角动量守恒定律证明开普勒第二定律

角动量守恒定律证明开普勒第二定律
开普勒第二定律又称面积定律，即相等时间扫过面积相等，也即掠面速度不变，，证明这个定律的关键是弄清楚角动量和掠面速度的关系，即下面的（3）式。

开普勒第二定律：任一行星和太阳之间的联线，在相等的时间内扫过的面积相等，即掠面速度不变．
利用角动量守恒定律证明如下。

证明：行星在太阳的引力作用下绕日运动，所以行星受到的引力对太阳的力矩为零，即行星对太阳的角动量l守恒（为常矢量）．l的大小为
l=r*m*v*sinp=常数
(1)
其中p是矢径r与行星速度v的夹角．
设在足够小的dt时间内，太阳到行星的矢径r扫过的角度很小，于是在dt时间内矢径r掠过的三角形的面积为
ds=0.5*r*v*dt*sinp
则矢径r掠过的面积速度为
u=ds/dt=(0.5*r*v*dt*sinp)/dt=0.5*r*v*sinp
(2)
(2)式同(1)式对比可得
l=2m*u=常数
（3）
于是u即掠面速度是常数。

由此得证：由角动量守恒，行星运动的掠面速度不变。