一次函数一对一辅导复习讲义

y
x
y
x
y
x
教学目标
1．进一步掌握一次函数和正比例函数的图象和性质，并能灵活解题。

2、根据不同的条件，会求一次函数的解析式。

3、学会利用一次函数的图象和性质解决实际问题。

重点、难点
使学生进一步理解一次函数的概念，会熟练地运用待定系数法求一次函数的
解析式。

考点及考试要求
考点1：确定自变量的取值范围 考点2：函数图象
考点3：图象与坐标轴围成的面积问题 考点4：求一次函数的表达式，确定函数值 考点5：利用一次函数解决实际问题
教 学 内 容
第一课时 一次函数知识回顾
一、知识回顾
知识点1、一次函数的图像
1、 一次函数y kx b =+的图像是经过点 点 的___________．
2、 截距与斜率：直线y kx b =+（k ≠0）
①b 是与y 轴的交点的纵坐标叫做这条直线在y 轴上的截距，简称直线的截距．
① 由于k 的值的不同，直线相对于x 轴正方向的倾斜程度也不同，常数k 称为直线的斜率． 3、 两条直线的平行：
① 如果直线y = k 1x + b 1（k 1≠0）与直线y = k 2x + b 2（k 2≠0）平行，那么k 1 = k 1、b 1≠ b 2． ② 如果k 1 = k 1、b 1≠ b 2，那么直线y = k 1x + b 1（k 1≠0）与直线y = k 2x + b 2（k 2≠0）平行．
③ 直线y kx b =+（k ≠0，b ＞0）可以看成是由直线y kx =向上平移b 个单位得到． 4、两条直线垂直：若11y k x b =+与22y k x b =+垂直，则k 1·k 2=－1，反之亦然
知识点2、一次函数的性质
k 0、b 0； k 0、b 0； k 0、b 0；
y 随x 增大而 ； y 随x 增大而 ； y 随x 增大而 ；
y
x
y x
y x
k 0、b 0； k 0、b 0； k 0、b 0； y 随x 增大而 ； y 随x 增大而 y 随x 增大而 ．
知识点3、求图像的交点坐标
⑴一次函数y kx b =+与x 轴的交点：令y=0, 求出 x ＝k b － 所以交点为(k
b
－,0)
⑵一次函数y kx b =+与y 轴的交点：令x=0, 求出 y ＝－b 所以交点为(0,b)
⑶一次函数y kx b =+与其他图像的交点，把它们的解析式联立起来构成方程组，有多少个解就 有多少个交点。

课前热身：
1、直线34y x =-+经过第 象限；y 随x 的增大而 ； 它与x 轴的交点是 ；与y 轴的交点是 ．
2、已知直线y kx b =+平行于直线1
3
y x =，且过点（3，0），则这条直线的解析式是 3、把直线1
42
y x =
-向左平移2个单位，得到直线 ． 二、 例题辨析
例1、若直线y=3x-1与y=x-k 的交点在第四象限，则k 的取值范围是（ ）．
（A ）k<13 （B ）13<k<1 （C ）k>1 （D ）k>1或k<13
答案：B
变式练习：1、已知直线42y x =-与直线3y m x =-的交点在第三象限内，则m 的取值范
围是 .
2、已知函数y ＝－x ＋m 与y ＝mx －4的图象交点在x 轴的负半轴上，那么m 的值为( )
A ．±2
B ．±4
C ．2
D ．－2
例2、在直角坐标系中，已知A （1，1），在x 轴上确定点P ，使△AOP 为等腰三角形，则符
合条件的点P 的坐标是_________________
答案：P1（1，0）、P2（2，0）、P3（2-，0）、P4（2，0）
变式练习：在直角坐标系中，已知B （2，2），在y 轴上确定点A ，使△AOB 为等腰三角形，
则符合条件的点A 的坐标是_________________
例 3. 一次函数b kx y +=的自变量x 的取值范围是63≤≤-x ，相应函数值的取值范围是
25-≤≤-y ，则这个函数的解析式为 ．
分析：这个题并不难，只是学生很容易忽视一个答案，只是把x=-3,y=-5和x=6,y=-2代入解析
式得到出一个答案，殊不知还可以把x=-3,y=-2和x=6,y=-5
变式练习：若一次函数y=kx+b ，当-3≤x ≤1时，对应的y 值为1≤y ≤9，•则一次函数的
解析式为________．
例4、下图图象中，不可能是关于x 的一次函数y=mx-（m-3）的图象的是（ ）
【答案】C
变式练习：1、关于x 的一次函数y=kx+k 2+1的图象可能是正确的是（ ）
2、下面图象中，关于x 的一次函数y ＝－mx －(m －3)的图象可能是( )
3．图中表示一次函数y mx n =+与正比例函数y mnx =（m 、n 是常数，0mn ≠）图象的是（ ）
三、 归纳总结
归纳1. 一次函数图像的识别
K 决定升降，b 决定截距，多个函数图像注意k 、b 的统一性。

归纳2.求点的坐标
⑴通过解析式求点的坐标 ⑵通过方程组求点的坐标 ⑶通过几何图形求点的坐标
归纳3. 求一次函数的解析式
(1) 由实际问题列出二元方程，再转化为函数解析式 (2) 用待定系数法求函数解析式，考虑问题要全面。

第二课时 一次函数知识拓展
考点1 确定自变量的取值范围
确定函数解析式中的自变量的取值范围，只需保证其函数有意义即可．
例1（盐城市）函数y ＝1
1
x -中，自变量x 的取值范围是 ．
分析 由于函数的表达式是分式型的，因此必需保证分母不等于0即可．
解 要使函数y ＝1
1
x -有意义，只需分母x －1≠0，即x ≠1．
考点2 函数图象
把一个函数的自变量x 与对应因变量y 的值分别作为点的横坐标和纵坐标，在直角坐标系内描
y
x
O
A
y
x
O
B y
x
O C
y
x
O
D
出它的对应点，所有这些点组成的图形叫做函数函数图象．
例2（泉州市）小明所在学校离家距离为2千米，某天他放学后骑自行车回家，行驶了5分钟后，因故停留10分钟，继续骑了5分钟到家．如图1中，哪一个图象能大致描述他回家过程中离家的距．．．．离．s (千米)与所用时间t （分）之间的关系（ ）
分析 依据题意，并观察分析每一个图象的特点，即可作出判断．
解 依题意小明所在学校离家距离为2千米，先行驶了5分钟后，因故停留10分钟，继续骑了5分钟到家，即能大致描述他回家过程中离家的距离s (千米)与所用时间t （分）之间的关系只有D 图符合，故应选D ．
考点3 图象与坐标轴围成的面积问题
对于一次函数y ＝kx +b 与坐标轴的两个交点坐标分别是（0，b ）和（－
k
b
，0），由此与坐标轴围成的三角形的面积为12b b k -⋅＝122
b k
．
例3（日照市）已知直线y ＝mx －1上有一点B （1，n ），它到原点的距离是10，则此直线与两坐标轴围成的三角形的面积为（ ）
A ．12
B ．14或12
C ．14或1
8 D ．18或12
分析 若能利用直线y ＝mx －1上有一点B （1，n ），它到原点的距离是10求出n ，则可以进一步求出了m ，从而可以求出直线与两坐标轴围成的三角形的面积．
解 因为点B （1，n ）到原点的距离是10，所以有12+ n 2＝10，即n ＝±3，则点B 的坐标为（1，3）或（1，－3）．
分别代入y ＝mx －1，得m ＝4，或m ＝－2．所以直线的表达式为y ＝4x －1或y ＝－2x －1，即易
求得直线与坐标轴围成的三角形的面积为14或1
8
．故应选C ．
考点4 求一次函数的表达式，确定函数值
要确定一次函数的解析式，只需找到满足k 、b 的两个条件即可．一般地，根据条件列出关于k 、b 的二元一次方程组，解出k 与b 的值，从而就确定了一次函数的解析式．另外，对于实际问题可妨照列方程解应用题那样，但应注意自变量的取值范围应受实际条件的制约．
例4（衡阳市）为了鼓励市民节约用水，自来水公司特制定了新的用水收费标准，每月用水量，x (吨)与应付水费(元)的函数关系如图2．
（1）求出当月用水量不超过5吨时，y 与x 之间的函数关系式； （2）某居民某月用水量为8吨，求应付的水费是多少?
图1
分析 观察函数图象我们可以发现是一条分段图象，因此只要分0≤x ≤5和x ≥5求解．
解（1）由图象可知：当0≤x ≤5时是一段正比例函数，设y ＝kx ，由x ＝5时，y ＝5，得5＝5k ，即k ＝1．所以0≤x ≤5时，y ＝x ．
（2）当x ≥5时可以看成是一条直线，设y ＝k 1x + b 由图象可知1155,12.510.k b k b =+⎧⎨=+⎩解得1 1.5,
2.5.k b =⎧⎨=-⎩所
以当x ≥5时，y ＝1．5x －2．5；当x ＝8时，y ＝1．5×8－2．5＝9．5(元)．
考点5 利用一次函数解决实际问题
利用一次函数解决实际问题可妨照列方程解应用题那样，但应注意自变量的取值范围应受实际
条件的制约．
例7（南通市）某中学九年级甲、乙两班商定举行一次远足活动，、两地相距10千米，甲班从地出发匀速步行到地，乙班从地出发匀速步行到地.两班同时出发，相向而行.设步行时间为小时，甲、乙两班离地的距离分别为千米、
千米，
、
与的函数关系图象如图所示，根
据图象解答下列问题
（1）直接写出、与的函数关系式；
（2）求甲、乙两班学生出发后，几小时相遇？相遇时乙班离地多少千米？ （3）甲、乙两班首次相距4千米时所用时间是多少小时?
【答案】解：（1）y1=4x （0≤x ≤2.5）,y2=-5x+10（0≤x ≤2）
（2）根据题意可知：两班相遇时，甲乙离A 地的距离相等，即y1=y2，由此可得一元一次方程 -5x+10=4x, 解这个方程，得x=
（小时）。

当x=时，y2=--5×+10=（千米）. （3）根据题意，得y2 -y1=4. 即-5x+10-4x=4. 解这个方程，得x=
（小时）。

答：甲乙两班首次相距4千米所用时间是
小时。

第三课时 一次函数巩固练习
1．设b>a，将一次函数y=bx+a与y=ax+b的图象画在同一平面直角坐标系内，•则有一组a，b的取值，使得下列4个图中的一个为正确的是（）
2．若直线y=kx+b经过一、二、四象限，则直线y=bx+k不经过第（）象限．（A）一（B）二（C）三（D）四
3．一次函数y=kx+2经过点（1，1），那么这个一次函数（）
（A）y随x的增大而增大（B）y随x的增大而减小
（C）图像经过原点（D）图像不经过第二象限
4．一次函数y=ax+b（a为整数）的图象过点（98，19），交x轴于（p，0），交y轴于（•0，q），若p为质数，q为正整数，那么满足条件的一次函数的个数为（）
（A）0 （B）1 （C）2 （D）无数
5．（2005年全国初中数学联赛初赛试题）在直角坐标系中，横坐标都是整数的点称为整点，设k 为整数，当直线y=x-3与y=kx+k的交点为整点时，k的值可以取（）
（A）2个（B）4个（C）6个（D）8个
6．某一次函数的图像经过点（-1，2），且函数y的值随x的增大而减小，请你写出一个符合上述条件的函数关系式：_________．
7．已知直线y=-2x+m不经过第三象限，则m的取值范围是_________．
8．函数y=-3x+2的图像上存在点P，使得P•到x•轴的距离等于3，•则点P•的坐标为__________． 9．过点P（8，2）且与直线y=x+1平行的一次函数解析式为_________．
10．y=2
3
x与y=-2x+3的图像的交点在第_________象限．
11．某公司规定一个退休职工每年可获得一份退休金，•金额与他工作的年数的算术平方根成正比例，如果他多工作a年，他的退休金比原有的多p元，如果他多工作b年（b≠a），他的退休金比原来的多q元，那么他每年的退休金是（以a、b、p、•q•）表示______元．
12．已知y=p+z，这里p是一个常数，z与x成正比例，且x=2时，y=1；x=3时，y=-1．（1）写出y与x之间的函数关系式；
（2）如果x的取值范围是1≤x≤4，求y的取值范围．
13．小明同学骑自行车去郊外春游，下图表示他离家的距离y（千米）与所用的时间x（小时）之间关系的函数图象．（1）根据图象回答：小明到达离家最远的地方需几小时？此时离家多远？（2）求小明出发两个半小时离家多远？（3）•求小明出发多长时间距家12千米？
14．已知一次函数的图象，交x轴于A（-6，0），交正比例函数的图象于点B，且点B•在第三象限，它的横坐标为-2，△AOB的面积为6平方单位，•求正比例函数和一次函数的解析式．。