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黑龙江哈师大附中2019届高三第三次月考数学(文)试题

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2019年黑龙江省哈尔滨三中高考数学三模试卷(文科)(有答案解析)

2019年黑龙江省哈尔滨三中高考数学三模试卷(文科)(有答案解析)

2019年黑龙江省哈尔滨三中高考数学三模试卷（文科）题号一二三总分得分一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.若复数z=a+i（a∈R）的模为，则a=（）A. 1B. ±1C. 2D. ±22.设命题：∀x∈R，x2-3x+2≤0，则￢p为（）A. ∃x0∈R，x02-3x0+2≤0B. ∀x∈R，x2-3x+2＞0C. ∃x0∈R，x02-3x0+2＞0D. ∀x∈R，x2-3x+2≥03.已知集合A={x|＜0}，B={x|y=），则A∩B=（）A. （-1，2）B. [-1，2）C. [-1，2]D. [-2，2]4.已知函数（f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则f（x）的解析式可以为（）A. y＝2sin（2x+）B. y＝2sin（x+）C. y＝2sin（2x﹣）D. y＝2sin（x﹣）5.过抛物线y2=4x的焦点作一条倾斜角为的直线，与抛物线交于A，B两点，则|AB|=（）A. 4B. 6C. 8D. 166.函数y=4x+2x+1+3（x∈R）的值域为（）A. [2，+∞）B. （3，+∞）C. （，+∞）D. [9，+∞）7.若直线y=kx+1与圆x2+y2=1相交于P，Q两点，且△POQ为等边三角形（其中O为原点），则k的值为（）A. 或-B.C. 或-D.8.已知某个几何体的三视图如图（主视图中的弧线是半圆），根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的表面积是（）cm2A. 20+2πB. 20+3πC. 24+2πD. 24+3π9.在边长为2的正方形ABCD内任取一点P，使得∠APB≤的概率为（）A. 1-B.C.D. 1-10.阅读右面的程序框图，如果输入的实数x的取值范围是（-∞，1]∪[2，+∞），那么输出的函数值f（x）取值范围是（）A. [0，2]B. [，2]C. [，4]D. [，2]∪{4}11.已知函数f（x）=a sin x+b cos x，且f（）是它的最大值（其中a，b为常数，且m≠0），给出下列命题：①函数f（x-）为奇函数②函数f（x）的图象关于x=对称；③函数f（-）是函数的最小值④函数f（x）的图象在y轴右侧与直线y=的交点按横坐标从小至大依次记为P1，P2，P3，P4…则|P2P4|=2π．其中正确的个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 412.函数f（x）=，若存在实数m，使得方程f（x）=m有三个相异实根，则实数a的范围是（）A. [，+∞）B. [0，]C. （-∞，2]D. [，2）二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知向量=（1，-2），=（t，3），若∥，则t=______14.等比数列{a n}中，a1=1，a3•a5=64，则a2019=______15.设变量x，y满足约束条件：，则目标函数z=3x-2y的最小值为______．16.数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直，形少数时难入微”．事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解法，例如，与相关的代数问题，可以转化为点A（x，y）与点B（a，b）之间距离的几何问题．结合上述观点，可得方程=4的解为______三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知等差效列{a n}的前n项和为S n，且a1=1，S2+a2=4．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设数列b n=2n+1•a n求{b n}的前项和T n．18.棉花的优质率是以其纤维长度来衡量的，纤维越长的棉龙品质越高．棉花的品质分类标准为纤维长度小于等于28mm的为粗绒棉，纤维长度在（25，33]为细绒棉，纤维长度大于33mm的为长绒棉，其中纤维长度在38mm以上的棉花又名“军海1号”，某采购商从新疆某一棉花基地抽测了100根棉花的纤维长度，得到数据如下图频率分有表所示纤维长度（mm）≤25（25，33]（33，38]＞38根数2384020（）若将频率作为概率，根据以上数据，能否认为该基地的这批棉花符合“长绒棉占全部棉花的50%以上的要求（2）用样本估计总体，若这批棉共有10000kg，基地提出了两种销售方案给采购商参考．方案一：不分等级卖出，每千克按13.5元计算．方案二：对10000kg棉花先分等级再销售，分级后不同等级的棉花售价如表纤维长度（mm）≤25（25，33]（33，38]＞38根数281525从采购商的角度，请你帮他决策一下该用哪个方案．（3）用分层抽样的方法从长绒棉中抽取6根棉花，再从6根棉花中取两根进行检验，求抽到的两根棉花只有一根是“军海1号”的概率．19.如图，在五棱锥P-ABCDE中，AB∥DE，BC∥AE，AE⊥平面PDE，AB=AE=PD=2DE=2BC=4，∠PDE=60°．（1）证明：PE⊥CD；（2）过点D作平行于平面PAE的截面，与直线AB，PB，PC分别交于F，G，H，求夹在该截面与平面PAE之间的几何体体积．20.已知函数f（x）=x-1--ln x．（1）若a=0，求f（x）在x=1处的切线方程（2）若函数f（x）存在两个极值点x1和x2，求证：f（x1x2）+≥2ln2-1．21.已知定点P（2，0），圆M：x2+y2+4x-60=0，过点P的直线l₁交圆M于R，S两点，过点P作直线l2∥MS交直线MR于Q点（1）求Q点的轨迹方程E（2）若A，B，C，D是曲线E上不重合的四个点，且AC与BD交于点（-2，0），•=0，求||+||的取值范围22.在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数，0≤α＜π），以坐标原点O为极点，x轴正半籼为极轴；建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为．（1）求曲线C2的直角坐标方程；（2）若曲线C1与C2交于A，B两点，且|AB|=2，求α的值．23.设函数f（x）=|x-a|，如果不等式f（x）≤1的解集为{x|0≤x≤2}．（1）求a的值；（2）当x∈（0，1），证明：．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：解：∵z=a+i（a∈R）的模为，∴，解得a=±1．故选：B．直接利用复数模的计算公式列式求解．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．2.答案：C解析：解：命题为全称命题，命题：∀x∈R，x2-3x+2≤0，则￢p为∃x0∈R，x02-3x0+2＞0，故选：C．根据含有量词的命题的否定即可得到结论．本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．3.答案：B解析：解：集合A={x|＜0}=（-2，2），∵B={x|y=），∴-x2+x+2≥0，解得-1≤x≤2，即B=[-1，2]，∴A∩B=[-1，2），故选：B．化简集合A、B，根据交集的定义写出A∩B．本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题．4.答案：A解析：解：由函数f（x）=A sin（ωx+φ）的部分图象知，A=2，T=-=，解得T=π.∴ω==2；又ωx+φ=2×+φ=，解得φ=.∴f（x）=2sin（2x+）．故选：A．由函数f（x）的部分图象求得A、T、ω和φ的值，即可写出f（x）．本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，是基础题.5.答案：D解析：解：抛物线的焦点坐标为F（1，0），p=2，过焦点的直线的斜率k=tan=，则直线方程为y=（x-1），代入y2=4x得（x-1）2=4x，整理得x2-14x+1=0，设A，B的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），则x1+x2=14，则|AB|=x1+x2+p=14+2=16，故选：D．求出焦点坐标和直线方程，结合过焦点直线方程，利用设而不求的思想进行求解即可．本题主要考查直线和抛物线的应用，联立方程组，利用设而不求思想，结合抛物线的弦长公式进行计算是解决本题的关键．6.答案：B解析：解：令t=2x（t＞0），∴函数y=4x+2x+1+3（x∈R）化为f（t）=t2+2t+3=（t+1）2+2（t＞0），∴f（t）＞3．即函数y=4x+2x+1+3（x∈R）的值域为（3，+∞）．故选：B．令t=2x（t＞0），把原函数转化为关于t的一元二次函数求解．本题考查利用换元法及配方法求函数的值域，是基础题．7.答案：C解析：【分析】本题考查直线和圆的位置关系，是基础题．由已知可得，圆心（0，0）到直线的距离d=，结合点到直线的距离公式可求k．【解答】解：∵y=kx+1与圆x2+y2=1过点（0，1），设P（0，1），∵△POQ为等边三角形，边长为1，∴圆心（0，0）到直线的距离d=，解可得，k=，故选C．8.答案：B解析：解：三视图复原几何体是一个组合体，上部是横卧的圆柱的一半，底面是一个半圆，其中半径为1，高为2的半圆柱；下部是正方体，棱长为：2，半圆柱的侧面积为π×1×2+π×12=3π，正方体部分的侧面积为2×2×5=20，所以组合体的表面积为20+3π（cm2）．故选：B．三视图复原几何体是一个组合体，上部是圆柱的一半，下部是正方体，根据三视图的数据，求出几何体的表面积．本题考查由三视图求组合体的表面积，考查空间想象能力，计算能力，是基础题．9.答案：A解析：解：如图正方形的边长为2，图中白色区域是以AB为直径的半圆，当P落在半圆内时，∠APB＞；当P落在半圆上时，∠APB=；当P落在半圆外时，∠APB＜．故使∠APB＜的概率P==1-．故选：A．由题意画出图形，再由测度比是面积比得答案．本题考查几何概型概率的求法，明确P点的位置是解答该题的关键，是基础题．10.答案：D解析：解：分析程序中各变量、各语句的作用再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算分段函数f（x）=的函数值．可得当-∞＜x＜-2时，f（x）=2；当-2≤x≤1时，f（x）∈[，2]；当x=2时，f（x）=4；当x＞2时，f（x）=2；综上，可得输入的实数x的取值范围是（-∞，1]∪[2，+∞）时，输出的函数值f（x）取值范围是[，2]∪{4}．故选：D．分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算分段函数f（x）=的函数值，由已知分类讨论即可求解．本题考查的知识点是选择结构，其中根据函数的流程图判断出程序的功能是解答本题的关键，属于基本知识的考查．11.答案：C解析：解：由于函数f（x）=a sin x+b cos x=sin（x+∅），且f（）是它的最大值，∴+∅=2kπ+，k∈Z，∴∅=2kπ+，∴tan∅==1．∴f（x）=|a|sin（x+）．对于①，由于f（x-）=|a|sin x．是奇函数，故①正确；对于②，由于当x=时，f（x）=|a|，故函数f（x）的图象不关于x=对称，故②不正确；对于③，由于f（-）=|a|sin（-+）=-|a|，为函数f（x）的最小值，故③正确；对于④，函数f（x）的图象即把函数y=|a|sin x的图象向左平移个单位得到的，故|P2P4|等于一个周期2π，故④正确．故选：C．由题意可得f（x）=sin（x+∅），对于①，由于f（x-）=|a|sin x．是奇函数，可判断①；对于②，由于x=时，f（x）=|a|，可判断②；对于③，由f（-）=|a|sin（-+）=-|a|，是函数f（x）的最小值，可判断③；对于④，由题意可得，|P2P4|等于一个周期2π，可判断④．本题考查两角和正弦公式，正弦函数的最值，对称性，奇偶性，函数图象的变换，得到f（x）=|a|sin（x+）是解题的关键，属于中档题．12.答案：D解析：解：当-2≤x≤0时，f（x）=2x3+3x2+1．∴f′（x）=6x2+6x=6x（x+1）令f′（x）=0⇒x=0或x=-1；令f′（x）＞0⇒-2＜x＜-1；令f′（x）＜0⇒-1＜x＜0；且最大值为f（-1）=-2+3+1=2；f（-2）=-16+12+1=-3；f（0）=1；当0≤x≤2时，f′（x）=ae x，则若a＜0时，可得f′（x）＜0恒成立，即f（x）在（0，2）上单调递减且最大值为f（0）＜0，不存在有三个相异实根，故不成立舍掉；同理，当a=0时也不存在舍掉；即实数a必须大于0；故当a＞0时，f′（x）＞0恒成立，即f（x）在（0，2）上单调递增，若想f（x）=m有三个相异实根，必须满足⇒．故选：D．分情况讨论，通过函数的单调性求出满足条件的方程的充要条件，列出不等式求解即可得答案．本题考查了函数与方程的综合应用，直线与抛物线的关系的应用，属于中档题．13.答案：-解析：解：向量=（1，-2），=（t，3），若∥，则3×1-（-2）×t=0，解得t=-．故答案为：-．根据平面向量的共线定理，列方程求出t的值．本题考查了平面向量的共线定理应用问题，是基础题．14.答案：解析：解：依题意，数列{a n}是等比数列，设其公比为q，则a3•a5=64=，即a6=64=26，所以q=2或q=-2，所以a2019==22018，故答案为：22018．数列{a n}是等比数列，设其公比为q，则a3•a5=64=，即a6=64=26，所以q=2或q=-2，代入即可．本题考查了等比数列的通项公式，等比数列的性质，属于基础题．15.答案：-1解析：解：画出不等式组表示的平面区域，如图阴影所示；由图形知，当目标函数z=3x-2y过点A时，z取得最小值；由，求得A（1，2），所以z的最小值为z min=3×1-2×2=-1．故答案为：-1．画出不等式组表示的平面区域，结合图形找出最优解，计算目标函数的最小值．本题考查了不等式组表示平面区域的应用问题，也考查了数形结合思想，是中档题．16.答案：解析：解：由=4，得，其几何意义为平面内动点（x，2）与两定点（-3，0），（3，0）距离差的绝对值为4．平面内动点与两定点（-3，0），（3，0）距离差的绝对值为4的点的轨迹为．联立，解得x=．故答案为：．由=4，得，其几何意义为平面内动点（x，2）与两定点（-3，0），（3，0）距离差的绝对值为4．求出平面内动点与两定点（-3，0），（3，0）距离差的绝对值为4的点的轨迹方程，取y=2求得x 值即可．本题考查曲线与方程的求法，考查数学转化思想方法，是中档题．17.答案：解：（1）等差效列{a n}的公差设为d，且a1=1，S2+a2=4，可得1+1+d+1+d=4，解得d=，则a n=1+（n-1）=；（2）b n=2n+1•a n=（n+1）•2n，前n项和T n=2•2+3•4+4•8+…+（n+1）•2n，2T n=2•4+3•8+4•16+…+（n+1）•2n+1，相减可得-T n=4+4+8+16+…+2n-（n+1）•2n+1=2+-（n+1）•2n+1，化为T n=n•2n+1．解析：（1）等差效列{a n}的公差设为d，运用等差数列的通项公式，解方程可得d，进而得到所求通项公式；（2）求得b n=2n+1•a n=（n+1）•2n，运用数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，化简可得所求和．本题考查等差数列的通项公式，等比数列的求和公式，以及数列的错位相减法求和，考查方程思想和运算能力，属于中档题．18.答案：解：（1）将频率作为概率，根据以上数据，长绒棉占全部棉花的比例为P==60%，∴该基地的这批棉花符合“长绒棉占全部棉花的50%以上的要求“．（2）方案一：13.5×10000=135000．方案二：2×200+8×3800+15×4000+25×2000=140800．∴从采购商的角度，该用方案一．（3）用分层抽样的方法从长绒棉中抽取6根棉花，其中“军海1号”抽取到：6×=2，再从6根棉花中取两根进行检验，基本事件总数n==15，抽到的两根棉花只有一根是“军海1号”包含的基本事件个数m==8，∴抽到的两根棉花只有一根是“军海1号”的概率p=．解析：（1）将频率作为概率，能求出该基地的这批棉花符合“长绒棉占全部棉花的50%以上的要求“．（2）方案一：13.5×10000=135000．方案二：2×200+8×3800+15×4000+25×2000=140800．从采购商的角度，该用方案一．（3）用分层抽样的方法从长绒棉中抽取6根棉花，其中“军海1号”抽取到2根，再从6根棉花中取两根进行检验，利用古典概型能求出抽到的两根棉花只有一根是“军海1号”的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．19.答案：（1）证明：∵DE=2，PD=4，∠PDE=60°，∴PE==2，∴PE⊥DE．∵AE⊥平面PDE，PE⊂平面PDE，∴AE⊥PE，又AE∩DE=E，AE⊂平面ABCDE，DE⊂平面ABCDE，∴PE⊥平面ABCDE，又CD⊂平面ABCDE，∴PE⊥CD．（2）解：∵平面PAE∥平面DFGH，∴DF∥AE，PA∥GF，又BC∥AE，AB∥DE，∵AE⊥平面PDE，DE⊂平面PDE，∴AE⊥DE，∴四边形AEDF是矩形，∴V P-AEDF=S矩形AEDF•PE==．∵AP∥GF，∴P到平面DFGH的距离等于A到平面DFGH的距离，由（1）可知PE⊥平面ABCDE，故而PE⊥AF，又AF⊥AE，AE∩PE=E，∴AF⊥平面PAE，∴AF⊥平面DFGH，∵BC∥AE，DF∥AE，∴BC∥DF，又BC⊄平面DFGH，DF⊂平面DFGH，∴BC∥平面DFGH，又BC⊂平面PBC，平面PBC∩平面DFGH=GH，∴BC∥GH，∵AF=DE=AB，故F为AB的中点，∴G为PB的中点，∴H是PC的中点，∴GH=BC=1，又梯形DFGH的高为PE=，∴V P-DFGH=V A-DFGH=•AF=×（1+4）××2=．∴夹在该截面与平面PAE之间的几何体体积V=V P-AEDF+V P-DFGH=7．解析：（1）根据AE⊥DE，PE⊥DE可得PE⊥平面ABCDE，于是PE⊥CD；（2）求出梯形DFGH的面积，分别计算棱锥P-AEDF和棱锥P-DFGH的体积．本题考查了线面垂直的判定与性质，考查棱锥的体积计算，属于中档题．20.答案：解：（1）函数f（x）=x-1--ln x．若a=0，f（x）=x-1-ln x，f′（x）=1-，f（1）=0，f′（1）=0，f（x）在x=1处的切线方程为y=0，（2）证明：函数f（x）=x-1--ln x．f′（x）=，因为函数f（x）存在两个极值点x1和x2，所以f′（x）=0，x1=1，x2=，a∈（0，）∪（，1），f（x1x2）+=-2-ln，令t=，t∈（0，1）∪（1，+∞），h（t）=4t-ln t-2，h′（t）=4-=0，t=，所以y=h（t）在（0，）单调递减，在（，1），（1，+∞）单调递增；所以h（t）最小值为h（）=2ln2-1；即h（t）≥2ln2-1；即f（x1x2）+≥2ln2-1．解析：（1）将a=0代入函数，求函数的导数和函数的切点的坐标，利用点斜式可求f（x）在x=1处的切线方程；（2）函数f（x）存在两个极值点x1和x2，求证：f（x1x2）+≥2ln2-1．即证明f（x1x2）+=-2-ln≥2ln2-1，令t=，t∈（0，1）∪（1，+∞），转换成新函数h（t）=4t-ln t-2≥2ln2-1，即求函数h（t）的最小值大于等于2ln2-1即可；本题考查了导数的综合应用，属于中档题．21.答案：解：（1）如图，可得QP=QR，所以QM+QP=QM+QR=MR=8＞MP=4，所以Q点的轨迹是以M，P点为焦点的椭圆，其中a=4，c=2，所以b2=12，故点Q的轨迹方程为；（2）由（1）可知左焦点（-2，0），且AC⊥BD，①当直线AC、BD中有一条直线的斜率不存在时，||+||=6+8=14；②当直线AC的斜率为k，k≠0，其方程为：y=k（x+2），联立，得（3+4k2）x2+16k2x+16k2-48=0，设A（x1，y1），C（x2，y2），则x1+x2=-，x1x2=，所以==，同理可得：=，所以||+||=，令1+k2=t（t＞1），||+||==∈[，14），综上，||+||的取值范围是[，14]．解析：（1）根据题意画出图象，可得QM+QP＞MP，即可知Q点的轨迹是以M，P点为焦点的椭圆；（2）由条件可判断出AC、BD过椭圆左焦点，分别讨论AC、BD斜率存在与不存在的情况，表示出||+||，即可求出取值范围．本题考查点的轨迹方程，利用数形结合判断出轨迹为椭圆是关键，属于中档题．22.答案：解：（1）曲线C2的极坐标方程为．利用三角函数的展开式，转换为直角坐标方程为（x-1）2+（y-1）2=4，（2）曲线C1的参数方程为（t为参数，0≤α＜π），转换为直角坐标方程为y+1=k（x-1），（k=tanα），所以圆心（1，1）到直线l的距离d=，所以，解得k=，所以．解析：（1）直接利用转换关系，把极坐标方程转换为直角坐标方程．（2）利用勾股定理和点到直线的距离公式的应用求出直线的斜率，进一步求出直线的倾斜角．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线的距离公式的应用，勾股定理的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．23.答案：解：（1）∵f（x）≤1的解集为{x|0≤x≤2}，∴0和2为方程|x-a|=1的两实根，∴|a|=1且|2-a|=1，∴a=1，∴a的值为1；（2）证明：当x∈（0，1）时，=====4，当且仅当即x=时取等号，∴．解析：（1）由f（x）≤1的解集为{x|0≤x≤2}，可知0和2为方程|x-a|=1的两实根，将0和2代入方程|x-a|=1中可求出a的值；（2）由题意可得=，利用基本不等式可得的最小值，从而证明≥4．本题考查了不等式的解集与方程根之间的关系，基本不等式和利用综合法证明不等式，考查了方程思想和转化思想，属中档题．。

东北三省三校2019届高三第三次模拟考试数学(文)试卷(有答案)

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东北三省三校2019届高三第三次模拟考试数学（文）试卷2019年哈师大附中高三第三次模拟考试文科数学答案一．选择题1-6 CACDCA 7-12 BBADCB二．填空题13. 80 14. 2 15. 03m <≤ 16. ①③⑤三．解答题17. 解：（Ⅰ）sin sin sin sin 2sin sin 1cos cos cos cos ⎛⎫⋅-⋅=⋅ ⎪⎝⎭A B A B A B A B A B ------2分 ()sin sin 0,2cos cos sin sin 1⋅≠∴-=A B A B A B()1cos 2A B ∴+= ------4分 0,3ππ<+<∴+=A B A B ， 23π∴=C ------6分1cos cos cos 32π⎛⎫⎛⎫-=--=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A B A A A A A ------8分1sin cos sin 226π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭A A A ------10分 0,,3666ππππ<<∴-<-<A A 11sin 262π⎛⎫∴-<-< ⎪⎝⎭Acos -A B 的取值范围是11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭------12分 18.（Ⅰ）证明：∵PA ⊥底面ABCD ，∴PA ⊥BD取AC 中点O ，连接OB ,OD ，则,AC OB AC OD ⊥⊥，∴点,,O B D 共线，即AC BD ⊥ 又∵PA AC A =， ∴BD ⊥平面PAC ------3分 ∵BD ⊂平面PBD ，∴平面PAC ⊥平面PBD ------5分（Ⅱ）解：取CD 中点N ，连接,MN BN ，则MN ∥PD∴BMN ∠或其补角是异面直线PD 与BM 所成的角 ------7分Rt PAD ∆中，2PA AD ==，∴PD =MN =Rt MOB ∆中，1=，∴BM =BDN ∆中，1,1,30BD DN BDN ==∠=，由余弦定理得2222cos302BN BD DN BD DN =+-⋅⋅= ------9分BMN ∆中，2222cos 24BM MN BN BMN BM MN +--∠===⋅⋅ ------11分所以直线PD 与BM所成角的余弦值为24． ------12分19.解：（I ）---------- 1分11(346357358360+362+362+364+372+373+376=36310x =⨯+++） 21(313321322324+330+332+334+343+350+361=33310x =⨯+++） 1236333330()x x N -=-= 故实验前后握力的平均值下降30 N ---------4分（Ⅱ）80,80t y ==，91()()1800i i i t t y y =--=-∑， 922222212222()=080(2080)(4080)(6080)(8080)(10080)(12080)(14080)(16080)24000ii t t =--+-+-+-+-+-+-+-+-=∑（）121()()1800==0.07524000()n i i i n i i t t y y b tt ==---=--∑∑ -------8分 =80(0.075)8086a y bt =---⨯=y 关于时间t 的线性回归方程为：0.07586y t =-+ --------10分（III ）九组数据中40分钟到60分钟y 的下降幅度最大，提示60分钟时肌肉已经进入疲劳状态，故使用鼠标60分钟就该休息了 -------- 12分20.（I ）证明：设00(,)A x y ，（000,0x y >>），(0,1)F ∴直线AF 的斜率为001y x -，由已知直线BF 斜率存在，直线BF 的方程为0011x y x y =+- --------2分 令1y =-，002(1)y x x -=002(1)(,1)y B x -∴- --------3分 直线AB 的斜率为200020200001142(1)22(1)4x y x y x x x x x ++==---- ，由24x y =知，002x x x y ='=∴直线AB 与抛物线相切--------5分 (II)解：00(,)A x y ,11(,)M x y ,22(,)N x y直线AM 的斜率为220110101010444x x y y x x x x x x --+==--直线AN 的斜率为220220202020444x x y y x x x x x x --+==----------7分 AM AN ⊥1020144x x x x ++∴⋅=-1020()()16x x x x ∴++=---------8分 2120120()16x x x x x x ∴+++=-20411x yx y x y ⎧=⎪⎨=+⎪-⎩ 2004401x x x y ∴--=-，121204,41x x x x x y +==---------10分 200044161x x x y ∴-++=--200230y y ∴--=00y > ∴03y = 又00x > ∴存在A ，使得AM AN ⊥-------12分21.解：（I ）()x f 的定义域为()()∞+，11,0当0=k 时，()()21ln 1---='x x x x f -------1分 令()x x x g ln 1--=，()21xx x g -=' ()1,0∈x ，()0>'x g ，()x g 单调递增 -------2分 ()∞+∈，1x ，()0<'x g ，()x g 单调递减 -------3分 ()()011max <-==g x g()0<'∴x f∴()x f 的减区间为()()0,11，，，+∞无增区间 -------5分（II ）()0>x f ⇔01ln 1>--+x k x x ⇔()()11ln 1>-+<x x x x k -------6分 令()()1ln 1-+=x x x x h ，则()()21ln 2---='x x x x h -------8分 令()x x x ln 2--=ϕ，则()01>-='xx x ϕ∴()x ϕ在()∞+，1上单调递增， ()03ln 13<-=ϕ，()02ln 224>-=ϕ∴存在唯一()4,30∈x ，使得()00=x ϕ -------10分 即0ln 200=--x x ，00ln 11x x +=-列表如下：()()()()4,31ln 100000min ∈=-+==x x x x x h x h ∴整数k 的最大值为3. -------12分22.解：（I ）设=3πθ时对应的点为M ，2=3πθ时对应的点为N 线段AP 扫过的面积21=1236弓形弓形扇形OMN AMN OMN S S S S S ππ∆∆=++==⨯⨯= --------4分 （II ）设(cos ,sin )P θθ，(2,0)AP 为线段AQ 的中点，(2cos 2,2sin )Q θθ∴- ---------6分 Q 在曲线C 上，曲线C 的直角坐标方程为221x y +=∴22(2cos 2)(2sin )1θθ-+=8cos 7θ∴=，7cos 8θ= ---------8分7(,8P ---------10分 23.解：（I ）4123<-++x x①当1≥x 时，414<+x ，43<∴x舍； ②当132<<-x 时，432<+x ，21<∴x ，此时2132<<-x ； ③当23x ≤-时，414<--x ，，此时3245-≤<-x ， 综上，不等式的解集为⎪⎭⎫ ⎝⎛-21,45 ---------4分 （II ）4222))(11(11,1,0,0=⋅+≥++=++=+∴=+>>n m m n n m m n n m n m n m n m n m ∴当且仅当21==n m 时，4)11(min =+nm ，423≤+--∴x a x 恒成立， ---------6分 由已知0>a ① 当a x ≥时，423≤---x a x ，26a x -≤+恒成立，min (26)26a x a -≤+=+，0>a ，∴显然成立；② 当a x <<-32时，423≤---x x a ，64+≤∴x a 恒成立，10463x +> ∴103；a ≤ ③ 当23x ≤-时，423≤++-x x a ，x a 22-≤∴恒成立，310)22min =-≤∴x a （ 综上：1003a <≤，故a 的取值范围是10(0,]3---------10分 45->∴x。

2019年哈师大附中高三第三次模拟考试文科数学答案

2019年哈师大附中高三第三次模拟考试文科数学答案

MAP2019年哈师大附中高三第三次模拟考试文科数学答案一．选择题1-6 CACDCA 7-12 BBADCB 二．填空题13. 80 14. 2 15. 03m <≤ 16. ①③⑤ 三．解答题17. 解：（Ⅰ）sin sin sin sin 2sin sin 1cos cos cos cos ⎛⎫⋅-⋅=⋅ ⎪⎝⎭A B A BA B A B A B------2分()sin sin 0,2cos cos sin sin 1⋅≠∴-=A B A B A B()1cos 2A B ∴+=------4分 0,3ππ<+<∴+=A B A B ，23π∴=C ------6分1cos cos cos 32π⎛⎫⎛⎫-=--=-+ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A B A A A A A ------8分1cos sin 26π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭A A A ------10分 0,,3666ππππ<<∴-<-<A A 11sin 262π⎛⎫∴-<-< ⎪⎝⎭Acos -A B 的取值范围是11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭------12分18.（Ⅰ）证明：∵PA ⊥底面ABCD ，∴PA ⊥BD取AC 中点O ，连接OB ,OD ，则,AC OB AC OD ⊥⊥，∴点,,O B D 共线，即AC BD ⊥又∵PA AC A =， ∴BD ⊥平面PAC ------3分 ∵BD ⊂平面PBD ，∴平面PAC ⊥平面PBD ------5分（Ⅱ）解：取CD 中点N ，连接,MN BN ，则MN ∥PD∴BMN ∠或其补角是异面直线PD 与BM 所成的角 ------7分Rt PAD ∆中，2PA AD ==，∴PD =，即MN =Rt MOB ∆中，1MO OB ==，∴BM =BDN ∆中，1,1,30BD DN BDN ==∠=，由余弦定理得2222cos302BN BD DN BD DN =+-⋅⋅= ------9分BMN ∆中，2222cos 24BM MN BN BMN BM MN +-∠===⋅⋅ ------11分所以直线PD 与BM所成角的余弦值为24- ------12分19.解：（I ）---------- 1分 11(346=36310x =⨯） 21(313321322324+330+332+334+343+350+361=33310x =⨯+++） 1236333330()x x N -=-= 故实验前后握力的平均值下降30 N ---------4分（Ⅱ）80,80t y ==，91()()1800i i i t t y y =--=-∑，922222212222()=080(2080)(4080)(6080)(8080)(10080)(12080)(14080)(16080)24000ii tt =--+-+-+-+-+-+-+-+-=∑（）121()()1800==0.07524000()nii i nii tt y y b tt ==---=--∑∑ -------8分=80(0.075)8086a y bt =---⨯=y 关于时间t 的线性回归方程为：0.07586y t =-+ --------10分 （III ）九组数据中40分钟到60分钟y 的下降幅度最大，提示60分钟时肌肉已经进入疲劳状态，故使用鼠标60分钟就该休息了 -------- 12分20.（I ）证明：设00(,)A x y ，（000,0x y >>），(0,1)F ∴直线AF 的斜率为001y x -， 由已知直线BF 斜率存在，直线BF 的方程为011x y x y =+- --------2分 令1y =-，002(1)y x x -=002(1)(,1)y B x -∴- --------3分 直线AB 的斜率为2000202000001142(1)22(1)4x y x y x x x x x ++==---- ，由24x y =知，02x x x y ='=∴直线AB 与抛物线相切 --------5分(II)解：00(,)A x y ,11(,)M x y ,22(,)N x y直线AM 的斜率为220110101010444x x y y x x x x x x --+==-- 直线AN 的斜率为220220202020444x x y y x x x x x x --+==-- --------7分 AM AN ⊥1020144x x x x ++∴⋅=-1020()()16x x x x ∴++=- --------8分 2120120()16x x x x x x ∴+++=-200411x yx y x y ⎧=⎪⎨=+⎪-⎩2004401x x x y ∴--=-， 0121204,41x x x x x y +==-- -------10分 200044161x x x y ∴-++=--200230y y ∴--=00y > ∴03y = 又00x > ∴存在A ，使得AM AN ⊥ -------12分21.解：（I ）()x f 的定义域为()()∞+，11,0 当0=k 时，()()21ln 1---='x xx x f -------1分令()x x x g ln 1--=，()21xx x g -=' ()1,0∈x ，()0>'x g ，()x g 单调递增 -------2分 ()∞+∈，1x ，()0<'x g ，()x g 单调递减 -------3分()()011max <-==g x g()0<'∴x f∴()x f 的减区间为()()0,11，，，+∞无增区间 -------5分（II ）()0>x f ⇔01ln 1>--+x k x x ⇔()()11ln 1>-+<x x x x k -------6分 令()()1ln 1-+=x x x x h ，则()()21ln 2---='x x x x h -------8分 令()x x x ln 2--=ϕ，则()01>-='xx x ϕ∴()x ϕ在()∞+，1上单调递增， ()03ln 13<-=ϕ，()02ln 224>-=ϕ∴存在唯一()4,30∈x ，使得()00=x ϕ -------10分即0ln 200=--x x ，00ln 11x x +=-列表如下：()()()()4,31ln 100000min ∈=-+==x x x x x h x h∴整数k 的最大值为3. -------12分22.解：（I ）设=3πθ时对应的点为M ，2=3πθ时对应的点为N线段AP 扫过的面积21=1236弓形弓形扇形OMN AMN OMN S S S S S ππ∆∆=++==⨯⨯=--------4分（II ）设(cos ,sin )P θθ，(2,0)AP 为线段AQ 的中点，(2cos 2,2sin )Q θθ∴- ---------6分Q 在曲线C 上，曲线C 的直角坐标方程为221x y += ∴22(2cos 2)(2sin )1θθ-+=8cos 7θ∴=，7cos 8θ=---------8分 7(,8P ---------10分 23.解：（I ）4123<-++x x①当1≥x 时，414<+x ，43<∴x舍； ②当132<<-x 时，432<+x ，21<∴x ，此时2132<<-x ；③当23x ≤-时，414<--x ，45->∴x ，此时3245-≤<-x ，综上，不等式的解集为⎪⎭⎫⎝⎛-21,45 ---------4分 （II ）4222))(11(11,1,0,0=⋅+≥++=++=+∴=+>>nmm n n m m n n m n m n m n m n m ∴当且仅当21==n m 时，4)11(min =+nm ，423≤+--∴x a x 恒成立， ---------6分 由已知0>a① 当a x ≥时，423≤---x a x ，26a x -≤+恒成立，min (26)26a x a -≤+=+，0>a ，∴显然成立；② 当a x <<-32时，423≤---x x a ，64+≤∴x a 恒成立，10463x +> ∴103；a ≤③ 当23x ≤-时，423≤++-x x a ，x a 22-≤∴恒成立，310)22min =-≤∴x a （ 综上：1003a <≤，故a 的取值范围是10(0,]3---------10分。

黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2019届高三上学期开学考试数学(文)试题(解析版)

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哈师大附中高三上学期第一次月考数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.若全集，集合，，则等于（）A. B. 或C. D.【答案】B【解析】试题分析：由题意得，或，，∴或，故选B．考点：集合的运算．2.若复数z满足,i为虚数单位,则z的虚部为（）A. -2iB. -2C. 2D. 2i【答案】B【解析】【分析】设复数z=a+bi，代入等式，利用复数相等，求得a，b，得到答案．【详解】设复数z=a+bi，则（1+2i）（a+bi）=5，即a﹣2b+（2a+b）i=5，所以解得，所以z=1﹣2i，所以复数z 的虚部为﹣2；故答案为：B．【点睛】本题考查了复数的运算法则、复数相等，考查了推理能力与计算能力，属于基础题,复数问题高考必考，常见考点有：点坐标和复数的对应关系，点的象限和复数的对应关系，复数的加减乘除运算，复数的模长的计算.3.与函数相同的函数是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】试题分析：A中对应关系不同；B中定义域不同；C中定义域不同；D中对应关系，定义域均相同，是同一函数考点：函数是同一函数的标准4.幂函数在上单调递增，则的值为（）A. 2B. 3C. 4D. 2或4【答案】C【解析】【分析】根据幂函数的定义与性质，列出不等式与方程，即可求出m的值．【详解】由题意得：解得,∴m=4．故选：C．【点睛】这个题目考查的是幂函数的单调性问题，幂函数在第一象限的单调性和p有关系，当时函数单调递增，当时函数单调递减，至于其它象限的单调性，需要结合函数的奇偶性和图像来分析.5.已知函数，则（）A. 在上递增B. 在上递减C. 在上递增D. 在上递减【答案】D【解析】【分析】确定函数的定义域，求导函数，根据导函数的正负确定函数的单调性.【详解】函数的定义域为（0，+∞）求导函数，可得f′（x）=1+lnx令f′（x）=1+lnx=0，可得x=,∴0＜x＜时，f′（x）＜0，x＞时，f′（x）＞0∴在上递减,在上递增【点睛】这个题目考查了导数在函数的单调性中的应用，判断函数的单调性常用的方法是：求导，根据导函数的正负得到函数的单调区间.导函数为正的区间是增区间，导函数为负的区间是减区间.6.函数的图象大致为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】求出函数的定义域，根据函数在1两侧的极限可排除选项，也可以再取特殊值判断．【详解】f（x）=的定义域为（﹣∞，1）∪（1，+∞），当自变量从左侧趋向于1时，函数值趋向于﹣∞，排除CD，当自变量从右侧趋向于1时，函数值仍然趋向于﹣∞，排除A，或者取特殊值，当x=时，f（x）=-2ln2＜0，也可以排除A项，故选：B.【点睛】这个题目考查了已知函数的解析式求函数的图像，常见的方法是，通过解析式得到函数的值域和定义域，进行排除，由解析式得到函数的奇偶性和轴对称性，或者中心对称性，进行排除，还可以代入特殊点，或者取极限.7.下列关于命题的说法错误的是（）A. 命题“若，则”的逆否命题为“若，则”；B. “”是“函数在区间上为增函数”的充分不必要条件；C. 若命题，则；D. 命题“”是假命题.【答案】C【解析】对于，命题“若，则”的逆否命题为“若，则”正确；对于，只要时，函数在区间上为增函数，故正确；对于，若命题，则故错误；对于，根据幂函数图象得“时，”，故正确，故选C.8.设，，，则（）A. B. C. D.【解析】由指数函数的性质可得，结合对数函数的性质有，综上可得，.本题选择A选项.9.已知定义在上的奇函数满足，当时，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】由题意可得函数的周期为4，结合奇偶性和题意将f（），f（﹣7），化到上，再将自变量代入解析式可得答案．【详解】∵f（x+2）=﹣f（x），∴f（x+4）=f[（x+2）+2]=﹣f（x+2）=f（x），∴函数f（x）是周期为4的周期函数，f（6）=f（2）=f（0）=0，f（）=f（）=﹣f（﹣）=f（）=﹣1，f（﹣7）=f（1）=1，∴.故选：C．【点睛】本题考查函数的周期性与奇偶性的综合应用，注意奇函数的在对称区间上的单调性的性质；对于解抽象函数的不等式问题或者有解析式，但是直接解不等式非常麻烦的问题，可以考虑研究函数的单调性和奇偶性等，以及函数零点等，直接根据这些性质得到不等式的解集。

黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2019届高三上学期期中考试数学(文)试题

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黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2019届高三上学期期中考试数学（文）试题注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡上填写自己的准考证号、姓名、试室号和座位号。

用2B型铅笔把答题卡上试室号、座位号对应的信息点涂黑。

2．选择题每小题选出答案后，用2B型铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4．考生必须保持答题卡整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.若集合A={x|x2+x-2＜0}，集合＞，则A∩B=（）A. B.C. D.2.已知2sinθ+cosθ=0，则sinθcosθ-cos2θ的值（）A. B. C. D.3.已知向量=（1，），向量，的夹角是，•=2，则||等于（）A. B. 4 C. 2 D.4.若m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列说法中正确的是（）A. ，，B. ，C. ，，D. ，，5.已知角α的终边经过点P（2，1），则sin（α+）的值为（）A. B. C. D.6.《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列，冬至、立春、春分日影长之和为31.5尺，前九个节气日影长之和为85.5尺，则芒种日影长为（）A. 尺B. 尺C. 尺D. 尺7.函数f（x）=A sin（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，|φ|＜）的图象如图所示，为了得到y=cos2x的图象，则只要将f（x）的图象（）A. 向左平移个单位长度B. 向右平移个单位长度C. 向左平移个单位长度D. 向右平移个单位长度8.直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB AC，AB=AC=AA1，则直线A1B与AC1所成角的大小为（）A. B. C. D.9.若函数在区间（a-1，a+1）上单调递减，且b=1g0.3，c=20.3，则（）A. B. C. D.10.已知等比数列{a n}中，a3=2，a4a6=16，则=（）A. 16B. 8C. 4D. 211.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A. B. C. D. 212.已知定义域为R的奇函数f（x），当x＞0时，f（x）=2f（x+3），当-3＜x≤0时，f（x）=log3（1-x），则f（2018）=（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若函数f（x）=，则f（f（-2））=______．＜14.已知sin（）=，则sinθ=______．15.已知向量=（1，2），=（-3，2），若（k+）∥（-3），则实数k的取值为______．16.已知正△ABC三个顶点都在半径为2的球面上，球心O到平面ABC的距离为1，点E是线段AB的中点，过点E作球O的截面，则截面面积的最小值是______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且3cos A cos C（tan A tan C-1）=1．（Ⅰ）求sin B的值；（Ⅱ）若a+c=3，b=，求△ABC的面积．18.若数列{a n}的前n项和S n满足2S n=3a n-1（n∈N*），等差数列{b n}满足b1=3a1，b3=S2+3．（1）求数列{a n}、{b n}的通项公式；（2）设c n=，求数列{c n}的前n项和为T n．19.如图，在四棱锥S-ABCD中，侧棱SA底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AD∥BC，AB AD，且SA=AB=BC=2，AD=1，M是棱SB的中点．（Ⅰ）求证：AM∥平面SCD；（Ⅱ）求三棱锥B-MAC的体积．20.已知椭圆E：=1（a＞b＞0）的左，右焦点分别为F1，F2，其离心率e=，焦距为4．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）若直线A，B，C，D是椭圆上不重合的四个点，AC与BD相交于点F1，且=0，当||+||=时，求直线AC的方程．21.已知函数f（x）=．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间和极值；（Ⅱ）若g（x）=f（x）+a ln x在（0，+∞）上为增函数，求实数a的取值范围；（Ⅲ）证明：＜（n∈N*，n≥2）．22.在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C1：x+y=1与曲线C2：（φ为参数，φ∈[0，2π））．以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（I）写出曲线C1，C2的极坐标方程；（II）在极坐标系中，已知点A是射线l：θ=α（ρ≥0）与C1的公共点，点B是l 与C2的公共点，当α在区间[0，]上变化时，求的最大值．23.已知函数f（x）=|2x-|+|2x+|．（Ⅰ）求函数f（x）的最小值a；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，设m，n∈R+，且m+n=1，求证：．答案和解析1.【答案】D【解析】解：A={x|x2+x-2＜0}={x|（x+2）（x-1）＜0}={x|-2＜x＜1}，={x|-1＜x＜1且x≠0}，则A∩B=（-1，0）（0，1），故选：D．分别求出关于A、B的不等式，求出A、B的交集即可．本题考查了集合的交集的运算，考查不等式问题，是一道基础题．2.【答案】A【解析】解：∵2sinθ+cosθ=0，∴tanθ=-，∴sinθcosθ-cos2θ====-．故选：A．根据一个角的正弦和余弦之间的关系，得到角的正切值，把所给的三角函数式加上一个分母1，变成同角的正弦与余弦的平方和，变成正切，得到结果．本题考查同角的三角函数之间的关系，本题解题的关键是熟练应用切与弦之间的互化问题，本题是一个基础题．3.【答案】C【解析】解：∵向量=（1，），∴||==2；又向量的夹角是，•=2，∴||•||•cos=2||•=2，∴||=2．故选：C．根据平面向量数量积运算的定义，即可求出对应的模长．本题考查了平面向量数量积的应用问题，是基础题目．4.【答案】C【解析】解：由m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，知：在A中，由α∥β，mα，nβ，得m与n相交、平行或异面，故A错误；在B中，由αγ，βγ，得α与β相交或平行，故B错误；在C中，由α∥β，m∥n，mα，利用线面垂直的判定定理得nβ，故C正确；在D中，由α∩β=m，β∩γ=n，m∥n，得α与β相交或平行，故D错误．故选：C．在A中，m与n相交、平行或异面；在B中，α与β相交或平行；在C中，利用线面垂直的判定定理得nβ；在D中，得α与β相交或平行．本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．5.【答案】D【解析】解：角α的终边经过点P（2，1），可得cosα==．则sin（α+）=cosα=．故选：D．利用诱导公式化简所求的三角函数，通过三角函数的定义求解即可．本题考查三角函数的定义，诱导公式的应用，是基本知识的考查．6.【答案】B【解析】解：设此等差数列{a n}的公差为d，则a1+a4+a7=3a1+9d=31.5，9a1+d=85.5，解得：d=-1，a1=13.5．则a12=13.5-11=2.5．故选：B．设此等差数列{a n}的公差为d，则a1+a4+a7=3a1+9d=31.5，9a1+d=85.5，解得：d，a1．利用通项公式即可得出．本题考查了等差数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7.【答案】C【解析】解：由函数f（x）=Asin（ωx+φ）的图象可得A=1，=-，∴ω=2．再根据五点法作图可得2×+φ=π，求得φ=，故f（x）=2sin（2x+）．故把f（x）=2sin（2x+）的图象向左平移个单位长度，可得y=2sin[2（x+）+]=2sin（2x+）=2cos2x的图象，故选：C．由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得f（x）的解析式，再利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得结论．本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．8.【答案】B【解析】解：如图，不妨设AB=AC=AA1=1，则A（0，0，0），B（1，0，0），A1（0，0，1），C1（0，1，1），，，cos＜＞=，则直线A1B与AC1所成角的大小为60°．故选：B．以A为坐标原点，建立空间直角坐标系，求出与的坐标，利用数量积求夹角公式求解．本题考查异面直线所成角，训练了两角空间向量求解空间角，是基础题．9.【答案】D【解析】解：由5+4x-x2＞0，可得-1＜x＜5，函数t=5+4x-x2的增区间为（-1，2），要使在区间（a-1，a+1）上单调递减，则，即0≤a≤1．而b=1g0.3＜0，c=20.3＞1，∴b＜a＜c．故选：D．求出原函数的定义域，再求出内函数二次函数的增区间，由题意列关于a的不等式组，求得a的范围，结合b=1g0.3＜0，c=20.3＞1得答案．本题主要考查了复合函数的单调性以及单调区间的求法．对应复合函数的单调性，一要注意先确定函数的定义域，二要利用复合函数与内层函数和外层函数单调性之间的关系进行判断，判断的依据是“同增异减”，是中档题．10.【答案】C【解析】解：等比数列{a n}中，a3=2，a4a6=16，∴，解得q2=2，a1=1，∴==q4=4，故选：C．由题意可得，解得q2=2，a1=1，则=q4=4，问题得以解决本题考查了等比数列的通项公式，属于基础题11.【答案】A【解析】解：几何体的直观图，是长方体的一部分，棱锥P-ABCD，所以几何体的体积为：=．故选：A．画出几何体的直观图，是长方体的一部分，棱锥P-ABCD，利用三视图的数据求解几何体的体积即可．本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状．12.【答案】B【解析】解：∵f（x）=2f（x+3），∴f（x-3）=2f（x），即f（x）=f（x-3），∴f（x）=f（x-3）=f（x-2×3）=f（x-3×3）=…=f（x-n×3），∴f（2018）=f（2018-672×3）=f（2）=[-f（-2）]=-log3[1-（-2）]=-．故选：B．∵f（x）=f（x-3）=f（x-2×3）=f（x-3×3）=…=f（x-n×3），∴f（2018）=f（2018-672×3）=f（2）=[-f（-2）]，本题考查了函数奇偶性的性质与判断，属中档题．13.【答案】【解析】解：∵函数f（x）=，∴f（f（-2））=f（）=，故答案为：由函数f（x）=，将x=-2代入计算可得答案．本题考查的知识点是分段函数的应用，函数求值，难度不大，属于基础题．14.【答案】【解析】解：∵sin（）=，∴sinθ=cos（）=cos2（）=．故答案为：．由已知直接利用诱导公式及倍角公式求解．本题考查三角函数的化简求值，考查诱导公式及倍角公式的应用，是基础题．15.【答案】-【解析】解：∵=（1，2），=（-3，2），∵k=k（1，2）+（-3，2）=（k-3，2k+2），-3=（10，-4）∵（k+）∥（-3），∴-4（k-3）+10（2k+2）=0，∴k=-，故答案为：首先要表示出向量，再代入向量平行的坐标形式的充要条件，得到关于字母系数的方程，解方程即可．此题是个基础题．考查平面向量共线的坐标表示，同时考查学生的计算能力，要注意与向量垂直的坐标表示的区别16.【答案】【解析】解：设正△ABC的中心为O1，连结O1O、O1C、O1E、OE，∵O1是正△ABC的中心，A、B、C三点都在球面上，∴O1O平面ABC，结合O1C平面ABC，可得O1O O1C，∵球的半径R=2，球心O到平面ABC的距离为1，得O1O=1，∴Rt△OOC中，O1C==．1又∵E为AB的中点，∴正△ABC中，O1E=O1C=．∴Rt△OO1E中，OE===．∵过E作球O的截面，当截面与OE垂直时，截面圆的半径最小，∴当截面与OE垂直时，截面圆的面积有最小值．此时截面圆的半径r===，可得截面面积为S=πr2=．故答案为：．设正△ABC的中心为O1，连结O1O、O1C、O1E、OE．根据球的截面圆性质、正三角形的性质与勾股定理，结合题中数据算出OE．而经过点E的球O的截面，当截面与OE垂直时截面圆的半径最小，相应地截面圆的面积有最小值，由此算出截面圆半径的最小值，从而可得截面面积的最小值．本题已知球的内接正三角形与球心的距离，求经过正三角形中点的最小截面圆的面积．着重考查了勾股定理、球的截面圆性质与正三角形的性质等知识，属于中档题．17.【答案】（本题满分为12分）解：（Ⅰ）∵由3cos A cos C（tan A tan C-1）=1，得：3cos A cos C（-1）=1，∴3（sin A sin C-cos A cos C）=1，∴cos（A+C）=-，∴cos B=，又∵0＜B＜π，∴sin B=．…………（6分）（Ⅱ）由余弦定理得：cos B==，∴=，又a+c=3，b=，ac=9，∴S△ABC=ac sin B=3．…………（12分）【解析】（Ⅰ）由已知利用三角函数恒等变换的应用可求cosB=，结合范围0＜B＜π，可求sinB=．（Ⅱ）由余弦定理结合已知可求ac的值，再根据三角形的面积公式即可计算得解．本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．18.【答案】解：（1）当n=1时，2S1=3a1-1，∴a1=1，当n≥2时，2a n=2S n-2S n-1=（3a n-1）-（3a n-1-1），即a n=3a n-1，∵a1=1≠0，∴数列{a n}是以a1=1为首项，3为公比的等比数列，∴ ，设{b n}的公差为d，b1=3a1=3，b3=S2+3=7=2d+3，d=2．∴b n=3+（n-1）×2=2n+1；（2）∵c n==，∴ ①②由①-②得，=．∴．【解析】（1）由数列递推式求出a1，在数列递推式中取n=n-1得另一递推式，作差后得到数列{a n}为等比数列，则数列{a n}的通项公式可求，再由b1=3a1，b3=S2+3求出数列{b n}的首项和公差，则{b n}的通项公式可求；（2）把数列{a n}、{b n}的通项公式代入c n=，直接由错位相减法求数列{c n}的前n项和为T n．本题考查数列递推式，考查了等比关系的确定，训练了错位相减法求数列的前n项和，是中档题．19.【答案】（Ⅰ）证明：∵SA底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AD∥BC，AB AD，∴AD，AB，AS两两互相垂直．以点A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则A（0，0，0），B（0，2，0），C（2，2，0），D（1，0，0），S（0，0，2），M（0，1，1）．，，，，，，，，，设平面SCD的一个法向量为，，，则，令z=1，得，，，∴，即．∵AM⊄平面SCD，∴AM∥平面SCD．（Ⅱ）解：∵SA底面ABCD，∴SA BC，又BC AB，SA∩AB=A，∴BC平面SAB．∴△ ．【解析】（Ⅰ）以点A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，求出的坐标与平面SCD的一个法向量，由数量积为0证明，从而得到AM∥平面SCD．（Ⅱ）直接利用等体积法求三棱锥B-MAC的体积．本题考查线面垂直的判定，训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题．20.【答案】（Ⅰ）由已知，e==，2c=4，∴c=2，a=4，∴b2=a2-c2=12，故椭圆方程为+=1．（Ⅱ）由（Ⅰ）知F1（-2，0），AC BD，①当直线AC，BD中一条直线斜率不存在时，|AC|+|BD|=14，不合题意；②当直线AC斜率为k，k≠0时，其方程为y=k（x+2），将该方程带入椭圆方程并整理得（3+4k2）x2+16k2x+16k2-48=0，若设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=-，x1x2=，∴|AC|=|x1-x2|=•=；直线BD的方程为y=-（x+2），同理可得|BD|=；∴|AC|+|BD|=+=，解得k2=1，即直线AC的方程为y=±（x+2）．【解析】（1）由椭圆的离心率公式和c=2，解方程可得a，b，进而得到所求椭圆方程；（2）讨论直线AC，BD的斜率是否存在，设出直线方程，联立椭圆方程，运用弦长公式，解方程即可得到所求方程．本题考查三角形的面积公式，椭圆离心率的概念，椭圆的标准方程，a，b，c三个系数的几何意义，直线的点斜式方程，以及弦长公式，属于中档题．21.【答案】解：（Ⅰ）∵函数f（x）=．∴x＞0，，f x=0x=1因此增区间（，），减区间（，），极大值（），无极小值．………（分）（Ⅱ）∵g（x）=f（x）+a ln x=+a ln x在（0，+∞）上为增函数，∴+=≥0对∀x＞0恒成立，∴ax-ln x≥0对∀x＞0恒成立，∴a≥对∀x＞0恒成立，∴a≥（）max，x∈（0，+∞），令h（x）=，x∈（0，+∞），则=，∵ln x＜1，x∈（0，e），∴h （x）＞0，x∈（0，e），从而h（x）在（0，e）递增；另外，ln x＞1，x∈（e，+∞），∴h （x）在（e，+∞）递减．综上，h（x）max=h（e）==，故a．∴实数a的取值范围是[，+∞）．…………（8分）证明：（Ⅲ）由（Ⅰ）可得f（x）=≤f（x）max=f（1）=1，∴，当且仅当x=1时取等号．令x=n2，（n∈N*，n≥2），∴＜1-，∴＜＜=，（n≥2），∴＜（1-）==（n∈N*，n≥2）．…………（12分）【解析】（Ⅰ）推导出x＞0，，由f′（x）=0，得x=1，列表讨论，能求出函数f（x）的单调区间和极值．（Ⅱ）推导出+=≥0对∀x＞0恒成立，从而a≥对∀x＞0恒成立，进而a≥（）max，x∈（0，+∞），令h（x）=，x∈（0，+∞），则=，利用导数性质能求出实数a的取值范围．（Ⅲ）f（x）=≤f（x）max=f（1）=1，，当且仅当x=1时取等号．令x=n2，（n∈N*，n≥2），推导出＜＜=，（n≥2），由此能证明：（n∈N*，n≥2）．本题考查函数的单调区间和极值的求法，考查实数的取值范围的求法，考查不等式的证明，考查导数性质、函数的单调性、最值等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题．22.【答案】解：（Ⅰ）∵曲线C1：x+y=1，∴曲线C1的极坐标方程为ρ（cosθ+sinθ）=1，即，∵曲线C2：（φ为参数，φ∈[0，2π）），∴曲线C2的普通方程为（x-2）2+y2=4，即x2+y2-4x=0，∴曲线C2的极坐标方程为ρ=4cosθ．（Ⅱ）由（Ⅰ）知|OA|=ρA=，|OB|=ρB=4cosθ，=4cosα（cosα+sinα）=2（1+cos2α+sin2α）=2+2sin（2），由0≤α≤，知，当2=，∴时，有最大值2+2．【解析】（Ⅰ）由曲线 C1：x+y=1，能求出曲线 C1的极坐标方程；∵曲线 C2的参数方程消去参数φ，得到曲线C2的普通方程，由此能求出曲线C2的极坐标方程．（Ⅱ）|OA|=ρA=，|OB|=ρB=4cosθ，从而=4cosα（cosα+sinα）=2+2sin（2），由此利用0≤α≤，求出当时，有最大值2+2．本题考查曲线的极坐标方程的求法，考查两线段比值的最大值的求法，考查极坐标方程、直角坐标方程、参数方程的互化等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．23.【答案】解：（Ⅰ）f（x）=|2x-|+|2x+|≥|（2x-）-（2x+）|=2当且仅当（2x-）（2x+）≤0，即-≤x≤时，上式取等号，即f（x）取得最小值2故a=2．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，只需证：≤2，∵≤=m+，≤=n+，∴+≤m+n+3=4，∴≤2，故，原不等式成立．【解析】（Ⅰ）根据绝对值三角不等式即可求出a的值，（Ⅰ）根据基本不等式利用分析法即可证明本题考查了绝对值三角不等式，和基本不等式的应用，考查了推理能力，属中档题。

黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2019届高三上学期期中考试数学(文)试题(解析版)

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2018-2019学年黑龙江省哈师大附中高三（上）期末（文）数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合，，则集合A. B. C. D.【答案】D【解析】解：集合，，则集合．故选：D．根据交集的定义，解方程组得出集合的结果．本题考查了交集的定义与应用问题，是基础题．2. 若双曲线的一个焦点为，则A. B. 8 C. 9 D. 64【答案】B【解析】解：双曲线的一个焦点为，可得，解得．故选：B．利用双曲线的焦点坐标，列出方程，推出m即可．本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查．3. 已知函数，则A. B. C. D. 1【答案】A【解析】解：函数，，．故选：A．推导出，从而，由此能求出结果．本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4. 已知，，且，则向量在方向上的投影为A. 1B.C.D.【答案】D【解析】解：由题意得，设与的夹角为向量在方向上的投影为故选：D．运用向量的夹角公式，投影的概念，垂直的充要条件可解决此问题．本题考查平面向量的数量积和投影的定义．5. 已知等差数列满足：，且，，成等比数列，则数列的前n项和为A. 2nB.C. 2n或D. 2n或【答案】C【解析】解：设等差数列的公差为d，，且，，成等比数列．，即，解得或4．，或．当时，数列的前n项和为：2n；当时，则数列的前n项和为：．故选：C．利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出；然后求解等差数列的前n项和公式可得．本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式、一元二次不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6. 函数的图象大致是A. B.C. D.【答案】B【解析】解：由得，或，即函数的定义域为或，故A，D错误．当时，为增函数，也为增函数，排除C，故选：B．根据函数的性质，结合函数图象特点即可得到结论．本题主要考查函数的图象的识别和判断，利用函数的性质是解决本题的关键．7. 设P是所在平面内的一点，，则A. B.C. D.【答案】B【解析】解：如图，由于P是所在平面内的一点，，根据平行四边形法则，P点必是CA的中点，所以故选：B．由题意，设P是所在平面内的一点，，可判断出P是CA的中点，由此可得答案本题考查平面向量基本定理，属于基础题．8. 下列命题正确的是A. 若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B. 若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C. 若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D. 若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行【答案】C【解析】解：A、若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行、相交或异面，故A错误；B、若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行或相交，故B错误；C、设平面，，，由线面平行的性质定理，在平面内存在直线，在平面内存在直线，所以由平行公理知，从而由线面平行的判定定理可证明，进而由线面平行的性质定理证明得，从而，故C正确；D，若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行或相交，排除D．故选：C．利用直线与平面所成的角的定义，可排除A；利用面面平行的位置关系与点到平面的距离关系可排除B；利用线面平行的判定定理和性质定理可判断C正确；利用面面垂直的性质可排除D．本题主要考查了空间线面平行和垂直的位置关系，线面平行的判定和性质，面面垂直的性质和判定，空间想象能力，属基础题．9. 阿波罗尼斯约公元前年证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数且的点的轨迹是圆后人将这个圆称为阿氏圆若平面内两定点A，B间的距离为2，动点P与A，B距离之比为，当P，A，B不共线时，面积的最大值是A. B. C. D.【答案】A【解析】解：设，，则，化简得如图，当点P到轴距离最大时，面积的最大值，面积的最大值是．故选：A．设，，，则，化简得，当点P到轴距离最大时，面积的最大值，本题考查轨迹方程求解、直线与圆的位置关系，属于中档题．10. 已知，则的最小正周期和一个单调减区间分别为A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】B【解析】解：由的最小正周期，由单调递减，解得：，当时，得的一个单调减区间故选：B．将化简，结合三角函数的性质求解即可．本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．11. 设函数，则不等式的解集为A. B. C. D.【答案】A【解析】解：根据题意，函数，则，为奇函数，又由，其导数为，则函数在R上为增函数，则，解可得：，即不等式的解集为；故选：A．根据题意，分析可得为奇函数且在R上为增函数，则有，解可得x的取值范围，即可得答案．本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，注意分析的单调性以及奇偶性，属于基础题．12. 在底面是边长为2的正方形的四棱锥中，点P在底面的射影H为正方形ABCD的中心，异面直线PB与AD所成角的正切值为2，若四棱锥的内切球半径为r，外接球的半径为R，则A. B. C. D.【答案】B【解析】解：如图，E，F为AB，CD的中点，由题意，为正四棱锥，底边长为2，，即为PB与AD所成角，可得斜高为2，为正三角形，正四棱锥的内切球半径即为的内切圆半径，可得，设O为外接球球心，在中，，解得，，故选：B．易知为正四棱锥，内切球球心为两斜高与底面中线所成正三角形的中心，外接球半径需通过方程解得，求解过程不难．此题考查了正四棱锥内切球与外接球，难度适中．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知实数x，y满足约束条件，则的最大值为______．【答案】2【解析】解：作出不等式对应的平面区域，由，得，平移直线，由图象可知当直线经过点A时，直线的截距最大，此时z最大．由，得，此时z的最大值为，故答案为：2．作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最大值．本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．14. 四棱锥的三视图如图所示单位：，则该四棱锥的体积是______．【答案】12【解析】解：由三视图得到几何体如图：体积为；故答案为：12首先还原几何体，根据图中数据计算几何体体积．本题考查了几何体的三视图；要求对应的几何体的体积，关键是正确还原几何体．15. 设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线上任意一点，M是线段PF上的点，且，则直线OM斜率的最大值为______．【答案】【解析】解：抛物线的焦点为，设点，显然当时，；当时，；如图所示，要求的最大值，可设，则；，当且仅当时取得等号；直线OM斜率的最大值为．故答案为：．由题意可得，设，要求的最大值，可知；运用向量的加减运算和直线的斜率公式，利用基本不等式求得斜率的最大值．本题考查了抛物线方程和直线斜率的应用问题，也考查了平面向量的线性运算问题，是中档题．16. 函数的单调递增区间是______．【答案】．【解析】解：，令，解得：，在递增，故答案为：．先求出函数的导数，令导函数大于0，解不等式求出即可．本题考查了函数的单调性，导数的应用，是一道基础题．三、解答题（本大题共7小题，共70.0分）17. 的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且．求角A的值；若的面积为，且，求外接圆的面积．【答案】解：，可得：，由正弦定理可得：，化为：，，可得，，．，的面积为，可得：，，由余弦定理可得：，可得：，设三角形的外接圆半径为R，由正弦定理可得：，外接圆的面积．【解析】利用正弦定理、和差公式即可得出，结合，可得，由范围，可求．利用三角形的面积公式可求，由余弦定理可得a的值，设三角形的外接圆半径为R，由正弦定理可得R，进而根据圆的面积公式求解即可．本题考查了正弦定理、余弦定理、和差公式、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18. 已知数列满足．证明：数列是等比数列；令，数列的前n项和为，求．【答案】解：证明：数列满足，可得，解得；时，，化为，可得，则数列是首项、公比均为2的等比数列；，前n项和为，，两式相减可得，化简可得．【解析】运用数列的递推式和等比数列的定义即可得证；求得，运用数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，即可得到所求和．本题考查等比数列的定义和通项公式、求和公式的运用，考查数列的错位相减法求和，考查化简整理的运算能力，属于中档题．19. 如图，在直三棱柱中，E，F分别为，BC的中点，，．求证：平面ABE；求证：平面平面；求三棱锥的体积．【答案】证明：取AB中点G，连结BG、GF，在直三棱柱中，E，F分别为，BC的中点，，，，，四边形是平行四边形，，平面ABE，平面ABE，平面ABE．，，，平面，平面EBA，平面平面．解：三棱锥的体积：．【解析】取AB中点G，连结BG、GF，推导出四边形是平行四边形，，由此能证明平面ABE．推导出，，从而平面，由此能证明平面平面．三棱锥的体积：．本题考查线面平行、面面垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20. 已知椭圆：经过点，长轴长是短轴长的2倍．求椭圆C的方程；设直线l经过点且与椭圆C相交于A、B两点异于点，记直线MA的斜率为，直线MB的斜率为，证明：为定值．【答案】解：椭圆：经过点，长轴长是短轴长的2倍，，，，证明：若直线AB的斜率不存在，则直线l的方程为，此时直线与椭圆相切，不符合题意．设直线AB的方程为，即，联立，得．设，，则，．，，．所以为定值，且定值为1．【解析】根据经过点，长轴长是短轴长的2倍，可得，，得出椭圆方程；设直线AB斜率为k，联立方程组，根据根与系数的关系计算化简．本题考查了椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系，属于中档题．21. 已知函数，记在点处的切线为l．当时，求在上的最小值；当时，求证：函数的图象除切点外均在切线l的下方．【答案】解：，导数为，当时，，在递减，在递增，可得的最小值为；当即，时，，递增，可得的最小值为，综上可得；证明：设切点为，切线方程为，记，，，，由于，可得，在递减，可得，，递增；时，，可得在递减，则，即，当且仅当时，取得等号，则函数的图象除切点外均在切线l的下方．【解析】求得的导数可得的单调性，讨论a的范围，可得最小值；求得切线方程，设，两次求得导数，考虑导数的符号和函数的单调性，可得最值，即可得证．本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调性、极值和最值，考查构造函数法和分类讨论思想、转化思想，考查化简运算能力和推理能力，属于难题．22. 在直角坐标系xOy中，曲线：为参数，在以O为极点，x轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线：．写出曲线和的普通方程；若曲线上有一动点M，曲线上有一动点N，求的最小值．【答案】解：曲线：为参数，曲线的普通方程为，曲线：．曲线的普通方程为．曲线上有一动点M，曲线上有一动点N，设，的最小值是M到直线的距离d的最小值，．，的最小值为．【解析】曲线的参数方程消去参数，能求出曲线的普通方程；由曲线：能求出曲线的普通方程．设，则的最小值是M到直线的距离d的最小值，由此能求出的最小值．本题考查曲线的普通方程的求法，考查线段长的最小值的求法，考查直角坐标方程、普通方程、极坐标方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．23. 已知，，，函数．当时，求不等式的解集；当的最小值为3时，求的值，并求的最小值．【答案】解：当时，不等式可化为；当时，，；当时，，无解；当时，，，综上所述：不等式的解集为或；，，，，当且仅当时取最小值3．【解析】对x分3种情况讨论；先用绝对值不等式的性质求出最小值为，然后用基本不等式可得．本题考查了绝对值不等式的解法属中档题．。

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黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2019届高三上学期期中考试数学（文）试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.若集合A={x|x2+x-2＜0}，集合＞，则A∩B=（）A. B.C. D.2.已知2sinθ+cosθ=0，则sinθcosθ-cos2θ的值（）A. B. C. D.3.已知向量=（1，），向量，的夹角是，•=2，则||等于（）A. B. 4 C. 2 D.4.若m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列说法中正确的是（）A. ，，B. ，C. ，，D. ，，5.已知角α的终边经过点P（2，1），则sin（α+）的值为（）A. B. C. D.6.《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列，冬至、立春、春分日影长之和为31.5尺，前九个节气日影长之和为85.5尺，则芒种日影长为（）A. 尺B. 尺C. 尺D. 尺7.函数f（x）=A sin（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，|φ|＜）的图象如图所示，为了得到y=cos2x的图象，则只要将f（x）的图象（）A. 向左平移个单位长度B. 向右平移个单位长度C. 向左平移个单位长度D. 向右平移个单位长度8.直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB AC，AB=AC=AA1，则直线A1B与AC1所成角的大小为（）A. B. C. D.第1页，共16页9.若函数在区间（a-1，a+1）上单调递减，且b=1g0.3，c=20.3，则（）A. B. C. D.10.已知等比数列{a n}中，a3=2，a4a6=16，则=（）A. 16B. 8C. 4D. 211.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A. B. C. D. 212.已知定义域为R的奇函数f（x），当x＞0时，f（x）=2f（x+3），当-3＜x≤0时，f（x）=log3（1-x），则f（2018）=（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若函数f（x）=，则f（f（-2））=______．＜14.已知sin（）=，则sinθ=______．15.已知向量=（1，2），=（-3，2），若（k+）∥（-3），则实数k的取值为______．16.已知正△ABC三个顶点都在半径为2的球面上，球心O到平面ABC的距离为1，点E是线段AB的中点，过点E作球O的截面，则截面面积的最小值是______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且3cos A cos C（tan A tan C-1）=1．（Ⅰ）求sin B的值；（Ⅱ）若a+c=3，b=，求△ABC的面积．18.若数列{a n}的前n项和S n满足2S n=3a n-1（n∈N*），等差数列{b n}满足b1=3a1，b3=S2+3．（1）求数列{a n}、{b n}的通项公式；（2）设c n=，求数列{c n}的前n项和为T n．是直角梯形，AD∥BC，AB AD，且SA=AB=BC=2，AD=1，M是棱SB的中点．（Ⅰ）求证：AM∥平面SCD；（Ⅱ）求三棱锥B-MAC的体积．20.已知椭圆E：=1（a＞b＞0）的左，右焦点分别为F1，F2，其离心率e=，焦距为4．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）若直线A，B，C，D是椭圆上不重合的四个点，AC与BD相交于点F1，且=0，当||+||=时，求直线AC的方程．21.已知函数f（x）=．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间和极值；（Ⅱ）若g（x）=f（x）+a ln x在（0，+∞）上为增函数，求实数a的取值范围；（Ⅲ）证明：＜（n∈N*，n≥2）．第3页，共16页22.在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C1：x+y=1与曲线C2：（φ为参数，φ∈[0，2π））．以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（I）写出曲线C1，C2的极坐标方程；（II）在极坐标系中，已知点A是射线l：θ=α（ρ≥0）与C1的公共点，点B是l 与C2的公共点，当α在区间[0，]上变化时，求的最大值．23.已知函数f（x）=|2x-|+|2x+|．（Ⅰ）求函数f（x）的最小值a；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，设m，n∈R+，且m+n=1，求证：．答案和解析1.【答案】D【解析】解：A={x|x2+x-2＜0}={x|（x+2）（x-1）＜0}={x|-2＜x＜1}，={x|-1＜x＜1且x≠0}，则A∩B=（-1，0）（0，1），故选：D．分别求出关于A、B的不等式，求出A、B的交集即可．本题考查了集合的交集的运算，考查不等式问题，是一道基础题．2.【答案】A【解析】解：∵2sinθ+cosθ=0，∴tanθ=-，∴sinθcosθ-cos2θ====-．故选：A．根据一个角的正弦和余弦之间的关系，得到角的正切值，把所给的三角函数式加上一个分母1，变成同角的正弦与余弦的平方和，变成正切，得到结果．本题考查同角的三角函数之间的关系，本题解题的关键是熟练应用切与弦之间的互化问题，本题是一个基础题．3.【答案】C【解析】解：∵向量=（1，），∴||==2；又向量的夹角是，•=2，∴||•||•cos =2||•=2，∴||=2．故选：C．第5页，共16页根据平面向量数量积运算的定义，即可求出对应的模长．本题考查了平面向量数量积的应用问题，是基础题目．4.【答案】C【解析】解：由m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，知：在A中，由α∥β，mα，nβ，得m与n相交、平行或异面，故A错误；在B中，由αγ，βγ，得α与β相交或平行，故B错误；在C中，由α∥β，m∥n，mα，利用线面垂直的判定定理得nβ，故C正确；在D中，由α∩β=m，β∩γ=n，m∥n，得α与β相交或平行，故D错误．故选：C．在A中，m与n相交、平行或异面；在B中，α与β相交或平行；在C中，利用线面垂直的判定定理得nβ；在D中，得α与β相交或平行．本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．5.【答案】D【解析】解：角α的终边经过点P（2，1），可得cosα==．则sin（α+）=cosα=．故选：D．利用诱导公式化简所求的三角函数，通过三角函数的定义求解即可．本题考查三角函数的定义，诱导公式的应用，是基本知识的考查．6.【答案】B【解析】解：设此等差数列{a n}的公差为d，则a1+a4+a7=3a1+9d=31.5，9a1+d=85.5，解得：d=-1，a1=13.5．则a12=13.5-11=2.5．故选：B．设此等差数列{a n}的公差为d，则a1+a4+a7=3a1+9d=31.5，9a1+d=85.5，解得：d，a1．利用通项公式即可得出．本题考查了等差数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7.【答案】C【解析】解：由函数f（x）=Asin（ωx+φ）的图象可得A=1，=-，∴ω=2．再根据五点法作图可得2×+φ=π，求得φ=，故f（x）=2sin（2x+）．故把f（x）=2sin（2x+）的图象向左平移个单位长度，可得y=2sin[2（x+）+]=2sin（2x+）=2cos2x的图象，故选：C．由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得f（x）的解析式，再利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得结论．本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．8.【答案】B【解析】解：如图，不妨设AB=AC=AA1=1，则A（0，0，0），B（1，0，0），A1（0，0，1），C1（0，1，1），第7页，共16页，，cos＜＞=，则直线A1B与AC1所成角的大小为60°．故选：B．以A为坐标原点，建立空间直角坐标系，求出与的坐标，利用数量积求夹角公式求解．本题考查异面直线所成角，训练了两角空间向量求解空间角，是基础题．9.【答案】D【解析】解：由5+4x-x2＞0，可得-1＜x＜5，函数t=5+4x-x2的增区间为（-1，2），要使在区间（a-1，a+1）上单调递减，则，即0≤a≤1．而b=1g0.3＜0，c=20.3＞1，∴b＜a＜c．故选：D．求出原函数的定义域，再求出内函数二次函数的增区间，由题意列关于a的不等式组，求得a的范围，结合b=1g0.3＜0，c=20.3＞1得答案．本题主要考查了复合函数的单调性以及单调区间的求法．对应复合函数的单调性，一要注意先确定函数的定义域，二要利用复合函数与内层函数和外层函数单调性之间的关系进行判断，判断的依据是“同增异减”，是中档题．10.【答案】C【解析】解：等比数列{a n}中，a3=2，a4a6=16，∴，解得q2=2，a1=1，∴==q4=4，故选：C．由题意可得，解得q2=2，a1=1，则=q4=4，问题得以解决本题考查了等比数列的通项公式，属于基础题11.【答案】A【解析】解：几何体的直观图，是长方体的一部分，棱锥P-ABCD，所以几何体的体积为：=．故选：A．画出几何体的直观图，是长方体的一部分，棱锥P-ABCD，利用三视图的数据求解几何体的体积即可．本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状．12.【答案】B【解析】解：∵f（x）=2f（x+3），∴f（x-3）=2f（x），即f（x）=f（x-3），∴f（x）=f（x-3）=f（x-2×3）=f（x-3×3）=…=f（x-n×3），∴f（2018）=f（2018-672×3）=f（2）=[-f（-2）]=-log3[1-（-2）]=-．故选：B．∵f（x）=f（x-3）=f（x-2×3）=f（x-3×3）=…=f（x-n×3），∴f（2018）=f（2018-672×3）=f（2）=[-f（-2）]，本题考查了函数奇偶性的性质与判断，属中档题．13.【答案】【解析】第9页，共16页解：∵函数f（x）=，∴f（f（-2））=f（）=，故答案为：由函数f（x）=，将x=-2代入计算可得答案．本题考查的知识点是分段函数的应用，函数求值，难度不大，属于基础题．14.【答案】【解析】解：∵sin（）=，∴sinθ=cos（）=cos2（）=．故答案为：．由已知直接利用诱导公式及倍角公式求解．本题考查三角函数的化简求值，考查诱导公式及倍角公式的应用，是基础题．15.【答案】-【解析】解：∵=（1，2），=（-3，2），∵k=k（1，2）+（-3，2）=（k-3，2k+2），-3=（10，-4）∵（k+）∥（-3），∴-4（k-3）+10（2k+2）=0，∴k=-，故答案为：首先要表示出向量，再代入向量平行的坐标形式的充要条件，得到关于字母系数的方程，解方程即可．此题是个基础题．考查平面向量共线的坐标表示，同时考查学生的计算能力，要注意与向量垂直的坐标表示的区别16.【答案】【解析】解：设正△ABC的中心为O1，连结O1O、O1C、O1E、OE，∵O1是正△ABC的中心，A、B、C三点都在球面上，∴O1O平面ABC，结合O1C平面ABC，可得O1O O1C，∵球的半径R=2，球心O到平面ABC的距离为1，得O1O=1，∴Rt△O1OC中，O1C==．又∵E为AB的中点，∴正△ABC中，O1E=O1C=．∴Rt△OO1E中，OE===．∵过E作球O的截面，当截面与OE垂直时，截面圆的半径最小，∴当截面与OE垂直时，截面圆的面积有最小值．此时截面圆的半径r===，可得截面面积为S=πr2=．故答案为：．设正△ABC的中心为O1，连结O1O、O1C、O1E、OE．根据球的截面圆性质、正三角形的性质与勾股定理，结合题中数据算出OE．而经过点E的球O的截面，当截面与OE垂直时截面圆的半径最小，相应地截面圆的面积有最小值，由此算出截面圆半径的最小值，从而可得截面面积的最小值．本题已知球的内接正三角形与球心的距离，求经过正三角形中点的最小截面圆的面积．着重考查了勾股定理、球的截面圆性质与正三角形的性质等知识，属于中档题．17.【答案】（本题满分为12分）解：（Ⅰ）∵由3cos A cos C（tan A tan C-1）=1，得：3cos A cos C（-1）=1，∴3（sin A sin C-cos A cos C）=1，第11页，共16页∴cos（A+C）=-，∴cos B=，又∵0＜B＜π，∴sin B=．…………（6分）（Ⅱ）由余弦定理得：cos B==，∴=，又a+c=3，b=，ac=9，∴S△ABC=ac sin B=3．…………（12分）【解析】（Ⅰ）由已知利用三角函数恒等变换的应用可求cosB=，结合范围0＜B＜π，可求sinB=．（Ⅱ）由余弦定理结合已知可求ac的值，再根据三角形的面积公式即可计算得解．本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．18.【答案】解：（1）当n=1时，2S1=3a1-1，∴a1=1，当n≥2时，2a n=2S n-2S n-1=（3a n-1）-（3a n-1-1），即a n=3a n-1，∵a1=1≠0，∴数列{a n}是以a1=1为首项，3为公比的等比数列，∴ ，设{b n}的公差为d，b1=3a1=3，b3=S2+3=7=2d+3，d=2．∴b n=3+（n-1）×2=2n+1；（2）∵c n==，∴ ①②由①-②得，=．∴．【解析】（1）由数列递推式求出a1，在数列递推式中取n=n-1得另一递推式，作差后得到数列{a n}为等比数列，则数列{a n}的通项公式可求，再由b1=3a1，b3=S2+3求出数列{b n}的首项和公差，则{b n}的通项公式可求；（2）把数列{a n}、{b n}的通项公式代入c n =，直接由错位相减法求数列{c n}的前n项和为T n．本题考查数列递推式，考查了等比关系的确定，训练了错位相减法求数列的前n项和，是中档题．19.【答案】（Ⅰ）证明：∵SA底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AD∥BC，AB AD，以点A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则A（0，0，0），B（0，2，0），C（2，2，0），D（1，0，0），S（0，0，2），M（0，1，1）．，，，，，，，，，设平面SCD的一个法向量为，，，则，令z=1，得，，，∴，即．∵AM⊄平面SCD，∴AM∥平面SCD．（Ⅱ）解：∵SA底面ABCD，∴SA BC，又BC AB，SA∩AB=A，∴BC平面SAB．∴△ ．【解析】（Ⅰ）以点A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，求出的坐标与平面SCD 的一个法向量，由数量积为0证明，从而得到AM∥平面SCD．（Ⅱ）直接利用等体积法求三棱锥B-MAC的体积．本题考查线面垂直的判定，训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题．20.【答案】（Ⅰ）由已知，e==，2c=4，∴c=2，a=4，∴b2=a2-c2=12，故椭圆方程为+=1．第13页，共16页（Ⅱ）由（Ⅰ）知F1（-2，0），AC BD，①当直线AC，BD中一条直线斜率不存在时，|AC|+|BD|=14，不合题意；②当直线AC斜率为k，k≠0时，其方程为y=k（x+2），将该方程带入椭圆方程并整理得（3+4k2）x2+16k2x+16k2-48=0，若设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=-，x1x2=，∴|AC|=|x1-x2|=•=；直线BD的方程为y=-（x+2），同理可得|BD|=；∴|AC|+|BD|=+=，解得k2=1，即直线AC的方程为y=±（x+2）．【解析】（1）由椭圆的离心率公式和c=2，解方程可得a，b，进而得到所求椭圆方程；（2）讨论直线AC，BD的斜率是否存在，设出直线方程，联立椭圆方程，运用弦长公式，解方程即可得到所求方程．本题考查三角形的面积公式，椭圆离心率的概念，椭圆的标准方程，a，b，c三个系数的几何意义，直线的点斜式方程，以及弦长公式，属于中档题．21.【答案】解：（Ⅰ）∵函数f（x）=．∴x＞0，，f′x=0x=1因此增区间（，），减区间（，），极大值（），无极小值．（分）（Ⅱ）∵g（x）=f（x）+a ln x=+a ln x在（0，+∞）上为增函数，∴+=≥0对∀x＞0恒成立，∴ax-ln x≥0对∀x＞0恒成立，∴a≥对∀x＞0恒成立，∴a≥（）max，x∈（0，+∞），令h（x）=，x∈（0，+∞），则=，∵ln x＜1，x∈（0，e），∴h′（x）＞0，x∈（0，e），从而h（x）在（0，e）递增；另外，ln x＞1，x∈（e，+∞），∴h′（x）在（e，+∞）递减．综上，h（x）max=h（e）==，故a．∴实数a的取值范围是[，+∞）．…………（8分）第15页，共16页证明：（Ⅲ）由（Ⅰ）可得f （x ）=≤f （x ）max =f （1）=1，∴，当且仅当x =1时取等号．令x =n 2，（n ∈N *，n ≥2），∴ ＜1-，∴＜＜=，（n ≥2）， ∴＜ （1- ）==（n ∈N *，n ≥2）． …………（12分）【解析】（Ⅰ）推导出x ＞0，，由f′（x ）=0，得x=1，列表讨论，能求出函数f （x ）的单调区间和极值． （Ⅱ）推导出+=≥0对∀x ＞0恒成立，从而a≥对∀x ＞0恒成立，进而a≥（）max ，x ∈（0，+∞），令h （x ）=，x ∈（0，+∞），则=，利用导数性质能求出实数a 的取值范围． （Ⅲ）f （x ）=≤f （x ）max =f （1）=1，，当且仅当x=1时取等号．令x=n 2，（n ∈N *，n≥2），推导出＜＜=，（n≥2），由此能证明：（n ∈N*，n≥2）．本题考查函数的单调区间和极值的求法，考查实数的取值范围的求法，考查不等式的证明，考查导数性质、函数的单调性、最值等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题． 22.【答案】解：（Ⅰ）∵曲线 C 1：x +y =1，∴曲线 C 1的极坐标方程为ρ（cosθ+sinθ）=1，即，∵曲线 C 2：（φ为参数，φ∈[0，2π） ）， ∴曲线C 2的普通方程为（x -2）2+y 2=4，即x 2+y 2-4x =0， ∴曲线C 2的极坐标方程为ρ=4cosθ．（Ⅱ）由（Ⅰ）知|OA |=ρA =， |OB |=ρB =4cosθ，=4cosα（cosα+sinα）=2（1+cos2α+sin2α）=2+2sin（2），由0≤α≤，知，当2=，∴时，有最大值2+2．【解析】（Ⅰ）由曲线 C1：x+y=1，能求出曲线 C1的极坐标方程；∵曲线 C2的参数方程消去参数φ，得到曲线C2的普通方程，由此能求出曲线C2的极坐标方程．（Ⅱ）|OA|=ρA=，|OB|=ρB=4cosθ，从而=4cosα（cosα+sinα）=2+2sin（2），由此利用0≤α≤，求出当时，有最大值2+2．本题考查曲线的极坐标方程的求法，考查两线段比值的最大值的求法，考查极坐标方程、直角坐标方程、参数方程的互化等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．23.【答案】解：（Ⅰ）f（x）=|2x-|+|2x+|≥|（2x-）-（2x+）|=2当且仅当（2x-）（2x+）≤0，即-≤x≤时，上式取等号，即f（x）取得最小值2故a=2．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，只需证：≤2，∵≤=m+，≤=n+，∴+≤m+n+3=4，∴≤2，故，原不等式成立．【解析】（Ⅰ）根据绝对值三角不等式即可求出a的值，（Ⅰ）根据基本不等式利用分析法即可证明本题考查了绝对值三角不等式，和基本不等式的应用，考查了推理能力，属中档题。

东北师范大学附属中学2018-2019学年高三上学期第三次月考试卷数学含答案

东北师范大学附属中学2018-2019学年高三上学期第三次月考试卷数学含答案

东北师范大学附属中学2018-2019学年高三上学期第三次月考试卷数学含答案班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1． 设f （x ）＝（e －x －e x ）（12x ＋1－12），则不等式f （x ）＜f （1＋x ）的解集为（ ）A ．（0，＋∞）B ．（－∞，－12）C ．（－12，＋∞）D ．（－12，0）2． 如图甲所示， 三棱锥P ABC - 的高8,3,30PO AC BC ACB ===∠= ，,M N 分别在BC 和PO 上，且(),203CM x PN x x ==∈（，，图乙的四个图象大致描绘了三棱锥N AMC -的体积y 与 的变化关系，其中正确的是（ ）A ．B ． C. D ．1111]3． 在ABC ∆中，b =3c =，30B =，则等于（ ）AB． CD ．2 4． 已知集合M={1，4，7}，M ∪N=M ，则集合N 不可能是（ ）A ．∅B ．{1，4}C ．MD ．{2，7}5． 如果点P （sin θcos θ，2cos θ）位于第二象限，那么角θ所在象限是（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限6． 已知直线l的参数方程为1cos sin x t y t αα=+⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数，α为直线l 的倾斜角），以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为4sin()3πρθ=+，直线l 与圆C 的两个交点为,A B ，当||AB 最小时，α的值为（ ）A ．4πα=B ．3πα=C ．34πα=D ．23πα=7． 已知函数()2111x f x x ++=+，则曲线()y f x =在点()()11f ，处切线的斜率为（ ） A ．1 B ．1- C ．2 D ．2- 8． 一个骰子由1~6六个数字组成，请你根据图中三种状态所显示的数字，推出“”处的数字是（ ） A ．6 B ．3 C ．1 D ．29． 函数4x y -=的定义域为（ ）A ．{}|5x x ≠±B ．{}|4x x ≥C ．{}|45x x <<D ．{}|455x x x ≤<>或10．设函数()y f x =对一切实数x 都满足(3)(3)f x f x +=-，且方程()0f x =恰有6个不同的实根，则这6个实根的和为（ ）A.18B.12C.9D.0【命题意图】本题考查抽象函数的对称性与函数和方程等基础知识，意在考查运算求解能力.11．若直线l 的方向向量为=（1，0，2），平面α的法向量为=（﹣2，0，﹣4），则（ ） A ．l ∥α B ．l ⊥αC ．l ⊂αD ．l 与α相交但不垂直 12．已知函数，，若，则（ ）A1 B2 C3 D-1二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在横线上）13．已知过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点2F 的直线交双曲线于,A B 两点，连结11,AF BF ，若1||||AB BF =，且190ABF ∠=︒，则双曲线的离心率为（ ）A ．522-B 522-C ．632-D 632-【命题意图】本题考查双曲线定义与几何性质，意要考查逻辑思维能力、运算求解能力，以及考查数形结合思想、方程思想、转化思想． 14．已知函数f （x ）=，点O 为坐标原点，点An （n ，f （n ））（n ∈N +），向量=（0，1），θn是向量与i的夹角，则++…+= ．15．已知1sin cos 3αα+=，(0,)απ∈，则sin cos 7sin 12ααπ-的值为 ．16．某公司租赁甲、乙两种设备生产A B ，两类产品，甲种设备每天能生产A 类产品5件和B 类产品10件，乙种设备每天能生产A 类产品6件和B 类产品20件.已知设备甲每天的租赁费为200元，设备乙每天的租赁费用为300元，现该公司至少要生产A 类产品50件，B 类产品140件，所需租赁费最少为__________元.三、解答题（本大共6小题，共70分。

2019届黑龙江省哈三中等九州之巅合作体高三第三次联考数学(文)试题(解析版)

2019届黑龙江省哈三中等九州之巅合作体高三第三次联考数学(文)试题(解析版)

2019届黑龙江省哈三中等九州之巅合作体高三第三次联考数学（文）试题一、单选题1．若复数()i z a a =+∈R ，则a =（ ） A ．1 B ．±1 C ．2 D ．2±【答案】B【解析】根据复数的模的定义进行计算可得a 的值. 【详解】解：由题意：复数()i z a a =+∈R ， 故212a +=，1a =±， 故选：B. 【点睛】本题主要考查复数的模的定义，属于基础题型.2．设命题p ：x ∀∈R ，2320x x -+≤，则p ⌝为（ ）A ．0x ∃∈R ，200320x x -+≤ B ．x ∀∈R ，320x x -+> C ．0x ∃∈R ，200320x x -+>D ．x ∀∈R ，320x x -+≥【答案】C【解析】根据含有量词的命题的否定即可得到结论． 【详解】命题为全称命题,命题p ：x ∀∈R ，2320x x -+≤，则￢p 为0x ∃∈R ，200320x x -+>，故选：C . 【点睛】本题考查命题的否定，对于全称命题的否定，先否定量词，再否定结论即可，属于基础题.3．已知集合{20,2x A xB x y x +⎧⎫=<==⎨⎬-⎩⎭，则A B =I （ ）A ．()1,2-B ．[)1,2-C ．[]1,2-D ．[]22-,【答案】B【解析】由题意求出集合A 与B ,由交集的定义可得A B I 的值. 【详解】解：由题意可得：{}20222x A xx x x +⎧⎫=<=-<<⎨⎬-⎩⎭， {}{}2212B x y x x x x ==-++=-≤≤，故可得：{}12A B x x ⋂=-≤<， 故选：B. 【点睛】本题主要考查交集的运算，属于基础题型，求出集合A 与B 进行交集运算是解题的关键.4．已知函数()()sin 0,2f x A x A πωϕϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的部分图像如图所示，则()f x 的解析式可以为（ ）A ．2sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．2sin 3y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C ．2sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭D ．2sin 3y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭【答案】A【解析】利用函数图像，求出A ，得出函数的周期，求出ω，通过点的坐标代入方程，结合ϕ的范围求出ϕ，可得到函数的解析式. 【详解】解：由图像可得：2A =,351346124T πππ=-=,可得T π=，故22Tπω==，将点(,2)12π代入()()2sin 2f x x ϕ=+且2πϕ<，可得3πϕ=，故()f x 的解析式为2n 2)3(si f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 故选：A. 【点睛】本题主要考查由()sin y A ωx φ=+的部分图像确定其解析式，熟练掌握()sin y A ωx φ=+的性质是解题的关键.5．过抛物线24y x =的焦点作一条倾斜角为6π的直线，与抛物线交于,A B 两点.则AB =（ ）A ．4B ．6C ．8D ．16【答案】D【解析】写出直线方程代入抛物线方程，利用韦达定理以及抛物线的性质，可得AB 的长. 【详解】解：由抛物线方程为：24y x =，可得2p =,焦点坐标(1,0)，准线为1x =-，由直线过抛物线焦点作且倾斜角为6π，可得直线方程为：1)y x =-， 将直线方程代入抛物线方程整理可得：21410x x -+=， 设,A B 两点坐标分别为1122(,),(,)x y x y ， 由抛物线性质可得：1214216AB x x p =++=+=，故选：D. 【点睛】本题主要考查直线与抛物线的位置关系及抛物线的简单性质，将直线方程代入抛物线方程求出12x x +是解题的关键. 6．函数()1423xx y x R -=++∈的值域为（ ）A ．[)2,+∞B ．()3,+∞C ．13,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭D ．[)9,+∞【答案】B【解析】令2,0xt t =＞，可得()21320y t t t =++＞，求出函数的对称轴，由二次函数的性质可得函数的值域. 【详解】 解：令2,0xt t =＞，可得()21320y t t t =++＞， 可得函数的对称轴为：14t =-，故函数在(0,)t ∈+∞上单调递增， 当0t =时，min 3y =，故函数的值域为()3,+∞， 故选：B. 【点睛】本题主要考查函数的值域，解题的关键是利用换元法进行换元，根据指数函数的值域与二次函数的性质进行求解.7．若直线1y kx =+与圆221x y +=相交于,P Q 两点，且POQ ∆为等边三角形(其中O为原点)，则k 的值为（ ）A B C ．3或3- D ．3【答案】C【解析】求出圆的圆心坐标和半径，可得圆心到直线的距离d ，由POQ ∆为等边三角形(其中O 为原点)，可得PQ 的长，由弦长公式可得PQ =代入可得k 的值. 【详解】解：由题意可得：圆221x y +=的圆心坐标为(0,0)，半径为1r =， 圆心到直线的距离：d =由POQ ∆为等边三角形(其中O 为原点)，可得1PQ =,由PQ =1=213k =，k =， 故选：C. 【点睛】本题主要考查直线与圆相交的有关知识，涉及点到直线的距离公式、圆的标准方程等知识，其中求出圆心到直线的距离代入弦长公式求解是解题的关键.8．已知某个几何体的三视图如图(主视图中的弧线是半圈)，根据图中出的尺寸(单位:cm ) ，可得这个几何体的表面积是( )2cmA ．2020π+B ．203π+C ．242+πD ．243π+【答案】B【解析】由三视图可得该几何体是由一个正方体和半个圆柱构成的组合体，根据三视图的数据求出各个面的面积再相加可得答案. 【详解】解：由三视图可得该几何体是由一个正方体和半个圆柱构成的组合体，可得这个几何体的表面积为：2211522121220322πππ⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=+， 故选：B. 【点睛】本题主要考查由三视图求几何体的表面积，解题的关键是判断几何体的形状及根据三视图的数据求出各个面的面积.9．在边长为2的正方形ABCD 内任取一点P ，使得2APB π∠≤的概率为（ ） A ．18π-B ．8πC ．4π D ．14π-【答案】A【解析】作图分析，观察发现点P 若恰在以O 为圆心，1为半径的半圆弧上，则2APB π∠=，若在半圆弧内12APB π∠>，在半圆弧外22AP B π∠<，由几何概型概率计算公式求得答案. 【详解】作图分析，观察发现点P 若恰在以O 为圆心，1为半径的半圆弧上，则2APB π∠=若在半圆弧内12APB π∠>，在半圆弧外22AP B π∠<故2122212228P APB πππ⋅⨯-⎛⎫∠≤==-⎪⨯⎝⎭【点睛】本题考查几何概型的面积型问题，属于中档题.10．阅读下面的程序框图，如果输入的实数x 的取值范围是(][),12,-∞+∞U ，那么输出的函数值()f x 的取值范围是（ ）A ．[]0,2B ．1,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．1,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．{}1,244⎡⎤⋃⎢⎥⎣⎦【答案】D【解析】由题意分析程序框图，可得其作用是计算分段函数：2,[2,2]()2,(,2)(2,)x x f x x ⎧∈-=⎨∈-∞-⋃+∞⎩的函数值，可求出当实数x 的取值范围是(][),12,-∞+∞U 函数的值，可得答案.【详解】解：由题意分析程序框图，可得其作用是计算分段函数：2,[2,2]()2,(,2)(2,)x x f x x ⎧∈-=⎨∈-∞-⋃+∞⎩的函数值，故当输入的实数x 的取值范围是(][),12,-∞+∞U 时， 当(,2)x ∈-∞-时，()2f x =;当[2,1]x ∈-时，()2x f x =，此时1()[,2]4f x ∈; 当2x =时，()2x f x =，此时2()24f x ==;当(2,)x ∈+∞，()2f x =;综上可得()f x 的取值范围为{}1,244⎡⎤⋃⎢⎥⎣⎦，故选：D. 【点睛】本题主要考查算法与程序框图的相关知识，由题意得出程序框图的作用是计算分段函数的函数值是解题的关键.11．已知函数()f x asinx bcosx =+,且4f π⎛⎫ ⎪⎝⎭是它的最大值，(其中,a b 为常数，且0ab ≠)，给出下列命题：①函数4f x π⎛⎫-⎪⎝⎭为奇函数； ②函数()f x 的图象关于2x π=对称；③函效34f π⎛⎫-⎪⎝⎭是函数的最小值； ④函数()f x 的图象在y 轴右侧与直线2ay =的交点按横坐标从小到火依次记为1234,,,?··P P P P 则242P P π=，其中正确的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】将()f x 化简为())f x x ϕ=+由4f π⎛⎫ ⎪⎝⎭是它的最大值可得())4f x x π+=，再利用正弦函数的性质对①②③④进行判断可得答案.【详解】解：由辅助角公式可得())f x asinx bcosx x ϕ=+=+,其中tan b aϕ=，由4f π⎛⎫⎪⎝⎭是它的最大值，可得242k ππϕπ+=+，24k πϕπ=+，故()2))44f x x k x πππ=++=+，对于①，4n x f x π⎛⎫- ⎪=⎝⎭为奇函数，故①正确；对于②，由())4f x x π+=，当42x k πππ+=+时即4x k ππ=+为函数的对称轴，故可得2x π=不是函数的对称轴，故②错误；对于③，33))4442f ππππ⎛⎫-=-+=-= ⎪⎝⎭， 是函数的最小值，故③正确；对于④，由())4f x x π+=，可得其最小正周期为2π，易得24P P 的长为一个周期的长，故242P P π=，故④正确；故正确的有①③④， 故选：C. 【点睛】本题主要考查三角恒等变换的应用及正弦函数的图像与性质，其中求出()f x 的解析式并根据正弦函数的性质进行判断是解题的关键.12．函数()32231,20,02x x x x f x ae x ⎧++-≤≤=⎨<≤⎩，若存在实数m ，使得方程()f x m =有三个相异实根，则实数a 的范围是（ ） A ．21,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．210,e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．(],2-∞D ．21,2e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】D【解析】先考虑20x -≤≤时()f x 的单调性，再就0,0a a ≤＞分别求()f x 在02x <≤的最值，结合存在实数m ，使得方程()f x m =有三个相异实根，可得实数a 的范围. 【详解】解：当20x -≤≤时，'2()666(1)f x x x x x =+=+，当21x -≤≤-时，'()0f x ≥，()f x 在[2,1]x ∈--为增函数；当10x -≤＜时，'()0f x ≤，()f x 在(1,0]x ∈-为减函数； 又()23f -=-，()12f -=，()01f =因为存在实数m ，使得方程()f x m =有三个相异实根，所以当2(]0,x ∈，()f x 的最小值小于2，()f x 的最大值大于或等于1， 当0a ＞，2(]0,x ∈时，()2a fx ae ＜＜，故221a ae ⎧⎨≥⎩＜，解得：212a e ≤＜； 当0a ≤，2(]0,x ∈时，()0f x ≤总成立，舍去；综上可得21,2a e ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭， 故选：D. 【点睛】本题主要考查函数的零点与利用导数研究函数的单调性，注意先研究不含参数的函数的单调性，再结合函数的零点个数判断另一范围上函数的性质，本题属于难题.二、填空题13．已知向量()()1,2,,3a b t =-=r r ，若//a b r r，则t =__________．【答案】32-. 【解析】根据平面向量的共线定理，列出方程可得t 的值. 【详解】解：由已知向量()()1,2,,3a b t =-=r r ，且//a b r r，所以132t ⨯=-⨯，可得32t =-， 故答案为：32-. 【点睛】本题主要考查平面向量的坐标表示与平面向量的共线定理，属于基础题型.14．等比数列{}n a 中，1351,64a a a ==g，则2019a =__________． 【答案】20182【解析】设等比数列{}n a 的公比为q ，由1351,64a a a ==g，可得2q 的值，由等比数列的通项公式可得2019a 的值. 【详解】解：设等比数列{}n a 的公比为q ，由1351,64a a a ==g，可得2323541()64a a a a q ===g ，可得24q =，故20182100910092018201911()42a a q q =⨯=⨯==， 故答案为：20182. 【点睛】本题主要考查等比数列的通项公式，等比数列的基本量的计算，考查学生的计算能力，属于基础题.15．设变量x ，y 满足约束条件：3123x y x y x y +≥⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩，则目标函数32z x y =-的最小值为______. 【答案】1-【解析】根据不等式组画可行域，根据目标函数32z x y =-即3122y x z =-12z -表示斜率为32的直线的纵截距，数形结合确定最值点，求出最值点代入目标函数求解即可，【详解】画出可行域，如图：32z x y =-即3122y x z =-， 12z -表示斜率为32的直线的纵截距， 由图可知，当直线32z x y =-过A 点时，12z -取最大，即z 取最小值，由31x y x y +=⎧⎨-=-⎩解得(1,2)A ， ∴32z x y =-的最小值为31221⨯-⨯=-. 故答案为：1-. 【点睛】本题考查线性规划问题，一般思路是根据不等式组画可行域，根据目标函数确定最值点，求出最值点代入目标函数求解即可，属于基础题.16．数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微”.事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决.化为点(),A x y 与点(),B a b 之间距离的几何问题.结合上述观点.可得方程4=的解为__________．【答案】5±【解析】由已知可将解方程的问题转为为双曲线的点坐标问题，求出双曲线的方程，可得点(,2)x 在曲线上，可得x 的值，可得答案. 【详解】4=化简可得：4=，可得点(,0)x 到点(3,2)--，(3,2)--的距离之差的绝对值为4，故可得点(,2)x 到点(3,0)-，(3,0)-的距离之差的绝对值为4， 故可得该曲线为双曲线，且24a =，2a =，3c =，可得25b =，所以该双曲线的标准方程为：22145x y -=，由点(,2)x 在曲线上，可得24145x -=，可得x =，故答案为：5±. 【点睛】本题主要考查双曲线的定义及简单性质，考查学生的计算能力，体现了数形结合的数学思想，属于中档题.三、解答题17．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1221,4a S a =+= （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设数列12n n n b a +=,求{}n b 的前n 项和n T【答案】（1）12n n a +=；（2）12n n +g 【解析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，由1221,4a S a =+=，可得d 的值，可得数列{}n a 的通项公式；（2）求出{}n b 的的通项公式，由错位相减法可得n T 的值. 【详解】解：(1)设等差数列{}n a 的公差为d ，由1221,4a S a =+=，可得1224a a a ++=，可得232a =，2112d a a =-=，故111(1)1(1)22n n a a n d n +=+-=+-⨯= (2)由12n n n b a +=，12n n a +=，故可得()12n n b n =+ 可得：()12223212n nT n =⨯+⨯+++... ①()23122232...12n n T n +=⨯+⨯+++ ②①-②得：()()121222...212n n n T n +-=⨯+++-+可得：()()111412412212n n n n T n n --+-=--++=-g【点睛】本题主要考查等差数列通项公式的求法及错位相减法求数列的和，考查学生的计算能力，属于基础题型.18．棉花的优质率是以其纤维长度来街量的，纤维越长的棉花晶质越高.棉花的品质分类标准为:纤维长度小于等于25mm的为粗绒棉，纤维长度在(]25,33的为细绒棉，纤维长度大于33mm的为长绒棉，其中纤维长度在38mm以上的棉花又名“军海1号”.某采购商从新疆某一棉花基地抽测了100根棉花的纤维长度，得到数据如下图频率分布表所示：（1）若将频率作为概率，根据以上数据，能否认为该基地的这批棉花符合“长绒棉占全部棉花的60%以上”的要求？（2）用样本估计总体，若这批榨花共有10000kg,基地提出了两种销售方案给采购商参考.方案一：不分等级卖出，每千克按13.5元计算，方案二:对10000kg棉花先分等级再销售，分级后不同等级的棉花售价如下表：从来购商的角度，请你帮他决策一下该用哪个方案.（3）用分层抽样的方法从长绒棉中抽取6根棉花,再从此6根棉花中抽取两根进行检验.求抽到的两根棉花只有一根是“军海1号”的概率.【答案】（1）可以认为该基地的这批棉花符合“长绒棉占全部棉花的60%以上；（2）选方案一更好；（3）815 P=.【解析】（1）由题意可得长绒棉的频数（2）分别求出方案一与方案二所花的钱数，对比可得答案；（3）求出从6根棉花中抽取两根进行检验，可得总的抽取方法数与抽到的两根棉花只有一根起“军海1号”的抽取方法数，可得抽到的两根棉花只有一根是“军海1号”的概率. 【详解】解：由题意可得长绒棉的频数为：402060+=， 故6060%100P ==，故可以认为该基地的这批棉花符合“长绒棉占全部棉花的60%以上；(2)由题意可得方案一需花费：13.510000135000⨯=元； 方案二需花费:20.021000080.3810000150.410000250.210000140800⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=. 所以，选方案一更好；(3) 由题意结合用分层抽样的方法从长绒棉中抽取6根棉花，可得抽取的长绒棉为：40644020⨯=+根，抽取的军海1号为：20624020⨯=+根，再从此6根棉花中抽取两根进行检验，可得总的抽取方法有2615C =种，其中抽到的两根棉花只有一根是“军海1号”的抽取方法有11428C C ⨯=种，故抽到的两根棉花只有一根是“军海1号”的概率为：815P =. 【点睛】本题主要考查分层抽样与利用古典概型计算概率，考查学生的计算能力，属于中档题. 19．如图，在五棱锥P ABCDE -中，//,//AB DE BC AE AE ⊥，平面PDE ,22460AB AE PD DE BC PDE ︒=====∠=，,（1）证明: PE CD ⊥；（2）过点D 作平行于平面PAE 的截面，与直线,,AB PB PC 分别交于点,,F G H ,求夹在该截面与平面PAE 之间的几何体体积.【答案】（1）证明见解析；（2）73.【解析】（1）由题意AE ⊥平面PDE ，可得AE PE ⊥，在PDE ∆中由余弦定理可得23PE =，可得222PE ED PD +=，可得PE ED ⊥，故PE ⊥平面ABCDE ,故PE CD ⊥；（2）P AFDE P GFDH V V V --=+，分别求出P AFDE V -与P GFDH V -代入可得答案. 【详解】（1）由题意：AE ⊥平面PDE ，可得AE PE ⊥ 在PDE ∆中，4,2,60PD ED PDE︒==∠=,由余弦定理可得：222012cos 60164242122PE PD ED PD ED =+-⨯⨯=+-⨯⨯⨯=，23PE =， 易得：222PE ED PD +=，PDE ∆为直角三角形，PE ED ∴⊥， 又由AE ED E =I ,AE ⊂平面ABCDE ,DE ⊂平面ABCDE , 可得PE ⊥平面ABCDE ,故PE CD ⊥；（2）由题意可得平面PAE P 平面GFDH ,又平面PAE I 平面ABCDE AE =,平面GFDH I 平面ABCDE DF =，故可得AE DF P ,又//AF DE ,可得四边形AEDF为平行四边形，可得4DF AE ==,122AF DE AB ===,故F 为AB 的中点， 同理由平面PAE P 平面GFDH ,又平面PAE I 平面PAB AB =,平面GFDH I 平面PAB GF =，故可得PA GF P ,且G 点为PB 的中点，易得////DF BC AE ,且DF ⊂平面GFDH ，且BC ⊄平面GFDH ，故可得BC ∥平面GFDH ，由BC ⊂平面PBC ，且平面PBC I 平面=GH GFDH ,故可得：BC GH P , 在PBC ∆中，BC GH P ，G 点为PB 的中点，可得GH 为PBC ∆的中位线，1=12GH BC =,连接BE 交DF 与O 点，易得=OE OB ,在PBE ∆中，OG PE P 且1=2OG PE 由PE ⊥平面ABCDE ，可得OG ⊥平面ABCDE ，可得OG DF ⊥,故1(14)22GFDH S =+=,易得DE ⊥平面GFDH ,且平面PAE P 平面GFDH ， 故P 点到平面GFDH 的距离即为DE 的长为2，可得：118233P AFDE P GFDH V V V --=+=⨯⨯=【点睛】本题主要考查线面垂直的判定定理与性质定理，及面面平行、线面平行的性质定理与空间几何体的体积，考查学生的空间想象能力与计算能力，属于难题.20．已知函数 ()()211ln a x f x x x x-=--- （1）若0a =，求()f x 在1x =处的切线方程；（2）若函数()f x 存在两个极值点1x 和2x . 求证：()21242ln 214a f x x a+≥--【答案】（1）0y =；（2）证明见解析.【解析】（1）0a =代入()f x 对其求导，可得()'f x ，求出()1f ，()'1f 由导数的几何意义可得函数在1x =处的切线方程； （2）对()f x 求导可得,令121,1ax x a==-，可得a 的取值范围，可得求出()212442ln111a a af x x a a a+=-----，令1a t a =-，可得()4ln 2h t t t =--，可得t 的取值范围，对()h t 求导，可得其单调性和最小值，可得证明. 【详解】解：（1）将0a =代入()f x ，可得()1ln f x x x =--，对其求导可得()1'1f x x=-， 可得()()10,'10f f ==，故可得切线方程过点(1,0)且斜率为0， 可得切线方程为：0y =；（2）证明：对()f x 求导可得：()()221'a x x a f x x --+=令(),'0f x =可得121,1ax x a==-，易得函数的定义域为(0,)+∞， 故可得21ax a=-＞0且211x x ≠=，可得110,,122a ⎛⎫⎛⎫∈⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故可得：()212442ln111a a a f x x a a a+=----- 令1at a =-，由110,,122a ⎛⎫⎛⎫∈⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，可得()()()0,11,,4ln 2t h t t t ∈⋃+∞=--， ()11'40,,4h t t t =-==易得()y h t =在10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭递减，在()1,1,1,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭递增，所以()h t 最小值为12ln 214h ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 故可得：()2ln21h t ≥-，即()21242ln 214a f x x a+≥--.【点睛】本题主要考查利用导数求函数的切线方程、利用导数求函数的单调区间与极值等知识，考查学生的计算能力与综合分析问题与解决问题的能力，体现了函数思想，化归与转化的思想，属于难题.21．已知定点()2,0P ，圆22:4600M x y x ++-=，过点P 的直线1l 交圆M 于,R S 两点，过点P 作直线2//l MS 交直线MR 于Q 点， （1）求Q 点的轨迹方程E ；（2）若,,,A B C D 是曲线E 上不重合的四个点，且AC 与BD 交于点()2,0-，0AC BD =u u u r u u u rg ，求AC BD +u u u r u u u r 的取值范围. 【答案】（1）2211612x y +=；（2）96,147⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【解析】（1）由题意可得84QM QP MP +==＞,则Q 点的轨迹是以 ,M P 点为焦点的椭圆，求出b c a 、、的值，可得Q 点的轨迹方程E ； （2）由()1知()12,0F -， 且AC BD ⊥，①当直线,AC BD 中有一条直线的斜率不存在时，14AC BD +=u u u r u u u r②当直线AC 的斜率为,0k k ≠时,其方程为: ()2y k x =+，联立直线与椭圆，可得12x x +，12x x 的值，AC u u u r 可用k 来表示，同理可得DB u u u r，故AC BD +u u u r u u u r 可用k 来表示，令21,1k t t +=>，利用函数的性质可其取值范围,综合可得答案.【详解】解：（1）由题意可得：圆22:4600M x y x ++-=，222(2)8x y ++=，可得(2,0)M -, 如图：，易得：MSR MRS QPR ∠=∠=∠,可得QP QR =，84QM QP MP +==＞,则Q 点的轨迹是以 ,M P 点为焦点的椭圆.其中24,2,12,a c b==∴=故Q 点的轨迹方程为2211612x y +=；（2）由()1知()12,0F -， 且AC BD ⊥①当直线,AC BD 中有一条直线的斜率不存在时，14AC BD +=u u u r u u u r②当直线AC 的斜率为,0k k ≠时,其方程为: ()2y k x =+由()22211612y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩得：()2222341616480k x k x k +++-=，设()()1222,,,A x y C x y则22121222161648,36434k k x x x x k k-+=-=+=+ ()22122241134k AC k x k+∴=+-=+u u u r 同理可得：()2224143k DB k+=+u u u r，所以()()()222216813443kAC BD k k ++=++uu u r u u u r令21,1k t t +=>()()2216816896,14114131712t AC BD t t t t ⎡⎫+==∈⎪⎢-+⎣⎭+-u u u r u u u r综上，AC BD +u u u r u u u r 的取值范围96,147⎡⎤⎢⎥⎣⎦【点睛】本题主要考查轨迹方程的求法及直线与圆的位置关系，考查学生的分析能力与计算能力，体现了转化的数学思想，属于难题.22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为1cos 1sin x t y t αα=+⎧⎨=-+⎩，(t 为参数，0)απ≤<,以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2sin 24πρθ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭（1）求曲线2C 的直角坐标方程:（2）若曲线1C 与2C 交于,A B两点，且AB =求α的值. 【答案】（1）()()222:114C x y -+-=；（2）3πα=或23πα=【解析】（1）将222,cos ,sin x y x y ρρθρθ=+==代入曲线2C 的极坐标方程可得曲线2C 的直角坐标方程； （2）曲线1C 的参数方程为1cos 1sin x t y t αα=+⎧⎨=-+⎩,设,A B 两点所对应的参数分别为12,t t ，将曲线1C 的参数方程代入曲线2C 的直角坐标方程可得12,t t的值，可得124sin AB t t α=+==α的值.【详解】（1）可得曲线2C的极坐标方程为：2sin 22(sin cos )24πρθρθθ⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭， 将222,cos ,sin x y x y ρρθρθ=+==代入方程可得：22222x y x y +=++，化简可得()()22114x y -+-=，故2C 的直角坐标方程: ()()22114x y -+-=. （2）曲线1C 的参数方程为1cos 1sin x t y t αα=+⎧⎨=-+⎩，(t 为参数，0)απ≤<,且曲线1C 与2C 交于,A B 两点，设,A B 两点所对应的参数分别为12,t t ，将1cos 1sin x t y t αα=+⎧⎨=-+⎩代入()()22114x y -+-=，可得24sin 0t t α-=，可得120,4sin t t α==，故可得124sin AB t t α=+==sin α=， 由0απ≤<，可得3πα=或23πα=. 【点睛】本题主要考查极坐标方程与直角坐标方程的互化及简单曲线的极坐标方程，考查学生的计算能力，属于中档题.23．设函数()f x x a =-，如果不等式()1f x ≤的解集为{}02x x ≤≤ （1）求a 的值（2）当()0,1x ∈时，证明：()()1141f x f x +≥+ 【答案】（1）1a =；（2）证明见解析.【解析】（1）由()f x x a =-，不等式()1f x ≤的解集为{}02x x ≤≤，求出x 的取值范围，可得a 的值；（2）由（1）可得()1f x x =-，当()0,1x ∈时，化简()()111f x f x ++，利用基本不等式可得证明. 【详解】（1）由()f x x a =-，不等式()1f x ≤的解集为{}02x x ≤≤， 可得：11x a -≤-≤，11a x a -≤≤+， 故：10,12a a -=+=，则1a =；（2）由（1）可得()1f x x =-，当()0,1x ∈时()()()111111112241111x x x x f x f x x x x x x x -⎛⎫+=+=+-+=++≥+= ⎪+---⎝⎭第 21 页 共 21 页 当且仅当11x x x x -=-，即12x =时成立， 故()()1141f x f x +≥+. 【点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法及利用基本不等式证明不等式，属于基础题型，灵活运用基本不等式是解题的关键.。

2019年哈师大附中三模

2019年哈师大附中三模

2019年哈师大附中三模篇一：2019年哈师大附中三模数学理2019年哈师大附中三模数学理2019三校联考三模理数参考答案DBDCB CBAAC BC13.18；14.1024；15.1 ；16. (2) (3) 2217．解：（１）设?an?公差为d，由已知得S3?3a2?a5，…………２分2?3?2? 则?3?d??3?1?d??1?4d?，整理得d2?d?2?0，2??∵d?0，∴d?2，……………４分∴an?2n?1……………６分n?n?1??2?n2 ………………７分（２）由（１）得Sn?n?2∴bn?14n2?1?1?11?????…………９分2n?12n?12?2n?12n?1?1∴Tn?1?111111?1?1?n ……１２分????????1??????2?13352n?12n?1?2?2n?1?2n?118.解：（1）第一组学生身高的众数是168，中位数是171.5，第二组学生身高的众数是185，中位数是172.5.………2分（2）设“这两名同学至少有1人来自第二组”为事件A篇二：2019年哈师大附中三模数学文2019年哈师大附中三模数学文2019三校联考第三次模拟考试文科数学参考答案二. 填空题:213. 存在x∈R，x＋x＋1≥0 14. 215. 4?16. (2)(3)三．解答题217. 解：（Ⅰ）设?an?公差为d，由已知得S3?3a2?a5，…………２分?3?2?则?3?d??3?1?d??1?4d?，整理得d2?d?2?0，2??∵d?0，∴d?2，…………４分∴an?2n?1 …………６分（Ⅱ）由（１）得Sn?n?2n?n?1??2?n2 …………７分2∴bn?14n2?1?1?11????? …………９分2n?12n?12?2n?12n?1?1∴Tn?1?111111?????????? 2?13352n?12n?1?1?1?n …………１２分??1???2?2n?1?2n?118.解：（Ⅰ）第一组第二组15 8 99 8 8 16 6 9 6 5 2 1 0 17 2 3 6 2 1 18 2 5 5…………3分由茎叶图知：第一组学生身高更集中.…………4分（Ⅱ）第一组男生身高的众数为168，中位数为171.5 …………6分。

哈尔滨师范大学附属中学2018-2019学年高三上学期第三次月考试卷数学含答案

哈尔滨师范大学附属中学2018-2019学年高三上学期第三次月考试卷数学含答案

哈尔滨师范大学附属中学2018-2019学年高三上学期第三次月考试卷数学含答案班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1． 设函数()()21,141x x f x x ⎧+<⎪=⎨≥⎪⎩，则使得()1f x ≥的自变量的取值范围为（ ）A ．(][],20,10-∞-B ．(][],20,1-∞-C ．(][],21,10-∞-D ．[][]2,01,10-2． 已知高为5的四棱锥的俯视图是如图所示的矩形，则该四棱锥的体积为（ ）A ．24B ．80C ．64D ．2403． 已知抛物线C ：28y x =的焦点为F ，P 是抛物线C 的准线上的一点，且P 的纵坐标为正数，Q 是直线PF 与抛物线C的一个交点，若PQ =，则直线PF 的方程为（ ）A ．20x y --=B ．20x y +-=C ．20x y -+=D ．20x y ++=4．函数的零点所在区间为（ ）A ．（3，4）B ．（2，3）C ．（1，2）D ．（0，1）5． 设集合{}|22A x R x =∈-≤≤，{}|10B x x =-≥，则()R A B = ð（ ） A.{}|12x x <≤ B.{}|21x x -≤< C. {}|21x x -≤≤ D. {}|22x x -≤≤ 【命题意图】本题主要考查集合的概念与运算，属容易题.6． 某高二（1）班一次阶段考试数学成绩的茎叶图和频率分布直方图可见部分如图，根据图中的信 息，可确定被抽测的人数及分数在[]90,100内的人数分别为（ ）A ．20，2B ．24，4C ．25，2D ．25，47． 已知全集U R =，{|239}x A x =<≤，{|02}B y y =<≤，则有（ ） A ．A ØB B ．A B B = C ．()R A B ≠∅ ð D ．()R A B R = ð 8． 在△ABC 中，若A=2B ，则a 等于（ ） A ．2bsinAB ．2bcosAC ．2bsinBD ．2bcosB9． 已知一三棱锥的三视图如图所示，那么它的体积为（ ）A ．13 B ．23C ．1D ．2 10．已知数列{}n a 是各项为正数的等比数列，点22(2,log )M a 、25(5,log )N a 都在直线1y x =-上，则数列{}n a 的前n 项和为（ ）A ．22n- B ．122n +- C ．21n - D ．121n +-11．已知1()21x f x =+，则331(log 2)(log )2f f +=（ ）A ．12B ．1C ．2D ．412．如图，1111D C B A ABCD -为正方体，下面结论：① //BD 平面11D CB ；② BD AC ⊥1；③ ⊥1AC 平面11D CB .其中正确结论的个数是（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在横线上）13．甲、乙两个箱子里各装有2个红球和1个白球，现从两个箱子中随机各取一个球，则至少有一 个红球的概率为 ．14．如图，已知m ，n 是异面直线，点A ，B m ∈，且6AB =；点C ，D n ∈，且4CD =.若M ，N 分别是AC ，BD 的中点，MN =m 与n 所成角的余弦值是______________.【命题意图】本题考查用空间向量知识求异面直线所成的角，考查空间想象能力，推理论证能力，运算求解能力.15．将曲线1:C 2sin(),04y x πωω=+>向右平移6π个单位后得到曲线2C ，若1C 与2C 关于x 轴对称，则ω的最小值为_________.16．若复数12,z z 在复平面内对应的点关于y 轴对称，且12i z =-，则复数1212||z z z +在复平面内对应的点在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【命题意图】本题考查复数的几何意义、模与代数运算等基础知识，意在考查转化思想与计算能力．三、解答题（本大共6小题，共70分。

精品解析：【校级联考】东北三省三校2019届高三第三次模拟考试数学(文)试题(解析版)

精品解析：【校级联考】东北三省三校2019届高三第三次模拟考试数学(文)试题(解析版)

哈师大附中2019年高三第三次模拟考试文科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先求出集合，然后再求出即可．【详解】∵，，∴．故选C．【点睛】解答集合运算的问题时，首先要分清所给的集合是用列举法还是用描述法表示的，对于用描述法表示的集合，在运算时一定要把握准集合中元素的特征．2.，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据复数的乘法运算律展开再求模即可.【详解】所以，故答案为A【点睛】本题考查复数的乘法运算和求模,基础题.3.已知向量的夹角为，，，则（）A. -16B. -13C. -12D. -10【答案】C【解析】根据数量积的运算律和数量积的定义求解即可得到答案．【详解】∵向量的夹角为，，，∴，∴．故选C．【点睛】本题考查数量积的运算，解题时根据运算律和定义求解即可，属于基础题．4.已知双曲线的离心率为2，则其渐近线方程为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由离心率为2可得，于是得，由此可得渐近线的方程．【详解】由得，即为双曲线的渐近线方程．∵双曲线的离心率为2，∴，解得，∴双曲线的渐近线方程为．故选D．【点睛】解题时注意两点：一是如何根据双曲线的标准方程求出渐近线的方程；二是要根据离心率得到．考查双曲线的基本性质和转化、计算能力，属于基础题．5.等比数列的各项和均为正数，，,则（）A. 14B. 21C. 28D. 63【答案】C【分析】根据题中的条件求出等比数列的公比，再根据即可得到所求．【详解】设等比数列的公比为，∵，，∴，即，解得或，又，∴，∴．故选C．【点睛】本题考查等比数列项的运算，解题时注意将问题转化为基本量（首项和公比）的运算，另外解题时还需注意数列中项之间性质的灵活应用，以减少计算量、提高解题的效率．6.设命题，则为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根据含有量词的命题的否定的定义进行求解即可．【详解】∵命题，∴为：．故选A．【点睛】对含有存在(全称)量词的命题进行否定需要两步操作：①将存在(全称)量词改成全称(存在)量词；②将结论加以否定．7.如图，直角梯形中，，，,在边上任取点，连交于点，则的概率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用相似三角形即可.【详解】由已知三角形ABC为直角三角形, ，可得AC=2.当时，因为所以即，所以，且点E的活动区域为线段AD，AD=1.所以的概率为故答案为B.【点睛】本题考查几何概型中的“长度”之比，基础题.8.运行程序框图，如果输入某个正数后，输出的，那么的值为（）A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】B【解析】【分析】依次运行框图中给出的程序，根据输出结果所在的范围来判断图中的值．【详解】依次运行框图中的程序，可得：第一次：；第二次：；第三次：；第四次：；第五次：；……因为输出的，所以程序运行完第四次即可满足题意，所以判断框中的值为4．故选B．【点睛】程序框图的补全及逆向求解问题思路：①先假设参数的判断条件满足或不满足；②运行循环结构，一直到运行结果与题目要求的输出结果相同为止；③根据此时各个变量的值，补全程序框图．此类试题要求学生要有比较扎实的算法初步的基本知识，以及综合分析问题和解决问题的能力，要求较高，属中档题．9.已知四面体中，平面平面，为边长2的等边三角形，，，则四面体的体积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先利用面面垂直求出四面体的高,因为是等腰直角三角形易求面积,利用三棱锥的体积公式即得.【详解】解:取BD中点M,因为为边长2的等边三角形,所以,且.又因为平面平面且交线为BD,所以,而且是等腰直角三角形,且面积为2,所以,故答案为A.【点睛】本题考查面面垂直的性质,椎体体积的运算,基础题.10.一项针对都市熟男（三线以上城市，岁男性）消费水平的调查显示，对于最近一年内是否购买过以下七类高价商品，全体被调查者，以及其中包括的1980年及以后出生（80后）被调查者，1980年以前出生（80前）被调查者回答“是”的比例分别如下：根据表格中数据判断，以下分析错误的是（）A. 都市熟男购买比例最高的高价商品是电子产品B. 从整体上看，80后购买高价商品的意愿高于80前C. 80前超过3成一年内从未购买过表格中七类高价商品D. 被调查的都市熟男中80后人数与80前人数的比例大约为【答案】D【解析】【分析】根据表格中给出的信息，对四个选项分别进行分析、判断后可得答案．【详解】对于选项A，从表中的数据可得都市熟男购买电子产品的比例为，为最高值，所以A正确．对于选项B，从表中后两列的数据可看出，前6项的比例均是80后的意愿高于80前的意愿，所以B正确．对于选项C，从表中的最后一列可看出，80前一年内从未购买过表格中七类高价商品的比例为，约为3成，所以C正确．对于选项D，根据表中数据不能得到被调查的都市熟男中80后人数与80前人数的比例，所以D不正确．故选D．【点睛】本题考查统计图表的应用和阅读理解能力，解题的关键是读懂表中数据的意义，然后结合所求进行分析、判断，属于基础题．11.椭圆上存在两点，关于直线对称，若为坐标原点，则=（）A. 1B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由题意设直线的方程为，与椭圆方程联立后求得到点的坐标与参数的关系，然后根据的中点在直线上求出参数的值，进而得到点的坐标，进而得到向量的坐标，于是可得结果．【详解】由题意直线与直线垂直，设直线的方程为．由消去整理得，∵直线与椭圆交于两点，∴，解得．设，的中点为，则，∴，，∴点的坐标为．由题意得点在直线上，∴，解得．∴，∴，∴．故选C．【点睛】本题考查直线和椭圆的位置关系，解题的关键是得到直线的方程．其中题中的对称是解题的突破口，对于此类问题要注意两对称点的连线与对称轴垂直、两对称点的中点在对称轴上，解题是要注意这两点的运用，属于中档题．12.如图，直角梯形，，，，是边中点，沿翻折成四棱锥，则点到平面距离的最大值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由题意得在四棱锥中平面．作于，作于，连，可证得平面．然后作于，可得即为点到平面的距离．在中，根据等面积法求出的表达式，再根据基本不等式求解可得结果．【详解】由翻折过程可得，在如图所示的四棱锥中，底面为边长是1的正方形，侧面中，，且．∵，∴平面．作于，作于，连，则由平面，可得，∴平面．又平面，∴．∵，，∴平面．在中，作于，则平面．又由题意可得平面，∴即为点到平面的距离．在中，，设，则，∴．由可得，∴，当且仅当，即时等号成立，此时平面，综上可得点到平面距离的最大值为．故选B．【点睛】本题综合考查立体几何中的线面关系和点面距的计算，解题的关键是作出表示点面距的垂线段，另外根据线面平行将所求距离进行转化也是解答本题的关键．在求得点面距的表达式后再运用基本不等式求解，此时需要注意等号成立的条件，本题难度较大．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知等差数列的前项和为，且，，则__________．【答案】80【解析】【分析】解方程组求出等差数列的首项和公差后再根据前项和公式求解即可．【详解】设等差数列的公差为，由题意得，解得，∴．故答案为：．【点睛】本题考查等差数列中的基本运算，解题时注意方程思想的运用，同时将问题转化为等差数列的首项和公差的问题是解题的关键，属于基础题．14.函数的一条对称轴，则的最小值为__________．【答案】2【解析】【分析】根据题意得到，进而得，最后根据题中的要求得到答案．【详解】∵函数的一条对称轴，∴，∴，又，∴的最小值为．故答案为：．【点睛】本题考查函数的性质，解题时要把作为一个整体，然后再结合正弦函数的相关性质求解，同时还应注意的符号对结果的影响，属于中档题．15.若函数在上单调递增，则的取值范围是__________．【答案】【解析】【分析】由题意根据函数在区间上为增函数及分段函数的特征，可求得的取值范围．【详解】∵函数在上单调递增，∴函数在区间上为增函数，∴，解得，∴实数的取值范围是．故答案为：．【点睛】解答此类问题时要注意两点：一是根据函数在上单调递增得到在定义域的每一个区间上函数都要递增；二是要注意在分界点处的函数值的大小，这一点容易忽视，属于中档题．16.已知，，其中，则下列判断正确的是__________．（写出所有正确结论的序号）①关于点成中心对称；②在上单调递增；③存在，使；④若有零点，则；⑤的解集可能为.【答案】①③⑤【解析】【分析】对于①，根据函数为奇函数并结合函数图象的平移可得正确．对于②，分析可得当时，函数在上单调递减，故不正确．对于③，由，可得，从而得，可得结果成立．对于④，根据③中的函数的值域可得时方程也有解．对于⑤，分析可得当时满足条件，由此可得⑤正确．【详解】对于①，令，则该函数的定义域为，且函数为奇函数，故其图象关于原点对称．又函数的图象是由的图象向上或向下平移个单位而得到的，所以函数图象的对称中心为，故①正确．对于②，当时，，若，则函数在上单调递减，所以函数单调递增；函数在上单调递增，所以函数单调递减．故②不正确．对于③，令，则当时，，则．所以，令，则成立．故③正确．对于④，若有零点，则，得，从而得，故，结合③可得当有零点时，只需即可，而不一定为零．故④不正确．对于⑤，由，得．取，则，整理得．当时，方程的两根为或．又函数为奇函数，故方程的解集为．故⑤正确．综上可得①③⑤正确．故答案为：①③⑤【点睛】本题考查函数性质的运用及命题真假的判定，解题时要结合函数的性质对函数的零点情况进行分析，注意直接推理的应用，同时在判断命题的真假时还要注意举反例的方法的运用，难度较大．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.在中，.（Ⅰ）求的大小；（Ⅱ）求的取值范围.【答案】（I）；（Ⅱ）.【解析】【分析】（Ⅰ）将切函数化为弦函数，整理后两边约掉，然后逆用两角和的余弦公式得到，于是，从而．（Ⅱ）将代入所求值的式子后化简得，然后再结合的范围得到所求．【详解】（Ⅰ）由条件得，∵，∴，∴，∵，∴，∴.（Ⅱ）由（Ⅰ）得，∴，∵，∴，∴，∴的取值范围是.【点睛】本题考查三角形中的三角变换问题，解题时注意三角形内角和定理的运用，同时要注意三角变换公式的合理应用．对于求范围或最值的问题，一般还是要以三角函数为工具进行求解，解题时需要确定角的范围．18.如图四棱锥中，底面，是边长为2的等边三角形，且，.（I ）求证：平面平面;（Ⅱ）若点是棱的中点，求直线与所成角的余弦值.【答案】（I ）证明见解析；（Ⅱ） .【解析】 【分析】 (I)先证出平面,再利用面面垂直的判定定理即可.(Ⅱ) 取中点 ，连接，，则或其补角是异面直线与所成的角. 在中利用余弦定理即可. 【详解】（Ⅰ）证明：底面，取中点，连接，则,，点共线，即又，平面平面， 平面平面 （Ⅱ）解：取中点 ，连接，，则或其补角是异面直线与所成的角中，， ，即中，，.中，，，，由余弦定理得中，所以直线与所成角的余弦值为.【点睛】本题考查线面垂直的性质定理,判定定理,面面垂直的判定定理,异面直线所称的角的作法及运算,基础题.19.现代社会，“鼠标手”已成为常见病，一次实验中，10名实验对象进行160分钟的连续鼠标点击游戏，每位实验对象完成的游戏关卡一样，鼠标点击频率平均为180次/分钟，实验研究人员测试了实验对象使用鼠标前后的握力变化，前臂表面肌电频率（）等指标.（I ）10 名实验对象实验前、后握力（单位：）测试结果如下： 实验前：346,357,358,360,362,362,364,372,373,376实验后：313,321,322,324,330,332,334,343,350,361完成茎叶图，并计算实验后握力平均值比实验前握力的平均值下降了多少？（Ⅱ）实验过程中测得时间（分）与10名实验对象前臂表面肌电频率（）的中的位数（）的九组对应数据为，.建立关于时间的线性回归方程；（Ⅲ）若肌肉肌电水平显著下降，提示肌肉明显进入疲劳状态，根据（Ⅱ）中9组数据分析，使用鼠标多少分钟就该进行休息了？参考数据：；参考公式：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，【答案】（I）茎叶图见解析，；（Ⅱ）；（Ⅲ）60分钟.【解析】【分析】（Ⅰ）结合所给数据可得茎叶图；分别求出实验前、后握力的平均数后比较可得结果．（Ⅱ）根据所给公式并结合条件中的数据可得，于是可得线性回归方程．（Ⅲ）分析九组数据可得，在40分钟到60分钟的下降幅度最大，由此可得结论．【详解】（Ⅰ）根据题意得到茎叶图如下图所示：由图中数据可得，，∴，∴故实验前后握力的平均值下降.（Ⅱ）由题意得，，，又，∴，∴，∴关于时间的线性回归方程为.（Ⅲ）九组数据中40分钟到60分钟的下降幅度最大，提示60分钟时肌肉已经进入疲劳状态，故使用鼠标60分钟就该休息了.【点睛】本题考查统计的基本问题，即数据的整理、分析和应用，解题时由于涉及到大量的计算，所以在解题时要注意计算的合理性和准确性，同时要充分利用条件中给出的中间数据，属于中档题．20.抛物线的焦点为，准线为，若为抛物线上第一象限的一动点，过作的垂线交准线于点，交抛物线于两点.（Ⅰ）求证：直线与抛物线相切；（Ⅱ）若点满足，求此时点的坐标.【答案】（I ）证明见解析；（Ⅱ）.【解析】 【分析】 （Ⅰ）设，由此可得直线的斜率，进而得到直线的斜率，由此得到的方程为，令可得点的坐标，于是可得直线的斜率．然后再由导数的几何意义得到在点A 处的切线的斜率，比较后可得结论．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，直线的方程为，将直线方程与椭圆方程联立消元后得到二次方程，结合根与系数的关系及可求得点A 的坐标．【详解】（Ⅰ）由题意得焦点．设，∴直线的斜率为，由已知直线斜率存在，且直线的方程为，令，得，∴点的坐标为，∴直线的斜率为．由得，∴，即抛物线在点A 处的切线的斜率为，∴直线与抛物线相切．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，直线的方程为，由消去整理得，设，则．由题意得直线的斜率为，直线的斜率为，∵，∴，∴，∴，整理得，解得或．∵，∴，又，且，∴存在，使得．【点睛】解答本题时要注意以下几点：（1）题中所需要的点的产生的方法，即由线与线相交产生点的坐标；（2）注意将问题合理进行转化，如根据线的垂直可得斜率的关系；（3）由于解题中要涉及到大量的计算，所以在解题中要注意计算的合理性，通过利用抛物线方程进行曲线上点的坐标间的转化、利用“设而不求”、“整体代换”等方法进行求解．21.已知函数 .（I）当时，求函数的单调区间；（Ⅱ）若对任意的恒成立，求整数的最大值.【答案】（I）的减区间为，无增区间；（Ⅱ）3.【解析】【分析】(I) 利用二次求导即得.(Ⅱ)先分离参数得到令，通过二次求导和零点存在性定理确定零点所在区间及整数的最大值.【详解】（I）的定义域为当时，令，，，单调递增，，单调递减的减区间为，无增区间；（Ⅱ）令，则令，则，在上单调递增，，存在唯一，使得即，列表表示：整数的最大值为3.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性,利用零点存在性定理确定零点所在区间,中档题.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.选修4-4：坐标系与参数方程22.已知曲线的参数方程为（为参数），，为曲线上的一动点.（I）求动点对应的参数从变动到时，线段所扫过的图形面积；（Ⅱ）若直线与曲线的另一个交点为，是否存在点，使得为线段的中点？若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）存在点满足题意，且.【解析】【分析】（Ⅰ）先判断出线段所扫过的图形由一三角形和一弓形组成，然后通过分析图形的特征并结合扇形的面积可得所求．（Ⅱ）设，由题意得，然后根据点在曲线上求出后可得点的坐标．【详解】（Ⅰ）设时对应的点为时对应的点为，由题意得轴，则线段扫过的面积.（Ⅱ）设，，∵为线段的中点，∴，∵在曲线上，曲线的直角坐标方程为，∴，整理得，∴，∴，∴存在点满足题意，且点的坐标为．【点睛】本题考查参数方程及其应用，解题的关键是将问题转化为普通方程后再求解，考查转化和计算能力，属于中档题．选修4-5：不等式选讲23.已知函数.（Ⅰ）解不等式:；（Ⅱ）已知，若对任意的，不等式恒成立，求正数的取值范围.【答案】（I）；（Ⅱ）.【解析】【分析】（Ⅰ）由题意得不等式为，然后根据分类讨论的方法，去掉绝对值后解不等式组即可．（Ⅱ）根据题意先得到，故由题意得恒成立，分类讨论去掉绝对值后可得所求范围．【详解】（Ⅰ）由题意得不等式为．①当时，原不等式化为，解得，不合题意；②当时，原不等式化为，解得，∴；③当时，原不等式化为，解得，∴．综上可得∴原不等式的解集为．（Ⅱ）∵，∴.当且仅当且，即时等号成立，∴．由题意得恒成立，①当时，可得恒成立，即恒成立，∴，由，可得上式显然成立；②当时，可得恒成立，即恒成立，∵，∴；③当时，可得恒成立，即恒成立，∴．综上可得，∴故的取值范围是．【点睛】解绝对值不等式的关键是通过对对变量的分类讨论，去掉绝对值后转化为不等式（组）求解，考查转化和计算能力，属于中档题．。

2019届高三数学第三次模拟考试题(含答案)文

2019届高三数学第三次模拟考试题(含答案)文

2019届高三第三次模拟考试卷 文 科 数 学（一） 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．[2019·深圳期末]已知集合(){}22log 815A x y x x ==-+，{}1B x a x a =<<+，若A B =∅，则a 的取值范围是（ ） A ．(],3-∞ B ．(],4-∞ C ．()3,4 D ．[]3,4 2．[2019·广安期末]已知i 为虚数单位，a ∈R ，若复数()1i z a a =+-的共轭复数z 在复平面内对应的点位于第三象限，且5z z ⋅=，则z =（ ） A ．12i -+ B ．12i -- C ．2i - D ．23i -+ 3．[2019·潍坊期末]我国古代著名的周髀算经中提到：凡八节二十四气，气损益九寸九分六分分之一；冬至晷()gu ǐ长一丈三尺五寸，夏至晷长一尺六寸意思是：一年有二十四个节气，每相邻两个节气之间的日影长度差为1996分；且“冬至”时日影长度最大，为1350分；“夏至”时日影长度最小，为160分则“立春”时日影长度为（ ）A ．19533分B ．110522分C ．211513分D ．512506分 4．[2019·恩施质检]在区间[]2,7-上随机选取一个实数x ，则事件“2log 10x -≥”发生的概率是（ ） A ．13 B ．59 C ．79 D ．89 5．[2019·华阴期末]若双曲线()2210mx y m -=>的一条渐近线与直线2y x =-垂直，则此双曲线的离心率为（ ） A ．2 BCD6．[2019·赣州期末]如图所示，某空间几何体的正视图和侧视图都是边长为2的正方形，俯视图是四分之三圆，则该几何体的体积为（ ）A ．π4B ．π2C ．3π4D ．3π2 7．[2019·合肥质检]函数()2sin f x x x x =+的图象大致为（ ） A ． B ． 此卷只装订不密封班级姓名准考证号考场号座位号C ．D ．8．[2019·江西联考]已知0.21.1a =，0.2log 1.1b =， 1.10.2c =，则（ ）A ．a b c >>B ．b c a >>C ．a c b >>D ．c a b >>9．[2019·汕尾质检]如图所示的程序框图设计的是求9998210099321a a a a ++⋯+++的一种算法，在空白的“”中应填的执行语句是（ ）A ．100i n =+B ．99i n =-C ．100i n =-D ．99i n =+10．[2019·鹰潭质检]如图所示，过抛物线()220y px p =>的焦点F 的直线l ，交抛物线于点A ，B ．交其准线l 于点C，若BC =，且1AF =，则此抛物线的方程为（ ）A．2y = B ．22y x = C．2y = D ．23y x =11．[2019·陕西联考]将函数πsin 26y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移π3个单位，在向上平移一个单位，得到()g x 的图象若()()124g x g x =，且1x ，[]22π,2πx ∈-，则122x x -的最大值为（ ）A ．9π2B ．7π2C ．5π2D ．3π2 12．[2019·菏泽期末]如图所示，正方体ABCD A B C D -''''的棱长为1，E ，F 分别是棱AA '，CC '的中点，过直线E ，F 的平面分别与棱BB '、DD '交于M ，N ，设BM x =，[]0,1x ∈，给出以下四个命题： ①平面MENF ⊥平面BDD B ''； ②当且仅当12x =时，四边形MENF 的面积最小； ③四边形MENF 周长()L f x =，[]0,1x ∈是单调函数； ④四棱锥C MENF '-的体积()V h x =为常函数； 以上命题中假命题的序号为（ ）A ．①④B ．②C ．③D ．③④ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．[2019·西安一模]已知向量a 与b 的夹角为60︒，3=a，+=a b ，则=b _____． 14．[2019·醴陵一中]某学习小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件：（ⅰ）男学生人数多于女学生人数；（ⅱ）女学生人数多于教师人数；（ⅲ）教师人数的两倍多于男学生人数．则该小组人数的最小值为__________． 15．[2019·广安一诊]某车间租赁甲、乙两种设备生产A ，B 两类产品，甲种设备每天能生产A 类产品8件和B 类产品15件，乙种设备每天能生产A 类产品10件和B 类产品25件，已知设备甲每天的租赁费300元，设备乙每天的租赁费400元，现车间至少要生产A 类产品100件，B 类产品200件，所需租赁费最少为_________元 16．[2019·哈三中]设数列{}n a 的前n 项和为n S ，121n n a a n ++=+，22a <，且2019n S =，则n 的最大值为___________．三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）[2019·濮阳期末]已知ABC △的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且()1cos sin c A C +=．（1）求角A 的大小；（2）若a 1b =，求ABC △的面积．18．（12分）[2019·揭阳一模]如图，在四边形ABED 中，AB DE ∥，AB BE ⊥，点C 在AB 上，且AB CD ⊥，2AC BC CD ===，现将ACD △沿CD 折起，使点A 到达点P的位置，且PE =．（1）求证：平面PBC ⊥平面DEBC ；（2）求三棱锥P EBC -的体积．19．（12分）[2019·合肥质检]为了了解A 地区足球特色学校的发展状况，某调查机构得到如下统计数据：（1）根据上表数据，计算y 与x 的相关系数r ，并说明y 与x 的线性相关性强弱（已知：0.751r ≤≤，则认为y 与x 线性相关性很强；0.30.75r ≤<，则认为y 与x 线性相关性一般；0.25r ≤，则认为y 与x 线性相关性较弱）； （2）求y 关于x 的线性回归方程，并预测A 地区2019年足球特色学校的个数（精确到个） 参考公式：n x x y y r --=，()2110n i i x x =-=∑，()21 1.3n i i y y =-=∑ 3.6056≈，()()()121ˆn i i i ni i x x y y b x x ==--=-∑∑，ˆˆa y bx =-． 20．（12分）[2019·鹰潭期末]已知椭圆C 的方程为()222210x y a b a b +=>>，1F ，2F 为椭圆C 的左右焦点，，短轴长为2．（1）求椭圆C 的方程；（2）如图，椭圆C 的内接平行四边形ABCD 的一组对边分别过椭圆的焦点1F ，2F ，求该平行四边形ABCD 面积的最大值．21．（12分）[2019·豫西名校]已知函数()()2ln f x a x x ax a =+-∈R ．（1）若3x =是()f x 的极值点，求()f x 的单调区间；（2）求()()2g x f x x =-在区间[]1,e 上的最小值()h a ．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】 [2019·哈三中]已知曲线1:C x =2:x C y ϕϕ⎧=⎪⎨=⎪⎩，（ϕ为参数）．以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，且两种坐标系中取相同的长度单位． （1）把曲线1C 和2C 的方程化为极坐标方程； （2）设1C 与x ，y 轴交于M ，N 两点，且线段MN 的中点为P ．若射线OP 与1C ，2C 交于P ，Q 两点，求P ，Q 两点间的距离．23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】[2019·江南十校]设函数()()f x x x a=-++-．lg2121f x的定义域；（1）当4a=时，求函数()f x的定义域为R，求a的取值范围．（2）若函数()2019届高三第三次模拟考试卷文 科 数 学（一）答 案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【答案】D【解析】由题意，集合(){}{}{}222log 815815035A x y x x x x x x x x ==-+=-+>=<>或，{}1B x a x a =<<+；若A B =∅，则3a ≤且15a +≤，解得34a ≤≤，∴实数a 的取值范围为[]3,4．故选D ．2．【答案】A【解析】由5z z ⋅=可得()2215a a +-=，解得1a =-或2a =，∴12i z =-+或2i z =-， ∵z 在复平面内对应的点位于第三象限，∴12i z =-+．故选A ．3．【答案】B【解析】一年有二十四个节气，每相邻两个节气之间的日影长度差为1996分，且“冬至”时日影长度最大，为1350分；“夏至”时日影长度最小，为160分．∴135012160d +=，解得119012d =-， ∴“立春”时日影长度为：11901135031052122⎛⎫+-⨯= ⎪⎝⎭（分）．故选B ．4．【答案】B【解析】区间[]2,7-的长度为()729--=；由2log 10x -≥，解得2x ≥，即[]2,7x ∈，区间长度为725-=，事件“2log 10x -≥”发生的概率是59P =．故选B ．5．【答案】B【解析】设双曲线()2210mx y m -=>为2221x y a -=，它的一条渐近线方程为1y x a =，直线2y x =-的斜率为2-， ∵直线1y x a =与2y x =-垂直，∴()121a ⨯-=-，即2a =，∴c e a ==B ．6．【答案】D【解析】由三视图可知，该几何体是底面半径为1、高为2的圆柱的34， ∴该几何体的体积为233ππ1242⨯⨯⨯=．故选D ．7．【答案】A 【解析】∵()()()22sin sin f x x x x x x x f x -=--=+=，∴()f x 为偶函数，选项B 错误，()()2sin sin f x x x x x x x =+=+，令()sin g x x x =+，则()1cos 0g x x ='+≥恒成立， ∴()g x 是单调递增函数，则当0x >时，()()00g x g >=， 故0x >时，()()f x xg x =，()()()0f x g x xg x =+'>'， 即()f x 在()0,+∞上单调递增，故选A ． 8．【答案】C 【解析】0.201.1 1.11a =>=，0.20.2log 1.1log 10b =<=， 1.1000.20.21c <=<=，故a c b >>．故选C ．9．【答案】C 【解析】由题意，n 的值为多项式的系数，由100，99⋯直到1， 由程序框图可知，输出框中“”处应该填入100i n =-．故选C ． 10．【答案】A 【解析】如图，过A 作AD 垂直于抛物线的准线，垂足为D ， 过B 作BE 垂直于抛物线的准线，垂足为E ，P 为准线与x 轴的交点，由抛物线的定义，BF BE =，1AF AD ==，∵BC =，∴BC =，∴45DCA ∠=︒，∴2AC ==+211CF ==，∴PF ==，即p PF =，∴抛物线的方程为2y =，故选A ． 11．【答案】D 【解析】将函数πsin 26y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移π3个单位，再向上平移一个单位，得到()2ππsin 21cos 2136g x x x ⎛⎫=-++=-+ ⎪⎝⎭的图象，故()g x 的最大值为2，最小值为0，若()()124g x g x =，则()()122g x g x ==，或()()122g x g x ==-（舍去）．故有()()122g x g x ==，即12cos2cos21x x ==-，又1x ，[]22π,2πx ∈-，则12πx =，22πx =-，则122x x -取得最大值为π3ππ22+=．故选D ．12．【答案】C【解析】①连结BD ，B D ''，则由正方体的性质可知，EF ⊥平面BDD B ''，∴平面MENF ⊥平面BDD B ''，∴①正确；②连结MN ，∵EF ⊥平面BDD B ''，∴EF MN ⊥，四边形MENF 的对角线EF 是固定的， ∴要使面积最小，则只需MN 的长度最小即可，此时当M 为棱的中点时， 即12x =时，此时MN 长度最小，对应四边形MENF 的面积最小，∴②正确；③∵EF MN ⊥，∴四边形MENF 是菱形，当10,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，EM 的长度由大变小， 当1,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，EM 的长度由小变大，∴函数()L f x =不单调，∴③错误；④连结C E '，C M '，C N '，则四棱锥可分割为两个小三棱锥，它们以C EF '为底，以M ，N 分别为顶点的两个小棱锥，∵三角形'C EF 的面积是个常数，M ，N 到平面'C EF 的距离是个常数，∴四棱锥C MENF '-的体积()V h x =为常函数，∴④正确，∴四个命题中③假命题，故选C ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．【答案】1【解析】根据题意，设t =b ，()0t >，向量a 与b 的夹角为60︒，3=a ，则32t⋅=a b ，又由+=a b ，则()222229313t t +=+⋅+=++=a b a a b b ，变形可得：2340t t +-=，解可得4t =-或1，又由0t >，则1t =；故答案为1． 14．【答案】12 【解析】设男学生人生为x ，女学生人数为y ，教师人数为z ，且x ，y ，*z ∈N ， 则2z x y z >>>，当1z =时，21x y >>>不成立；当2z =时，42x y >>>不成立； 当3z =时，63x y >>>，则5x =，4y =，此时该小组的人数最小为12． 15．【答案】3800 【解析】设甲种设备需要生产x 天，乙种设备需要生产y 天， 该公司所需租赁费为z 元，则300400z x y =+， 甲、乙两种设备生产A ，B 两类产品的情况为45503540,x y x y x y +≥⎧⎪+≥⎨⎪∈∈⎩N N ，做出不等式表示的平面区域，由45503540x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得()10,2， 当300400z x y =+经过的交点()10,2时，目标函数300400z x y =+取得最低为3800元． 故答案为3800． 16．【答案】63 【解析】数列{}n a n -是以1-为公比，以11a -为首项的等比数列， 数列{}n a n -的前n 项和为()()()()111112122n n n n n S n S a +---++⋯+=-=-⋅， ()()()1111122n n n n S a --+=-⋅+， 当n 为偶数时，()120192n n n S +==，无解； 当n 为奇数时，由()()11120192n n n S a +=+-=，可得()1120202n n a +=-，由121n n a a n ++=+可得213a a +=，123a a =-，∵22a <，∴11a >，即()()1120201140382n n a n n +=->⇒+<，结合n ∈N ，可得63n ≤，∴使得2019n S =的n 的最大值为63，故答案为63．三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．【答案】（1）π3A =；（2）S ．【解析】（1）∵()1cos sin c A C +=，由正弦定理可得()sin 1cos sin C A A C +=cos 1A A -=， ∴π1sin 62A ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，A 是ABC △的内角，∴ππ66A -=，∴π3A =．（2）∵a =1b =．由余弦定理可得2222cos a b c bc A =+-，即217c c +-=，可得260c c --=，又0c >，∴3c =，∴ABC △的面积11sin 1322S bc A ==⨯⨯=18．【答案】（1）见解析；（2．【解析】（1）证明：∵AB BE ⊥，AB CD ⊥，∴BE CD ∥，∵AC CD ⊥，∴PC CD ⊥，∴PC BE ⊥，又BC BE ⊥，PC BC C =，∴EB ⊥平面PBC ，又∵EB ⊂平面DEBC ，∴平面PBC ⊥平面DEBC ；（2）解法1：∵AB DE ∥，结合CD EB ∥得2BE CD ==，由（1）知EB ⊥平面PBC ，∴EB PB ⊥，由PE =得2PB ==，∴PBC △为等边三角形，∴22PBC S ==△∴11233P EBC E PBC PBC V V S EB --==⋅==△，解法2：∵AB DE ∥，结合CD EB ∥得2BE CD ==，由（1）知EB ⊥平面PBC ，∴EB PB ⊥，由PE =，得2PB ，∴PBC △为等边三角形，取BC 的中点O ，连结OP，则PO =∵PO BC ⊥，∴PO ⊥平面EBCD ，∴21112332P EBC EBC V S PO -=⋅=⨯⨯=△． 19．【答案】（1）相关性很强；（2）0.36 4.6ˆ727y x =-，208个． 【解析】（1）2016x =，1y =，n x x y y r --=20.710.410.420.7360.7536056-⨯-+-⨯-+⨯+⨯==>．．， ∴y 与x 线性相关性很强． （2）()()()()()()()12120.710.410.420.70.3641014ˆn i i i n i i x x y y b x x ==---⨯-+-⨯-+⨯+⨯===++++-∑∑， 120160.36724.7ˆ6ˆa y bx =-=-⨯=-， ∴y 关于x 的线性回归方程是0.36 4.6ˆ727y x =-． 当2019x =时，0.36724.76ˆ 2.08y x =-=（百个）， 即A 地区2019年足球特色学校的个数为208个． 20．【答案】（1）2212x y +=；（2） 【解析】（1）依题意得22b=，2c e a ==，解得a 1b c ==， ∴椭圆C 的方程为2212x y +=． （2）当AD 所在直线与x 轴垂直时，则AD 所在直线方程为1x =， 联立2212x y +=，解得y =ABCD 的面积S = 当AD 所在的直线斜率存在时，设直线方程为()1y k x =-， 联立2212x y +=，得()2222124220k x k x k +-+-=， 设()11,A x y ，()22,D x y ，则2122412k x x k +=+，21222212k xx k -=+，则)22112k AD k +=+，两条平行线间的距离d =， 则平行四边形ABCD 的面积)22112k S k +==+，令212t k=+，1t >，则S =，()10,1t ∈，开口向下，关于1t单调递减，则(S =，综上所述，平行四边形ABCD的面积的最大值为21．【答案】（1）()f x 的单调递增区间为30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，()3,+∞，单调递减区间为3,32⎛⎫⎪⎝⎭；（2）()()2min 21,21ln ,22e 241e e 2e,2ea a a h a a a a a a a ⎧--≤⎪⎪=--<<⎨⎪⎪-+-≥⎩．【解析】（1）()f x 的定义域为()0,+∞，()222a x ax af x x a x x -+=+-='，∵3x =是()f x 的极值点，∴()183303a af '-+==，解得9a =，∴()()()2233299x x x x f x x x ---+=='， 当302x <<或3x >时，()0f x '>；当332x <<时，()0f x '<．∴()f x 的单调递增区间为30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，()3,+∞，单调递减区间为3,32⎛⎫⎪⎝⎭．（2）()2ln 2g x a x x ax x =+--，则()()()22122x a x x ax a g x x x ---+='=-，令()0g x '=，得2ax =或1x =． ①当12a≤，即2a ≤时，()g x 在[]1,e 上为增函数，()()min 11h a g a ==--； ②当1e 2a<<，即22e a <<时，()g x 在1,2a ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减，在,e 2a ⎛⎤⎥⎝⎦上单调递增，∴()2min 1ln 224a a h a g a a a ⎛⎫==-- ⎪⎝⎭； ③当e 2a≥，即2e a ≥时，()g x 在[]1,e 上为减函数，∴()()()2min e 1e e 2e h a g a ==-+-．综上，()()2min 21,21ln ,22e 241e e 2e,2ea a a h a a a a a a a ⎧--≤⎪⎪=--<<⎨⎪⎪-+-≥⎩．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．【答案】（1）1π:sin 6C ρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，2226:12sin C ρθ=+；（2）1．【解析】（1）∵2C的参数方程为x y ϕϕ⎧=⎪⎨=⎪⎩，（ϕ为参数）， ∴其普通方程为22162x y +=，又1:C x +=∴可得极坐标方程分别为1π:sin 6C ρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，2226:12sin C ρθ=+． （2）∵)M ，()0,1N，∴12P ⎫⎪⎪⎝⎭，∴OP 的极坐标方程为π6θ=， 把π6θ=代入πsin 6ρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭得11ρ=，π1,6P ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 把π6θ=代入22612sin ρθ=+得22ρ=，π2,6Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭， ∴211PQ ρρ=-=，即P ，Q 两点间的距离为1． 23．【答案】（1）53,,44⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）3a <． 【解析】（1）当4a =时，()f x 定义域基本要求为21214x x -++>， 当1x ≤-时，5122244x x x --->⇒<-； 当112x -<<时，12224x x -++>，无解； 当12x ≥时，3212244x x x -++>⇒>， 综上：()f x 的定义域为53,,44⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； （2）由题意得2121x x a -++>恒成立()min 2121a x x ⇒<-++， ()()()min 2121212221223x x x x x x -++=-++≥--+=， ∴3a <．。

黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2018-2019学年高三第三次模拟考试数学(文)试题

黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2018-2019学年高三第三次模拟考试数学(文)试题

众志成城卧虎藏龙地豪气干云秣马砺兵锋芒尽露披星戴月时书香盈耳含英咀华学业必成哈师大附中2018-2019 学年高三第三次模拟考试文科数学试卷第Ⅰ卷（共60 分）最新试卷十年寒窗苦，踏上高考路，心态放平和，信心要十足，面对考试卷，下笔如有神，短信送祝福，愿你能高中，马到功自成，金榜定题名。

一、选择题：本大题共12 个小题, 每小题 5 分, 共60 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 集合 2A= 1,2,4 , B= x R x 2 则A B =（）A．1 B ．4 C ．2，4 D ．1，2，42. 已知i 为虚数单位, 2i 3i i =( ）A．-3+2i B ．3+2 i C ．3-2i D ．-3-2i3.. 已知等差数列a,a 2,a a a 15, 则数列a n 的公差d=(）n 2 3 5 7A．0 B ．1 C ．-1 D ．24. 与椭园2 2y xC : 1 共焦点且渐近线方程为y= 3x的双曲线的标准方程为( ）6 2A．2y2 1x B ．32x32 1y C.2x2 1y D ．32y32 1x5. 已知互不相同的直线l ,m, n 和平面，, y , 则下列命题正确的是( ）C 若。

na= 1.pN 7- m 。

n y- n,l /r, 则m 11 " ;D.若aLy.plLy. 则a//p.A．若l 与m为异面直线, l ,m, 则/ / B ．若/ / , l a, m . 则l / /mC.若l,y m, y n,l / / , 则m / /n D ．若a . . 则a / /6. 执行下面的程序框图，若p 0.9, 则输出的n=( ）A．5 B ．4 C.3 D ．27. 已知某几何体是一个平面将一正方体截去一部分后所得，该几何体三视图如图所示，则该几何体的表面积为( ）A．20+2 3 B ．18+2 3 C. 18+ 3 D ．20+ 3x y 3 08. 设点x，y 满足约束条件, 且x Z,y Z , 则这样的点共有( ）个x 5y 1 03x y 3 0A．12 B ．11 C.10 D ．99. 动直线l : x my 2m 2 0 m R 与圆 2 2C : x y 2x 4y 4 0交于点A,B ,则弦AB 最短为( ）A．2 B ．2 5 C.6 D ．4 210. 分形理论是当今世界十分风靡和活跃的新理论、新学科。

东北三省三校2019届高三数学第三次模拟考试试题文(含解析).doc

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东北三省三校 2019 届高三数学第三次模拟考试试题文（含解析）第Ⅰ卷（共60 分）一、选择题：本大题共12 个小题 , 每小题 5 分 , 共 60 分 . 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，，则（）A. B. C. D.【答案】 C【解析】【分析】先求出集合，然后再求出即可．【详解】∵，，∴．故选 C．【点睛】解答集合运算的问题时，首先要分清所给的集合是用列举法还是用描述法表示的，对于用描述法表示的集合，在运算时一定要把握准集合中元素的特征．2.，则（）A. B. C. D.【答案】 A【解析】【分析】根据复数的乘法运算法则展开，再求模即可.【详解】所以，故答案 A【点睛】本题考查复数的乘法运算和求模,基础题.3. 已知向量的夹角为，，，则（）A. -16B. -13C. -12D. -10【答案】 C【解析】- 1 -【分析】根据数量积的运算律和数量积的定义求解即可得到答案．【详解】∵向量的夹角为，，，∴，∴．故选 C．【点睛】本题考查数量积的运算，解题时根据运算律和定义求解即可，属于基础题．4. 已知双曲线的离心率为2，则其渐近线方程为（）A. B. C. D.【答案】 D【解析】【分析】由离心率为 2 可得，于是得，由此可得渐近线的方程．【详解】由得，即为双曲线的渐近线方程．∵双曲线的离心率为2，∴，解得，∴双曲线的渐近线方程为．故选 D．【点睛】解题时注意两点：一是如何根据双曲线的标准方程求出渐近线的方程；二是要根据离心率得到．考查双曲线的基本性质和转化、计算能力，属于基础题．5. 等比数列的各项和均为正数，，, 则（）A. 14B. 21C. 28D. 63【答案】 C- 2 -【解析】【分析】根据题中的条件求出等比数列的公比，再根据即可得到所求．【详解】设等比数列的公比为，∵，，∴，即，解得或，又，∴，∴．故选 C．【点睛】本题考查等比数列项的运算，解题时注意将问题转化为基本量（首项和公比）的运算，另外解题时还需注意数列中项之间性质的灵活应用，以减少计算量、提高解题的效率．6. 设命题，则为（）A. B.C. D.【答案】 A【解析】【分析】根据含有量词的命题的否定的定义进行求解即可．【详解】∵命题，∴为：．故选 A．【点睛】对含有存在( 全称 ) 量词的命题进行否定需要两步操作：①将存在( 全称 ) 量词改成全称 ( 存在 ) 量词；②将结论加以否定．7. 如图，直角梯形中，，，, 在边上任取点，连交- 3 -于点，则的概率为（）A. B. C. D.【答案】 B【解析】【分析】由相似三角形求出AE 的长，利用几何概型概率计算公式求解即可.【详解】由已知三角形ABC为直角三角形 ,，可得AC=2.当时，因为所以即，所以，且点E的活动区域为线段AD， AD=1.所以的概率为故答案为 B.【点睛】本题考查几何概型中的“长度”之比，基础题.8. 运行程序框图，如果输入某个正数后，输出的，那么的值为（）- 4 -A.3B.4C.5D.6【答案】 B【解析】【分析】依次运行框图中给出的程序，根据输出结果所在的范围来判断图中的值．【详解】依次运行框图中的程序，可得：第一次：；第二次：；第三次：；第四次：；第五次：；因为输出的，所以程序运行完第四次即可满足题意，所以判断框中的值为 4．故选 B．【点睛】程序框图的补全及逆向求解问题思路：①先假设参数的判断条件满足或不满足；②运行循环结构，一直到运行结果与题目要求的输出结果相同为止；③根据此时各个变量的值，补全程序框图．此类试题要求学生要有比较扎实的算法初步的基本知识，以及综合分析问题和解决问题的能力，要求较高，属中档题．- 5 -9. 已知四面体中，平面平面，为边长2的等边三角形，，，则四面体的体积为（）A. B. C. D.【答案】 A【解析】【分析】先利用面面垂直求出四面体的高, 因为是等腰直角三角形易求面积, 利用三棱锥的体积公式即得 .【详解】解 : 取 BD中点 M,因为为边长2的等边三角形,所以, 且.又因为平面平面且交线为BD,所以, 而且是等腰直角三角形, 且面积为 2, 所以, 故答案为 A.【点睛】本题考查面面垂直的性质, 锥体体积的运算, 基础题 .10. 一项针对都市熟男（三线以上城市，岁男性）消费水平的调查显示，对于最近一年内是否购买过以下七类高价商品，全体被调查者，以及其中包括的1980 年及以后出生（ 80 后）被调查者， 1980 年以前出生（ 80 前）被调查者回答“是”的比例分别如下：全体被调查者80 后被调查者80 前被调查者电子产品56.9% 66.0% 48.5%服装23.0% 24.9% 21.2%手表14.3% 19.4% 9.7%运动、户外用品10.4% 11.1% 9.7%- 6 -珠宝首饰8.6% 10.8% 6.5%箱包8.1% 11.3% 5.1%个护与化妆品 6.6% 6.0% 7.2%以上皆无25.3% 17.9% 32.1%根据表格中数据判断，以下分析错误是（）A.都市熟男购买比例最高的高价商品是电子产品B. 从整体上看， 80 后购买高价商品的意愿高于80 前C. 80 前超过 3 成一年内从未购买过表格中七类高价商品D. 被调查的都市熟男中80 后人数与 80 前人数的比例大约为【答案】 D 【解析】的【分析】根据表格中给出的信息，对四个选项分别进行分析、判断后可得答案．【详解】对于选项A，从表中的数据可得都市熟男购买电子产品比例为，为最高值，所以 A 正确．对于选项B，从表中后两列的数据可看出，前 6 项比例均是80 后意愿高于80 前意愿，所以 B 正确．对于选项C，从表中的最后一列可看出，80 前一年内从未购买过表格中七类高价商品比例为，约为 3 成，所以 C 正确．对于选项D，根据表中数据不能得到被调查的都市熟男中80 后人数与80 前人数的比例，所以D不正确．故选 D．【点睛】本题考查统计图表的应用和阅读理解能力，解题的关键是读懂表中数据的意义，然后结合所求进行分析、判断，属于基础题．11. 椭圆上存在两点，关于直线对称，若为坐标原点，则=（）- 7 -A. 1B.C.D.【答案】 C【解析】【分析】由题意设直线的方程为，与椭圆方程联立后求得到点的坐标与参数的关系，然后根据的中点在直线上求出参数的值，进而得到点的坐标，进而得到向量的坐标，于是可得结果．【详解】由题意直线与直线垂直，设直线的方程为．由消去整理得，∵直线与椭圆交于两点，∴，解得．设，的中点为，则，∴，，∴点的坐标为．由题意得点在直线上，∴，解得．∴，∴，∴．故选 C．【点睛】本题考查直线和椭圆的位置关系，解题的关键是得到直线的方程．其中题中的对称是解题的突破口，对于此类问题要注意两对称点的连线与对称轴垂直、两对称点的中点在对称轴上，解题是要注意这两点的运用，属于中档题．12. 如图，直角梯形，，，，是边中点，沿翻- 8 -折成四棱锥，则点到平面距离的最大值为（）A. B. C. D.【答案】 B【解析】【分析】由题意得在四棱锥中平面．作于，作于，连，可证得平面．然后作于，可得即为点到平面的距离．在中，根据等面积法求出的表达式，再根据基本不等式求解可得结果．【详解】由翻折过程可得，在如图所示的四棱锥中，底面为边长是 1 的正方形，侧面中，，且．∵，∴平面．作于，作于，连，则由平面，可得，∴平面．又平面，∴．∵，，∴平面．在中，作于，则平面．- 9 -又由题意可得平面，∴即为点到平面的距离．在中，，设，则，∴．由可得，∴，当时等号成立，此时平面，综上可得点到平面距离的最大值为．故选 B．【点睛】本题综合考查立体几何中的线面关系和点面距的计算，解题的关键是作出表示点面距的垂线段，另外根据线面平行将所求距离进行转化也是解答本题的关键．在求得点面距的表达式后再运用基本不等式求解，此时需要注意等号成立的条件，本题难度较大．第Ⅱ卷（共90 分）二、填空题（每题 5 分，满分20 分，将答案填在答题纸上）13. 已知等差数列的前项和为，且，，则__________．【答案】 80【解析】【分析】解方程组求出等差数列的首项和公差后再根据前项和公式求解即可．【详解】设等差数列的公差为，由题意得，解得，∴．故答案为：．【点睛】本题考查等差数列中的基本运算，解题时注意方程思想的运用，同时将问题转化为等差数列的首项和公差的问题是解题的关键，属于基础题．-10-14. 函数的一条对称轴，则的最小值为__________．【答案】 2【解析】【分析】根据题意得到，进而得，最后根据题中的要求得到答案．【详解】∵函数的一条对称轴，∴，∴，又，∴的最小值为．故答案为：．【点睛】本题考查函数的性质，解题时要把作为一个整体，然后再结合正弦函数的相关性质求解，同时还应注意的符号对结果的影响，属于中档题．15. 若函数在上单调递增，则的取值范围是__________．【答案】【解析】【分析】由题意根据函数在区间上为增函数及分段函数的特征，可求得的取值范围．【详解】∵函数在上单调递增，∴函数在区间上为增函数，∴，解得，∴实数取值范围是．故答案为：．【点睛】解答此类问题时要注意两点：一是根据函数在上单调递增得到在定义域的每一个区间上函数都要递增；二是要注意在分界点处的函数值的大小，这一点容易忽视，属于中档题．16. 已知，，其中，则下列判断正确是__________．（写出所有正确结论的序号）①关于点成中心对称；②在上单调递增；③存在，使；④若有零点，则；⑤的解集可能为.【答案】①③⑤【解析】【分析】对于①，根据函数为奇函数并结合函数图象的平移可得正确．对于②，分析可得当时，函数在上单调递减，故不正确．对于③，由，可得，从而得，可得结果成立．对于④，根据③中的函数的值域可得时方程也有解．对于⑤，分析可得当时满足条件，由此可得⑤正确．的【详解】对于①，令，则该函数的定义域为，且函数为奇函数，故其图象关于原点对称．又函数的图象是由的图象向上或向下平移个单位而得到的，所以函数图象的对称中心为，故①正确．对于②，当时，，若，则函数在上单调递减，所以函数单调递增；函数在上单调递增，所以函数单调递减．故②不正确．对于③，令，则当时，，则．所以，令，则成立．故③正确．对于④，若有零点，则，得，从而得，故，结合③可得当有零点时，只需即可，而不一定为零．故④不正确．对于⑤，由，得．取，则，整理得．当时，方程的两根为或．又函数为奇函数，故方程的解集为．故⑤正确．综上可得①③⑤正确．故答案为：①③⑤【点睛】本题考查函数性质的运用及命题真假的判定，解题时要结合函数的性质对函数的零点情况进行分析，注意直接推理的应用，同时在判断命题的真假时还要注意举反例的方法的运用，难度较大．三、解答题（本大题共 6 小题，共70 分 . 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ）17.在中，.（Ⅰ）求的大小；（Ⅱ）求的取值范围 .【答案】（ I ）；（Ⅱ）.【解析】【分析】（Ⅰ）将切函数化为弦函数，整理后两边约掉，然后逆用两角和的余弦公式得到，于是，从而．（Ⅱ）将代入所求值的式子后化简得-13-【详解】（Ⅰ）由条件得，∵，∴，∴，∵，∴，∴.（Ⅱ）由（Ⅰ）得，∴，∵，∴，∴，∴的取值范围是.【点睛】本题考查三角形中的三角变换问题，解题时注意三角形内角和定理的运用，同时要注意三角变换公式的合理应用．对于求范围或最值的问题，一般还是要以三角函数为工具进行求解，解题时需要确定角的范围．18. 如图四棱锥中，底面，是边长为2的等边三角形，且，.-14-（ I ）求证：平面平面;（Ⅱ）若点是棱的中点，求直线与所成角的余弦值 .【答案】（ I ）证明见解析；（Ⅱ）.【解析】【分析】(I) 先证出平面, 再利用面面垂直的判定定理即可.( Ⅱ ) 取中点，连接，，则, 可得或其补角是异面直线与所成的角 . 在中利用余弦定理求解即可 .【详解】（Ⅰ）证明：底面，取中点，连接，则, ，点共线，即又，平面平面，平面平面（Ⅱ）解：取中点，连接，，则或其补角是异面直线与所成的角中，，，即中，，.中，，，，由余弦定理得中，所以直线与所成角的余弦值为.【点睛】本题考查线面垂直性质定理 , 判定定理 , 面面垂直的判定定理, 异面直线所成的角的作法及运算 , 基础题 .19. 现代社会，“鼠标手”已成为常见病，一次实验中，10 名实验对象进行160 分钟的连续鼠标点击游戏，每位实验对象完成的游戏关卡一样，鼠标点击频率平均为180 次 / 分钟，实验研究人员测试了实验对象使用鼠标前后的握力变化，前臂表面肌电频率（）等指标 .（ I ） 10 名实验对象实验前、后握力（单位：）测试结果如下：实验前： 346,357,358,360,362,362,364,372,373,376实验后： 313,321,322,324,330,332,334,343,350,361完成茎叶图，并计算实验后握力平均值比实验前握力平均值下降了多少？（Ⅱ）实验过程中测得时间（分）与名实验对象前臂表面肌电频率（）的中的位数为的10，. 建立关于时间的线性回归方程；（）的九组对应数据（Ⅲ）若肌肉肌电水平显著下降，提示肌肉明显进入疲劳状态，根据（Ⅱ）中9 组数据分析，使用鼠标多少分钟就该进行休息了？参考数据：；参考公式：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，【答案】（ I ）茎叶图见解析，；（Ⅱ）；（Ⅲ）60分钟.【解析】【分析】（Ⅰ）结合所给数据可得茎叶图；分别求出实验前、后握力的平均数后比较可得结果．（Ⅱ）根据所给公式并结合条件中的数据可得，于是可得线性回归方程．（Ⅲ）分析九组数据可得，在40 分钟到 60 分钟的下降幅度最大，由此可得结论．【详解】（Ⅰ）根据题意得到茎叶图如下图所示：由图中数据可得，，∴，∴故实验前后握力的平均值下降.（Ⅱ）由题意得，，，又，∴，∴，∴关于时间的线性回归方程为.（Ⅲ）九组数据中40 分钟到 60 分钟的下降幅度最大，提示60 分钟时肌肉已经进入疲劳状态，故使用鼠标60 分钟就该休息了.【点睛】本题考查统计的基本问题，即数据的整理、分析和应用，解题时由于涉及到大量的计算，所以在解题时要注意计算的合理性和准确性，同时要充分利用条件中给出的中间数据，属于中档题．20. 抛物线的焦点为，准线为，若为抛物线上第一象限的一动点，过作的垂线交准线于点，交抛物线于两点.（Ⅰ）求证：直线与抛物线相切；（Ⅱ）若点满足，求此时点的坐标.【答案】（ I ）证明见解析；（Ⅱ）.【解析】【分析】（Ⅰ）设，由此可得直线的斜率，进而得到直线的斜率，由此得到的方程为，令可得点的坐标，于是可得直线的斜率．然后再由导数的几何意义得到在点 A 处的切线的斜率，比较后可得结论．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，直线的方程为，将直线方程与椭圆方程联立消元后得到二次方程，结合根与系数的关系及可求得点 A 的坐标．【详解】（Ⅰ）由题意得焦点．设，∴直线的斜率为，由已知直线斜率存在，且直线的方程为，-18-令，得，∴点的坐标为，∴直线的斜率为．由得，∴，即抛物线在点 A 处的切线的斜率为，∴直线与抛物线相切．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，直线的方程为，由消去整理得，设，则．由题意得直线的斜率为，直线的斜率为，∵，∴，∴，∴，整理得，解得或．∵，-19-∴，又，且，∴存在，使得．【点睛】解答本题时要注意以下几点：（ 1）题中所需要的点的产生的方法，即由线与线相交产生点的坐标；（2）注意将问题合理进行转化，如根据线的垂直可得斜率的关系；（3）由于解题中要涉及到大量的计算，所以在解题中要注意计算的合理性，通过利用抛物线方程进行曲线上点的坐标间的转化、利用“设而不求”、“整体代换”等方法进行求解．21. 已知函数.（ I ）当时，求函数的单调区间；（Ⅱ）若对任意的恒成立，求整数的最大值.【答案】（ I ）的减区间为，无增区间；（Ⅱ） 3.【解析】【分析】(I)利用二次求导即得 .( Ⅱ ) 先分离参数得到令，通过二次求导和零点存在性定理确定零点所在区间及整数的最大值 .【详解】（ I ）的定义域为当时，令，，，单调递增，，单调递减的减区间为，无增区间；（Ⅱ）-20-令，则令，则，在上单调递增，，存在唯一，使得即，列表表示：单调递减极小值单调递增整数的最大值为 3.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性, 利用零点存在性定理确定零点所在区间, 中档题 .请考生在22、 23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.选修 4-4 ：坐标系与参数方程22. 已知曲线的参数方程为（为参数），，为曲线上的一动点.（ I ）求动点对应的参数从变动到时，线段所扫过的图形面积；（Ⅱ）若直线与曲线的另一个交点为，是否存在点，使得为线段的中点？若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）存在点满足题意，且.【解析】【分析】（Ⅰ）先判断出线段所扫过的图形由一三角形和一弓形组成，然后通过分析图形的特征并结合扇形的面积可得所求．（Ⅱ）设，由题意得，然后根据点在-21-曲线上求出后可得点的坐标．【详解】（Ⅰ）设时对应的点为时对应的点为，由题意得轴，则线段扫过的面积.（Ⅱ）设，，∵ 为线段的中点，∴，∵ 在曲线上，曲线的直角坐标方程为，∴，整理得，∴，∴，∴存在点满足题意，且点的坐标为．【点睛】本题考查参数方程及其应用，解题的关键是将问题转化为普通方程后再求解，考查转化和计算能力，属于中档题．选修 4-5 ：不等式选讲23. 已知函数.（Ⅰ）解不等式:；（Ⅱ）已知，若对任意的，不等式恒成立，求正数的取值范围 .【答案】（ I ）；（Ⅱ）.【解析】【分析】（Ⅰ）由题意得不等式为，然后根据分类讨论的方法，去掉绝对值后解不等式组即可．（Ⅱ）根据题意先得到，故由题意得恒成立，分类讨论去掉绝对值后可得所求范围．【详解】（Ⅰ）由题意得不等式为．-22-①当时，原不等式化为，解得，不合题意；②当时，原不等式化为，解得，∴；③当时，原不等式化为，解得，∴．综上可得∴原不等式的解集为．（Ⅱ）∵，∴.当且仅当且，即时等号成立，∴．由题意得恒成立，①当时，可得恒成立，即恒成立，∴，由，可得上式显然成立；②当时，可得恒成立，即恒成立，∵，∴；③当时，可得恒成立，即恒成立，∴．综上可得，∴故的取值范围是．【点睛】解绝对值不等式的关键是通过对对变量的分类讨论，去掉绝对值后转化为不等式（组）求解，考查转化和计算能力，属于中档题．-23-。

《精编》黑龙江省哈师大附中高三数学上学期第三次月考试题 文 新人教A版.doc

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黑龙江省哈师大附中2021届高三第三次月考数学〔文〕试题考试时间：120分钟 总分值：150分第一卷 〔选择题 共60分〕一、选择题：〔此题共12小题，每题5分，共60分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项正确的〕1．全集U R =，集合{|lg 0}A x x =≤，{|21}xB x =≤，那么∁U 〔A ∪B 〕＝〔 B 〕 A ．〔－∞，1〕 B ．〔1，＋∞〕 C ．〔－∞，1] D ．[1，＋∞〕2．cos 600︒的值为〔C 〕AB ．12C ．12-D．-3．sin()2πϕϕπ+=<<，那么tan ϕ= 〔 A 〕AB．-C．D4．设0.3113211log 2,log ,()32a b c ===，那么〔 B 〕A ．a ＜b ＜cB ．a ＜c ＜bC ．b ＜c ＜aD ．b ＜a ＜c5．等差数列{}n a 中，31a =-，1479a a a ++=，那么75S S -=〔 C 〕A ．16B ．21C ．26D ．316．假设数列{}n a 满足112,1n n n a a a a +==-，那么2013a 的值为〔 C 〕A ．2B ．12C ．1-D ．17．a 是函数12()2log x f x x =-的零点，假设0<x 0<a ，那么有〔 B 〕A ．f 〔x 0〕＝0B ．f 〔x 0〕<0C ．f 〔x 0〕>0D ．f 〔x 0〕的符号不确定8．在ABC ∆中，cos cos a bB A=，那么ABC ∆一定是 〔 D 〕 A ．等腰三角形 B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形9． x >0、y >0，x 、a 、b 、y 成等差数列，x 、c 、d 、y 成等比数列，那么a ＋b2cd的最小值是〔 D 〕 A ．0 B ．1 C ．2 D ．4 10．函数y ＝cos 〔ωx ＋φ〕〔ω>0,0<φ<π〕为奇函数，该函数的局部图象如右图所示，A 、B 分别为最高与最低点，并且两点间的距离AB ＝22，那么该函数的一条对称轴为〔 C 〕A ．x ＝2πB ．x ＝π2C ．x ＝1D ．x ＝211．在△ABC 中，sin A cos A ＝2cos C ＋cos A2sin C －sin A 是角A 、B 、C 成等差数列〔 A 〕 A ．充分非必要条件 B ．充要条件C ．必要非充分条件D ．既不充分也不必要条件12．函数1()(*)n f x x n N +=∈的图象与直线1x =交于点P ，假设图象在点P 处的切线与x轴交点的横坐标为n x ，那么log 2021x 1＋log 2021x 2＋…＋log 2021x 2021的值为 〔 B 〕 A ．1－log 20212021 B ．－1C ．-log 20212021D ．1第二卷 〔非选择题 共90分〕二、填空题：〔此题共4小题，每题5分，共20分〕 13． 假设3sin()45πθ-=-，那么sin 2θ= ．72514．设α∈〔4π,43π〕, β∈〔0,4π〕, cos 〔α-4π〕=35,sin 〔43π+ β〕=513, 那么sin 〔α + β〕= ．566515．假设函数2()2ln f x x x =-在其定义域内的一个子区间(1,1)k k -+内不是单调函数，那么实数k 的取值范围是________．3[1,)216． 给出以下命题：①函数)225sin(x y -=π是偶函数； ②函数)4sin(π+=x y 在闭区间]2,2[ππ-上是增函数； ③直线8π=x 是函数)452sin(π+=x y 图象的一条对称轴； ④将函数)32cos(π-=x y 的图象向左平移3π单位，得到函数x y 2cos =的图象； 其中正确的命题的序号是 ．①③三、解答题：〔解容许写出文字说明，证明过程或演算步骤〕17． 〔此题总分值12分〕各项均为正数的等比数列{}n a 中，1231,6a a a =+=．〔1〕求数列{}n a 通项公式；〔2〕假设等差数列{}n b 满足1244,b a b a ==，求数列{}n n a b 的前n 项和n S ．解：〔1〕由条件知20,62q q q q >+=∴= 2分12n n a -∴= 4分〔2〕设数列{}n b 公差为d ，那么112,38,2b b d d =+=∴=，2n b n ∴= 6分 2n n n a b n =⋅12312341122232(1)222122232(1)22n nn n n n S n n S n n -+=⨯+⨯+⨯++-⨯+⨯=⨯+⨯+⨯++-⨯+⨯2341222222n n n S n +∴-=+++++-⨯ 8分12(21)2n n n +=--⨯ 10分1(1)22n n S n +∴=-+ 12分18．〔此题总分值12分〕向量m ＝〔sin ωx ＋cos ωx ，3cos ωx 〕，n ＝〔cos ωx －sin ωx,2sin ωx 〕，其中ω>0，函数f 〔x 〕＝m ·n ，假设f 〔x 〕相邻两对称轴间的距离为π2．〔1〕求ω的值，并求f 〔x 〕的最大值及相应x 的集合；〔2〕在△ABC 中，a 、b 、c 分别是A 、B 、C 所对的边，△ABC 的面积S ＝53，b ＝4，f 〔A 〕＝1，求a ．解：〔1〕()cos 222sin(2)6f x x x x πωωω==+2分2,12T ππωω==∴= 4分 在22()62x k k Z πππ+=+∈时()f x 最大值为2，相应x 的集合为|,6x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭6分〔2〕()2sin(2)1,(0,)63f A A A A πππ=+=∈∴=8分1sin 52S bc A c∆===∴= 10分2222cos 21,a b c bc A a ∴=+-=∴ 12分19．〔此题总分值12分〕数列{}n a 前n 项和为n S ，114,224n n a a S n +==-+．〔1〕求证：数列{}1n a -为等比数列； 〔2〕设11n n n n a b a a +-=，数列{}n b 前n 项和为n T ，求证：81n T <． 解：〔1〕11224,2:22(1)4n n n n a S n n a S n +-=-+∴≥=--+12:32n n n a a +∴≥=- 2分又2122410a S =-+=11:32n n n a a +∴≥=- 4分111130,10,31n n n a a a a +--=≠∴-≠∴=- 故数列{}1n a -为等比数列6分〔2〕由〔1〕13,31,nnn n a a -=∴=+113111()(31)(31)23131n n n n n n b ++∴==-++++9分122311111111()2313131313131n n n T +∴=-+-++-++++++＝1111()2431n +-+ 11分1,818n n T T ∴<∴< 12分 20．〔此题总分值12分〕抛物线)0(22>=p px y 上任一点Q 到其内一点(3,1)P 及焦点F的距离之和的最小值为4．〔1〕求抛物线的方程；〔2〕设动直线b kx y +=与抛物线交于),(),,(2211y x B y x A 两点，且12y y -的值为定值(0a a >），过弦AB 的中点M 作平行于抛物线的轴的直线交抛物线于点D ，求ABD ∆的面积．解：〔1〕由抛物线定义，||||34,2,2pQF QP p +≥+=∴= 2分 ∴抛物线的方程为24y x = 4分〔2〕由24y x y kx b⎧=⎨=+⎩得244b y y k k -+＝0，121244,b y y y y k k ∴+==222212(,),(,)kb M D k k k k -∴ 6分 122111||||22ABD kbS DM y y a k ∆-∴=-=⋅⋅ 8分12||y y a -==， 10分23121632ABDa a S a ∆∴=⋅⋅= 12分 21．〔此题总分值12分〕函数1ln )(+-=px x x f ()p R ∈．〔1〕1p =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程； 〔2〕求函数()f x 的极值；〔3〕假设对任意的0>x ，恒有22()f x p x ≤，求实数p 的取值范围． 解：〔1〕1,'(1)110,(1)0110p f f ==-==-+=，∴曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为：0y = 2分〔2〕1'()(0)f x p x x=-> 当0p ≤时，'()0,()f x f x >在(0,)+∞上递增，函数()f x 无极值； 4分当0p >时，1(0,)p 上'()0,()f x f x >单调递增；1(,)p+∞上'()0,()f x f x <单调递减 ()f x ∴的极大值为1()ln f p p=-，()f x 无极小值 6分〔3〕记2222()()ln 1(0)g x f x p x x px p x x =-=-+->21(1)(21)'()2px px g x p p x x x+-∴=--=- 7分 当0p =时，()ln 1,()0g x x g e =+>不符合条件 8分当0p >时，10,px +>1(0,)2p 上'()0,()g x g x >单调递增；1(,)2p+∞上'()0,()g x g x <单调递减()g x ∴的最大值为11()ln(2)0,242g p p p =-+≤∴≥10分 当0p <时，210,px -<1(0,)p -上'()0,()g x g x >单调递增；1(,)p-+∞上'()0,()g x g x <单调递减()g x ∴的最大值为1()ln()10,g p p e p-=--+≤∴≤- 故，p 的取值范围是4(,][,)2ee -∞-+∞ 12分 请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多项选择，那么按所做的第一题计分．做答时请写清题号 22．〔此题总分值10分〕选修41:-几何证明选讲如以下列图，D 为△ABC 的BC 边上一点，⊙O 1经过点 B ．D ，交AB 于另一点E ，⊙O 2经过点〔1〕证明 连接GD ，因为四边形BDGE ，CDGF 分别内接于⊙O 1，⊙O 2， ∴∠AEG=∠BDG，∠AFG=∠CDG，又∠BDG+∠CDG=180°，∴∠AEG+∠AFG=180°． 3分 即A ，E ，G ，F 四点共圆，∴∠EAG=∠EFG． 5分 〔2〕解 因为⊙O 2的半径为5，圆心O 2到直线AC 的距离为3，所以由垂径定理知FC=22235-=8，又AC=10,∴AF=2, 7分 ∵AG 切⊙O 2于G ，∴A G 2=AF·AC=2×10=20,AG=25． 10分 23．〔此题总分值10分〕选修44:-坐标系与参数方程极坐标系中，圆心C (3,)6π，半径r=1．〔1〕求圆的极坐标方程；〔2〕假设直线为参数）t ty t x (21231⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=与圆交于B A ,两点，求AB 的中点M 与点P 〔-1，0〕的距离．解：〔1〕由得圆心)6sin 3,6cos 3(ππC ，半径1，圆的方程为1)23(23322=-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-y x 2分即0833322=+--+y x y x 所以极坐标方程为08sin 3cos 332=+--θρθρρ 5分（1） 把直线方程代入圆方程得2(36)9330,30t t -++=∆=> 7分 设21,t t 是方程两根 12(36)t t ∴+=- 所以12332t t PC +== 10分24．〔此题总分值10分〕选修45:-不等式选讲函数k x x x f +-+-=23)(．〔1〕假设3)(≥x f 恒成立，求k 的取值范围；〔2〕当1=k 时，解不等式：x x f 3)(<．解：〔1〕恒成立R x k x x ∈∀≥+-+-,323 即,323min k x x -≥-+-）（ 2分又12323=+--≥-+-x x x x 2,3123min ≥-≥=-+-k k x x 解得）（ 5分〔2〕当2≤x 时，256,5665≤<∴>>x x x ，解得 当32<<x 时，32,3223<<∴>>x x x ，解得当3≥x 时，34≥∴->x x ，综上，解集为⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,56 10分。

2019年黑龙江省哈尔滨三中高考数学三模试卷(文科)

2019年黑龙江省哈尔滨三中高考数学三模试卷(文科)

2019年黑龙江省哈尔滨三中高考数学三模试卷（文科）一、选择题：木题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 若复数z＝a+i(a∈R)的模为√2，则a＝（）A.1B.±1C.2D.±2【答案】B【考点】复数的模复数的运算【解析】直接利用复数模的计算公式列式求解．【解答】∵z＝a+i(a∈R)的模为√2，∴√a2+1=2，解得a＝±1．2. 设命题：∀x∈R，x2−3x+2≤0，则￢p为（）A.∃x0∈R，x02−3x0+2≤0B.∀x∈R，x2−3x+2>0C.∃x0∈R，x02−3x0+2>0D.∀x∈R，x2−3x+2≥0【答案】C【考点】命题的否定【解析】根据含有量词的命题的否定即可得到结论．【解答】命题为全称命题，命题：∀x∈R，x2−3x+2≤0，则￢p为∃x0∈R，x02−3x0+2> 0，<0}，B＝{x|y=√−x2+x+2)，则A∩B＝（）3. 已知集合A＝{x|x+2x−2A.(−1, 2)B.[−1, 2)C.[−1, 2]D.[−2, 2]【答案】B【考点】交集及其运算【解析】化简集合A、B，根据交集的定义写出A∩B．【解答】<0}＝(−2, 2)，集合A＝{x|x+2x−2∵B＝{x|y=√−x2+x+2)，∴−x2+x+2≥0，解得−1≤x≤2，即B＝[−1, 2]，∴A∩B＝[−1, 2)，4. 已知函数(f(x)＝Asin(ωx+φ)(A>0, ω>0, |φ|<π2)的部分图象如图所示，则f(x)的解析式可以为（）A.y＝2sin(2x+π3) B.y＝2sin(x+π3)C.y＝2sin(2x−π3) D.y＝2sin(x−π3)【答案】A【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式【解析】由函数f(x)的部分图象求得A、T、ω和φ的值，即可写出f(x)．【解答】由函数f(x)＝Asin(ωx+φ)的部分图象知，A＝2，34T=5π6−π12=3π4，解得T＝π，∴ω=2πT=2；又ωx+φ＝2×π12+φ=π2，解得φ=π3，∴f(x)＝2sin(2x+π3)．5. 过抛物线y2＝4x的焦点作一条倾斜角为π6的直线，与抛物线交于A，B两点，则|AB|＝（）A.4B.6C.8D.16【答案】D【考点】抛物线的性质【解析】求出焦点坐标和直线方程，结合过焦点直线方程，利用设而不求的思想进行求解即可．【解答】抛物线的焦点坐标为F(1, 0)，p＝2，过焦点的直线的斜率k＝tanπ6=√33，则直线方程为y=√33(x−1)，代入y2＝4x得13(x−1)2＝4x，整理得x 2−14x +1＝0，设A ，B 的坐标分别为(x 1, y 1)，(x 2, y 2)， 则x 1+x 2＝14，则|AB|＝x 1+x 2+p ＝14+2＝16，6. 函数y ＝4x +2x+1+3(x ∈R)的值域为（ ）A.[2, +∞)B.(3, +∞)C.(133, +∞)D.[9, +∞)【答案】 B【考点】函数的值域及其求法 【解析】令t ＝2x (t >0)，把原函数转化为关于t 的一元二次函数求解． 【解答】令t ＝2x (t >0)，∴ 函数y ＝4x +2x+1+3(x ∈R)化为f(t)＝t 2+2t +3＝(t +1)2+2(t >0)， ∴ f(t)>3．即函数y ＝4x +2x+1+3(x ∈R)的值域为(3, +∞)．7. 若直线y ＝kx +1与圆x 2+y 2＝1相交于P ，Q 两点，且△POQ 为等边三角形（其中O 为原点），则k 的值为（ ） A.√3或−√3 B.√3 C.√33或−√33D.√33【答案】 C【考点】直线与圆相交的性质 【解析】由已知可得，圆心(0, 0)到直线的距离d =√32，结合点到直线的距离公式可求k ．【解答】∵ y ＝kx +1与圆x 2+y 2＝1过点(0, 1)，设P(0, 1)， ∵ △POQ 为等边三角形，边长为1， ∴ 圆心(0, 0)到直线的距离d =√1+k2=√32， 解可得，k =±√33，8. 已知某个几何体的三视图如图（主视图中的弧线是半圆），根据图中标出的尺寸（单位：cm ），可得这个几何体的表面积是( )cm 2A.20+2πB.20+3πC.24+2πD.24+3π【答案】B【考点】由三视图求体积【解析】三视图复原几何体是一个组合体，上部是圆柱的一半，下部是正方体，根据三视图的数据，求出几何体的表面积．【解答】三视图复原几何体是一个组合体，上部是横卧的圆柱的一半，底面是一个半圆，其中半径为1，高为2的半圆柱；下部是正方体，棱长为：2，半圆柱的侧面积为π×1×2+π×12＝3π，正方体部分的侧面积为2×2×5＝20，所以组合体的表面积为20+3π(cm2)．9. 在边长为2的正方形ABCD内任取一点P，使得∠APB≤π2的概率为（）A.1−π8B.π8C.π4D.1−π4【答案】A【考点】几何概型计算（与长度、角度、面积、体积有关的几何概型）【解析】由题意画出图形，再由测度比是面积比得答案．【解答】如图正方形的边长为2，图中白色区域是以AB为直径的半圆，当P落在半圆内时，∠APB>π2；当P落在半圆上时，∠APB=π2；当P落在半圆外时，∠APB<π2．故使∠APB<π2的概率P=S−SS=1−π8．10. 阅读右面的程序框图，如果输入的实数x的取值范围是(−∞, 1]∪[2, +∞)，那么输出的函数值f(x)取值范围是（）A.[0, 2]B.[14, 2] C.[14, 4] D.[14, 2]∪{4}【答案】 D【考点】 程序框图 【解析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算分段函数f(x)={2x −2≤x ≤22x <−2x >2 的函数值，由已知分类讨论即可求解． 【解答】分析程序中各变量、各语句的作用再根据流程图所示的顺序，可知： 该程序的作用是计算分段函数f(x)={2x −2≤x ≤22x <−2x >2 的函数值． 可得当−∞<x <−2时，f(x)＝2； 当−2≤x ≤1时，f(x)∈[14, 2]；当x ＝2时，f(x)＝4； 当x >2时，f(x)＝2；综上，可得输入的实数x 的取值范围是(−∞, 1]∪[2, +∞)时， 输出的函数值f(x)取值范围是[14, 2]∪{4}．11. 已知函数f(x)＝asinx +bcosx ，且f(π4)是它的最大值（其中a ，b 为常数，且m ≠0），给出下列命题： ①函数f(x −π4)为奇函数②函数f(x)的图象关于x =π2对称； ③函数f(−3π4)是函数的最小值④函数f(x)的图象在y 轴右侧与直线y =a2的交点按横坐标从小至大依次记为P 1，P 2，P 3，P 4…则|P 2P 4|＝2π．其中正确的个数为（ ） A.1 B.2 C.3D.4【答案】 C【考点】命题的真假判断与应用 【解析】由题意可得f(x)=√a 2+b 2sin(x +⌀)，对于①，由于f(x −π4)=√2|a|sinx ．是奇函数，可判断①；对于②，由于x =π2时，f(x)＝|a|，可判断②； 对于③，由f(−3π4)=√2|a|sin(−3π4+π4)=−√2|a|，是函数f(x)的最小值，可判断③；对于④，由题意可得，|P 2P 4|等于一个周期2π，可判断④． 【解答】由于函数f(x)＝asinx +bcosx =√a 2+b 2sin(x +⌀)，且f(π4)是它的最大值， ∴ π4+⌀＝2kπ+π2，k ∈Z ，∴ ⌀＝2kπ+π4，∴ tan⌀=b a =1．∴ f(x)=√2|a|sin(x +π4)．对于①，由于f(x −π4)=√2|a|sinx ．是奇函数，故①正确；对于②，由于当x =π2时，f(x)＝|a|，故函数f(x)的图象不关于x =π2对称，故②不正确；对于③，由于f(−3π4)=√2|a|sin(−3π4+π4)=−√2|a|，为函数f(x)的最小值，故③正确；对于④，函数f(x)的图象即把函数 y =√2|a|sinx 的图象向左平移π4个单位得到的， 故|P 2P 4|等于一个周期2π，故④正确．12. 函数f(x)={2x 3+3x 2+1,−2≤x ≤0ae x ,0≤x ≤2 ，若存在实数m ，使得方程f(x)＝m 有三个相异实根，则实数a 的范围是（ ） A.[1e 2, +∞)B.[0, 1e 2]C.(−∞, 2]D.[1e 2, 2)【答案】D【考点】函数的零点与方程根的关系 【解析】分情况讨论，通过函数的单调性求出满足条件的方程的充要条件，列出不等式求解即可得答案． 【解答】当−2≤x ≤0时，f(x)＝2x 3+3x 2+1．∴ f′(x)＝6x 2+6x ＝6x(x +1) 令f′(x)＝0⇒x ＝0或x ＝−1；令f′(x)>0⇒−2<x <−1；令f′(x)<0⇒−1<x <0；且最大值为f(−1)＝−2+3+1＝2； f(−2)＝−16+12+1＝−3；f(0)＝1；当0≤x ≤2时，f′(x)＝ae x ，则若a <0时，可得f′(x)<0恒成立，即f(x)在(0, 2)上单调递减且最大值为f(0)<0，不存在有三个相异实根，故不成立舍掉； 同理，当a ＝0时也不存在舍掉；即实数a 必须大于0；故当a >0时，f′(x)>0恒成立，即f(x)在(0, 2)上单调递增，若想f(x)＝m 有三个相异实根，必须满足{f(0)=a <2f(2)=ae 2≥1⇒1e 2≤a <2． 二、填空题：本颸共4小颼，每小颼5分，共20分已知向量a →=(1, −2)，b →=(t, 3)，若a → // b →，则t ＝________ 【答案】−32【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示 【解析】根据平面向量的共线定理，列方程求出t 的值． 【解答】向量a →=(1, −2)，b →=(t, 3)， 若a → // b →，则3×1−(−2)×t ＝0， 解得t =−32．等比数列{a n }中，a 1＝1，a 3⋅a 5＝64，则a 2019＝________ 【答案】【考点】等比数列的通项公式 【解析】数列{a n }是等比数列，设其公比为q ，则a 3⋅a 5＝64=a 12⋅q 2+4，即a 6＝64＝26，所以q ＝2或q ＝−2，代入即可． 【解答】依题意，数列{a n }是等比数列，设其公比为q ， 则a 3⋅a 5＝64=a 12⋅q 2+4，即a 6＝64＝26， 所以q ＝2或q ＝−2，所以a 2019=a 1⋅q 2018=22018，设变量x ，y 满足约束条件：{x +y ≥3x −y ≥−12x −y ≤3 ，则目标函数z ＝3x −2y 的最小值为________．【答案】 −1【考点】 简单线性规划 【解析】画出不等式组表示的平面区域，结合图形找出最优解，计算目标函数的最小值． 【解答】画出不等式组{x +y ≥3x −y ≥−12x −y ≤3 表示的平面区域，如图阴影所示；由图形知，当目标函数z ＝3x −2y 过点A 时，z 取得最小值； 由{x +y =3x −y =−1，求得A(1, 2)， 所以z 的最小值为z min ＝3×1−2×2＝−1．数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直，形少数时难入微”．事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解法，例如，与√(x −a)2+(y −b)2相关的代数问题，可以转化为点A(x, y)与点B(a, b)之间距离的几何问题．结合上述观点，可得方程|√x 2+6x +13−√x 2−6x +13|=4的解为________ 【答案】 ±6√55【考点】 曲线与方程 【解析】 由|√x 2+6x +13−√x 2−6x +13|=4，得|√(x +3)2+4−√(x −3)2+4|=4，其几何意义为平面内动点(x, 2)与两定点(−3, 0)，(3, 0)距离差的绝对值为4．求出平面内动点与两定点(−3, 0)，(3, 0)距离差的绝对值为4的点的轨迹方程，取y ＝2求得x 值即可． 【解答】由|√x 2+6x +13−√x 2−6x +13|=4，得 |√(x +3)2+4−√(x −3)2+4|=4，其几何意义为平面内动点(x, 2)与两定点(−3, 0)，(3, 0)距离差的绝对值为4． 平面内动点与两定点(−3, 0)，(3, 0)距离差的绝对值为4的点的轨迹为x 24−y 25=1．联立{y =2x 24−y 25=1，解得x =±6√55．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17～1题为必者题，每个试题考生都必须作答.第22、21题为选考题，考生根据要求作答已知等差效列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，S 2+a 2＝4． （1）求数列{a n }的通项公式；（2）设数列b n ＝2n+1⋅a n 求{b n }的前项和T n ． 【答案】等差效列{a n }的公差设为d ，且a 1＝1，S 2+a 2＝4， 可得1+1+d +1+d ＝4，解得d =12， 则a n ＝1+12(n −1)=n+12；b n ＝2n+1⋅a n ＝(n +1)⋅2n ，前n 项和T n ＝2⋅2+3⋅4+4⋅8+...+(n +1)⋅2n ， 2T n ＝2⋅4+3⋅8+4⋅16+...+(n +1)⋅2n+1，相减可得−T n ＝4+4+8+16+...+2n −(n +1)⋅2n+1 ＝2+2(1−2n )1−2−(n +1)⋅2n+1，化为T n ＝n ⋅2n+1． 【考点】等差数列的通项公式 数列的求和 【解析】（1）等差效列{a n }的公差设为d ，运用等差数列的通项公式，解方程可得d ，进而得到所求通项公式；（2）求得b n ＝2n+1⋅a n ＝(n +1)⋅2n ，运用数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，化简可得所求和． 【解答】等差效列{a n }的公差设为d ，且a 1＝1，S 2+a 2＝4， 可得1+1+d +1+d ＝4，解得d =12， 则a n ＝1+12(n −1)=n+12；b n ＝2n+1⋅a n ＝(n +1)⋅2n ，前n 项和T n ＝2⋅2+3⋅4+4⋅8+...+(n +1)⋅2n ， 2T n ＝2⋅4+3⋅8+4⋅16+...+(n +1)⋅2n+1，相减可得−T n ＝4+4+8+16+...+2n −(n +1)⋅2n+1 ＝2+2(1−2n )1−2−(n +1)⋅2n+1，化为T n ＝n ⋅2n+1．棉花的优质率是以其纤维长度来衡量的，纤维越长的棉龙品质越高．棉花的品质分类标准为纤维长度小于等于28mm 的为粗绒棉，纤维长度在(25, 33]为细绒棉，纤维长度大于33mm 的为长绒棉，其中纤维长度在38mm 以上的棉花又名“军海1号”，某采购商从新疆某一棉花基地抽测了100根棉花的纤维长度，得到数据如下图频率分有表所示（1）若将频率作为概率，根据以上数据，能否认为该基地的这批棉花符合“长绒棉占全部棉花的50%以上的要求（2）用样本估计总体，若这批棉共有10000kg，基地提出了两种销售方案给采购商参考．方案一：不分等级卖出，每千克按13.5元计算．方案二：对10000kg棉花先分等级再销售，分级后不同等级的棉花售价如表从采购商的角度，请你帮他决策一下该用哪个方案．（3）用分层抽样的方法从长绒棉中抽取6根棉花，再从6根棉花中取两根进行检验，求抽到的两根棉花只有一根是“军海1号”的概率．【答案】将频率作为概率，根据以上数据，长绒棉占全部棉花的比例为P=60100=60%，∴该基地的这批棉花符合“长绒棉占全部棉花的50%以上的要求“．方案一：13.5×10000＝135000．方案二：2×200+8×3800+15×4000+25×2000＝140800．∴从采购商的角度，该用方案一．用分层抽样的方法从长绒棉中抽取6根棉花，其中“军海1号”抽取到：6×2020+40=2，再从6根棉花中取两根进行检验，基本事件总数n=C62=15，抽到的两根棉花只有一根是“军海1号”包含的基本事件个数m=C41C21=8，∴抽到的两根棉花只有一根是“军海1号”的概率p=mn =815．【考点】分层抽样方法古典概型及其概率计算公式【解析】（1）将频率作为概率，能求出该基地的这批棉花符合“长绒棉占全部棉花的50%以上的要求“．（2）方案一：13.5×10000＝135000．方案二：2×200+8×3800+15×4000+ 25×2000＝140800．从采购商的角度，该用方案一．（3）用分层抽样的方法从长绒棉中抽取6根棉花，其中“军海1号”抽取到2根，再从6根棉花中取两根进行检验，利用古典概型能求出抽到的两根棉花只有一根是“军海1号”的概率．【解答】将频率作为概率，根据以上数据，长绒棉占全部棉花的比例为P=60100=60%，∴该基地的这批棉花符合“长绒棉占全部棉花的50%以上的要求“．方案一：13.5×10000＝135000．方案二：2×200+8×3800+15×4000+25×2000＝140800．∴从采购商的角度，该用方案一．用分层抽样的方法从长绒棉中抽取6根棉花，其中“军海1号”抽取到：6×2020+40=2，再从6根棉花中取两根进行检验，基本事件总数n=C62=15，抽到的两根棉花只有一根是“军海1号”包含的基本事件个数m=C41C21=8，∴抽到的两根棉花只有一根是“军海1号”的概率p=mn =815．如图，在五棱锥P−ABCDE中，AB // DE，BC // AE，AE⊥平面PDE，AB＝AE＝PD ＝2DE＝2BC＝4，∠PDE＝60∘．（1）证明：PE⊥CD；（2）过点D作平行于平面PAE的截面，与直线AB，PB，PC分别交于F，G，H，求夹在该截面与平面PAE之间的几何体体积．【答案】证明：∵DE＝2，PD＝4，∠PDE＝60∘，∴PE=√4+16−2⋅2⋅4⋅cos60=2√3，∴PE⊥DE．∵AE⊥平面PDE，PE⊂平面PDE，∴AE⊥PE，又AE∩DE＝E，AE⊂平面ABCDE，DE⊂平面ABCDE，∴PE⊥平面ABCDE，又CD⊂平面ABCDE，∴PE⊥CD．∵平面PAE // 平面DFGH，∴DF // AE，PA // GF，又BC // AE，AB // DE，∵AE⊥平面PDE，DE⊂平面PDE，∴AE⊥DE，∴四边形AEDF是矩形，∴V P−AEDF=13S矩形AEDF⋅PE=13×2×4×2√3=16√33．∵AP // GF，∴P到平面DFGH的距离等于A到平面DFGH的距离，由（1）可知PE⊥平面ABCDE，故而PE⊥AF，又AF⊥AE，AE∩PE＝E，∴AF⊥平面PAE，∴AF⊥平面DFGH，∵BC // AE，DF // AE，∴BC // DF，又BC平面DFGH，DF⊂平面DFGH，∴BC // 平面DFGH，又BC⊂平面PBC，平面PBC∩平面DFGH＝GH，∴BC // GH，∵AF＝DE=12AB，故F为AB的中点，∴G为PB的中点，∴H是PC的中点，∴GH=12BC＝1，又梯形DFGH的高为12PE=√3，∴V P−DFGH＝VA−DFGH =13S DFGH⋅AF=13×12×(1+4)×√3×2=5√33．∴夹在该截面与平面PAE之间的几何体体积V＝V P−AEDF+V P−DFGH＝7√3．【考点】柱体、锥体、台体的体积计算空间中直线与直线之间的位置关系【解析】（1）根据AE⊥DE，PE⊥DE可得PE⊥平面ABCDE，于是PE⊥CD；（2）求出梯形DFGH的面积，分别计算棱锥P−AEDF和棱锥P−DFGH的体积．【解答】证明：∵DE＝2，PD＝4，∠PDE＝60∘，∴PE=√4+16−2⋅2⋅4⋅cos60=2√3，∴PE⊥DE．∵AE⊥平面PDE，PE⊂平面PDE，∴AE⊥PE，又AE∩DE＝E，AE⊂平面ABCDE，DE⊂平面ABCDE，∴PE⊥平面ABCDE，又CD⊂平面ABCDE，∴PE⊥CD．∵平面PAE // 平面DFGH，∴DF // AE，PA // GF，又BC // AE，AB // DE，∵AE⊥平面PDE，DE⊂平面PDE，∴AE⊥DE，∴四边形AEDF是矩形，∴V P−AEDF=13S矩形AEDF⋅PE=13×2×4×2√3=16√33．∵AP // GF，∴P到平面DFGH的距离等于A到平面DFGH的距离，由（1）可知PE⊥平面ABCDE，故而PE⊥AF，又AF⊥AE，AE∩PE＝E，∴AF⊥平面PAE，∴AF⊥平面DFGH，∵BC // AE，DF // AE，∴BC // DF，又BC平面DFGH，DF⊂平面DFGH，∴BC // 平面DFGH，又BC⊂平面PBC，平面PBC∩平面DFGH＝GH，∴BC // GH，∵AF＝DE=12AB，故F为AB的中点，∴G为PB的中点，∴H是PC的中点，∴GH=12BC＝1，又梯形DFGH的高为12PE=√3，∴V P−DFGH＝VA−DFGH =13S DFGH⋅AF=13×12×(1+4)×√3×2=5√33．∴夹在该截面与平面PAE之间的几何体体积V＝V P−AEDF+V P−DFGH＝7√3．已知函数f(x)＝x−1−a(x−1)2x−lnx．（1）若a＝0，求f(x)在x＝1处的切线方程（2）若函数f(x)存在两个极值点x1和x2，求证：f(x1x2)+4a21−a≥2ln2−1．【答案】函数f(x)＝x−1−a(x−1)2x−lnx．若a＝0，f(x)＝x−1−lnx，f′(x)＝1−1x，f(1)＝0，f′(1)＝0，f(x)在x＝1处的切线方程为y＝0，证明：函数f(x)＝x−1−a(x−1)2x−lnx．f′(x)=(1−a)x2−x+ax2，因为函数f(x)存在两个极值点x 1和x 2，所以f′(x)＝0，x 1＝1，x 2=a1−a ，a ∈(0, 12)∪(12, 1)， f(x 1x 2)+4a 21−a=4a 1−a−2−lna 1−a，令t =a1−a ，t ∈(0, 1)∪(1, +∞)，ℎ(t)＝4t −lnt −2， ℎ′(t)＝4−1t =0，t =14，所以y ＝ℎ(t)在(0, 14)单调递减，在(14, 1)，(1, +∞)单调递增； 所以ℎ(t)最小值为ℎ(14)＝2ln2−1；即ℎ(t)≥2ln2−1； 即f(x 1x 2)+4a 21−a≥2ln2−1．【考点】利用导数研究函数的极值利用导数研究曲线上某点切线方程 【解析】（1）将a ＝0代入函数，求函数的导数和函数的切点的坐标，利用点斜式可求f(x)在x ＝1处的切线方程；（2）函数f(x)存在两个极值点x 1和x 2，求证：f(x 1x 2)+4a 21−a≥2ln2−1．即证明f(x 1x 2)+4a 21−a=4a 1−a−2−lna 1−a≥2ln2−1，令t =a1−a ，t ∈(0, 1)∪(1, +∞)，转换成新函数ℎ(t)＝4t −lnt −2≥2ln2−1，即求函数ℎ(t)的最小值大于等于2ln2−1即可； 【解答】函数f(x)＝x −1−a(x−1)2x−lnx ．若a ＝0，f(x)＝x −1−lnx ，f′(x)＝1−1x ， f(1)＝0，f′(1)＝0，f(x)在x ＝1处的切线方程为y ＝0， 证明：函数f(x)＝x −1−a(x−1)2x−lnx ．f′(x)=(1−a)x 2−x+ax 2，因为函数f(x)存在两个极值点x 1和x 2，所以f′(x)＝0，x 1＝1，x 2=a1−a ，a ∈(0, 12)∪(12, 1)， f(x 1x 2)+4a 21−a =4a1−a −2−ln a 1−a ，令t =a1−a ，t ∈(0, 1)∪(1, +∞)，ℎ(t)＝4t −lnt −2， ℎ′(t)＝4−1t =0，t =14，所以y ＝ℎ(t)在(0, 14)单调递减，在(14, 1)，(1, +∞)单调递增；所以ℎ(t)最小值为ℎ(14)＝2ln2−1；即ℎ(t)≥2ln2−1； 即f(x 1x 2)+4a 21−a≥2ln2−1．已知定点P(2, 0)，圆M:x 2+y 2+4x −60＝0，过点P 的直线l ₁交圆M 于R ，S 两点，过点P 作直线l 2 // MS 交直线MR 于Q 点 （1）求Q 点的轨迹方程E（2）若A ，B ，C ，D 是曲线E 上不重合的四个点，且AC 与BD 交于点(−2, 0)，AC →⋅BD →=0，求|AC →|+|BD →|的取值范围【答案】如图，可得QP ＝QR ，所以QM +QP ＝QM +QR ＝MR ＝8>MP ＝4，所以Q 点的轨迹是以M ，P 点为焦点的椭圆，其中a ＝4，c ＝2，所以b 2＝12， 故点Q 的轨迹方程为x 216+y 212=1；由（1）可知左焦点(−2, 0)，且AC ⊥BD ，①当直线AC 、BD 中有一条直线的斜率不存在时，|AC →|+|BD →|＝6+8＝14； ②当直线AC 的斜率为k ，k ≠0，其方程为：y ＝k(x +2)， 联立{y =k(x +2)x 216+y 212=1，得(3+4k 2)x 2+16k 2x +16k 2−48＝0，设A(x 1, y 1)，C(x 2, y 2)， 则x 1+x 2=−16k 23+4k 2，x 1x 2=16k 2−483+4k 2， 所以|AC →|=√1+k 2|x 1−x 2|=24(1+k 2)3+4k 2，同理可得：|BD →|=24(1+k 2)4+3k ，所以|AC →|+|BD →|=168(1+k 2)2(3+4k 2)(4+3k 2)，令1+k 2＝t(t >1)，|AC →|+|BD →|=168t 2(4t−1)(3t+1)=16812+1t −1t 2∈[967, 14)， 综上，|AC →|+|BD →|的取值范围是[967, 14]．【考点】轨迹方程 【解析】（1）根据题意画出图象，可得QM +QP >MP ，即可知Q 点的轨迹是以M ，P 点为焦点的椭圆；（2）由条件可判断出AC 、BD 过椭圆左焦点，分别讨论AC 、BD 斜率存在与不存在的情况，表示出|AC →|+|BD →|，即可求出取值范围．【解答】如图，可得QP ＝QR ，所以QM +QP ＝QM +QR ＝MR ＝8>MP ＝4，所以Q 点的轨迹是以M ，P 点为焦点的椭圆，其中a ＝4，c ＝2，所以b 2＝12， 故点Q 的轨迹方程为x 216+y 212=1； 由（1）可知左焦点(−2, 0)，且AC ⊥BD ，①当直线AC 、BD 中有一条直线的斜率不存在时，|AC →|+|BD →|＝6+8＝14； ②当直线AC 的斜率为k ，k ≠0，其方程为：y ＝k(x +2)， 联立{y =k(x +2)x 216+y 212=1，得(3+4k 2)x 2+16k 2x +16k 2−48＝0，设A(x 1, y 1)，C(x 2, y 2)， 则x 1+x 2=−16k 23+4k2，x 1x 2=16k 2−483+4k 2， 所以|AC →|=√1+k 2|x 1−x 2|=24(1+k 2)3+4k 2，同理可得：|BD →|=24(1+k 2)4+3k 2，所以|AC →|+|BD →|=168(1+k 2)2(3+4k 2)(4+3k 2)，令1+k 2＝t(t >1)，|AC →|+|BD →|=168t 2(4t−1)(3t+1)=16812+1t −1t 2∈[967, 14)，综上，|AC →|+|BD →|的取值范围是[967, 14]．（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题记分[选修4-4坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =1+tcosαy =−1+tsinα (t 为参数，0≤α<π)，以坐标原点O 为极点，x 轴正半籼为极轴；建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ2=2√2ρsin(θ+π4)+2．（1）求曲线C 2的直角坐标方程；（2）若曲线C 1与C 2交于A ，B 两点，且|AB|＝2√3，求α的值． 【答案】曲线C 2的极坐标方程为ρ2=2√2ρsin(θ+π4)+2．利用三角函数的展开式，转换为直角坐标方程为(x −1)2+(y −1)2＝4，曲线C 1的参数方程为{x =1+tcosαy =−1+tsinα (t 为参数，0≤α<π)，转换为直角坐标方程为y +1＝k(x −1)，(k ＝tanα)，所以圆心(1, 1)到直线l 的距离d =√r 2−(12|AB|)2=1，所以√1+k 2=1，解得k =±√3，所以α=π32π3．【考点】参数方程与普通方程的互化 圆的极坐标方程 【解析】（1）直接利用转换关系，把极坐标方程转换为直角坐标方程．（2）利用勾股定理和点到直线的距离公式的应用求出直线的斜率，进一步求出直线的倾斜角． 【解答】曲线C 2的极坐标方程为ρ2=2√2ρsin(θ+π4)+2．利用三角函数的展开式，转换为直角坐标方程为(x −1)2+(y −1)2＝4，曲线C 1的参数方程为{x =1+tcosαy =−1+tsinα (t 为参数，0≤α<π)，转换为直角坐标方程为y +1＝k(x −1)，(k ＝tanα)，所以圆心(1, 1)到直线l 的距离d =√r 2−(12|AB|)2=1，所以√1+k 2=1，解得k =±√3，所以α=π32π3．[选修4-5：不等式选讲]设函数f(x)＝|x −a|，如果不等式f(x)≤1的解集为{x|0≤x ≤2}． （1）求a 的值；（2）当x ∈(0, 1)，证明：1f(x)+1f(x+1)≥4． 【答案】∵ f(x)≤1的解集为{x|0≤x ≤2}， ∴ 0和2为方程|x −a|＝1的两实根， ∴ |a|＝1且|2−a|＝1，∴ a ＝1， ∴ a 的值为1；证明：当x ∈(0, 1)时，1f(x)+1f(x+1) =11−x +1x =(11−x +1x)(1−x +x)=2+x 1−x+1−x x=2=2√x 1−x⋅1−x x=4，当且仅当x1−x =1−xx即x =12时取等号，∴ 1f(x)+1f(x+1)≥4．【考点】绝对值不等式的解法与证明 【解析】（1）由f(x)≤1的解集为{x|0≤x ≤2}，可知0和2为方程|x −a|＝1的两实根，将0和2代入方程|x −a|＝1中可求出a 的值；（2）由题意可得1f(x)+1f(x+1)=(11−x +1x )(1−x +x)，利用基本不等式可得1f(x)+1f(x+1)的最小值，从而证明1f(x)+1f(x+1)≥4． 【解答】∵ f(x)≤1的解集为{x|0≤x ≤2}， ∴ 0和2为方程|x −a|＝1的两实根， ∴ |a|＝1且|2−a|＝1，∴ a ＝1， ∴ a 的值为1；证明：当x ∈(0, 1)时，1f(x)+1f(x+1) =11−x +1x =(11−x +1x)(1−x +x) =2+x 1−x+1−x x=2=2√x 1−x⋅1−x x=4，当且仅当x1−x =1−xx即x =12时取等号，∴ 1f(x)+1f(x+1)≥4．。

2019届黑龙江省哈尔滨市第三中学高三第三次模拟数学(文)试题(解析版)

2019届黑龙江省哈尔滨市第三中学高三第三次模拟数学(文)试题(解析版)

2019届黑龙江省哈尔滨市第三中学高三第三次模拟数学（文）试题一、单选题1．已知i 是虚数单位，复数61iz i=-，则z 的实部为（ ） A ．-3 B ．3C ．-2D ．2【答案】A【解析】利用复数除法运算法则化简复数z ，结合实部概念得到结果. 【详解】 ∵66(1)3(1)3312i i i i i i i +==+=-+-， ∴z 的实部为-3 故选A 【点睛】本题考查复数的代数运算，考查复数的基本概念，属于基础题.2．若集合{1,2,3}A =，2{|20}B x x x =-≥，则A B =I （ ）A ．{2}B ．{3}C ．{1,2}D ．{2,3}【答案】D【解析】化简集合B ，由交集概念得到结果. 【详解】∵2{|20}B x x x =-≥，{}1,2,3A =∴{|20}B x x x =≥≤或，{2,3}A B =I . 故选D 【点睛】本题考查交集的概念与运算，属于基础题.3．若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线与过其右焦点的直线2y x =-行，则该双曲线的实轴长为（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】由题意可得2ba=，225a b +=，从而得到结果. 【详解】∵双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线与过其右焦点的直线2y x =-行， ∴2ba=，225a b +=，1a =，2b =，∴22a =. 故选：B 【点睛】本题考查双曲线的几何性质，考查运算能力，属于基础题.4．若向量a v ，b v 满足||2a =v ，3b =v ，a b -=v v ()a a b ⋅+=vv v （ ）A ．5B ．6C ．7D ．8【答案】C【解析】对条件a b -=v v 3a b ⋅=v v ，从而可得结果.【详解】 ∵()222||2a ba b a b -=+-⋅vv v v v v 4927a b =+-⋅=vv ，∴3a b ⋅=v v ，∴()2||7a a b a a b ⋅+=+⋅=vvv v v v . 故选C 【点睛】本题考查平面向量的数量积运算，考查向量模的性质，考查运算能力，属于基础题. 5．某研究机构在对具有线性相关的两个变量x 和y 进行统计分析时，得到如下数据：由表中数据求得y 关于x 的回归方程为ˆˆ0.65yx a =+，则在这些样本点中任取一点，该点落在回归直线下方的概率为（ ） A ．25B ．35C ．34D ．12【答案】A【解析】求出样本点的中心，求出ˆa的值，得到回归方程得到5个点中落在回归直线下方的有(6,2)，(8,3)，共2个，求出概率即可． 【详解】Q 8x =， 3.4y =，故3.40.658ˆa=⨯+，解得： 1.8a =-， 则0.65.8ˆ1yx =-， 故5个点中落在回归直线下方的有(6,2)，(8,3)，共2个， 故所求概率是25p =， 故选：A ． 【点睛】本题考查回归方程概念、概率的计算以及样本点的中心，考查数据处理能力，是一道基础题．6．若函数()sin (0)f x x x ωωω=>的最小正周期为π，则()f x 的单调增区间为（ ）A ．5[,]()1212k k k Z ππππ-+∈B ．5[,]()1212k k k Z ππππ-+∈ C ．[,]()63k k k Z ππππ-+∈D ．[,]()36k k k Z ππππ-+∈ 【答案】A【解析】化简函数()2sin 3f x x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭，由周期性得到2ω=，进而得到函数的单调增区间. 【详解】()sin 2sin 3f x x x x πωωω⎛⎫==- ⎪⎝⎭，2ππω=，2ω=，由()222232k x k k Z πππππ-≤-≤+∈得()51212k x k k Z ππππ-≤≤+∈. 故选：A 【点睛】本题考查正弦型函数的图像与性质，考查函数的周期性与单调性，考查三角恒等变换，属于中档题.7．如图所示的程序框图，若输出的30S =，则输入的整数m 值为（ ）A ．7B ．8C ．9D ．10【答案】C【解析】根据程序框图的运行，得到每一步的k 和S 的值，当停止循环，输出S 时，此时的S 用m 表示，令其等于30，得到结果. 【详解】执行程序框图，可得S m =，12k m m =+<+； 21S m =+，2k m =+； 33S m =+，32k m m =+>+，输出33S m =+，由3330m +=得9m =. 故选C 项. 【点睛】本题考查程序框图的运行，根据输出值求输入值，属于简单题. 8．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．210B ．208C ．206D ．204【答案】D【解析】根据三视图还原出原几何体，并得到各棱的长度，通过切割法求出其体积. 【详解】由已知中的三视图可得：该几何体是由一个正方体切去一个三棱锥所得的组合体， 正方体的边长为6，切去一个三棱锥的底面是直角边长分别为6，6的等腰直角三角形，高为2， 故该几何体的体积为311666220432V =-⨯⨯⨯⨯=. 故选D 项. 【点睛】本题考查三视图还原几何体，切割法求几何体体积，属于简单题.9．德国大数学家高斯年少成名，被誉为数学届的王子，19岁的高斯得到了一个数学史上非常重要的结论，就是《正十七边形尺规作图之理论与方法》，在其年幼时，对123100++++L 的求和运算中，提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成，因此，此方法也称之为高斯算法.现有函数2()(0)36057xf x m m =>+，则(1)(2)(3)(2018)f f f f m +++++L 等于（ ）A ．20183m +B ．240363m +C ．40366m +D ．240376m +【答案】A【解析】通过材料，理解高斯算法，根据高斯算法进行倒序相加，得到答案. 【详解】()()()()1232018f f f f m ++++L 21223605736057m m ⨯⨯=+++++L()()22017220183605736057m m m m +++++，又()()()()1232018f f f f m ++++L ()()22018220173605736057m m m m ++=+++++L22213605736057m m ⨯⨯+++，两式相加可得()()()()1232018f f f f m ++++L 24036201863m m ++==.故选A 项. 【点睛】本题考查对题意的理解，倒序相加法求和，属于简单题.10．已知函数()f x 是偶函数，定义域为R ，单调增区间为[0,)+∞，且(1)0f =，则(1)(1)0x f x --≤的解集为（ ）A ．[2,0]-B ．[1,1]-C ．(,0][1,2]-∞UD ．(,1][0,1]-∞-⋃【答案】C【解析】利用偶函数的性质分类讨论解不等式即可. 【详解】由题意可知：函数()f x 在](0，-∞单调递减，且()10f -= 令1x t -=，则()0tf t ≤.当0t ≥时，()0f t ≤，01t ≤≤；当0t <，()0f t ≥，1t ≤-，∴011x ≤-≤或11x -≤-.∴0x ≤或12x ≤≤. 故选：C 【点睛】本题考查综合函数的奇偶性与单调性，注意奇函数在对称区间的单调性相同，而偶函数在对称区间的单调性相反．11．已知三棱锥D ABC -的四个顶点都在球O 的球面上，若DC ⊥平面ABC ，90ACB ∠=o，AB =DC =O 的表面积为（ ）A ．28πB ．30πC ．32πD ．36π【答案】B【解析】由于C 处的三条棱两两垂直，可以把三棱锥补成长方体，求出体对角线长，即外接球的直径. 【详解】由于C 处的三条棱两两垂直，可以把三棱锥补成长方体.设球O 半径为R ，则()222230R CD AB =+=，球表面积2430S R ππ==. 故选B 【点睛】本题考查球O 的表面积，考查学生的计算能力，求出球的半径是关键,属基础题.12．已知()()11,101,01x f x f x x x ⎧--<<⎪+=⎨⎪≤<⎩，若方程()21f x ax a -=-有唯一解，则实数a的取值范围是( ) A ．2,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭B ．2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．{}28,3⎡⎫-⋃+∞⎪⎢⎣⎭D ．{}28,3⎛⎫-⋃+∞ ⎪⎝⎭【答案】D【解析】根据题意，先表示出当()1,0x ∈-的()f x 表达式，再根据()f x 表达式画出对应图像，若要使方程()21f x ax a -=-有唯一解，即等价于函数()y f x =与函数()21g x ax a =+-有唯一的一个交点，采用数形结合进行求解即可.【详解】令()1,0x ∈-，则()10,1x +∈，()11f x x +=+，所以()11,101,01x f x x x x ⎧--<<⎪=+⎨⎪≤<⎩，作出()f x 图像，如图所示，方程()21f x ax a -=-有唯一解，即等价于()()21f x g x ax a ==+-有唯一的一个交点，()121212g x ax a a x ⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭，恒过1,12A ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，又因为()1,1B ，43AB k =，422,33a a ∴>>，当()g x 与曲线()()11,101f x x x =--<<+相切时，也满足条件，令2112123101ax a ax ax a x -=+-⇒++-=+，229880a a a ∆=-+=，解得08a a ==-或，0a =（舍去）， 所以当方程()21f x ax a -=-有唯一解，则实数a 的取值范围是{}28,3⎛⎫-⋃+∞ ⎪⎝⎭.答案选D 【点睛】本题考查函数解析式的求法、函数的图像、方程的解与函数图像的关系，需要结合基本运算能力，推理能力，数形结合思想，转化与化归思想，对考生核心的数学素养要求较高.二、填空题 13．曲线11x y xe x =++在点(0,1)处的切线方程为__________． 【答案】1y = 【解析】求得函数11x y xe x =++的导数，可得切线的斜率，由点斜式方程可得切线方程． 【详解】 ∵11x y xe x =++ ∴()2111xy x e x ⎛⎫'=-++ ⎪+⎝⎭∴x=0时，110y '=-+= ∴1y = 故答案为1y = 【点睛】本题考查导数的运用：求切线方程，考查方程思想和运算能力，属于基础题．14．已知变量,x y 满足约束条件236,1,33,x y y x x y +≤⎧⎪≤+⎨⎪-≤⎩则目标函数2z x y =+的最小值为__________． 【答案】7-【解析】作出不等式组对应的平面区域，数形结合即可得到目标函数2z x y =+的最小值． 【详解】解：作出不等式组对应的平面区域如图：设z ＝x +2y 得y 12=-x 2z +， 平移直线y 12=-x 2z +，由图象可知当直线y 12=-x 2z+经过点A 时，纵截距最小，z也最小，由3310x y x y -=⎧⎨-+=⎩，解得A （﹣3，﹣2）∴目标函数2z x y =+的最小值为7- 故答案为：7- 【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用z 的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键．15．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ，右顶点为A ，上顶点为B .若点F到直线AB 的距离为51414b ，则该椭圆的离心率为__________． 【答案】23【解析】由椭圆的顶点和截距式方程求出直线AB 的方程，化为一般式方程，利用点到直线的距离公式列出方程化简，再由a 、b 、c 的关系求出离心率的值． 【详解】AB 方程为0bx ay ab +-=，点(),0F c -到直线AB 2251414bc ab b a b --=+，∴()2222514a c a b +=+.∴()2222252214a c ac a c ++=-.∴()()2318130a c a c -+=.∴23c e a ==.故答案为：23【点睛】本题考查了椭圆的方程与性质，考查了点到直线的距离公式，考查推理能力与运算能力，属于中档题.16．在锐角ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若2a =，cos cos tan sin sin A C A A C+=+，则sin sin b cB C ++的取值范围是__________．【答案】4) 【解析】由cos cos tan sin sin A CA A C+=+结合三角恒等变换知识可得cos2cos A B =，即2B A=，从而得到64A ππ<<，又sin sin sin b c a B C A+=+，进而可得结果. 【详解】由已知得()()sin sin sin cos cos cos A A C A A C +=+，∴22cos sin sin sin cos cos A A A C A C -=-，∴()cos2cos cos A A C B =-+=. ∵ABC ∆是锐角三角形， ∴2B A =且022A π<<，032A ππ<-<，∴64A ππ<<.∵2a =，∴)sin a A ⎡∈⎣.又sin sin sin b c a B C A+=+，∴()sin sin b cB C+∈+.故答案为()4【点睛】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦定理的应用．考查了学生对三角函数基础知识的理解和灵活运用．三、解答题17．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且10120S =，21a a -，42a a -，12a a +成等比数列.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设n T 为数列1n s ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和，求满足1522nT >的最小的n 值. 【答案】（1）21n a n =+；（2）14.【解析】（1）设出等差数列的基本量，根据条件，得到方程，解出首项和公差，可以得到{}n a 的通项.（2）根据（1）得到的通项，求出前n 项和n S ，得到1nS 的通项，然后利用裂项相消求和得到n T ，从而求出满足1522n T >的最小的n 值. 【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，由10120S =得11045120a d +=，12924a d +=， 由21a a -，42a a -，12a a +成等比数列 得()2124d a d d +=且0d ≠，∴123a d =， ∴13a =，2d =，∴等差数列{}n a 的通项公式为()()1131221n a a n d n n =+-=+-⋅=+. （2）∵()()1122n n n dS na n n -=+=+，∴()11111222n S n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭， ∴1111111112324352n T n n ⎛⎫=-+-+-++- ⎪+⎝⎭L 111112212n n ⎛⎫=+-- ⎪++⎝⎭， 由1522n T >得1131222n n +<++，()33560n n ->，∴n 的最小值为14. 【点睛】本题考查等差数列中基本量的计算，裂项法求数列通项，属于中档题.18．某县共有户籍人口60万，经统计，该县60岁及以上、百岁以下的人口占比13.8%，百岁及以上老人15人.现从该县60岁及以上、百岁以下的老人中随机抽取230人，得到如下频数分布表：（1）从样本中70岁及以上老人中，采用分层抽样的方法抽取21人，进一步了解他们的生活状况，则80岁及以上老人应抽多少人？（2）从（1）中所抽取的80岁及以上老人中，再随机抽取2人，求抽到90岁及以上老人的概率；（3）该县按省委办公厅、省人民政府办公厅《关于加强新时期老年人优待服务工作的意见》精神，制定如下老年人生活补贴措施，由省、市、县三级财政分级拨款：①本县户籍60岁及以上居民，按城乡居民养老保险实施办法每月领取55元基本养老金；②本县户籍80岁及以上老年人额外享受高龄老人生活补贴；（a）百岁及以上老年人，每人每月发放345元的生活补贴；（b）90岁及以上、百岁以下老年人，每人每月发放200元的生活补贴；（c）80岁及以上、90岁以下老年人，每人每月发放100元的生活补贴.试估计政府执行此项补贴措施的年度预算.【答案】（1）6；（2）13；（3）6984万元【解析】（1）采用分层抽样的方法抽，求出各阶段人数的比例，即可求出结果；（2）直接利用古典概型公式即可得到结果；（3）根据县60岁以上、百岁以下的人口占比13.8%，计算本县户籍60岁各阶段人数．每月领取55元基本养老金，再加外享受高龄老人生活补贴计算总和政府执行此项补贴措施的年度预算．【详解】（1）样本中70岁及以上老人共105人，其中80岁及以上老人30人，所以21人中，80岁及以上老人应抽21306105⨯=人.（2）在（1）中所抽取的80岁及以上的6位老人中，90岁及以上老人1人，记为A，其余5人分别记为,,,,B C D E F，从中任取2人，基本事件共15个：(),A B ，(),A C ，(),A D ，(),A E ，(),A F ，(),B C ，(),B D ，(),B E ，(),B F ，(),C D ，(),C E ，(),C F ，(),D E ，(),D F ，(),E F .记“抽到90岁及以上老人”为事件M ，则M 包含5个基本事件， ∴()51153P M ==. （3）样本中230人的月预算为2305525100520016150⨯+⨯+⨯=（元），用样本估计总体，年预算为5461013.8%161504001512698410230⎛⎫⨯⨯⨯+⨯⨯=⨯ ⎪⎝⎭（元）.所以政府执行此项补贴措施的年度预算为6984万元. 【点睛】本题考查了样本的数字特征及频率分布表的应用，考查古典概型，考查计算能力，考查分析问题解决问题的能力，属于基础题．19．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，E 为11A C 的中点，2AB BC ==，1C F AB ⊥.（1）求证：AB BC ⊥；（2）若1//C F 平面ABE ，且12C F =，求点A 到平面BCE 的距离. 【答案】（1）证明见解析；（23【解析】（1）根据1C F AB ⊥，1CC AB ⊥可得AB ⊥平面11BCC B ，故而AB BC ⊥；（2）设平面1EC F 与AB 的交点为G ，连接EG ，FG ，利用1//C F 平面ABE ，得到1//C F EG ，也可以得到1//EC FG ，进而得到四边形1EC FG 是平行四边形，根据条件求得ABC V 的面积为2，BCE V 的面积为2，将三棱锥顶点和底面转换，利用等积法求得结果. 【详解】（1）在直三棱柱中，1CC AB ⊥，又1C F AB ⊥，且1C F ，1C C ⊂平面11BCC B ，111CC C F C =I ，AB ∴⊥平面11BCC B ，又BC ⊂Q 平面11BCC B ，AB BC ∴⊥.（2）设平面1EC F 与AB 的交点为G ，连接EG ，FG ， 平面1EC F ⋂平面ABE EG =，1//C F Q 平面ABE ，1//C F EG ∴，Q 平面1EC FG 与棱柱两底面的交线为FG ，1EC ，1//EC FG ∴，∴四边形1EC FG 是平行四边形.1FG EC ∴=，又E 是11A C 的中点，111122FG AC AC ∴==，F ∴是BC 中点， 由直棱柱中1CF =，12C F =，13CC ∴=，ABC V 的面积为2.由（1）知11222AC AC AB ===，5BE CE ∴==，BCE ∴△的面积为2.设点A 到平面BCE 的距离为d ， 由体积法得22333d =， 3d ∴=， 点A 到平面BCE 的距离为3.【点睛】该题考查的是有关立体几何的问题，涉及到的知识点有应用线面垂直证明线线垂直，利用等积法求点到平面的距离，属于简单题目.20．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，过点F ，斜率为1的直线与抛物线C交于点A ，B ，且8AB =． （1）求抛物线C 的方程；（2）过点Q （1，1）作直线交抛物线C 于不同于R （1，2）的两点D 、E ，若直线DR ，ER 分别交直线:22l y x =+于M ，N 两点，求|MN|取最小值时直线DE 的方程． 【答案】（1）24y x =；（2）20x y +-=．【解析】（1）过点F 且斜率为1的直线方程与抛物线的方程联立，利用8AB =求得p 的值，即可求得抛物线C 的方程；（2）设D （x 1，y 1），E （x 2，y 2），直线DE 的方程为(1)1,0x m y m =-+≠，直线DR 的方程为1(1)2y k x =-+，由题意求出,M N x x 得值，建立MN 的解析式，再求出MN 的最小值以及直线DE 的方程． 【详解】（1）抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为(,0)2pF ， 直线方程为：2p y x =-， 代入22(0)y px p =>中，消去y 得： 22304p x px -+=，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则有123x x p +=，由8AB =，得128x x p ++=，即38p p +=，解得2p =， 所以抛物线C 的方程为：24y x =；（2）设D （x 1，y 1），E （x 2，y 2），直线DE 的方程为(1)1,0x m y m =-+≠，如图所示，由2(1)14x m y y x=-+⎧⎨=⎩，消去x ，整理得：244(1)0y my m -+-=， ∴12124,4(1)y y m y y m +==-， 设直线DR 的方程为1(1)2y k x =-+， 由()11222y k x y x ⎧=-+⎨=+⎩，解得点M 的横坐标112M k x k =-， 又k 1=1121y x --=142y +，∴x M =112k k -=-12y ，同理点N 的横坐标22N x y =-， 1221212()4y y y y y y +--==421m m -+，∴|MN|=5|x M -x N |=5|-12y +22y |=25|2112y y y y -|=285141m m m ⋅-+-=22511m m m ⋅-+-，令1,0m t t -=≠，则1m t =+，∴|MN|=25•221t t t ++=25•211()1t t ++=25•2113()24t ++≥25•34=15， 所以当2t =-，即01x ≠时，|MN|取最小值为15， 此时直线DE 的方程为20x y +-=．【点睛】本题主要考查了抛物线线的标准方程的求解、及直线与抛物线的位置关系的应用问题,解答此类题目，通常联立直线方程与抛物线方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等． 21．已知函数ln ()(,)x af x bx a b R x-=-∈. （1）当0b =时，讨论函数()f x 的单调性； （2）若函数()()f x g x x=在x e =（e 为自然对数的底）时取得极值，且函数()g x 在(0,)e 上有两个零点，求实数b 的取值范围.【答案】（1）()f x 在1(0,)ae +上单调递增，在1(,)a e ++∞上单调递减；（2）211(,)2e e. 【解析】（1）当0b =时，求函数的导数，利用函数单调性和导数之间的关系，即可判断f （x ）的单调性；（2）函数()g x 在()0,e 上有两个零点等价于函数()(),0,g x x e ∈的图像与x 轴有两个交点，数形结合即可得到实数的取值范围. 【详解】（1）当0b =时，()ln x af x x-=， ()()221ln 1ln x x a a x x f x x x ⋅--+-=='， 令()0f x '=，得1a x e +=， 当()10,ax e+∈时，()0f x '>，当()1,ax e+∈+∞时，()0f x '<.所以函数()f x 在()10,ae +上单调递增，在()1,ae++∞上单调递减.（2）()()2ln f x x ag x b xx-==-，()()2431ln 2122ln x x a x a x x g x x x ⋅--⋅-=='+， ∵()g x 在x e =∴(0g e '=即1210a +-=，∴0a =. 所以()2ln x g x b x =-，()312ln xg x x -'=， 函数()g x 在(e 上单调递增，在),e +∞上单调递减，得函数的极大值12ge b e=-， ∴当函数()g x 在()0,e 上有两个零点时，必有()0,10,2g e b e ⎧<⎪⎨->⎪⎩得2112b e e<<. 当2112b e e <<时，210g e b e ⎛⎫=--< ⎪⎝⎭. ∴()g x 的两个零点分别在区间1e e ⎛ ⎝与),e e 中.∴的取值范围是211,2e e ⎛⎫⎪⎝⎭. 【点睛】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．22．在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为3sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（α为参数），以坐标原点为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为sin()224ρθπ+=.（1）写出1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；（2）设点P 在1C 上，点Q 在2C 上，求PQ 的最小值以及此时P 的直角坐标.【答案】（1）1C ：2213x y +=，2C ：40x y +-=；（2）min 2PQ =此时31(,)22P .【解析】试题分析：（1）1C 的普通方程为2213x y +=，2C 的直角坐标方程为40x y +-=；（2）由题意，可设点P 的直角坐标为(3,sin )αα⇒P 到2C 的距离3π()2sin()2|32d αα==+-⇒当且仅当π2π()6k k α=+∈Z 时，()d α2，此时P 的直角坐标为31(,)22.试题解析： （1）1C 的普通方程为2213x y +=，2C 的直角坐标方程为40x y +-=.（2）由题意，可设点P 的直角坐标为(3,sin )αα，因为2C 是直线，所以||PQ 的最小值即为P 到2C 的距离()d α的最小值，3π()2sin()2|32d αα==+-.当且仅当π2π()6k k α=+∈Z 时，()d α，此时P 的直角坐标为31(,)22.【考点】坐标系与参数方程.【方法点睛】参数方程与普通方程的互化：把参数方程化为普通方程，需要根据其结构特征，选取适当的消参方法，常见的消参方法有：代入消参法；加减消参法；平方和（差）消参法；乘法消参法；混合消参法等．把曲线C 的普通方程0(),F x y =化为参数方程的关键：一是适当选取参数；二是确保互化前后方程的等价性．注意方程中的参数的变化范围．23．已知函数()|2||3|()f x x a x a R =+--∈. （1）若1a =-，求不等式()10f x +>的解集；（2）已知0a >，若()32f x a +>对于任意x ∈R 恒成立，求a 的取值范围. 【答案】（1）{|1x x <-或}1x >；（2）(2,)+∞.【解析】（1）1a =-时，分类讨论，去掉绝对值，分类讨论解不等式.（2）0a >时，分类讨论去绝对值，得到()f x 解析式，由函数的单调性可得()f x 的最小值，通过恒成立问题，得到关于a 的不等式，得到a 的取值范围. 【详解】（1）因为1a =-，所以()12,2134,322,3x x f x x x x x ⎧--<⎪⎪⎪=-≤≤⎨⎪+>⎪⎪⎩， 所以不等式()10f x +>等价于12210x x ⎧<⎪⎨⎪--+>⎩或1323410x x ⎧≤≤⎪⎨⎪-+>⎩或3210x x >⎧⎨++>⎩， 解得1x <-或1x >.所以不等式()10f x +>的解集为{|1x x <-或}1x >.（2）因为0a >，所以()3,233,323,3a x a x a f x x a x x a x ⎧---<-⎪⎪⎪=+--≤≤⎨⎪++>⎪⎪⎩，根据函数的单调性可知函数()f x 的最小值为322a a f ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭， 因为()32f x a +>恒成立，所以3322aa --+>，解得2a >. 所以实数a 的取值范围是()2,+∞. 【点睛】本题考查分类讨论去绝对值，分段函数求最值，不等式恒成立问题，属于中档题.。

哈尔滨市高中2018-2019学年高三下学期第三次月考试卷数学

哈尔滨市高中2018-2019学年高三下学期第三次月考试卷数学

哈尔滨市高中2018-2019学年高三下学期第三次月考试卷数学一、选择题1． 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c，若﹣+1=0，则角B 的度数是（ ）A ．60°B ．120°C ．150°D ．60°或120°2． 已知曲线C 1：y=e x 上一点A （x 1，y 1），曲线C 2：y=1+ln （x ﹣m ）（m ＞0）上一点B （x 2，y 2），当y 1=y 2时，对于任意x 1，x 2，都有|AB|≥e 恒成立，则m 的最小值为（ ） A ．1 B．C ．e ﹣1D ．e+13． 若复数满足71i i z+=（为虚数单位），则复数的虚部为（ ） A ．1 B ．1- C ． D ．i -4． 若向量（1，0，x ）与向量（2，1，2）的夹角的余弦值为，则x 为（ ）A ．0B ．1C ．﹣1D ．25． 函数f （x ）=ax 3+bx 2+cx+d 的图象如图所示，则下列结论成立的是（ ）A ．a ＞0，b ＜0，c ＞0，d ＞0B ．a ＞0，b ＜0，c ＜0，d ＞0C ．a ＜0，b ＜0，c ＜0，d ＞0D ．a ＞0，b ＞0，c ＞0，d ＜06． 设x ，y ∈R ，且x+y=4，则5x +5y 的最小值是（ ）A ．9B ．25C ．162D ．507． 1F ，2F 分别为双曲线22221x y a b-=（a ，0b >）的左、右焦点，点P 在双曲线上，满足120PF PF ⋅=，若12PF F ∆，则该双曲线的离心率为（ ）C. 1D. 1【命题意图】本题考查双曲线的几何性质，直角三角形内切圆半径与外接圆半径的计算等基础知识，意在考查基本运算能力及推理能力．8． 已知α∈（0，π），且sin α+cos α=，则tan α=（ ） A．B．C．D．9． 函数y=（x 2﹣5x+6）的单调减区间为（ ）A．（，+∞） B ．（3，+∞）C ．（﹣∞，） D ．（﹣∞，2）班级_______________ 座号______ 姓名_______________ 分数__________________________________________________________________________________________________________________10．（）0﹣（1﹣0.5﹣2）÷的值为（ ）A ．﹣B ．C ．D ．11．下列命题正确的是（ ）A ．已知实数,a b ，则“a b >”是“22a b >”的必要不充分条件B ．“存在0x R ∈，使得2010x -<”的否定是“对任意x R ∈，均有210x ->”C ．函数131()()2xf x x =-的零点在区间11(,)32内D ．设,m n 是两条直线，,αβ是空间中两个平面，若,m n αβ⊂⊂，m n ⊥则αβ⊥12．已知在R 上可导的函数f （x ）的图象如图所示，则不等式f （x ）•f ′（x ）＜0的解集为（ ）A ．（﹣2，0）B ．（﹣∞，﹣2）∪（﹣1，0）C ．（﹣∞，﹣2）∪（0，+∞）D ．（﹣2，﹣1）∪（0，+∞）二、填空题13．命题“若a ＞0，b ＞0，则ab ＞0”的逆否命题是 （填“真命题”或“假命题”．）14．集合A={x|﹣1＜x ＜3}，B={x|x ＜1}，则A ∩B= ．15．若“x ＜a ”是“x 2﹣2x ﹣3≥0”的充分不必要条件，则a 的取值范围为 ．16．如果椭圆+=1弦被点A （1，1）平分，那么这条弦所在的直线方程是 ．17．函数()y f x =图象上不同两点()()1122,,,A x y B x y 处的切线的斜率分别是A B k k ，，规定(),A B k k A B ABϕ-=（AB 为线段AB 的长度）叫做曲线()y f x =在点A 与点B 之间的“弯曲度”，给出以下命题：①函数321y x x =-+图象上两点A 与B 的横坐标分别为1和2，则(),A B ϕ> ②存在这样的函数，图象上任意两点之间的“弯曲度”为常数； ③设点A,B 是抛物线21y x =+上不同的两点，则(),2A B ϕ≤；④设曲线xy e =（e 是自然对数的底数）上不同两点()()112212,,,,1A x y B x y x x -=且，若(),1t A B ϕ⋅<恒成立，则实数t 的取值范围是(),1-∞.其中真命题的序号为________.（将所有真命题的序号都填上）18．若x，y满足线性约束条件，则z=2x+4y的最大值为．三、解答题19．某中学为了普及法律知识，举行了一次法律知识竞赛活动．下面的茎叶图记录了男生、女生各10名学生在该次竞赛活动中的成绩（单位：分）．已知男、女生成绩的平均值相同．（1）求的值；（2）从成绩高于86分的学生中任意抽取3名学生，求恰有2名学生是女生的概率．20．设函数．（1）若x=1是f（x）的极大值点，求a的取值范围．（2）当a=0，b=﹣1时，函数F（x）=f（x）﹣λx2有唯一零点，求正数λ的值．21．已知二阶矩阵M有特征值λ1=4及属于特征值4的一个特征向量=并有特征值λ2=﹣1及属于特征值﹣1的一个特征向量=，=（Ⅰ）求矩阵M；（Ⅱ）求M5．22．求曲线y=x 3的过（1，1）的切线方程．23．（本小题满分12分）某单位共有10名员工，他们某年的收入如下表：员工编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 年薪（万元）33．5455．56．577．5850（1）求该单位员工当年年薪的平均值和中位数；（2）从该单位中任取2人，此2人中年薪收入高于5万的人数记为ξ，求ξ的分布列和期望；（3）已知员工年薪收入与工作年限成正相关关系，某员工工作第一年至第四年的年薪分别为3万元、5.4万元、6.5万元、2.7万元，预测该员工第五年的年薪为多少？附：线性回归方程a x b yˆˆˆ+=中系数计算公式分别为： 121()()()niii nii x x y y b x x ==--=-∑∑，x b y aˆˆ-=，其中x 、y 为样本均值．24．设常数λ＞0，a ＞0，函数f （x ）=﹣alnx ．（1）当a=λ时，若f （x ）最小值为0，求λ的值；（2）对任意给定的正实数λ，a ，证明：存在实数x 0，当x ＞x 0时，f （x ）＞0．25．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=1，AA1=2，E为BB1中点．（Ⅰ）证明：AC⊥D1E；（Ⅱ）求DE与平面AD1E所成角的正弦值；（Ⅲ）在棱AD上是否存在一点P，使得BP∥平面AD1E？若存在，求DP的长；若不存在，说明理由．26．已知函数f（x）=x3﹣x2+cx+d有极值．（Ⅰ）求c的取值范围；（Ⅱ）若f（x）在x=2处取得极值，且当x＜0时，f（x）＜d2+2d恒成立，求d的取值范围．哈尔滨市高中2018-2019学年高三下学期第三次月考试卷数学（参考答案）一、选择题1．【答案】A【解析】解：根据正弦定理有：=，代入已知等式得：﹣+1=0，即﹣1=，整理得：2sinAcosB﹣cosBsinC=sinBcosC，即2sinAcosB=sinBcosC+cosBsinC=sin（B+C），又∵A+B+C=180°，∴sin（B+C）=sinA，可得2sinAcosB=sinA，∵sinA≠0，∴2cosB=1，即cosB=，则B=60°．故选：A．【点评】此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键．2．【答案】C【解析】解：当y1=y2时，对于任意x1，x2，都有|AB|≥e恒成立，可得：=1+ln（x2﹣m），x2﹣x1≥e，∴0＜1+ln（x2﹣m）≤，∴．∵lnx≤x﹣1（x≥1），考虑x2﹣m≥1时．∴1+ln（x2﹣m）≤x2﹣m，令x2﹣m≤，化为m≥x﹣e x﹣e，x＞m+．令f（x）=x﹣e x﹣e，则f′（x）=1﹣e x﹣e，可得x=e时，f（x）取得最大值．∴m≥e﹣1．故选：C．3．【答案】A【解析】试题分析：42731,1i i i i i==-∴==-,因为复数满足71iiz+=,所以()1,1i ii i z iz+=-∴=-，所以复数的虚部为,故选A.考点：1、复数的基本概念；2、复数代数形式的乘除运算.4．【答案】A【解析】解：由题意=，∴1+x=，解得x=0故选A【点评】本题考查空间向量的夹角与距离求解公式，考查根据公式建立方程求解未知数，是向量中的基本题型，此类题直接考查公式的记忆与对概念的理解，正确利用概念与公式解题是此类题的特点．5． 【答案】A【解析】解：f （0）=d ＞0，排除D ， 当x →+∞时，y →+∞，∴a ＞0，排除C ，函数的导数f ′（x ）=3ax 2+2bx+c ，则f ′（x ）=0有两个不同的正实根，则x 1+x 2=﹣＞0且x 1x 2=＞0，（a ＞0），∴b ＜0，c ＞0，方法2：f ′（x ）=3ax 2+2bx+c ，由图象知当当x ＜x 1时函数递增，当x 1＜x ＜x 2时函数递减，则f ′（x ）对应的图象开口向上，则a ＞0，且x 1+x 2=﹣＞0且x 1x 2=＞0，（a ＞0），∴b ＜0，c ＞0，故选：A6． 【答案】D【解析】解：∵5x ＞0，5y＞0，又x+y=4，∴5x +5y ≥2=2=2=50．故选D ．【点评】本题考查基本不等式，关键在于在应用基本不等式时灵活应用指数运算的性质，属于基础题．7． 【答案】D【解析】∵120PF PF ⋅=，∴12PF PF ⊥，即12PF F ∆为直角三角形，∴222212124PF PF F F c +==，12||2PF PF a -=，则222221212122()4()PF PF PF PF PF PF c a ⋅=+--=-， 2222121212()()484PF PF PF PF PF PF c a +=-+⋅=-.所以12PF F ∆内切圆半径12122PF PF F F r c +-==，外接圆半径R c =.12c c =，整理，得2()4ca=+1e =，故选D. 8． 【答案】D【解析】解：将sin α+cos α=①两边平方得：（sin α+cos α）2=1+2sin αcos α=，即2sin αcos α=﹣＜0，∵0＜α＜π，∴＜α＜π，∴sin α﹣cos α＞0，∴（sin α﹣cos α）2=1﹣2sin αcos α=，即sin α﹣cos α=②，联立①②解得：sin α=，cos α=﹣，则tan α=﹣．故选：D ．9． 【答案】B【解析】解：令t=x 2﹣5x+6=（x ﹣2）（x ﹣3）＞0，可得 x ＜2，或 x ＞3，故函数y=（x 2﹣5x+6）的定义域为（﹣∞，2）∪（3，+∞）．本题即求函数t 在定义域（﹣∞，2）∪（3，+∞）上的增区间．结合二次函数的性质可得，函数t 在（﹣∞，2）∪（3，+∞）上的增区间为 （3，+∞）， 故选B ．10．【答案】D【解析】解：原式=1﹣（1﹣）÷=1﹣（1﹣）÷=1﹣（1﹣4）×=1﹣（﹣3）×=1+=． 故选：D ．【点评】本题考查了根式与分数指数幂的运算问题，解题时应细心计算，是易错题．11．【答案】C 【解析】考点：1.不等式性质；2.命题的否定；3.异面垂直；4.零点；5.充要条件．【方法点睛】本题主要考查不等式性质，命题的否定，异面垂直，零点，充要条件.充要条件的判定一般有①定义法:先分清条件和结论（分清哪个是条件,哪个是结论），然后找推导关系（判断,p q q p ⇒⇒的真假），最后下结论（根据推导关系及定义下结论）. ②等价转化法:条件和结论带有否定性词语的命题,常转化为其逆否命题来判断.12．【答案】B【解析】解：由f （x ）图象单调性可得f ′（x ）在（﹣∞，﹣1）∪（0，+∞）大于0， 在（﹣1，0）上小于0，∴f （x ）f ′（x ）＜0的解集为（﹣∞，﹣2）∪（﹣1，0）． 故选B ．二、填空题13．【答案】 真命题【解析】解：若a ＞0，b ＞0，则ab ＞0成立，即原命题为真命题，则命题的逆否命题也为真命题，故答案为：真命题．【点评】本题主要考查命题的真假判断，根据逆否命题的真假性相同是解决本题的关键．14．【答案】 {x|﹣1＜x ＜1} ．【解析】解：∵A={x|﹣1＜x ＜3}，B={x|x ＜1}， ∴A ∩B={x|﹣1＜x ＜1}， 故答案为：{x|﹣1＜x ＜1}【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础．15．【答案】 a ≤﹣1 ．【解析】解：由x 2﹣2x ﹣3≥0得x ≥3或x ≤﹣1，若“x ＜a ”是“x 2﹣2x ﹣3≥0”的充分不必要条件，则a ≤﹣1， 故答案为：a ≤﹣1．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的应用，根据条件求出不等式的等价是解决本题的关键．16．【答案】 x+4y ﹣5=0 ．【解析】解：设这条弦与椭圆+=1交于P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），由中点坐标公式知x 1+x 2=2，y 1+y 2=2，把P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2）代入x 2+4y 2=36，得， ①﹣②，得2（x 1﹣x 2）+8（y 1﹣y 2）=0，∴k==﹣，∴这条弦所在的直线的方程y ﹣1=﹣（x ﹣1），即为x+4y ﹣5=0，由（1，1）在椭圆内，则所求直线方程为x+4y ﹣5=0．故答案为：x+4y ﹣5=0．【点评】本题考查椭圆的方程的运用，运用点差法和中点坐标和直线的斜率公式是解题的关键．17．【答案】②③ 【解析】试题分析：①错：(1,1),(2,5),|||7,A B A B AB k k -=(,)A B ϕ∴=<②对：如1y =；③对；(,)2A B ϕ==≤；④错；1212(,)x x x x A B ϕ==，1211,(,)A B ϕ==>因为1(,)t A B ϕ<恒成立，故1t ≤.故答案为②③.111] 考点：1、利用导数求曲线的切线斜率；2、两点间的距离公式、最值问题、不等式恒成立问题.【方法点晴】本题通过新定义“弯曲度”对多个命题真假的判断考查利用导数求曲线的切线斜率、两点间的距离公式、最值问题、不等式恒成立问题以及及数学化归思想，属于难题.该题型往往出现在在填空题最后两题，综合性较强，同学们往往因为某一点知识掌握不牢就导致本题“全盘皆输”，解答这类问题首先不能慌乱更不能因贪快而审题不清，其次先从最有把握的命题入手，最后集中力量攻坚最不好理解的命题. 18．【答案】 38 ．【解析】解：作出不等式组对应的平面区域如图： 由z=2x+4y 得y=﹣x+，平移直线y=﹣x+，由图象可知当直线y=﹣x+经过点A 时，直线y=﹣x+的截距最大，此时z 最大，由，解得，即A （3，8），此时z=2×3+4×8=6+32=32， 故答案为：38三、解答题19．【答案】（１） 7a =；（２） 310P =． 【解析】试题分析： （１）由平均值相等很容易求得的值；（２）成绩高于86分的学生共五人，写出基本事件共10个，可得恰有两名为女生的基本事件的个数，则其比值为所求．其中恰有2名学生是女生的结果是(96,93,87)，(96,91,87)，(96,90,87)共3种情况． 所以从成绩高于86分的学生中抽取了3名学生恰有2名是女生的概率310P =．1考点：平均数；古典概型．【易错点睛】古典概型的两种破题方法：（1）树状图是进行列举的一种常用方法，适合于有顺序的问题及较复杂问题中基本事件数的探求．另外在确定基本事件时，),(y x 可以看成是有序的，如()1,2与()2,1不同；有时也可以看成是无序的，如)1,2)(2,1(相同．（2）含有“至多”、“至少”等类型的概率问题，从正面突破比较困难或者比较繁琐时，考虑其反面，即对立事件，应用)(1)(A P A P -=求解较好． 20．【答案】【解析】解：（Ⅰ）f （x ）的定义域为（0，+∞），，由f'（1）=0，得b=1﹣a ．∴．…①若a ≥0，由f'（x ）=0，得x=1．当0＜x ＜1时，f'（x ）＞0，此时f （x ）单调递增； 当x ＞1时，f'（x ）＜0，此时f （x ）单调递减． 所以x=1是f （x ）的极大值点．…②若a ＜0，由f'（x ）=0，得x=1，或x=．因为x=1是f （x ）的极大值点，所以＞1，解得﹣1＜a ＜0．综合①②：a 的取值范围是a ＞﹣1．…（Ⅱ）因为函数F （x ）=f （x ）﹣λx 2有唯一零点， 即λx 2﹣lnx ﹣x=0有唯一实数解， 设g （x ）=λx 2﹣lnx ﹣x ，则．令g'（x ）=0，2λx 2﹣x ﹣1=0．因为λ＞0，所以△=1+8λ＞0， 方程有两异号根设为x 1＜0，x 2＞0． 因为x ＞0，所以x 1应舍去．当x ∈（0，x 2）时，g'（x ）＜0，g （x ）在（0，x 2）上单调递减； 当x ∈（x 2，+∞）时，g'（x ）＞0，g （x ）在（x 2，+∞）单调递增． 当x=x 2时，g'（x 2）=0，g （x ）取最小值g （x 2）．… 因为g （x ）=0有唯一解，所以g （x 2）=0，则即因为λ＞0，所以2lnx 2+x 2﹣1=0（*） 设函数h （x ）=2lnx+x ﹣1，因为当x ＞0时， h （x ）是增函数，所以h （x ）=0至多有一解． 因为h （1）=0，所以方程（*）的解为x 2=1， 代入方程组解得λ=1．…【点评】本题考查函数的单调性、极值、零点等知识点的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．21．【答案】【解析】解：（Ⅰ）设M=则=4=，∴①又=（﹣1）=，∴②由①②可得a=1，b=2，c=3，d=2，∴M=；（Ⅱ）易知=0•+（﹣1），∴M5=（﹣1）6=．【点评】本题考查矩阵的运算法则，考查学生的计算能力，比较基础．22．【答案】【解析】解：y=x 3的导数y ′=3x 2， ①若（1，1）为切点，k=3•12=3， ∴切线l ：y ﹣1=3（x ﹣1）即3x ﹣y ﹣2=0； ②若（1，1）不是切点， 设切点P （m ，m 3），k=3m 2=，即2m 2﹣m ﹣1=0，则m=1（舍）或﹣ ∴切线l ：y ﹣1=（x ﹣1）即3x ﹣4y+1=0． 故切线方程为：3x ﹣y ﹣2=0或3x ﹣4y+1=0．【点评】本题主要考查导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点处的切线方程等基础知识，注意在某点处和过某点的切线，考查运算求解能力．属于中档题和易错题．23．【答案】【解析】（1）平均值为10万元，中位数为6万元． （2）年薪高于5万的有6人，低于或等于5万的有4人；ξ取值为0，1，2．152)0(21024===C C P ξ，158)1(2101614===C C C P ξ，31)2(21026===C C P ξ， ∴ξ的分布列为ξ 0 1 2∴()012151535E ξ=⨯+⨯+⨯=．（3）设)4,3,2,1(,=i y x i i 分别表示工作年限及相应年薪，则5,5.2==y x ，21()2.250.250.25 2.255nii x x =-=+++=∑，41()() 1.5(2)(0.5)(0.8)0.50.6 1.5 2.27iii x x y y =--=-⨯-+-⨯-+⨯+⨯=∑，121()()7 1.45()niii nii x x y y b x x ==--===-∑∑，ˆˆ5 1.42.5 1.5a y b x =-=-⨯=，由线性回归方程为 1.4 1.5y x =+．可预测该员工年后的年薪收入为8.5万元．24．【答案】【解析】（1）解：当a=λ时，函数f （x ）=﹣alnx=﹣（x ＞0）．f ′（x ）=﹣=，∵λ＞0，x ＞0，∴4x 2+9λx+3λ2＞0，4x （λ+x ）2＞0．∴当x ＞λ时，f ′（x ）＞0，此时函数f （x ）单调递增；当0＜x ＜λ时，f ′（x ）＜0，此时函数f （x ）单调递减． ∴当x=λ时，函数f （x ）取得极小值，即最小值， ∴f （（λ）==0，解得λ=．（2）证明：函数f （x ）=﹣alnx=﹣alnx=x ﹣﹣alnx ＞x ﹣λ﹣alnx ．令u （x ）=x ﹣λ﹣alnx ． u ′（x ）=1﹣=，可知：当x ＞a 时，u ′（x ）＞0，函数u （x ）单调递增，x →+∞，u （x ）→+∞．一定存在x 0＞0，使得当x ＞x 0时，u （x 0）＞0，∴存在实数x 0，当x ＞x 0时，f （x ）＞u （x ）＞u （x 0）＞0．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、分类讨论方法、恒成立问题的等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．25．【答案】【解析】（Ⅰ）证明：连接BD∵ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1是长方体，∴D 1D ⊥平面ABCD ， 又AC ⊂平面ABCD ，∴D 1D ⊥AC …1分 在长方形ABCD 中，AB=BC ，∴BD ⊥AC …2分又BD∩D1D=D，∴AC⊥平面BB1D1D，…3分而D1E⊂平面BB1D1D，∴AC⊥D1E…4分（Ⅱ）解：如图建立空间直角坐标系Dxyz，则A（1，0，0），D1（0，0，2），E（1，1，1），B（1，1，0），∴…5分设平面AD1E的法向量为，则，即令z=1，则…7分∴…8分∴DE与平面AD1E所成角的正弦值为…9分（Ⅲ）解：假设在棱AD上存在一点P，使得BP∥平面AD1E．设P的坐标为（t，0，0）（0≤t≤1），则∵BP∥平面AD1E∴，即，∴2（t﹣1）+1=0，解得，…12分∴在棱AD上存在一点P，使得BP∥平面AD1E，此时DP的长．…13分．26．【答案】【解析】解（Ⅰ）∵f（x）=x3﹣x2+cx+d，∴f′（x）=x2﹣x+c，要使f（x）有极值，则方程f′（x）=x2﹣x+c=0有两个实数解，从而△=1﹣4c＞0，∴c＜．（Ⅱ）∵f（x）在x=2处取得极值，∴f′（2）=4﹣2+c=0，∴c=﹣2．∴f（x）=x3﹣x2﹣2x+d，∵f′（x）=x2﹣x﹣2=（x﹣2）（x+1），∴当x∈（﹣∞，﹣1]时，f′（x）＞0，函数单调递增，当x∈（﹣1，2]时，f′（x）＜0，函数单调递减．∴x＜0时，f（x）在x=﹣1处取得最大值，∵x＜0时，f（x）＜恒成立，∴＜，即（d+7）（d﹣1）＞0，∴d＜﹣7或d＞1，即d的取值范围是（﹣∞，﹣7）∪（1，+∞）．【点评】本题考查的知识点是函数在某点取得极值的条件，导数在最大值，最小值问题中的应用，其中根据已知中函数的解析式，求出函数的导函数的解析式，是解答本题的关键．。

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哈师大附中2019届高三第三次月考
数学（文）试题
考试时间：120分钟 满分：150分
第Ⅰ卷 （选择题 共60分）
一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正
确的） 1．已知全集U R =，集合{|lg 0}A x x =≤，{|21}x B x =≤，则∁U （A ∪B ）＝ （ B ）
A ．（－∞，1）
B ．（1，＋∞）
C ．（－∞，1]
D ．[1，＋∞）
2．cos 600︒的值为 （C ）
A
．
2 B ．
1
2
C ．1
2-
D
．2
-
3
．已知sin(
)2
π
ϕϕπ+=
<<，则tan ϕ=
（ A ）
A
B
．-
C
． D
4．设0.311
3
2
11
log 2,log ,()32
a b c ===，则
（ B ）
A ．a ＜b ＜c
B ．a ＜c ＜b
C ．b ＜c ＜a
D ．b ＜a ＜c 5．等差数列{}n a 中，31a =-，1479a a a ++=，则75S S -= （ C ）
A ．16
B ．21
C ．26
D ．31 6．若数列{}n a 满足112,1n n n a a a a +==-，则2013a 的值为
（ C ）
A ．2
B ．
1
2 C ．1- D ．1 7．已知a 是函数12
()2log x
f x x =-的零点，若0<x 0<a ，则有
（ B ）
A ．f （x 0）＝0
B ．f （x 0）<0
C ．f （x 0）>0
D ．f （x 0）的符号不确定 8．在ABC ∆中，cos cos a b
B A
=，则ABC ∆一定是
（ D ）
A ．等腰三角形
B ．直角三角形
C ．等腰直角三角形
D ．等腰三角形或直角三角形
9． 已知x >0、y >0，x 、a 、b 、y 成等差数列，x 、c 、d 、y 成等比数列，则
a ＋b
2
cd
的最小值是（ D ）
A ．0
B ．1
C ．2
D ．4
10．函数y ＝cos （ωx ＋φ）（ω>0,0<φ<π）为奇函数，该函数的部分图象如右图所示， A 、B 分别为最
高与最低点，并且两点间的距离AB ＝22，则该函数的一条对称轴为 （ C ）
A ．x ＝2
π
B ．x ＝π
2
C ．x ＝1
D ．x ＝2
11．在△ABC 中，sin A cos A ＝2cos C ＋cos A
2sin C －sin A 是角A 、B 、C 成等差数列
（ A ）
A ．充分非必要条件
B ．充要条件
C ．必要非充分条件
D ．既不充分也不必要条件
12．已知函数1
()(*)n f x x n N +=∈的图象与直线1x =交于点P ，若图象在点P 处的切线与x 轴交点
的横坐标为n x ，则log 2019x 1＋log 2019x 2＋…＋log 2019x 2019的值为 （ B ）
A ．1－log 20132019
B ．－1
C ．-log 20192019
D ．1
第Ⅱ卷 （非选择题 共90分）
二、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分） 13． 若3sin()45π
θ-=-，则sin 2θ= ．7
25
14．设α∈（4π,
43π）, β∈（0,4π）, cos （α-4π）=35,sin （43π+ β）=513
, 则sin （α + β）= ．
5665
15．若函数2
()2ln f x x x =-在其定义域内的一个子区间(1,1)k k -+内不是单调函数，则实数k 的
取值范围是________．3
[1,)2
16． 给出下列命题：
①函数)22
5sin(
x y -=π
是偶函数； ②函数)4
sin(π
+
=x y 在闭区间]2
,2[π
π-
上是增函数；
③直线8
π
=
x 是函数)4
52sin(π
+
=x y 图象的一条对称轴； ④将函数)3
2cos(π
-
=x y 的图象向左平移
3
π
单位，得到函数x y 2cos =的图象； 其中正确的命题的序号是 ．①③
三、解答题：（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17． （本题满分12分）各项均为正数的等比数列{}n a 中，1231,6a a a =+=．
（1）求数列{}n a 通项公式；（2）若等差数列{}n b 满足1244,b a b a ==，求数列{}n n a b 的前n 项和n S ．
18．（本题满分12分）已知向量m ＝（sin ωx ＋cos ωx ，3cos ωx ），n ＝（cos ωx －sin ωx,2sin ωx ），其
中ω>0，函数f （x ）＝m ·n ，若f （x ）相邻两对称轴间的距离为π
2．
（1）求ω的值，并求f （x ）的最大值及相应x 的集合；
（2）在△ABC 中，a 、b 、c 分别是A 、B 、C 所对的边，△ABC 的面积S ＝53，b ＝4，f （A ）＝1，求a ．
19．（本题满分12分）数列{}n a 前n 项和为n S ，114,224n n a a S n +==-+．
（1）求证：数列{}1n a -为等比数列；
（2）设1
1
n n n n a b a a +-=
，数列{}n b 前n 项和为n T ，求证：81n T <．
20．（本题满
分12分）抛物线)0(22
>=p px y 上任一点Q 到其内一点(3,1)P 及焦点F 的距离之和的最小值为4．
（1）求抛物线的方程；
（2）设动直线b kx y +=与抛物线交于),(),,(2211y x B y x A 两点，且12y y -的值为定值
(0a a >），过弦AB 的中点M 作平行于抛物线的轴的直线交抛物线于点D ，求ABD ∆的面积．
解：（1）由抛物线定义，||||34,2,2
p
QF QP p +≥+
=∴= 2分 ∴抛物线的方程为24y x = 4分
（2）由24y x y kx b ⎧=⎨=+⎩
得2
44b y y k k -+＝0，121244,b y y y y k k ∴+==
222212
(
,),(,)kb M D k k k k -∴ 6分 122111||||22ABD kb
S DM y y a k ∆-∴=-=⋅⋅ 8分
12||y y a -=
=， 10分 23121632
ABD
a a S a ∆∴=⋅⋅= 12分 21．（本题满分12分）已知函数1ln )(+-=px x x f ()p R ∈．
（1）1p =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程； （2）求函数()f x 的极值；
（3）若对任意的0>x ，恒有22()f x p x ≤，求实数p 的取值范围．
()g x ∴的最大值为11()ln(2)0,24g p p p =-+≤∴≥ 10分
当0p <时，210,px -<1(0,)p -上'()0,()g x g x >单调递增；1
(,)p
-+∞上'()0,()g x g x <单调递减
()g x ∴的最大值为1
(
)ln()10,g p p e p
-=--+≤∴≤- 故，p 的取值范围是4
(,][
,)e
e -∞-+∞
12分 请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多选，则按所做的第一题计分．做答时请写清题号
23．（本
题满分10分）选修44:-坐标系与参数方程 极坐标系中，已知圆心C (3,
)6
π
，半径r=1．（1）求圆的极坐标方程；（2）若直线
为参数）t t
y t x (2123
1⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧=+-=与圆交于B A ,两点，求AB 的中点M 与点P （-1，0）的距离． 解：（1）由已知得圆心)6sin 3,6cos 3(ππC ，半径1，圆的方程为1)23
(23322
=-+⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-y x 2分
即0833322=+--+y x y x 所以极坐标方程为08sin 3cos 332=+--θρθρρ
5分
（1） 把直线方程代入圆方程得26)90,30t t -++=∆=> 7
分 设21,t t 是方程两根 126)t t ∴+=-
所以1232t t PC +=
=+
10分。

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