圆重难点突破--内心外心

B前言：元月调考圆的知识占据较大比重，这里抓出一些常考的重点、难点题型做专项训练。

第1个问题 内心、外心知多少【2013元调 第10题】如图，点I 和O 分别是△ABC 的内心和外心，则∠AIB 和∠AOB 的关系为（ ）A 、AIB AOB ∠=∠ B 、AIB AOB ∠≠∠C 、121802AIB AOB ∠-∠= D 、121802AOB AIB ∠-∠=分析：外心：圆在三角形外，经过三角形3个顶点三角形外接圆的圆心，圆心到3个顶点的距离相等，它是三边的垂直平分线的交点。

内心：圆在三角形内，与三边都相切三角形内切圆的圆心，圆心到三边的距离相等，它是三个内角平分线的交点。

∠AIB 和∠AOB 都与 ∠C 有关系，∠AOB=2∠C ， ∠AIB=180°-（∠IAB+∠IBA ）=180°-12（∠A+∠B ）=180°-12（180°-∠C ）=90°+12∠C外心和内心的考查很频繁外心考查重点：①圆周角与圆心角的转换，如2013中考第22题如图，△ABC 为等腰三角形，AB=AC ，则∠BEC=∠BOD②直角三角形的外心是斜边的中点，反之说明是直角三角形（2013中考第25题） 内心的考查更灵活：常考角度、面积（1）11190,90,90222BOC A BOA C AOC B ∠=+∠∠=+∠∠=+∠（2）1()2S a b c r ABC =++，a 、b 、c 为三边长，r 是内切圆的半径当90BAC ∠=时，四边形ADOF 为正方形，2a b cr +-=AABE【例题1】如图，AB 是⊙O 的直径，点P 为半圆上一点（不与A 、B 重合），点I 为△ABP 的内心，连接PI 交⊙O 于点M ，IN ⊥BP 于N ，下列结论： ①∠APM=45°；②AB=2IM ；③∠BIM=∠BAP ；④PMOBIN +=22；其中正确的个数有________________A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个 分析：①题目中给出直径、圆上的点这样的字眼想到：直径所对圆周角等于180度，则△ABP 是直角三角形 ②I 为内心，内心与三角形顶点的连线即为内角平分线 则PI 平分APB ∠，所以∠APM=45°。

圆中题目涉及角平分线的，除了满足角平分线本身的性质与定理外，还要注意弧、弦、角、距四组量，有角等，其余皆成立。

这里APM BPM ∠=∠，则AM=BM 则△AMB 为等腰直角三角形，AM=BM ，AB=2AM③欲证AB=2IM ，则证IM=AM 或 IM=BM 即可。

令IAB IAP x ∠=∠=，则45,45IAM x AIM x ∠=+∠=+（内心性质、外角等于不相邻2内角之和） ④对于∠BIM=∠BAP 这个结论，最好的办法是取极端位置迅速判别， 若P 在AB 中点处，显然∠BIM=∠BAP 不成立⑤式子看起来很复杂，看见2联系等腰直角三角形。

本题的主线是 内角平分线，新观察上有针对训练，这里不多复述。

过点M 作AP 、BP边的垂线，易证PCMD 为正方形。

AB=2OB ，则IM=AM=22AB ，而AB=2OB ，所以IM=2OB ，又PI=2IN ，所以 PM=2（IN+OB ），证毕【例题2】（2013黄冈一模）如图，△ABC 中，下面说法正确的个数是（ ）个 ①若O 是△ABC 的外心，∠A=50°，则∠BOC=100°； ②若O 是△ABC 的，∠A=50°，则∠BOC=115°；③若BC=6，AB+AC=10，则△ABC 的面积的最大值是12； ④△ABC 的面积是12，周长是16，则其内切圆的半径是1；4545xx NIMABP45xxNIMABPCDN IMA OBPA 、1个B 、2个C 、3个D 、4个 分析：①第1和第2个结论是正确，第4个结论是错误的，不解释； ②第3个结论，有一定难度方法1：勾股定理由图知：底边BC 一定，则AE 最大时，△ABC 的面积的最大 令AB=a ，BE=b ，则AC=10-a ，CE=6-b由于2222AB BE AC CE -=-，则2222-(10-)-(6-)a b a b =，解得 31655a b =+ 因为2222223161616916-()(b 3)5525255a b b b ⨯=+-=--++ 不用具体算出来，当b=3时，有最大值即22AD a b =-取最大，此时△ABC 为等腰三角形，易知AB=5，BD=3，AE=4方法2：海伦－秦九韶公式，如果你记得住的话： ()()(),2a b cS P p a p b p c p ++=---=令AB=x ，则AC=10-x ，由题知P=8，则 828(86)(8)(2)4(8)(2)4122x x S x x x x -+-=---=-+≤⨯=（也可以用配方法）【训练题】1、如图，O 是△ABC 的，过点O 作EF ∥AB ，与AC 、BC 分别交E 、F ，则（ ） A 、EF ＞AE+BF B 、EF ＜AE+BF C 、EF=AE+BF D 、EF≤AE+BF2、已知，如图，点E 是△ABC 的内心，延长AE 交△ABC 的外接圆于点D ，连接BD 、DC 、EC ，则图中与BD 相等的线段分别是____________________ED OABCD EBCA3、如图，△ABC 中，AB=AC ，∠A=40°，延长AC 到D ，使CD=BC ，点P 是△ABD 的内心，则∠BPC=___________4、如图，在矩形ABCD 中，连接AC ，如果O 为△ABC 的内心，过O 作OE ⊥AD 于E ，作OF ⊥CD 于F ，则矩形OFDE 的面积与矩形ABCD 的面积的比值为__________5、如图，Rt △ABC 中，∠ACB=90°，点O 、I 分别为△ABC 的外心和内心，AC=6，BC=8，则OI 的值为_______________DBFDA6、如图，△ABC 内接于⊙O ，I 是其内心，且AI ⊥OI 。

若AC=9，BC=7，则AB=_______7、如图，半径为2cm ，圆心角为90°的扇形OAB 的AB 上有一运动的点P ，从点P 向半径OA 引垂线PH 交OA 于点H ，设△OPH 的内心为I ，那么当点P 在AB 上从点A 运动到点B 时，I 所经过的路径长为_______________8、如图，等腰△ABC 中，AB=AC ，以AB 为直径作⊙O ，分别交AC 、BC 于D 、E 两点，过B 点的切线交OE 的延长线于点F ，连结FD ，则下列结论： ①DE BE ；②FD 是⊙O 的切线；③∠C=∠DFB ； ④E 为△BDF 的内心。

其中一定成立的个数有_______________。

A 、①②③ B 、①②④ C 、①③④ D 、②③ 提示：角的转换要灵活FAA9、如图，BC是⊙O的直径，半径为R，A为半圆上一点，I为△ABC的内心，延长AI交BC于D点，交⊙0于点E，作IF⊥BC，连接AO，BI。

下列结论：①AB+AC=BC+2IF；②4∠AIB-∠BOA=360°；③EB=EI；④IF RAE+为定值，其中正确的结论有（）A、①③④B、①②③C、①②③④D、①②④提示：参考例1解法10、如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC是直径，I为△ABC的内心，AD、BE、CF都经过I点分别交⊙O于点D、E、F，IM⊥BC于M。

则下列结论：①EF⊥AD；②AB AC BC+-；③1)2AD IM BC=+，其中正确的是__________提示：①是对的B11、下列列说法：①如图1，扇形OAB 的圆心角∠AOB=90°，OA=6，点C 是AB 上异于A 、B 的动点，过点C 作CD ⊥OA 于D ，作CE ⊥OB 于E ，连接DE ，点G 在线段DE 上，且DG ＝13DE ，连接CG 。

当点C 在AB 上运动时，在CD 、CG 、DG 中，长度不变的是DG ；②如图2，正方形纸片ABCD 的边长为8，⊙O 的半径为2，圆心O 在正方形的中心上，将纸片按图示方式折叠，折叠后点A 于点H 重合，且EH 切⊙O 于点H ，延长FH 交CD 边于点G ，则HG 的长为193； ③已知Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=3cm ，BC=4cm ，则其内心和外心之间的距离是5cm ； 其中正确的有___________（请写序号，少选，错选均不得分）图2HAFBA12、已知，如图：在平面直角坐标系中，点D 是直线y x =-上一点，过O 、D 两点的圆⊙1O 分别交x 轴、y 轴于点A 和B 。

（1）当A （-12，0），B （0，-5）时，求1O 的坐标；（2）在（1）的条件下，过点A 作⊙1O 的切线与BD 的延长线相交于点C ，求点C 的坐标； （3）若点D 的横坐标为72-，点I 为△ABO 的内心，IE ⊥AB 于E ，当过O 、D 两点的⊙1O 的大小发生 变化时，其结论：AE BE -的值是否发生变化？若不变，请求出其值；若变化，请求出变化范围；x。