， 多种10棵橙子树，可使橙子总产量最多， 10棵橙子树 60500个 共60500个。
（1）利用函数图象描述橙子的总产量与增种 橙子树的棵数之间的关系。 橙子树的棵数之间的关系。 2
y/个 个
60600 60500 60400 60300 60200 60100
y=(x−25 [5 0+2 01 .5−x)] .) 0 0(3 2 =− 0 x +3 0 x−8 0 20 70 00
当x=
92 时，y .5
最大
=
9 1 .5 12
。
答：当销售单价为9.25元时,可以获得最大利润, 当销售单价为9.25元时,可以获得最大利润, 9.25元时 最大利润是9112.5 9112.5元 最大利润是9112.5元.
设销售单价为x 设销售单价为x元（0<x<13.5)时,所获利润为y元,那么 0<x<13.5)时 所获利润为y 此时销售单价比原来降低了 元 此时销售量可表示为: 此时销售量可表示为:
[500+200(13.5−x)]
(x−25 .)
。
(13.5−x)
件;
此时每件商品所获利润表示为: 此时每件商品所获利润表示为: 那么所获总利润y 的关系可表示为: 那么所获总利润y与x的关系可表示为:
解：设提价x元时销售利润为y元(x≥30) ， 设提价x元时销售利润为y 由题意得
y =(4 0−2 x)(3 −2 +x) 0 0 0 0 2 =− 0x +2 0x+4 0 2 0 00 2 =− 0 x−5 +4 0 2( ) 50
因为a=－20<0,所以y有最大值， 因为a=－20<0,所以y有最大值， a= 所以 x=5时 当x=5时，y最大=4500
解：设增种的橙子树数量为x棵，橙子的总数为y个,依题意得： 设增种的橙子树数量为x 橙子的总数为y 依题意得：
y= (600-5x)(100+x) (600= -5x²+100x+60000. 5x +100x+60000 2
=− ( x− 0 +6 5 0 5 1) 00.
因为a=－5<0,所以y有最大值， 因为a=－5<0,所以y有最大值， a= 所以 x=10时 当x=10时，y最大=60500
元;
y=(x−25 [5 0+2 01 .5−x)] . x) 0 y有最大值？3 0( 然后你只需求出当x取多少时y 然后你只需求出当 取多少时 有最大值？
以及这个最大值是多少? 以及这个最大值是多少?
解：设销售单价为x元时,所获利润为y元， 设销售单价为x元时,所获利润为y 由题意得
2 b 30 70 20 . =9 + 1 2 5 5 − =− − (x−92 ) .2 9 1 .5 =0 2 2 a 2− 0 ) ( 20 2 4 c−b 4 − 0 )(− 0 0 −3 0 a ( 20 80) 7 0 = =9 1 .5 12 4 a 4− 0 ) ( 20 因为a=－ 所以y有最大值 因为 －200<0,所以 有最大值， 所以 有最大值，
y =− (x−1 ) +6 5 0 5 0 00
10
60500
x y
0
60000
5
60375
15
60375
20
60000
x<10时 当0≤x<10时，橙子的总产量随 x<10 增种橙子树的增加而增加； 增种橙子树的增加而增加； x>10时 当x>10时，橙子的总产量随增 种橙子树的增加而减少。 种橙子树的增加而减少。 x=10时 当x=10时，橙子的总产量达到最多 （2）增种多少棵橙子树，可以 ）增种多少棵橙子树， 使橙子的总产量在60400个以上？ 60400个以上 使橙子的总产量在60400个以上？ 增种6～14棵，都可以使 增种6 14棵 橙子的总产量在60400个以上。 60400个以上 橙子的总产量在60400个以上。 15 20 x/棵 棵
( ) y =x +2 − 1. x 1 2 (2 .y =− x + 2 − 3 ) 2 1x 1
2、求出下面两个抛物线的顶点坐标 、 2
何时获得最大利润
某商店经营一种小商品, 某商店经营一种小商品,已知成批购进 时单价是2.5 2.5元 根据市场调查, 时单价是2.5元.根据市场调查,销售量与 销售单价满足如下关系:在一段时间内, 销售单价满足如下关系:在一段时间内, 单价是13.5元时,销售量是500 13.5元时 500件 单价是13.5元时,销售量是500件,而单价 每降低1 就可以多售出200 200件 每降低1元,就可以多售出200件. 请你帮助分析:销售单价是多少时, 请你帮助分析:销售单价是多少时,可以 获利最多? 获利最多?
60000
x1 5 10
x2
O
随堂 练习
何时获得最大利润
某商店购进一批单价为20元的一批商品, 某商店购进一批单价为20元的一批商品,如果 20元的一批商品 以单价30元销售,那么半个月内可以售出400 30元销售 以单价30元销售,那么半个月内可以售出400 根据销售经验, 件.根据销售经验,提高单价会导致销售量的 减少,即销售单价每提高1 减少,即销售单价每提高1元,销售量相应减 20件 如何提高售价, 少20件.如何提高售价,才能在半个月内获得 最大利润? 最大利润?