高二数学选修2-2导数的定义、计算及其应用
高中数学选修2-2几个常见函数的导数课件
Δx
Δx
x(x +Δx)Δx
=
-
x2
+
1 xΔx
∴y' = lim Δy = lim(- 1 )= - 1
δx→0Δx δx→0 x2 + xΔx
x2
新知探究
探究
画出函数y = 1 的图像， x
根据图像，描述它的变化情 况，并求出曲线在点（1，1） 处的切线方程.
新知探究
结合函数图像及其导数
y'
新知探究
x 3. 函数y=f(x)= 2 的导数
证明：
∵ Δy = f(x + Δx) - f(x) = (x + Δx)2 - x2
Δx
Δx
Δx
= x2 + 2x× Δx +(Δx)2 - x2 Δx
= 2x + Δx
∴y' lim Δy lim(2x + Δx) = 2x. x0 Δx x0
x
（3）求极限 y lim y . x0 x
课前导入
我们知道，导数的几何意义是曲线在某点处的切线的斜率，物理意义是运动物体在某一时刻的瞬 时速度.那么，对于函数y=f(x)，如何求它的导数呢？ 上节内容，我们讲述了导数的定义，可以根据定义求导数. 这节课我们求几个常见函数的导数.
课前导入
本节知识结构
Δx
Δx
Δx
=
1
x + Δx + x
∴y' = lim Δy = lim
1
=1
δx→0 Δx δx→0 x + Δx + x 2 x
新知探究
知识拓展
公式2:( x n ) nx n1 (n. Q)
高中数学人教版选修22导数及其应用知识点总结.pdf
数学选修 2-2 数系的扩充和复数的概念知识点必记
30.复数的概念是什么？ 答：形如 a．+．b．i．的数叫做复数，其中 i 叫虚数单位， a 叫实部， b 叫虚部，数集
C = a + bi | a,b R 叫做复数集。
规定：a + bi = c + di a．=．c．且．b．=．d．，强调：两复数不能比较大小，只有相等或不相
和综合法常结合使用，不要将它们：即反证法：是指从否定的结论出发，经过逻辑推理，导出矛盾，证实结论的
否定是错误的，从而肯定原结论是正确的证明方法。
25.反证法的一般步骤是什么？
答：（1）假设命题结论不成立，即假设结论的反面成立；
（2）从假设出发，经过推理论证，得出矛盾；
22.什么是综合法？
答：综合法就是“由因导果”，从已知条件出发，不断用必要条件代替前面的条
件，直至推出要证的结论。
23.什么是分析法？
答：分析法就是从所要证明的结论出发，不断地用充分条件替换前面的条件或者
一定成立的式子，可称为“由果索因”。
要注意叙述的形式：要证 A，只要证 B，B 应是 A 成立的充分条件. 分析法
个是最小值。 注：实际问题的开区间唯一极值点就是所求的最值点；
9．求曲边梯形的思想和步骤是什么？
答：分割 → 近似代替 → 求和 → 取极限 （“以直代曲”的思想）
10.定积分的性质有哪些？ 根据定积分的定义，不难得出定积分的如下性质：
性质 1
b
1dx = b − a
a
性质 5
若 f (x) 0,
特别地：
b
kf (x)dx = k
a
b f (x)dx(k为常数)
a
_高中数学第一章导数及其应用2
f(x)＝1x
f ′(x)＝－x12＝－x－2
f(x)＝ x
f ′(x)＝21 x＝12x－12
f(x)＝x3
f′(x)＝3x2
结论：若f(x)＝xα(α为有理数)，则f′(x)＝αxα－1.
1．y＝c表示平行于x轴的直线，或与x轴重合的直线， 其斜率为0，故y＝c上任一点处的导数值为____0____， 直线y＝x的斜率为1，故直线y＝x上任一点处的导数值 为___1_____.
[分析] 只需求出K、Q两点的横坐标即可．
[解析]
设P(x0，y0)，则kl1＝y′|x＝x0＝2
1 x0
.
∵直线l1与l2垂直，则kl2＝－2 x0，
∴直线l2的方程为y－y0＝－2 x0(x－x0)．
∵点P(x0，y0)在曲线y＝ x上，∴y0＝ x0.
在直线l2的方程中令y＝0，则－ x0＝－2 x0(x－x0)．
2．当y＝c表示路程关于时间的函数时，常数c表明路 程不变化，因此一直处于__静__止____状态，故瞬时速度 为___0_____，因此y′＝____0____；
当y＝x表示路程关于时间的函数时，路程的改变量等 于时间的改变量，因此物体做匀速直线运动，瞬时速 度为___1_____，故y′＝____1____.
当P点不是切点时，设切点为A(x0，y0)，由定义可求得切 线的斜率为k＝3x20.
∵A在曲线上，∴y0＝x30，∴xx300－－82＝3x20，
∴x30－3x20＋4＝0，∴(x0＋1)(x0－2)2＝0， ∴x0＝－1或x0＝2(舍去)，∴y0＝－1，k＝3， 此时切线方程y＋1＝3(x＋1)，即3x－y＋2＝0. 故经过点P的曲线的切线有两条，方程为12x－y－16＝0和 3x－y＋2＝0. [警示] 求曲线过点P的切线时，应注意检验点P是否在曲 线上，若点P在曲线上，应分P为切点和P不是切点讨论．
_高中数学第一章导数及其应用2
[提示] ΔΔyx＝x＋Δx2＋xΔ＋2xΔx－x2＋2x
＝2x＋Δx＋xx－＋2Δx
∴ lim Δx→0
2x＋Δx＋xx－＋2Δx
＝2x－x22.
Байду номын сангаас
[问题3] F(x)的导数与f(x)、g(x)的导数有何关系？ [提示] F(x)的导数等于f(x)、g(x)导数和．
[问题 4] 试说明 y＝cos3x－π4如何复合的． [提示] 令 u＝g(x)＝3x－π4，y＝f(u)＝cos u，
(3)y′＝(2x2＋3)′·(3x－2)＋(2x2＋3)·(3x－2)′
＝4x·(3x－2)＋(2x2＋3)·3
＝18x2－8x＋9.
(4)y′＝xl＋n x1′－(2x)′
＝1xx＋x＋1－ 12ln
x －2xln
2
＝1＋x1x＋－1ln2
x －2xln
2.
二. 复合函数的导数
例题 2 求下列函数的导数：
(1)y＝1－12x3；
(2)y＝cos x2；
(3)y＝sin3x－π4； (4)y＝lg(2x2＋3x＋1)．
• [思路点拨] 解答本题可先分析复合函数的复合过 程，然后运用复合函数的求导法则求解．
解析： (1)设 y＝u13，u＝1－2x， 则 y′x＝y′u·u′x ＝u13′·(1－2x)′ ＝－3u－4·(－2) ＝1－62x4. (2)设 y＝cos u，u＝x2， 则 y′x＝y′u·u′x＝(cos u)′·(x2)′ ＝－sin u·2x ＝－2x·sin x2.
(4)开始学习求复合函数的导数要一步步写清楚，熟 练后中间步骤可省略．
特别提醒：只要求会求形如f(ax＋b)的复合函数的导 数．
高中数学选修2-2第一章知识点及测试题
高中数学选修2-2知识点总结第一章 导数及其应用1. 平均变化率 xf x f x y x x ∆-∆+=∆∆)()(00 2. 导数（或瞬时变化率） x x f x x f x f x ∆-∆+='→∆)()(lim)(0000导函数(导数)： xx f x x f x f x ∆-∆+='→∆)()(lim )(03. 导数的几何意义：函数y ＝f (x )在点x 0处的导数f '(x 0)就是曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率，即k ＝f '(x 0)．4. 导数的运算：(1)几种常见函数的导数：①(C )′＝0(C 为常数)； ②(x α)′＝1x αα-(x ＞0，Q α∈)； ③(sin x )′＝cos x ； ④(cos x )′＝－sin x ； ⑤(e x )′＝e x ； ⑥(a x )′＝a x ln a (a ＞0，且a ≠1)； ⑦xx 1)(ln =； ⑧1(log )ln a x x a =(a ＞0，且a ≠1)．(2)导数的运算法则：①[u (x )±v (x )]′＝u ′(x )±v ′(x )； ②[u (x )v (x )]′＝u ′(x )v (x )＋u (x )v ′(x )； ③)0)(()()()()()(])()([2=/'-'='⋅x v x v x v x u x v x u x v x u . 5. 设函数()u x ϕ=在点x 处有导数()x u x ϕ'='，函数()y f u =在点x 的对应点u 处有导数()u y f u '='，则复合函数(())y f x ϕ=在点x 处也有导数，且x u x u y y '''⋅= 或(())()()x f x f u x ϕϕ'='⋅'。
高中数学选修2-2(人教B版)第一章导数及其应用1.2知识点总结含同步练习题及答案
′
解：（1）y ′ = (e3x+2 ) = e3x+2 ⋅ (3x + 2)′ = 3e3x+2 ； （2）y ′ = (ln(2x − 1))′ =
1 2 ． ⋅ (2x − 1)′ = 2x − 1 2x − 1
2.利用导数求函数的切线方程 描述： 利用导数求函数的切线方程 步骤一：求出函数 y = f (x) 在点 x0 处的导数 f ′ (x0 ) ； 步骤二：根据直线方程的点斜式，得到切线方程为 y − f (x0 ) = f ′ (x0 )(x − x0 )． 例题： 求曲线 y = ex + 1 在 (0, 2) 处的切线方程． 解：因为 y = ex + 1，所以 y ′ = ex ，故曲线 y = ex + 1在 (0, 2)处的切线斜率为
解：（1）因为 y =
所以在点 P 处的切线的斜率等于 4 ．所以在点 P 处的切线方程是
y−
即
8 = 4(x − 2), 3
12x − 3y − 16 = 0.
（2）设切点为 (x 0 , y 0 )，则由（1）知切线的斜率 k = x2 ，切线方程为 y − y 0 = x2 (x − x 0 ) ． 0 0 又切线过点 P (2,
8 1 ) 且 (x0 , y 0 ) 在曲线 y = x3 上，所以 3 3 ⎧ ⎪ 8 − y = x2 (2 − x0 ), 0 0 ⎨3 1 ⎪ ⎩ y = x3 , ⎪ 0 3 0 − 3x2 + 4 = 0, x3 0 0
整理得
即
(x0 − 2)2 (x0 + 1) = 0.
高中新课程数学(新课标人教A版)选修2-2《第一章 导数及其应用》知识点、考点、及其例题
第一章导数及其应用知识点及练习题知识点1：导数概念的引入1. 导数的物理意义：瞬时速率。
一般的，函数()y f x =在0x x =处的瞬时变化率是000()()limx f x x f x x∆→+∆-∆，我们称它为函数()y f x =在0x x =处的导数，记作0()f x '或0|x x y ='， 即0()f x '=000()()limx f x x f x x∆→+∆-∆2. 导数的几何意义：曲线的切线.通过图像,我们可以看出当点n P 趋近于P 时，直线PT 与曲线相切。
容易知道，割线n PP 的斜率是00()()n n n f x f x k x x -=-，当点n P 趋近于P 时，函数()y f x =在0x x =处的导数就是切线PT 的斜率k ，即000()()lim ()n x n f x f x k f x x x ∆→-'==-3. 导函数：当x 变化时，()f x '便是x 的一个函数，我们称它为()f x 的导函数. ()y f x =的导函数有时也记作y ',即0()()()limx f x x f x f x x∆→+∆-'=∆考点：导数的几何意义及其应用[例题] 已知曲线y ＝13x 3＋43.(1)求曲线在点P (2，4)处的切线方程；(2)求曲线过点P (2，4)的切线方程； (3)求斜率为4的曲线的切线方程．[变式训练] 已知函数f(x)＝x3＋x －16.(1)求曲线y ＝f(x)在点(2，－6)处的切线的方程；(2)直线l 为曲线y ＝f(x)的切线，且经过原点，求直线l 的方程及切点坐标．知识点2：导数的计算1）基本初等函数的导数公式:1若()f x c =(c 为常数)，则()0f x '=； 2 若()f x x α=,则1()f x xαα-'=;3 若()sin f x x =,则()cos f x x '=4 若()cos f x x =,则()sin f x x '=-;5 若()xf x a =,则()ln x f x a a '=6 若()x f x e =,则()xf x e '=7 若()log xa f x =,则1()ln f x x a '=8 若()ln f x x =,则1()f x x'=2）导数的运算法则1. [()()]()()f x g x f x g x '''±=±2. [()()]()()()()f x g x f x g x f x g x '''•=•+•3. 2()()()()()[]()[()]f x f xg x f x g x g x g x ''•-•'= 3）复合函数求导()y f u =和()u g x =,称则y 可以表示成为x 的函数,即(())y f g x =为一个复合函数 (())()y f g x g x '''=•考点：导数的求导及运算1、已知()22sin f x x x π=+-，则()'0f =2、若()sin x f x e x =，则()'f x =3.)(x f =ax 3+3x 2+2 ，4)1(=-'f ，则a=（ ）319.316.313.310.D C B A 4.过抛物线y=x 2上的点M )41,21(的切线的倾斜角是（） A.30° B.45° C.60° D.90° 5.如果曲线2932y x =+与32y x =-在0x x =处的切线互相垂直，则0x =知识点3：导数在研究函数中的应用1.函数的单调性与导数:一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系：在某个区间(,)a b 内，如果()0f x '>，那么函数()y f x =在这个区间单调递增； 如果()0f x '<，那么函数()y f x =在这个区间单调递减. 2.函数的极值与导数极值反映的是函数在某一点附近的大小情况. 求函数()y f x =的极值的方法是:(1) 如果在0x 附近的左侧()0f x '>,右侧()0f x '<,那么0()f x 是极大值;(2) 如果在0x 附近的左侧()0f x '<,右侧()0f x '>,那么0()f x 是极小值; 4.函数的最大(小)值与导数函数极大值与最大值之间的关系.求函数()y f x =在[,]a b 上的最大值与最小值的步骤 （1） 求函数()y f x =在(,)a b 内的极值；（2） 将函数()y f x =的各极值与端点处的函数值()f a ，()f b 比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值.考点：1.导数在研究函数单调性中的应用2.导数在求函数极值与最值中的应用题型一：导数在研究函数单调性中的应用[例题] 设函数f (x )＝x e a －x ＋bx ，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为y＝(e －1)x ＋4.(1)求a ，b 的值； (2)求f (x )的单调区间．[变式训练] 设函数f(x)＝xekx(k ≠0)．(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)若函数f(x)在区间(－1，1)内单调递增，求k 的取值范围．题型二：导数在求函数极值与最值中的应用[例题]已知函数f(x)＝－x3＋ax2＋bx在区间(－2，1)内，当x＝－1时取极小值，当x＝23时取极大值．(1)求函数y＝f(x)在x＝－2时的对应点的切线方程；(2)求函数y＝f(x)在[－2，1]上的最大值与最小值．[变式训练] 设函数f(x)＝[ax2－(4a＋1)x＋4a＋3]e x.(1)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程与x轴平行，求a；(2)若f(x)在x＝2处取得极小值，求a的取值范围．知识点4：解决实际问题利用导数的知识,,求函数的最大(小)值,从而解决实际问题考点：1、导数在切线方程中的应用2、导数在单调性中的应用3、导数在极值、最值中的应用4、导数在恒成立问题中的应用题型一：导数在切线方程中的运用1.曲线3x y =在P 点处的切线斜率为k,若k=3，则P 点为（ ） A.（－2，－8） B.（－1，－1）或（1，1）C.（2，8）D.（－21，－81）2.曲线53123+-=x x y ，过其上横坐标为1的点作曲线的切线，则切线的倾斜角为（ ） A.6π B.4π C.3π D.π43题型二：导数在单调性中的运用1.函数32()31f x x x =-+是减函数的区间为( ) A.(2,)+∞ B.(,2)-∞ C.(,0)-∞ D.(0,2)2．关于函数762)(23+-=x x x f ，下列说法不正确的是（ ） A ．在区间（∞-，0）内，)(x f 为增函数 B ．在区间（0，2）内，)(x f 为减函数 C ．在区间（2，∞+）内，)(x f 为增函数 D ．在区间（∞-，0）),2(+∞⋃内,)(x f 为增函数3．已知函数()y xf x '=的图象如右图所示(其中'()f x 是函数()f x 的导函数)，下面四个图象中()y f x =的图象大致是（ ）4、（2010年山东21）（本小题满分12分）已知函数).(111)(R a xaax nx x f ∈--+-= （Ⅰ）当处的切线方程；在点时，求曲线))2(,2()(1f x f y a=-=（Ⅱ）当12a ≤时，讨论()f x 的单调性．题型三：导数在最值、极值中的运用1.函数93)(23-++=x ax x x f ，已知)(x f 在3-=x 时取得极值，则a =（ ） A ．2B. 3C. 4D.52．函数5123223+--=x x x y 在[0,3]上的最大值与最小值分别是（ ） A.5 , - 15 B.5 , 4 C.- 4 , - 15 D.5 , - 163.已知函数)0()(3≠++=adcxaxxf是R上的奇函数，当1=x时)(xf取得极值－2.（1）试求a、c、d的值；（2）求)(xf的单调区间和极大值；4.设函数2312)(bxaxexxf x++=-，已知12=-=xx和为)(xf的极值点。
(人教版)高中数学选修2-2课件：第1章 导数及其应用1.1.3
第一章 导数及其应用
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1.1.3 导数的几何意义
数学 选修2-2
第一章 导数及其应用
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[思路点拨]
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求曲线上某点(x0，y0)处切线方程的步骤： 求出f′x0即切线斜率 ↓ 写出切线的点斜式方程 ↓ 化简切线方程
时，割线 PQ 逼近点 P 的切线 l，从而割线的斜率逼近切线 l 的
斜率．因此，函数 f(x)在 x＝x0 处的导数就是切线 l 的斜率 k， 即
k＝ lim Δx→0
fx0＋ΔΔxx－fx0＝f′(x0)．
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第一章 导数及其应用
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1 ． 设 f′(x0) ＝ 0 ， 则 曲 线 y ＝ f(x) 在 点 (x0 ， f(x0)) 处 的 切 线
()
A．不存在
B．与x轴平行或重合
C．与x轴垂直
D．与x轴相交
解析： 在点(x0，f(x0))处切线斜率为0的直线与x轴平行或 重合，故选B.
答案： B
数学 选修2-2
第一章 导数及其应用
高中数学 选修2-2 第一章 1.2 导数的计算 1.2.1 1.2.2讲解
3 2.
不正确．因为sin 6π ＝ 12 是一个常数，而常数的导
数为零，所以sin6π′＝0.
指数函数、对数函数的导数公式的记忆对于公式(ln
x)′＝
1 x
，(ex)′＝ex很好记，但公式(logax)′＝
1 xln
a
，(ax)′
＝axln a的记忆比较难，设平行于直线y＝x的直线与曲线y ＝ex相切于点P(x0，y0)，该切点即为与y＝x距离最近的点， 如图所示．
则在点P(x0，y0)处的切线斜率为1，即y′|x＝x0＝1. ∵y′＝(ex)′＝ex， ∴ex0＝1，
得x0＝0，代入y＝ex，得y0＝1，即P(0,1)．
利用点到直线的距离公式得最小距离为|0－1|＝ 2
5．一质点沿直线运动的路程和时间的关系是s＝ 5 t ， 求质点在t＝4时的速度．
解：∵s＝5 t＝t51，∴s′＝(t15)′＝15t－45.
t＝4时，s′＝15·4－54＝
1 5
.
10 8
即质点在t＝4时的速度为 1 . 5
10 8
∴y′＝(x32)′＝32x21＝32
x .
(2)y＝x5，∴y′＝(x5)′＝5x4.
求曲线y＝lg x在点M(10,1)处的切线的斜率 和切线方程．
【分析】 M(10,1)在曲线上，故所求切线斜率就是 函数y＝lg x在x＝10处的导数．
【解】 ∵y′＝(lg x)′＝xln110，∴y′|x＝10＝10l1n 10. ∴曲线y＝lg x在点M(10,1)处的切线的斜率为k＝10l1n 10. ∴切线方程为y－1＝10l1n 10(x－10)， 即x－(10ln 10)y＋10(ln 10－1)＝0.
(x0，x02)．
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19 反证法：是指从否定的结论出发，经过逻辑推理，导出矛盾，证实结论的否 定是错误的，从而肯定原结论是正确的证明方法。
反证法的一般步骤（1）假设命题结论不成立，即假设结论的反面成立； （2）从假设出发，经过推理论证，得出矛盾；（3）从矛盾判定假设不正确， 即所求证命题正确。反证法的思维方法:正难则反。矛盾（1）与已知条件矛盾: （2）与已有公理、定理、定义矛盾； （3）自相矛盾． 20 常见的“结论词”与“反义词”
常见的导数和定积分运算公式:若 f x， g x均可导（可积），则有：
和差的导数运算 积的导数运算 商的导数运算 复合函数的导数 微积分基本定理
和差的积分运算
积分的区间可加性
-1-
六安一中东校区高二数学选修 2-x)的导数 f '(x) ②令 f '(x) >0,解不等
证明当 n=k+1 时命题也成立.由(1)，(2)可知，命题对于从 n0 开始的所有正整数
n
都正确
新疆 王新敞
[注]：常用于证明不完全归纳法推测所得命题的正确性的证明。
b
f (x)dx
a
a
c1
ck
11 定积分的取值情况:定积分的值可能取正值，
也可能取负值，还可能是 0.
( l ）当对应的曲边梯形位于 x 轴上方时，
定积分的值取正值，且等于 x 轴上方的图形面积；
（2）当对应的曲边梯形位于 x 轴下方时， 定积分的值取负值，且等于 x 轴上方图形面积的 相反数；
（3）当位于 x 轴上方的曲边梯形面积等于 位于 x 轴下方的曲边梯形面积时，定积分的值 为 0，且等于 x 轴上方图形的面积减去下方的图 形的面积．
原结论词
反义词
高中数学 第一章 导数及其应用 1.2 导数的计算 导数概念与运算基础知识总结素材 新人教A版选修2-2
导数概念与运算基础知识总结知识清单 1．导数的概念函数y=f(x),如果自变量x 在x 0处有增量x ∆，那么函数y 相应地有增量y ∆=f （x 0+x ∆）－f （x 0），比值xy∆∆叫做函数y=f （x ）在x 0到x 0+x ∆之间的平均变化率，即x y ∆∆=x x f x x f ∆-∆+)()(00。
如果当0→∆x 时，xy ∆∆有极限，我们就说函数y=f(x)在点x 0处可导，并把这个极限叫做f （x ）在点x 0处的导数，记作f’（x 0）或y’|0x x =。
即f （x 0）=0lim →∆x xy∆∆=0lim →∆x x x f x x f ∆-∆+)()(00。
说明：（1）函数f （x ）在点x 0处可导，是指0→∆x 时，x y ∆∆有极限。
如果xy∆∆不存在极限，就说函数在点x 0处不可导，或说无导数。
（2）x ∆是自变量x 在x 0处的改变量，0≠∆x 时，而y ∆是函数值的改变量，可以是零。
由导数的定义可知，求函数y=f （x ）在点x 0处的导数的步骤（可由学生来归纳）：（1）求函数的增量y ∆=f （x 0+x ∆）－f （x 0）； （2）求平均变化率xy ∆∆=x x f x x f ∆-∆+)()(00；（3）取极限，得导数f’(x 0)=xyx ∆∆→∆0lim 。
2．导数的几何意义函数y=f （x ）在点x 0处的导数的几何意义是曲线y=f （x ）在点p （x 0，f（x 0））处的切线的斜率。
也就是说，曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线的斜率是f’（x 0）。
相应地，切线方程为y －y 0=f /（x 0）（x －x 0）。
3．几种常见函数的导数:①0;C '= ②()1;n n x nx -'= ③(sin )cos x x '=; ④(cos )sin x x '=-;⑤();x x e e '=⑥()ln x x a a a '=; ⑦()1ln x x '=; ⑧()1l g log a a o x e x '=.4．两个函数的和、差、积的求导法则法则1：两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差)， 即： (.)'''v u v u ±=±法则2：两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个函数乘以第二个函数的导数，即：.)('''uv v u uv +=若C 为常数,则'''''0)(Cu Cu Cu u C Cu =+=+=.即常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数： .)(''Cu Cu =法则3：两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方：⎪⎭⎫⎝⎛v u ‘=2''v uv v u -（v ≠0）。
高中数学选修2-2第一章-导数及其应用
第一章 导数及其应用目录
§1.1.1变化率问题（新授课）
§1.1.2导数的概念（新授课）
§1.1.3导数的几何意义（新授课）
§1.2.1几个常用函数的导数（新授课）
§1.2.2第一课时：基本初等函数的导数公式及
导数的运算法则（新授课）
§1.2.2第二课时：复合函数的求导法则（新授课）
§1.3.1函数的单调性与导数（2课时）(新授课)
二、教学重点与难点：
重点：平均变化率的概念、函数在某点处附近的平均变化率；
难点：平均变化率的概念．
三、教学过程：
（一）．创设情景
为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现象，在数学中引入了函数，随着对函数的研究，产生了微积分，微积分的创立以自然科学中四类问题的处理直接相关：
1、已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体在任意时刻的速度与加速度等;
§3.3.2函数的极值与导数（2课时）（新授课）
§1.3.3函数的最大（小）值与导数（2课时）（新授课）
§1.4生活中的优化问题举例（2课时）（新授课）
§1.5.1曲边梯形的面积（新授课）
§1.5.2汽车行驶的路程（新授课）
§1.5.3定积分的概念（新授课）
§1.6微积分基本定理（新授课）
§1.7定积分的简单应用（两课时）（新授课）
⑴运动员在这段时间内使静止的吗？
⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？
探究过程：如图是函数h(t)=-4.9t2+6.5t+10的图像，结合图形可知， ，
所以 ，
虽然运动员在 这段时间里的平均速度为 ，但实际情况是运动员仍然运动，并非静止，可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态．
高中数学选修2-2(人教A版)第一章导数及其应用1.1知识点总结含同步练习及答案
导数的几何意义当点趋近于点时，割线
趋近于确定的位置，这个确定位置的直线 P n P (,f ()) x 0x 0 P P n P P
)．
．
．
．
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解析：图像中每点的斜率均表示这一时刻的速度．
答案：解析：4. 如图，一个正五角星薄片（其对称轴与水面垂直）匀速地升出水面，记 时刻五角星露出水面部分的图形面积为
，则导函数 的图象大致为
．
A ．
B ．
C
．D ．
A
导函数 为单位时间内五角星出水的面积率，由图可知当一个角出来时，面积率由 开始，逐渐增多，当一个角
都出完了，则面积率一下由最大开始减小，当出最后两个角时，面积率会先增加，然后减小到 ．
t S (t )(S (0)=0)y =(t )S ′()y =(t )S ′0。
高中数学选修2-2导数的概念及应用(包括切线的计算)
导数的概念以及应用一、平均变化率（平均速度）例1.小明运动的路程S满足S(t)=14t2,求（1）小明在0秒到1秒的平均速度（2）在19秒到20秒的平均速度（3）在t1秒到t2秒的平均速度v̅=∆s∆t称为从t1秒到t2秒的平均变化率小结：对于函数y=f(x),当自变量x从x1变为x2时，函数值从f(x1)变为f(x2)，它的平均变化率为：f(x2)−f(x1)x2−x1记∆x=x2−x1,∆y= f(x2)−f(x1)，则∆y∆x =f(x2)−f(x1)x2−x1=f(x1+∆x)−f(x1)∆x平均变化率的几何意义：代表割线的斜率二、瞬时变化率（瞬时速度）已知函数f(x)在x=x0的瞬时变化率为lim∆x→0f(x0+∆x)−f(x0)∆x三、导数的定义一般的，函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率为lim ∆x→0f(x0+∆x)−f(x0)∆x=lim∆x→0∆y∆x,我们称它为函数y=f(x)在x=x0处的导数，记作f′(x0)或y′｜x=x0,即f′(x0)=lim∆x→0∆y∆x=lim∆x→0f(x0+∆x)−f(x0)∆x小结：求函数y =f (x )在点x 0处的导数的步骤 1. 求函数的增量，∆y = f (x 0+∆x )−f(x 0) 2. 求函数的平均变化率，∆y∆x3. 取极限，得导数四、导数的几何意义(1)切线的概念：如图，对于割线PP n ，当点P n 趋近于点P 时，割线PP n 趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT 称为点P 处的切线．4.(2)导数的几何意义：函数f (x )在x ＝x 0处的导数就是切线PT 的斜率k ，即k ＝li m Δx →0f x 0＋Δx －f x 0Δx＝f ′(x 0)．题型一、导数定义的应用1．用导数的定义求下列函数的导数：()1 2()y f x x ==；()2 24()y f x x ==2．()1已知000(2)()lim 13x f x x f x x→--=△△△，求0()f x '()2若(3)2f '=，则1(3)(12)lim 1x f f x x →-+=-3. 函数f (x )在x ＝0可导，则lim h →af (h )－f (a )h －a＝( )A ．f (a )B ．f ′(a )C ．f ′(h )D ．f (h )4.已知函数y ＝x 2＋1的图像上一点(1,2)及邻近点(1＋Δx,2＋Δy )，则lim Δx →0ΔyΔx ＝( )A ．2B ．2xC ．2＋ΔxD ．2＋Δx 25.设f (x )为可导函数，且满足lim x →0f (1)－f (1－2x )2x＝－1，则f ′(1)的值为( )A ．2B ．－1C ．1D ．－26.若一物体运动方程如下：(位移：m ，时间：s)s ＝⎩⎪⎨⎪⎧3t 2＋2 (t ≥3)， ①29＋3(t －3)2(0≤t <3). ② 求：(1)物体在t ∈[3,5]内的平均速度； (2)物体的初速度v 0；(3)物体在t ＝1时的瞬时速度．7．设f ′(x 0)＝0，则曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线( )A ．不存在B ．与x 轴平行或重合C ．与x 轴垂直D ．与x 轴斜交8．设f (x )＝2x ，则lim x →af (x )－f (a )a －x等于( )A．－2a B.2aC．－2a2 D.2a2题型二、求曲线的切线方程[典例] 已知曲线C：y＝13x3＋43，求曲线C上的横坐标为2的点处的切线方程．【小结】1．过曲线上一点求切线方程的三个步骤2．求过曲线y＝f(x)外一点P(x1，y1)的切线方程的六个步骤(1)设切点(x0，f(x0))．(2)利用所设切点求斜率k＝f′(x0)＝li mΔx→0f x＋Δx－f x0Δx.(3)用(x0，f(x0))，P(x1，y1)表示斜率．(4)根据斜率相等求得x0，然后求得斜率k.(5)根据点斜式写出切线方程．(6)将切线方程化为一般式．【练习】过点(1，－1)且与曲线y＝x3－2x相切的直线方程为( )A．x－y－2＝0或5x＋4y－1＝0B．x－y－2＝0C．x－y－2＝0或4x＋5y＋1＝0D．x－y＋2＝0题型三、求切点坐标【小结】求切点坐标可以按以下步骤进行(1)设出切点坐标；(2)利用导数或斜率公式求出斜率；(3)利用斜率关系列方程，求出切点的横坐标；(4)把横坐标代入曲线或切线方程，求出切点纵坐标[典例] 已知抛物线y＝2x2＋1分别满足下列条件，请求出切点的坐标．(1)切线的倾斜角为45°.(2)切线平行于直线4x－y－2＝0.(3)切线垂直于直线x＋8y－3＝0.．【练习】直线l：y＝x＋a(a≠0)和曲线C：y＝x3－x2＋1相切，则a的值为___________，切点坐标为____________．题型四：在点和过点的区别[典例] 已知曲线y ＝1x.(1)求曲线在点P (1,1)处的切线方程； (2)求曲线过点Q (1,0)处的切线方程．练习、当常数k 为何值时，直线y ＝x 与曲线y ＝x 2＋k 相切？请求出切点．题型五、与切线有关的综合问题[典例] (1)函数y ＝2cos 2x 在x ＝π12处的切线斜率为________．(2)已知函数f (x )＝ax 2＋ln x 的导数为f ′(x )， ①求f (1)＋f ′(1)．②若曲线y ＝f (x )存在垂直于y 轴的切线，求实数a 的取值范围．【对点训练】1.若存在过点(1,0)的直线与曲线y ＝x 3和y ＝ax 2＋154x －9都相切，则a 的值为( )A ．－1或－2564B ．－1或214C ．－74或－2564D ．－74或72.（2016全国卷Ⅲ）已知f(x)为偶函数，当x ＜0时，f(x)=f （-x ）+3x ，则曲线y=f （x ）在点（1，-3）处的切线方程是（2014新课标全国Ⅱ）设曲线y=ax-ln （x+1）在点（0,0）处的切线方程为y=2x ，则a=A. 0B.1C.2D.34.（2016全国卷Ⅱ）若直线y=kx+b 是曲线y=lnx+2的切线，也是曲线y=ln （x+1）的切线，则b=5.（2014江西）若曲线y=e -x 上点P 处的切线平行于直线2x+y+1=0，则点P 的坐标是6.（2014江苏）在平面直角坐标系中，若曲线y=ax 2+xb（a ，b 为常数）过点P （2，-5），且该曲线在点P 处的切线与直线7x+2y+3=0平行，则a+b= 7.（2012新课标全国）设点P 在曲线y=21e x上，点Q 在曲线y=ln （2x ）上，则▕PQ ▏的最小值为A.1-ln2B.2（1-ln2）C.1+ln2D.2(1+ln2) 8.若存在过点（1,0）的直线与曲线y=x 3和y=ax 2+415x-9都相切，则a 等于 9.抛物线y=x 2上的点到直线x-y-2=0的最短距离为 A.2B.827C. 22D. 110.已知点P 在曲线y=14+x e 上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是2.切线的条数问题切线的条数问题====以切点0x 为未知数的方程的根的个数 公切线问题：（1）切点相同。
[高二数学]数学选修2-2-导数及其应用
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三、函数的单调性与导数 1.导数与函数单调性 函数y=f(x)在某个区间(a,b)内可导，如果f′(x)＞0，则 y=f(x)在这个区间内单调递增；如果f′(x)＜0，则y=f(x)在 这个区间内单调递减.
2.讨论函数单调性应注意的问题 (1)在利用导数来讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的 定义域，解决问题的过程只能在定义域内通过讨论导数的符号 来判断函数的单调区间. (2)一般利用使导数等于零的点来分函数的单调区间. (3)如果一个函数具有相同单调性的单调区间不止一个，那么 这些单调区间之间不能用“∪”连接，而只能用“，”或“和” 字隔开.
二、导数的计算
1.基本初等函数的导数公式
(1)(c)′=0，(c为常数).
(2)(xα)′=αxα-1(α∈Q*).
(3)(sinx)′=cosx.
(4)(cosx)′=-sinx.
(5)(ax)′=axlna(a>0且a≠1).
(6)(ex)′=ex.
(7)(logax)′=
1 x ln a
(a>0且a≠1).
(4)注意在某一区间内f′(x)＞0(或f′(x)＜0)是函数f(x)在 该区间上为增(或减)函数的充分不必要条件，而不是充要条件 (例如，f(x)=x3). (5)如果函数在某个区间内恒有f′(x)=0，则f(x)为常数函数. (6)利用导数的符号判断函数的增减性，这是导数的几何意义 在研究曲线变化规律中的一个应用，它充分体现了数形结合思 想. (7)若在某区间上有有限个点使f′(x)=0，在其余的点恒有 f′(x)＞0，则f(x)在该区间上仍为增函数.
七、微积分基本定理
定理内容
符号表示
作用
如果f(x)是区间［a,b］上 的连续函数，并且 F′(x)=f(x)，那么
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［gfxx］ gfxxgx0,
避免与［f(x)+g(x)］′=f′(x)+g′(x)混淆.
②若c为常数，则［c·f(x)］′=c·f′(x).
3.复合函数求导 (1)定义：一般地，对于两个函数y=f(u)和u=g(x)，如果通过 变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y=f(u) 和u=g(x)的复合函数.记作y=f(g(x)). (2)复合函数的求导法则 由y=f(u)和u=g(x)复合的复合函数y=f(g(x))的导数 y′=f′(u)·g′(x)
2.函数的最大值与最小值
(1)设y＝f(x)是定义在区间［a ,b］上的函数，y＝f(x)在
(a ,b)内可导，则函数y＝f(x)在［a ,b］上一定有最大值
化
x2 x1
率 简记作: y .
x
①平均速度; 刻画函数值在
②曲线割线的 区间［x1,x2］
斜率.
上变化的快慢.
定义
实例
作用
函数y=f(x)在x=x0处的瞬
时变化率是函数f(x)从x0 瞬 时 到x0+Δx的平均变化率在
变 Δx趋近于0时的极限,即
化 率
lim f x0 x f x0
x0
第一章 阶段复习课
及时回顾基础有助于提升学科综合素养。本栏目精心梳理 单元主干基础知识，系统全面、层次清晰，便于快速回顾、高 效理解，以达事半功倍之目的。
一、变化率与导数 1.函数的变化率 (1)相关概念:
定义
实例
作用
平 均
函数y=f(x)从x1到x2的平
变 均变化率为 f (x2 ) f (x1) ,
【辨析】 函数的单调性与导数的关系
若函数f(x)可导，其导数与函数的单调性的关系如下，以增函 数为例来说明： (1)f′(x)>0能推出f(x)为增函数，但反之不一定,即f′(x)>0 是f(x)为增函数的充分不必要条件. (2)f′(x)≠0时，f′(x)>0是f(x)为增函数的充要条件. (3)f(x)为增函数的充要条件为f′(x)≥0且f′(x)不恒为0.
x
lim y . x0 x
①瞬时速度; ②曲线的切线 的斜率.
刻画函数值在 x0点附近变化 的快慢.
(2)有关说明: ①瞬时变化率是平均变化率的极限. ②函数变化率的绝对值的大小说明了函数增减的快慢.绝对值 越大，函数增减得越快，从图象上看表现为曲线的陡缓程度， 绝对值越大，图象越陡.
2.导数
二、导数的计算
1.基本初等函数的导数公式
(1)(c)′=0，(c为常数).
(2)(xα)′=αxα-1(α∈Q*).
(3)(sinx)′=cosx.
(4)(cosx)′=-sinx.
(5)(ax)′=axlna(a>0且a≠1).
(6)(ex)′=ex.
(7)(logax)′=
x
1 ln
a
(a>0且a≠1).
四、函数的极值、最值与导数 1.可导函数的极值 (1)定义：设函数f(x)在点x0附近有定义，且对x0附近的所有 点x都有f(x0)>f(x)(或f(x0)<f(x))，则称f(x0)为函数的一个 极大(小)值,称x0为极大(小)值点.
(2)极值中的几个注意问题 可导函数的极值点一定是其导数为0的点，反之，导数为0的点 不一定是该函数的极值点，所以导数为0是该点为极值点的必 要条件，其充分条件还需要再添加“该点两侧的导数异号”. 举例如下： ①导数为0的点是极值点：f(x)=x2,f′(0)=0,x=0是极小值点; ②导数为0的点不是极值点：f(x)=x3,f′(0)=0,x=0不是极值 点.
三、函数的单调性与导数 1.导数与函数单调性 函数y=f(x)在某个区间(a,b)内可导，如果f′(x)＞0，则 y=f(x)在这个区间内单调递增；如果f′(x)＜0，则y=f(x)在 这个区间内单调递减.
2.讨论函数单调性应注意的问题 (1)在利用导数来讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的 定义域，解决问题的过程只能在定义域内通过讨论导数的符号 来判断函数的单调区间. (2)一般利用使导数等于零的点来分函数的单调区间. (3)如果一个函数具有相同单调性的单调区间不止一个，那么 这些单调区间之间不能用“∪”连接，而只能用“，”或“和” 字隔开.
(8)(lnx法则 (1)法则: ①［f(x)±g(x)］′=f′(x)±g′(x). ②［f(x)·g(x)］′=f′(x)·g(x)+f(x)·g′(x).
③［ g fx x ］ fx g ［ x g x f ］ 2 x g x g x 0 .
(2)关于导数运算法则的几点认识:
函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是
lim ylim fx 0 x fx 0，
x x 0
x 0
x
我们称其为函数y=f(x)在x=x0处的导数，
记作f′(x0)或 y |xx0 ，
即 f(x 0 ) lx im 0 x y li x m 0 fx 0 x x fx 0 .
3.函数 y＝f(x) 的导函数
当x=x0时,f′(x0)是一个确定的数,当x变化时,f′(x)是x的一 个函数,我们称它为f(x)的导函数(简称导数).
y=f(x)的导函数有时也记作y′,
即f′(x)=y′=
fxxfx
lim
.
x0
x
【辨析】 导数与导函数的关系
(1)函数在某点处的导数是一个定值，是函数在该点附近的函 数值的改变量与自变量的改变量的比值的极限，不是变量. (2)函数的导函数：是针对某一区间内任一点x而言的. (3)函数f(x)在x0处的导数就是导函数f′(x)在x=x0处的函数 值.
(4)注意在某一区间内f′(x)＞0(或f′(x)＜0)是函数f(x)在 该区间上为增(或减)函数的充分不必要条件，而不是充要条件 (例如，f(x)=x3). (5)如果函数在某个区间内恒有f′(x)=0，则f(x)为常数函数. (6)利用导数的符号判断函数的增减性，这是导数的几何意义 在研究曲线变化规律中的一个应用，它充分体现了数形结合思 想. (7)若在某区间上有有限个点使f′(x)=0，在其余的点恒有 f′(x)＞0，则f(x)在该区间上仍为增函数.