高中数学 第一章 基本初等函数阶段检测试题1 新人教B

【名师一号】2014-2015学年高中数学 第一章 基本初等函数阶
段检测试题1 新人教B 版必修4
一、选择题(共10小题，每题5分，共50分)
1．若角－600°的终边上有一点(－4，a )，则a 的值为( ) A ．4 3 B ．－4 3 C ．±4 3
D ．－ 3
解析 ∵(－4，a )在角－600°的终边上， ∴tan(－600°)＝－a
4
.
tan(－600°)＝tan120°＝－tan60°＝－ 3. ∴－a
4＝－3，∴a ＝4 3.
答案 A
2．若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝12，则cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π6＋α＝( ) A.1
2 B.32 C ．－12
D ．－
32
解析 ∵⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝π
2
，
cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3
－α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝1
2.
答案 A
3．圆弧的长等于该圆内接正三角形的边长，则该弧所对的圆心角的弧度数是( ) A.π
3 B ．1
C.32
D. 3
解析 设圆的半径为R ，则其内接正三角形的边长为3R ， ∴圆弧长为3R ，故圆心角α＝3R
R
＝ 3.
答案 D
4．函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π3－2x 的单调递增区间是( )
A ．[2k π－π2，2k π＋π
2](k ∈Z )
B ．[2k π－π2，2k π＋3π
2](k ∈Z )
C ．[k π＋5π12，k π＋11π
12](k ∈Z )
D ．[k π－π12，k π＋5π
12
](k ∈Z )
解析 y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x ＝－3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，∴其单调递增区间是y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的单
调递减区间，由2k π＋π2≤2x －π3≤2k π＋3π2，k ∈Z ，得k π＋5π12≤x ≤k π＋11π
12，k ∈
Z .
答案 C
5．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈R ，A >0，ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，
则f (x )的解析式是( )
A ．f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx ＋π6(x ∈R )
B ．f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2πx ＋π6(x ∈R )
C ．f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx ＋π3(x ∈R )
D ．f (x )＝2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2πx ＋π3(x ∈R )
解析 由图象可知，当x ＝1
3时，y 取得最大值．
经检验，只有A 正确． 答案 A
6．把函数y ＝sin x (x ∈R )的图象上所有的点向左平移
π
6
个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到的图象所表示的函数为( )
A ．y ＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x －π3，x ∈R B ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12
x ＋π6，x ∈R C ．y ＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，x ∈R D ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12
x －π6，x ∈R 解析 y ＝sin x ――→向左平移π6
个单位
y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6――→横坐标伸长到原来的2倍纵坐标不变y ＝sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫12x ＋π6.
答案 B
7．下列关系式中正确的是( ) A ．sin11°<cos10°<sin168° B ．sin168°<sin11°<cos10° C ．sin11°<sin168°<cos10° D ．sin168°<cos10°<sin11°
解析 cos10°＝sin80°，sin168°＝sin12°， ∵y ＝sin x 在(0°，90°)上递增，且11°<12°<80°， ∴sin11°<sin12°<sin80°，故sin11°<sin168°<cos10°. 答案 C
8．已知函数y ＝tan(2x ＋φ)的图象过点⎝ ⎛⎭
⎪⎫π12，0，则φ可以是( ) A ．－π6
B.π6 C ．－π12
D.π12
解析 ∵y ＝tan(2x ＋φ)过点⎝
⎛⎭⎪⎫π12，0，∴tan ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π6＋φ＝0.
∴π6＋φ＝k π，k ∈Z ，∴φ＝k π－π
6，k ∈Z . 当k ＝0时，φ＝－π6.
答案 A
9．为了使函数y ＝sin ωx (ω>0)在区间[0,1]上至少出现50次最大值，则ω的最小值是( )
A ．98π B.1972
π C.199
2
π D ．100π
解析 由⎝ ⎛⎭⎪⎫49＋14T ≤1，得T ≤4197，即2πω≤4197，ω≥1972π. 答案 B
10．设函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6－1(ω>0)的最小正周期为2π3，则f (x )图象的一条对
称轴方程是( )
A ．x ＝π
9
B ．x ＝π
6
C ．x ＝π3
D ．x ＝π2
解析 T ＝2πω＝2π
3
，∴ω＝3.
令3x ＋π6＝k π＋π2，k ∈Z ，∴x ＝k π3＋π
9，k ∈Z .
∴y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π6－1的对称轴为x ＝k π3＋π9，k ∈Z .
当k ＝0时，x ＝π
9，故选A.
答案 A
二、填空题(共4小题，每小题5分，共20分) 11．函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的最小正周期为________． 解析 由公式T ＝πω可得T ＝π
2
.
答案
π2
12．若α的终边落在直线y ＝－x 上，则sin α
1－sin 2
α＋1－cos 2
α
cos α的值为________． 解析 依题意，角α的终边在第二、四象限， ∴sin αcos α<0.
∴原式＝sin α|cos α|＋|sin α|cos α＝sin αcos α＋|sin αcos α|
|cos α|·cos α＝0.
答案 0
13．已知函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6(ω>0)和g (x )＝2cos(2x ＋φ)＋1的图象的对称轴
完全相同，若x ∈[0，π
2
]，则f (x )的取值范围是________．
解析 如果两个函数的图象对称轴完全相同，那么它们的周期必须相同，∴ω＝2，即
f (x )＝3sin ⎝
⎛⎭
⎪⎫
2x －π6
.
∵x ∈⎣
⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，
∴2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤
－π6，56π.
∴sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1. 故f (x )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3. 答案 ⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－32，3 14．定义在R 上的函数f (x )既是奇函数又是周期函数，若f (x )的最小正周期是π，且
当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f (x )＝sin x ，则f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫5π3＝________.
解析 f ⎝
⎛⎭⎪⎫5π3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝－f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π3
＝－sin π3＝－3
2.
答案 －
3
2
三、解答题(共4个小题，15、16、17题12分，18题14分)
15．(12分)已知函数f (x )＝cos ⎝
⎛⎭⎪⎫x －π4.
(1)若f (α)＝35，其中π4<α<3π4，求sin ⎝
⎛⎭⎪⎫α－π4的值； (2)设g (x )＝f (x )·f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2，求函数g (x )在区间⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－π6，π3上的最大值和最小值．
解析 (1)因为f (α)＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝35，
且0<α－π4<π
2，
所以sin ⎝
⎛⎭⎪⎫α－π4＝45. (2)g (x )＝f (x )·f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ·
cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ·cos ⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋π4
＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x ＝1
2
cos2x . 当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3时，2x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3
，2π3.
则当x ＝0时，g (x )的最大值为1
2；
当x ＝π3时，g (x )的最小值为－14.
16．(12分)f (α)＝sin 2
π－α·cos 2π－α·tan －π＋α
sin －π＋α·tan －α＋3π
.
(1)化简f (α)；
(2)若f (α)＝18，且π4<α<π
2，求cos α－sin α的值；
(3)若α＝－31
3
π，求f (α)的值．
解析 (1)f (α)＝sin 2α·cos α·tan α
－sin α－tan α＝sin α·cos α.
(2)由f (a )＝sin αcos α＝1
8
，可知
(cos α－sin α)2
＝cos 2
α－2sin αcos α＋sin 2
α ＝1－2sin αcos α ＝1－2×18＝3
4.
又∵π4<α<π2
，
∴cos α<sin α， 即cos α－sin α<0. ∴cos α－sin α＝－
32
. (3)∵α＝－31π3＝－6×2π＋5π
3
，
∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－31π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－31π3·sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－31π3
＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－6×2π＋5π3·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－6×2π＋5π3
＝cos 5π3·sin 5π
3
＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π－π3·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π－π3
＝cos π3·⎝ ⎛
⎭⎪⎫－sin π3
＝12·⎝ ⎛⎭⎪⎫
－32＝－34
. 17．(12分)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫其中A >0，ω>0，0<φ<π2的图象如图所
示．
(1)求A ，ω及φ的值；
(2)若tan α＝2，求f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫α2＋π8的值．
解析 (1)由图知A ＝2，
T ＝2⎝
⎛⎭
⎪⎫5π8－π8＝π，
∴ω＝2，∴f (x )＝2sin(2x ＋φ)．
又∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋φ＝2， ∴sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π4＋φ＝1. ∴π4＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z )，φ＝π
4＋2k π，(k ∈Z )． ∵0<φ<π2，∴φ＝π4
.
(2)由(1)可知，f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4.
∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＋π8＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＝2cos α.
当α是第一象限角时，cos α＝
5
5； 当α是第三象限角时，cos α＝－
55
. ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＋π8＝⎩⎪⎨⎪⎧
255，α是第一象限角，－255，α是第三象限角.
18．(14分)设函数f (x )＝sin(2x ＋φ)(－π<φ<0)，y ＝f (x )的图象的一条对称轴是直线x ＝π
8
.
(1)求φ；
(2)求函数y ＝f (x )的单调递增区间；
(3)画出函数y ＝f (x )在区间[0，π]上的图象． 解析 (1)∵x ＝π
8是函数y ＝f (x )的图象的一条对称轴，
∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π8＋φ＝±1.∴π4＋φ＝k π＋π2，k ∈Z .
∵－π<φ<0，∴φ＝－3π
4
.
(2)由(1)知φ＝－3π4，因此y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －3π4.由题意得2k π－π2≤2x －3π4≤2k π＋π
2
，k ∈Z . ∴函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －3π4的单调递增区间为⎣
⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π8，k π＋5π8，k ∈Z .
(3)列表：
x 0π
8
3π
8
5π
8
7π
8
π
y －
2
2
－1010－
2
2
故函数y＝。