高考数学复习 第十二章 几何证明选讲 文(全国通用)1

【大高考】（五年高考）2016届高考数学复习 第十二章 几何证明选
讲 文（全国通用）
考点一 相似三角形的判定及性质
1．(2014·天津，7)如图，△ABC 是圆的内接三角形，∠BAC 的平分线
交圆于点D ，交BC 于点E ，过点B 的圆的切线与AD 的延长线交于点
F .在上述条件下，给出下列四个结论：①BD 平分∠CBF ；②FB 2＝FD ·FA ；
③AE ·CE ＝BE ·DE ；④AF ·BD ＝AB ·BF .
则所有正确结论的序号是( )
A ．①②
B ．③④
C ．①②③
D ．①②④
解析 由弦切角定理可得∠DBF ＝∠DAB ，又∠CBD ＝∠CAD ＝∠DAB ，所
以∠DBF ＝∠CBD ，即BD 是∠CBF 的平分线，所以①正确；由切割线定理可得②正确；由相交弦定理可得AE CE ＝BE DE ，所以③错误；因为△ABF ∽△BDF ，所以AB AF ＝BD BF
，即AF ·BD ＝AB ·BF ，所以④正确．故正确结论的序号是①②④.
答案 D
2．(2014·陕西，15B)如图，△ABC 中，BC ＝6，以BC 为直径的半圆
分别交AB ，AC 于点E ，F ，若AC ＝2AE ，则EF ＝______．
解析 由圆内接四边形对角互补的特征可得到∠AEF ＝∠ACB ，∴△AEF
∽△ACB ，∴AE AC ＝
EF BC ＝12＝EF 6
，∴EF ＝3. 答案 3
3．(2014·广东，15)如图，在平行四边形ABCD 中，点E 在AB 上且EB ＝2AE ，AC 与DE 交于
点F ，则△CDF 的周长△AEF 的周长＝________．
解析 由CD ∥AE ，得△CDF ∽△AEF ，于是△CDF 的周长△AEF 的周长＝CD AE ＝AB AE
＝3. 答案 3
4．(2013·陕西，15B)如图，AB 与CD 相交于点E ，过E 作BC 的平
行线与AD 的延长线交于点P ，已知∠A ＝∠C ，PD ＝2DA ＝2，则PE ＝________． 解析 ∵PE ∥BC ，∠C ＝∠A ，
∴∠PED ＝∠C ＝∠A .∴△PDE ∽△PEA .∴PE PA ＝PD PE ，即PE 2＝PD ·PA .又PD ＝2，DA ＝1，∴PA ＝3.
∴PE 2＝2×3＝6，故PE ＝ 6.
答案 6 5．(2012·陕西，15B)如图，在圆O 中，直径AB 与弦CD 垂直，垂足
为E ，EF ⊥DB ，垂足为F ，若AB ＝6，AE ＝1，则DF ·DB ＝________．
解析 由相交弦定理得AE ·EB ＝DE 2
，∴DE ＝ 5.
又△DEB ∽△DFE ，∴DE 2＝DF ·DB ＝5.
答案 5
6．(2011·广东，15)如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝4，CD ＝2.E ，F 分别为AD ，BC 上一点，且EF ＝3，EF ∥AB ，则梯形ABFE 与梯形EFCD 的面积比为________．
解析 如图，延长AD ，BC 交于一点O ，作OH ⊥AB 于点H .
∴x
x ＋h 1＝23，得x ＝2h 1，x ＋h 1x ＋h 1＋h 2＝34，得h 1＝h 2. ∴S 梯形ABFE ＝12×(3＋4)×h 2＝72
h 2， S 梯形EFCD ＝12×(2＋3)×h 1＝52
h 1，
∴S 梯形ABFE ∶S 梯形EFCD ＝7∶5.
答案 7∶5
7．(2015·新课标全国Ⅰ，22)如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是⊙O 的切线，BC 交⊙O 于点E .
(1)若D 为AC 的中点，证明：DE 是⊙O 的切线；
(2)若OA ＝3CE ，求∠ACB 的大小． 解 (1)连接AE ，由已知得，AE ⊥BC ，AC ⊥AB .
在Rt △AEC 中，由已知得，DE ＝DC ，故∠DEC ＝∠DCE .
连接OE ，则∠OBE ＝∠OEB .
又∠ACB ＋∠ABC ＝90°，所以∠DEC ＋∠OEB ＝90°，
故∠OED ＝90°，DE 是⊙O 的切线．
(2)设CE ＝1，AE ＝x ，
由已知得AB ＝23，BE ＝12－x 2
.
由射影定理可得，AE 2＝CE ·BE ，所以x 2＝12－x 2，即x 4＋x 2－12＝0.可得x ＝3，所以∠ACB ＝60°.
8．(2015·江苏，21(A))如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，△ABC 的外接圆⊙O 的
弦AE 交BC 于点D .
求证：△ABD ∽△AEB .
证明 因为AB ＝AC ，
所以∠ABD ＝∠C .
又因为∠C ＝∠E ，
所以∠ABD ＝∠E ，
又∠BAE 为公共角，
可知△ABD ∽△AEB .
考点二 直线与圆的位置关系
1．(2015·天津，6)如图，在圆O 中，M ，N 是弦AB 的三等分点，弦CD ，CE
分别经过点M ，N .若CM ＝2，MD ＝4，CN ＝3，则线段NE 的长为( )
A.83
B ．3 C.103 D.52 解析 由圆的相交弦定理得CM ·MD ＝AM ·MB ＝29AB 2＝8，CN ·NE ＝AN ·NB ＝29
AB 2＝8，而CN ＝3，所以NE ＝83
，选A. 答案 A
2．(2015·广东，15)如图，AB 为圆O 的直径，E 为AB 的延长线上一点，
过E 作圆O 的切线，切点为C ，过A 作直线EC 的垂线，垂足为D .若AB ＝4，
CE ＝23，则AD ＝________．
解析 连接OC ，则OC ⊥DE ，∵AD ⊥DE ，∴OC ∥AD ，
∴OC AD ＝OE AE ，由切割线定理得CE 2＝BE ·AE ，∴BE (BE ＋4)＝12.即BE 2＋4BE －12＝0，解得BE ＝2(舍负)，∴AD ＝
OC ·AE OE ＝2×64
＝3. 答案 3
3．(2015·新课标全国Ⅱ，22)如图，O 是等腰三角形ABC 内一点，⊙O
与△ABC 的底边BC 交于M ，N 两点，与底边上的高AD 交于点G ，且与AB ，AC 分别相切于E ，F 两点．
(1)证明EF ∥BC ；
(2)若AG 等于⊙O 半径，且AE ＝MN ＝23，求四边形EBCF 的面积．
解 (1)
由于△ABC 是等腰三角形，AD ⊥BC ，所以AD 是∠CAB 的平分线．
又因为⊙O 分别与AB ，AC 相切于点E ，F ，所以AE ＝AF ，故AD ⊥EF .
从而EF ∥BC .
(2)由(1)知，AE ＝AF ，AD ⊥EF ，故AD 是EF 的垂直平分线．又EF 为⊙O 的
弦，所以O 在AD 上．
连接OE ，OM ，则OE ⊥AE .
由AG 等于⊙O 的半径得AO ＝2OE ，所以∠OAE ＝30°.因此△ABC 和△AEF 都是等边三角形． 因为AE ＝23，所以AO ＝4，OE ＝2.
因为OM ＝OE ＝2，DM ＝12
MN ＝3， 所以OD ＝1.于是AD ＝5，AB ＝1033
. 所以四边形EBCF 的面积为12×⎝ ⎛⎭⎪⎫10332×32－12×(23)2×32＝1633
. 4．(2015·陕西，22)如图，AB 切⊙O 于点B ，直线AO 交⊙O 于D ，E
两点，BC ⊥DE ，垂足为C .
(1)证明：∠CBD ＝∠DBA ；
(2)若AD ＝3DC ，BC ＝2，求⊙O 的直径．
(1)证明 因为DE 为⊙O 直径，
则∠BED ＋∠EDB ＝90°，
又BC ⊥DE ，所以∠CBD ＋∠EDB ＝90°，
从而∠CBD ＝∠BED ，
又AB 切⊙O 于点B ，得∠DBA ＝∠BED ，
所以∠CBD ＝∠DBA .
(2)解 由(1)知BD 平分∠CBA ， 则BA BC ＝AD CD
＝3，又BC ＝2，从而AB ＝32，
所以AC ＝AB 2－BC 2＝4，所以AD ＝3， 由切割线定理得AB 2
＝AD ·AE ，即AE ＝AB 2
AD ＝6， 故DE ＝AE －AD ＝3，即⊙O 直径为3.
5．(2014·新课标全国Ⅰ，22)如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，AB 的延长线与DC 的延长线交于点E ，且CB ＝CE .
(1)证明：∠D ＝∠E ；
(2)设AD 不是⊙O 的直径，AD 的中点为M ，且MB ＝MC ，证明：△ADE 为等边三角形．
证明 (1)由题设知A ，B ，C ，D 四点共圆，所以∠D ＝∠CBE .
由已知CB ＝CE 得∠CBE ＝∠E ，
故∠D ＝∠E .
(2)设BC 的中点为N ，连接MN ，则由MB ＝MC 知MN ⊥BC ，故O 在直线MN 上． 又AD 不是⊙O 的直径，M 为AD 的中点，
故OM ⊥AD ，即MN ⊥AD .
所以AD ∥BC ，故∠A ＝∠CBE .
又∠CBE ＝∠E ，故∠A ＝∠E .
由(1)知，∠D ＝∠E ，
所以△ADE 为等边三角形．
6．(2014·新课标全国Ⅱ，22)如图，P 是⊙O 外一点，PA 是切线，A 为切点，割线PBC 与⊙O 相交于点B ，C ，PC ＝2PA ，D 为PC 的中点，AD 的延长线交⊙O 于点E .证明：
(1)BE ＝EC ；
(2)AD ·DE ＝2PB 2
.
证明 (1)连接AB ，AC .由题设知PA ＝PD ，故∠PAD ＝∠PDA .
因为∠PDA ＝∠DAC ＋∠DCA ，
∠PAD ＝∠BAD ＋∠PAB ，∠DCA ＝∠PAB ，
所以∠DAC ＝∠BAD ，从而BE ︵＝EC ︵.因此BE ＝EC .
(2)由切割线定理得PA 2＝PB ·PC .
因为PA ＝PD ＝DC ，所以DC ＝2PB ，BD ＝PB .
由相交弦定理得AD ·DE ＝BD ·DC ，
所以AD ·DE ＝2PB 2.
7．(2013·辽宁，22)如图，AB 为⊙O 的直径，直线CD 与⊙O 相切于E ，AD 垂直CD 于D ，BC 垂直CD 于C ，EF 垂直AB 于F ，连接AE ，BE . 证明：(1)∠FEB ＝∠CEB ；
(2)EF 2＝AD ·BC .
证明 (1)由直线CD 与⊙O 相切，得∠CEB ＝∠EAB .
由AB 为⊙O 的直径，得AE ⊥EB ，
从而∠EAB ＋∠EBF ＝π2；
又EF ⊥AB ，得∠FEB ＋∠EBF ＝π
2，
从而∠FEB ＝∠EAB .故∠FEB ＝∠CEB .
(2)由BC ⊥CE ，EF ⊥AB ，∠FEB ＝∠CEB ，BE 是公共边，
得Rt △BCE ≌Rt △BFE ，所以BC ＝BF .
类似可证：Rt △ADE ≌Rt △AFE ，得AD ＝AF .
又在Rt △AEB 中，EF ⊥AB ，故EF 2＝AF ·BF ，所以EF 2＝AD ·BC .。