工程优化课件

利用在高等数学中所学的Lagrange乘子法可求解本问题
L r .h. 2 rh 2 r
2
4 2 r h 3
分别对r, h,λ求偏导数,并令其等于零.有:
L r 2 h 4 r 2rh 0 L 2 r r 2 0 h L 4 2 r h 0 3
4 3 r h R 3
2
即：
4 r h 3
2
4 r h 0 3
2
问题追求的目标是圆柱体表面积最小。即
min
2 rh 2 r 2

min 2 rh 2 r 2 4 2 s.t . r h 0 3
则得原问题的数学模型：
i 1, 2, , m

一般的约束优化问题 min f x xR
s.t . gi x 0 hj x 0
n
i 1, 2, , m j 1, 2, , p
以上为标准形式，某些问题可标准化： 1） gi x 0 - gi x 0 2）
(b)表示找到的最小生成 树T；(c)表示对T作前序 遍历的次序；(d)表示L产 生的哈密顿回路H； (e)是G的一个最小费用旅 行售货员回路。
例4： 靠近某河流有两个化工厂，流经第一化工厂的河
流流量为每天500万m 3 ，在两个工厂之间有一条流量为 200万m 3 的支流。两化工厂每天排放某种有害物质的工 业污水分别为2万m3和1.4万m3。从第一化工厂排出的工 业污水流到第二化工厂以前，有20%可以自然净化。环 保要求河流中工业污水含量不能大于0.2%。两化工厂处 理工业污水的成本分别为1000元/万m 3 和800元/万m 3 。 现在要问在满足环保要求的条件下，每厂各应处理多少 工业污水，使这两个工厂处理工业污水的费用最小.
2
例3：旅游售货员问题

旅游线路安排：预定景点走且只走一次且路 上时间最短 配送线路—货郎担问题：送货地到达一次且 总路程最短
问题描述：给定一个完全无向图G=(V,E)，其每一边 (u,v)∈E有一非负整数费用c(u,v)。要找出G的最小费用哈 密顿回路。

有一旅行团从 v0出发要遍游城市 v1 , v2 ,..., vn ， 已知从 vi 到 v j 的旅费为cij ，问应如何安排行程使总 费用最小？
显然偏差S越小,曲线就拟合得越好,说明参数值就选择得越好，从而 我们的问题就转化为5维无约束最优化问题。即：
m a2 min yi a1 x i a4 i 1 1 a3 ln 1 exp a5
参考书目
工程优化方法
理学院数学系：寇晓丽 E-mail: kouxiaoli@
主 要 内 容
第一章 第二章 第三章 第四章 第五章 第六章

最优化简介 基本概念和理论基础 线性规划 最优化搜索算法结构与一维搜索 无约束最优化方法 约束最优化方法
第一章
最优化简介
最优化—寻求最优方案的方法称为最优化方法。

化简有：
min z=1000x1+800x2 x1 ≥1 0.8x1 + x2 ≥1.6 x1 ≤2 x2 ≤1.4 x1、x2 ≥0
例5：（混合饲料配合）以最低成本确定满足动物所需营养的 最优混合饲料。设每天需要混合饲料的批量为100磅，这份饲 料必须含：至少0.8%而不超过1.2%的钙;至少22%的蛋白质; 至多5%的粗纤维。假定主要配料包括石灰石、谷物、大豆粉。 这些配料的主要营养成分为：
每磅配料中的营养含量
配料 石灰石 谷物 大豆粉 钙 0.380 0.001 0.002 蛋白质 .00 0.09 0.50 纤维 0.00 0.02 0.08
每磅成本（元） 0.0164 0.0463 0.1250
解:根据前面介绍的建模要素得出此问题的数学模型如下:
设 x1 , x2 , x3 是生产100磅混合饲料所须的石灰石、谷物、大豆 粉的量（磅）。
, ym
a2 a3 a4 a5 为待定参数, 其中 a1 为确定这些参数, 对x.y测得m个实验点:
x y , x y , x
1, 1 2, 2
m
试将确定参数的问题表示成最优化问题.
解:很显然对参数 a1 a2 a3 a4和 a5 任意给定的一组数值,就由上 式确定了 y关于x的一个函数关系式,在几何上它对应一条曲线,这条 曲线不一定通过那m个测量点,而要产生“偏差”.
其作为系统决策变量的一个数学函数来衡量系统的效 率，即系统追求的目标。
（一）根据问题的不同特点分类 无约束最优化问题
min f n
x R
x

约束最优化问题
等式约束优化问题
不等式约束优化问题
min f x xRn s.t . hi x 0
min f x xRn s.t . gi x 0
建立数学模型时要尽可能简单，而且要能完整地描述 所研究的系统. 注：过于简单的数学模型所得到的结果可能不符合实际 情况；而过于详细复杂的模型又给分析计算带来困难。 因此，具体建立怎样的数学模型需要丰富的经验和熟练 的技巧。即使在建立了问题的数学模型之后，通常也必 须对模型进行必要的数学简化以便于分析、计算。
hi x 0 hi x 0 -hi x 0
（二）根据函数类型分类 线性规划：目标函数、约束条件都是线性的 二次规划：目标函数为二次函数，约束条件 中的函数为线性的。 非线性规划：目标函数不是一次or二次的， 或约束条件中的函数不全是线 性的。 （三）根据函数性质分类 动态与静态 随机与确定 单目标与多目标
min Z 0.0164 x1 0.0463 x2 0.1250 x3 s .t . x1 x2 x3 100 0.380 x1 0.001 x2 0.002 x3 0.012 100 0.380 x1 0.001 x2 0.002 x3 0.008 100 0.09 x2 0.50 x3 0.22 100 0.02 x2 0.08 x3 0.05 100 x1 0 , x2 0 , x3 0
最优方案：从所有可能的方案中选择最合理的一 种以达到最优目标。
最优目标：与工程设计密切相关。如：产值最大、
耗能最小、 速度最快等等。 处理方法：对实际问题建立一个数学模型。
发展过程—运筹学、线性规划、非线性规划、动态规
划、组合优化等。
促进最优化发展的主要因素


近代科技与生产发展的需要 计算机技术的飞速发展
将测量点沿垂线方向到曲线的距离的
平方和作为这种“偏差”的度量.即
m a2 y a S i 1 x i a4 i 1 1 a3 ln 1 exp a5
2
y
x
工厂1 工厂2
500万m3
200万m3
变量：x1、x2——分别代表工厂1和工厂2处理污 水的数量(万m3)。 则目标函数：min z=1000x1+800x2 约束条件：

第一段河流（工厂1——工厂2之间）： (2－x1)/500 ≤0.2% 第二段河流：[ 0.8(2－x1) +(1.4－x2)]/700≤0.2% 此外有： x1≤2； x2≤1.4
最优化技术的应用：在日常生活中，在工农业生产、社 会经济、国防、航空航天工业中处处可见其用途。 课题研究：运输方案、结构最优设计、电子器件最 优设计、光学仪器最优设计、化工工程最优设计、机器 最优配备、油田开发、水库调度、饲料最优配方、食品 结构优化等等。
最优化的研究一般被分成两个方面： 由实际生产或科技问题形成最优化的数学模型. 对所形成的数学问题进行数学加工和求解。 对于第二方面的工作，目前已有一些较系统成熟的资料 ，但对于第一方面工作即如何由实际问题抽象出数学模 型，目前很少有系统的资料，而这一工作在应用最优化 技术解决实际问题时是十分关键的基础。
§3 最优化问题举例
最优化在物质运输、自动控制、机械设计、采矿冶金、经 济管理等科学技术各领域中有广泛应用。下面举几个简单的实 例。 例1. 把半径为1的实心金属球熔化后，铸成一个实心圆柱体， 问圆柱体取什么尺寸才能使它的表面积最小？ 解：决定圆柱体表面积大小有两个决策变量：圆柱体底面半 径r、高h。 问题的约束条件是所铸圆柱体重量与球重相等。即
k 为随机因素
f , gh 为（一般或广义）函数
建立最优化问题数学模型的三要素： 决策变量和参数 决策变量是由数学模型的解确定的未知数。参数表示 系统的控制变量，有确定性的也有随机性的。 约束或限制条件
由于现实系统的客观物质条件限制，模型必须包括把 决策变量限制在它们可行值之内的约束条件，而这通常是 用约束的数学函数形式来表示的。 目标函数
一般的模型简化工作包括以下几类： （1）将离散变量转化为连续变量。
（2）将非线性函数线性化。
（3）删除一些非主要约束条件。
优化模型的一般形式 min. f ( xi, yj, k ) s.t. gh ( xi, yj, k ) , 0 h = 1,2, … ,m 其中： xi 为决策变量（可控制） yj 为已知参数
因此，我们在学习本课程时要尽可能了解如何由实 际问题形成最优化的数学模型。 为了便于大家今后在处 理实际问题时建立最优化数学模型，下面我们先把有关 数学模型的一些事项作一些说明。
数学模型: 对现实事物或问题的数学抽象或描述。
§1 最优化问题的数学模型及分类
共同特点： 求x1 ,x2 ,…,xn 使函数f（ x1 ,x2 ,…,xn） （被称为目标函数或评价函数） 达到极小min； 若求极大max，相当于一个min（-f）。