备战高考数学一轮复习(热点难点)专题24 三角函数的图像和性质的“磨合”

专题24 三角函数的图像和性质的“磨合”
考纲要求:
1．能画出y ＝sin x, y ＝cos x, y ＝tan x 的图象，了解三角函数的周期性．
2．理解正弦函数、余弦函数在[0,2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值，图象与x 轴的交点等)，理解正切函数在区间)2
,2(π
π-
内的单调性． 3.了解函数y ＝Asin (ωx ＋φ)的物理意义；能画出y ＝Asin (ωx ＋φ)的图像，了解参数A ，ω，φ对函数图像变化的影响．
4.了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单实际问题. 基础知识回顾: 1．“五点法”作图原理
在确定正弦函数y ＝sinx 在[0,2π]上的图像形状时，起关键作用的五个点是(0,0)、)1,2
(
π
、(π，0)、
)1,2
3(
-π
、(2π，0). 2．三角函数的图像和性质
3．函数
y ＝
Asin (ωx ＋φ)的有关概念
4．函数y ＝sinx 的图像经变换得到y ＝Asin (ωx ＋φ)的图像的步骤如下
应用举例:
类型一、求函数f (x )＝Asin (ωx ＋φ)的解析式
【例1】【河南省息县第一高级中学2017届高三下学期第一次适应性测试】将函数()f x 的图象向左平移6
π
个单位后得到函数()g x 的图象如图所示，则函数()f x 的解析式是（ ）
A . ()sin 26f x x π⎛⎫
=-
⎪⎝⎭
（R x ∈） B . ()sin 26f x x π⎛⎫
=+ ⎪⎝
⎭
（R x ∈） C . ()sin 23f x x π⎛⎫
=-
⎪⎝
⎭
（R x ∈） D . ()sin 23f x x π⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
（R x ∈） 【答案】A
【例2】函数()()sin (0,0,)2
f x A wx A w π
ϕϕ=+>><的部分图象如图所示，若将()f x 图象上所有的
点的横坐标缩短为原来的
1
2
倍（纵坐标不变），得到函数()g x 的图象，则()g x 的解析式为（ ）
A . sin 12y x π⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
B . sin 6y x π⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
C . sin 43y x π⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
D . sin 46y x π⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
【答案】D
【解析】由图像得1A =，
311ππ3π,π,241264
T T ω=-===，所以()()sin 2f x x ϕ=+，横坐标缩短为
原来一半，得到πsin 46y x ⎛⎫=+
⎪⎝
⎭
. 类型二、函数f (x )＝Asin (ωx ＋φ)图象的平移变换
【例3】【黑龙江省齐齐哈尔八中2018届高三第二次月考】将函数f （x ）=sin 2x cos 2x 图象上所有点向右平移6
π
个单位长度，得到函数g （x ）的图象，则g （x ）图象的一个对称中心是 （ ）
A . （
3π，0） B . （4π，0） C . （12π-，0） D . （2
π，0） 【答案】D
【解析】()1sin22sin22sin 223f x x x x x x π⎛⎫⎛⎫===+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，向右平移6π个单位，得到()2sin 22sin263g x x x ππ⎡⎤
⎛
⎫=-
+
= ⎪⎢⎥⎝
⎭⎣⎦
，选D . 【例4】【2017北京市高三入学定位考试】函数y ＝cos (2x ＋φ)(－π≤φ＜π)的图象向右平移π
2个单位后，
与函数y ＝sin (2x ＋π
3)的图象重合，则φ＝________．
【答案】5π
6
类型三、函数f (x )＝Asin (ωx ＋φ)图象的对称性
【例5】【2017山西太原高三调研】已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4(ω>0)的最小正周期为π，则函数f (x )的图象( )
A ．关于直线x ＝π
4
对称
B ．关于直线x ＝
π
8
对称 C ．关于点⎝ ⎛⎭
⎪⎫π4，0对称
D ．关于点⎝ ⎛⎭
⎪⎫π8，0对称
【答案】B
【解析】∵f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4的最小正周期为π，∴2πω＝π，ω＝2，∴f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4.当x ＝π4时，2x ＋π4＝3π4，∴A ，C 错误；当x ＝π8时，2x ＋π4＝π
2，∴B 正确，D 错误．
【例6】【2017贵州省贵阳市一中高三摸底考试】函数f (x )＝sin (2x ＋φ)（2
π
ϕ<）的图像向左平移π
6个
单位后关于原点对称，则函数f (x )在]2
,
0[π
上的最小值为( )
A ．－
32 B .－12 C .12 D .3
2
【答案】A
类型四、函数f (x )＝Asin (ωx ＋φ)性质的综合应用 【例7】【2017河北省冀州中学高三摸底考试】当4
π
=x 时，函数f (x )＝sin (x ＋φ)取得最小值，则函数y
＝f )4
3(
x -π
( ) A ．是奇函数且图象关于点)0,2
(π
对称 B ．是偶函数且图象关于点(π，0)对称
C ．是奇函数且图象关于直线x ＝π
2
对称 D ．是偶函数且图象关于直线x ＝π对称
解析：∵当x ＝
π4时，函数f (x )取得最小值，∴sin )4
(ϕπ
+＝－1，∴φ＝2k π－3π4(k ∈Z )．∴f (x )＝sin )4
32(ππ-
+k x ＝sin )43(π-x .∴y ＝f )43(x -π＝sin (－x )＝－sin x .∴y ＝f )43(x -π
是奇函数，
且图象关于直线2
π
=
x 对称．
【例8】【2017浙江省宁波市高三入学考试】如图是函数y ＝sin (ωx ＋φ))2
0,0(π
ϕω<
<>在区间
]65,
6[π
π-
上的图像，将该图像向右平移m (m ＞0)个单位后，所得图像关于直线x ＝π
4
对称，则m 的最小值
为( )
A .π12
B .π6
C .π4
D .π3
【答案】B
类型五、函数f (x )＝Asin (ωx ＋φ)的值域与最值问题
【例9】【吉林省实验中学2017届高三下学期第八次模拟考试】已知将函数()21
cos cos 2
f x x x x =+-
的图象向左平移
512π个单位长度后得到()y g x =的图象，则()g x 在,123ππ⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
上的值域为（ ）
A . 1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
B . 11,2⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦ C . 12⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D . 12⎡-⎢⎣⎦
【答案】B
【解析】因()1cos2sin 226f x x x x π⎛
⎫=
+=+ ⎪⎝
⎭， 故()()5sin 2sin 2sin2126g x x x x πππ⎡⎤⎛
⎫=++=+=- ⎪⎢⎥⎝
⎭⎣⎦
，因123x ππ-≤≤，故2263x ππ
-≤≤， 则1sin212x -
≤≤，所以()1
12
g x -≤≤，应选答案B 。

【例10】【2017河北省邢台一模】先把函数f (x )＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫x －π6的图象上各点的横坐标变为原来的12(纵坐标
不变)，再把新得到的图象向右平移π3个单位，得到y ＝g (x )的图象．当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4
，3π4时，函数g (x )的值域
为( )
A .⎝ ⎛⎦⎥⎤－
32，1 B .⎝ ⎛⎦⎥⎤
－12，1 C .⎝ ⎛⎭⎪⎫－32
，32 D ．[－1,0)
【答案】A
【解析】依题意得g (x )＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝
⎛⎭⎪⎫x －π3－π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －5π6，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4时，2x －5π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，2π3，sin ⎝
⎛
⎭⎪⎫2x －
5π6∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－32，1，此时g (x )的值域是⎝ ⎛
⎦
⎥⎤－32，1. 类型六、函数f (x )＝Asin (ωx ＋φ)的单调性问题
【例11】【福建省闽侯第一中学2018届高三上学期开学考试】函数，的
图象与
的图象的对称轴相同，则
的一个增区间为（ ） A .
B .
C .
D .
【答案】B
【例12】【2017山东莱芜高三阶段测试】已知函数f (x )＝sin (ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫0<φ<2π3的最小正周期为π.
(1)求当f (x )为偶函数时φ的值； (2)若f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π
6，32，求f (x )的单调递增区间．
【答案】φ＝π2.；⎣
⎢⎡⎦⎥⎤k π－5π12，k π＋π12，k ∈Z . 【解析】∵f (x )的最小正周期为π，则T ＝2π
ω
＝π，∴ω＝2.∴f (x )＝sin (2x ＋φ)．
(1)当f (x )为偶函数时，f (－x )＝f (x )．∴sin (2x ＋φ)＝sin (－2x ＋φ)，将上式展开整理得sin 2xcos φ＝0，
由已知上式对∀x ∈R 都成立，∴cos φ＝0，∵0<φ<2π3，∴φ＝π
2
. (2) f (x )的图象过点⎝
⎛⎭
⎪⎫π6，32时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6＋φ＝32，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫
π3＋φ＝32.
又∵0<φ<2π3，∴π3<π3＋φ<π.∴π3＋φ＝2π3，φ＝π3. ∴f (x )＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.
方法、规律归纳: 1、两种图像变换的区别
由y ＝sinx 的图像变换到y ＝Asin (ωx ＋φ)的图像，两种变换的区别：先相位变换再周期变换(伸缩变换)，平移的量是|φ|个单位长度；而先周期变换(伸缩变换)再相位变换，平移的量是|φ|
ω(ω＞0)个单位长度．原
因在于相位变换和周期变换都是针对x 而言，即x 本身加减多少值，而不是依赖于ωx 加减多少值． 2、确定y ＝Asin (ωx ＋φ)＋b (A >0，ω>0)的步骤和方法 (1)求A ，b ：确定函数的最大值M 和最小值m ，则A ＝M －m
2
，b ＝
M ＋m
2
；
(2)求ω：确定函数的周期T ，则可得ω＝2π
T
；
(3)求φ：常用的方法有：
①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A ，ω，b 已知)或代入图象与直线y ＝b 的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)．
②五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的某一个点为突破口．具体如下：“第一点”(即图象上升时与x 轴的交点)时ωx ＋φ＝0；“第二点”(即图象的“峰点”)时ωx ＋φ＝π
2；“第三点”(即图
象下降时与x 轴的交点)时ωx ＋φ＝π；“第四点”(即图象的“谷点”)时ωx ＋φ＝3π
2；“第五点”时
ωx ＋φ＝2π. 实战演练:
1．【广西桂林市第十八中学
2018
届高三上学期第三次月考】已知函数
()()224sin sin 2sin 024x f x x x ωπωωω⎛⎫=⋅+-> ⎪⎝⎭在区间2,23ππ⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
上是增函数，且在区间[]0,π上恰好取得一次最大值，则ω的取值范围是（ ）
A . (]0,1
B . 30,4
⎛
⎤ ⎥⎝
⎦ C . [)1,+∞ D . 13,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦
【答案】D 【解析】
【点睛】本题主要考查了复合函数单调区间，正弦函数的性质-：单调性和最值．注意对三角函数基础知识的理解和灵活运用．
2．【福建省三明市第一中学2018届高三上学期第一次月考】已知函数为偶函数
，
其图像与直线
相邻的两个交点的横坐标分别为且则 ( )
A .
B .
C .
D .
【答案】A 【解析】由
为偶函数得出，落在轴上，,由图象与直线相邻的两
个交点的横坐标分别为
且
得，周期为，所以
，故选A .
3．【2017届广西南宁市金伦中学高三上学期期末考试】已知函数()()2sin 1(0,)f x x ωϕωϕπ=+-><的一个零点是3
x π
=
， 6
x π
=-
是()y f x =的图像的一条对称轴，则ω取最小值时， ()f x 的单调增区间
是（ ）
A . 713,3,3
6
k k k Z ππππ⎡⎤-+-+∈⎢⎥⎣⎦
B . 513,3,3
6
k k k Z ππππ⎡⎤-+-+∈⎢⎥⎣⎦
C . 212,2,36
k k k Z ππππ⎡⎤-+-+∈⎢⎥⎣⎦
D . 112,2,3
6
k k k Z ππππ⎡⎤-+-+∈⎢⎥⎣⎦
【答案】B
4．【2017届福建省泉州市高三3月质量检测】已知函数()2sin cos ()222x x f x ϕϕπϕ++⎛⎫⎛⎫
=<
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，且对于任意的x R ∈， ()6f x f π⎛⎫
≤
⎪⎝⎭
.则 （ ） A . ()()f x f x π=+ B . ()2f x f x π⎛
⎫
=+
⎪⎝
⎭
C . ()3f x f x π⎛⎫=-
⎪⎝⎭ D . ()6f x f x π⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
【答案】C
5．【吉林省实验中学2017届高三下学期第八次模拟考试】已知将函数()21
cos cos 2
f x x x x =+-
的图象向左平移
512π个单位长度后得到()y g x =的图象，则()g x 在,123ππ⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
上的值域为（ ）
A . 1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
B . 11,2⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦ C . 122⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ D . 1,22⎡-⎢⎣⎦
【答案】B
【
解
析
】
解
析
：
因
()1cos2sin 226f x x x x π⎛
⎫=
+=+ ⎪⎝
⎭，故
(
)()5s
i n 2s i
n 2
s i
n
2126
g x x x x πππ⎡⎤⎛⎫=++=+=- ⎪⎢⎥⎝
⎭⎣⎦，因12
3
x ππ
-≤≤
，故226
3
x π
π
-≤≤，则1s i n 212x -
≤≤，所以()112
g x -≤≤，应选答案B 。

6．【北京市朝阳区2017届高三二模数学】已知函数()()πsin 06f x x ωω⎛
⎫
=+
⎪⎝
⎭
＞的最小正周期为4π，则 A . 函数()f x 的图象关于原点对称
B . 函数()f x 的图象关于直线π
3
x =对称 C . 函数()f x 图象上的所有点向右平移π
3
个单位长度后，所得的图象关于原点对称
D . 函数()f x 在区间()0,π上单调递增
【答案】C
7．【河北省2017届衡水中学押题卷】已知函数()2
3sin cos 4cos f x x x x ωωω=-（0ω>）的最小正周期
为π，且()1
2
f θ=
，则2f πθ⎛
⎫+= ⎪⎝
⎭（ ）
A . 52-
B . 92-
C . 112-
D . 13
2
- 【答案】B
【解析】由题可知： ()3sin22cos222f x x x ωω=
--由最小正周期为2可得1ω=又()1
2
f θ=代入可得：
()554sin 2,tan 223θϕϕ⎛⎫
+==- ⎪⎝⎭，， ()sin 21θϕ+=，则()55sin 22222f πθθϕ⎛
⎫+=-+-=- ⎪⎝
⎭
8．【广东省湛江市2017届高三下学期第二次模拟考试】已知函数()()sin 1f x x ωϕ=++（0ω>，
02
π
ϕ≤≤
）的图象相邻两条对称轴之间的距离为π，且在3
x π
=
时取得最大值2，若()8
5
f α=
，且53
6π
πα<<
，则sin 23πα⎛
⎫+ ⎪⎝
⎭的值为（ ）
A .
1225 B . 1225- C . 2425 D . 2425
- 【答案】D
9．【福建省泉州市2017届高三（5月）第二次质量检查】函数()()sin (0,0)2
f x x π
ωφωφ=+><<的最
小正周期为,6
x π
π=
为()y f x =图像的对称轴，则()f x 在区间0,
2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上的最大值与最小值的和为（ ）
A . 0
B . 1-
C . 1
D . 1
2
【答案】D
【解析】由题意得2π
π2;ωω
=
⇒=
()()πππ2ππ,06262k k Z k k Z πϕϕφ⨯+=+∈⇒=+∈<< ， π
6
ϕ∴= ， 因此()πsin 26f x x ⎛
⎫=+
⎪⎝
⎭
， 当π0,
2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣
⎦ 时， ()ππ7π12,,,16662x f x ⎡⎤⎤⎡+∈∈-⎦⎣⎢⎥⎣⎦
，即最大值与最小值的和为1
2，选D . 10．已知函数()f x = sin A (x ωϕ+)(A >0， ω>0， 0< ϕ< π)， ()f x 的图象如图所示，则f （2016π）的值为 ( )
A B. C D. 【答案】A。