高中数学选修1-1北师大版 导数在实际问题中的应用教案2
北师版高中同步学考数学选修1-1精品课件 第四章 §2 导数在实际问题中的应用
∴L(x)在[20,50)上是增加的,在(50,80]上是减少的,
∴当 x=50 时,L(x)max=1 000ln 50-250;
当 x∈(80,100]时,L(x)=1 000ln x-
20 000
是增加的,
∴L(x)max=L(100)=1 000ln 100-2 000.
∵1 000ln 50-250-(1 000ln 100-2 000)=1 750-1 000ln 2>1 750-1
2
<
1
<
10-
,
-3 < < 1,
< 1 < 10- ,
即 1 3
解得
2
() ≥ (1),
- ≥ - ,
≥ -2,
3
3
所以-2≤a<1,所以实数 a 的取值范围为[-2,1).
2
-18-
§2导数在实际问题中的应用
探究一
探究二
探究三
首页
自主预习
探究学习
当堂检测
思维辨析
反思感悟注意函数在闭区间与开区间上最值的区别,当函数在开
(1)把全程运输成本y(元)表示为速度x(海里/时)的函数;
(2)为了使全程运输成本最小,轮船应以多大速度航行?
分析(1)写出函数解析式时要注意函数的定义域;(2)利用导数求
最值,注意函数定义域的限制.
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§2导数在实际问题中的应用
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思维辨析
500
480 000
区间或无穷区间上存在最值时,最值点不是在区间的端点,而在极
4.2导数在实际问题中的应用 课件(北师大版选修1-1)
一、物体的比热
设有单位质量的物体从 0oC 加热到 ToC 所吸收的 热量 Q 是温度 T 的函数：Q=Q(T).给温度 T 以增 量 T，则可求得物体在 T 这段温度内的平均比 热为
c Q Q (T T )Q (T ) , T T Q Q(T ) T 0 T
C C(q) 100 6q 0.4q 2 0.02q 3 ，
间的函数关系(即总成本函数)为 试问当生产水平为 q 10 (万件)时，从降低成本角度看，继续 提高产量是否合适？ 解 当 q 10 时的总成本为
C(10) 100 6 10 0.4 102 0.02103 140 （万元)，
25 Q(t ) 20sin t 现设通过截面的电量 ，则通 2 （C）
过该截面的电流为
25 25 25 I (t ) 20sin t 20 cos t 2 2
25 cos t 2 ． 500
（3）边际利润 设总利润函数为 L L(q) ， L 表示总利润， q 表示 销售量，则 L (q ) 称为销售量为 q 个单位时的边际利 润．边际利润的经济意义是：销售量达到 q 个单位的时 候，再增加一个单位的销量，相应的总利润增加 L (q) 个 单位．
例 4.5.3
某种产品的总成本 C (万元)与产量 q (万件)之
例 4.5.4
设生产 q 件某产品的总成本函数为：
C(q) 1500 34q 0.3q 2
如果该产品销售单价为： p 280元／件，求 （1）该产品的总利润函数 L(q ) ； （2）该产品的边际利润函数以及销量为 q 420 个 单位时的边际利润，并对此结论作出经济意义的解释． （3）销售量为何值时利润最大？
高中数学选修1-1北师大版 实际问题中导数的意义 课件(27张)
重点：导数实际意义的应用． 难点：实际问题与导数概念及导数运算的结合问题.
实际问题中导数的意义 自变量x ________ 原函数 f(x) 路程 导函数 f′(x) 速度
长度 时间 时间 产量
质量 功 降雨量 生产成本
________ ________ ________ ________
[练一练] 1．若一物体运动的路程s与时间t之间的关系为s＝s(t)，当s′(t)＝0
时，则(
)
B．物体做匀减速运动 D．物体处于静止状态
A．物体做匀加速运动 C．物体做变速运动
2．某收音机制造厂管理者通过对上午班工人工作效率的研究表明：
一个中等技术水平的工人，从8 ：00开始工作，t小时后可装配晶体管 收音机的台数为 Q(t) ＝－ t3 ＋ 9t2 ＋ 12t ，则 Q′(2) ＝ ________ ，它的实际
[解析] (1)当 t 从 1 变到 2 时，电荷量从 Q(1)变到 Q(2)，此时电荷 Q2－Q1 3×22－ln 2－3×12－ln 1 量关于时间 t 的平均变化率为 ＝ 1 2－1 ≈8.31，它表示从 t＝1 s 到 t＝2 s 这段时间内，平均每秒经过该电路的电 量为 8.31 C，也就是这段时间内电路的平均电流为 8.31 A. 1 (2)Q′(t)＝6t－ t ，Q′(2)＝11.5，它的实际意义是，在 t＝2 s 这一时 刻，每秒经过该电路的电量为 11.5 C，也就是这一时刻内电路的电流为 11.5 A.
弄清平均变化率及导数的实际意义，记准基本初等函数的导数公 式以及导数的运算法则是解决该类问题的关键．
1．某质点的运动方程为s＝s(t)＝2t2＋3t，其中s是位移(单位：m)， t是时间(单位：s)．
高中数学(北师大版)选修1-1教案：第3章 导数应用 参考教案
复习总结：导数应用1．了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度，加速度，光滑曲线切线的斜率等）；掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导函数的概念.2. 熟记八个基本导数公式(c,m x (m 为有理数)，x x a e x x a xx log ,ln ,,,cos ,sin的导数)；掌握两个函数和、差、积、商的求导法则，了解复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数.3．理解可导函数的单调性与其导数的关系；了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件(导数在极值点两侧异号)；会求一些实际问题(一般指单峰函数)的最大值和最小值． 导数导数的概念导数的求法和、差、积、商、复合函数的导数导数的应用函数的单调性函数的极值函数的最值主要涉及函数单调性、极大（小）值，以及最大（小）值等，遇到有关问题要能自觉地运用导数. 例1．求函数y=12+x 在x 0到x 0+Δx之间的平均变化率.解 ∵Δy=11)(11)(11)(2202020220+++∆+--+∆+=+-+∆+x x x x x x x x x.11)(2,11)()(220200202020+++∆+∆+=∆∆∴+++∆+∆+∆=x x x xx x y x x x x x x变式训练1. 求y=x在x=x 0处的导数解)())((limlim lim00000000000x x x x x x x x x x x x x x x yx x x +∆+∆+∆+-∆+=∆-∆+=∆∆→∆→∆→∆.211lim00x x x x x =+∆+=→∆例2. 求下列各函数的导数： （1）;sin 25x xx x y ++=（2）);3)(2)(1(+++=x x x y（3）;4cos 212sin 2⎪⎭⎫⎝⎛--=x x y （4）.1111xxy ++-=解 (1)∵,sin sin 23232521xx x xxx x x y ++=++=-∴y′.cos sin 2323)sin()()(232252323x x x x x x x x x x-----+-+-='+'+'=（2）方法一 y=（x 2+3x+2）（x+3）=x 3+6x 2+11x+6，∴y′=3x 2+12x+11. 方法二 'y =[])3)(2)(1()3()2)(1('+++++'++x x x x x x=[])2)(1()2(）1（'++++'+x x x x （x+3）+（x+1）（x+2）=（x+2+x+1）（x+3）+（x+1）（x+2）=（2x+3）（x+3）+（x+1）（x+2）=3x 2（3）∵y=,sin 212cos 2sin x x x =⎪⎭⎫ ⎝⎛--∴.cos 21)(sin 21sin 21x x x y ='='⎪⎭⎫ ⎝⎛='（4）xx x x x xxy -=+--++=++-=12)1)(1(111111 ，∴.)1(2)1()1(21222x x x x y -=-'--='⎪⎭⎫ ⎝⎛-=' 变式训练2：求y=tanx 的导数. 解y′.cos 1cos sin cos cos )(cos sin cos )(sin cos sin 22222x x xx x x x x x x x =+='-'='⎪⎭⎫ ⎝⎛=例3. 已知曲线y=.34313+x（1）求曲线在x=2处的切线方程；（2）求曲线过点（2，4）的切线方程.解 （1）∵y′=x 2,∴在点P （2，4）处的切线的斜率k='y |x=2∴曲线在点P （2，4）处的切线方程为y-4=4(x-2),即4x-y-4=0.（2）设曲线y=34313+x 与过点P （2，4）的切线相切于点⎪⎭⎫⎝⎛+3431,300x x A ， 则切线的斜率k='y |x x ==20x .∴切线方程为),(343102030x x x x y -=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-即.34323020+-⋅=x x x y∵点P （2，4）在切线上，∴4=,343223020+-x x即,044,0432020302030=+-+∴=+-x x x x x ∴,0)1)(1(4)1(00020=-+-+x x x x∴(x 0+1)(x 0-2)2=0,解得x 0=-1或x 0=2, 故所求的切线方程为4x-y-4=0或x-y+2=0.变式训练3：若直线y=kx 与曲线y=x 3-3x 2+2x 相切，则k= . 答案 2或41-例4. 设函数bx ax x f ++=1)( (a,b ∈Z )，曲线)(x f y =在点))2(,2(f 处的切线方程为y=3.（1）求)(x f 的解析式；（2）证明：曲线)(x f y =上任一点的切线与直线x=1和直线y=x 所围三角形的面积为定值，并求出此定值. （1）解2)(1)(b x a x f +-='，于是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=++,0)2(1,32122b a b a 解得⎩⎨⎧-==,1,1b a 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==.38,49b a 因为a,b ∈Z ，故.11)(-+=x x x f （2）证明 在曲线上任取一点⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+11,00x x x ． 由200)1(11)(--='x x f 知，过此点的切线方程为)()1(11110200020x x x x x x y -⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=-+--． 令x=1，得1100-+=x xy ，切线与直线x=1交点为⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+11,100x x ．令y=x ，得120-=x y ，切线与直线y=x 的交点为)12,12(00--x x ．直线x=1与直线y=x 的交点为(1,1)． 从而所围三角形的面积为22212211121112100000=--=----+x x x x x ． 所以，所围三角形的面积为定值2.变式训练4：偶函数f （x ）=ax 4+bx 3+cx 2+dx+e 的图象过点P （0，1），且在x=1处的切线方程为y=x-2，求y=f （x）的解析式解 ∵f （x ）的图象过点P （0，1），∴e=1. ①又∵f （x ）为偶函数，∴f （-x ）=f （x ）故ax 4+bx 3+cx 2+dx+e=ax 4-bx 3+cx 2-dx+ ∴b=0，d=0.②∴f （x ）=ax 4+cx2∵函数f （x ）在x=1处的切线方程为y=x-2，∴可得切点为（1，-1）∴a+c+1=-1. ③∵)1('f =(4ax3+2cx)|x=1=4a+2c ，∴4a+2c=1. ④由③④得a=25，c=29-∴函数y=f （x ）的解析式为.12925)(24+-=x x x f1．理解平均变化率的实际意义和数学意义。
北师大版选修(1-1)4.2《导数在实际问题中的应用》word教案
导数在实际问题中的应用学习目标:掌握导数在解决实际问题中的应用学习重点难点：掌握导数在解决实际问题中的应用.自主学习：一、知识再现：利用导数求函数极值和最值的方法二、新课探究：导数在实际生活中的应用主要是解决有关函数最大值、最小值的实际问题，主要有以下几个方面：1、与几何有关的最值问题；2、与物理学有关的最值问题；3、与利润及其成本有关的最值问题；4、效率最值问题。
解决实际问题的方法：首先是需要分析问题中各个变量之间的关系，建立适当的函数关系，并确定函数的定义域，通过创造在闭区间内求函数取值的情境，即核心问题是建立适当的函数关系。
再通过研究相应函数的性质，提出优化方案，使问题得以解决，在这个过程中，导数是一个有力的工具.三、例题解析:例1在边长为60 cm的正方形铁片的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起（如图）,做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱底的容积最大？最大容积是多少? 解法一：设箱底边长为x cm,h二 _。
口，得箱子容积2V(x) = x2h2 3 60x - x2V (x) =60x 3x2—x(0 ：： x ：： 60).（0 ：： x ：： 60）令利用导数解决优化问题的基本思路：V(x) = (60-2x)2x (0 ：：： x ：：： 30).(后面同解法一，略)由题意可知，当x 过小或过大时箱子容积很小，所以最大值出现在极值点处•事实上,23 2 60x — x2函数V(x) =x 2h = 2 、V(x)=(60—2X )2X 在各自的定义域中都只有一个极值点,即h=2R, 因为 答：当罐的高与底直径相等时，所用材料最省变式：当圆柱形金属饮料罐的表面积为定值S 时，它的高与底面半径应怎样选取， 才能使所用材料最省?解得x=0 (舍去) 由题意可知，当x 最大值，x=40， 并求得 V(40)=16 000 过小(接近0)或过大(接近 60)时，箱子容积很小，因此， 16 000是答：当x=40cm 时,解法二：设箱高为 箱子容积最大，最大容积是 16 000cm 3 x cm,则箱底长为(60-2 x )cm ，则得箱子容积L：0-2x可导 从图象角度理解即只有一个波峰，是单峰的，因而这个极值点就是最值点, 函数值,例2圆柱形金属饮料罐的容积一定时，它的高与底与半径应怎样选取, 料最省？ 解：设圆柱的高为 h ,底半径为R ,则表面积S=2n Rh+2n R 2舟、，品/曰, V 小 V c J 2V c Jh不必考虑端点的 才能使所用的材2 n 氏=——+2n 氏 R 令 S (R) 一律 +4n R=0R解得，R=^—,2兀S(R)只有一个极值，所以它是最小值提示：S =2 二Rh + 2二R2= h = 2 S -2二R 2 二R6060-2x■j X 60-2x 60-2x X 从而h==兀R-二R2=^(S-2二R2)R r^SR — R3二V( R)=2 2- 2 -------- 2 2 ---------------V'(R))=O 二S=6「:R =■ 6 :R = 2二Rh 2二R =■ h = 2R .例3已知某商品生产成本C与产量q的函数关系式为C=100+4q，价格p与产量q的函数关1系式为p = 25 q.求产量q为何值时，利润L最大？8分析：利润L等于收入R减去成本C,而收入R等于产量乘价格.由此可得出利润L与产量q的函数关系式，再用导数求最大利润.解：收入R=qp=qi25 q = 25q q2,I 8丿8( 1 2、1 2利润L=R-C 二25q q2 -(100-4q) q221q-1001 1(0 ::: q <100) L q 21 令L” = 0，即一一q 21=0,4 4求得唯一的极值点q =84 +答：产量为84时，利润L最大.课堂巩固：用总长为14.8m的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制作的容器的底面的一边比另一边长0.5m,那么高为多少时容器的容积最大？并求出它的最大容积.归纳反思：合作探究1.某制造商制造并出售球型瓶装的某种饮料. 瓶子的制造成本是0.8： r2分，其中r是瓶子的半径，单位是厘米。
北师大版数学选修1-1：第四章§2 导数在实际问题中的应用2.2
1.函数f (x )＝x 3－3x (|x |＜1)，则f (x )( ) A ．有最大值，但无最小值 B ．有最大值，也有最小值 C ．无最大值，也无最小值 D ．无最大值，但有最小值解析：选C.f ′(x )＝3x 2－3，∵x 2＜1，∴x 2－1＜0，即f ′(x )＜0恒成立．∴f (x )在(－1，1)内为减函数．∴无最大值，也无最小值．2.(2012·南阳质检)已知某生产厂家的年利润y (单位：万元)与年产量x (单位：万件)的函数关系式为y ＝－13x 3＋81x －234，则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为( )A ．13万件B ．11万件C ．9万件D ．7万件解析：选C.因为y ′＝－x 2＋81，所以当x ＞9时，y ′＜0；当x ∈(0，9)时，y ′＞0，所以函数y ＝－13x 3＋81x －234在(9，＋∞)上单调递减，在(0，9)上单调递增，所以x ＝9是函数的极大值点，又因为函数在(0，＋∞)上只有一个极大值点，所以函数在x ＝9处取得最大值．3.某箱子的容积与底面边长x 的关系为V (x )＝x 2⎝⎛⎭⎫60－x 2(0＜x ＜60)，则当箱子的容积最大时，箱子底面边长为________．解析：V (x )＝30x 2－12x 3，∴V ′(x )＝60x －32x 2＝－32x (x －40)．∵x ∈(0，40)时，V ′(x )＞0，x ∈(40，60)时，V ′(x )＜0， ∴x ＝40时，V (x )有极大值也是最大值． 答案：404.(2012·淮北检测)函数f (x )＝2x 3－6x 2＋a (a 为常数)在[－2，2]上的最大值为5，那么此函数在[－2，2]上的最小值为________． 解析：f ′(x )＝6x 2－12x ＝6x (x －2)．由f ′(x )＝0得x ＝0或2.∵f (0)＝a ，f (2)＝a －8，f (－2)＝a －40.∴a ＝5. 此函数[－2，2]上的最小值是5－40＝－35. 答案：－35[A 级 基础达标]1.函数f (x )＝1x ＋1＋x (x ∈[1，3])的值域为( )A ．(－∞，1)∪(1＋∞)B ．[32，＋∞)C.⎝⎛32，134D.⎣⎡⎦⎤32，134解析：选D.f ′(x )＝－1（x ＋1）2＋1＝x 2＋2x （x ＋1）2，又x ∈[1，3]，所以f ′(x )＞0在[1，3]上恒成立，即函数在[1，3]上单调递增，所以函数的最大值是f (3)＝134，最小值是f (1)＝32，故选D.2.(2012·汉中检测)已知函数f (x )的图像过点(0，－5)，它的导数f ′(x )＝4x 3－4x ，则当f (x )取得极大值－5时，x 的值应为( )A ．－1B ．0C ．1D ．±1解析：选B.∵f ′(x )＝4x 3－4x ，∴f (x )＝x 4－2x 2＋c . ∵f (x )过点(0，－5)，∴f (x )＝x 4－2x 2－5. 又f ′(x )＝0得x ＝0或x ＝±1，且－1＜x ＜0或x ＞1时， f ′(x )＞0；0＜x ＜1时，f ′(x )＜0. ∴x ＝0时取得极大值－5.3.当函数f (x )＝x ＋2cos x 在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上取得最大值时，x ＝( ) A ．0 B.π6 C.π3 D.π2解析：选B.f ′(x )＝1＋2(－sin x )，令f ′(x )＝0，解得sin x ＝12.∵0≤x ≤π2，∴x ＝π6.当0≤x＜π6时，f ′(x )＞0，函数是增加的；当π6＜x ≤π2时，f ′(x )＜0，函数是减少的， ∴当x ＝π6时，函数取得极大值，也是最大值． 4.函数y ＝ln xx的最大值为________．解析：函数的定义域为(0，＋∞)，y ′＝（ln x ）′x －ln x ·x ′x 2＝1－ln xx2，令y ′＝0，得x ＝e ，当x ＞e 时，y ′＜0；当0＜x ＜e 时，y ′＞0，所以x ＝e 是函数的极大值点，也是最大值点，故y max ＝ln e e ＝1e. 答案：1e5.(2012·商洛测试)用总长为14.8 m 的钢条制作一个长方体容器的框架，若所制作容器的底面的一边比高长0.5 m ，则当高为______米时，容器的容积最大．解析：由题意直接列出函数表达式，再用导数求最值，设高为x 米， 则V ＝x (x ＋0.5)(3.2－2x )， V ′＝－6x 2＋4.4x ＋1.6＝0， 解15x 2－11x －4＝0， 得x ＝1，x ＝－415(舍去)． 答案：16.在经济学中，生产x 单位产品的成本称为成本函数，记为C (x )；出售x 单位产品的收益称为收益函数，记为R (x )；R (x )－C (x )称为利润函数，记为P (x )．(1)设C (x )＝10－6x 3－0.003x 2＋5x ＋1000，生产多少单位产品时，边际成本C ′(x )最低？(2)设C (x )＝50x ＋10000，产品的单价p ＝100－0.01x ，怎样定价可使利润最大？解：(1)C ′(x )＝3×10－6x 2－0.006x ＋5，记g (x )＝C ′(x )．由g ′(x )＝6×10－6x －0.006＝0，解得x ＝1000.结合C ′(x )的图像可知，当x ＝1000时，边际成本最低． ∴生产1000单位产品时，边际成本最低．(2)由p ＝100－0.01x ，得收益函数R (x )＝x (100－0.01x )，则利润函数P (x )＝R (x )－C (x )＝100x －0.01x 2－(50x ＋10000)＝－0.01x 2＋50x －10000.由P ′(x )＝－0.02x ＋50＝0，解得x ＝2500.结合P (x )的图像可知，当x ＝2500时，利润最大，此时p ＝100－0.01×2500＝75. ∴当产品的单价为75时，利润最大．[B 级 能力提升] 7.(2012·西安质检)设底面为等边三角形的直棱柱的体积为V ，则其表面积最小时，底面边长为( )A.3VB.32VC.34VD ．23V解析：选C.设直棱柱的底面边长为a ，高为h . 则34a 2·h ＝V ，∴h ＝4V 3a2.则表面积S (a )＝3ah ＋32a 2＝43V a ＋32a 2. S ′(a )＝－43Va2＋3a .令S ′(a )＝0，得a ＝34V .当0＜a ＜34V 时S ′(a )＜0，当a ＞34V 时，S ′(a )＞0.当a ＝34V 时，S (a )最小．8.(2011·高考湖南卷)设直线x ＝t 与函数f (t )＝x 2，g (x )＝ln x 的图像分别交于点M ，N ，则当|MN |达到最小时t 的值为( )A ．1 B.12 C.52 D.22解析：选D.|MN |的最小值，即函数h (x )＝x 2－ln x 的最小值，h ′(x )＝2x －1x ＝2x 2－1x，显然x ＝22是函数h (x )在其定义域内唯一的极小值点，也是最小值点，故t ＝22. 9.(2012·淮北检测)已知函数f (x )＝x ln x ．若对于任意x ∈⎣⎡⎦⎤1e ，e 不等式2f (x )≤－x 2＋ax －3恒成立，则实数a 的取值范围为________．解析：由题意知，2x ln x ≤－x 2＋ax －3，则a ≥2ln x ＋x ＋3x .设h (x )＝2ln x ＋x ＋3x x ＞0)，则h ′(x )＝2x ＋1－3x 2＝（x ＋3）（x －1）x 2.当x ∈⎣⎡⎭⎫1e 1时，h ′(x )＜0，h (x )单调递减；当x ∈(1，e]时，h ′(x )＞0，h (x )单调递增．由h ⎝⎛⎭⎫1e ＝－2＋1e ＋3e ，h (e)＝2＋e ＋3e ，h ⎝⎛⎭⎫1e －h (e)＝2e －2e －4＞0，可得h ⎝⎛⎭⎫1e ＞h (e)．所以当x ∈⎣⎡⎦⎤1e ，e 时，h (x )的最大值为h ⎝⎛⎭⎫1e ＝－2＋1e ＋3e.故a ≥－2＋1e＋3e. 答案：a ≥－2＋1e＋3e10.(2011·高考北京卷)已知函数f (x )＝(x －k )e x . (1)求f (x )的单调区间；(2)求f (x )在区间[0，1]上的最小值． 解：(1)f ′(x )＝(x －k ＋1)e x. 令f ′(x )＝0，得x ＝k －1.f (x )与f ′(x )的变化情况如下：所以，f (x )的单调递减区间是(－∞，k －1)；单调递增区间是(k －1，＋∞)． (2)当k －1≤0，即k ≤1时，函数f (x )在[0，1]上单调递增，所以f (x )在区间[0，1]上的最小值为f (0)＝－k ； 当0＜k －1＜1，即1＜k ＜2时，由(1)知f (x )在[0，k －1)上单调递减，在(k －1，1]上单调递增，所以f (x )在区间[0，1]上的最小值为f (k －1)＝－e k －1；当k －1≥1，即k ≥2时，函数f (x )在[0，1]上单调递减，所以f (x )在区间[0，1]上的最小值为f (1)＝(1－k )e.11.(创新题)某工厂统计资料显示：产品的次品率b 与日产量x 件(x ∈N ，1≤x ≤89)的关系符合下列规律：又知道每一件正品盈利a 元，每生产一件次品损失a2a ＞0)元．(1)将该厂日盈利额表示成日产量x 件的函数；(2)为了获得最大盈利，该厂的日产量应定为多少件？(3≈1.7)解：(1)由b 与x 的对应规律得次品率为b ＝2100－x (x ∈N ，1≤x ≤89)．故日产量x 件中，次品数为bx 件，正品数为(x －bx )件，则日盈利额为T ＝a (x －bx )－a2bx ＝a ⎝⎛⎭⎫x －3x 100－x (x ∈N ，且1≤x ≤89)． (2)T ′＝a ⎣⎡⎦⎤1－3（100－x ）＋3x （100－x ）2＝a ⎣⎡1－300（100－x ）2. 令T ′＝0，则100－x ＝103，x ＝100－103， 当1≤x ≤100－103时，T ′＞0，函数递增，当100－103＜x ≤89时，T ′＜0.函数递减． 所以当x ＝100－103≈83时，T 取最大值．因此，要获得最大盈利，该厂的日产量应定为83件．。
4.2 导数在实际问题中的应用 教案3(高中数学选修1-1北师大版)
4.2 导数在实际问题中的应用 教案教学过程：一、主要知识点：1. 基本方法：（1）函数的导数与函数的单调性的关系：设函数y ＝f （x ）在某个区间内有导数，如果在这个区间内/y >0，那么函数y ＝f （x ）为这个区间内的增函数；如果在这个区间内/y <0，那么函数y ＝f （x ）为这个区间内的减函数.（2）用导数求函数单调区间的步骤：①求函数f （x ）的导数f ′（x ）. ②令f ′（x ）＞0解不等式，得x 的范围就是递增区间. ③令f ′（x ）＜0解不等式，得x 的范围，就是递减区间.（3）判别f （x 0）是极大、极小值的方法：若0x 满足0)(0='x f ，且在0x 的两侧)(x f 的导数异号，则0x 是)(x f 的极值点，)(0x f 是极值，并且如果)(x f '在0x 两侧满足“左正右负”，则0x 是)(x f 的极大值点，)(0x f 是极大值；如果)(x f '在0x 两侧满足“左负右正”，则0x 是)(x f 的极小值点，)(0x f 是极小值.（4）求函数f （x ）的极值的步骤：①确定函数的定义区间，求导数f ′（x ）. ②求方程f '（x ）＝0的根. ③用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格. 检查f '（x ）在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f （x ）在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f （x ）在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，即都为正或都为负，则f （x ）在这个根处无极值.（5）利用导数求函数的最值步骤：（1）求)(x f 在(,)a b 内的极值；（2）将)(x f 的各极值与)(a f 、)(b f 比较得出函数)(x f 在[]b a ,上的最值.2、基本思想：学习的目的，就是要会实际应用，本讲主要是培养学生运用导数知识解决实际问题的意识，思想方法以及能力.解决实际应用问题关键在于建立数学模型和目标函数. 把“问题情景”译为数学语言，找出问题的主要关系，并把问题的主要关系近似化，形式化，抽象成数学问题，再化为常规问题，选择合适的数学方法求解.根据题设条件作出图形，分析各已知条件之间的关系，借助图形的特征，合理选择这些条件间的联系方式，适当选定变化区间，构造相应的函数关系，是这部分的主要技巧．二、典型例题例1、在边长为60 cm 的正方形铁片的四角上切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱子的容积最大？最大容积是多少？思路一：设箱底边长为x cm ，则箱高602x h -=cm ，得箱子容积V 是箱底边长x 的函数：23260()(060)2x x r x x h x -==<<，从求得的结果发现，箱子的高恰好是原正方形边长的16，这个结论是否具有一般性？变式：从一块边长为a 的正方形铁皮的各角截去相等的方块，把各边折起来，做成一个无盖的箱子，箱子的高是这个正方形边长的几分之几时，箱子容积最大？提示：2()(2) (0)2a V x x a x x =-<<答案：6a x =． 评注：这是一道实际生活中的优化问题，建立的目标函数是三次函数，用过去的知识求其最值往往没有一般方法，即使能求出，也要涉及到较高的技能技巧. 而运用导数知识，求三次目标函数的最值就变得非常简单，对于实际生活中的优化问题，如果其目标函数为高次多项式函数，简单的分式函数，简单的无理函数，简单的指数，对数函数，或它们的复合函数，均可用导数法求其最值. 可见，导数的引入，大大拓宽了中学数学知识在实际优化问题中的应用空间.例2、（2006年福建卷）统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量为y （升），关于行驶速度x （千米/小时）的函数解析式可以表示为：3138(0120).12800080y x x x =-+<≤已知甲、乙两地相距100千米．（I ）当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？ （II ）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？解：（I ）当40x =时，汽车从甲地到乙地行驶了100 2.540=小时， 要耗油313(40408) 2.517.512800080⨯-⨯+⨯=（升）．答：当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油17.5升． （II ）当速度为x 千米/小时时，汽车从甲地到乙地行驶了100x 小时，设耗油量为()h x 升，依题意得3213100180015()(8).(0120),1280008012804h x x x x x x x =-+=+-<≤332280080'()(0120).640640x x h x x x x -=-=<≤令'()0,h x =得80.x =当(0,80)x ∈时，'()0,()h x h x <是减函数；当(80,120)x ∈时，'()0,()h x h x >是增函数．∴当80x =时，()h x 取到极小值(80)11.25.h = 因为()h x 在(0,120]上只有一个极值，所以它是最小值．答：当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25升．例3、求抛物线221x y =上与点)0,6(A 距离最近的点. 解：设),(y x M 为抛物线221x y =上一点， 则=+-=22)6(||y x MA 4241)6(x x +-. ||MA 与2||MA 同时取到极值.令42241)6(||)(x x MA x f +-==. 由0)62)(2()(2/=++-=x x x x f 得2=x 是唯一的驻点.当-∞→x 或+∞→x 时，2,)(,||=∴+∞→∴+∞→x x f MA 是)(x f 的最小值点，此时2221,22=⨯==y x . 即抛物线221x y =上与点)0,6(A 距离最近的点是（2，2）.例4、烟囱向其周围地区散落烟尘而污染环境. 已知落在地面某处的烟尘浓度与该处至烟囱距离的平方成反比，而与该烟囱喷出的烟尘量成正比，现有两座烟囱相距20km ，其中一座烟囱喷出的烟尘量是另一座的8倍，试求出两座烟囱连线上的一点，使该点的烟尘浓度最小.解：不失一般性，设烟囱A 的烟尘量为1，则烟囱B 的烟尘量为8并设AC ＝)200(<<x x x CB -=∴20，于是点C 的烟尘浓度为)200()20(822<<-+=x x k x k y ， 其中k 为比例系数. 332333/)20()80001200609(2)20(162x x x x x k x k x k y --+-⋅=-+-= 令0/=y ，有08000120060923=-+-x x x ，即0)4003)(203(2=+-x x .解得在（0，20）内惟一驻点320=x . 由于烟尘浓度的最小值客观上存在，并在（0，20）内取得，∴在惟一驻点320=x 处，浓度y 最小，即在AB 间距A 处km 320处的烟尘浓度最小. 例5、已知抛物线y ＝－x 2+2，过其上一点P 引抛物线的切线l ，使l 与两坐标轴在第一象限围成的三角形的面积最小，求l 的方程.解：设切点P （x 0，－x 02+2）（x 0＞0），由y ＝－x 2+2得y ′＝－2x ，∴k 1＝－2x 0.∴l 的方程为y －（－x 02+2）＝－2x 0（x －x 0），令y ＝0，得x ＝02022x x +令x ＝0，得y ＝x 02+2，∴三角形的面积为S ＝21·02022x x +·（x 02+2）＝02040444x x x ++. ∴S ′＝2020204)2)(23(x x x +-. 令S ′＝0，得x 0＝36 （∵x 0＞0）. ∴当0＜x 0＜36时，S ′＜0; 当x 0＞36时，S ′＞0. ∴x 0＝36时，S 取极小值∵只有一个极值， ∴x ＝36时S 最小，此时k 1＝－362，切点为（36，34）. ∴l 的方程为y －34＝－362 （x －36），即26x +3y －8＝0.例6、在甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线河岸的岸边A 处，乙厂与甲厂在河的同侧，乙厂位于离河岸40 km 的B 处，乙厂到河岸的垂足D 与A 相距50 km ，两厂要在此岸边合建一个供水站C ，从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米3a 元和5a 元，问供水站C 建在岸边何处才能使水管费用最省？。
北师大版高中数学选修导数的实际应用教案(1)
第八课时导数的实际应用（二）一、教学目标：1、使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，体会导数在解决实际问题中的作用；2、提高将实际问题转化为数学问题的能力。
二、教学重点：利用导数解决生活中的一些优化问题．教学难点：利用导数解决生活中的一些优化问题．三、教学方法：探究归纳，讲练结合四、教学过程：（一）．创设情景生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题．通过前面的学习，我们知道，导数是求函数最大（小）值的有力工具．这一节，我们利用导数，解决一些生活中的优化问题．（二）．新课探究导数在实际生活中的应用主要是解决有关函数最大值、最小值的实际问题，主要有以下几个方面：1、与几何有关的最值问题；2、与物理学有关的最值问题；3、与利润及其成本有关的最值问题；4、效率最值问题。
解决优化问题的方法：首先是需要分析问题中各个变量之间的关系，建立适当的函数关系，并确定函数的定义域，通过创造在闭区间内求函数取值的情境，即核心问题是建立适当的函数关系。
再通过研究相应函数的性质，提出优化方案，使问题得以解决，在这个过程中，导数是一个有力的工具．利用导数解决优化问题的基本思路：（三）．典例分析例1、海报版面尺寸的设计学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传。
现让你设计一张如图 1.4-1所示的竖向张贴的海报，要求版心面积为128dm 2,上、下两边各空2dm,左、右两边各空1dm 。
如何设计海报的尺寸，才能使四周空心面积最小？ 解：设版心的高为xdm ，则版心的宽为128xdm,此时四周空白面积为 128512()(4)(2)12828,0S x x x x x x =++-=++>。
求导数，得'2512()2S x x=-。
令'2512()20S x x=-=，解得16(16x x ==-舍去）。
于是宽为128128816x ==。
当(0,16)x ∈时，'()S x <0；当(16,)x ∈+∞时，'()S x >0.因此，16x =是函数()S x 的极小值，也是最小值点。
4.2.1实际问题中导数的意义 教案(高中数学选修1-1北师大版)
§2导数在实际问题中的应用2．1实际问题中导数的意义●三维目标1．知识与技能：利用实际问题巩固和加强对导数概念的理解．理解瞬时速度、边际成本等概念并能利用导数求解有关实际问题．2．过程与方法：通过具体实际问题，进一步理解导数的作用、培养探求规律的能力．3．情感、态度与价值观：体会导数在实际问题中的意义，激发学生学习兴趣，培养科学精神．●重点难点重点、难点：实际问题中导数的意义的理解．通过例题与练习让学生在解决实际问题中深入理解导数的意义．●教学建议本节是实际问题中导数的意义，是在进一步理解导数在实际问题中的意义中，引导学生理解“速度是路程关于时间的导数”，“功率是功关于时间的导数”等，让学生体会生活中的导数，进一步理解导数的意义．●教学流程创设问题情境，提出问题 学生通过回答问题，进一步学习、认识实际问题中导数的意义 通过例1及变式训练，使学生掌握导数在物理学中的意义 通过例2及变式训练，使学生掌握导数在经济生活中的意义 通过例3及变式训练，使学生掌握导数在日常生活中的意义 完成当堂双基达标，巩固所学知识 归纳整理，进行课堂小结，整体认识所学知识问题：某人拉动一个物体前进，他所做的功W(单位：J)是时间t(单位：s)的函数，设这个函数可以表示为W＝W(t)＝t3－4t2＋10t.(1)t从1 s到4 s时W关于t的平均变化率是多少？(2)上述问题的实际意思什么？(3)W′(1)的实际意义是什么？【提示】(1)W（4）－W（1）4－1＝40－73＝11(J/s)．(2)它表示从t＝1 s到t＝4 s这段时间内，这个人平均每秒做功11 J.(3)W′(t)＝3t2－8t＋10.W′(1)＝5表示在t＝1 s时每秒做功5 J.1. 在物理学中，通常称力在单位时间内做的功为功率，它的单位是瓦特，功率是功关于时间的导数．2. 在气象学中，通常把单位时间内的降雨量称作降雨强度．它是反映一次降雨大小的重要指标．降雨强度是降雨量关于时间的导数．3. 在经济学中，通常把生产成本关于产量的函数的导数称为边际成本．m)，t 是时间(单位：s)．(1)求当t从1 s变到3 s时，位移s关于时间t的平均变化率，并解释它的实际意义；(2)求当s′(1)，s′(2)，并解释它们的实际意义．【思路探究】(1)套用ΔsΔt公式即可求出平均变化率，即该质点在该段时间内的平均速度；(2)求出导数s′(t)，它表示t时刻该质点的瞬时速度．【自主解答】(1)当t从1 s变到3 s时，s关于t的平均变化率为Δs Δt＝s（3）－s（1）3－1＝27－53－1＝11(m/s)．它表示从t＝1 s到t＝3 s这段时间内，该质点平均每秒的位移是11 m.(2)由导数公式表和导数的运算法则可得s′(t)＝4t＋3，则s′(1)＝4＋3＝7(m/s)，s′(2)＝4×2＋3＝11(m/s)．s′(1)表示的是该质点在t＝1 s时的瞬时速度，也就是该质点在t＝1 s这个时刻的瞬时速度为7 m/s.s′(2)表示的是该质点在t＝2 s时的瞬时速度，也就是该质点在t＝2 s这个时刻的瞬时速度为11 m/s.根据导数的实际意义，在物理学中，除了我们所熟悉的位移、速度与时间的关系，功与时间的关系，还应了解质量关于体积的导数为密度，电量关于时间的导数为电流强度等．因此，在解释某点处的导数的物理意义时，应结合这些导数的实际意义进行理解．某河流在一段时间x min 内流过的水量为y m 3，y 是x 的函数，y ＝f (x )＝3x .(1)当x 从1变到8时，y 关于x 的平均变化率是多少？(2)求f ′(27)，并解释它的实际意义．【解】 (1)当x 从1变到8时，y 关于x 的平均变化率为f （8）－f （1）8－1＝2－17＝17(m 3/min)，它表示时间从1 min 增加到8 min 的过程中，每增加1 min 水流量平均增加17 m 3.(2)f ′(x )＝13x －23，于是f ′(27)＝13×27－23＝127(m 3/min)，实际意义为当时间为27 min 时，水流量增加的速度为127 m 3/min ，也就是当时间为27 min 时，每增加1 min ，水流量增加127 m 3.产品的总成本C (元)与日产量x (件)的函数关系为C (x )＝14x 2＋60x ＋2 050.求(1)当日产量由10件提高到20件时，总成本的平均改变量，并说明其实际意义；(2)当日产量为75件时的边际成本，并说明其实际意义．【思路探究】 (1)利用函数平均变化率计算，然后结合实际问题解释．(2)用瞬时变化率的意义解释．【自主解答】 (1)当x 从10件提高到20件时，总成本C 从C (10)＝2 675元变到C (20)＝3 350元．此时总成本的平均改变量为C （20）－C （10）20－10＝67.5(元/件)，其表示产量从x ＝10件提高到x ＝20件时平均每件产品的总成本的改变量．。
高中数学第三章导数应用3.2导数在实际问题中的应用教案1北师大版选修2
导数的实际应用（一）一、教学目标：1、知识与技能：⑴让学生掌握在实际生活中问题的求解方法；⑵会利用导数求解最值。
2、过程与方法：通过分析具体实例，经历由实际问题抽象为数学问题的过程。
3、情感、态度与价值观：让学生感悟由具体到抽象，由特殊到一般的思想方法 二、教学重点：函数建模过程 教学难点：函数建模过程 三、教学方法：探究归纳，讲练结合 四、教学过程（一）、复习：利用导数求函数极值和最值的方法 （二）、探究新课例1、在边长为60 cm 的正方形铁片的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起(如图)，做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱底的容积最大？最大容积是多少？ 解法一：设箱底边长为x cm ，则箱高602xh -=cm ，得箱子容积260)(322xx h x x V -== )600(<<x ． 23()602x V x x '=- )600(<<x令 23()602x V x x '=-＝0，解得 x=0（舍去），x=40， 并求得 V(40)=16 000由题意可知，当x 过小（接近0）或过大（接近60）时，箱子容积很小，因此，16 000是最大值答：当x=40cm 时，箱子容积最大，最大容积是16 000cm 3解法二：设箱高为x cm ，则箱底长为(60-2x )cm ，则得箱子容积x x x V 2)260()(-=)300(<<x ．（后面同解法一，略） 由题意可知，当x 过小或过大时箱子容积很小，所以最大值出现在极值点处．事实上，可导函数260)(322x x h x x V -==、x x x V 2)260()(-=在各自的定义域中都只有一个极值点，从图象角度理解即只有一个波峰，是单峰的，因而这个极值点就是最值点，不必考虑端点的函数值例2、圆柱形金属饮料罐的容积一定时，它的高与底与半径应怎样选取，才能使所用的材料最省？解：设圆柱的高为h ，底半径为R ，则表面积S=2πRh+2πR 2由V=πR 2h ，得2Vh R π=，则 S(R)= 2πR 2V R π+ 2πR 2=2V R +2πR 2令 22()Vs R R'=-+4πR=0解得，h=2V R π即h=2R 因为S(R)只有一个极值，所以它是最小值答：当罐的高与底直径相等时，所用材料最省变式：当圆柱形金属饮料罐的表面积为定值S 时，它的高与底面半径应怎样选取，才能使所用材料最省？ 提示：S =2Rh π+22R π⇒h =RR S ππ222-⇒V (R )=RR S ππ222-πR 2=3221)2(21R SR R R S ππ-=- )('R V )=026R S π=⇒ ⇒R h R Rh R 222622=⇒+=πππ．例3、已知某商品生产成本C 与产量q 的函数关系式为C =100+4q ，价格p 与产量q 的函数关系式为q p 8125-=．求产量q 为何值时，利润L 最大？ 分析：利润L 等于收入R 减去成本C ，而收入R 等于产量乘价格．由此可得出利润L 与产量q 的函数关系式，再用导数求最大利润．解：收入211252588R q p q q q q ⎛⎫=⋅=-=- ⎪⎝⎭，利润221125(1004)2110088L R C q q q q q ⎛⎫=-=---=-- ⎪⎝⎭(0100)q <<1214L q '=-+ 令0L '=，即12104q -+=，求得唯一的极值点84q =答：产量为84时，利润L 最大（三）、小结：本节课学习了导数在解决实际问题中的应用.（四）、课堂练习：第69页练习题（五）、课后作业：第69页A组中1、3 B组题。
数学选修北师大版导数在实际问题中的应用
回顾总结
1. 求
在
①求函数
上的最大值与最小值的步骤:
在
内的极值；
②求函数 在区间端点
的值；
③将函数 在各极值与
个是最大值，最小的一个是最小值．
2.求函数最值的一般方法： ①.是利用函数性质； ②.是利用函数图像； ③.是利用导数
比较，其中最大的一
函数的最值一般有两种情况：
（1） 如果函数 f (x)在[a, b]上单调增加(减少)， 则 f (a)是 f(x)在[a, b]上的最小值(最大值)，f (b)
．熟练计算函数最值的步骤
函数极值与导数
（一）、知识回顾:
函数极值的定义
函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点.
求极值的步骤:1.求导，2.求极值点，3.列表，4.求极值 函数极值的求法
3
函数极值的判定定理
x
x<a
f ’(x) 单调
f(x) 递减
x=a 0
极小值
x>a
+ 单调 递增
是 f (x)在[a, b]上的最大值(最小值)。
y
y
yf(x )
yf(x )
Oa
b xO a
bx
19
函数的最值一般分为两种情况：
(2)如果函数在区间(a, b)内有极值,将y=f(x)的各极值与 f(a)、f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个最 小值.
（3）如果函数在区间(a, b)内有且仅有一个极大(小)值
一.最值的概念(最大值与最小值)
如果在函数定义域I内存在x0,使 得对任意的x∈I,总有f(x) ≤f(x0), 则称f(x0)为函数f(x)在定义域上的 最大值.
北师大版高中数学选修1-1《导数在实际问题中的应用》教案1-新版
4．2 导数在实际问题中的应用教学目的：1. 进一步熟练函数的最大值与最小值的求法；⒉初步会解有关函数最大值、最小值的实际问题 教学重点：解有关函数最大值、最小值的实际问题． 教学难点：解有关函数最大值、最小值的实际问题．教学过程： 一、复习引入：1.极大值： 一般地，设函数f(x)在点x 0附近有定义，如果对x 0附近的所有的点，都有f(x)＜f(x 0)，就说f(x 0)是函数f(x)的一个极大值，记作y 极大值=f(x 0)，x 0是极大值点2.极小值：一般地，设函数f(x)在x 0附近有定义，如果对x 0附近的所有的点，都有f(x)＞f(x 0).就说f(x 0)是函数f(x)的一个极小值，记作y 极小值=f(x 0)，x 0是极小值点3.极大值与极小值统称为极值4. 判别f (x 0)是极大、极小值的方法:若0x 满足0)(0='x f ，且在0x 的两侧)(x f 的导数异号，则0x 是)(x f 的极值点，)(0x f 是极值，并且如果)(x f '在0x 两侧满足“左正右负”，则0x 是)(x f 的极大值点，)(0x f 是极大值；如果)(x f '在0x 两侧满足“左负右正”，则0x 是)(x f 的极小值点，)(0x f 是极小值 5. 求可导函数f (x )的极值的步骤:(1)确定函数的定义区间，求导数f ′(x ) (2)求方程f ′(x )=0的根(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格.检查f ′(x )在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f (x )在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，那么f (x )在这个根处无极值6.函数的最大值和最小值:在闭区间[]b a ,上连续的函数)(x f 在[]b a ,上必有最大值与最小值．⑴在开区间(,)a b 内连续的函数)(x f 不一定有最大值与最小值． ⑵函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的．⑶函数)(x f 在闭区间[]b a ,上连续，是)(x f 在闭区间[]b a ,上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件．(4)函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个7.利用导数求函数的最值步骤:⑴求)(x f 在(,)a b 内的极值；⑵将)(x f 的各极值与)(a f 、)(b f 比较得出函数)(x f 在[]b a ,上的最值二、讲解范例：例1在边长为60 cm 的正方形铁片的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起(如图)，做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱底的容积最大？最大容积是多少？ 解法一：设箱底边长为x cm ，则箱高602xh -=cm ，得箱子容积260)(322x x h x x V -==)600(<<x ．23()602x V x x '=-)600(<<x令 23()602x V x x '=-＝0，解得 x=0（舍去），x=40， 并求得 V(40)=16 000由题意可知，当x 过小（接近0）或过大（接近60）时，箱子容积很小，因此，16 000是最大值答：当x=40cm 时，箱子容积最大，最大容积是16_ 60000cm 3解法二：设箱高为x cm ，则箱底长为(60-2x )cm ，则得箱子容积 x x x V 2)260()(-=)300(<<x ．（后面同解法一，略） 由题意可知，当x 过小或过大时箱子容积很小，所以最大值出现在极值点处．事实上，可导函数260)(322x x h x x V -==、x x x V 2)260()(-=在各自的定义域中都只有一个极值点，从图象角度理解即只有一个波峰，是单峰的，因而这个极值点就是最值点，不必考虑端点的函数值例2圆柱形金属饮料罐的容积一定时，它的高与底与半径应怎样选取，才能使所用的材料最省？解：设圆柱的高为h ，底半径为R ，则表面积S=2πRh+2πR 2由V=πR 2h ，得2Vh R π=，则 S(R)= 2πR 2V R π+ 2πR 2=2V R+2πR 2令 22()Vs R R '=-+4πR=0 解得，h=2V R π即 h=2R因为S(R)只有一个极值，所以它是最小值 答：当罐的高与底直径相等时，所用材料最省变式：当圆柱形金属饮料罐的表面积为定值S 时，它的高与底面半径应怎样选取，才能使所用材料最省？提示：S =2Rh π+22R π⇒h =RR S ππ222-⇒V (R )=RR S ππ222-πR 2=3221)2(21R SR R R S ππ-=-)('R V )=026R S π=⇒ ⇒R h R Rh R 222622=⇒+=πππ．例3在经济学中，生产x 单位产品的成本称为成本函数同，记为C(x)，出售x 单位产品的收益称为收益函数，记为R(x)，R(x)－C(x)称为利润函数，记为P(x)。
北师大版数学高一北师大版选修1-1教案 3.3 计算导数2
3.3 计算导数教学过程： 一、创设情景我们知道,导数的几何意义是曲线在某一点处的切线斜率,物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度.那么,对于函数()y f x =,如何求它的导数呢？由导数定义本身,给出了求导数的最基本的方法,但由于导数是用极限来定义的,所以求导数总是归结到求极限这在运算上很麻烦,有时甚至很困难,为了能够较快地求出某些函数的导数,这一单元我们将研究比较简捷的求导数的方法,下面我们求几个常用的函数的导数. 二、新课讲授1.函数()y f x c ==的导数 根据导数定义,因为()()0y f x x f x c c x x x∆+∆--===∆∆∆ 所以00lim lim 00x x yy ∆→∆→∆'===0y '=表示函数y c =图像上每一点处的切线的斜率都为0.若y c =表示路程关于时间的函数,则0y '=可以解释为某物体的瞬时速度始终为0,即物体一直处于静止状态.2.函数()y f x x ==的导数因为()()1y f x x f x x x x x x x∆+∆-+∆-===∆∆∆ 所以00lim lim11x x yy ∆→∆→∆'===∆1y '=表示函数y x =图像上每一点处的切线的斜率都为1,若y x =表示路程关于时间的函数,则1y '=可以解释为某物体做瞬时速度为1的匀速运动.3.函数2()y f x x ==的导数因为22()()()y f x x f x x x x x x x ∆+∆-+∆-==∆∆∆2222()2x x x x x x x x+∆+∆-==+∆∆ 所以00limlim(2)2x x yy x x x ∆→∆→∆'==+∆=∆2y x '=表示函数图像上点(,)x y 处的切线的斜率都为2x ,说明随着x 的变化,切线的斜率也在变化.另一方面,从导数作为函数在一点的瞬时变化率来看,表明:当0x <时,随着x 的增加,函数2y x =减少得越来越慢;当0x >时,随着x 的增加,函数2y x =增加得越来越快.若2y x =表示路程关于时间的函数,则2y x '=可以解释为某物体做变速运动,它在时刻x 的瞬时速度为2x . 4.函数1()y f x x==的导数 因为11()()y f x x f x x x x x x x-∆+∆-+∆==∆∆∆ 2()1()x x x x x x x x x x -+∆==-+∆∆+⋅∆ 所以220011lim lim()x x y y∆→∆→∆'==-=-∆5.函数()y f x==因为()()y f x x f x x x x∆+∆-==∆∆∆==所以lim x y ∆→'=推广: 若*()()n y f x x n Q ==∈,则1()n f x nx -'=注:这里n 可以是全体实数. 6. 基本初等函数的求导公式：⑴ ()kx b k '+= (k,b 为常数) ⑵ 0)(='C (C 为常数) ⑶ ()1x '=⑷ 2()2x x '=⑸ 32()3x x '= ⑹ 211()x x '=-⑺ '=由⑶~⑹你能发现什么规律?⑻ 1()x xααα-'= （α为常数）⑼ ()ln (01)xxa a a a a '=>≠，⑽ a a 11(log x)log e (01)x xlnaa a '==>≠，且 ⑾ xx e )(e =' ⑿ x1)(lnx =' ⒀ cosx )(sinx =' ⒁ sinx )(cosx －='从上面这一组公式来看，我们只要掌握幂函数、指对数函数、正余弦函数的求导就可以了。
高中数学《导数在实际问题中的应用》导学案 北师大版选修22
高中数学《导数在实际问题中的应用》导学案北师大版选修221.通过使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题,体会导数在解决实际问题中的作用.2.在解决具体问题的过程中,体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性.饮料瓶大小对饮料公司利润有何影响?下图是某种品牌饮料的三种规格不同的产品,它们的价格如下表所示:规格(L) 2 1.25 0.6价格5.1 4.5 2.5(元)(1)对消费者而言,选择哪一种更合算呢?(2)对制造商而言,哪一种的利润更大呢?问题1:一般地,如果在区间[a,b]上函数y=f(x)的图像是一条连续不断的曲线,那么它必有最大值和最小值.只要利用导数求出函数y=f(x)的所有,再求出端点的函数值,进行比较,就可以得出函数的最大值和最小值.问题2:生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题,这些问题通常称为问题.导数是求函数最大(小)值的有力工具,可以运用导数解决一些生活中的优化问题.问题3:利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤(1)分析实际问题中各个量之间的关系,列出实际问题的数学模型,写出实际问题中变量之间的函数关系式y=f(x);(2)求函数的,解方程f'(x)=0;(3)比较函数在区间端点和点的函数值的大小,最大(小)者为最大(小)值.问题4:解决生活中的优化问题应当注意的问题确定函数关系式中自变量的区间,一定要考虑实际问题的意义,不符合实际问题的值应舍去.1.把长度为16的线段分成两段,各围成一个正方形,这两个正方形面积的最小值为( ).A.2B.4C.6D.82.要做一个圆锥形漏斗,其母线长20 cm,要使其体积最大,则其高是( ).A.cmB.100 cmC.20 cmD.cm3.周长为20的矩形,绕一条边旋转成一个圆柱,则圆柱体积的最大值是.4.一边长为48 cm的正方形铁皮,铁皮四角截去四个边长都为x cm的小正方形,做成一个无盖方盒.求x多大时,方盒容积最大?利润最大问题某商场销售某种商品的经验表明,该商品每日的销售量y(单位:千克)与销售价格x(单位:元/千克)满足关系式y=+10(x-6)2,其中3<x<6,a为常数.已知销售价格为5元/千克时,每日可售出该商品11千克.(1)求a的值;(2)若该商品的成本为3元/千克,试确定销售量价格x的值,使商场每日销售该商品所获得的利润最大.容积最大问题请你设计一个包装盒,如图所示,ABCD是边长为60 cm的正方形硬纸片,切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形,再沿虚线折起,使得ABCD四个点重合于图中的点P,正好形成一个正四棱柱形状的包装盒,E、F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点,设AE=FB=x cm.(1)若广告商要求包装盒侧面积S(cm2)最大,试问x应取何值?(2)若广告商要求包装盒容积V(cm3)最大,试问x应取何值?并求出此时包装盒的高与底面边长的比值.成本最低问题如图,某工厂拟建一座平面图为矩形,且面积为200平方米的三级污水处理池,由于地形限制,长、宽都不能超过16米.如果池四周壁建造单价为每米400元,中间两条隔墙建造单价为每米248元,池底建造单价为每平方米80元,无盖.(1)写出总造价y(元)与污水处理池的长x(米)的函数关系式,并指出其定义域;(2)污水处理池的长和宽各为多少时,污水处理池的总造价最低?并求出最低总造价.如图,等腰梯形ABCD的三边AB,BC,CD分别与函数y=-x2+2,x∈[-2,2]的图像切于点P,Q,R.求梯形ABCD面积的最小值.已知某公司生产的品牌服装的年固定成本为10万元,每生产1千件,需要另投入1.9万元,设R(x)(单位:万元)为销售收入,根据市场调查得知R(x)=其中x是年产量(单位:千件).(1)写出年利润W关于年产量x的函数解析式;(2)年产量为多少时,该公司在这一品牌服装的生产中所获年利润最大?统计表明,某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y(升)关于行驶速度x(千米/时)的函数解析式可以表示为y=x3-x+8(0<x≤120),已知甲、乙两地相距100千米.(1)当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地要耗油多少升?(2)当汽车以多大速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油最少?最少为多少升?1.把长度为l的铁丝围成一个长方形,则长方形的最大面积为( ).A.l2B.C.D.2.设底为正三角形的直棱柱的体积为V,则其表面积最小时底面边长为( ).A.B.C.D.23.做一个无盖圆柱水桶,其体积是27π m3,若用料最省,则圆柱的底面半径为m.4.已知一个扇形的周长为l,扇形的半径和中心角分别为多大时,扇形的面积最大?(2013年·重庆卷)某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度).设该蓄水池的底面半径为r米,高为h米,体积为V立方米.假设建造成本仅与表面积有关,侧面的建造成本为100元/平方米,底面的建造成本为160元/平方米,该蓄水池的总建造成本为12000π元(π为圆周率).(1)将V表示成r的函数V(r),并求该函数的定义域;(2)讨论函数V(r)的单调性,并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大.考题变式(我来改编):答案第4课时导数在实际问题中的应用知识体系梳理问题1:极值问题2:优化问题3:(2)导数f'(x)(3)极值问题4:定义基础学习交流1.D设两段长分别为x,16-x,则两个正方形的边长分别为,,其面积和为S=()2+()2=,0<x<16.令S'===0得x=8,当0<x<8时,S'<0,当8<x<16时,S'>0,所以x=8时,面积和S取极小值,也是最小值,最小值为8.2.A设圆锥形漏斗的高为x cm,则底面半径为=,体积V=π(400-x2)x=x-x3,0<x<20.令V'=-πx2=0,得x=或x=-(舍).当0<x<时,V'>0,当<x<20时,V'<0,所以x=cm时,圆锥形漏斗的体积最大.3.设矩形一边长为x,且为圆柱的半径,则圆柱的高为10-x.圆柱体积V=πx2(10-x)=10πx2-πx3,0<x<10.令V'=20πx-3πx2=0,得x=或x=0(舍).当0<x<时,V'>0,当<x<10时,V'<0,所以x=时,圆柱体积最大,最大值是.4.解:由已知得,方盒底面为正方形,且边长为(48-2x) cm,高为x cm,所以容积为V=(48-2x)2x,0<x<24.令V'=12x2-384x+2304=0,得x=8或x=24(舍).当0<x<8时,V'>0,函数递增;当8<x<24时,V'<0,函数递减.所以当x=8 cm时,方盒容积最大.最大值为V=(48-16)2×8=8192(cm3).重点难点探究探究一:【解析】(1)因为x=5时,y=11,所以+10=11,a=2.(2)由(1)可知,该商品每日的销售量y=+10(x-6)2,所以商场每日销售该商品所获得的利润f(x)=(x-3)[+10(x-6)2]=2+10(x-3)(x-6)2,3<x<6 .令f'(x)=10(x-6)(3x-12)=0,得x=4或x=6(舍去).于是,当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:x(3,4) 4 (4,6)f'(x) +0 -f(x) 单调递增极大值42单调递减由上表可得,x=4是函数f(x)在区间(3,6)内的极大值点,也是最大值点.当x=4时,函数f(x)取得最大值,且最大值等于42.所以,当销售价格为4元/千克时,商场每日销售该商品所获得的利润最大.【小结】本解法中只有一个极值点,那么它就是最值点.解决此类有关利润的实际应用题,应灵活运用题设条件,建立利润的函数关系,利用导数求单峰函数的最值.常见的基本等量关系有:(1)利润=收入-成本;(2)利润=每件产品的利润×销售件数.探究二:【解析】(1)设包装盒的高为h(cm),底面边长为a(cm),则a=x,h=(30-x),0<x<30.根据题意有S=602-4x2-(60-2x)2=240x-8x2=-8(x-15)2+1800(0<x<30),所以x=15 cm时包装盒侧面积S最大.(2)根据题意有V=(x)2(60-2x)=2x2(30-x)(0<x<30),所以,V'=6x(20-x),当0<x<20时,V'>0,V递增;当20<x<30时,V'<0,V递减.所以,当x=20时,V取极大值也是最大值.此时,包装盒的高与底面边长的比值为=.即x=20时包装盒容积V(cm3)最大, 此时包装盒的高与底面边长的比值为.【小结】本题主要考查空间想象能力、数学阅读能力及运用数学知识解决实际问题的能力、建立数学函数模型求解能力、导数在实际问题中的应用.探究三:【解析】(1)设长为x米,则宽为米,由题意得解得<x≤16, y=(2x+2×)×400+2××248+200×80=800x++16000(<x≤16).(2)y=800x++16000≥2+16000=28800+16000=44800(元).当且仅当长为x=18米,宽为=米时,污水处理池的总造价最低,最低总造价为444800元.[问题]基本不等式等号成立吗?[结论]本题第(2)小题容易做错的原因是忽略了题目中的条件,故解决本题要明确x的取值范围,即<x≤16.于是,正确解答为:令y'=800-=0,解得x=18.当x∈(0,18)时,y'<0,函数为减函数.当x∈(18,+∞)时,y'>0,函数为增函数.又<x≤16,当x=16时,函数取最小值,最小值为45000元.所以当污水处理池长为16米,宽为12.5米时,污水处理池的总造价最低,最低总造价为45000元.【小结】函数模型为f(x)=ax+的形式,通常使用基本不等式,但遇到等号不成立时,只能应用导数考查其单调性,由单调性求解.思维拓展应用应用一:设梯形ABCD的面积为S,点P的坐标为(t,-t2+2)(0<t≤2).由题意得点Q的坐标为(0,2),直线BC的方程为y=2.∵y=-x2+2, ∴y'=-x,∴y'|x=t=-t.直线AB的方程为y-(-t2+2)=-t(x-t), 即y=-tx+t2+2 .令y=0,得x=,∴A(,0).令y=2,得x=t,∴B(t,2).S=×(t+)×2×2=2(t+)≥4.当且仅当t=,即t=时,取等号,且∈(0,2)], ∴t=时,S有最小值为4.所以梯形ABCD的面积的最小值为4.应用二:(1)设年产量为x千件,年利润为W万元,依题意有:W(x)=即W(x)=(2)W'(x)=-x2+8.1.令W'(x)=0得x1=9或x2=-9(舍去),当0<x<9时,W'(x)>0,当9<x<10时,W'(x)<0.∴x=9时,W(x)max=38.6.当x>10时,W(x)单调递减,此时W(x)<-19+=≈37.7.∴当年产量为9千件时,该公司所获年利润最大.应用三:(1)当x=40千米/时,汽车从甲地到乙地,行驶了=2.5小时,要消耗汽油(×403-×40+8)×2.5=17.5(升).(2)当速度为x千米/小时,汽车从甲地到乙地,行驶了小时,设耗油量为h(x)升,依题意得h(x)= (×x3-×x+8)×=(x2+-)(0<x≤120),h'(x)=-=(0<x≤120),令h'(x)=0,得x=80.当x∈(0,80)时,h'(x)<0,h(x)是减函数;当x∈(80,120)时,h'(x)>0,h(x)是增函数.当x=80时,因为h(x)在(0,120]上只有一个极值,所以这个极值就是最小值.所以当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油最少,最少为11.25升.基础智能检测1.D设长方形一边长为x,则另一边长为-x,所以面积S=x(l-x)=-x2+x(0<x<).令S'=0,得x=,当0<x<时,S'>0,当<x<时,S'<0,所以当x=时,长方形面积最大,最大面积为.2.C设底面边长为x,高为h,则V=x2h,所以h=,表面积S=x2×2+3xh=x2+,S'=x-,令S'=0,得x=.当0<x<时,S'<0,当x>时,S'>0,所以x=时,表面积取极小值,也是最小值.3.3设底面半径为r,高为h,则用料面积S=2πrh+πr2,由V=πr2h,所以h==,则S=+πr2,令S'=-+2πr=0,得r=3.当0<r<3时,S'<0,当r>3时,S'>0,所以r=3时,用料面积取极小值,也是最小值,用料最省.4.解:设扇形的半径为r,中心角为α弧度时,扇形的面积为S.因为S=αr2,l-2r=αr,所以S=αr2=(-2)r2=(lr-2r2),S'=(l-4r).令S'=0,得r=,此时α=2弧度.所以扇形的半径为,中心角为2弧度时,扇形的面积最大.全新视角拓展解:(1)因为蓄水池侧面的总成本为100·2πrh=200πrh元,底面的总成本为160πr2元,所以蓄水池的总成本为(200πrh+160πr2)元.又据题意200πrh+160πr2=12000π,所以h=(300-4r2),从而V(r)=πr2h=(300r-4r3).因r>0,又由h>0可得r<5,故函数V(r)的定义域为(0,5).(2)因V(r)=(300r-4r3),故V'(r)=(300-12r2).令V'(r)=0,解得r1=5, r2=-5(因r2=-5不在定义域内,舍去).当r∈(0,5)时,V'(r)>0,故V(r)在(0,5)上为增函数;当r∈(5,5)时,V'(r)<0,故V(r)在(5,5)上为减函数.由此可知,V(r)在r=5处取得最大值,此时h=8.即当r=5,h=8时,该蓄水池的体积最大.。
北师大版高中数学选修1-1《实际问题中导数的意义》学案-新版
4.2.1 实际问题中导数的意义一、学习要求：导数在实际生活中的应用二、学习目标能运用导数方法求解有关利润最大，用料最省，效率最高等最优化问题，体会导数在解决实际生活问题中的作用。
三、重点难点用导数方法解决实际生活中的问题四、要点梳理解应用题的基本程序是： 读题 建模 求解 反馈（文字语言） （数学语言） （导学应用） （检验作答）利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤:① 分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系()y f x =；注意x 的范围。
② 利用导数求函数()f x 的极值和函数的最值；给出数学问题的解答。
③ 把数学问题的解答转化为实际问题的答案。
五、基础训练：1． 周长为20cm 的矩形，绕一条边旋转成一个圆柱，则圆柱体积的最大值为________。
2 某产品的销售收入1y （万元）是产量x （千台）的函数：2117y x =，生产总成本2y （万元）也是产量x （千台）的函数：3222(0)y x x x =->，为使利润最大，应生产产品________台。
3 一轮船以v 千米/时的速度航行，每小时用煤30.30.001v +吨，____v =千米/时，才能使轮船航行每千米用的煤最少。
4 设正三棱柱的体积为v ，那么其表面积最小时的底面边长为________。
5 某公司生产某种产品，固定成本为20000元，每生产一单位产品，成本增加100元，已知总收益R 与年产量x 的关系是：21400(0400)()280000(400)x x x R x x ⎧-≤≤⎪=⎨⎪>⎩，则总利润最大时，每年生产的产品是_______ 个单位。
六、典型例题例1 用长为18m 的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2:1，问：该长方体长，宽，高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？例2 经过点(1,1)M 作直线l 分别交x 轴正半轴，y 轴正半轴于,A B 两点，设直线l 的斜率为k ，OAB ∆的面积为S（1） 求S 关于k 的函数关系式()S f k =；（2） 求S 的最小值以及相应的直线l 的方程。
高中数学3.2.2导数的几何意义 教案 (北师大选修1-1)
3。
2.2 导数的几何意义教学过程：复习引入1．函数的导数值函数y ＝f （x )，如果自变量x 在x 0处有增量x ，则函数y 相应地有增量y ＝f (x 0＋x ）－f （x 0)． 比值x y ∆∆就叫做函数y ＝f （x )在x 0到x 0＋x 之间的平均变化率,即 .)()(00xx f x x f x y ∆-∆+=∆∆ 如果当Δx →0时，xy ∆∆有极限,我们就说函数y ＝f （x ）在点x 0处可导，并把这个极限叫做f (x ）在x 0处的导数(或变化率) 记作f ’(x 0） 或0x x y'=,即 f ’(x 0)＝x y x ∆∆→∆0lim =xx f x x f x ∆-∆+→∆)()(lim 000 2．函数 y ＝f (x ) 的导函数如果函数在开区间(a , b ）内每点处都有导数，对于每一个x 0∈（a ,b )，都对应着一个确定的导数f (x 0）．从而构成一个新的函数f (x )．称这个函数为函数y ＝f （x )在开区间内的导函数．简称导数．也可记作y ．.)()(lim lim ')(' 00x x f x x f x y y x f x x ∆-∆+=∆∆==→∆→∆即 3．导数的几何意义函数y ＝f （x ) 在点x 0处的导数的几何意义，就是曲线y ＝f （x ）在点P (x 0, f (x 0））处的切线的斜率．也就是说,曲线y ＝f (x )在点P （x 0， f (x 0））处的切线的斜率是f '（x 0)．切线方程为 y －y 0＝f ’(x 0) （x 0－x 0）．练习：1．当自变量从x 0变到x 1时，函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数（ A ）A ．在区间[x 0,x 1］上的平均变化率B ．在x 0处的变化率C ．在x 1处的导数D ．在区间［x 0，x 1]上的导数2．下列说法正确的是（ C )A ．若f ′ (x 0)不存在，则曲线y = f （x )在点(x 0， f （x 0))处就没有切线B ．若曲线y = f （x ）在点(x 0， f （x 0)）处有切线,则f ′ (x 0）必存在C ．若f ′ (x 0)不存在，则曲线y = f (x )在点（x 0, f (x 0))处的切线斜率不存在D ．若曲线y = f (x )在点（x 0, f （x 0))处的切线斜率不存在，则曲线在该点处就没有切线3．已知曲线，上一点)38,2(313P x y = 求⑴ 点P 处的切线的斜率;⑵ 点P 处的切线的方程．解:⑴,313x y = x y y x ∆∆='∴→∆0lim xx x x x ∆-∆+=→∆33031)(31lim xx x x x x x ∆∆+∆+∆=→∆3220)()(33lim 31 ])(33[lim 31220x x x x x ∆+∆+=→∆,2x =.4222=='=x y ∴点P 处的切线的斜率等于4．⑵在点P 处的切线的方程是),2(438-=-x y 即.016312=--y x 新课讲授：例1．教材例2。
北师大版数学选修1-1新素养讲义第四章22.1实际问题中导数的意义
§2导数在实际问题中的应用2．1实际问题中导数的意义1．功与功率在物理学中，通常称力在单位时间内做的功为功率，它是功W对时间t的导数．2．降雨强度在气象学中，通常把在单位时间(如1时、1天等)内的降雨量称为降雨强度，它是降雨量对时间的导数．3．边际成本在经济学中，通常把生产成本y关于产量x的函数y＝f(x)的导函数称为边际成本．4．瞬时速度物体在某一时刻的速度称为瞬时速度，它是位移s对时间t的导数；速度对时间的导数是加速度．5．线密度单位长度的物体质量称为线密度，它是质量关于长度的导数．一个物体的运动方程为s＝1－t＋t2，其中s的单位是米，t的单位是秒，那么该物体在3秒末的瞬时速度是()A．7米/秒B．6米/秒C．5米/秒D．8米/秒解析：选C．s′＝－1＋2t，则s′(3)＝5，即该物体在3秒末的瞬时速度是5米/秒．一次降雨过程中，降雨量y是时间t的函数，用y＝f(t)表示，则f′(10)表示() A．t＝10时的降雨强度B．t＝10时的降雨量C．t＝10时的时间D．t＝10时的温度解析：选A．f′(t)表示t时刻的降雨强度．某公司的盈利y(元)和时间x(天)的函数关系是y＝f(x)，假设f′(x)＞0恒成立，且f′(10)＝10，f′(20)＝1，则这些数据说明第20天与第10天比较()A．公司已经亏损B．公司的盈利在增加，增加的幅度变大C．公司在亏损且亏损幅度变小D ．公司的盈利在增加，但增加的幅度变小解析：选D ．导数为正说明盈利是增加的，导数变小说明增加的幅度变小了，但还是增加的．若某段导体通过的电量Q (单位：C)与时间t (单位：s)的函数关系为Q ＝f (t )＝120t 2＋t－80，t ∈[0，30]，则f ′(15)＝________，它的实际意义是____________________．解析：Q ′＝f ′(t )＝110t ＋1，令t ＝15，则f ′(15)＝52(C/s)，它表示t ＝15 s 时的电流强度，即单位时间内通过的电量．答案：52 C/s t ＝15 s 时的电流强度为52C/s要弄清在实际问题中导数的意义，一定要正确计算Δy 和Δx ，并知道它们的实际意义，再看Δy Δx ，当Δx 趋近于0时，ΔyΔx趋于定值的实际意义．注意在生活中导数的实际意义．物理学中导数的实际意义某质点的运动方程为s ＝2t 2＋3t ，其中s 是位移(单位：m)，t 是时间(单位：s)． (1)求t 从1 s 变到3 s 时，位移s 关于时间t 的平均变化率，并解释它的实际意义； (2)求s ′(1)，s ′(2)，并解释它们的实际意义．[解] (1)t 从1 s 变到3 s 时，s 关于t 的平均变化率为Δs Δt ＝s （3）－s （1）3－1＝27－53－1＝11(m/s)．它表示从t ＝1 s 到t ＝3 s 这段时间内，该质点平均每秒的位移是11 m ． (2)根据导数公式表和导数的运算法则，可得s ′(t )＝4t ＋3， 则s ′(1)＝4＋3＝7(m/s)， s ′(2)＝4×2＋3＝11(m/s)．s ′(1)和s ′(2)分别表示t ＝1 s 和t ＝2 s 时，位移s 关于时间t 的瞬时变化率，即瞬时速度．(1)套用ΔsΔt公式即可求出平均变化率，即质点在该段时间内的平均速度；(2)利用导数运算法则求出质点的运动方程s ＝s (t )的导数，它表示t 时刻的瞬时速度．1.电流通过一导线，从0时刻到t 时刻通过该导线横断面的电荷量Q与t 有如下的函数关系：Q ＝4t 2＋t ＋1(Q 的单位：C ；t 的单位：s)，求t ＝3时的瞬时电流．解：因为Q ＝4t 2＋t ＋1， 所以Q ′(t )＝8t ＋1．t ＝3时，Q ′(3)＝8×3＋1＝25(A)， 即t ＝3时的瞬时电流为25A ．日常生活中导数的实际意义日常生活中的饮用水通常是经过净化的，随着水纯净度的提高，所需净化费用也不断增加．已知将1吨水净化到纯净度为x %时所需费用(单位：元)为c (x )＝5 284100－x (80＜x＜100)．(1)求c ′(x )；(2)求c ′(90)，c ′(98)，并解释它们的实际意义．[解] (1)c ′(x )＝⎝⎛⎭⎪⎫5 284100－x ′＝5 284′×（100－x ）－5 284×（100－x ）′（100－x ）2＝0×（100－x ）－5 284×（－1）（100－x ）2＝ 5 284（100－x ）2．(2)c ′(90)＝5 284（100－90）2＝52.84(元/吨)，c ′(98)＝ 5 284（100－98）2＝1 321(元/吨)．因为函数的导数是净化费用的瞬时变化率，所以，纯净度为90%时，费用的瞬时变化率是52.84元/吨，同样，纯净度为98%时，费用的瞬时变化率是1 321元/吨．对于本例若把x 写成关于c 的函数，试求出x ′(100)，并解释其实际意义． 解：由c (x )＝5 284100－x (80<x <100)，得x (c )＝100－5 284c (c >264.2)，x ′(c )＝5 284c 2，x ′(100)＝5 2841002＝0.528 4，即c ＝100时的瞬时变化率为0.528 4(即1吨纯净水增加1元，纯净度增加0.528 4%)．(1)要理解导数的实际意义，首先必须正确理解函数表达式的实际意义．(2)导数的实际意义与变量表示的实际含义有关，同一个函数表达式，其导数的实际意义因变量实际含义的不同而不同．2．某工厂一流水线上工人数x与工作效率y之间的函数关系为y＝f(x)，它们的导函数图像如图所示．试分析：(1)在A、B两点间，工作效率y与工人数x是怎样的关系；(2)在B、C之间，C、D之间又发生怎样的变化．解：由图像可知，(1)在A、B之间，随着工人数x的增加，工作效率y也增加，并且增加的速度越来越快．(2)从B到C，随着工人数x的增加，虽然工作效率y还在增加，但增加的速度越来越慢；从C到D随着工人数x的再增加，工作效率y反而降低.易错警示因物理意义理解不清致误在高台跳水运动中，t s时运动员相对于水面的高度是h(t)＝－4.9 t2＋6.5 t＋10(单位：m)，求高台跳水运动中运动员在t＝1 s时的瞬时速度，并解释此时的运动状况．[解]h′(t)＝－9.8 t＋6.5，所以h′(1)＝－3.3．故运动员在t＝1 s时的瞬时速度是－3.3 m/s，此时运动员向下以3.3米/秒的速度运动．(1)对该问题求得当t＝1s时的瞬时速度为－3.3m/s，由于对其中“负”号的物理意义理解不明，易回答为正值而出错．(2)瞬时速度既有大小也有方向，如果是负值，不能回答为正值，它表明了运动速度的大小和方向．(3)利用导数解决物理问题，关键是要熟悉相关的物理概念、公式，并联系导数的物理意义进行求解.1．某人拉动一个物体前进，他所做的功W是时间t的函数，即W＝W(t)，则W′(t0)表示()A．t＝t0时做的功B．t＝t0时的速度C ．t ＝t 0时的位移D ．t ＝t 0时的功率解析：选D ．W ′(t )表示t 时刻的功率．2．已知函数y ＝f (x )，x ∈R ，则f ′(x 0)表示( ) A ．自变量x ＝x 0时对应的函数值 B ．函数y 在x ＝x 0时的瞬时变化率 C ．函数y 在x ＝x 0时的平均变化率 D ．无意义解析：选B ．f ′(x 0)表示x ＝x 0时的瞬时变化率．3．一个物体的运动方程为s ＝1＋3t ＋12t 2，其中s 的单位是m ，t 的单位是s ，那么物体在3 s 末的瞬时速度是________ m/s ．解析：s ′(t )＝t ＋3， 所以s ′(3)＝3＋3＝6． 答案：64．自由落体的运动公式是s ＝12gt 2(g 为重力加速度)，则物体在下落3 s 到4 s 之间的平均变化率是________ m/s.(取g ＝10 m/s 2)解析：v ＝Δs Δt ＝12g ×42－12g ×324－3＝72g ＝35．答案：35[A 基础达标]1．做直线运动的物体，从时刻t 到t ＋Δt 时，物体的位移为Δs ，那么 ΔsΔt为( ) A ．从时刻t 到t ＋Δt 时，物体的平均速度 B ．该物体在t 时刻的瞬时速度 C ．Δt 时刻时，该物体的速度D ．从时刻t 到t ＋Δt 时，位移的平均变化率 解析：选B ．Δs Δt表示运动的物体在t 时刻位移的导数，也即该时刻的瞬时速度．2．李华在参加一次同学聚会时，他用如图所示的圆口杯喝饮料，李华想：如果向杯子中倒饮料的速度一定(即单位时间内倒入的饮料量相同)，那么杯子中饮料的高度h 是关于时间t 的函数h (t )，则函数h (t )的图像可能是( )解析：选B ．由于圆口杯的形状是“下细上粗”，则开始阶段饮料的高度增加较快，以后高度增加得越来越慢，仅有B 符合．3．一作直线运动的物体，其位移S 与时间t 的关系是S ＝3t －t 2，则物体的初速度是( ) A ．0 B ．3 C ．－2D ．3－2t解析：选B ．因为S ＝3t －t 2，所以S ′＝3－2t ， 当t ＝0时，v 0＝3．4．已知，直线a ∥b ，a 处有一面高墙，点P 处站一人，P 到直线a 的距离P A ＝10 m ，P 到直线b 的距离PB ＝2 m ．在夜晚如果一光源S 从B 点向左运动，速率为5 m/s(沿直线b 运动)，那么P 点处的人投在墙a 上影子Q 的运动速率为( )A ．10 m/sB ．15 m/sC ．20 m/sD ．25 m/s 解析：选D ．设光源S 运动路程为l ，运动时间为t ，则BS ＝l ＝5t ，此时影子Q 运动路程为x ＝AQ ．因为△APQ ∽△BPS (如图)， 所以SB AQ ＝PB P A ＝210＝15，所以5t x ＝15，所以x ＝25t ，从而影子Q 的运动速率为v ＝x ′＝25 m/s ．5．细杆AB 的长为20 cm ，M 为细杆AB 上的一点，AM 段的质量与A 到M 的距离的平方成正比，当AM ＝2 cm 时，AM 的质量为8 g ，那么当AM ＝x cm 时，M 处的细杆线密度ρ(x )为( )A ．2xB ．3xC ．4xD ．5x解析：选C ．当AM ＝x cm 时，设AM 的质量为f (x )＝kx 2，因为f (2)＝8，所以k ＝2，即f (x )＝2x 2，故细杆线密度ρ(x )＝f ′(x )＝4x ，故选C ．6．人体血液中药物的质量浓度c ＝f (t )(单位：mg /mL)随时间t (单位：min)变化，若f ′(2)＝0.3，则f ′(2)表示______________________________________________________．答案：服药2 min 时血液中药物的质量浓度以每分钟0.3 mg /mL 的速度增加7．将1 kg 铁从0 ℃加热到t ℃需要的热量为Q (单位：J)：Q (t )＝0.000 297t 2＋0.440 9t ． (1)当t 从10变到20时函数值Q 关于t 的平均变化率是________，它的实际意义是________________________________________________________________________．(2)Q ′(100)＝________，它的实际意义是_____________________________________． 解析：(1)当t 从10变到20时，函数值Q 关于t 的平均变化率为Q （20）－Q （10）20－10≈0.4498，它表示在铁块的温度从10 ℃增加到20 ℃的过程中，平均每增加1 ℃，需要吸收热量约为0.449 8 J ．(2)Q ′(t )＝0.000 594t ＋0.440 9，则Q ′(100)＝0.500 3，它表示在铁块的温度为100 ℃这一时刻每增加1 ℃，需要吸收热量0.500 3 J ．答案：(1)0.449 8 它表示在铁块的温度从10 ℃增加到20 ℃的过程中，平均每增加1 ℃，需要吸收热量约为0.449 8 J(2)0.500 3 它表示在铁块的温度为100 ℃这一时刻每增加1 ℃，需要吸收热量0.500 3 J8．已知气球的体积V (单位：L)与半径r (单位：dm)，将半径r 表示为体积V 的函数，有r (V )＝33V4π，则当空气容量从V 1增加到V 2时，气球的平均膨胀率为________． 解析：因为r (V 1)－r (V 2)＝33V 14π－33V 24π＝34π（V 1－V 2）39V 2116π2＋39V 1V 216π2＋39V 2216π2．所以平均膨胀率为：r （V 1）－r （V 2）V 1－V 2＝3316π24π（39V 21＋39V 1V 2＋39V 22）．答案：3316π24π（39V 21＋39V 1V 2＋39V 22）9．水以20 m 3/min 的速度流入一圆锥形容器，设容器深30 m ，上底面直径为12 m ，试求当水深为10 m 时，水面上升的速度．解：设经过t min 后水深为H ，则此时水面半径为H5．由等体积知，20t ＝13π·⎝⎛⎭⎫H 52·H ．所以H (t )＝5312t π，H ′(t )＝53312π·t －23．所以水深10 m 时水面上升的速度为H ′(10)＝13315π(m/min)． 10．路灯距地平面为8 m ，一个身高为1.6 m 的人以84 m/min 的速度在地面上行走，从路灯在地面上的射影点C 出发，沿某直线离开路灯，求人影长度的变化速度v ．解：如图所示，路灯距地面的距离为DC ＝8 m ，人的身高为EB ＝1.6 m ．设人从C 处运动到B 处的路程CB 为x m ，时间为t s ，AB 为人影长度，设为y m ． 因为BE ∥CD ，所以AB AC ＝BECD ．所以y y ＋x ＝1.68，所以y ＝14x ．又因为84 m/min ＝1.4 m/s ， 所以y ＝14x ＝720t (x ＝1.4t )．所以y ′＝720，即人影长度的变化速度v 为720m/s ．[B 能力提升]11．如图所示，设有定圆C 和定点O ，当l 从l 0开始在平面上绕O 匀速旋转(旋转角度不超过90°)时，它扫过的圆内阴影部分的面积S 是时间t 的函数，则函数的图像大致是( )解析：选D ．由于是匀速旋转，所以阴影部分的面积在开始和最后时段缓慢增加，而中间时段相对增速较快．选项A 表示面积的增速是常数，与实际不符； 选项B 表示最后时段面积的增速较快，与实际不符；选项C 表示开始时段和最后时段面积的增速比中间时段面积的增速快，也与实际不符； 选项D 表示开始和最后时段面积的增速缓慢，中间时段增速较快，符合实际． 12．向高为8 m ，底面边长为8 m 的倒置正四棱锥形的容器内注水，其速度为每分钟83 m 3，则当水深为5 m 时，水面上升的速度为________ m/min ．解析：设注水t min 时，水的深度为h m ，则容器内水的体积为83t ＝13h 2·h ，则h ＝2t 13，所以h ′(t )＝23t －23．当h ＝5时，t ＝1258，故v ＝h ′⎝⎛⎭⎫1258＝875(m/min)． 答案：87513．某厂生产某种产品x 件的总成本c (x )＝120＋x 10＋x 2100(元)．(1)当x 从200变到220时，总成本c 关于产量x 的平均变化率是多少？它代表什么实际意义？(2)求c ′(200)，并解释它代表什么实际意义．解：(1)当x 从200变到220时，总成本c 从c (200)＝540(元)变到c (220)＝626(元)． 此时总成本c 关于产量x 的平均变化率为c （220）－c （200）220－200＝8620＝4.3(元/件)，它表示产量从x ＝200件到x ＝220件变化时平均每多生产一件产品时，总成本平均增加4.3元．(2)根据导数公式和求导法则可得c ′(x )＝110＋x 50，于是c ′(200)＝110＋4＝4.1(元/件)．它指的是当产量为200件时，每多生产一件产品，需增加4.1元成本．14．(选做题)学习曲线是1936年美国康乃尔大学博士在飞机制造过程中，通过对大量有关资料、案例的观察、分析、研究，首次发现并提出来的．已知某类学习任务的学习曲线为：f (t )＝34＋a ·2－t ×100%(f (t )为该学习任务已掌握的程度，t 为学习时间)，且这类学习任务中的某项任务满足f (2)＝60%．(1)求f (t )的表达式，计算f (0)并说明f (0)的含义；(2)已知2x >x ln 2对任意x >0恒成立，现定义f （t ）t 为该类学习任务在t 时刻的学习效率指数．研究表明，当学习时间t ∈(1，2)时，学习效率最佳，则当学习效率最佳时，求学习效率指数相应的取值范围．解：(1)因为f (t )＝34＋a ·2－t ×100%(t 为学习时间)，且f (2)＝60%，所以34＋a ×2－2×100%＝60%，解得a ＝4．所以f (t )＝34＋a ·2－t ×100%＝34（1＋2－t ）×100%(t ≥0)，所以f (0)＝34（1＋20）×100%＝37.5%，f (0)表示某项学习任务在开始学习时已掌握的程度为37.5%．(2)令学习效率指数f （t ）t ＝h (t )，则h (t )＝f （t ）t ＝34t （1＋2－t ）＝34⎝⎛⎭⎫t ＋t 2t (t >0)．现研究函数g (t )＝t ＋t2t 的单调性，由于g ′(t )＝2t－t ln 2＋12t(t >0)，又已知2x >x ln 2对任意x >0恒成立，即2t －t ln 2>0对任意t >0恒成立，则g ′(t )>0恒成立，所以g (t )在(0，＋∞)上为增函数，且g (t )为正数．所以h (t )＝f （t ）t ＝34⎝⎛⎭⎫t ＋t 2t 在(0，＋∞)上为减函数，而h (1)＝f （1）1＝12，h (2)＝f （2）2＝310，即当t ∈(1，2)时，h (t )＝f （t ）t ∈⎝⎛⎭⎫310，12，故所求学习效率指数的取值范围是⎝⎛⎭⎫310，12．。
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导数在实际问题中的应用
目标认知
学习目标：
1. 会从几何直观了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间，对多项式函数一般不超过三次.
2. 了解函数在某点取得极值的必要条件(导数在极值点两端异号)和充分条件（）；会用导数求函数的极大值、极小值，对多项式函数一般不超过三次.
3．会求闭区间上函数的最大值、最小值，对多项式函数一般不超过三次.
重点：利用导数判断函数单调性；函数极值与最值的区别与联系.会求一些函数的(极)最大值与(极)最小值
难点：利用导数在解决函数问题时有关字母讨论的问题.
知识要点梳理
知识点一：函数的单调性
(一) 导数的符号与函数的单调性：
一般地，设函数在某个区间内有导数，则在这个区间上，若，则
在这个区间上为增函数；若，则在这个区间上为减函数；若恒有，
则在这一区间上为常函数.反之，若在某区间上单调递增，则在该区间上有恒成立（但不恒等于0）；若在某区间上单调递减，则在该区间上有
恒成立（但不恒等于0）．
注意：
1. 若在某区间上有有限个点使，在其余点恒有，则仍为增
函数（减函数的情形完全类似）.即在区间(a,b)内，（或）是在(a，b)内单调递增（或减）的充分不必要条件！例如：
而f(x)在R上递增.
2. 学生易误认为只要有点使，则f(x)在(a，b)上是常函数，要指出个别导
数为零不影响函数的单调性，同时要强调只有在这个区间内恒有，这个函数
在这个区间上才为常数函数.
3. 要关注导函数图象与原函数图象间关系.
（二）利用导数求函数单调性的基本步骤：
1. 确定函数的定义域；
2. 求导数；
3. 在定义域内解不等式，解出相应的x的范围；
当时，在相应区间上为增函数；当时在相应区间上为减函数.
4. 写出的单调区间.
知识点二：函数的极值
（一）函数的极值的定义一般地，设函数在点及其附近有定义，
（1）若对于附近的所有点，都有，则是函数的一个极大值，记
作；
（2）若对附近的所有点，都有，则是函数的一个极小值，记作.
极大值与极小值统称极值. 在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值.
注意：由函数的极值定义可知：
（1）在函数的极值定义中，一定要明确函数y=f(x)在x=x0及其附近有定义，否则无从比较.
（2）函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言的，是一个局部概念；在函数的整个定义域内可能有多个极值，也可能无极值.由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小.
（3）极大值与极小值之间无确定的大小关系.即一个函数的极大值未必大于极小值.极小值不一定是整个定义区间上的最小值.
（4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点.而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点.
（5）可导函数在某点取得极值，则该点的导数一定为零，反之不成立.即是
可导函数在点取得极值的必要非充分条件.在函数取得极值处，如果曲线有切线的话，则切线是水平的，从而有.但反过来不一定.如函数y=x3，在x=0处，曲线的切线是水平的，但这点不是函数的极值点.
（二）求函数极值的的基本步骤：
①确定函数的定义域；②求导数；③求方程的根；
④检查在方程根左右的值的符号，如果左正右负，则f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，则f(x)在这个根处取得极小值.(最好通过列表法)
知识点三：函数的最大值与最小值
（一）函数的最大值与最小值定理
若函数在闭区间上连续，则在上必有最大值和最小值；在开
区间内连续的函数不一定有最大值与最小值.如.
（二）求函数最值的的基本步骤：
若函数在闭区间有定义，在开区间内有导数，则求函数
在上的最大值和最小值的步骤如下：（1）求函数在内的导数（2）求
在内的极值；
（3）求在闭区间端点处的函数值，；
（4）将的各极值与，比较，其中最大者为所求最大值，最小者为所求最小值.
（三）最值理论的应用
解决有关函数最值的实际问题，导数的理论是有力的工具，基本解题思路为：
（1）认知、立式：分析、认知实际问题中各个变量之间的联系，引入变量，建立适当的函数关系；
（2）探求最值：立足函数的定义域，探求函数的最值；
（3）检验、作答：利用实际意义检查（2）的结果，并回答所提出的问题，特殊地，如。