第21章__一元二次方程复习(2)
人教版九年级上册数学第21章一元二次方程知识点复习总结
一元二次方程知识点复习总结1. 一元二次方程的一般形式:a ≠0时，ax 2+bx+c=0叫一元二次方程的一般形式，研究一元二次方程的有关问题时，多数习题要先化为一般形式，目的是确定一般形式中的a 、 b 、c ；其中 a 、 b,、c 可能是具体数，也可能是含待定字母或特定式子的代数式.2. 一元二次方程的解法:一元二次方程的四种解法要求灵活运用，其中直接开平方法虽然简单，但是适用范围较小；公式法虽然适用范围大，但计算较繁，易发生计算错误；因式分解法适用范围较大，且计算简便，是首选方法；配方法使用较少.3. 一元二次方程根的判别式:当ax 2+bx+c=0 (a ≠0)时，Δ=b 2-4ac 叫一元二次方程根的判别式.请注意以下等价命题：Δ＞0 <=> 有两个不等的实根；Δ=0 <=> 有两个相等的实根；Δ＜0 <=> 无实根；Δ≥0 <=> 有两个实根（等或不等）.4. 一元二次方程的根系关系：当ax 2+bx+c=0 (a ≠0) 时，如Δ≥0，有下列公式：.ac x x ab x x )2(a2ac4bbx )1(212122,1，；※ 5．当ax 2+bx+c=0 (a ≠0) 时，有以下等价命题：(以下等价关系要求会用公式acx x a bx x 2121，；Δ=b 2-4ac 分析，不要求背记) （1）两根互为相反数ab = 0且Δ≥0 b = 0且Δ≥0；（2）两根互为倒数a c =1且Δ≥0 a = c 且Δ≥0；（3）只有一个零根a c = 0且a b ≠0 c = 0且b ≠0；（4）有两个零根a c = 0且a b = 0c = 0且b=0；（5）至少有一个零根a c =0 c=0；（6）两根异号a c ＜0 a 、c 异号；（7）两根异号，正根绝对值大于负根绝对值a c ＜0且a b ＞0a 、c 异号且a 、b 异号；（8）两根异号，负根绝对值大于正根绝对值a c ＜0且a b ＜0a 、c 异号且a 、b 同号；（9）有两个正根a c ＞0，ab ＞0且Δ≥0 a 、c 同号， a 、b 异号且Δ≥0；（10）有两个负根ac ＞0，ab ＜0且Δ≥0 a 、c 同号， a 、b 同号且Δ≥0.6．求根法因式分解二次三项式公式：注意：当Δ＜ 0时，二次三项式在实数范围内不能分解.ax 2+bx+c=a(x-x1)(x-x2) 或 ax 2+bx+c=a2ac4bb xa2ac4bb xa 22.7．求一元二次方程的公式：x 2-（x 1+x 2）x + x 1x 2 = 0.注意：所求出方程的系数应化为整数.8．平均增长率问题--------应用题的类型题之一（设增长率为x ）：(1)第一年为 a , 第二年为a(1+x) , 第三年为a(1+x)2.（2）常利用以下相等关系列方程：第一年+第二年+第三年=总和.9．分式方程的解法：.0)1(），值（或原方程的每个分母验增根代入最简公分母公分母两边同乘最简去分母法.0.2分母，值验增根代入原方程每个换元凑元，设元，换元法）（10. 二元二次方程组的解法：.0)3(0)2(0)4(0)1(0)4(0)2(0)3(0)1(0)4)(3(0)2)(1()3(;02;1分组为应注意：的方程）（）（中含有能分解为方程组）分解降次法（程中含有一个二元一次方方程组法）代入消元（※11．几个常见转化：；；或；；；)x x (x x 4)x x ()x x ()x x (x x 4)x x ()x x (x x 2)x1x(x1x2)x1x(x1xx x 4)x x ()x x (x x 2)x x (xx )1(2121221221212122122121222222212212212122122214x x .22x x 2x x .12x x )2(221212121）两边平方为（和分类为；.,)2(34x x 34x x )1()916x x (34x x )3(2121222121因为增加次数两边平方一般不用和分类为或；.0x ,0x :.1x x Bsin A cos ,1Acos Asin ,90BAB sin x ,A sin x )4(2122212221注意隐含条件可推出由公式时且如.0x ,0x :.x ,x ),,(,x ,x )5(212121注意隐含条件的关系式推导出含有公式等式面积例如几何定理，相似形系可利用图形中的相等关时若为几何图形中线段长.k ,)6(”辅助未知元“引入些线段的比，并且可把它们转化为某比例式、等积式等条件角三角形、三角函数、如题目中给出特殊的直.,;,)7(知数的关系但总可求出任何两个未般求不出未知数的值少一个时，一方程个数比未知数个数一般可求出未知数的值数时方程个数等于未知数个。
2022-2023学年人教版九年级数学上册第二十一章一元二次方程章节复习
一元二次方程章节复习一．一元二次方程的定义（共1小题）1．若关于x的一元二次方程（m+2）x|m|+2x﹣1＝0是一元二次方程，则m＝．二．解一元二次方程-配方法（共1小题）2．解方程：2x2﹣4x﹣1＝0．三．根的判别式（共5小题）3．已知关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x﹣3＝0有实数根，则m的取值范围是（）A．m≥B．m＜C．m＞且m≠1D．m≥且m≠1 4．等腰三角形边长分别为a，b，2，且a，b是关于x的一元二次方程x2﹣6x+n+2＝0的两个根，则n的值为（）A．6B．6或7C．7或8D．75．已知等腰三角形ABC的边长分别是m，n，4，且m，n是关于x的方程x2﹣6x+a+1＝0的两根，则a的值为（）A．7B．8C．9D．7或86．对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），下列说法：①若a+b+c＝0，则b2﹣4ac≥0；②若方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实根；③若c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，则一定有ac+b+1＝0成立；④若x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，则b2﹣4ac＝（2ax0+b）2．其中正确的（）A．①②B．①②④C．①②③④D．①②③7．已知关于x的一元二次方程x2﹣mx+2m﹣4＝0．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程有一个实数根为负数，求正整数m的值．四．根与系数的关系（共4小题）8．已知x1，x2是关于x的一元二次方程x²+bx+c＝0的两个根，且x1+x2＝5，x1•x2＝6，则该一元二次方程是（）A．x2+5x+6＝0B．x²﹣5x+6＝0C．x2﹣6x+5＝0D．x2﹣6x﹣5＝0 9．已知a，b是方程x2+x﹣3＝0的两个实数根，则a2﹣b+2022的值是（）A．2023B．2021C．2026D．201910．若m，n是一元二次方程x2+2x﹣1＝0的两个实数根，则的值为（）A．1B．﹣1C．2D．﹣211．已知关于x的方程（k﹣1）x2+（2k﹣3）x+k+1＝0有两个不相等的实数根x1，x2．（1）求k的取值范围；（2）是否存在实数k，使方程的两实数根互为相反数？如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由．五．由实际问题抽象出一元二次方程（共2小题）12．现有x支球队参加篮球比赛，比赛采用单循环制即每个球队必须和其余球队比赛一场，共比赛了45场，则下列方程中符合题意的是（）A．x（x﹣1）＝45B．x（x+1）＝45C．x（x﹣1）＝45D．x（x+1）＝4513．某种植物的主干长出若干相同数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是73，求每个支干又长出多少小分支？如果设每个支干又长出x个小分支，那么依题意可得方程为．六．一元二次方程的应用（共8小题）14．可以用如图所示的图形研究方程x2+ax＝b2的解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝，BC＝b，以点A为圆心作弧交AB于点D，使AD＝AC，则该方程的一个正根是（）A．CD的长B．BD的长C．AC的长D．BC的长15．我国脱贫攻坚战取得了全面胜利，现行标准下9899万农村贫困人口全部脱贫，创造了又一个彪炳史册的人间奇迹！某贫困村从2018年开始大力发展乡村民宿旅游产业，据统计，该村2018年乡村民宿旅游收入约为2000万元，2020年该村乡村民宿旅游收入达到3380万元，则该村2018年到2020年乡村民宿旅游收入的年平均增长率约为（）A．20%B．25%C．30%D．35%16．新型冠状病毒肺炎具有人传人性，调查发现1人感染病毒后如果不隔离，那么经过两轮传染将会有225人感染，若设1人平均感染x人，则x为（）A．14B．15C．16D．1717．如图，从一块矩形铁片中间截去一个小矩形，使剩下部分四周的宽度都等于x，且小矩形的面积是原来矩形面积的一半，则x的值为．18．第24届冬季奥林匹克运动会于2022年2月在北京举行，北京成为历史上第一个既举办过夏奥会又举办过冬奥会的城市．某饰品店抓住商机购进了北京冬奥会的吉祥物冰墩墩挂件进行销售，平均每天销售30件，每件盈利20元．经调研发现：在成本不变的情况下，若每个挂件降价1元，则每天可多售出5件．（1）设每个挂件降价x元，则每天将销售件．（用含x的代数式表示）（2）如果商家每天要盈利840元，且让顾客得到更大实惠，每个挂件应降价多少元？19．因粤港澳大湾区和中国特色社会主义先行示范区的双重利好，深圳已成为国内外游客最喜欢的旅游目的地城市之一．深圳著名旅游“网红打卡地”东部华侨城景区在2018年春节长假期间，共接待游客达20万人次，预计在2020年春节长假期间，将接待游客达28.8万人次．（1）求东部华侨城景区2018至2020年春节长假期间接待游客人次的年平均增长率；（2）东部华侨城景区一奶茶店销售一款奶茶，每杯成本价为6元，根据销售经验，在旅游旺季，若每杯定价25元，则平均每天可销售300杯，若每杯价格降低1元，则平均每天可多销售30杯.2020年春节期间，店家决定进行降价促销活动，则当每杯售价定为多少元时，既能让顾客获得最大优惠，又可让店家在此款奶茶实现平均每天6300元的利润额？20．某环保公司研发了甲、乙两种智能设备，可将垃圾处理变为新型清洁燃料．某垃圾处理厂从环保公司购入以上两种智能设备若干，已知购买甲型智能设备花费360万元，购买乙型智能设备花费480万元，购买的两种设备数量相同，且两种智能设备的单价和为140万元．（1）求甲、乙两种智能设备单价；（2）垃圾处理厂利用智能设备生产燃料棒，并将产品出售．已知每吨燃料棒的成本为100元．调查发现，若燃料棒售价为每吨200元，平均每天可售出350吨，而当销售价每降低1元，平均每天可多售出5吨．垃圾处理厂想使这种燃料棒的销售利润平均每天达到36080元，且保证售价在每吨200元基础上降价幅度不超过8%，求每吨燃料棒售价应为多少元？21．阳光小区附近有一块长100m，宽80m的长方形空地，在空地上有两条相同宽度的步道（一纵一横）和一个边长为步道宽度7倍的正方形休闲广场，两条步道的总面积与正方形休闲广场的面积相等，如图1所示，设步道的宽为a（m）．（1）求步道的宽；（2）为了方便市民进行跑步健身，现按如图2所示方案增建塑胶跑道．已知塑胶跑道的宽为1m，长方形区域甲的面积比长方形区域乙大441m2，且区域丙为正方形，求塑胶跑道的总面积．参考答案与试题解析一．一元二次方程的定义（共1小题）1．若关于x的一元二次方程（m+2）x|m|+2x﹣1＝0是一元二次方程，则m＝2．【分析】一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．【解答】解：因为是关于x的一元二次方程，这个方程一定有一个二次项，则（m+2）x|m|一定是此二次项．所以得到，解得m＝2．【点评】要特别注意二次项系数a≠0这一条件，本题容易出现的错误是忽视m+2≠0这一条件．二．解一元二次方程-配方法（共1小题）2．解方程：2x2﹣4x﹣1＝0．【分析】直接利用配方法解方程进而得出答案．【解答】解：∵2x2﹣4x﹣1＝0，∴2x2﹣4x＝1，则x2﹣2x＝，∴x2﹣2x+1＝，即（x﹣1）2＝，则x﹣1＝±，∴x1＝，x2＝．【点评】本题主要考查解一元二次方程﹣配方法，将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．三．根的判别式（共5小题）3．已知关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x﹣3＝0有实数根，则m的取值范围是（）A．m≥B．m＜C．m＞且m≠1D．m≥且m≠1【分析】利用一元二次方程由实数根的条件得到关于m的不等式组，解不等式组即可得出结论．【解答】解：∵关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x﹣3＝0有实数根，∴，解得：m≥且m≠1．故选：D．【点评】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式，利用已知条件得到关于m的不等式组是解题的关键．4．等腰三角形边长分别为a，b，2，且a，b是关于x的一元二次方程x2﹣6x+n+2＝0的两个根，则n的值为（）A．6B．6或7C．7或8D．7【分析】由三角形是等腰三角形，得到①a＝2，或b＝2；②a＝b；①当a＝2，或b＝2时，得到方程的根x＝2，把x＝2代入x2﹣6x+n+2＝0即可得到结果；②当a＝b时，方程x2﹣6x+n+2＝0有两个相等的实数根，由Δ＝（﹣6）2﹣4（n+2）＝0可得结果．【解答】解：∵三角形是等腰三角形，∴①a＝2，或b＝2；②a＝b两种情况，①当a＝2，或b＝2时，∵a，b是关于x的一元二次方程x2﹣6x+n+2＝0的两个根，∴x＝2，把x＝2代入x2﹣6x+n+2＝0得，22﹣6×2+n+2＝0，解得：n＝6，当n＝6，方程的两根是2和4，而2，4，2不能组成三角形，故n＝6不合题意，②当a＝b时，方程x2﹣6x+n+2＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝（﹣6）2﹣4（n+2）＝0解得：n＝7．故选：D．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，一元二次方程的解，根的判别式，注意分类讨论思想的应用．5．已知等腰三角形ABC的边长分别是m，n，4，且m，n是关于x的方程x2﹣6x+a+1＝0的两根，则a的值为（）A．7B．8C．9D．7或8【分析】①当m＝n时，②m＝4或n＝4时，根据根的判别式和三角形的三边关系即可得到结论．【解答】解：①当m＝n时，∵m，n是关于x的方程x2﹣6x+a+1＝0的两根，∴Δ＝（﹣6）2﹣4（a+1）＝0，解得，a＝8，∴关于x的方程为x2﹣6x+9＝0，解得：m＝n＝3，∵m+n＞4，∴m，n，4为边能组成三角形；②m＝4或n＝4时，∴4是关于x的方程x2﹣6x+a+1＝0的根，∴42﹣6×4+a+1＝0，解得：a＝7，∴关于x的方程为x2﹣6x+8＝0，解得：m＝2，n＝4，∵m+n＞4，∴m，n，4为边能组成三角形；综上所述：a的值为7或8．故选：D．【点评】本题考查了根的判别式，三角形的三边关系，分类讨论是解题的关键．6．对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），下列说法：①若a+b+c＝0，则b2﹣4ac≥0；②若方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实根；③若c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，则一定有ac+b+1＝0成立；④若x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，则b2﹣4ac＝（2ax0+b）2．其中正确的（）A．①②B．①②④C．①②③④D．①②③【分析】根据一元二次方程根的判别式及根的定义逐个判断排除．【解答】解：①若a+b+c＝0，则x＝1是方程ax2+bx+c＝0的解，由一元二次方程的实数根与判别式的关系可知：Δ＝b2﹣4ac≥0，故①正确；②方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，∴Δ＝0﹣4ac＞0，∴﹣4ac＞0则方程ax2+bx+c＝0的判别式Δ＝b2﹣4ac＞0，∴方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实根，故②正确；③∵c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，则ac2+bc+c＝0，∴c（ac+b+1）＝0，若c＝0，等式仍然成立，但ac+b+1＝0不一定成立，故③不正确；④若x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，则由求根公式可得：x0＝，∴2ax0+b＝±，∴b2﹣4ac＝（2ax0+b）2，故④正确．故正确的有①②④，故选：B．【点评】本题考查一元二次方程根的判断，根据方程形式，判断根的情况是求解本题的关键．7．已知关于x的一元二次方程x2﹣mx+2m﹣4＝0．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程有一个实数根为负数，求正整数m的值．【分析】（1）证明Δ≥0即可；（2）先求出方程的解，再根据题意得出答案即可．【解答】（1）证明：∵Δ＝（﹣m）2﹣4×（2m﹣4）＝m2﹣8m+16＝（m﹣4）2．∵（m﹣4）2≥0，∴方程总有两个实数根．（2）解：用因式分解法解此方程x2﹣mx+2m﹣4＝0，可得（x﹣2）（x﹣m+2）＝0，解得x1＝2，x2＝m﹣2，若方程有一个根为负数，则m﹣2＜0，故m＜2，∴正整数m＝1．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0根的判别式，用到的知识点：（1）Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）Δ＝0⇔方程有两个相等的实数根；（3）Δ＜0⇔方程没有实数根．四．根与系数的关系（共4小题）8．已知x1，x2是关于x的一元二次方程x²+bx+c＝0的两个根，且x1+x2＝5，x1•x2＝6，则该一元二次方程是（）A．x2+5x+6＝0B．x²﹣5x+6＝0C．x2﹣6x+5＝0D．x2﹣6x﹣5＝0【分析】根据根与系数的关系得出x1+x2＝﹣，x1•x2＝，即方程为x2﹣（x1+x2）x+x1•x2＝0，再把x1+x2＝5和x1•x2＝6代入方程即可．【解答】解：∵x1，x2是关于x的一元二次方程x²+bx+c＝0的两个根，x1+x2＝5，x1•x2＝6，∴该一元二次方程是x2﹣5x+6＝0，故选：B．【点评】本题考查了根与系数的关系，能熟记根与系数的关系的内容是解此题的关键，一元二次方程ax2+bx+c＝0（a、b、c为常数，a≠0，b2﹣4ac≥0）的两根为x1，x2，则x1+x2＝﹣，x1•x2＝．9．已知a，b是方程x2+x﹣3＝0的两个实数根，则a2﹣b+2022的值是（）A．2023B．2021C．2026D．2019【分析】根据题意可知a2＝﹣a+3，a+b＝﹣1，所求式子化为﹣a+3﹣b+2022＝﹣（a+b）+2025即可求解．【解答】解：∵a，b是方程x2+x﹣3＝0的两个实数根，∴a2＝﹣a+3，a+b＝﹣1，∴a2﹣b+2022＝﹣a+3﹣b+2022＝﹣（a+b）+2025＝1+2025＝2026．故选：C．【点评】本题考查一元二次方程的根与系数的关系；根据根与系数的关系将所求式子进行化简代入是解题的关键．10．若m，n是一元二次方程x2+2x﹣1＝0的两个实数根，则的值为（）A．1B．﹣1C．2D．﹣2【分析】先根据根与系数的关系得到m+n＝﹣2，然后利用整体代入的方法计算．【解答】解：将x＝n代入方程，得n2+2n﹣1＝0．所以2n﹣1＝﹣n2．根据根与系数的关系，得m+n＝﹣2，所以＝＝﹣（m+n）＝﹣（﹣2）＝2．故选：C．【点评】此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．11．已知关于x的方程（k﹣1）x2+（2k﹣3）x+k+1＝0有两个不相等的实数根x1，x2．（1）求k的取值范围；（2）是否存在实数k，使方程的两实数根互为相反数？如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由．【分析】（1）因为方程（k﹣1）x2+（2k﹣3）x+k+1＝0有两个不相等的实数根x1，x2．得出其判别式Δ＞0，可解得k的取值范围；（2）假设存在两根的值互为相反数，根据根与系数的关系，列出对应的不等式即可解的k的值．【解答】解：（1）方程（k﹣1）x2+（2k﹣3）x+k+1＝0有两个不相等的实数根x1，x2，可得k﹣1≠0，∴k≠1且Δ＝﹣12k+13＞0，可解得且k≠1；（2）假设存在两根的值互为相反数，设为x1，x2，∵x1+x2＝0，∴，∴，又∵且k≠1∴k不存在．【点评】本题主要考查了根与系数的关系，属于基础题，关键掌握x1，x2是方程x2+px+q ＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q．五．由实际问题抽象出一元二次方程（共2小题）12．现有x支球队参加篮球比赛，比赛采用单循环制即每个球队必须和其余球队比赛一场，共比赛了45场，则下列方程中符合题意的是（）A．x（x﹣1）＝45B．x（x+1）＝45C．x（x﹣1）＝45D．x（x+1）＝45【分析】先列出x支篮球队，每两队之间都比赛一场，共可以比赛x（x﹣1）场，再根据题意列出方程为x（x﹣1）＝45．【解答】解：∵有x支球队参加篮球比赛，每两队之间都比赛一场，∴共比赛场数为x（x﹣1）．∴共比赛了45场，∴x（x﹣1）＝45，故选：A．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．13．某种植物的主干长出若干相同数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是73，求每个支干又长出多少小分支？如果设每个支干又长出x个小分支，那么依题意可得方程为x2+x+1＝73．【分析】设主干长出x个支干，每个支干又长出x个小分支，得方程1+x+x2＝73，整理即可．【解答】解：设每个支干长出的小分支的数目是x个，根据题意列方程得：x2+x+1＝73，故答案为：x2+x+1＝73．【点评】考查了一元二次方程的应用，本题设长为x个支干，把小分枝用x2表示是关键．六．一元二次方程的应用（共8小题）14．可以用如图所示的图形研究方程x2+ax＝b2的解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝，BC＝b，以点A为圆心作弧交AB于点D，使AD＝AC，则该方程的一个正根是（）A．CD的长B．BD的长C．AC的长D．BC的长【分析】在Rt△ABC中，利用勾股定理进行计算，可得BD2+aBD＝b2，从而可得BD的长该方程方程x2+ax＝b2的一个正根．【解答】解：∵AD＝AC＝，∴AB＝AD+BD＝+BD，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∴AC2+BC2＝AB2，∴（）2+b2＝（+BD）2，∴+b2＝+aBD+BD2，∴BD2+aBD＝b2，∵BD2+aBD＝b2与方程x2+ax＝b2相同，且BD的长度是正数，∴BD的长该方程x2+ax＝b2的一个正根，故选：B．【点评】本题考查了勾股定理，一元二次方程的应用，利用勾股定理及各边长得出BD2+aBD＝b2是解题的关键．15．我国脱贫攻坚战取得了全面胜利，现行标准下9899万农村贫困人口全部脱贫，创造了又一个彪炳史册的人间奇迹！某贫困村从2018年开始大力发展乡村民宿旅游产业，据统计，该村2018年乡村民宿旅游收入约为2000万元，2020年该村乡村民宿旅游收入达到3380万元，则该村2018年到2020年乡村民宿旅游收入的年平均增长率约为（）A．20%B．25%C．30%D．35%【分析】设该村2018年到2020年乡村民宿旅游收入的年平均增长率约为x，利用2020年该村乡村民宿旅游收入＝2018年该村乡村民宿旅游收入×（1+增长率）2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．【解答】解：设该村2018年到2020年乡村民宿旅游收入的年平均增长率约为x，依题意得：2000（1+x）2＝3380，解得：x1＝0.3＝30%，x2＝﹣2.3（不合题意，舍去）．故选：C．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．16．新型冠状病毒肺炎具有人传人性，调查发现1人感染病毒后如果不隔离，那么经过两轮传染将会有225人感染，若设1人平均感染x人，则x为（）A．14B．15C．16D．17【分析】此题可设1人平均感染x人，则第一轮共感染（x+1）人，第二轮共感染x（x+1）+x+1＝（x+1）（x+1）人，根据题意列方程，然后解方程即可得到结论．【解答】解：设1人平均感染x人，依题意可列方程：（1+x）2＝225．解得：x1＝14，x2＝﹣16（不合题意舍去），即：x＝14，故选：A．【点评】此题考查了一元二次方程的应用，找到关键描述语，找到等量关系准确地列出方程是解决问题的关键．17．如图，从一块矩形铁片中间截去一个小矩形，使剩下部分四周的宽度都等于x，且小矩形的面积是原来矩形面积的一半，则x的值为10．【分析】本题中小长方形的长为（80﹣2x）cm，宽为（60﹣2x）cm，根据“小长方形的面积是原来长方形面积的一半”可列出方程（80﹣2x）（60﹣2x）＝×80×60，解方程从而求解．【解答】解：因为小长方形的长为（80﹣2x）cm，宽为（60﹣2x）cm，则其面积为（80﹣2x）（60﹣2x）cm2根据题意得：（80﹣2x）（60﹣2x）＝×80×60整理得：x2﹣70x+600＝0解之得：x1＝10，x2＝60因x＝60不合题意，应舍去所以x＝10．故答案是：10．【点评】考查了一元二次方程的应用，此题解答时应结合草图，分析出小长方形的长与宽，利用一元二次方程求解，另外应判断解出的解是否符合题意，进而确定取舍．18．第24届冬季奥林匹克运动会于2022年2月在北京举行，北京成为历史上第一个既举办过夏奥会又举办过冬奥会的城市．某饰品店抓住商机购进了北京冬奥会的吉祥物冰墩墩挂件进行销售，平均每天销售30件，每件盈利20元．经调研发现：在成本不变的情况下，若每个挂件降价1元，则每天可多售出5件．（1）设每个挂件降价x元，则每天将销售（30+5x）件．（用含x的代数式表示）（2）如果商家每天要盈利840元，且让顾客得到更大实惠，每个挂件应降价多少元？【分析】（1）根据“平均每天销售30件，每个挂件降价1元，则每天可多售出5件”列出代数式即可；（2）设每件应降价x元，根据每件服装的盈利×（原来的销售量+增加的销售量）＝540，列出方程，求出x的值，计算得到降价多的数量即可得出答案．【解答】解：（1）根据题意知，每天将销售（30+5x）件；故答案是：（30+5x）；（2）根据题意，得（20﹣x）×（30+5x）＝840．整理，得x2﹣14x+48＝0．解得x1＝6，x2＝8．因为让顾客得到更大实惠，所以x＝8符合题意．答：每个挂件应降价8元．【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据每天盈利得到相应的等量关系，列出方程．得到现在的销售量是解决本题的难点．19．因粤港澳大湾区和中国特色社会主义先行示范区的双重利好，深圳已成为国内外游客最喜欢的旅游目的地城市之一．深圳著名旅游“网红打卡地”东部华侨城景区在2018年春节长假期间，共接待游客达20万人次，预计在2020年春节长假期间，将接待游客达28.8万人次．（1）求东部华侨城景区2018至2020年春节长假期间接待游客人次的年平均增长率；（2）东部华侨城景区一奶茶店销售一款奶茶，每杯成本价为6元，根据销售经验，在旅游旺季，若每杯定价25元，则平均每天可销售300杯，若每杯价格降低1元，则平均每天可多销售30杯.2020年春节期间，店家决定进行降价促销活动，则当每杯售价定为多少元时，既能让顾客获得最大优惠，又可让店家在此款奶茶实现平均每天6300元的利润额？【分析】（1）设年平均增长率为x，根据东部华侨城景区在2018年春节长假期间，共接待游客达20万人次，预计在2020年春节长假期间，将接待游客达28.8万人次．列出方程求解即可；（2）设当每杯售价定为y元时，店家在此款奶茶实现平均每天6300元的利润额，由题意得关于y的方程，解方程并对方程的解作出取舍即可．【解答】解：（1）设年平均增长率为x，由题意得：20（1+x）2＝28.8，解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（舍）．答：年平均增长率为20%；（2）设当每杯售价定为y元时，店家在此款奶茶实现平均每天6300元的利润额，由题意得：（y﹣6）[300+30（25﹣y）]＝6300，整理得：y2﹣41y+420＝0，解得：y1＝20，y2＝21．∵让顾客获得最大优惠，∴y＝20．答：当每杯售价定为20元时，既能让顾客获得最大优惠，又可让店家在此款奶茶实现平均每天6300元的利润额．【点评】本题考查了一元二次方程在实际问题中的应用，理清题中的数量关系并正确列出方程是解题的关键．20．某环保公司研发了甲、乙两种智能设备，可将垃圾处理变为新型清洁燃料．某垃圾处理厂从环保公司购入以上两种智能设备若干，已知购买甲型智能设备花费360万元，购买乙型智能设备花费480万元，购买的两种设备数量相同，且两种智能设备的单价和为140万元．（1）求甲、乙两种智能设备单价；（2）垃圾处理厂利用智能设备生产燃料棒，并将产品出售．已知每吨燃料棒的成本为100元．调查发现，若燃料棒售价为每吨200元，平均每天可售出350吨，而当销售价每降低1元，平均每天可多售出5吨．垃圾处理厂想使这种燃料棒的销售利润平均每天达到36080元，且保证售价在每吨200元基础上降价幅度不超过8%，求每吨燃料棒售价应为多少元？【分析】（1）设甲智能设备单价x万元，则乙单价为（140﹣x）万元，利用购买的两种设备数量相同，列出分式方程求解即可；（2）设每吨燃料棒在200元基础上降价y元，根据题意列出方程，求解后根据降价幅度不超过8%，即可得出售价．【解答】解：（1）设甲智能设备单价x万元，则乙单价为（140﹣x）万元，由题意得：＝，解得：x＝60，经检验x＝60是方程的解，∴x＝60，140﹣x＝80，答：甲设备60万元/台，乙设备80万元/台；（2）设每吨燃料棒在200元基础上降价y元，由题意得：（200﹣y﹣100）（350+5y）＝36080，解得：y1＝12，y2＝18，∵y≤200×8%，即y≤16，∴y＝12，200﹣y＝188，答：每吨燃料棒售价应为188元．【点评】本题考查了一元二次方程及分式方程在实际问题中的应用，理清题中的数量关系正确列出方程是解题的关键．21．阳光小区附近有一块长100m，宽80m的长方形空地，在空地上有两条相同宽度的步道（一纵一横）和一个边长为步道宽度7倍的正方形休闲广场，两条步道的总面积与正方形休闲广场的面积相等，如图1所示，设步道的宽为a（m）．（1）求步道的宽；（2）为了方便市民进行跑步健身，现按如图2所示方案增建塑胶跑道．已知塑胶跑道的宽为1m，长方形区域甲的面积比长方形区域乙大441m2，且区域丙为正方形，求塑胶跑道的总面积．【分析】（1）根据“两条步道的总面积与正方形休闲广场的面积相等”列出方程并解答；（2）根据“长方形区域甲的面积比长方形区域乙大44m2”求得正方形的边长为20，所以再结合图形和矩形的面积公式解答．【解答】解：（1）由题意，得100a+80a﹣a2＝（7a）2化简，得a2＝3.6a．∵a＞0．∴a＝3.6．答：步道的宽为3.6m；（2）设正方形丙的边长为x．由题意，（100﹣x﹣4.6）（x+1）﹣（x+1）（80﹣x﹣2﹣3.6）＝441，解得x＝20，∴塑胶跑道的总面积为1×（100+80﹣1+20）＝199（m2）．【点评】考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．。
人就版数学九年级上册第 二十一章 一元二次方程---二十二章 二次函数综合复习试卷(含简单答案)
人就版数学九年级上册第二十一章-二十二章一、单选题1．下列方程是一元二次方程的是（ ）A．x2=x B．a x2+bx+c=0C．xy=1D．x+1x=12．把抛物线y=−x2+1向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为（ ）A．y=−(x+3)2+1B．y=−(x+1)2+3C．y=−(x−1)2+4D．y=−(x+1)2+43．已知关于x的一元二次方程k x2−(4k−1)x+4k−3=0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（ ）A．k<14B．k<14且k≠0C．k>−14D．k>−14且k≠04．如图，长方形花圃ABCD面积为4m2，它的一边AD利用已有的围墙（围墙足够长），另外三边所围的栅栏的总长度是5m．EF处开一门，宽度为1m．设AB的长度是xm，根据题意，下面所列方程正确的是（ ）A．x(5−2x)=4B．x(5+1−2x)=4C．x(5−2x−1)=4D．x(2.5−x)＝45．如图是抛物线型拱桥，当拱顶高离水面2m时，水面宽4m．水面上升1.5m，水面宽度为（ ）A．1m B．2m C．3m D．23m6．在同一直角坐标系中，一次函数y＝ax＋c和二次函数y＝a(x＋c)2的图像大致为（ ）A ．B ．C ．D ．7．一个等腰三角形两边的长分别等于一元二次方程x 2−16x +55=0的两个实数根，则这个等腰三角形周长为（ ）A ．11B ．27C ．5或11D ．21或278．已知关于x 的方程a(x−m)x =x−m 有两个相等的实数根，若M =a 2−2am ，N =4am−1m 2，则M 与N 的关系正确的是 （ ）A ．M +N =2B ．M +N =−2C ．2M +N =0D ．M +N =09．y =a x 2+bx +c 与自变量x 的部分对应值如下，已知有且仅有一组值错误（其中a ，b ，c ，m 均为常数）．x …−1012…y…m 2−2m 2m 2…甲同学发现当a <0时，x =3是方程a x 2+bx +c +2=0的一个根；乙同学发现当a >0时，则2a +b >0．下列说法正确的是（ ）A ．甲对乙错B ．甲错乙对C ．甲乙都错D ．甲乙都对10．已知二次函数y =−12x 2+bx 的对称轴为x =1，当m ≤x ≤n 时，y 的取值范围是2m ≤y ≤2n ．则m +n 的值为（ ）A ．−6或−2B ．14或−74C ．14D ．−2二、填空题11．方程 x 2=5x 的根是 ．12．已知x =−1是关于x 的方程x 2+mx−n =0的一个根，则m +n 的值是= ．13．已知点A(−1，y 1)，B(1，y 2)，C(4，y 3)在二次函数y =x 2−6x +c 的图象上，则y 1，y 2，y 3的大小关系是 (用“>”连接)．14．如图，水池中心点О处竖直安装一水管，水管喷头喷出抛物线形水柱，喷头上下移动时，抛物线形水柱随之竖直上下平移，水柱落点与点О在同一水平面.安装师傅调试发现，喷头高2.5m时，水柱落点距О点2.5m；喷头高4m时，水柱落点距О点3m.那么喷头高 m时，水柱落点距O点4m.15．已知A(x1,y1)，B(x2,y2)是抛物线y=a x2−3x+1上的两点，其对称轴是直线x=x0，若|x1−x0|>|x2−x0|时，总有y1>y2，同一坐标系中有M(−1,−2)，N(3,2)且抛物线y=a x2−3x+1与线段MN有两个不相同的交点，则a的取值范围是 ．16．已知抛物线y=a x2+bx+c（a，b，c是常数），其图像经过点A(2,0)，坐标原点为O．①若b=−2a，则抛物线必经过原点；②若c≠4a，则抛物线与x轴一定有两个不同的公共点；③若抛物线与x轴交于点B（不与A重合），交y轴于点C且OB=OC，则a=−12；④点M(x1,y1)，N(x2,y2)在抛物线上，若当x1>x2>−1时，总有y1>y2，则8a+c≤0．其中正确的结论是 （填写序号）．三、解答题17．解方程：x2−4x−5=0．18．在二次函数y=x2−2tx+3(t>0)中，（1）若它的图象过点(2,1)，则t的值为多少？（2）当0≤x≤3时，y的最小值为−2，求出t的值：（3）如果A(m−2,a),B(4,b),C(m,a)都在这个二次函数的图象上，且a<b<3，求m的取值范围．19．阅读下列材料，解答问题：材料：若x1，x2为一元二次方程a x2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根，则x1+x2=−ba ，x1⋅x2=ca．（1）已知实数m，n满足3m2−5m−2=0，3n2−5n−2=0，且m≠n，求m2n+m n2的值．解：根据题意，可将m，n看作方程3x2−5x−2=0的两个实数根．∴m+n= ，mn= ．∴m2n+m n2=mn(m+n)= ．（2）已知实数a，b满足a2=2a+3，9b2=6b+3，且a≠3b，求ab的值．（3）已知实数m，n满足m+mn+n=a24−6，m−mn+n=−a24+2a，求实数a的最大整数值．20．如图，在平面直角坐标系中，从原点O的正上方8个单位A处向右上方发射一个小球，小球在空中飞行后，会落在截面为矩形CDEF的平台EF上（包括端点），把小球看作点，其飞行的高度y与飞行的水平距离x满足关系式L1:y=−x2+bx+c．其中C(6,0)，D(10,0)，CF=2．（1）求c的值；（2）求b的取值范围；（3）若落在平台EF上的小球，立即向右上方弹起，运动轨迹形成另一条与L1形状相同的拋物线L2，在21.x轴有两个点M、N，且M(15,0)，N(16,0)，从点N向上作NP⊥x轴，且PN=2．若沿抛物线L2下落的小球能落在边MP（包括端点）上，求抛物线L2最高点纵坐标差的最大值是多少？定义：函数图象上到两坐标轴的距离都不大于n(n≥0)的点叫做这个函数图象的“n阶方点”．例如，点(1 3,13)是函数y=x图象的“12阶方点”；点(−1,1)是函数y=−x图象的“1阶方点”．（1）在①(−1,2)；②(0,0)；③(12,−1)三点中，是正比例函数y=−2x图象的“1阶方点”的有___（填序号）；（2）若y关于x的一次函数y=ax−4a+1图象的“2阶方点”有且只有一个，求a的值；（3）若函数图象恰好经过“n阶方点”中的点(n,n)，则点(n,n)称为此函数图象的“不动n阶方点”，若y关于x的二次函数y=14x2+(p−t+1)x+q+t−2的图象上存在唯一的一个“不动n阶方点”，且当2≤p≤3时，q的最小值为t，求t的值．22.如图，抛物线L：y=a(x+2)2+9与x轴交于A，B(−5,0)两点，与y轴交于点C．（1）写出抛物线的对称轴，并求a的值；（2）平行于x轴的直线l交抛物线L于点M，N（点M在点N的左边），交线段BC于点R．当R为线段MN的中点时，求点N的坐标；（3）将线段AB先向左平移1个单位长度，再向上平移5个单位长度，得到线段A′B′．若抛物线L平移后与线段A′B′有两个交点，且这两个交点恰好将线段A′B′三等分，求抛物线L平移的最短路程；（4）P是抛物线L上任意一点（不与点C重合），点P的横坐标为m．过点P作PQ⊥y轴于点Q，E 为y轴上的一点，纵坐标为−2m．以EQ,PQ为邻边构造矩形PQEF，当抛物线L在矩形PQEF内的部分所对应的函数值y随x的增大而减小时，直接写出m的取值范围．答案解析部分1．【答案】A 2．【答案】D 3．【答案】D 4．【答案】B 5．【答案】B 6．【答案】B 7．【答案】B 8．【答案】A 9．【答案】D 10．【答案】D11．【答案】x 1=0，x 2=512．【答案】113．【答案】y 1>y 2>y 314．【答案】815．【答案】109≤a <216．【答案】①②④17．【答案】x 1=−1，x 2=518．【答案】（1）t =32（2）t =5（3）3<m <4或m >619．【答案】（1）53；−23；−109（2）解：∵9b 2=6b +3，∴(3b)2=2×(3b)+3∵a 2=2a +3，a ≠3b∴a ，3b 是一元二次方程x 2=2x +3的不相等的两个实数根整理方程得：x 2−2x−3=0，∴a ×3b =−3∴ab =−1（3）解：∵m +mn +n =a 24−6①，m−mn +n =−a 24+2a②，∴①+②可得：2(m+n)=2a−6，即：m+n=a−3①−②可得：2mn=a22−2a−6，即：mn=a24−a−3∴m，n可以看作是一元二次方程x2−(a−3)x+a24−a−3=0的两个实数根∴Δ=[−(a−3)]2−4×1×(a24−a−3)≥0化简得：−2a+21≥0，解得：a≤21 2，∴实数a的最大整数值为10 20．【答案】（1）c=8；（2）5≤b≤47 5；（3）抛物线L2最高点纵坐标差的最大值是19.71．21．【答案】（1）②③（2）a的值为32或a=−12（3）．t=3−3或4+5 22．【答案】（1）x=−2,a=−1；（2）6−2（3）10（4）−6−1<m<0或m>6−1。
第21章 一元二次方程复习题---填空题（含解析）
人教版数学九上第21章一元二次方程复习题---填空题一．填空题1．（2018秋•郫都区期中）关于x的方程是一元二次方程，则a的取值范围为．2．（2018秋•石阡县校级月考）把方程3x2+5x=2化为一元二次方程的一般形式是．3．（2018•苏州）若关于x的一元二次方程x2+mx+2n=0有一个根是2，则m+n=．4．（2018•资阳）已知关于x的一元二次方程mx2+5x+m2﹣2m=0有一个根为0，则m=．5．（2018•荆门）已知x=2是关于x的一元二次方程kx2+（k2﹣2）x+2k+4=0的一个根，则k的值为．6．（2018•扬州）若m是方程2x2﹣3x﹣1=0的一个根，则6m2﹣9m+2015的值为．7．（2018•南充）若2n（n≠0）是关于x的方程x2﹣2mx+2n=0的根，则m﹣n的值为．8．（2018•十堰）对于实数a，b，定义运算“※”如下：a※b=a2﹣ab，例如，5※3=52﹣5×3=10．若（x+1）※（x﹣2）=6，则x的值为．9．（2018•黄冈）一个三角形的两边长分别为3和6，第三边长是方程x2﹣10x+21=0的根，则三角形的周长为．10．（2018•淮安）一元二次方程x2﹣x=0的根是．11．（2018•黔西南州）三角形的两边长分别为3和6，第三边的长是方程x2﹣6x+8=0的解，则此三角形的周长是．12．（2018秋•建邺区期中）对于两个不相等的实数a、b，我们规定max{a、b}表示a、b中较大的数，如max{1，2}=2．那么方程max{2x，x﹣2}=x2﹣4的解为．13．（2018秋•临河区期中）已知在△ABC中，AB=3，AC=5，第三边BC的长为一元二次方程x2﹣6x+8=0的一个根，则该三角形为三角形．14．（2018秋•遵义月考）一元二次方程x2﹣4x﹣12=0的两根分别是一次函数y=kx+b 在x轴上的横坐标和y轴上的纵坐标，则这个一次函数图象与两坐标轴所围成的三角形的面积是．15．（2018•南通）若关于x的一元二次方程x2﹣2mx﹣4m+1=0有两个相等的实数根，则（m﹣2）2﹣2m（m﹣1）的值为．16．（2018•威海）关于x的一元二次方程（m﹣5）x2+2x+2=0有实根，则m的最大整数解是．17．（2018秋•福田区校级月考）关于x的方程（m+2）x|m﹣1|﹣1+x﹣2=0有两个实数根，则m的值是．18．（2018秋•句容市月考）写一个你喜欢的实数n的值，使关于x的一元二次方程x2﹣4x+n=0有两个不相等的实数根．19．（2018•巴中）对于任意实数a、b，定义：a◆b=a2+ab+b2．若方程（x◆2）﹣5=0的两根记为m、n，则m2+n2=．20．（2018•荆州）关于x的一元二次方程x2﹣2kx+k2﹣k=0的两个实数根分别是x1、x2，且x12+x22=4，则x12﹣x1x2+x22的值是．21．（2018•莱芜）已知x1，x2是方程2x2﹣3x﹣1=0的两根，则x12+x22=．22．（2018•烟台）已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+m﹣1=0的实数根x1，x2，满足3x1x2﹣x1﹣x2＞2，则m的取值范围是．23．（2018•达州）已知：m2﹣2m﹣1=0，n2+2n﹣1=0且mn≠1，则的值为．24．（2018•郴州）已知关于x的一元二次方程x2+kx﹣6=0有一个根为﹣3，则方程的另一个根为．25．（2018•江西）一元二次方程x2﹣4x+2=0的两根为x1，x2，则x12﹣4x1+2x1x2的值为．26．（2018•泸州）已知x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣1=0的两实数根，则的值是．27．（2018•内江）已知关于x的方程ax2+bx+1=0的两根为x1=1，x2=2，则方程a（x+1）2+b（x+1）+1=0的两根之和为．28．（2017•西宁）若x1，x2是一元二次方程x2+3x﹣5=0的两个根，则x12x2+x1x22的值是．29．（2017•淄博）已知α，β是方程x2﹣3x﹣4=0的两个实数根，则α2+αβ﹣3α的值为．30．（2018秋•武昌区期中）有两个人患了流感，经过两轮传染后总共有162人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了个人．31．（2018•南岗区校级二模）哈尔滨市某楼盘以每平方米10000元的均价对外销售，经过连续两次上调后，均价为每平方米12100元，则平均每次上调的百分率为．32．（2018秋•老河口市期中）在国庆节的一次同学聚会上，每人都向其他人赠送了一份小礼品，共互送110份小礼品，则参加聚会的有名同学．33．（2018秋•江岸区校级月考）如图，Rt△ABC中，AB=6，BC=8．点P从点A出发，以1个单位/秒的速度向B移动，同时，点Q从点B出发，以2个单位/秒的速度向点C移动，运动秒后，△PBQ面积为5个平方单位．34．（2018秋•浦东新区期中）某种药原来每瓶售价为40元，经过两次降价，现在每瓶售价为25.6元，则平均每次降价的百分率是．35．（2018秋•潍城区月考）用22cm长的铁丝，折成一个面积为28cm2的矩形，这个矩形的长是．36．（2018秋•渝中区校级月考）某种文化衫，平均每天销售40件，每件盈利20元，由于换季现准备降价销售，若每件降价0.5元，则每天可多售5件，为了尽快减少库存且每天要盈利1080元，每件应降价元．人教版数学九上第21章一元二次方程复习题---填空题参考答案与试题解析一．填空题1．（2018秋•郫都区期中）关于x的方程是一元二次方程，则a的取值范围为a＞﹣1．【分析】直接利用一元二次方程的定义以及二次根式的性质计算得出答案．【解答】解：∵关于x的方程是一元二次方程，∴a+1＞0，解得：a＞﹣1．故答案为：a＞﹣1．2．（2018秋•石阡县校级月考）把方程3x2+5x=2化为一元二次方程的一般形式是3x2﹣5x﹣2=0．【分析】一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）．【解答】解：由3x2+5x=2，得3x2﹣5x﹣2=0，即方程3x2+5x=2化为一元二次方程的一般形式为3x2﹣5x﹣2=0；故答案是：3x2﹣5x﹣2=0．3．（2018•苏州）若关于x的一元二次方程x2+mx+2n=0有一个根是2，则m+n=﹣2．【分析】根据一元二次方程的解的定义把x=2代入x2+mx+2n=0得到4+2m+2n=0得n+m=﹣2，然后利用整体代入的方法进行计算．【解答】解：∵2（n≠0）是关于x的一元二次方程x2+mx+2n=0的一个根，∴4+2m+2n=0，∴n+m=﹣2，故答案为：﹣2．4．（2018•资阳）已知关于x的一元二次方程mx2+5x+m2﹣2m=0有一个根为0，则m= 2．【分析】根据一元二次方程的定义以及一元二次方程的解的定义列出关于m的方程，通过解关于m的方程求得m的值即可．【解答】解：∵关于x的一元二次方程mx2+5x+m2﹣2m=0有一个根为0，∴m2﹣2m=0且m≠0，解得，m=2．故答案是：2．5．（2018•荆门）已知x=2是关于x的一元二次方程kx2+（k2﹣2）x+2k+4=0的一个根，则k的值为﹣3．【分析】把x=2代入kx2+（k2﹣2）x+2k+4=0得4k+2k2﹣4+2k+4=0，再解关于k的方程，然后根据一元二次方程的定义确定k的值．【解答】解：把x=2代入kx2+（k2﹣2）x+2k+4=0得4k+2k2﹣4+2k+4=0，整理得k2+3k=0，解得k1=0，k2=﹣3，因为k≠0，所以k的值为﹣3．故答案为﹣3．6．（2018•扬州）若m是方程2x2﹣3x﹣1=0的一个根，则6m2﹣9m+2015的值为2018．【分析】根据一元二次方程的解的定义即可求出答案．【解答】解：由题意可知：2m2﹣3m﹣1=0，∴2m2﹣3m=1∴原式=3（2m2﹣3m）+2015=2018故答案为：20187．（2018•南充）若2n（n≠0）是关于x的方程x2﹣2mx+2n=0的根，则m﹣n的值为．【分析】根据一元二次方程的解的定义，把x=2n代入方程得到x2﹣2mx+2n=0，然后把等式两边除以n即可．【解答】解：∵2n（n≠0）是关于x的方程x2﹣2mx+2n=0的根，∴4n2﹣4mn+2n=0，∴4n﹣4m+2=0，∴m﹣n=．故答案是：．8．（2018•十堰）对于实数a，b，定义运算“※”如下：a※b=a2﹣ab，例如，5※3=52﹣5×3=10．若（x+1）※（x﹣2）=6，则x的值为1．【分析】根据题意列出方程，解方程即可．【解答】解：由题意得，（x+1）2﹣（x+1）（x﹣2）=6，整理得，3x+3=6，解得，x=1，故答案为：1．9．（2018•黄冈）一个三角形的两边长分别为3和6，第三边长是方程x2﹣10x+21=0的根，则三角形的周长为16．【分析】首先求出方程的根，再根据三角形三边关系定理，确定第三边的长，进而求其周长．【解答】解：解方程x2﹣10x+21=0得x1=3、x2=7，∵3＜第三边的边长＜9，∴第三边的边长为7．∴这个三角形的周长是3+6+7=16．故答案为：16．10．（2018•淮安）一元二次方程x2﹣x=0的根是x1=0，x2=1．【分析】方程左边分解因式后，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．【解答】解：方程变形得：x（x﹣1）=0，可得x=0或x﹣1=0，解得：x1=0，x2=1．故答案为：x1=0，x2=1．11．（2018•黔西南州）三角形的两边长分别为3和6，第三边的长是方程x2﹣6x+8=0的解，则此三角形的周长是13．【分析】求出方程的解，有两种情况：x=2时，看看是否符合三角形三边关系定理；x=4时，看看是否符合三角形三边关系定理；求出即可．【解答】解：x2﹣6x+8=0，（x﹣2）（x﹣4）=0，x﹣2=0，x﹣4=0，x1=2，x2=4，当x=2时，2+3＜6，不符合三角形的三边关系定理，所以x=2舍去，当x=4时，符合三角形的三边关系定理，三角形的周长是3+6+4=13，故答案为：13．12．（2018秋•建邺区期中）对于两个不相等的实数a、b，我们规定max{a、b}表示a、b中较大的数，如max{1，2}=2．那么方程max{2x，x﹣2}=x2﹣4的解为x1=1，x2=1﹣．【分析】直接分类讨论得出x的取值范围，进而解方程得出答案．【解答】解：当2x＞x﹣2时，故x＞﹣2，则2x=x2﹣4，故x2﹣2x﹣4=0，（x﹣1）2=5，解得：x1=1+，x2=1﹣；当2x＜x﹣2时，故x＜﹣2，则x﹣2=x2﹣4，故x2﹣x﹣2=0，解得：x3=2（不合题意舍去），x4=﹣1（不合题意舍去），综上所述：方程max{2x，x﹣2}=x2﹣4的解为：x1=1，x2=1﹣．故答案为：x1=1，x2=1﹣．13．（2018秋•临河区期中）已知在△ABC中，AB=3，AC=5，第三边BC的长为一元二次方程x2﹣6x+8=0的一个根，则该三角形为直角三角形．【分析】先解一元二次方程，求出方程的根，再判断三边构成怎样的三角形．【解答】解：∵x2﹣6x+8=0，∴（x﹣2）（x﹣4）=0，∴x1=2，x2=4．当BC=2时，AB+BC=5=AC，由于两边之和不大于第三边，不能构成三角形．当BC=4时，由于AB2+BC2=AC2，所以△ABC是直角三角形．故答案为：直角．14．（2018秋•遵义月考）一元二次方程x2﹣4x﹣12=0的两根分别是一次函数y=kx+b 在x轴上的横坐标和y轴上的纵坐标，则这个一次函数图象与两坐标轴所围成的三角形的面积是6．【分析】先求出方程的解，再求出三角形的面积即可．【解答】解：解方程x2﹣4x﹣12=0得：x=6或﹣2，∵一元二次方程x2﹣4x﹣12=0的两根分别是一次函数y=kx+b在x轴上的横坐标和y轴上的纵坐标，∴这个一次函数图象与两坐标轴所围成的三角形的面积是×6×|﹣2|=6，故答案为：6．15．（2018•南通）若关于x的一元二次方程x2﹣2mx﹣4m+1=0有两个相等的实数根，则（m﹣2）2﹣2m（m﹣1）的值为．【分析】根据根的判别式即可求出答案．【解答】解：由题意可知：△=4m2﹣2（1﹣4m）=4m2+8m﹣2=0，∴m2+2m=∴（m﹣2）2﹣2m（m﹣1）=﹣m2﹣2m+4=+4=故答案为：16．（2018•威海）关于x的一元二次方程（m﹣5）x2+2x+2=0有实根，则m的最大整数解是m=4．【分析】若一元二次方程有实根，则根的判别式△=b2﹣4ac≥0，建立关于m的不等式，求出m的取值范围．还要注意二次项系数不为0．【解答】解：∵关于x的一元二次方程（m﹣5）x2+2x+2=0有实根，∴△=4﹣8（m﹣5）≥0，且m﹣5≠0，解得m≤5.5，且m≠5，则m的最大整数解是m=4．故答案为：m=4．17．（2018秋•福田区校级月考）关于x的方程（m+2）x|m﹣1|﹣1+x﹣2=0有两个实数根，则m的值是4．【分析】根据一元二次方程的定义结合根的判别式△≥0，即可得出关于m的一元一次不等式组及关于m的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出结论．【解答】解：∵关于x的方程（m+2）x|m﹣1|﹣1+x﹣2=0有两个实数根，∴，解得：m=4．故答案为：4．18．（2018秋•句容市月考）写一个你喜欢的实数n的值0，使关于x的一元二次方程x2﹣4x+n=0有两个不相等的实数根．【分析】此题是一道开放型的题目，答案不唯一，根据根的判别式取一个符合的数即可．【解答】解：x2﹣4x+n=0，△=（﹣4）2﹣4n＞0，解得：n＜4，取n=0，则方程为x2﹣4x=0，此时方程的解为x=0和x=4，故答案为：0．19．（2018•巴中）对于任意实数a、b，定义：a◆b=a2+ab+b2．若方程（x◆2）﹣5=0的两根记为m、n，则m2+n2=6．【分析】根据新定义可得出m、n为方程x2+2x﹣1=0的两个根，利用根与系数的关系可得出m+n=﹣2、mn=﹣1，将其代入m2+n2=（m+n）2﹣2mn中即可得出结论．【解答】解：∵（x◆2）﹣5=x2+2x+4﹣5，∴m、n为方程x2+2x﹣1=0的两个根，∴m+n=﹣2，mn=﹣1，∴m2+n2=（m+n）2﹣2mn=6．故答案为：6．20．（2018•荆州）关于x的一元二次方程x2﹣2kx+k2﹣k=0的两个实数根分别是x1、x2，且x12+x22=4，则x12﹣x1x2+x22的值是4．【分析】根据根与系数的关系结合x1+x2=x1•x2可得出关于k的一元二次方程，解之即可得出k的值，再根据方程有实数根结合根的判别式即可得出关于k的一元二次不等式，解之即可得出k的取值范围，从而可确定k的值．【解答】解：∵x2﹣2kx+k2﹣k=0的两个实数根分别是x1、x2，∴x1+x2=2k，x1•x2=k2﹣k，∵x12+x22=4，∴=4，（2k）2﹣2（k2﹣k）=4，2k2+2k﹣4=0，k2+k﹣2=0，k=﹣2或1，∵△=（﹣2k）2﹣4×1×（k2﹣k）≥0，k≥0，∴k=1，∴x1•x2=k2﹣k=0，∴x12﹣x1x2+x22=4﹣0=4．故答案为：4．21．（2018•莱芜）已知x1，x2是方程2x2﹣3x﹣1=0的两根，则x12+x22=．【分析】找出一元二次方程的系数a，b及c的值，利用根与系数的关系求出两根之和与两根之积，然后利用完全平方公式变形后，将求出的两根之和与两根之积代入，即可求出所求式子的值．【解答】解：∵x1、x2是方程2x2﹣3x﹣1=0的两根，∴x1+x2=．x1x2=﹣，∴x12+x22=，故答案为：22．（2018•烟台）已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+m﹣1=0的实数根x1，x2，满足3x1x2﹣x1﹣x2＞2，则m的取值范围是3＜m≤5．【分析】根据根的判别式△＞0、根与系数的关系列出关于m的不等式组，通过解该不等式组，求得m的取值范围．【解答】解：依题意得：，解得3＜m≤5．故答案是：3＜m≤5．23．（2018•达州）已知：m2﹣2m﹣1=0，n2+2n﹣1=0且mn≠1，则的值为3．【分析】将n2+2n﹣1=0变形为﹣﹣1=0，据此可得m，是方程x2﹣2x﹣1=0的两根，由韦达定理可得m+=2，代入=m+1+可得．【解答】解：由n2+2n﹣1=0可知n≠0．∴1+﹣=0．∴﹣﹣1=0，又m2﹣2m﹣1=0，且mn≠1，即m≠．∴m，是方程x2﹣2x﹣1=0的两根．∴m+=2．∴=m+1+=2+1=3，故答案为：3．24．（2018•郴州）已知关于x的一元二次方程x2+kx﹣6=0有一个根为﹣3，则方程的另一个根为2．【分析】根据根与系数的关系得出﹣3a=﹣6，求出即可．【解答】解：设方程的另一个根为a，则根据根与系数的关系得：﹣3a=﹣6，解得：a=2，故答案为：2．25．（2018•江西）一元二次方程x2﹣4x+2=0的两根为x1，x2，则x12﹣4x1+2x1x2的值为2．【分析】根据根与系数的关系及一元二次方程的解可得出x12﹣4x1=﹣2、x1x2=2，将其代入x12﹣4x1+2x1x2中即可求出结论．【解答】解：∵一元二次方程x2﹣4x+2=0的两根为x1、x2，∴x12﹣4x1=﹣2，x1x2=2，∴x12﹣4x1+2x1x2=﹣2+2×2=2．故答案为：2．26．（2018•泸州）已知x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣1=0的两实数根，则的值是6．【分析】根据根与系数的关系及一元二次方程的解可得出x1+x2=2、x1x2=﹣1、=2x1+1、=2x2+1，将其代入=中即可得出结论．【解答】解：∵x1、x2是一元二次方程x2﹣2x﹣1=0的两实数根，∴x1+x2=2，x1x2=﹣1，=2x1+1，=2x2+1，∴=+====6．故答案为：6．27．（2018•内江）已知关于x的方程ax2+bx+1=0的两根为x1=1，x2=2，则方程a（x+1）2+b（x+1）+1=0的两根之和为1．【分析】利用整体的思想以及根与系数的关系即可求出答案．【解答】解：设x+1=t，方程a（x+1）2+b（x+1）+1=0的两根分别是x3，x4，∴at2+bt+1=0，由题意可知：t1=1，t2=2，∴t1+t2=3，∴x3+x4+2=3故答案为：128．（2017•西宁）若x1，x2是一元二次方程x2+3x﹣5=0的两个根，则x12x2+x1x22的值是15．【分析】由根与系数的关系可求得（x1+x2）与x1x2的值，代入计算即可．【解答】解：∵x1，x2是一元二次方程x2+3x﹣5=0的两个根，∴x1+x2=﹣3，x1x2=﹣5，∴x12x2+x1x22=x1x2（x1+x2）=﹣5×（﹣3）=15，故答案为：15．29．（2017•淄博）已知α，β是方程x2﹣3x﹣4=0的两个实数根，则α2+αβ﹣3α的值为0．【分析】根据根与系数的关系得到得α+β=3，再把原式变形得到a（α+β）﹣3α，然后利用整体代入的方法计算即可．【解答】解：根据题意得α+β=3，αβ=﹣4，所以原式=a（α+β）﹣3α=3α﹣3α=0．故答案为0．30．（2018秋•武昌区期中）有两个人患了流感，经过两轮传染后总共有162人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了8个人．【分析】设每轮传染中平均每人传染x个人，根据经过两轮传染后总共有162人患了流感，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．【解答】解：设每轮传染中平均每人传染x个人，根据题意得：2+2x+x（2+2x）=162，整理得：x2+2x﹣80=0，解得：x1=8，x2=﹣10（不合题意，舍去）．故答案为：8．31．（2018•南岗区校级二模）哈尔滨市某楼盘以每平方米10000元的均价对外销售，经过连续两次上调后，均价为每平方米12100元，则平均每次上调的百分率为10%．【分析】设平均每次上调的百分率是x，因为经过两次上调，且知道调前的价格和调后的价格，从而求出解．【解答】解：设平均每次上调的百分率是x，依题意得10000（1+x）2=12100，解得：x1=10%，x2=﹣210%（不合题意，舍去）．答：平均每次上调的百分率为10%．故答案是：10%．32．（2018秋•老河口市期中）在国庆节的一次同学聚会上，每人都向其他人赠送了一份小礼品，共互送110份小礼品，则参加聚会的有11名同学．【分析】设参加聚会的有x名学生，根据“在国庆节的一次同学聚会上，每人都向其他人赠送了一份小礼品，共互送110份小礼品”，列出关于x的一元二次方程，解之即可．【解答】解：设参加聚会的有x名学生，根据题意得：x（x﹣1）=110，解得：x1=11，x2=﹣10（舍去），即参加聚会的有11名同学，故答案为：11．33．（2018秋•江岸区校级月考）如图，Rt△ABC中，AB=6，BC=8．点P从点A出发，以1个单位/秒的速度向B移动，同时，点Q从点B出发，以2个单位/秒的速度向点C移动，运动1秒后，△PBQ面积为5个平方单位．【分析】由题意：PA=t，BQ=2t，则PB=6﹣t，利用三角形的面积公式构建方程即可解决问题；【解答】解：由题意：PA=t，BQ=2t，则PB=6﹣t，∵×（6﹣t）×2t=5，解得t=1或5（舍弃），故答案为1．34．（2018秋•浦东新区期中）某种药原来每瓶售价为40元，经过两次降价，现在每瓶售价为25.6元，则平均每次降价的百分率是20%．【分析】设平均每次降低的百分率为x，根据某种药原来每瓶为40元，经过两次降价，现在每瓶售价25.6元列出方程，解方程即可．【解答】解：设平均每次降低的百分率为x，根据题意得40（1﹣x）2=25.6，解得x1=0.2=20%，x2=1.8（不合题意，舍去）．答：平均每次降低了20%．故答案为20%35．（2018秋•潍城区月考）用22cm长的铁丝，折成一个面积为28cm2的矩形，这个矩形的长是7cm．【分析】设矩形的一边为xcm，根据题意列出方程，求出方程的解即可得到结果．【解答】解：设矩形的一边为xcm，那么由题意可知x（11﹣x）=28，解得：x1=4，x2=7，因此矩形的长为7cm，故答案为：7cm．36．（2018秋•渝中区校级月考）某种文化衫，平均每天销售40件，每件盈利20元，由于换季现准备降价销售，若每件降价0.5元，则每天可多售5件，为了尽快减少库存且每天要盈利1080元，每件应降价14元．【分析】设每件降价x元，那么降价后每件盈利（20﹣x）元，每天销售的数量为（40+10x）件，根据每天要盈利1080元，即可列出方程．【解答】解：设每件降价x元，那么降价后每件盈利（20﹣x）元，每天销售的数量为（40+10x）件；可列方程为：（20﹣x）（40+10x）=1080．解得：x1=2，x2=14．为了尽快减少库存，则每件降价14元，答：每件应降价28元．故答案为：14。
九年级数学上册第21章一元二次方程21.2一元二次方程解法复习
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课外作业
如OC图=，55AcmO，=5蚂0c蚁m，甲以2cm/sA P O
B
的速度(sùdù)从A爬到0，蚂蚁
乙以3的面积为
Q
300cm2?
12/11/2021
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C
2021/12/11
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直接(zhíjiē)开平方法： 典型例题讲解
例1 (2x-1)2=1
左边是完全(wánquán)平方式，右边是非负
数
解: (2x-1)=±1
两边(liǎngbiān)直接开平 方
2x-1=1 或 2x-1= -1 降次－ 转化为一元一次方程
x1=1, x2=0
解一元一次方程
12/11/2021
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算出b 2-4ac的值，并 判断根的情况。
y=
(2)
121
3 代入求根公式x1•2 b
b2 4ac 2a
22
2
y = 1 2 3, 1 12/11/2021
y2= 1 3 2 第十三页，共二十二页。
四、因式分解 法 (yīn shìfēn jiě)
1.因式分解的方法有：
(1) 用提公因式法;(2)应用公式法；（3）十字相乘法。
（3）得到形如： x = a . 的一元一次方程。
x x （4）写出方程的解
=1 ?
=?
2
12/11/2021
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典型例题(lìtí)讲解
例 用配方法解下列(xiàliè)方程
x2+6x=7
解 ：x26x7
x26x979
x32 16
x34
人教版九年级数学上册第21章《一元二次方程》知识点小结与复习
当 a 0 时,它不是一元二次方程.
方程2ax2 -2bx+a=4x2, (1)在什么条件下此方程为一元二次方程？ (2)在什么条件下此方程为一元一次方程？
解： 原方程转化为(2a-4)x2 -2bx+a=0 当a≠2时是一元二次方程； 当a＝2,b≠0时是一元一次方程；
m=
。
3、当m
时，关于x的方程3x2－
2(3m+1)x+3m2－1=0有两个不相等的实数
根。
4、关于x的一元二次方程mx2+(2m－1)x－
2=0的根的判别式的值等于4，则m=
。
一元二次方程的根与系数的关系： （韦达定理）
如果方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根是X1 , X2 ,
那么X1+x2= -
2(a－2)x+a２－5=0有实数根，且两 根之积等于两根之和的2倍，求a的值。
【例4】已知x1,x2是关于x的方程 x2+px+q=0的两根，x1+1,x2+1是关 于x的方程x2+qx+p=0的两根，求常 数p、q的值。
拓展练习：
１、当a,c异号时,一元二次方程ax2+bx+c=0的根的
情况是
一元二次方程的解法：（公式法）
例：（3） 2x2 3x 4 0
解： a 2,b 3,c 4
b2 4ac 32 4 24
9 32 41
3 41
x 22
3 41 3 41 x1 4 , x2 4
注：当一元二次方程二次项系数不为1且
难以用因式分解时常用公式法比较简便。
b2 4ac 0,
第21章 一元二次方程(复习)
11．已知一元二次方程 x2－2x＋m＝0.
(1)若方程有两个实数根，求 m 的范围；
(2) 若方程的两个实数根为 x1，x2，且x1＋3x2＝3 ，求 m 的．
解：(1)∵方程有两个不相等的实数根，
∴Δ＝b2－4ac＝(－2)2－4m≥0. 解得 m≤1.
1 x1＝2， x1＋x2＝2， (2)∵ 解得 x1＋3x2＝3. x2＝3. 2 1 1 把 x1＝2代入原方程，得4－1＋m＝0. 3 解得 m＝4.
ab2 相等的实数根，求 的值． 2 2 a－2 ＋b －4
解：∵ax2＋bx＋1＝0(a≠0)有两个相等的实数根，
∴Δ＝b2－4ac＝0，即 b2－4a＝0.
ab2 ab2 ∵ ＝ 2 2 2 a－2 ＋b －4 a －4a＋4＋b2－4 ab2 ab2 ＝ 2 2＝ 2 ，且 a≠0， a a －4a＋b ab2 b2 ∴ a2 ＝ a ＝4.
∴方程有两个不相等的实数根．
b (2)解：∵x1＋x2＝－a＝6， 又∵x1＋2x2＝14，
x1＋x2＝6， 解方程组 x1＋2x2＝14. x1＝－2， 解得 x2＝8.
将 x1＝－2 代入原方程，得(－2)2－6×(－2)－k2＝0， 解得 k＝± 4.
10．已知 x1＝－1 是方程 x2＋mx－5＝0 的一个根，求 m 的 值及方程的另一根 x2. 解：由题意，得(－1)2＋(－1)×m－5＝0，解得 m＝－4. 当 m＝－4 时，方程为 x2－4x－5＝0. 解得 x1＝－1，x2＝5. 所以方程的另一根 x2＝5.
【例 1】 我们知道，一元二次方程主要有四种解法，分别 是：因式分解法、直接开平方法、配方法和公式法．请在以下 四个方程中任选一个，并用合适的方法解方程． (1)2x2－7x＋5＝0; (2)3x2－12x＝0； (3)2(x－6)2＝72; (4)x2－4x＝5.
第21章 一元二次方程复习题---解答题（含解析）
人教版数学九上第21章一元二次方程复习题---解答题一．解答题1．（2018秋•鼓楼区校级月考）已知方程（m﹣2）x+（m﹣3）x+1=0．（1）当m为何值时，它是一元二次方程？（2）当m为何值时，它是一元一次方程？2．（2018秋•鼓楼区校级月考）定义：如果两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们称这两个方程为“好友方程”，如果关于x的一元二次方程x2﹣2x=0与x2+3x+m ﹣1=0为“友好方程”，求m的值．3．（2018秋•云龙区校级月考）解方程：（1）x2﹣4=0（2）3x2﹣x﹣2=0（3）9x2﹣（x﹣1）2=0（4）x2﹣2x=34．（2018秋•甘井子区期中）【发现】x4﹣5x2+4=0是一个一元四次方程．【探索】根据该方程的特点，通常用“换元法”解方程：设x2=y，那么x4=，于是原方程可变为．解得：y1=1，y2=．当y=1时，x2=1，∴x=±1；当y=时，x2=，∴x=；原方程有4个根，分别是．【应用】仿照上面的解题过程，求解方程：（x2﹣2x）2+（x2﹣2x）﹣6=0 5．（2018•甘孜州）已知关于x的方程x2﹣2x+m=0有两个不相等的实数根，求实数m 的取值范围．6．（2018•北京）关于x的一元二次方程ax2+bx+1=0．（1）当b=a+2时，利用根的判别式判断方程根的情况；（2）若方程有两个相等的实数根，写出一组满足条件的a，b的值，并求此时方程的根．7．（2018•玉林）已知关于x的一元二次方程：x2﹣2x﹣k﹣2=0有两个不相等的实数根．（1）求k的取值范围；（2）给k取一个负整数值，解这个方程．8．（2018•成都）若关于x的一元二次方程x2﹣（2a+1）x+a2=0有两个不相等的实数根，求a的取值范围．9．（2018•绥化）已知关于x的一元二次方程x2﹣5x+2m=0有实数根．（1）求m的取值范围；（2）当m=时，方程的两根分别是矩形的长和宽，求该矩形外接圆的直径．10．（2018•遂宁）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+a=0的两实数根x1，x2满足x1x2+x1+x2＞0，求a的取值范围．11．（2018•湖北）已知关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2﹣2=0．（1）若该方程有两个实数根，求m的最小整数值；（2）若方程的两个实数根为x1，x2，且（x1﹣x2）2+m2=21，求m的值．12．（2018•呼和浩特）已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个实数根x1，x2，请用配方法探索有实数根的条件，并推导出求根公式，证明x1•x2=．13．（2018•随州）已知关于x的一元二次方程x2+（2k+3）x+k2=0有两个不相等的实数根x1，x2．（1）求k的取值范围；（2）若+=﹣1，求k的值．14．（2018•孝感）已知关于x的一元二次方程（x﹣3）（x﹣2）=p（p+1）．（1）试证明：无论p取何值此方程总有两个实数根；（2）若原方程的两根x1，x2，满足x12+x22﹣x1x2=3p2+1，求p的值．15．（2018•黄石）已知关于x的方程x2﹣2x+m=0有两个不相等的实数根x1、x2（1）求实数m的取值范围；（2）若x1﹣x2=2，求实数m的值．16．（2018•十堰）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k﹣1）x+k2+k﹣1=0有实数根．（1）求k的取值范围；（2）若此方程的两实数根x1，x2满足x12+x22=11，求k的值．17．（2018•南充）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣2）x+（m2﹣2m）=0．（1）求证：方程有两个不相等的实数根．（2）如果方程的两实数根为x1，x2，且x12+x22=10，求m的值．18．（2018•沈阳）某公司今年1月份的生产成本是400万元，由于改进技术，生产成本逐月下降，3月份的生产成本是361万元．假设该公司2、3、4月每个月生产成本的下降率都相同．（1）求每个月生产成本的下降率；（2）请你预测4月份该公司的生产成本．19．（2018•遵义）在水果销售旺季，某水果店购进一优质水果，进价为20元/千克，售价不低于20元/千克，且不超过32元/千克，根据销售情况，发现该水果一天的销售量y（千克）与该天的售价x（元/千克）满足如下表所示的一次函数关系．销售量y（千克）…34.83229.628…售价x（元/千克）…22.62425.226…（1）某天这种水果的售价为23.5元/千克，求当天该水果的销售量．（2）如果某天销售这种水果获利150元，那么该天水果的售价为多少元？20．（2018•安顺）某地2015年为做好“精准扶贫”，投入资金1280万元用于异地安置，并规划投入资金逐年增加，2017年在2015年的基础上增加投入资金1600万元．（1）从2015年到2017年，该地投入异地安置资金的年平均增长率为多少？（2）在2017年异地安置的具体实施中，该地计划投入资金不低于500万元用于优先搬迁租房奖励，规定前1000户（含第1000户）每户每天奖励8元，1000户以后每户每天奖励5元，按租房400天计算，求2017年该地至少有多少户享受到优先搬迁租房奖励．21．（2018•宜昌）某市创建“绿色发展模范城市”，针对境内长江段两种主要污染源：生活污水和沿江工厂污染物排放，分别用“生活污水集中处理”（下称甲方案）和“沿江工厂转型升级”（下称乙方案）进行治理，若江水污染指数记为Q，沿江工厂用乙方案进行一次性治理（当年完工），从当年开始，所治理的每家工厂一年降低的Q值都以平均值n计算．第一年有40家工厂用乙方案治理，共使Q值降低了12．经过三年治理，境内长江水质明显改善．（1）求n的值；（2）从第二年起，每年用乙方案新治理的工厂数量比上一年都增加相同的百分数m，三年来用乙方案治理的工厂数量共190家，求m的值，并计算第二年用乙方案新治理的工厂数量；（3）该市生活污水用甲方案治理，从第二年起，每年因此降低的Q值比上一年都增加个相同的数值a．在（2）的情况下，第二年，用乙方案所治理的工厂合计降低的Q 值与当年因甲方案治理降低的Q值相等，第三年，用甲方案使Q值降低了39.5．求第一年用甲方案治理降低的Q值及a的值．22．（2018•盐城）一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售、增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件．（1）若降价3元，则平均每天销售数量为件；（2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元？23．（2018•重庆）在美丽乡村建设中，某县政府投入专项资金，用于乡村沼气池和垃圾集中处理点建设．该县政府计划：2018年前5个月，新建沼气池和垃圾集中处理点共计50个，且沼气池的个数不低于垃圾集中处理点个数的4倍．（1）按计划，2018年前5个月至少要修建多少个沼气池？（2）到2018年5月底，该县按原计划刚好完成了任务，共花费资金78万元，且修建的沼气池个数恰好是原计划的最小值．据核算，前5个月，修建每个沼气池与垃圾集中处理点的平均费用之比为1：2．为加大美丽乡村建设的力度，政府计划加大投入，今年后7个月，在前5个月花费资金的基础上增加投入10a%，全部用于沼气池和垃圾集中处理点建设．经测算：从今年6月起，修建每个沼气池与垃圾集中处理点的平均费用在2018年前5个月的基础上分别增加a%，5a%，新建沼气池与垃圾集中处理点的个数将会在2018年前5个月的基础上分别增加5a%，8a%，求a的值．24．（2018•重庆）在美丽乡村建设中，某县通过政府投入进行村级道路硬化和道路拓宽改造．（1）原计划今年1至5月，村级道路硬化和道路拓宽的里程数共50千米，其中道路硬化的里程数至少是道路拓宽的里程数的4倍，那么，原计划今年1至5月，道路硬化的里程数至少是多少千米？（2）到今年5月底，道路硬化和道路拓宽的里程数刚好按原计划完成，且道路硬化的里程数正好是原计划的最小值．2017年通过政府投入780万元进行村级道路硬化和道路拓宽的里程数共45千米，每千米的道路硬化和道路拓宽的经费之比为1：2，且里程数之比为2：1．为加快美丽乡村建设，政府决定加大投入．经测算：从今年6月起至年底，如果政府投入经费在2017年的基础上增加10a%（a＞0），并全部用于道路硬化和道路拓宽，而每千米道路硬化、道路拓宽的费用也在2017年的基础上分别增加a%，5a%，那么道路硬化和道路拓宽的里程数将会在今年1至5月的基础上分别增加5a%，8a%，求a的值．25．（2018•德州）为积极响应新旧动能转换，提高公司经济效益，某科技公司近期研发出一种新型高科技设备，每台设备成本价为30万元，经过市场调研发现，每台售价为40万元时，年销售量为600台；每台售价为45万元时，年销售量为550台．假定该设备的年销售量y（单位：台）和销售单价x（单位：万元）成一次函数关系．（1）求年销售量y与销售单价x的函数关系式；（2）根据相关规定，此设备的销售单价不得高于70万元，如果该公司想获得10000万元的年利润，则该设备的销售单价应是多少万元？26．（2018秋•永定区期中）如图所示，在△ABC中，∠B=90°，BC=8cm，AB=6cm．点P从点A开始沿AB边向点B以1cm∕s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C 以4cm∕s的速度移动．如果点P、Q分别从点A、B同时出发，经过几秒钟，△PBQ 的面积等于10cm2？27．（2018秋•玄武区期中）如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，BC=8cm，点P 从点A开始沿射线AC向点C以2cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点C开始沿边CB向点B以1cm/s的速度移动．如果P、Q分别从A、C同时出发，运动的时间为ts，当点Q运动到点B时，两点停止运动．（1）当点P在线段AC上运动时，P、C两点之间的距离cm．（用含t的代数式表示）（2）在运动的过程中，是否存在某一时刻，使得△PQC的面积是△ABC面积的．若存在，求t的值；若不存在，说明理由．28．（2018•九龙坡区校级模拟）2018年，由于各种因素的影响，各地大米及食用油价格持续走高，引起了政府的高度关注，2018年“五一”节期间，某超市的大米价格达到了10元每千克，且每千克食用油比大米还要贵6元．（1）李大妈想用不超过272元的费用购进大米、食用油共20千克，则最多购进食用油多少千克？（2）2018年“五一”节期间，该超市共卖出100千克食用油和200千克大米，经市场调查预计2018年“端午节”期间，该超市食用油的价格比“五一”节期间还要上涨2a%，但销售量会减少a%，大米的销售价格和五一“节期间持平，销售量会增加a%，同时，食用油和大米的总销售额将比“五一”节期间增长，求a的值，29．（2018秋•沙坪坝区校级期中）在目前万物互联的时代，人工智能正掀起一场影响深刻的技术革命．谷歌、苹果，BAT，华为……巨头们纷纷布局人工智能，有人猜测，互联网+过后，我们可能会迎来机器人+，教育从幼儿抓起，近年来我国国内幼儿教育机器人发展趋势迅猛，市场上出现了满足各类要求的幼教机器人产品．“双十一“当天，某品牌幼教机器人专卖店抓住机遇，对最畅销的A款幼教机器人进行促销．一台A款幼教机器人的成本价为850元，标价为1300元．（1）一台A款幼教机器人的价格最多降价多少元，才能使利润率不低于30%；（2）该专卖店以前每周共售出A款幼教机器人100个，“双十一“狂购夜中每台A款幼教机器人在标价的基础上降价2m元，结果这天晚上卖出的A款幼教机器人的数量比原来一周卖出的A款幼教机器人的数量增加了m%，同时这天晚上的利润比原来一周的利润增加了m%，求m的值．人教版数学九上第21章一元二次方程复习题---解答题参考答案与试题解析一．解答题1．（2018秋•鼓楼区校级月考）已知方程（m﹣2）x+（m﹣3）x+1=0．（1）当m为何值时，它是一元二次方程？（2）当m为何值时，它是一元一次方程？【分析】（1）根据一元二次方程的定义解答本题；（2）根据一次方程的定义可解答本题．【解答】解：（1）∵方程（m﹣2）x+（m﹣3）x+1=0为一元二次方程，∴，解得：m=±，所以当m为或﹣时，方程方程（m﹣2）x+（m﹣3）x+1=0为一元二次方程；（2）∵方程（m﹣2）x+（m﹣3）x+1=0为一元一次方程，∴或m2=1解得，m=2或m=±1，故当m为2或±1时，方程方程（m﹣2）x+（m﹣3）x+1=0为一元一次方程．2．（2018秋•鼓楼区校级月考）定义：如果两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们称这两个方程为“好友方程”，如果关于x的一元二次方程x2﹣2x=0与x2+3x+m ﹣1=0为“友好方程”，求m的值．【分析】通过解方程x2﹣2x=0，可得出方程的根，分x=0为两方程相同的实数根或x=2为两方程相同的实数根两种情况考虑：①若x=0是两个方程相同的实数根，将x=0代入方程x2+3x+m﹣1=0中求出m的值，将m的值代入原方程解之可得出方程的解，对照后可得出m=1符合题意；②若x=2是两个方程相同的实数根，将x=2代入方程x2+3x+m﹣1=0中求出m的值，将m的值代入原方程解之可得出方程的解，对照后可得出m=2符合题意．综上此题得解．【解答】解：解方程x2﹣2x=0，得：x1=0，x2=2．①若x=0是两个方程相同的实数根．将x=0代入方程x2+3x+m﹣1=0，得：m﹣1=0，∴m=1，此时原方程为x2+3x=0，解得：x1=0，x2=﹣3，符合题意，∴m=1；②若x=2是两个方程相同的实数根．将x=2代入方程x2+3x+m﹣1=0，得：4+6+m﹣1=0，∴m=﹣9，此时原方程为x2+3x﹣10=0，解得：x1=2，x2=﹣5，符合题意，∴m=﹣9．综上所述：m的值为1或﹣9．3．（2018秋•云龙区校级月考）解方程：（1）x2﹣4=0（2）3x2﹣x﹣2=0（3）9x2﹣（x﹣1）2=0（4）x2﹣2x=3【分析】（1）利用直接开平方法求解可得；（2）利用十字相乘法将左边因式分解，再进一步计算可得；（3）利用平方差公式将等式左边因式分解，再进一步求解可得；（4）先移项，再利用十字相乘法将左边因式分解，进一步求解可得．【解答】解：（1）∵x2﹣4=0，∴x2=4，则x=2或x=﹣2；（2）∵3x2﹣x﹣2=0，∴（x﹣1）（3x+2）=0，则x﹣1=0或3x+2=0，解得：x1=1，x2=﹣；（3）∵9x2﹣（x﹣1）2=0，∴（3x+x﹣1）（3x﹣x+1）=0，即（4x﹣1）（2x+1）=0，则4x﹣1=0或2x+1=0，解得：x1=，x2=﹣；（4）∵x2﹣2x=3，∴x2﹣2x﹣3=0，则（x+1）（x﹣3）=0，∴x+1=0或x﹣3=0，解得：x1=﹣1，x2=3．4．（2018秋•甘井子区期中）【发现】x4﹣5x2+4=0是一个一元四次方程．【探索】根据该方程的特点，通常用“换元法”解方程：设x2=y，那么x4=y2，于是原方程可变为y2﹣5y+4=0．解得：y1=1，y2=4．当y=1时，x2=1，∴x=±1；当y=4时，x2=4，∴x=±2；原方程有4个根，分别是±1，±2．【应用】仿照上面的解题过程，求解方程：（x2﹣2x）2+（x2﹣2x）﹣6=0【分析】【探索】利用换元的思想求出所求方程的解即可．【应用】利用换元的思想求出所求方程的解即可．【解答】解：【探索】设x2=y，那么x4=y2，于是原方程可变为y2﹣5y+4=0．解得：y1=1，y2=4．当y=1时，x2=1，∴x=±1；当y=4时，x2=4，∴x=±2；原方程有4个根，分别是±1，±2．故答案为：y2，y2﹣5y+4=0，4，4，4，±2，±1，±2，【应用】（x2﹣2x）2+（x2﹣2x）﹣6=0，设y=x2﹣2x，方程变形得：y2+y﹣6=0，解得：y=2或y=﹣3，可得x2﹣2x=2或x2﹣2x=﹣3（无解），解得：x=1±．5．（2018•甘孜州）已知关于x的方程x2﹣2x+m=0有两个不相等的实数根，求实数m 的取值范围．【分析】根据方程的系数结合根的判别式△＞0，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出实数m的取值范围．【解答】解：∵方程x2﹣2x+m=0有两个不相等的实数根，∴△=（﹣2）2﹣4×1×m=4﹣4m＞0，解得：m＜1．6．（2018•北京）关于x的一元二次方程ax2+bx+1=0．（1）当b=a+2时，利用根的判别式判断方程根的情况；（2）若方程有两个相等的实数根，写出一组满足条件的a，b的值，并求此时方程的根．【分析】（1）计算判别式的值得到△=a2+4，则可判断△＞0，然后根据判别式的意义判断方程根的情况；（2）利用方程有两个相等的实数根得到△=b2﹣4a=0，设b=2，a=1，方程变形为x2+2x+1=0，然后解方程即可．【解答】解：（1）a≠0，△=b2﹣4a=（a+2）2﹣4a=a2+4a+4﹣4a=a2+4，∵a2＞0，∴△＞0，∴方程有两个不相等的实数根；（2）∵方程有两个相等的实数根，∴△=b2﹣4a=0，若b=2，a=1，则方程变形为x2+2x+1=0，解得x1=x2=﹣1．7．（2018•玉林）已知关于x的一元二次方程：x2﹣2x﹣k﹣2=0有两个不相等的实数根．（1）求k的取值范围；（2）给k取一个负整数值，解这个方程．【分析】（1）利用判别式的意义得到△=（﹣2）2﹣4（﹣k﹣2）＞0，然后解不等式即可；（2）在（1）中的k的范围内取﹣2，方程变形为x2﹣2x=0，然后利用因式分法解方程即可．【解答】解：（1）根据题意得△=（﹣2）2﹣4（﹣k﹣2）＞0，解得k＞﹣3；（2）取k=﹣2，则方程变形为x2﹣2x=0，解得x1=0，x2=2．8．（2018•成都）若关于x的一元二次方程x2﹣（2a+1）x+a2=0有两个不相等的实数根，求a的取值范围．【分析】根据方程的系数结合根的判别式△＞0，即可得出关于a的一元一次不等式，解之即可得出a的取值范围．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣（2a+1）x+a2=0有两个不相等的实数根，∴△=[﹣（2a+1）]2﹣4a2=4a+1＞0，解得：a＞﹣．9．（2018•绥化）已知关于x的一元二次方程x2﹣5x+2m=0有实数根．（1）求m的取值范围；（2）当m=时，方程的两根分别是矩形的长和宽，求该矩形外接圆的直径．【分析】（1）由根的判别式列出不等式，解不等式可得m的取值范围；（2）由根与系数的关系可得x1+x2=5、x1x2=5，该矩形外接圆的直径是矩形的对角线AC，根据勾股定理可得结论．【解答】（本题6分）解：（1）∵方程有实数根，∴△=（﹣5）2﹣4×1×2m≥0，（1分）m≤，（2分）∴当m≤时，原方程有实数根；（3分）（2）当m=时，原方程可化为：x2﹣5x+5=0，设方程的两个根分别为x1、x2，则x1+x2=5，x1•x2=5，（4分）∵该矩形外接圆的直径是矩形的对角线AC，如图所示，∴AC====，（5分）∴该矩形外接圆的直径是．（6分）10．（2018•遂宁）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+a=0的两实数根x1，x2满足x1x2+x1+x2＞0，求a的取值范围．【分析】由方程根的个数，利用根的判别式可得到关于a的不等式，可求得a的取值范围，再由根与系数的关系可用a表示出x1x2和x1+x2的值，代入已知条件可得到关于a的不等式，则可求得a的取值范围．【解答】解：∵该一元二次方程有两个实数根，∴△=（﹣2）2﹣4×1×a=4﹣4a≥0，解得：a≤1，由韦达定理可得x1x2=a，x1+x2=2，∵x1x2+x1+x2＞0，∴a+2＞0，解得：a＞﹣2，∴﹣2＜a≤1．11．（2018•湖北）已知关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2﹣2=0．（1）若该方程有两个实数根，求m的最小整数值；（2）若方程的两个实数根为x1，x2，且（x1﹣x2）2+m2=21，求m的值．【分析】（1）利用判别式的意义得到△=（2m+1）2﹣4（m2﹣2）≥0，然后解不等式得到m的范围，再在此范围内找出最小整数值即可；（2）利用根与系数的关系得到x1+x2=﹣（2m+1），x1x2=m2﹣2，再利用（x1﹣x2）2+m2=21得到（2m+1）2﹣4（m2﹣2）+m2=21，接着解关于m的方程，然后利用（1）中m的范围确定m的值．【解答】解：（1）根据题意得△=（2m+1）2﹣4（m2﹣2）≥0，解得m≥﹣，所以m的最小整数值为﹣2；（2）根据题意得x1+x2=﹣（2m+1），x1x2=m2﹣2，∵（x1﹣x2）2+m2=21，∴（x1+x2）2﹣4x1x2+m2=21，∴（2m+1）2﹣4（m2﹣2）+m2=21，整理得m2+4m﹣12=0，解得m1=2，m2=﹣6，∵m≥﹣，∴m的值为2．12．（2018•呼和浩特）已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个实数根x1，x2，请用配方法探索有实数根的条件，并推导出求根公式，证明x1•x2=．【分析】由a不为0，在方程两边同时除以a，把二次项系数化为1，然后把常数项移项到方程右边，两边都加上一次项系数一半的平方即（）2，左边变为完全平方式，右边大于等于0时，开方即可得到求根公式；由求根公式求出的两个根相乘，化简后即可得证．【解答】解：∵ax2+bx+c=0（a≠0），∴x2+x=﹣，∴x2+x+（）2=﹣+（）2，即（x+）2=，∵4a2＞0，∴当b2﹣4ac≥0时，方程有实数根，∴x+=±，∴当b2﹣4ac＞0时，x1=，x2=；当b2﹣4ac=0时，x1=x2=﹣；∴x1•x2====，或x1•x2=（﹣）2===，∴x1•x2=．13．（2018•随州）已知关于x的一元二次方程x2+（2k+3）x+k2=0有两个不相等的实数根x1，x2．（1）求k的取值范围；（2）若+=﹣1，求k的值．【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式△＞0，即可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出k的取值范围；（2）根据根与系数的关系可得出x1+x2=﹣2k﹣3、x1x2=k2，结合+=﹣1即可得出关于k的分式方程，解之经检验即可得出结论．【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2+（2k+3）x+k2=0有两个不相等的实数根，∴△=（2k+3）2﹣4k2＞0，解得：k＞﹣．（2）∵x1、x2是方程x2+（2k+3）x+k2=0的实数根，∴x1+x2=﹣2k﹣3，x1x2=k2，∴+===﹣1，解得：k1=3，k2=﹣1，经检验，k1=3，k2=﹣1都是原分式方程的根．又∵k＞﹣，∴k=3．14．（2018•孝感）已知关于x的一元二次方程（x﹣3）（x﹣2）=p（p+1）．（1）试证明：无论p取何值此方程总有两个实数根；（2）若原方程的两根x1，x2，满足x12+x22﹣x1x2=3p2+1，求p的值．【分析】（1）将原方程变形为一般式，根据方程的系数结合根的判别式，即可得出△=（2p+1）2≥0，由此即可证出：无论p取何值此方程总有两个实数根；（2）根据根与系数的关系可得出x1+x2=5、x1x2=6﹣p2﹣p，结合x12+x22﹣x1x2=3p2+1，即可求出p值．【解答】解：（1）证明：原方程可变形为x2﹣5x+6﹣p2﹣p=0．∵△=（﹣5）2﹣4（6﹣p2﹣p）=25﹣24+4p2+4p=4p2+4p+1=（2p+1）2≥0，∴无论p取何值此方程总有两个实数根；（2）∵原方程的两根为x1、x2，∴x1+x2=5，x1x2=6﹣p2﹣p．又∵x12+x22﹣x1x2=3p2+1，∴（x1+x2）2﹣3x1x2=3p2+1，∴52﹣3（6﹣p2﹣p）=3p2+1，∴25﹣18+3p2+3p=3p2+1，∴3p=﹣6，∴p=﹣2．15．（2018•黄石）已知关于x的方程x2﹣2x+m=0有两个不相等的实数根x1、x2（1）求实数m的取值范围；（2）若x1﹣x2=2，求实数m的值．【分析】（1）根据根的判别式得出不等式，求出不等式的解集即可；（2）根据根与系数的关系得出x1+x2=2，和已知组成方程组，求出方程组的解，再根据根与系数的关系求出m即可．【解答】解：（1）由题意得：△=（﹣2）2﹣4×1×m=4﹣4m＞0，解得：m＜1，即实数m的取值范围是m＜1；（2）由根与系数的关系得：x1+x2=2，即，解得：x1=2，x2=0，由根与系数的关系得：m=2×0=0．16．（2018•十堰）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k﹣1）x+k2+k﹣1=0有实数根．（1）求k的取值范围；（2）若此方程的两实数根x1，x2满足x12+x22=11，求k的值．【分析】（1）根据方程有实数根得出△=[﹣（2k﹣1）]2﹣4×1×（k2+k﹣1）=﹣8k+5≥0，解之可得．（2）利用根与系数的关系可用k表示出x1+x2和x1x2的值，根据条件可得到关于k的方程，可求得k的值，注意利用根的判别式进行取舍．【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣（2k﹣1）x+k2+k﹣1=0有实数根，∴△≥0，即[﹣（2k﹣1）]2﹣4×1×（k2+k﹣1）=﹣8k+5≥0，解得k≤．（2）由根与系数的关系可得x1+x2=2k﹣1，x1x2=k2+k﹣1，∴x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=（2k﹣1）2﹣2（k2+k﹣1）=2k2﹣6k+3，∵x12+x22=11，∴2k2﹣6k+3=11，解得k=4，或k=﹣1，∵k≤，∴k=4（舍去），∴k=﹣1．17．（2018•南充）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣2）x+（m2﹣2m）=0．（1）求证：方程有两个不相等的实数根．（2）如果方程的两实数根为x1，x2，且x12+x22=10，求m的值．【分析】根据根与系数的关系即可求出答案．【解答】解：（1）由题意可知：△=（2m﹣2）2﹣4（m2﹣2m）=4＞0，∴方程有两个不相等的实数根．（2）∵x1+x2=2m﹣2，x1x2=m2﹣2m，∴+=（x1+x2）2﹣2x1x2=10，∴（2m﹣2）2﹣2（m2﹣2m）=10，∴m2﹣2m﹣3=0，∴m=﹣1或m=318．（2018•沈阳）某公司今年1月份的生产成本是400万元，由于改进技术，生产成本逐月下降，3月份的生产成本是361万元．假设该公司2、3、4月每个月生产成本的下降率都相同．（1）求每个月生产成本的下降率；（2）请你预测4月份该公司的生产成本．【分析】（1）设每个月生产成本的下降率为x，根据2月份、3月份的生产成本，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论；（2）由4月份该公司的生产成本=3月份该公司的生产成本×（1﹣下降率），即可得出结论．【解答】解：（1）设每个月生产成本的下降率为x，根据题意得：400（1﹣x）2=361，解得：x1=0.05=5%，x2=1.95（不合题意，舍去）．答：每个月生产成本的下降率为5%．（2）361×（1﹣5%）=342.95（万元）．答：预测4月份该公司的生产成本为342.95万元．19．（2018•遵义）在水果销售旺季，某水果店购进一优质水果，进价为20元/千克，售价不低于20元/千克，且不超过32元/千克，根据销售情况，发现该水果一天的销售量y（千克）与该天的售价x（元/千克）满足如下表所示的一次函数关系．销售量y（千克）…34.83229.628…售价x（元/千克）…22.62425.226…（1）某天这种水果的售价为23.5元/千克，求当天该水果的销售量．（2）如果某天销售这种水果获利150元，那么该天水果的售价为多少元？【分析】（1）根据表格内的数据，利用待定系数法可求出y与x之间的函数关系式，再代入x=23.5即可求出结论；（2）根据总利润=每千克利润×销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．【解答】解：（1）设y与x之间的函数关系式为y=kx+b，将（22.6，34.8）、（24，32）代入y=kx+b，，解得：，∴y与x之间的函数关系式为y=﹣2x+80．当x=23.5时，y=﹣2x+80=33．答：当天该水果的销售量为33千克．（2）根据题意得：（x﹣20）（﹣2x+80）=150，解得：x1=35，x2=25．∵20≤x≤32，∴x=25．答：如果某天销售这种水果获利150元，那么该天水果的售价为25元．20．（2018•安顺）某地2015年为做好“精准扶贫”，投入资金1280万元用于异地安置，并规划投入资金逐年增加，2017年在2015年的基础上增加投入资金1600万元．（1）从2015年到2017年，该地投入异地安置资金的年平均增长率为多少？（2）在2017年异地安置的具体实施中，该地计划投入资金不低于500万元用于优先搬迁租房奖励，规定前1000户（含第1000户）每户每天奖励8元，1000户以后每户每天奖励5元，按租房400天计算，求2017年该地至少有多少户享受到优先搬迁租房奖励．【分析】（1）设该地投入异地安置资金的年平均增长率为x，根据2015年及2017年该地投入异地安置资金，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；（2）设2017年该地有a户享受到优先搬迁租房奖励，根据投入的总资金=前1000户奖励的资金+超出1000户奖励的资金结合该地投入的奖励资金不低于500万元，即可得出关于a的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论．【解答】解：（1）设该地投入异地安置资金的年平均增长率为x，根据题意得：1280（1+x）2=1280+1600，解得：x1=0.5=50%，x2=﹣2.5（舍去）．答：从2015年到2017年，该地投入异地安置资金的年平均增长率为50%．（2）设2017年该地有a户享受到优先搬迁租房奖励，根据题意得：8×1000×400+5×400（a﹣1000）≥5000000，解得：a≥1900．答：2017年该地至少有1900户享受到优先搬迁租房奖励．21．（2018•宜昌）某市创建“绿色发展模范城市”，针对境内长江段两种主要污染源：生活污水和沿江工厂污染物排放，分别用“生活污水集中处理”（下称甲方案）和“沿江工厂转型升级”（下称乙方案）进行治理，若江水污染指数记为Q，沿江工厂用乙方案进行一次性治理（当年完工），从当年开始，所治理的每家工厂一年降低的Q值都以平均值n计算．第一年有40家工厂用乙方案治理，共使Q值降低了12．经过三年治理，境内长江水质明显改善．（1）求n的值；（2）从第二年起，每年用乙方案新治理的工厂数量比上一年都增加相同的百分数m，三年来用乙方案治理的工厂数量共190家，求m的值，并计算第二年用乙方案新治理的工厂数量；（3）该市生活污水用甲方案治理，从第二年起，每年因此降低的Q值比上一年都增加个相同的数值a．在（2）的情况下，第二年，用乙方案所治理的工厂合计降低的Q 值与当年因甲方案治理降低的Q值相等，第三年，用甲方案使Q值降低了39.5．求第一年用甲方案治理降低的Q值及a的值．【分析】（1）直接利用第一年有40家工厂用乙方案治理，共使Q值降低了12，得出等式求出答案；（2）利用从第二年起，每年用乙方案新治理的工厂数量比上一年都增加相同的百分数m，三年来用乙方案治理的工厂数量共190家得出等式求出答案；（3）利用n的值即可得出关于a的等式求出答案．【解答】解：（1）由题意可得：40n=12，解得：n=0.3；（2）由题意可得：40+40（1+m）+40（1+m）2=190，解得：m1=，m2=﹣（舍去），∴第二年用乙方案新治理的工厂数量为：40（1+m）=40（1+50%）=60（家），（3）设第一年用乙方案治理降低了100n=100×0.3=30，则（30﹣a）+2a=39.5，解得：a=9.5，则Q=20.5．22．（2018•盐城）一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售、增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件．（1）若降价3元，则平均每天销售数量为26件；（2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元？【分析】（1）根据销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件，可得若降价3元，则平均每天可多售出2×3=6件，即平均每天销售数量为20+6=26件；（2）利用商品平均每天售出的件数×每件盈利=每天销售这种商品利润列出方程解答即可．【解答】解：（1）若降价3元，则平均每天销售数量为20+2×3=26件．故答案为26；（2）设每件商品应降价x元时，该商店每天销售利润为1200元．根据题意，得（40﹣x）（20+2x）=1200，整理，得x2﹣30x+200=0，解得：x1=10，x2=20．∵要求每件盈利不少于25元，∴x2=20应舍去，解得：x=10．答：每件商品应降价10元时，该商店每天销售利润为1200元．23．（2018•重庆）在美丽乡村建设中，某县政府投入专项资金，用于乡村沼气池和垃圾集中处理点建设．该县政府计划：2018年前5个月，新建沼气池和垃圾集中处理点共计50个，且沼气池的个数不低于垃圾集中处理点个数的4倍．。
第21章 一元二次方程——一元二次方程的解法(复习课) 2022—2023学年人教版数学九年级上册
课题：《一元二次方程的解法》复习教案一、教材分析：解一元二次方程是人教版九年级上册第21章第二节的内容，本节的主要内容是一元二次方程的解法（直接开方法、因式分解法、配方法、公式法）。
解一元二次方程在课标中的要求是：理解配方法，能用配方法、公式法、因式分解法解数字系数的一元二次方程。
一元二次方程的解法是中学方程教学的重要环节，又是后续内容学习解决实际问题的基础和工具。
一元二次方程是对一元一次方程知识的延续和深化,同时为二次函数的学习作好准备。
学好这部分内容，对增强学生学习代数的信心具有十分重要的意义。
二、学情分析：学生已经学习了一元二次方程的解法：直接开方法、配方法、公式法、因式分解法后的一节复习课，已经掌握了学生的薄弱点：1.易错点：直接开平方法中，学生容易只取正的这一个根；2.配方法中，学生容易把一次项系数不除以2直接平方，个别学生会忘记平方，方程左边加了常数项，右边忘记加；公式法中，学生容易把公式中的-b记错成b,个别学生再代入系数的时候会忘记前面的负号；等等。
2.不能灵活选择解法，由于不会根据方程系数的特征找到最优解法，造成错误率提高，用时过长的弊端，从而影响到了少数学生对数学的自信心。
三、教学目标：（一）知识与技能：1.掌握一元二次方程的四种解法，会根据方程的不同特点，灵活选用适当的方法解方程。
2.避免易错点，提高解方程的正确率。
（二）过程与方法通过观察方程的特征选择不同解法，培养学生的观察猜想、归纳总结、分析问题、解决问题等能力，同时还培养学生化归的思想。
（三）情感态度价值观通过对一元二次方程解法的复习，使学生进一步理解“降次”的数学方法，进一步获得对事物可以转化的认识。
通过小组合作的形式，培养合作的习惯，提高分析的能力。
四、教学重点：掌握解一元二次方程的四种方法。
五、教学难点：会根据方程的特征灵活选用适当的方法解方程。
六、教学过程：（一）全班纠错，激发热情：教材P17习题21.2 6（3）3(1)2(1)x x x -=-作业完成中的不同解法展示：A ：解：32x =∴ 23x = ∴原方程的解是：23x = B ：解：23322x x x -=- C ：解： 23322x x x -=-235+2=0x x - 235+2=0x x -252=33x x -- 252=33x x -- 22552+()=363x x -- 2225525+()=+()3636x x -- 252()=63x -- 251()=636x - ∴原方程无解 51=66x -∴=1x∴原方程的解为：=1xD ：解：23322x x x -=-235+2=0x x -3,5,2a b c ==-=224(5)4321b ac ∆=-=--⨯⨯=21,2451223b b ac x a ±--±==⨯ ∴12213x x =-=-， ∴原方程的解是：12213x x =-=-，E ：解：3(1)2(1)0x x x ---= (1)(32)0x x --=12213x x ==， ∴原方程的解是：12213x x ==， 提出问题，小组讨论：1.以上几位同学的解法是否正确，如果不正确请指出并改正，并小组内总结出哪些地方是易错点。
《第21章一元二次方程》单元测试(2)含答案解析
《第21章 一元二次方程》一、选择题1．有下列关于x 的方程：①ax 2+bx+c=0，②3x（x ﹣4）=0，③x 2+y ﹣3=0，④ +x=2，⑤x 3﹣3x+8=0，⑥ x 2﹣5x+7=0，⑦（x ﹣2）（x+5）=x 2﹣1．其中是一元二次方程的有（ ）A ．2B ．3C ．4D ．52．方程3x 2﹣x+=0的二次项系数与一次项系数及常数项之积为（ ）A ．3B ．﹣C ．D ．﹣93．用配方法解方程x 2﹣2x ﹣5=0时，原方程应变形为（ ）A ．（x+1）2=6B ．（x+2）2=9C ．（x ﹣1）2=6D ．（x ﹣2）2=94．下列关于x 的方程有实数根的是（ ）A ．x 2﹣x+1=0B ．x 2+x+1=0C ．（x ﹣1）（x+2）=0D ．（x ﹣1）2+1=05．某商品原价289元，经连续两次降价后售价为256元，设平均每降价的百分率为x ，则下面所列方程正确的是（ ）A ．289（1﹣x ）2=256B ．256（1﹣x ）2=289C ．289（1﹣2x ）2=256D ．256（1﹣2x ）2=2896．如果关于x 的一元二次方程k 2x 2﹣（2k+1）x+1=0有两个不相等的实数根，那么k 的取值范围是（ ）A ．k ＞B ．k ＞且k ≠0C ．k ＜D ．k ≥且k ≠07．方程3x （x ﹣1）=5（x ﹣1）的根为（ ）A ．x=B ．x=1C ．x 1=1 x 2=D ．x 1=1 x 2=8．把方程（x ﹣）（x+）+（2x ﹣1）2=0化为一元二次方程的一般形式是（ ）A ．5x 2﹣4x ﹣4=0B ．x 2﹣5=0C ．5x 2﹣2x+1=0D ．5x 2﹣4x+6=09．若x=2是关于x 的一元二次方程x 2﹣mx+8=0的一个解．则m 的值是（ ）A ．6B ．5C ．2D ．﹣610．在某次聚会上，每两人都握了一次手，所有人共握手10次，设有x 人参加这次聚会，则列出方程正确的是（ ）A ．x （x ﹣1）=10B ．=10 C ．x （x+1）=10 D ． =10二、填空题11．当方程（m+1）x﹣2=0是一元二次方程时，m的值为．12．若x2+mx+9是一个完全平方式，则m的值是．13．已知x2+3x+5的值为11，则代数式3x2+9x+12的值为．14．若2是关于x的方程x2﹣（3+k）x+12=0的一个根，则以2和k为两边的等腰三角形的周长是．15．若+|b﹣1|=0，且一元二次方程kx2+ax+b=0有实数根，则k的取值范围是．16．某城市居民最低生活保障在2009年是240元，经过连续两年的增加，到2011年提高到345.6元．则该城市两年来最低生活保障的平均年增长率是．17．三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程x2﹣12x+35=0的根，则该三角形的周长为．18．如果关于x的方程x2﹣2x+m=0（m为常数）有两个相等实数根，那么m= ．19．已知关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+x+m2+2m﹣3=0的一个根为0，那么m的值为．20．在一幅长50cm，宽30cm的风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个规划土地的面积是1800cm2，设金色纸边的宽为xcm，那么x满足的方程为．三、解答题21．用指定的方法解方程（1）（x+2）2﹣25=0（直接开平方法）（2）x2+4x﹣5=0（配方法）（3）4（x+3）2﹣（x﹣2）2=0（因式分解法）（4）2x2+8x﹣1=0（公式法）22．将4个数a，b，c，d排成2行、2列，两边各加一条竖直线记成，规定=ad﹣bc，上述记号就叫做2阶行列式．若=6，求x的值．23．已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+3）x+3k=0．（1）求证：不论k取何实数，该方程总有实数根．（2）若等腰△ABC的一边长为2，另两边长恰好是方程的两个根，求△ABC的周长．24．某种流感病毒，有一人患了这种流感，在每轮传染中一人将平均传给x人．（1）求第一轮后患病的人数；（用含x的代数式表示）（2）在进入第二轮传染之前，有两位患者被及时隔离并治愈，问第二轮传染后总共是否会有21人患病的情况发生，请说明理由．25．某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加利润，尽量减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫降价1元，商场平均每天可多售出2件，若商场每天要获利润1200元，请计算出每件衬衫应降价多少元？《第21章一元二次方程》参考答案与试题解析一、选择题1．有下列关于x的方程：①ax2+bx+c=0，②3x（x﹣4）=0，③x2+y﹣3=0，④ +x=2，⑤x3﹣3x+8=0，⑥ x2﹣5x+7=0，⑦（x﹣2）（x+5）=x2﹣1．其中是一元二次方程的有（）A．2 B．3 C．4 D．5【考点】一元二次方程的定义．【分析】根据一元二次方程的定义逐个判断即可．【解答】解：一元二次方程有②⑥，共2个，故选A．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键，注意：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．2．方程3x2﹣x+=0的二次项系数与一次项系数及常数项之积为（）A．3 B．﹣C．D．﹣9【考点】一元二次方程的一般形式．【分析】首先确定二次项系数与一次项系数及常数项，然后再求积即可．【解答】解：方程3x2﹣x+=0的二次项系数是3，一次项系数是﹣，常数项是，3××（﹣）=﹣9，故选：D．【点评】此题主要考查了一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0（a≠0）．其中a叫做二次项系数；b叫做一次项系数；c叫做常数项．3．用配方法解方程x2﹣2x﹣5=0时，原方程应变形为（）A．（x+1）2=6 B．（x+2）2=9 C．（x﹣1）2=6 D．（x﹣2）2=9【考点】解一元二次方程-配方法．【专题】方程思想．【分析】配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．【解答】解：由原方程移项，得x 2﹣2x=5，方程的两边同时加上一次项系数﹣2的一半的平方1，得x 2﹣2x+1=6∴（x ﹣1）2=6．故选：C ．【点评】此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．4．下列关于x 的方程有实数根的是（ ）A ．x 2﹣x+1=0B ．x 2+x+1=0C ．（x ﹣1）（x+2）=0D ．（x ﹣1）2+1=0【考点】根的判别式．【专题】计算题．【分析】分别计算A 、B 中的判别式的值；根据判别式的意义进行判断；利用因式分解法对C 进行判断；根据非负数的性质对D 进行判断．【解答】解：A 、△=（﹣1）2﹣4×1×1=﹣3＜0，方程没有实数根，所以A 选项错误；B 、△=12﹣4×1×1=﹣3＜0，方程没有实数根，所以B 选项错误；C 、x ﹣1=0或x+2=0，则x 1=1，x 2=﹣2，所以C 选项正确；D 、（x ﹣1）2=﹣1，方程左边为非负数，方程右边为0，所以方程没有实数根，所以D 选项错误． 故选：C ．【点评】本题考查了一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的根的判别式△=b 2﹣4ac ：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．5．某商品原价289元，经连续两次降价后售价为256元，设平均每降价的百分率为x ，则下面所列方程正确的是（ ）A ．289（1﹣x ）2=256B ．256（1﹣x ）2=289C ．289（1﹣2x ）2=256D ．256（1﹣2x ）2=289【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．【专题】增长率问题．【分析】增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），本题可参照增长率问题进行计算，如果设平均每次降价的百分率为x ，可以用x 表示两次降价后的售价，然后根据已知条件列出方程．【解答】解：根据题意可得两次降价后售价为289（1﹣x ）2，∴方程为289（1﹣x ）2=256．故选答：A ．【点评】本题考查一元二次方程的应用，解决此类两次变化问题，可利用公式a （1+x ）2=c ，其中a 是变化前的原始量，c 是两次变化后的量，x 表示平均每次的增长率．本题的主要错误是有部分学生没有仔细审题，把答案错看成B ．6．如果关于x 的一元二次方程k 2x 2﹣（2k+1）x+1=0有两个不相等的实数根，那么k 的取值范围是（ ）A ．k ＞B ．k ＞且k ≠0C ．k ＜D ．k ≥且k ≠0【考点】根的判别式．【专题】压轴题．【分析】若一元二次方程有两不等根，则根的判别式△=b 2﹣4ac ＞0，建立关于k 的不等式，求出k 的取值范围．【解答】解：由题意知，k ≠0，方程有两个不相等的实数根，所以△＞0，△=b 2﹣4ac=（2k+1）2﹣4k 2=4k+1＞0．又∵方程是一元二次方程，∴k ≠0，∴k ＞且k ≠0．故选B ．【点评】总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．注意方程若为一元二次方程，则k ≠0．7．方程3x （x ﹣1）=5（x ﹣1）的根为（ ）A ．x=B ．x=1C ．x 1=1 x 2=D ．x 1=1 x 2=【考点】解一元二次方程-因式分解法．【分析】先移项，再提公因式，解一元一次方程即可．【解答】解：3x （x ﹣1）﹣5（x ﹣1）=0，（x ﹣1）（3x ﹣5）=0，x ﹣1=0或3x ﹣5=0，x 1=1，x 2=．【点评】本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的步骤是解题的关键．8．把方程（x ﹣）（x+）+（2x ﹣1）2=0化为一元二次方程的一般形式是（ ）A ．5x 2﹣4x ﹣4=0B ．x 2﹣5=0C ．5x 2﹣2x+1=0D ．5x 2﹣4x+6=0【考点】一元二次方程的一般形式．【分析】先把（x ﹣）（x+）转化为x 2﹣2=x 2﹣5；然后再把（2x ﹣1）2利用完全平方公式展开得到4x 2﹣4x+1．再合并同类项即可得到一元二次方程的一般形式．【解答】解：（x ﹣）（x+）+（2x ﹣1）2=0即x 2﹣2+4x 2﹣4x+1=0移项合并同类项得：5x 2﹣4x ﹣4=0故选：A ．【点评】本题主要考查了利用平方差公式和完全平方公式化简成为一元二次方程的一般形式．9．若x=2是关于x 的一元二次方程x 2﹣mx+8=0的一个解．则m 的值是（ ）A ．6B ．5C ．2D ．﹣6【考点】一元二次方程的解．【分析】先把x 的值代入方程即可得到一个关于m 的方程，解一元一方程即可．【解答】解：把x=2代入方程得：4﹣2m+8=0，解得m=6．故选A ．【点评】本题考查了一元二次方程的解，此题比较简单，易于掌握．10．在某次聚会上，每两人都握了一次手，所有人共握手10次，设有x人参加这次聚会，则列出方程正确的是（）A．x（x﹣1）=10 B． =10 C．x（x+1）=10 D． =10【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．【专题】其他问题；压轴题．【分析】如果有x人参加了聚会，则每个人需要握手（x﹣1）次，x人共需握手x（x﹣1）次；而每两个人都握了一次手，因此要将重复计算的部分除去，即一共握手：次；已知“所有人共握手10次”，据此可列出关于x的方程．【解答】解：设x人参加这次聚会，则每个人需握手：x﹣1（次）；依题意，可列方程为： =10；故选B．【点评】理清题意，找对等量关系是解答此类题目的关键；需注意的是本题中“每两人都握了一次手”的条件，类似于球类比赛的单循环赛制．二、填空题11．当方程（m+1）x﹣2=0是一元二次方程时，m的值为﹣1 ．【考点】一元二次方程的定义．【分析】根据一元二次方程的定义，列方程和不等式解答．【解答】解：因为原式是关于x的一元二次方程，所以m2+1=2，解得m=±1．又因为m﹣1≠0，所以m≠1，于是m=﹣1．故答案为：﹣1．【点评】此题主要考查了一元二次方程的定义，一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．本题容易忽视的条件是m﹣1≠0．12．若x2+mx+9是一个完全平方式，则m的值是±6 ．【考点】完全平方式．【专题】计算题．【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出m的值．【解答】解：∵x2+mx+9是一个完全平方式，∴m=±6，故答案为：±6．【点评】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．13．已知x2+3x+5的值为11，则代数式3x2+9x+12的值为30 ．【考点】代数式求值．【专题】推理填空题．【分析】把x2+3x+5=11代入代数式3x2+9x+12，求出算式的值是多少即可．【解答】解：∵x2+3x+5的值为11，∴3x2+9x+12=3（x2+3x+5）﹣3=3×11﹣3=33﹣3=30故答案为：30．【点评】此题主要考查了代数式求值问题，要熟练掌握，注意代入法的应用．14．若2是关于x的方程x2﹣（3+k）x+12=0的一个根，则以2和k为两边的等腰三角形的周长是12 ．【考点】等腰三角形的性质；三角形三边关系．【分析】将2代入方程求得k的值，题中没有指明哪个是底哪个是腰，则应该分两种情况进行分析，从而求得其周长．【解答】解：把2代入方程x2﹣（3+k）x+12=0得，k=5（1）当2为腰时，不符合三角形中三边的关系，则舍去；（2）当5是腰时，符合三角形三边关系，则其周长为2+5+5=12；所以这个等腰三角形的周长是12．【点评】本题考查了根与系数的关系，三角形三边关系及等腰三角形的性质的综合运用．15．若+|b﹣1|=0，且一元二次方程kx2+ax+b=0有实数根，则k的取值范围是k≤4且k≠0 ．【考点】根的判别式；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：算术平方根．【分析】根据非负数的性质求出a、b的值，转化成关于k的不等式即可解答．【解答】解：∵ +|b﹣1|=0，∴a=4，b=1，则原方程为kx2+4x+1=0，∵该一元二次方程有实数根，∴△=16﹣4k≥0，解得，k≤4．∵方程kx2+ax+b=0是一元二次方程，∴k≠0，故答案为k≤4且k≠0．【点评】本题考查了根的判别式，利用判别式得到关于m的不等式是解题的关键．16．某城市居民最低生活保障在2009年是240元，经过连续两年的增加，到2011年提高到345.6元．则该城市两年来最低生活保障的平均年增长率是20% ．【考点】一元二次方程的应用．【专题】增长率问题；压轴题．【分析】设该城市两年来最低生活保障的平均年增长率是 x，根据最低生活保障在2009年是240元，经过连续两年的增加，到2011年提高到345.6元，可列出方程求解．【解答】解：设该城市两年来最低生活保障的平均年增长率是 x，240（1+x）2=345.6，1+x=±1.2，x=20%或x=﹣220%（舍去）．故答案为：20%．【点评】本题考查的是增长率问题，关键清楚增长前为240元，两年变化后为345.6元，从而求出解．17．三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程x2﹣12x+35=0的根，则该三角形的周长为12 ．【考点】解一元二次方程-因式分解法；三角形三边关系．【分析】先解一元二次方程，由于未说明两根哪个是腰哪个是底，故需分情况讨论，从而得到其周长．【解答】解：解方程x2﹣12x+35=0，得x1=5，x2=7，∵1＜第三边＜7，∴第三边长为5，∴周长为3+4+5=12．【点评】此题是一元二次方程的解结合几何图形的性质的应用，注意分类讨论．18．如果关于x的方程x2﹣2x+m=0（m为常数）有两个相等实数根，那么m= 1 ．【考点】根的判别式．【专题】计算题．【分析】本题需先根据已知条件列出关于m的等式，即可求出m的值．【解答】解：∵x的方程x2﹣2x+m=0（m为常数）有两个相等实数根∴△=b2﹣4ac=（﹣2）2﹣4×1•m=04﹣4m=0m=1故答案为：1【点评】本题主要考查了根的判别式，在解题时要注意对根的判别式进行灵活应用是本题的关键．19．已知关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+x+m2+2m﹣3=0的一个根为0，那么m的值为﹣3 ．【考点】一元二次方程的解；一元二次方程的定义．【分析】根据一元二次方程的定义得到m﹣1≠0，由方程的解的定义，把x=0代入已知方程，列出关于m 的新方程，通过解新方程来求m的值．【解答】解：∵关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+x+m2+2m﹣3=0的一个根为0，∴m2+2m﹣3=0，且m﹣1≠0，∴（m﹣1）（m+3）=0，且m﹣1≠0，解得，m=﹣3，故答案是：﹣3．【点评】本题考查了一元二次方程的解的定义和一元二次方程的定义．注意二次项系数不等于零．20．在一幅长50cm，宽30cm的风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个规划土地的面积是1800cm2，设金色纸边的宽为xcm，那么x满足的方程为x2+40x﹣75=0 ．【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．【专题】几何图形问题．【分析】如果设金色纸边的宽为xcm，那么挂图的长和宽应该为（50+2x）和（30+2x），根据总面积即可列出方程．【解答】解：设金色纸边的宽为xcm，那么挂图的长和宽应该为（50+2x）和（30+2x），根据题意可得出方程为：（50+2x）（30+2x）=1800，∴x2+40x﹣75=0．【点评】一元二次方程的运用，此类题是看准题型列面积方程，题目不难，重在看准题．三、解答题21．（2019秋•大石桥市月考）用指定的方法解方程（1）（x+2）2﹣25=0（直接开平方法）（2）x2+4x﹣5=0（配方法）（3）4（x+3）2﹣（x﹣2）2=0（因式分解法）（4）2x2+8x﹣1=0（公式法）【考点】解一元二次方程-因式分解法；解一元二次方程-直接开平方法；解一元二次方程-配方法；解一元二次方程-公式法．【分析】（1）把﹣25移到等号的右边，然后利用直接开平方法求解；（2）把﹣5移到等号的右边，然后等号两边同时加上一次项一半的平方，再开方求解；（3）直接利用平方差公式把方程左边分解因式，进而整理为两个一次因式的乘积，最后解一元一次方程即可；（4）首先找出方程中a、b和c的值，求出△，进而代入求根公式求出方程的解．【解答】解：（1）∵（x+2）2﹣25=0，∴（x+2）2=25，∴x+2=±5，∴x 1=3，x 2=﹣7；（2）∵x 2+4x ﹣5=0，∴x 2+4x+4=9，∴（x+2）2=9，∴x+2=±3，∴x 1=﹣5，x 2=1；（3）∵4（x+3）2﹣（x ﹣2）2=0，∴[2（x+3）+（x ﹣2）][2（x+3）﹣（x ﹣2）]=0，∴（3x+4）（x+8）=0，∴3x+4=0或x+8=0，∴x 1=﹣，x 2=﹣8；（4）∵a=2，b=8，c=﹣1，∴△=b 2﹣4ac=64+8=72，∴x==，∴x 1=，x 2=．【点评】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．22．将4个数a ，b ，c ，d 排成2行、2列，两边各加一条竖直线记成，规定=ad ﹣bc ，上述记号就叫做2阶行列式．若=6，求x 的值． 【考点】解一元二次方程-直接开平方法．【专题】新定义．【分析】根据题意得出方程（x+1）（x+1）﹣（1﹣x ）（x ﹣1）=6，整理后用直接开平方法求出即可．【解答】解：根据题意得：（x+1）（x+1）﹣（1﹣x ）（x ﹣1）=6，整理得：2x 2+2=6，x 2=2，x=±．【点评】本题考查了解一元二次方程的应用，关键是能把一元二次方程转化成一元一次方程．23．已知关于x 的一元二次方程x 2﹣（k+3）x+3k=0．（1）求证：不论k 取何实数，该方程总有实数根．（2）若等腰△ABC 的一边长为2，另两边长恰好是方程的两个根，求△ABC 的周长．【考点】根的判别式；三角形三边关系；等腰三角形的性质．【分析】（1）求出根的判别式，利用偶次方的非负性证明；（2）分△ABC 的底边长为2、△ABC 的一腰长为2两种情况解答．【解答】（1）证明：△=（k+3）2﹣4×3k=（k ﹣3）2≥0，故不论k 取何实数，该方程总有实数根；（2）解：当△ABC 的底边长为2时，方程有两个相等的实数根，则（k ﹣3）2=0，解得k=3，方程为x 2﹣6x+9=0，解得x 1=x 2=3，故△ABC 的周长为：2+3+3=8；当△ABC 的一腰长为2时，方程有一根为2，方程为x 2﹣5x+6=0，解得，x 1=2，x 2=3，故△ABC 的周长为：2+2+3=7．【点评】本题考查的是一元二次方程根的判别式、等腰三角形的性质，一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的根与△=b 2﹣4ac 有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜0时，方程无实数根．24．某种流感病毒，有一人患了这种流感，在每轮传染中一人将平均传给x 人．（1）求第一轮后患病的人数；（用含x 的代数式表示）（2）在进入第二轮传染之前，有两位患者被及时隔离并治愈，问第二轮传染后总共是否会有21人患病的情况发生，请说明理由．【考点】一元二次方程的应用．【专题】应用题．【分析】（1）设每轮传染中平均每人传染了x人．开始有一人患了流感，第一轮的传染源就是这个人，他传染了x人，则第一轮后共有（1+x）人患了流感；（2）第二轮传染中，这些人中的每个人又传染了x人，因进入第二轮传染之前，有两位患者被及时隔离并治愈，则第二轮后共有x﹣1+x（x﹣1）人患了流感，而此时患流感人数为21，根据这个等量关系列出方程若能求得正整数解即可会有21人患病．【解答】解：（1）（1+x）人，（2）设在每轮传染中一人将平均传给x人根据题意得：x﹣1+x（x﹣1）=21整理得：x2﹣1=21解得：，∵x1，x2都不是正整数，∴第二轮传染后共会有21人患病的情况不会发生．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是能根据进入第二轮传染之前，有两位患者被及时隔离并治愈列出方程并求解．25．（2012•天津校级模拟）某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加利润，尽量减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫降价1元，商场平均每天可多售出2件，若商场每天要获利润1200元，请计算出每件衬衫应降价多少元？【考点】一元二次方程的应用．【分析】设每件衬衫应降价x元，根据均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加利润，尽量减少库存，要降价，如果每件衬衫降价1元，商场平均每天可多售出2件，若商场每天要获利润1200元，可列方程求解．【解答】解：设每件衬衫应降价x元，据题意得：（40﹣x）（20+2x）=1200，解得x=10或x=20．因题意要尽快减少库存，所以x取20．答：每件衬衫至少应降价20元．【点评】本题考查理解题意的能力，关键是看出降价和销售量的关系，然后以利润做为等量关系列方程求解．。
人教版数学九年级上册第21章《一元二次方程 》能力训练(二)
第21章《一元二次方程》能力训练（二）一．选择题1．若关于x的方程（a﹣2）x2+x+1＝0是一元二次方程，则a的取值范围为（）A．a＝2 B．a≠﹣2 C．a≠±2 D．a≠22．一元二次方程x2+4x+5＝0的根的情况是（）A．无实数根B．有一个实根C．有两个相等的实数根D．有两个不相等的实数根3．如果关于x的一元二次方程kx2﹣3x+1＝0有两个实数根，那么k的取值范围是（）A．k B．k且k≠0 C．k且k≠0 D．k4．某纪念品原价150元，连续两次涨价a%后售价为216元．下列所列方程中正确的是（）A．150（1+2a%）＝216B．150（1+a%）×2＝216C．150（1+a%）2＝216D．150（1+a%）+150（1+a%）2＝2165．疫情期间，某口罩厂一月份的产量为100万只，由于市场需求量不断增大，三月份的产量提高到121万只，该厂二、三月份的月平均增长率为（）A．12.1% B．20% C．21% D．10%6．三角形的两边长分别为4和5，第三边的长是方程x2﹣12x+20＝0的根．则三角形的周长（）A．19 B．11或19 C．13 D．117．有5人患了流感，经过两轮传染后共有605人患流感，则第一轮后患流感的人数为（）A．10 B．50 C．55 D．458．一元二次方程x2﹣2x+1＝0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．无法确定9．若关于x的方程kx2﹣x+3＝0有实数根，则k的取值范围是（）A．k≤12 B．k≤C．k≤12且k≠0 D．k≤且k≠0 10．一元二次方程3x2﹣8x﹣a＝0有一个根是x＝3，则a的值及方程的另一个根是（）A．a＝3，x＝1 B．a＝3，x＝﹣C．a＝﹣3，x＝﹣D．a＝﹣1，x＝﹣3 11．若关于x的方程x2+（m+1）x+m2＝0的两个实数根互为倒数，则m的值是（）A．﹣1 B．1或﹣1 C．1 D．212．有种传染病蔓延极快，据统计，在某城市人群密集区，每人一天能传染若干人，现有一人患有此病，开始两天共有225人患上此病，平均每天一人传染了多少人？（）A．14 B．15 C．16 D．25二．填空题13．已知关于x的一元二次方程（m+2）x2﹣3x+1＝0有实数根，则m的取值范围是．14．关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是．15．设m、n是方程x2+x﹣1001＝0的两个实数根，则m2+2m+n的值为．16．某乡村种的水稻2018年平均每公顷产3200kg，2020年平均每公顷产5000kg，则水稻每公顷产量的年平均增长率为．17．某市政府去年投入3亿元用于保障性住房建设，并规划投入资金逐年增加，明年将投入12亿元用于保障性住房建设．这两年中投入资金的年平均增长率是．三．解答题18．用直接开平方法解下列方程．（1）x2﹣9＝0．（2）4（x﹣2）2﹣36＝0．19．解答下列各题：（1）用配方法解方程：x2﹣8x﹣4＝0．（2）已知一元二次方程2x2﹣mx﹣m＝0的一个根是﹣，求m的值和方程的另一个根．20．商店把进货价为8元的商品按每件10元售出，每天可销售200件，现采用提高售价的办法增加利润，已知这种商品每涨价0.5元，其销售量就减少10件，物价局规定该商品的利润率不得超过60%，问商店应将售价定为多少，才能使每天所得利润为640元？商店应进货多少件？21．现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高速发展，据调查，长沙某家小型“大学生自主创业”的快递公司，今年三月份与五月份完成投递总件数分别为10万件和14.4万件，现假定该公司每月投递总件数的增长率相同．（1）求该快递公司投递总件数的月平均增长率；（2）如果平均每人每月最多可投0.5万件，那么该公司现有的29名快递投递员能否完成今年6月份的快递投递任务？如果不能，请问需要至少增加几名业务员？22．已知关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣2k+8＝0有两个实数根x1，x2．（1）求k的取值范围；（2）若x13x2+x1x23＝24，求k的值．23．乐高积木是儿童喜爱的玩具．这种塑胶积木一头有凸粒，另一头有可嵌入凸粒的孔，形状有1300多种，每一种形状都有12种不同的颜色，以红、黄、蓝、白、绿色为主．它靠小朋友自己动手动脑，可以拼插出变化无穷的造型，令人爱不释手，被称为“魔术塑料积木”．某玩具店购进一批甲、乙两款乐高积木，它们的进货单价之和是720元．甲款积木零售单价比进货单价多80元．乙款积木零售价比进货单价的1.5倍少120元，按零售单价购买甲款积木4盒和乙款积木2盒，共需要2640元．（1）分别求出甲乙两款积木的进价；（2）该玩具店平均一个星期卖出甲款积木40盒和乙款积木24盒，经调查发现，甲款积木零售单价每降低2元，平均一个星期可多售出甲款积木4盒，商店决定把甲款积木的零售价下降m（m＞0）元，乙款积木的零售价和销量都不变．在不考虑其他因素的条件下，为了顾客能获取更多的优惠，当m为多少时，玩具店一个星期销售甲、乙两款积木获取的总利润为5760元．参考答案一．选择题1．解：由题意得：a﹣2≠0，解得：a≠2，故选：D．2．解：∵△＝42﹣4×5＝﹣4＜0，∴方程无实数根．故选：A．3．解：∵关于x的一元二次方程kx2﹣3x+1＝0有两个实数根，∴△＝（﹣3）2﹣4×k×1≥0且k≠0，解得k≤且k≠0，故选：C．4．解：依题意，得：150（1+a%）2＝216．故选：C．5．解：设二、三月份的月平均增长率为x，由题意得，100（1+x）2＝121，解得，x1＝0.1，x2＝﹣2.2（舍去），即该厂二、三月份的月平均增长率是10%．故选：D．6．解：∵x2﹣12x+20＝0，∴x＝2或x＝10，当x＝2时，∵2+4＞5，∴能组成三角形，∴三角形的周长为2+4+5＝11，当x＝10时，∵4+5＜10，∴不能组成三角形，故选：D．7．解：设每轮传染中每人传染x人，依题意，得：5+5x+x（5+5x）＝605，整理，得：x2+2x﹣120＝0，解得：x1＝10，x2＝﹣12（不合题意，舍去），∴5+5x＝55．故选：C．8．解：由题意可知：△＝（﹣2）2﹣4×1×1＝0，故选：B．9．解：当k＝0时，﹣x+3＝0，解得x＝3，当k≠0时，方程kx2﹣x+3＝0是一元二次方程，根据题意可得：△＝1﹣4k×3≥0，解得k≤，k≠0，综上k≤，故选：B．10．解：∵一元二次方程3x2﹣8x﹣a＝0有一个根是x＝3，∴3×32﹣8×3﹣a＝0，解得a＝3；设方程的另一个根为x2，则x2+3＝，解得：x2＝﹣．故选：B．11．解：由题意可知：△＝（m+1）2﹣4m2＝﹣3m2+2m+1，由题意可知：m2＝1，∴m＝±1，当m＝1时，△＝﹣3+2+1＝0，当m＝﹣1时，△＝﹣3﹣2+1＝﹣4＜0，不满足题意，故选：C．12．解：设平均每天一人传染了x人，根据题意得：1+x+x（1+x）＝225，（1+x）2＝225，解得：x1＝14，x2＝﹣16（舍去）．答：平均每天一人传染了14人．故选：A．二．填空题（共5小题）13．解：∵关于x的一元二次方程（m+2）x2﹣3x+1＝0有实数根，∴△＝（﹣3）2﹣4×（m+2）×1≥0且m+2≠0，解得m≤且m≠﹣2．故答案为：m≤且m≠﹣2．14．解：根据题意得m﹣1≠0且△＝22﹣4（m﹣1）×（﹣1）＞0，解得m＞0且m≠1．故答案为：m＞0且m≠1．15．解：∵m、n是方程x2+x﹣1001＝0的两个实数根，∴m+n＝﹣1，并且m2+m﹣1001＝0，∴m2+m＝1001，∴m2+2m+n＝m2+m+m+n＝1001﹣1＝1000．故答案为：1000．16．解：设水稻每公顷产量的年平均增长率为x，则3200（1+x）2＝5000，解得：x1＝25%，x2＝﹣2.25（应舍去）．答：水稻每公顷产量的年平均增长率为25%．故答案为：25%．17．解：设这两年中投入资金的平均年增长率是x，由题意得：3（1+x）2＝12，解得：x1＝1 x2＝﹣3（不合题意舍去）．答：这两年中投入资金的平均年增长率约是100%．故答案是：100%．三．解答题（共6小题）18．解：（1）∵x2﹣9＝0，∴x2＝9，∴x＝±3．（2）∵4（x﹣2）2﹣36＝0，∴（x﹣2）2＝9，∴x＝5或x＝﹣1．19．解：（1）x2﹣8x﹣4＝0，x2﹣8x＝4，x2﹣8x+16＝4+16，（x﹣4）2＝20，x ﹣4＝，x 1＝4+2，x2＝4﹣2；（2）设方程的另一个根是a，∵一元二次方程2x2﹣mx﹣m＝0的一个根是﹣，∴根据根与系数的关系得：a+（﹣）＝，﹣a＝﹣，解得：m＝1，a＝1，即m＝1，方程的另一个根是1．20．解；设售价为x元，据题意得（x﹣8）（200﹣10×）＝640，化简得x2﹣28x+192＝0，解得x1＝12，x2＝16，又∵x﹣8≤8×60%，∴x≤12.8，∴x＝16不合题意，舍去，∴x＝12，200﹣10×＝160（件）．答：商店应将售价定为12元，才能使每天利润为640元，商店应进货160件．21．解：（1）设该快递公司投递总件数的月平均增长率为x，根据题意，得10（1+x）2＝14.4解得x1＝0.2，x2＝﹣2.2（不符合题意，舍去），答：该快递公司投递总件数的月平均增长率为20%．（2）由（1）得，14.4×1.2＝17.28（万件），29×0.5＝14.5，14.5＜17.28，故不能完成任务．因为（17.28﹣14.5）÷0.5＝5.56，所以还需要至少增加6名业务员．答：需要至少增加6名业务员．22．解：（1）由题意可知，△＝（﹣4）2﹣4×1×（﹣2k+8）≥0，整理得：16+8k﹣32≥0，解得：k≥2，∴k的取值范围是：k≥2．故答案为：k≥2．（2）由题意得：，由韦达定理可知：x1+x2＝4，x1x2＝﹣2k+8，故有：（﹣2k+8）[42﹣2（﹣2k+8）]＝24，整理得：k2﹣4k+3＝0，解得：k1＝3，k2＝1，又由（1）中可知k≥2，∴k的值为k＝3．故答案为：k＝3．23．解：（1）设甲款积木的进价为每盒x元，乙款积木的进价为每盒y元，则，解得：．答：甲款积木的进价为每盒400元，乙款积木的进价为每盒320元；（2）由题可得：（80﹣m）（40+2m）+24×40＝5760，解得m1＝20，m2＝40．因为顾客能获取更多的优惠，所以m＝40．。
人教版九年级数学上第21章一元二次方程复习与小结课件
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韩文丽
二、强化训练
1、一个小组若干人，新年互送贺卡，若全组 共送贺卡72张，则这个小组共 9 人。
2、一个两位数等于它的个位数的平方，且各 位数字比十位数字大3，则这个两位数为
25或36
3、若关于x的一元二次方程ax²-2x+6=0有两
个实数根，求a的取值范围。
解：依题意得a≠0,
即3x= 6 ∴
5
∴
3
-
2 5
m 5
x 2 5
即 m=-13
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知识点二 降次——解一元二次方程
1、配方法 配方是为了降次，把一个一元二次方程转化为 两个 一元二次方程来解。
步骤：
①方程化为一般情势; ②移项，使方程左边为二次项和一次项，右边 为常数项；
③化二次项系数为1；
x2
-
b a
0
即k+1=0
∴k=-1
（2） x1
x2
c a
1
即 k-2=1
∴K=3
（3）x1 x2 k 2 0
∴K=2
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我相信，只要大家勤 于思考，勇于探索，一定 会获得很多的发现，增长 更多的见识，谢谢大家， 再见！
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2、已知2和-1是关于x的方程2x²+mx+n=0 的两个根，则m的值为 -2 ，n的值为 -4
3、已知方程3x²+2x-3=0的两根为 x1, x2 ，
则 x1 x2
2 3
x1 x2 -1
=
22 9
。
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第二十一章 一元二次方程-九年级数学上册单元复习(人教版)
个支干长出多少小分支?
解:设每个支干长出x个小分支,可列方程得
1+x+x2=91
解得x1=9,x2=-10(不合题意,舍去)
答:每个支干长出9个小分支.
课堂检测
考点4
实际问题与一元二次方程—传播问题
电脑勒索病毒的传播非常快，如果开始有6台电脑被感染，
要每天获得150元的销售利润，销售价应当为多少元？
分析：本题为销售中的利润问题，其基本本数量关系用表析分如下：设公司
每天的销售价为x元.
单件利润
正常销售
4
涨价销售
x-20
销售量（件）
32
32-2(x-24)
其等量关系是：总利润=单件利润×销售量.
每星期利润（元）
128
150
课堂检测
考点4
实际问题与一元二次方程—销售利润问题
∴(−2m)2−2(m2+m)=12，
解得m1=−2，m2=3(不合题意，舍去).
故m的值是 −2.
课堂检测
考点2
一元二次方程的根
设x1，x2是方程x2 -2(k-1)x+k2=0的两个实数根，且x12 +x22 =4，
求k的值.
解：由方程有两个实数根，得Δ=4（k-12 -4k2≥0,
1
即 -8k+4≥0. k
一元二次方程
+ + =
解
方
程
实际问题
的答案
检验
配方法
公式法
因式分解法
降
次
方程 + + = ( ≠ )的根
人教版 九年级数学 第21章 一元二次方程 综合复习(含答案)
人教版 九年级数学 第21章 一元二次方程 综合复习一、选择题（本大题共10道小题）1. 一元二次方程x 2－2x ＝0的根是( )A ．0B ．0，2C ．2D ．2，－22. 若方程ax 2＋2x ＝bx 2－1是关于x 的一元二次方程，则a ，b 的值可以是( )A ．1，1B.12，12 C ．－3，3D ．－3，－33. 一元二次方程2x 2－3x ＋1＝0的根的情况是( )A. 有两个相等的实数根B. 有两个不相等的实数根C. 只有一个实数根D. 没有实数根4. 一元二次方程x(x －2)＝2－x 的根是( )A ．x ＝－1B ．x ＝0C ．x 1＝1，x 2＝2D ．x 1＝－1，x 2＝25. 方程3x (2x ＋1)＝2(2x ＋1)的两个根为( )A ．x 1＝23，x 2＝0B ．x 1＝23，x 2＝12C ．x 1＝32，x 2＝－12D ．x 1＝23，x 2＝－126. 2018·福建 已知关于x 的一元二次方程(a ＋1)x 2＋2bx ＋(a ＋1)＝0有两个相等的实数根，下列判断正确的是( )A ．1一定不是关于x 的方程x 2＋bx ＋a ＝0的根B ．0一定不是关于x 的方程x 2＋bx ＋a ＝0的根C ．1和－1都是关于x 的方程x 2＋bx ＋a ＝0的根D ．1和－1不都是关于x 的方程x 2＋bx ＋a ＝0的根7. 下列一元二次方程中，没有实数根的是()A．x2－2x＝0 B．x2＋4x－1＝0C．2x2－4x＋3＝0 D．3x2＝5x－28. 对于二次三项式－x2＋4x－5的值，下列叙述正确的是()A．一定为正数B．一定为负数C．正、负都有可能D．一定小于－19. 当b＋c＝5时，关于x的一元二次方程3x2＋bx－c＝0的根的情况为() A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．无法确定10. 如图，某小区计划在一块长为32 m，宽为20 m的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为570 m2.若设道路的宽为x m，则下面所列方程中正确的是()A．(32－2x)(20－x)＝570B．32x＋2×20x＝32×20－570C．(32－x)(20－x)＝32×20－570D．32x＋2×20x－2x2＝570二、填空题（本大题共7道小题）11. 若关于x的方程kx2－4x－4＝0有两个不相等的实数根，则k的最小整数值为________．12. 对于实数a，b，定义运算“◎”如下：a◎b＝(a＋b)2－(a－b)2.若(m＋2)◎(m－3)＝24，则m＝________．13. 已知关于x的一元二次方程ax2+2x+2-c=0有两个相等的实数根，则+c的值等于.14. 一个三角形其中两边的长分别为3和6，第三边的长是方程x2－6x＋8＝0的一个根，则此三角形的周长是________．15. 根据下表中的数据写出方程x2＋3x－4＝0的一个根为________．x 0123 4x2＋3x－4－406142416. 设a，b是方程x2＋x－2020＝0的两个实数根，则(a－1)(b－1)的值为________．17. 一个两位数，它的十位数字比个位数字大1，个位数字与十位数字的平方和比这个两位数小19，则这个两位数是________．三、解答题（本大题共4道小题）18. 某学校机房有100台学生用电脑和1台教师用电脑，现在教师用电脑被某种电脑病毒感染，且该电脑病毒传播得非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有16台电脑被感染．(1)每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？(2)若病毒得不到有效控制，多少轮感染后机房内所有电脑都将被感染？19. 三个连续的正奇数，最大数与最小数的积比中间的一个数的6倍多3，求这三个奇数．20. 《九章算术》“勾股”章有一题：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈．问户高、广各几何．”题意为已知长方形门的高比宽多6尺8寸，门的对角线长一丈，那么门的宽和高各是多少？(1丈＝10尺，1尺＝10寸)21. 已知关于x 的一元二次方程(x －1)(x －4)＝p 2，p 为实数．(1)求证：不论p 为何实数，方程总有两个不相等的实数根；(2)当p 为何值时，方程有整数解？(直接写出三个，不需要说明理由)人教版 九年级数学 第21章 一元二次方程 综合复习-答案一、选择题（本大题共10道小题）1. 【答案】B2. 【答案】C3. 【答案】B【解析】代入数据求出根的判别式Δ＝b 2－4ac 的值，根据Δ的正负即可得出结论．∵Δ＝b 2－4ac ＝(－3)2－4×2×1＝1＞0，∴该方程有两个不相等的实数根．4. 【答案】D [解析] x(x －2)＋(x －2)＝0， (x ＋1)(x －2)＝0，x ＋1＝0或x －2＝0，所以x 1＝－1，x 2＝2.故选D.5. 【答案】D [解析] 3x(2x ＋1)－2(2x ＋1)＝0，(3x －2)(2x ＋1)＝0，3x －2＝0或2x ＋1＝0，所以x 1＝23，x 2＝－12.6. 【答案】D [解析] ∵关于x 的一元二次方程(a ＋1)x 2＋2bx ＋(a ＋1)＝0有两个相等的实数根，∴⎩⎨⎧a ＋1≠0，Δ＝（2b ）2－4（a ＋1）2＝0，∴b ＝a ＋1或b ＝－(a ＋1)．当b ＝a ＋1时，有a －b ＋1＝0，此时－1是方程x 2＋bx ＋a ＝0的根； 当b ＝－(a ＋1)时，有a ＋b ＋1＝0，此时1是方程x 2＋bx ＋a ＝0的根． ∵a ＋1≠0，∴a ＋1≠－(a ＋1)，∴1和－1不都是关于x 的方程x 2＋bx ＋a ＝0的根．7. 【答案】C8. 【答案】B[解析] ∵－x 2＋4x －5＝－(x 2－4x ＋4)－1＝－(x －2)2－1＜0，∴原式的值一定为负数．9. 【答案】A [解析] 因为b ＋c ＝5，所以c ＝5－b.因为Δ＝b 2－4×3×(－c)＝b 2－4×3×(b －5)＝(b －6)2＋24>0，所以该一元二次方程有两个不相等的实数根．10. 【答案】A二、填空题（本大题共7道小题）11. 【答案】1 [解析] ∵关于x 的方程kx 2－4x －4＝0有两个不相等的实数根， ∴k≠0且Δ＝b 2－4ac ＞0，即⎩⎨⎧k≠0，16＋16k>0， 解得k ＞－1且k≠0，∴k 的最小整数值为1.12. 【答案】－3或4 [解析] 根据题意，得[(m ＋2)＋(m －3)]2－[(m ＋2)－(m －3)]2＝24.整理，得(2m －1)2＝49，即2m －1＝±7，所以m 1＝－3，m 2＝4.13. 【答案】2[解析]根据题意得:Δ=4-4a(2-c)=0，整理得4ac-8a=-4，4a(c-2)=-4.∵方程ax2+2x+2-c=0是一元二次方程，∴a≠0，等式4a(c-2)=-4两边同时除以4a，得c-2=-，则+c=2.14. 【答案】13[解析] 解方程x2－6x＋8＝0，得x1＝2，x2＝4.∵2，3，6不能构成三角形，∴舍去x＝2.当x＝4时，三角形的周长＝3＋4＋6＝13.15. 【答案】x＝116. 【答案】－2018[解析] 根据题意，得a＋b＝－1，ab＝－2020，∴(a－1)(b －1)＝ab－(a＋b)＋1＝－2020＋1＋1＝－2018.故答案为：－2018.17. 【答案】32[解析] 设这个两位数的十位数字为x，则个位数字为x－1.根据题意，得x2＋(x－1)2＝10x＋(x－1)－19，解得x1＝3，x2＝3.5(舍去)，∴10x＋(x－1)＝32.三、解答题（本大题共4道小题）18. 【答案】解：(1)设每轮感染中平均一台电脑会感染x台电脑．根据题意，得1＋x＋x(1＋x)＝16，解得x1＝3，x2＝－5(舍去)．答：每轮感染中平均一台电脑会感染3台电脑．(2)三轮感染后，被感染的电脑台数为16＋16×3＝64，四轮感染后，被感染的电脑台数为64＋64×3＝256＞101.答：若病毒得不到有效控制，四轮感染后机房内所有电脑都将被感染．19. 【答案】解：设这三个连续的正奇数分别为2n－1，2n＋1，2n＋3(n为正整数)．根据题意，得(2n ＋3)(2n －1)－6(2n ＋1)＝3，解得n 1＝3，n 2＝－1(舍去)．当n ＝3时，2n －1＝5，2n ＋1＝7，2n ＋3＝9.即这三个奇数分别为5，7，9.20. 【答案】解：设门的宽为x 尺，则高为(x ＋6.8)尺．根据题意，得x 2＋(x ＋6.8)2＝102，整理，得2x 2＋13.6x －53.76＝0，解得x 1＝2.8，x 2＝－9.6(舍去)，所以x ＋6.8＝9.6.所以门的宽为2尺8寸，高为9尺6寸．21. 【答案】解：(1)证明：原方程可化为x 2－5x ＋4－p 2＝0.∵Δ＝b 2－4ac ＝(－5)2－4(4－p 2)＝4p 2＋9＞0，∴不论p 为何实数，方程总有两个不相等的实数根．(2)原方程可化为x 2－5x ＋4－p 2＝0.由求根公式得方程的根为x ＝5±4p 2＋92. ∵方程有整数解，∴找到p 的值，使5±4p 2＋92为整数即可， ∴p 可取0，2，－2，10，－10等，此时方程有整数解(答案不唯一，写出三个即可)．。
第21章《一元二次方程》章节总复习(学生版)
2024-2025学年人教新版数学九年级上册同步培优核心考点讲练第21章《一元二次方程》章节总复习（知识精讲+易错点拨+十三大考点讲练+难度分层真题练）导图指引 (2)新知精讲梳理 (2)高频易错知识点拨 (4)考点讲练1：一元二次方程的定义 (5)考点讲练2：一元二次方程的一般形式 (6)考点讲练3：一元二次方程的解 (7)考点讲练4：解一元二次方程-直接开平方法 (7)考点讲练5：解一元二次方程-配方法 (8)考点讲练6：解一元二次方程-公式法 (9)考点讲练7：解一元二次方程-因式分解法 (9)考点讲练8：换元法解一元二次方程 (10)考点讲练9：根的判别式 (11)考点讲练10：根与系数的关系考点讲练11：由实际问题抽象出一元二次方程 (13)考点讲练12：一元二次方程的应用 (14)考点讲练13：配方法的应用 (15)中等题真题汇编练 (17)培优题真题汇编练 (19)导图指引新知精讲梳理知识点1：一元二次方程的有关概念1.一元二次方程的概念：通过化简后，只，并且未知数的的，叫做一元二次方程．2.一元二次方程的一般式：3.一元二次方程的解：使叫做一元二次方程的解，也叫做细节剖析：判断一个方程是否为一元二次方程时，首先观察其是否是，否则一定一元二次方程；其次再将整式方程整理化简使方程的，看是否具备另两个条件：①一个；②未知数的最高次数为对有关一元二次方程定义的题目，要充分考虑定义的三个特点，不要忽视二次项系数不为0．知识点2：一元二次方程的解法1．基本思想降次一元二次方程−−−→2．基本解法细节剖析：解一元二次方程时，根据方程特点，灵活选择解题方法，先考虑能否用知识点3：一元二次方程根的判别式及根与系数的关系1.一元二次方程根的判别式一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 中，ac b 42-叫做一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根的判别式，通常用“∆”来表示，即acb 42-=∆（1）当△>0时，一元二次方程有的实数根；（2）当△=0时，一元二次方程有的实数根；（3）当△<0时，一元二次方程实数根.2.一元二次方程的根与系数的关系如果一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个实数根是21x x ，，那么a b x x -=+21，ac x x =21.注意它的使用条件为a≠0，Δ≥0.细节剖析：1.一元二次方程的根的判别式正反都成立．利用其可以解决以下问题：(1)不解方程判定方程根的情况；(2)根据参系数的性质确定根的范围；(3)解与根有关的证明题．2.一元二次方程根与系数的应用很多：(1)已知方程的一根，不解方程求另一根及参数系数；(2)已知方程，求含有两根对称式的代数式的值及有关未知数系数；(3)已知方程两根，求作以方程两根或其代数式为根的一元二次方程．知识点4：列一元二次方程解应用题1.列方程解实际问题的三个重要环节：一是审题；二是把握问题中的三是的合理性.2.利用方程解决实际问题的关键是寻找等量关系.3.解决应用题的一般步骤：审(审题目，分清等)；设(设，有时会用)；列(根据题目中的，)；解(解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰)；验(检验方程的解能否保证实际问题有意义）；答(写出答案，切忌答非所问).4.常见应用题型数字问题、平均变化率问题、利息问题、利润(销售)问题、形积问题等.细节剖析：列方程解应用题就是先把实际问题抽象为，然后由数学问题的解决而获得对的解决.高频易错知识点拨易错知识点01：一元二次方程的定义与识别定义理解不清：学生可能无法准确理解一元二次方程必须同时满足的三个条件：整式方程、只含有一个未知数、未知数的最高次数是2。
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② 3x2 1 6x 2
③ y(2y 5) 2(y 1)
题型二：证明方程根的情况
例：求证：方程 1 x2 (m 1)x m2 m 1 0 没有实数根. 2
题型三：已知根的情况求字母的值（范围）
例：当为何值时，关于x 的方程
kx 2 (2k 1)x k 1 0
根据题意，可列出方程
x（x﹣1）=28
销售类应用题：
（泰安）某商店购进600个旅游纪念品，进价为 每个6元，第一周以每个10元的价格售出200个 ，第二周若按每个10元的价格销售仍可售出200 个，但商店为了适当增加销量，决定降价销售 （根据市场调查，单价每降低1元，可多售出50 个，但售价不得低于进价），单价降低x元销售 销售一周后，商店对剩余旅游纪念品清仓处理 ，以每个4元的价格全部售出，如果这批旅游纪 念品共获利1250元，问第二周每个旅游纪念品 的销售价格为多少元？
解：由题意得出： 200×(10-6)+(10-x-6)(200+50x)+(4-6)[(600-200-(200+50x)]=1250，
即800+（4﹣x）（200+50x）﹣2（200﹣50x）=1250， 整理得：x2﹣2x+1=0， 解得：x1=x2=1，
∴10﹣1=9，
答：第二周的销售价格为9元．
其它类型应用题：
如图，Rt△ABC中，∠B=90°，AC=10cm，
BC=6cm，现有两个动点P、Q分别从点A和点B同
时出发，其中点P以2cm/s的速度，沿AB向终点
B移动；点Q以1cm/s的速度沿BC向终点C移动，
其中一点到终点，另一点也随之停止.连结PQ,
设动点运动时间为x秒.
A
（示（△（边存1B形在2P3Q）） B）、，AQ用当 是P为P请Q含B为否等C的求的x何存腰的长出面值在三代度此积时x角数；时的等，形式x值于；的表，2值0使c；m得2？若四若不 P 存在，请说明理由.
①有两不等实数根； ②没有实数根； ③有实根.
知识点5
根与系数的关系
若方程ax2 bx c 0(a 0)的两根为x1, x2 ,
则x1
x2
b a
,
x1
x2
c a
特别地：
若方程x2 px q 0的两根为x1, x2， 则：x1 x2 p, x1 x2 q
2.已知一元二次方程 2 x2 + b x + c = 0的两个根是 – 1 、3 ，则b= .，c= .
一元二次方程的应用：
面积类应用题：
(襄阳) 某单位准备将院内一块长30m，宽20m的 长方形空地，建成一个矩形花园，要求在花园 中修两条纵向平行和一条横向弯折的小道，剩 余的地方种植花草．如图所示，要使种植花草 的面积为532m2，那么小道进出口的宽度应为多 少米？（注：所有小道进出口的宽度相等，且 每段小道均为平行四边形）
设 X1、X2是方程X2－4X+1=0的两个根，则
X1+X2 = ___ X12+X22 = ( X1-X2)2 =
X1X2 = ____， ；
；
11
x1 x2
x2 x1 x1 x2
1.若关于x的一元二次方程 x2+px+q=0的两根互为 相反数，则 p=______;若两根互为倒数，则 q=_____．
BQ C
一次会议上,每两个参加会议的人都互相握了 一次手,有人统计一共握了66次手.这次会议到 会的人数是多少?
解: 设这次到会的人数为 x,根据题意,得
xx 1 66.
2
整理得:
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x2 x 132 0.
解得:
x1
1 23 2
12;
x2
1 23 2
0(不合题意, 舍去).
运动与方程
北
A
东
●B
●B
运动与方程
解 :设电子侦察船最早需要 x小时能侦察到军舰 ,根据题意,得
(90-30x)2+(20x)2=502
北
整理得 :
A
东
13x2 54x 56 0.
●B
解得 :
28 x1 2; x2 13 .
●B
答 :电 子 侦 察 船 最 早 能 在 2h时 能 侦 察 到 军 舰 .
解：设小道进出口的宽度为x 米，依题意得 （30﹣2x）（20﹣x）=532． 整理，得x2﹣35x+34=0．
增长率类应用题：
(广东)据媒体报道，我国2009年公民出境旅游 总人数约5000万人次，2011年公民出境旅游总 人数约7200万人次，若2010年、2011年公民出 境旅游总人数逐年递增，请解答下列问题： （1）求这两年我国公民出境旅游总人数的年 平均增长率；
答: 这次到会的人数为12人.
某军舰以20海里的速度由西向 东航行,一艘电子侦察船以30 海里的速度由南向北航行,它 能侦察出周围50海里(包括50 海里)范围内的目标.如图,当 该军舰行至A处时,电子侦察 船正位于A处的正南方向的B 处,且AB=90海里.如果军舰和 侦察船仍按原来速度沿原方 向继续航行,那么航行途中侦 察船能否侦察到这艘军舰 ? 如果能,最早何时能侦察到? 如果不能,请说明理由.
知识点4 根的判别式 △=b2-4ac叫做一元二次方程根的判别式
一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的情况： (1)Δ＞0 有两个不相等的实数根； (2)Δ=0 有两个相等的实数根； (3)Δ＜0 无实数根.
利用根的判别式解题的几种常见题型
题型一：不解方程直接判别根的情况
例：不解方程直接判别下列方程根的情况：
（2）如果2013年仍保持相同的年平均增长 率，请你预测2013年我国公民出境旅游总人 数约多少万人次？
传播类应用题：
（滨州）滨州市体育局要组织一次篮球赛， 赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场） ，计划安排28场比赛，应邀请多少支球队参 加比赛？
解：设应邀请x支球队参赛，则每对共打 （x﹣1） 场比赛，