高中数学苏教版必修4学业分层测评 1.3.3.1 函数y=Asin(ωx+φ)的图象

学业分层测评(十一) 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、填空题
1．函数y ＝cos x 图象上各点的纵坐标不变，把横坐标变为原来的2倍，得到图象的解析式为y ＝cos ωx ，则ω的值为________．
【解析】 y ＝cos x ―――――――――→
横坐标变为原来的2倍y ＝cos 12x .
【答案】 1
2
2．将y ＝cos 2x 的图象向右平移π
3个单位，得到的图象对应的解析式为________．
【解析】 y ＝cos 2x →y ＝cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＝cos ⎝ ⎛
⎭⎪⎫2x －2π3.
【答案】 y ＝cos ⎝ ⎛
⎭
⎪⎫2x －2π3
3．将函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫
x －π3向右平移________个单位长度得到y ＝sin x 的图象．
【解析】 y ＝sin x ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＝cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
x －π2，
y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3的图象变换为y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫
x －π2的图象应向右平移π6个单位．
【答案】 π6
4．将函数y ＝sin 2x 的图象向左平移π
4个单位，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式是________．
【解析】 y ＝sin 2x
y ＝sin 2⎝ ⎛⎭
⎪⎫
x ＋π4
＝sin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫2x ＋π2＝cos 2x ―――→向上平移1个单位
y ＝cos 2x ＋1.
【答案】 y ＝cos 2x ＋1 5．某同学给出了以下论断：
①将y ＝cos x 的图象向右平移π
2个单位，得到y ＝sin x 的图象； ②将y ＝sin x 的图象向右平移2个单位，可得到y ＝sin(x ＋2)的图象； ③将y ＝sin(－x )的图象向左平移2个单位，得到y ＝sin(－x －2)的图象； ④函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象是由y ＝sin 2x 的图象向左平移π3个单位而得到的．
其中正确的结论是________(将所有正确结论的序号都填上)． 【解析】 由图象平移变换可知①③正确． 【答案】 ①③
6．用“五点法”画函数y ＝2sin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫ωx ＋π3(ω＞0)在一个周期内的简图时，五
个关键点是⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0，⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，2，⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0，⎝ ⎛⎭⎪⎫712π，－2，⎝ ⎛⎭
⎪⎫
5π6，0，则ω＝________.
【解析】 周期T ＝5π6－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝π，∴2π
ω＝π，ω＝2.
【答案】 2
7．函数y ＝3sin ⎝ ⎛
⎭
⎪⎫－x ＋π6的相位和初相分别是________．
【解析】 y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－x ＋π6化为y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫
x ＋5π6，相位x ＋5π6，初相5π6.
【答案】 x ＋5π6，5π
6
8．(2016·南京高一检测)设ω>0，函数y ＝sin ωx ＋π3＋2的图象向右平移4
3π个单位后与原图象重合，则ω的最小值为________．
【解析】 由题意知4π
3是函数周期的整数倍，又ω>0， ∴2πω·k ＝43π，∴ω＝32k (k ∈Z )， ∴ω的最小值为32.
【答案】 3
2 二、解答题
9．用“五点法”画函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，x ∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
－π6，5π6的图象.
【导学号：06460032】
【解】 ①列表：
2x ＋π
3 0 π2 π 3π2 2π x －π
6 π12 π3 7π12 5π6 3sin ⎝ ⎛
⎭
⎪⎫2x ＋π3
3
－3
⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0，⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，3，⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0，⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12，－3，⎝ ⎛⎭
⎪⎫5π6，0. ③连线：用光滑曲线将所描五个点顺次连接起来，得函数y ＝3sin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫2x ＋π3，x ∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
－π6，5π6的简图，如图所示．
10．已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫
π3－2x (x ∈R )．
(1)求f (x )的单调减区间．
(2)经过怎样的图象变换使f (x )的图象关于y 轴对称？(仅叙述一种方案即可) 【解】 (1)由已知函数化为y ＝－sin ⎝ ⎛
⎭
⎪⎫2x －π3. 欲求函数的单调递减区间，只需求y ＝sin2x －π
3的单调递增区间． 由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π
2(k ∈Z )， 解得k π－π12≤x ≤k π＋5
12π(k ∈Z )，
∴原函数的单调减区间为⎣⎢⎡
⎦⎥⎤k π－π12，k π＋512π(k ∈Z )．
(2)f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫
π3
－2x ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＝cos 2⎝ ⎛
⎭
⎪⎫x ＋π12.
∵y ＝cos 2x 是偶函数，图象关于y 轴对称， ∴只需把y ＝f (x )的图象向右平移π
12个单位长度即可．
[能力提升]
1．将函数f (x )的图象向右平移π
3个单位长度后，再向上平移1个单位长度得函数y ＝2sin ⎝ ⎛
⎭
⎪⎫4x －π4的图象，则f (x )＝________.
【解析】 将y ＝2sin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫4x －π4的图象向左平移π3个单位长度，得函数y ＝
2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤
4⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋π3－π4＝2sin4x ＋13π12的图象，再向下平移一个单位长度，得函数y ＝2sin ⎝ ⎛
⎭
⎪⎫4x ＋13π12－1的图象，即f (x )＝2sin4x ＋13π12－1.
【答案】 2sin ⎝ ⎛
⎭
⎪⎫4x ＋13π12－1
2．某同学用“五点法”画函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)在一个周期内简图时，列表如下：
则A ＝【解析】 由表格得A ＝2，34π－π12＝2π
ω， ∴ω＝3，∴ωx ＋φ＝3x ＋φ.
当x ＝π12时，3x ＋φ＝π4＋φ＝0，∴φ＝－π4.
【答案】 2 3 －π
4
3．要得到函数y ＝2cos x 的图象，只需将函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4图象上的所有点的________．
①横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，再向左平行移动π
8个单位长度； ②横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，再向左平行移动π
4个单位长度； ③横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平行移动π
4个单位长度； ④横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向右平行移动π
8个单位长度． 【解析】 y ＝2cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫
x ＋π2.
法一：y ＝2sin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫2x ＋π4＝2sin 2(x ＋π8)y ＝2sin 2⎝ ⎛⎭
⎪⎫
x ＋π2――――→横坐标缩短为原来的1
2
y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2. 法二：y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4―――――→横坐标缩短为原来的1
2y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4y ＝2
sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫
x ＋π2.
【答案】 ②
4．已知f (x )＝2sin 2x ，将函数y ＝f (x )的图象向左平移π
6个单位，再向上平移1个单位，得到函数y ＝g (x )的图象，区间[a ，b ](a ，b ∈R 且a ＜b )满足：y ＝g (x )在[a ，b ]上至少含有30个零点，在所有满足上述条件的[a ，b ]中，求b －a 的最小值．
【解】 f (x )＝2sin 2x ，
g (x )＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋1＝2sin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫2x ＋π3＋1.
g (x )＝0⇒sin ⎝ ⎛
⎭
⎪⎫2x ＋π3＝－12⇒
x＝kπ－π
4或x＝kπ－
7
12π，k∈Z，
即g(x)的零点相离间隔依次为π
3和
2π
3，
故若y＝g(x)在[a，b]上至少含有30个零点，则b－a的最小值为14×2π3＋
15×π
3＝
43π
3.。